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Actividades de refuerzo para matematica
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Actividades de refuerzo para matematica

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  • 1. MINISTERIO DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓNPROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA DOCUMENTO PARA EL DOCENTE DE MATEMÁTICA
  • 2. Ministerio de Educación Dirección Nacional de EducaciónPROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIAPresentaciónEl proyecto de refuerzo académico como acción estratégica del Programa SocialEducativo 2009-2014 “Vamos a la Escuela”, se prevé como una de las estrategias paraevitar la repetición y la deserción.En ese marco, este proyecto cobra importancia ya que a partir de éste se promoverá elapoyo a los estudiantes de segundo año de bachillerato que presenten dificultades paradesarrollar las competencias, conocimientos y habilidades, que se espera tengan losjóvenes y señoritas que egresan de bachillerato.Para poder hacer efectivo el refuerzo académico se hace necesario contar coninformación que permita tener un diagnóstico de las fortalezas y las limitaciones de losestudiantes que integran cada sección de segundo año de bachillerato; por ello, elproyecto inicia con una evaluación diagnóstica, cuyo fin no es asignar una nota a losestudiantes, tal como se describe a continuación. 1. Finalidad de la evaluación diagnósticaLa administración de las pruebas de diagnóstico tiene como finalidad poner adisposición de los docentes de educación media un instrumento de evaluación, que lespermita identificar en los resultados los puntos fuertes y /o débiles de los estudiantes,con el propósito de realizar acciones pedagógicas que respondan a las necesidadesindividuales y de grupo, las cuales deberán estar encaminadas a la mejora yaprovechamiento de los aprendizajes.Ésta es una evaluación analítica y orientadora que pretende apoyar a los estudiantesque presentan más dificultades en el aprendizaje; por lo tanto, no se debe tomar comouna evaluación para asignar calificaciones o calcular promedios en la asignatura.2. Documentos que se proporcionan a los docentes • Pruebas por asignatura.Se han elaborado pruebas de diagnóstico de las 4 asignaturas básicas: Matemática,Lenguaje y Literatura, Estudios Sociales y Ciencias Naturales. Cada una de ellas sepresenta en cuadernillo separado; los ítems son de opción múltiple con 4 opciones derespuesta de las cuales sólo una es la correcta.Los insumos considerados para definir qué evaluar en cada asignatura fueron: losindicadores de logro que resultaron más difíciles para los estudiantes evaluados en laPAES 2008 y 2009; así como los indicadores de logro de los programas de estudio deprimer año de bachillerato que son prerrequisito para el dominio de otros indicadores desegundo año, y que a la vez se consideran difíciles para los estudiantes o difíciles deimpartir por el docente.Actividades de Refuerzo para Matemática Página 2
  • 3. Ministerio de Educación Dirección Nacional de Educación • Actividades de Refuerzo AcadémicoEs un documento por asignatura dirigido a los docentes, en el que se sugierenactividades de refuerzo orientadas a reducir las dificultades mostradas por losestudiantes en el desarrollo de las tareas propuestas en los ítems.En cada asignatura se identifica el contenido que se explora en cada ítem de la prueba,así como el indicador de logro del programa de estudio .Para cada ítem se dan aconocer las causas posibles por las que los estudiantes lo respondieronincorrectamente. Se presenta la actividad sugerida, los recursos con los que se puededesarrollar, la descripción de la misma y en algunos casos se brinda información paraenriquecer el desarrollo del contenido.Las actividades de refuerzo por asignatura deberán trabajarse, prioritariamente, con elgrupo de estudiantes que obtuvieron menos aciertos en la prueba; aun cuando lasactividades propuestas pueden ser aplicadas a todo el grupo. • Plantilla para registrar las respuestas correctasDespués de aplicada cada prueba, el docente responsable de la asignatura y de lasección, deberá revisar las respuestas dadas por los estudiantes a cada ítem; para elregistro de las respuestas correctas se propone una plantilla por asignatura, en la quese identifica el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta; registrarsólo las respuestas correctas; de esta manera tendrá un diagnóstico del desempeño decada estudiante y del grupo. En la sección podrá identificar cuáles ítems fueronrespondidos correctamente en mayor o menor cantidad por los estudiantes.3. Desarrollo de la Evaluación • Para que los resultados de las pruebas reflejen las dificultades o las fortalezas de los estudiantes, se sugiere desarrollar una asignatura cada día, y que ésta se realice simultáneamente en todas las secciones de segundo año de bachillerato de la institución; el tiempo máximo estimado para cada prueba es de 90 minutos. • La evaluación deberá realizarse en la segunda semana del mes de febrero. • Se deben administrar las pruebas dando indicaciones claras y de forma imparcial en un ambiente que genere confianza; es decir, evitar acciones que causen tensión en los estudiantes, ya que ello podría influenciar negativamente sobre el trabajo de éstos en la prueba. • Los estudiantes deberán marcar sus respuestas en cada cuadernillo; para lo cual se debe encerrar en un círculo la letra de la opción que contiene la respuesta correcta. • El docente debe explicar a los estudiantes que la prueba no es para asignarles una nota y deberán motivarlos para que realicen su mayor esfuerzo al responder todos los ítems.Actividades de Refuerzo para Matemática Página 3
  • 4. Ministerio de Educación Dirección Nacional de Educación • Las indicaciones para la aplicación de la prueba deben ser respetadas, Si un estudiante pide información adicional, no se le deben dar elementos de respuesta, ni información susceptible de orientar su respuesta. Si la indicación no es comprendida, será suficiente solicitar que relea la indicación o la pregunta. • La prueba debe ser realizada individualmente, para que el propósito de diagnóstico de ésta, realmente sea alcanzado.4. Proceso de registro de las respuestas dadas por los estudiantes en cadaprueba • Después de la aplicación de las pruebas, los docentes proceden al registro de las respuestas correctas de los estudiantes. Esta fase es parte integral de la evaluación porque permite el análisis de las respuestas y conduce a la reflexión y valoración de decisiones pedagógicas que respondan a cada contexto. • El docente responsable de la asignatura deberá realizar el registro de las respuestas correctas, para ello utilizará la plantilla propuesta en la que se indica el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta de cada ítem de la asignatura. • Cuando existan errores o ausencias de respuesta muy frecuentes en una misma sección, es importante verificar si los elementos referidos fueron estudiados y como se procedió. El docente podrá así establecer un diagnóstico y juzgar si es necesario o no desarrollar procedimientos de ayuda para algunos estudiantes. • Revisar en los resultados de cada estudiante, cuáles ítems no respondió correctamente para determinar cuáles contenidos son los que requieren de refuerzo académico, de esta manera se pueden formar grupos con dificultades en común para poder atenderlos con las actividades sugeridas. Asimismo, es importante identificar los puntos fuertes de cada uno con el propósito de poder tomarlos como apoyo en procesos de tutoría con otros estudiantes que tengan dificultades. Los resultados globales no tienen un significado importante, puesto que lo que se debe destacar no es cuántos respondió, si no cuáles no fueron respondidos correctamente, para planificar y orientar las actividades de refuerzo académico. • Estos resultados conciernen a grupos de alumnos y pueden constituir referencias, pero la dimensión diagnóstica de las evaluaciones toma toda su pertinencia cuando el docente se interesa en el alumno en toda su singularidad • Revisar las propuestas de actividades de refuerzo académico que se sugieren para los ítems, si están de acuerdo con éstas, desarrollarlas con los estudiantes que lo requieran; si usted tiene experiencia con otro tipo de actividades que le han resultado exitosas para el dominio de ciertos contenidos, puede aplicarla en su clase y compartirla con otros docentes en círculos de estudio.Actividades de Refuerzo para Matemática Página 4
  • 5. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D B B B A B D B A B D C C D C C A A A B C A C D D C C A A D C B C C C D C D B 1 2 3 4 5 6 7Actividades de Refuerzo para Matemática 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Respondieron correctamente al ítem PLANTILLA PARA EL REGISTRO DE LAS RESPUESTAS CORRECTAS Total de estudiantes quePágina 5 Ministerio de Educación Dirección Nacional de Educación
  • 6. Ministerio de Educación Dirección Nacional de EducaciónActividades de refuerzo académico sugeridas para que los estudiantessuperen las deficiencias mostradas en el desarrollo de los ítems de la prueba.ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 1 Y 2Bloque de contenido: Contenido: Indicadores de logro:Números y Números 1.6 (7º grado) Resuelve ordenadamente ejercicios deoperaciones enteros suma y/o resta de números enteros (aplicando la ley de los signos) 1.7 (8º grado) Resuelve problemas con seguridad, utilizando operaciones combinadas de números reales y signos de agrupación.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1) Desconoce las leyes de los signos 2) Desconoce las reglas para eliminar signos de agrupación. 3) Aplica la ley de los signos para la multiplicación cuando suma. 4) Aplica incorrectamente las leyes de los signos aun cuando elimina correctamente los signos de agrupación. 5) Interpreta incorrectamente el problema. 6) Se enfoca solo en una parte del problema.Actividad 1: Reforcemos saberes previos.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Iniciar la actividad reflexionando sobre la importante de aplicar correctamente las operaciones matemáticas en situaciones de la vida diaria, como las medidas de la temperatura, las alturas tomando como punto de partida el nivel del mar, etc.2. Reforzar los conocimientos previos que son necesarios en la solución de éste ítem, como los siguientes:Ley de los signos para la suma y la resta:Se debe hacer énfasis en que dicha ley es diferente a la aplicada en la multiplicación ydivisión, ya que los estudiantes suelen aplicarla de la misma manera.Para el caso de la suma y resta pueden darse los siguientes casos:Los números tienen el mismo signo: en este caso se suman los números y al resultadose le escribe el signo común.Ejemplos: 5 + 27 = 32 (El signo más de los números 5 y 32 no se escribe) - 8 – 35 = - 43Los números tienen signos diferentes: en este caso se restan y el minuendo será lacantidad de mayor valor absoluto. Al resultado se le colocará el signo de esta cantidad.Ejemplo: 5 – 27 = - 22, ya que 27 es el mayor valor absoluto y posee signo menos. 18 – 11 = 7, ya que 18 es el mayor valor absoluto y posee signo más.Actividades de Refuerzo para Matemática Página 6
  • 7. Ley de los signos para la multiplicación y divisiónHacer énfasis en identificar la operación que se desea realizar, para no confundir la leyde los signos. La ley es la misma para la multiplicación y la división y nos dice que almultiplicar o dividir cantidades con signos iguales se obtiene una cantidad con valorpositivo y al multiplicar o dividir cantidades con signos contrarios se obtiene unacantidad con signo negativo.Tener en cuenta que dicha ley aplica de dos en dos.Jerarquía de las operacionesCuando se presentan operaciones combinadas, primero se efectúan potencias, luegoproductos y/o divisiones, por último sumas y restas.1. Completar la siguiente tabla: a +5 -7 +31 -52 -17 +19 -41 +13 -5 -8 b -13 -12 -11 0 -10 -9 +20 +21 0 -23 a+b a-b2. Simplificar cada una de las expresiones siguientes: a) 4 – 2- ( 8 – 12 ) b) ( -36) + ( +15) – ( -13 ) + ( +25 ) c) 3 - [ 2 – ( 4 – 5 – 8 ) – ( 2 + 3 – 9 ) ] d) (-5 + 4 – 10 + 25) – (4 – 15) + (8 – 15 -19) e) 13 - [-8 – (- 4 +3 -8 ] + (15 – 20)- (13 – 40) f) -20 – [ (13 + 12) + 15 – (1 – 8 – 9 + 3)] g) 19 – 3 - [6 – (5 – 3) – (2 + 1) + (5 – 3) ]  h) 15 - [- (3 + 4 – 7) + (2 – 20 + 18)] + (3 – 5 – 10 – 7)3. Resolver los siguientes problemas: a. Si la construcción de una pirámide duró 200 años y fue iniciada en el año 152 a.C. ¿en qué año finalizó su construcción? o b. A las 10 de la mañana el termómetro marcó 13 C, a las 2 de la tarde la o temperatura aumentó 10 C y luego disminuyó continuamente hasta alcanzar una o disminución total de 15 C a las 8 de la noche. Expresar la temperatura en grados centígrados a las 8 de la noche. c. Si se toma como origen para medir tiempo el 12 de julio de 1992 a las cero horas y se escoge como unidad de tiempo la hora, ¿cuál es la fecha y la hora que corresponden a los siguientes números enteros? 1) 25 2) -73 3) 105
  • 8. d. Completar con números enteros el siguiente cuadrado mágico, si la suma de sus filas, columnas y diagonales es -10. 5 -9 2 0 -3 -2 -4 -7 -10Actividad 2: Reduzco expresiones aritméticas con números realesDescripción:Reforzar las operaciones básicas con fracciones, luego proporcionar una serie deejercicios de sumas y restas de fracciones de igual y distinto denominador.a) Cuando multiplicamos fracciones se debe multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador. Hacer énfasis en que un número entero puede expresarse como una fracción, agregándole uno en el denominador.Ejemplos: 5( 6 ) = ( 5 )( 6 ) ( 2)( ( 2 )( 7 ) 4) = 8 30 =42 =3 4 (3)( 7) 21 =7 1 7 7 7b) Cuando sumamos o restamos fracciones homogéneas se operan los numeradores y al resultado obtenido se le coloca el mismo denominador. Ejemplo: Realizar la siguiente operación: 1 3 4 3 + + 5 3 1 3 + 4 + 5 = 1+ 34+5 = 130 = 3 31 3 3c) Cuando sumamos o restamos fracciones heterogéneas (de distinto denominado) se busca que el denominador sea el mismo para operarlas como fracciones homogéneas.Ejemplo: 1 2 −3+7 5 4 El denominador común debe ser 20 (mcm) 20( ) )− 20( )+ 20( = 10 12 35 = 33 = 1 13
  • 9. 20 Multiplicamos cada fracción1 3 7 − + por el mcm2 5 4 20 20 20
  • 10. Ejercicios:a) Identificar si cada fracción es homogénea o heterogénea y encontrar el resultado. 5. 1 4 + 1+ 4 5 4 4. 1 −3 +7 2 7 4 1 6. 3 + 7+ 8 4 5 5. 1 +3+7 2 5 4 1 + 4− 5 7. 3 3 3b) Operar considerando la prioridad de las operaciones y las leyes de los signos. 3 1. 4 − 5 (2) 2 5. 5+5 −1 7 4 2. 5 − 3 + 3 52 1 6. 3 − 41 3. ( 2 )(4 ) +7 − 14 3 7 5 7. ( 2 )(4 ) +7 − 14 3 7 5 1 + ( )( ) − 3( 4 ) + 1 −41 2 7 5 8. 7 4. 3 4 7 4c) Resolver los siguientes problemas: a) José tiene $6 más que Juan, si Juan tiene $28 ¿Cuánto dinero tienen entre los dos? b) Carmen tiene de lo que tiene Oscar. Si Oscar tiene $70. Entonces, ¿cuánto tiene Carmen? c) Por el costo total de las llamadas que realizo en cada mes, la empresa de telefonía me hace un descuento de la cuarta parte de lo que consumo. Si en un mes gasté $18 ¿Cuánto pagué en total?Fuente de información:Dimensión. Matemática 7.Nelson Londoño, Hugo Guarín, Hernando Bedoya.Grupo Editorial Norma Educativa.ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 3Bloque de Contenido: Regla Indicador de logro:contenido: Números de tres simple 5.12 (7º grado) Resuelve y explica cony operaciones interés ejercicios y problemas usando la regla de tres directa o inversa.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Muestra dificultad para entender el problema (lectura comprensiva). 2. No asocia el problema con proporcionalidad ni con la regla de tres directa.
  • 11. 3. Escribe diferentes unidades en la misma columna al plantear la regla de tres. 4. Resuelve la regla de tres directa como si se tratara de inversa.Actividad 1: Reforcemos saberes previos.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad 1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo 2. Solicitar que elaboren la gráfica del volumen en función del tiempo, con los valores presentados en la tabla que aparece en la guía. 3. Escribir las características de las gráficas de magnitudes que son directamente proporcionales.Reflexionar ante la situación: Un recipiente se está llenando con un líquido, de talmanera que cada segundo aumenta 3 litros.En la situación se pueden distinguir dos magnitudes (volumen y tiempo) y se quiereconocer la relación entre ellas.Observa la tabla: Tiempo (T) 1 2 3 4 … 10 15 en segundos Volumen (V) 3 6 9 12 … ? ? en litros¿Cómo podemos hacer para saber si las magnitudes guardan alguna relación?Completa la razón del volumen y el tiempo ( V/T) ( V/T) 3/1 6/2 … K 3 3 … ? ?Cuáles son los volúmenes que corresponden 10 y 15 segundos respectivamente.En generalSi la magnitud A toma valore x1, x2, x3, …y la magnitud B toma valores y1, y2,y3,…decimos entonces que A es directamente proporcional B si se cumple que: y1 y2 y2 y = = = … = constante, es decir =K ⇒ y = k. x x1 x2 x3 xMagnitudes inversamente proporcionalesCompleta la tabla de la velocidad que necesita un vehículo para que en determinadotiempo recorra cierta distancia. Velocidad (V) 100 50 25 10 en km/h Magnitudes Tiempo (t) 1 2 4 10 en horas (h) Distancia (d) 100 ? ? ? d=vtPuedes observar que la constante se obtiene en este caso multiplicando k = v t
  • 12. Ejercicio: Clasifica cada una de las siguientes proporcionalidades en directa o inversa. a) El precio de un artículo y el número de artículo b) El tiempo empleado y la distancia recorrida c) El volumen y la presión de un gas d) La base y la altura de un rectángulo (si el área es la misma)Actividad 2: Cálculo en la solución de problemaDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadObserva los siguientes ejemplos y escribe el resultado del cálculo. Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversaLa rueda de un automóvil recorre 15 m En una fábrica 12 obreros hacen cierto trabajo encada 10 vueltas, ¿cuántas vueltas dará al 15 horas. ¿Cuánto tiempo demoran 5 obreros enrecorrer 75 m? efectuar ese trabajo, en las mismas condiciones?Solución Solución Magnitudes Magnitudes Distancia N de vueltas N de obreros Tiempo 15 10 75 x 12 15 5 xSe puede observar que si la distanciaaumenta el número de vuelta aumenta en Si al disminuir el número de obreros, el tiempola misma proporción, entonces la las aumenta en la misma proporción las magnitudesmagnitudes son directamente son inversamente proporcionalesproporcionales Entonces x = = (75)(10) (15)(12)Entonces x = = 15 R/ los 5 obreros real5izan la obra en díasR/ La rueda dará vueltasNota: En la respuesta escribimos siempre la unidad de medida.Resuelve los problemas siguientes: a) Ana vio un rayo que quema un árbol a una distancia de 2,380 m y escucho el trueno pasado 7 segundos. ¿Cuántos metros recorre el sonido en 1 segundo? b) Para un viaje en alta mar un barco con una tripulación de 8 personas dispone de alimentos para 15 días. ¿Para cuántos días alcanzará la ración de alimentos si en el barco viajarán 10 personas? c) Si un grifo vierte 1.2 litros de agua por segundo y tarda 18 horas en llenar un estanque. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarlo si vertiera 0.9 litros por segundo? d) Un estanque de 2.5 m de profundidad contiene 85,000 litros de agua cuando está lleno. Si el nivel de agua baja 1.8 m, ¿qué cantidad de agua contiene?Fuente de información a. http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres b. http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/´Proporcionalidad c. http://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530 d. Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición. Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008
  • 13. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 4Bloque de Contenido: Indicador de logro:contenido: Conversión de 4.6 (1er. año de bachillerato) MuestraGeometría ángulos de grados confianza al convertir ángulos expresados a radianes en grados a radianes y viceversa, utilizando los factores de conversión.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Le falta dominio de la regla de tres simple y su respectiva interiorización, la cual debe ser una pauta para aplicar los factores de conversión de forma significativa y no mecánica. 2. No tiene dominio de la equivalencia entre grados y radianes.Actividad 1: Reforcemos saberes previosRecursos: Representaciones gráficas para visualizar las agujas del reloj.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividadA partir del siguiente problema se debe orientar a los estudiantes a que enumeren loque necesitan y con lo que cuentan para resolver este tipo de problemas (asociación oentre los 360 de una vuelta entera y las particiones que corresponde a cada hora,equivalencias entre grados y radianes, métodos de conversión de una a otra unidad,etc.), esto les permitirá integrar sus saberes, y no verlos de forma aislada, sin utilizar losrecursos que ya poseen.El reloj de la torre de la iglesia, marca la 1 de la tarde, formando un ángulo con las dosmanecillas. ¿De cuántos grados es el ángulo que forman? Representa ese mismoángulo en radianes.Para resolver: a) Recuerda la equivalencia de 1 radián en grados, de la relación 360º entre 2 π b) Realizar una tabla de los valores deπ y su equivalencia en grados; para hacer una comparación del sistema sexagesimal y el sistema circular.Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo o ode 360 equivale a 2π radianes; un ángulo de 180 equivale a π radianes (recordemosque el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principalesángulos se muestran en las siguientes tres figuras:
  • 14. Actividad 2: Realicemos conversionesDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad oPara convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180 equivalen a πradianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos. o a) Convertir 38 a radianes. b) Convertir 2.4 radianes a grados.Primero planteamos la regla de tres. Primero planteamos la regla de tres.Nótese que la x va arriba, en la Nótese que la x va abajo, en laposición de los radianes. posición de los grados. π 180 = x 38 π 180 = 24 xDespejamos x, también simplificamos. Despejamos x. 3 8π x= 180 = 190 9π x= 180( 24) πPor último obtenemos el equivalente Por último obtenemos el equivalentedecimal con calculadora: decimal con calculadora: ox = 0.6632 radianes x = 137.5099 Convertir de Grados a Radianes Convertir de Radianes a Grados Grados Radianes Radianes Grados o 38 0.79483 Rad o 147 15’ 3.54209 Rad o 250 30’ 45” 1.1680 Rad o 72 4.5836 Rad o 201 50’ 2.22106 Rad o 322 14’ 10” 0.8670 Rad o 30 1.8536 Rad o 150 40’ 3.1558 Rad o 189 30’ 58” 6.5438 RadFuente de informaciónMc graw Hill, México 1996www. didactika.comwww.descartes.com
  • 15. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 5Bloque de Contenido: Sector Indicador de logro:contenido: circular 5.10 (8’ grado): Determina, explica y usa conGeometría seguridad la fórmula para el cálculo del área de un sector circular.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Desconoce la fórmula del área del círculo 2. Desconoce la fórmula para encontrar el sector circular 3. Dificultad al aplicar la fórmula del sector circular 4. No hay conocimiento de los elementos necesarios para encontrar el área de un sector circular.Actividad 1. Reforcemos saberes previosRecursos: Compás, regla, colores, tijeras, pegamento y círculos en papel bond.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad¿Cómo encontrar el área de un círculo deduciendo la fórmula?1. Presentar círculos en papel bond divididos inicialmente en cuatro partes iguales, trazando diámetros, pintar la mitad de un color y la otra mitad de otro color, recortar cada sector y colocar en forma invertida (ver figura). Realizar el mismo proceso con los otros círculos dividiéndolos en ocho, dieciséis y treinta y dos partes.2. Apoyar la actividad con preguntas pertinentes al contenido como: ¿A qué figura geométrica se parece? ¿Qué relación puedes hacer de las dimensiones del rectángulo con las del círculo?3. Recordar como se deduce la fórmula para encontrar el área de un círculo Construye un círculo de papel y piensa en la forma para encontrar el área.Solicitar que observen como se transforma un círculo en la medida que se dividensectores de 8, 16, 32 y 64.
  • 16. Cuanto más se sectoriza el círculo, ¿a qué figura se parece? La figura compuesta por los sectores se aproxima a un rectángulo. El ancho del rectángulo coincide con el radio del círculo. El largo del rectángulo coincide con la mitad de la longitud de la circunferenciaRelaciona con una línea las expresiones de la izquierda con las de la derecha y deducela fórmula del área del círculo.Largo del rectángulo Radio x radio x πAncho del rectángulo Radio x 3.1416Mitad de la circunferencia Diámetro x 3.1416 ÷ 2Diámetro x 3.1416 ÷ 2 Radio de la circunferenciaÁrea de la circunferencia Mitad de la circunferencia A= π r 2 Para encontrar el área de un sector circular, tienes que conocer la longitud del radio y el ángulo central en grados. Con estos datos utiliza la fórmula: Donde es el ángulo interno del sector, medido en grados.
  • 17. Actividad 2: Resolvamos ejercicios y problemas aplicando la fórmulaDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadAplica la fórmula para encontrar el área de círculos y sectores circulares.1- Encuentra el radio y el área de los círculos cuyas circunferencias tienen las siguientes medidas: a) 62.8 cm b) 12.65 cm c) 47.12- Observa las figuras y calcula el área de las partes sombreadas3- Encuentra el área de los siguientes sectores. b)4- Encuentra el área de un semicírculo cuyo radio mide 4cm.5- Encuentra el área de un sector circular con ángulo central de 60º y radio de 5cmFuente de información:Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición.Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 6, 7 y 8Bloque de Contenido Indicadores de logros:contenido: conceptual: 3.1 (8º grado) Construye con precisión yGeometría Triángulos. aseo triángulos; los clasifica, describe y Clasificación y explica según sus lados y ángulos. teoremas 3.3 (8º grado) Resuelve con precisión problemas aplicando el teorema; “la suma de los ángulos exteriores de un triángulo o es igual a 360 ”Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Desconoce la clasificación de los triángulos en relación a sus ángulos. 2. No examina cuidadosamente todos los ángulos. 3. Desconoce las características claves para identificar cuando un triángulo es acutángulo o rectángulo.
  • 18. 4. No encuentra coherencia entre la representación del triángulo y los datos que éste contiene. 5. No tiene dominio de las características de un triángulo isósceles. 6. Desconoce los teoremas de los triángulos. 7. Confunde los distintos teoremas. 8. Tiene dificultad para plantear y resolver una ecuación lineal. 9. Muestra dificultad en la comprensión del problema (lectura comprensiva).Actividad 1: Clasificando triángulosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadPresentar el siguiente esquema, y que se discuta la información que contiene.En la clasificación “por sus ángulos”, que compartan las razones por las queconsideran que el triángulo acutángulo es presentado de esa manera y que a partir deello, dibujen el triángulo obtusángulo, y discutan los resultados.Discutir de forma semejante la parte izquierda del esquema. Clasificando los triángulosActividad 2: Apliquemos la clasificaciónDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. En parejas o tríos, que discutan, complementen, definan o justifiquen y se pongan de acuerdo sobre los siguientes las siguientes tareas. a) Define qué es un triángulo isósceles. b) ¿Cuándo un triángulo es obtusángulo? c) ¿Cuántos ángulos rectos puede tener un triángulo? Escribe las razones de tu respuesta. d) ¿Cuántos grados suman los tres ángulos interiores de un triángulo? Ejemplifica tu respuesta.
  • 19. e) Con la ayuda de un reloj de agujas, representa los diferentes ángulos que conoces; utilizando dibujos para cada ángulo, marcando la hora del reloj que forme dicho ángulo. f) Si el reloj marca las 12:00 hrs, ¿cómo se llama el ángulo que forman las agujas? g) Si las 3 manecillas del reloj, se encuentran en diferente posición. ¿Qué nombre reciben los ángulos que forman? h) En tu reloj marca las 3 de la tarde. ¿Qué ángulo forman las manecillas en esa hora? ¿Qué nombre recibe ese ángulo?2. Escribir la clasificación del triángulo de acuerdo a lo que se solicita. Según sus lados Según sus ángulosActividad 3: Apliquemos teoremasDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Resolver ecuaciones lineales, considerando los errores más comunes en los y las estudiantes. d) 7x + 13 – 9x = 8x – 3x – 8 d) x + 3(x-2) = 2x – 4 e) 11x + 5x – 1 = 65x – 36 4x e) 36 – =8 f) 2y – 99 – 5y + 9y = 128 – 5y – 7 92. Orientar la resolución de los ejercicios pero dejar que sean los estudiantes quienes resuelvan. a) Pedir a los y las estudiantes que investiguen los distintos teoremas con que cumplen los triángulos y las definiciones de ángulos complementarios y suplementarios. b) Además se recomienda efectuar en clase lectura y planteamiento de diversos problemas (lógicos, algebraicos, aritméticos, etc.), para mejorar en la lectura comprensiva.
  • 20. 3. Hallar el valor de los ángulos aplicando los diferentes teoremas. C o o 65 30 o o oA 50 35 B y x 40 R Z o 30 o 58 o P 60 Q o q’ X 65 y x’ Y C T 5x t 3x 4x R r s S o o A B 140 70Actividad 4: Resolvamos problemasDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadResolver los siguientes problemas:1. Si uno de los ángulos de un triángulo es el doble del ángulo más pequeño y el tercer ángulo es tres veces el ángulo más pequeño. Encontrar la medida de cada ángulo interior y su correspondiente ángulo exterior. o2. Un ángulo externo a la base de un triángulo isósceles mide 155 . ¿Cuánto mide el ángulo vértice? o3. En un triángulo ∆ ABC, <A = 5x, <B = 7x y <C = 36 . Encontrar las medidas de <A y <B.4. Dos ángulos están en relación 3:2. Si se les presenta por 3x y 2x, hallar el valor de los ángulos si: o a) Los ángulos son adyacentes y forman un ángulo de 60 b) Los ángulos son complementarios
  • 21. c) Los ángulos son suplementarios d) Los ángulos pertenecen a un triángulo cuyo tercer ángulo es la suma de los dos ángulos dados.5. Encontrar la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son: a) 67 y 47 b) 22 y 135 c) a y 2aFuente de información:Matemática 3 Geometria y TrigonometriaOrtiz Campos. Publicaciones CulturalesAlgebra. Luis María OrmaecheaUCA Editores 1989.ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 9Bloque de Contenido: Indicador de logro:contenido: Teorema de 3.25 (8º grado) Resuelve problemasGeometría Pitágoras aplicando el Teorema de Pitágoras, en cooperación con sus compañeros.Causas posible por las que el estudiante no contestó bien el ítem 1. No identifica el triángulo rectángulo. 2. No asocia el problema con el Teorema de Pitágoras. 3. Aplica incorrectamente el Teorema de Pitágoras. 4. Dificultad para encontrar el perímetro de la figura.Actividad 1: Juguemos con TriángulosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEn el cuadro siguiente se te presenta la clasificación de los triángulos según sus lados ysus ángulos. Clasificación de los Triángulos Triángulo rectángulo Triángulo acutángulo Triángulo obtusánguloSegún lamedida desus lados Uno de sus ángulos Todos sus ángulos Uno de sus ángulos es recto son agudos es obtuso
  • 22. Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo escalenoSegún lamedida desus lados Todos sus lados son Dos de sus lados son No tiene lados de iguales iguales igual tamañoUsando la clasificación anterior, marca con una “X” la columna de verdadero o falso deacuerdo a la proposición presentada. Justifica tu respuesta. Proposición V F JustificaciónTodo triángulo equilátero es isósceles Algunos triángulos equiláteros sonobtusángulosAlgunos triángulos rectángulos sonisóscelesTodo triángulo isósceles es acutánguloAlgunos triángulos rectángulos sonescálenosTodo triángulo obtusángulo es escalenoActividad 2: Construyamos el cuadrado de la hipotenusaDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadFormar equipos de trabajo y entregar a cada uno, la copia de una de las siguientesfiguras para que los estudiantes las recorten y comprueben el Teorema de Pitágoras.
  • 23. Actividad 3: Apliquemos el Teorema de PitágorasDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEncuentra el valor de la incógnita aplicando el Teorema de Pitágoras.a) 12 b) 8 15 s 13 pActividad 4: Encontremos el perímetroEsta actividad se sugiere para aquellos casos en que los estudiantes aplican elTeorema de Pitágoras pero no recuerdan como encontrar el perímetro de la figura.Ejercicio:Un topógrafo mide un terreno con forma de triángulo rectángulo. Los dos lados queforman el ángulo recto miden 21m y 28m respectivamente. ¿Cuántos metros mide elperímetro del terreno?Fuente de informaciónwww.roble.pntic.mec.es/jarran2/.../teoremapitagoras.htm
  • 24. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 10Bloque de Contenido: Indicador de logro:contenidos: Fracciones 3.7 (7º grado): Resuelve con seguridadNúmeros y complejas problemas aplicando las operacionesOperaciones fundamentales de los números fraccionarios.Causas posibles por que los estudiantes no contestaron bien el ítem. 1. Dificultad en la interpretación del problema. 2. Dificultad para establecer el orden de prioridad en el problema. 3. No recuerda el algoritmo de las operaciones con números fraccionarios. 4. Dificultad para convertir números mixtos a fracción impropia.Actividad 1. Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo2. Entregar información sobre la clasificación de los números fraccionarios.3. Pedir que elaboren un mapa conceptual de acuerdo a la clasificación de los números fraccionarios4. Solicitar que realicen una descripción de los procesos que se realizan para convertir fracciones mixtas a fracciones impropias, sumar fracciones con igual y distinto denominador y aplicar dichos procedimientos en la solución de la actividad 1.Se presenta la siguiente situaciónCarmen preparó jugo de naranja y midió la cantidad 1l 1l 1l¿Cuántos litros de jugo hay en el recipiente de la derecha? R ¾ l¿Cómo podemos representar la cantidad total de jugo 3R: Hay 2 l y ¾ de jugo la cantidad total se escribe 2 l y se lee “dos tres cuartos de 4litro”.Se llama fracción impropia si el numerador es mayor que el denominador. 1 7Ejemplo: 2 = 3 3
  • 25. Actividad 2: Juguemos con fraccionesDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadCompleta los espacio que faltan, observa que en los extremos de la figura estánescritos los recíprocos de los números naturales. En los otros espacios se coloca lasuma de las dos fracciones sobre las que se apoya.Ver ejemplo. 1 1 1 1 2 2 1 1 1 3 ? 1 2 2 3 1 1 1 3 6 3 Para escribir el número que corresponde, buscamos la 1 1 1 4 4 fracción que al sumarla con el resultado es 1 3 2 1 5 1 1 La fracción que hace falta en este caso es 1 5 1 6 6 6 1 1 1 + = 6 3 2Une la figura que contiene la operación indicada con la del resultado. 5 2 2 3 1 6 + − 8 4 3 11 1 2 1 2 +1 −1 40 2 4 6  2 + 1   3. 1  2    3 3 45 2
  • 26. Observa la figura y calcula el área que se te indicaÁrea de una pierna = Área del tronco =Área de las dos piernas = Área de un brazo =Compruebe los resultados de las operaciones siguientes 1 1 1  3 7 3 1 8 + − 3a)  +  ÷  x  R/ 12 b) 2 3 4 R/ 5 4 8 2 15 1 3 16 2 ÷ 3 4Resuelve 5 1a) En una caja hay 90 tornillos, del total son grandes, del total son medianos y 15 3 6 del total son pequeños. ¿Cuántos tornillos hay de cada clase? 18 2 1b) En una clase de 40 alumnos, son de la zona oriental de la zona occidental y el 5 4 resto de la zona central. ¿Cuántos alumnos hay de cada regiónFuente de información:http://www.vitutor.net/2/3/4.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3nMatemática 5, Colección Cipotas y Cipotes; MINED, 2007, Pág. 66 - 81
  • 27. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 11Bloque de Contenido: Indicador de logro:contenido: Semejanza de 3.19 (8° grado) Determina, explica y aplicaGeometría y triángulos con seguridad la semejanza demedidas triángulos, mostrando confianza.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Tiene problemas para despejar la variable en una ecuación fraccionaria (proporción). 2. Plantea la proporcionalidad sin considerar que el producto de los extremos (o de los medios) debe incluir la sombra de uno de los objetos y la altura del otro. 3. Desconocimiento de la relación entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas. 4. No lo relaciona con semejanza de triángulos por tratarse de figuras separadas.Actividad 1: Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEs importante asegurar que los estudiantes tengan dominio de los saberes previos, porlas siguientes causas: a) El dominio de ángulos entre paralelas es la base para establecer la semejanza. b) Para resolver el problema deben encontrar el valor de x en una igualdad, ya sea que se encuentre como numerador o denominador y en cualquiera de los lados de la igualdad. c) La congruencia tiene como base el planteamiento de proporciones.El dominio de estos saberes puede observarse en ejemplos como los siguientes: • Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:500,000; es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad. Note que el mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real. • La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad. • Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8 pulgadas. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción,
  • 28. ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor. • Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro).Actividad 2: Encontremos congruencias en un triángulo trazandoparalelasRecursos: Cartulina y estuche de geometría para trazar triángulos.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEs más fácil que los estudiantes observen la congruencia de los ángulos cuando setraza una paralela a cualquiera de los lados ya sea adentro o afuera del triángulo.Debe aprovecharse este momento para insistir en los casos de semejanza y quecompruebe la congruencia de los ángulos (de ser necesario recortándolos).Ejemplos: b) H a l l a r l a l o n g i t u d da) H a l l a r l a s m e d i d a s d e x silas rectas a, b e lossegmentos a y b y c son . paralelas.Actividad 3: Encontremos congruencias comparando dos triángulosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEs difícil para los estudiantes ver la proporcionalidad cuando los triángulos estánseparados (como en el ítem) o unidos solo por un vértice.
  • 29. A B A BEstos ejercicios deben razonarse, ayuda mucho calcar los triángulos y colocarlos de laforma que ellos mejor comprenden.Ejemplos: a) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m? b) ¿Son semejantes los siguientes triángulos?Fuente de información: es.wikipedia.org/wiki/Triángulos_semejantesACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 12 y 13Bloque de Contenido: Indicador de logro:contenido: Presentación y 2.26 (1er. año): Resuelve problemasEstadística organización de interpretando la información extraída y datos presentada, mostrando interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas estadísticos distintos a los propios.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem 1. Interpretan erróneamente los datos al no tomar en cuenta que los ingresos inician en -1. 2. Interpretan incorrectamente los datos proporcionados al no relacionar el grafico y el titulo del grafico. 3. Tiene dificultad al aplicar la regla de tres.
  • 30. Actividad 1: Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadRecordar la proporcionalidad directa e inversa y presentar ejercicios donde sepractique las proporciones y la regla de tres.En el planteamiento de la regla de tres asegura que los datos que tienen las mismasunidades estén en la misma columna.¿Cómo encuentras el porcentaje de una cantidad y cómo encuentras la cantidad quecorresponde a un porcentaje?Ejemplos:1. Si de 100 estudiantes el 40% son niños y el 60% son niñas. ¿Cuántas son niñas y cuántos son niños? Cuando la proporcionalidad es directa se multiplica en diagonal Esto significa que habría 40 niños y 60 niñas.2. En la votación para elegir al delegado de la clase, Carlos ha obtenido el 32% de los votos, Carmen el 46% y Ana el 22%.¿Cuántos votos han obtenido cada uno, si el total del alumnado es de 200?Recuerda, que para calcular el tanto por ciento de una determinada cantidadmultiplicamos dicha cantidad por la fracción que representa el tanto por ciento.Ejemplo:En un partido de baloncesto el porcentaje de acierto en canastas de dos puntos de miequipo ha sido del 40%. Si hemos lanzado canastas de dos puntos en 30 ocasiones,¿cuántas canastas hemos hecho? ¿Y cuántas veces hemos fallado?Para saber las canastas de dos puntos que hemos acertado, tenemos que hallar el 40%de 30, el cual se obtiene de la siguiente manera: 30( 100) = (30)(40) = 40 100 12 0 100 = 12Para calcular las que hemos fallado, lo podemos hacer de dos maneras: 1) La forma más sencilla y rápida es restar del total de lanzamientos las que sí hemos acertado: 30 – 12 = 18 fallos
  • 31. 2) También podemos calcular el porcentaje de fallos y hallar lo que supone sobre el total de lanzamientos: Si el 40% son aciertos → el 100% - 40% = 60% será de fallos. El 60% de 30 es: 18 R: 18 fallosActividad 2: Leamos e interpretemos gráficosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEl docente encargado de la clase proporcionará una serie de gráficos de los cualespedirá a los estudiantes dar cualquier interpretación con respecto a una barra ocualquier otro elemento de un gráfico.Se debe recalcar que todo gráfico debe contener los siguientes aspectos: • Título • Leyendas en los ejes • Nombrar las clases o los datos representados en el gráfico.Observa el siguiente gráfico y responde las preguntas a) ¿Cuánto incremento el ingreso entre el 2001 y el 2002? b) ¿Cuánto es la diferencia entre los ingresos de 1999 y el 2003? c) ¿Cuánto incrementaron los ingresos de 1999 y al 2002? d) ¿Entre qué años los ingresos disminuyeron $ 40 millones?Observa el gráfico circular
  • 32. Para los sectores del gráfico anterior, menciona dos comparaciones que consideresrelevantes.Calcula: a) El total de personas que deciden ir al parque b) Las personas que deciden ver la televisión c) El total de personas que se quedan a dormir y los que hacen deporte.Observa el gráficoContesta: a) ¿Cuál es el ganado que se encuentra en menor cantidad, en la región? b) ¿Qué ganado es un poco más del doble del ganado ovino? c) Si el total de ganado de dicha región fuera de 250,600 cabezas ¿Cuántas cabezas serían del ganado porcino?Fuentes de información: http://www.cdc-cap.org/http://www.bves.com.sv/estados/index.phphttp://www.marn.gob.sv/?fath=532&categoria=532http://www.bcr.gob.sv
  • 33. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 14 y 17Bloque de Contenidos: Indicadores de logro:contenido: Medidas de 8.20 (8° grado) Resuelve cooperando con susEstadística tendencia central compañeros problemas aplicando la media y coeficiente de aritmética. variabilidad 5.5 (1er año) Resuelve problemas, con perseverancia y autonomía, aplicando la media aritmética ponderada. 8.12 (1er año) Resuelve problemas con orden, aplicando el coeficiente de variabilidad a situaciones reales.Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems: 1. Comprende la media aritmética en una serie simple pero no en una ponderada. 2. No establece diferencia entre los datos y su frecuencia. 3. No interpreta el valor resumen, como aquel que sustituido por cada uno de los datos produce una suma igual que cada uno de los datos originales 4. Desconocimiento del cálculo del coeficiente de variabilidad. 5. Interpretación errónea del coeficiente de variabilidad.Actividad 1: Encontremos medidas de tendencia centralDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadDebemos procurar un dominio manipulativo de la fórmula, pero además realizar unanálisis interpretativo de las variables que involucra dicha fórmula. Por ejemplo, al ver lafórmula de la media aritmética simple X = ∑ xi y la fórmula de la media aritmética para ndistribuciones de frecuencia y su interpretación como una media ponderadaX = ∑x i fi  x =  fi xw , observamos que la segunda no es más que la= ∑ i= f  ∑ ∑f ∑ i i i i  multiplicación de cada variable por su peso relativo.Las expresiones n X = ∑ xi y x(∑ f i ) = ∑ xi f i dimensionalmente deben ser iguales, paraque esto se cumpla debe ocurrir que n , debe ser adimensional y X e ∑ xi debentener las mismas dimensiones (años, valor de una calificación, estatura, etc.). Ademásindica que el valor de la media multiplicado por la cantidad de datosPor ejemplo: Si hay tres personas con edades de 7, 10 y 31 años, su edad promedioes16 años. Dicho valor multiplicado por tres proporciona tantos años como la suma de lasedades de cada una de las tres personas.Aunque el concepto de la media es relativamente sencillo debe analizarse hasta dondesea posible en cuanto a las dimensiones o tipo de variable que involucra.
  • 34. Ejemplo:En un taller de carpintería, se producen tres tipos de sillas a diferentes precios y encantidades distintas. Determine el costo promedio de una silla vendida. Cantidad Precio ($) 50 15 80 20 20 40Ese costo promedio debe ser tal que si se multiplica por la cantidad de sillas, generatanto dinero como el que genera cada grupo de sillas a su respectivo precio. Calculemos el p recio total de las sillas $(total ) = ($15 × 50 + $20 × 80 + $40 × 20) $(total ) = $3150Si se compran 150 sillas a $21 cada una, se obtienen $3150, que es la misma cantidadde dinero que se pagó comprando tres tipos de sillas a precios distintos.Ejercicio:Se compran tres sillas de distinto tipo, los precios fueron $15, $20 y $40, a) ¿Cuánto se pagó por las tres sillas? b) ¿Cuál fue el valor promedio de las tres sillas? c) Si se hubieran comprado tres sillas de un precio igual al del valor promedio, ¿cuánto se hubiera pagado por las tres? d) ¿Qué conclusión obtienes?Actividad 2: Practiquemos la obtención del coeficiente de variabilidadDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadProporcionar situaciones del contexto donde aplique contenidos que ayuden a lograr elindicador propuesto.El coeficiente de variación, nos permite comparar la variabilidad entre dos distribucionesdistintas, con el fin de determinar cuál de ellas tiene una menor o mayor variabilidadrelativa. Representa la proporción geométrica entre la media aritmética y la desviacióntípica o estándar.Donde s es la desviación típica o estándar y la media aritmética o promedio.Entre mayor es el coeficiente de variabilidad, mayor será la variabilidad o dispersión delos datos.1) Obtener el coeficiente de variabilidad en los casos siguientes s CV 1.15 24.8 0.45 6.15 3.15 75.15 4.48 204
  • 35. 2) Completar la siguiente tabla s CV 24.8 0.24 0.45 0.17 0.94 5.15 1.46 10.44 3) Resolver los siguientes problemas a) En una fábrica de tela el promedio mensual de los salarios es de $225.95 con una desviación típica de $56.85. Si una fábrica de confección de ropa tiene el mismo promedio, pero su desviación típica es de $28.95. ¿En cuál fábrica es preferible trabajar? b) A continuación se presentan los promedios de notas y desviaciones típicas de dos centros escolares. Centro Escolar “A”: promedio 7.3 y desviación típica 1.8 Centro Escolar “B”: promedio 8.1 y desviación típica 2.8 ¿En cuál de las dos instituciones la media aritmética es más representativa?Fuente de información:Matemática primer año de bachillerato. Aguilera Liborio, RaúlACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 15 y 16Bloque de Contenido: Indicador de logro:contenido: Medidas de 6.6 (1er. año) Resuelve con seguridadEstadística posición problemas que requieran de cuartiles, deciles y percentilesCausas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems: 1. Dificultad en la interpretación de las medidas. 2. Confusión entre las diferentes medidas. 3. Errores en procedimientos y cálculos.Actividad 1. Reforcemos saberes previosRecursos: Texto de consulta.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEn muchas ocasiones necesitamos conocer el valor del dato ubicado en unadeterminada posición en la serie ordenada de datos. En estos casos se realiza elcálculo de las medidas de posición: cuartiles, deciles y percentiles.Los cuartiles son valores que dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Entrecada dos de ellos estará el 25% de los datos.
  • 36. Los deciles son valores que dividen la serie en diez partes iguales. El porcentaje dedatos entre ellos es del 10%.Los percentiles son valores que dividen la serie en cien partes iguales. Cada unoseparado del otro por un 1% de los datos.El cálculo de estos parámetros, tanto para variables discretas como para variablescontinuas, se hace de forma similar al cálculo de la mediana.Ejercicio: Investiga 3 situaciones del contexto en que se apliquen estas medidas.Actividad 2. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datossimples y ponderados.Recursos: Texto de consulta.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividadAl resolver los ejercicios haga énfasis no solo en el cálculo, sino también en lo que cadaresultado representa.1) Las edades de veinte jóvenes son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11, 13, 12, 10 y 15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias y calcula: a) El cuartil 1 b) Los deciles 1 y 6 c) Los percentiles 35 y 802) El número de turistas que visitaron un parque de diversiones en distintas fechas es: 12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38, 40, 43, 41, 45, 50, 53, 58. Calcular: a) los cuartiles 2 y 3 b) los deciles 2 y 7 c) los percentiles 35, 60 y 953) La siguiente distribución, corresponde a las notas finales obtenidas por un curso de 30 personas en un curso de estadística: x 1 2 3 4 5 6 7 f 3 6 7 7 5 0 4 Calcular: a) Los cuartiles 1, 2 y 3 b) ¿Qué calificación limita el 40% inferior?Actividad 3. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datosagrupados.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividadAntes de iniciar con el cálculo, debe establecer la diferencia entre las series ponderadasy agrupadas.
  • 37. Ejercicio: Con los datos de la siguiente tabla: Puntaje de 50 alumnos en una prueba Puntajes frecuencia 60 - 65 5 65 - 70 5 70 - 75 8 75 - 80 12 80 - 85 16 85 - 90 4 totales 50 Calcular: a) Q1, D4, P65 y P80 b) El puntaje mínimo del 25% que obtuvo los mejores resultados. c) El puntaje mínimo del 10% que obtuvo los mejores resultados y ganará una disminución de su cuota escolar. d) El puntaje que debe superar el 20% que obtuvo las notas más bajas, para no asistir a un taller de refuerzo. e) El puntaje que separa la serie en dos partes iguales (50% inferior y 50% superior).Fuentes de información:www.sectormatemática.cl/educmedia. HtmMatemática primer año de bachillerato.Aguilera Liborio, RaúlACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 18Bloque de Contenidos: Indicador de logro:contenido: Álgebra Propiedades de los 7.12 (7° grado) Simplifica cantidades exponentes. numéricas y algebraicas que requieran de la aplicación de dos o más propiedades de los exponentes.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem 1. Confunde la regla de la multiplicación de potencias de la misma base y la de la potencia de una potencia. 2. Confunde la regla de la división de potencias de la misma base y la de la raíz de una potencia.
  • 38. Actividad 1: Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadConstruir cuadrados 2, 3 y 4 centímetros de lado y luego dividirlos en centímetroscuadrados.a) Preguntar a los estudiantes cuántos centímetros cuadrados tiene cada figura. Relaciona la cantidad de centímetros cuadrados con el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula del área.b) Solicitar a los estudiantes que escriban el área de cada cuadrado como una potencia. 2 2 = 4 , 32 = 9 , 4 2 = 16 3c) Usar cubos para comprobar que en un cubo de 2 cm de arista hay ocho cubos de un 1cm . 3 V = (2)(2)(2) = 2 = 8 n a = a×a×.×a.….×a (a se multiplica por sí mismo n veces)d) Realizar ejercicios en los que se obtenga una potencia de base negativa. Base Exponente Potencia Par Positiva 4 Ejemplos: (-3) = 81 3 (-5) = -125 Negativa Impar Negativae) Repasar las reglas de los exponentes. n m n+m Regla 1: a · a =a Ejemplo: n m Regla 2: (a ) = a nm (x ) 2 4 =x 2×4 =x 8 Regla 3: (ab)n = a nbn Ejemplo: (xy )2 = x 2 y 2 4 am m−n x =a 4−2 2 Regla 4: a n , a tiene que ser diferente de 0, Ejemplo 2 =x =x x 0 Regla 5: a = 1; si a es diferente de 0. Ejemplo 2 = 1 0 1 1 1 = −2 a n , si a es diferente de 0. Ejemplo 3 = 3 2 = 9 -n Regla 6: a
  • 39. Actividad 2: Apliquemos las propiedades de las potenciasDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEsta actividad trata sobre la aplicación de las propiedades de las potencias y para ellose ha dividido en dos partes, la de desarrollo y la de simplificación.1. Desarrollar cada una de las siguientes situaciones: a) (a ) b) (ab 2 3 2 3 2 6 2 c) a × a d) a ÷ a ) 3 5 f) (− 3b a e) (− 3a ) 3 2 g) −2 h) b 0 a ) 32. Simplificar las siguientes expresiones utilizando las diversas propiedades de los exponentes a4 9 × a 2 8 a) ) ( b) 2 3 −2 0   4 0 d) (3 + Π ) × 5 3 2 −1 a 3 2 3   0 −1 3 (2 + e ) c) 5 −2  32 − Π 0     24  6 4 7 −12 x 6x y 10 4 2 4 × 10 e) −10 f) 5 −8 g) (6x ) (3x ) h) 4 x 12x y 6 ×10ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 19, 20, 21 y 22Bloque de Contenido: Indicadores de logro:contenido: Algebra División y 4.13 (8º Grado) Resuelve problemas, con factorización de perseverancia, aplicando la polinomios descomposición de expresiones algebraicas por diferencia de cuadrados. 2.29 (8º Grado) Resuelve problemas de aplicación usando la división de polinomios, en colaboración de sus compañeros. 4.9: (8º Grado) Resuelve con perseverancia problemas aplicando la descomposición de trinomios factorizables que no son trinomios cuadrados perfectos 4.5 (8º Grado) Explica y aplica con seguridad las reglas a un trinomio
  • 40. cualquiera, paradeterminar si estrinomiocuadradoperfecto.
  • 41. Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems: 1.Confunde el algoritmo de la división con el de la multiplicación. 2.Desconoce el algoritmo de la división de polinomios. 3.Dificultad al aplicar la regla de diferencia de cuadrados. 4.Tiene problemas para identificar las dimensiones de un cuadrado o un rectángulo. 5.No identifica la diferencia de cuadrados y no puede factorarla. 6.No identifica cuando un trinomio es cuadrado perfecto. 7.Desconoce las reglas de un trinomio cuadrado perfecto. 8.Confunde las reglas de los diferentes trinomios factorizables.Actividad 1 Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadPara abordar la multiplicación de expresiones algebraicas se necesita un dominio en losaspectos siguientes:  Ley de los signos  Ley de los exponentes.  Productos: 1) Monomio por monomio 2) Monomio por trinomio 3) Binomio por binomio 4) Trinomio por binomio1) Monomio por monomio Encontremos el área del rectángulo siguiente: 1+1 2 2x (3x) (2x) = (3) (2) x = 6x 3xMultipliquemos los monomios: 3 5 3 2 2 3 a) a x a d) (3a )( 4a ) g) (a b )(ab) 4 2 2 7 5 3 4 5 b) b x b e) (5c )(8c ) h) (4x y )(2x y ) 7 3 4 3 2 3 4 4 c) -p x p f) (2x )(-3x ) i) (-3m n )(8m n )2) Monomio por trinomio Encontremos el área de los rectángulos siguientes: 2x 2x (2x + 3y + 6) = 4x2 + 6xy + 12x 2x 3y 6
  • 42. Cuando multipliquemos un monomio por un polinomio usamos la propiedad distributiva.En la forma siguiente 2 3 2 3m ( 5m + 4m + 8 ) = 15m + 12m + 24mEncontremos el resultado de los productos siguientes 3 3 2 a) 3a (2a + b - 4) c) 4m (3m - mn - 8) 5 2 5 5 b) 7x (6x –xy – 3) d) xy (6x –xy – 7)3) Binomio por binomio 2 2 (a + b) (a + b) = a + ab + ab + b 2 2 2 (a + b) =a + 2ab + bPara multiplicar dos polinomios también aplicamos la propiedad distributiva, perofacilitar podemos colocar los polinomios de la manera siguiente.Multiplicar (3x + 2) (3x + 2) 3x + 2 3x + 2 2 9x + 6x + 6x + 4 2 9x + 12x + 4Encontremos el producto de los binomios siguientes a) (m + n ) (m + n) d) (m + n ) (m - n) b) (5p – 3) (5p – 3) e) (2x – 3) (2x + 3) 2 c) (2y + 3) f) (5x + 6) (5x - 6)
  • 43. 4) Trinomio por binomioSe efectúa en forma similar al binomio por binomio. Recuerda que debes colocar lostérminos semejantes en una sola columna, para sumar o restar con facilidad.Como observarás, es más complicado multiplicar dos trimonomios, sin embargo, en eltrascurso de la historia, los matemáticos han dedicado mucho tiempo para buscar lamanera de resolver más fácilmente y con mayor rapidez un mismo problema, asídespués de efectuar muchos ejercicios similares llegaron a la conclusión que enalgunas ocasiones no es necesario hacer la multiplicación sino solo aplicar una reglaque permite encontrar el resultado rápidamente.Las multiplicaciones que se pueden efectuar mediante el uso de reglas se llamanproductos notables.Actividad 2: Encontremos el cuadrado de un binomioDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadRecordemos que para calcular el área de un cuadrado multiplicamos lados por lado. Asípara encontrar el área de un cuadrado cuyas medidas desconocemos, tendríamos: x A = x. x 2 x A=xSi a dicho cuadrado le aumentamos 3 unidades por lado, y deseamos calcular el áreade la figura obtenida tendremos: x 3 x 3 x x 3 3Efectuando la multiplicación para obtener el resultado tenemos: x + 3 x + 3 2 x + 3x 3x + 9 2 x + 6x + 9 2El área del cuadrado que mide (x + 3) de lado es x + 6x + 9
  • 44. Se puede comprobar gráficamente que la respuesta obtenida es correcta. Obtenemosel siguiente cuadrado dividido en 4 regiones, obtenemos el área de cada una de ellas yluego sumamos para encontrar el área del cuadrado. x 3 x 3 3 3x x + x + x + 3 23 x + 3x + 3x + 9 6xSi analizamos nuestra respuesta observamos que al elevar al cuadrado un binomio 2 2(x + 3) obtuvimos un trinomio, x + 6x + 9, como resultado.El resultado de elevar un binomio al cuadrado es un trinomio al que llamaremostrinomio cuadrado perfecto.Veamos ahora la relación que existe entre los términos del binomio y los del trinomio El primero más el segundo 2 2 (x + 3) = x + 6x + 9 es igual El cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundoAplica la regla para elevar al cuadrado los siguientes binomios, 2 2 2 2 a) (2x + 5) = c) (7m + 1) = e) (3p + 4) = 2 2 2 3 4 2 b) (4y + 2) = d) (2x + m ) = f) (2a + 4b ) =
  • 45. Ya conocemos la regla para elevar al cuadrado la suma de dos cantidades,apliquémosla para elevar el cuadrado la diferencia de dos cantidades. 2 2 a) (x + y) = d) (x - y) = 2 2 b) (a + 4) = e) (a - 4) 2 3 5 2 c) (5m - 2) = f) (4a - 2b ) =Actividad 3: Encontremos binomios conjugadosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEl producto de la suma y diferencia de dos términos, no constituye un binomio elevadoal cuadrado debido a que los factores no son iguales, puesto que aparece un términocomún pero el otro difiere en el signo (término opuesto). Cuando dos binomios tienenesta característica se llaman binomios conjugados.Ejemplo: a) (x + y) (x - y) b) (2x +8 ) (2x - 8) c) (3 – y) (3 + y)Observemos el resultado que obtenemos al multiplicar estos binomios conjugados x + y 2x + 8 3 – y x - y 2x - 8 3 + y 2 2 x + xy 4x + 32x 9 - 3y 2 2 - xy - y - 32x - 64 + 3y - y 2 2 2 2 x - y 4x - 64 9 - yEn todos los casos obtuvimos como respuesta un binomio con las característicassiguientes: a) Es una diferencia. b) El primero de sus términos es el cuadrado del término común de los binomios conjugados. c) El segundo de los términos, es el cuadrado de los términos que difieren en el signo.Para poder comprobar esta respuesta en forma geométrica. Observa los segmentossiguientes: x ySi los sumamos: x+ySi los restamos: x-y
  • 46. Formemos un rectángulo, con la suma como base y la resta como altura. El área de este rectángulo es el producto de la base por la altura.x-y A = (x + y) ( x – y) x+ySi colocamos el segundo rectángulo, sobre el primero, tendríamos x-y 2 y 2x-y x x x y 2 2 A = (x + y) ( x – y) = x – yDe lo anterior podemos concluir que si multiplicamos dos binomios conjugadosobtenemos una diferencia de cuadrados. 2 2 (x + y) ( x – y) = x –yBinomios DiferenciaConjugados de cuadrados 2 (2x +8 ) (2x - 8) = 4x - 64
  • 47. Aplicando la regla para realizar la multiplicación de los binomios conjugadoEjemplos: Cuadrado del término Término común que difiere en el signo 2 2 2 a) (a – 3) (a + 3) = ( a) - (3) = a - 9 Términos opuestos Cuadrado del término común Término común 2 b) (-5 + y) (5 + y) = y - 25 Términos opuestos Cuadrado del Cuadrado del término término común que difiere en el signoEjercicio:Escribe cada binomio su conjugado y escribe el producto. 2 a) ( y + 2) d) (-p + 6) g) (-2p + 8) 2 4 3 b) (3b + 5) e) (3a – 4) h) (-3f + 2p ) 2 3 c) (2m – n) f) (4a + 5b )Actividad 4: Dividamos polinomiosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadPara dividir un polinomio entre otro polinomio se realiza lo siguiente: a) Tanto el dividendo como el divisor se escribe en orden descendente en función de una de las variables que aparece en ambos polinomios. b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente. c) Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y el producto obtenido se le resta del dividendo. d) El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo dividendo y se repite con él los pasos b y c. e) Se continúa este proceso hasta obtener un residuo cero o menor que el divisor.Ejemplo: 2Dividir (x + 15 –8x) ÷ (3 – x)
  • 48. Ordenamos en forma descendente, el dividendo y el divisor de acuerdo a losexponentes de la variable. Si el coeficiente de uno de los términos es cero, se deja elespacio. 2 (x – 8x + 15) ÷ (–x + 3)Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtieneasí el primer término del cociente. 2 x – 8x + 15 -x + 3 x2 -x =−x −xSe multiplica el cociente por el divisor. El producto se resta del dividendo (cambiandolos signos de cada uno de los términos). 2 x – 8x + 15 -x + 3 2 2 -x + 3x -x -x(-x +3) = x - 3xLuego, se reducen términos semejantes para obtener el primer residuo. 2 x – 8x + 15 -x + 3 2 -x + 3x -x - 5x + 15Se continúa este proceso hasta obtener un residuo cuyo mayor exponente sea menorque el mayor exponente del divisor. 2 x – 8x+15 -x + 3 2 -x + 3x -x + 5 - 5x + 15 5x - 15 R/ –x + 5 0Ejercicio:Dividir los polinomios 2 2 2a) (5x + x + 6) ÷ (2 + x) c) (w – 11wx – 102x ) ÷ ( w – 17x) 2 3 2 3d) (m +2m + 1) entre ( m – 7) d) (-7x +12 –16x + 10x ) ÷(5x –6)Actividad 5: Factoremos diferencias de cuadradosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadRecordemos que al multiplicar binomios conjugados, obtenemos como resultado unadiferencia de cuadrados 2 2 (x + y) ( x – y) = x –y
  • 49. Ejemplo: 2Factorar: 9x – 144a) Calculamos la raíz cuadrada de cada término 2 9x – 144 2 9x = 3x 144 = 12b) Escribimos el resultado formando dos binomios, uno corresponde a la suma de las raíces y el otro, a la resta. 2 9x = 3x 144 = 12 (3x + 12) (3x – 12)El resultado de la factorización es: 2 9x – 144 = (3x + 12) (3x – 12)Ejercicio:Factorar las expresiones siguientes: 6 8 4 2 2a) 16 – x d) 4m – 121n g) 25x – (5 + x) 8 2 2 2b) b – 49 e) 25x – 36y h) (x – y) – (x – 1) 4 2 2c) 1 – a f) 4 – (x – 2) i) (a + 1) - 4Actividad 6: Factoremos trinomios cuadrados perfectosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadHemos visto que el resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre detrinomio cuadrado perfecto. 2 2 2 (a + b) = a + 2ab + b Trinomio cuadrado perfecto 2 2 2 (a - b) = a - 2ab + bPodemos afirmar que un trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse en un productode dos binomios iguales. Antes de averiguar como encontrar dicho binomio debemosidentificar si es un trinomio cuadrado perfecto o no. 2 2Para comprobar si el trinomio 36x + 100y - 120xy es cuadrado perfecto, se procedede la forma siguiente:
  • 50. a) Ordenamos el trinomio en forma decreciente respecto a una de las variables 2 2 2 2 36x + 100y - 120xy 36x - 120xy + 100y b) Extraemos la raíz cuadrada al primero y al tercero de sus términos 2 2 36x - 120xy + 100y 6x 10y c) Verificamos si el segundo término es el doble producto de las raíces obtenidas. 2 2 36x - 120xy + 100y 2 (6x)(10y) = 120xy 2 2Concluimos que el trinomio 36x - 120xy + 100y es cuadrado perfectoEjemplos:Factorar: 2 2 a) 9 + x - 6x b) p + 4p + 16Ordenamos los trinomios 2 2 x - 6x + 9 p + 4p + 16 2(x)(3) = 6x (son iguales) 2 (p)(4) = 8p (no son iguales) Es trinomio cuadrado perfecto No es trinomio cuadrado perfectoCuando se comprueba que el trinomio es cuadrado perfecto, se forma un binomio conlas raíces obtenidas y el signo del segundo término. El binomio se eleva al cuadrado. 2 2 x - 6x + 9 = (x -3) x 3
  • 51. Ejercicios:Identificar los trinomios que son cuadrados perfectos y factorarlos. 2 4 2 a) 15 + 5y – 10y e) x – 2x + 1 2 2 b) 36x – 96x + 64 f) 2b + 12b + 16 4 2 2 c) 2x + 8x -42 g) 16x – 24x -8 2 2 2 d) 25a + 50ab +25b h) 5x + 25x + 20Factorar los siguientes trinomios cuadrados perfectos. 2 2 2 a) 64 + 25y – 80y d) m + 2mn + n 2 2 2 b) r + 2r +1 e) 4x + 12xy + 9y 2 2 c) 4x + 12x + 9 f) 100 – 20x + xActividad 7: Factoremos trinomios que no son cuadrados perfectosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad 2En esta actividad vamos a factorar trinomios de la forma x + bx + c. 2Ejemplo: x + 2x - 24Observamos que el trinomio está ordenado y que el tercer término no tiene raízcuadrada exacta. Por lo tanto, no es un trinomio cuadrado perfecto.Estos trinomios se descomponen en dos factores que tienen en común la raíz cuadradadel primer término del trinomio. 2x + 2x – 24 = (x )(x )El signo del segundo término del primer factor es el signo del segundo término deltrinomio. 2x + 2x – 24 = (x + )(x )El signo del segundo término del segundo factor resulta de multiplicar el signo delsegundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio. 2x + 2x - 24 = (x + )(x - ) porCuando los signos de los factores son diferentes, se buscan dos números que restadosresulten el coeficiente del segundo término del trinomio y multiplicados resulten el tercertérmino del trinomio.6 – 4 = 2 (el coeficiente del segundo término es 2)6 (- 4) = - 24 (el tercer término del trinomio es – 24)
  • 52. 2Entonces: x + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4)Ejercicios:Factorar los siguientes trinomios. 2 2 2 4 2 a) x + 12x + 36 d) 4 – 16x + 64x g) X + 5x + 4 2 2 2 b) 1 + 20n + 100n e) -14x + 49 + x h) m – 9m + 20 2 2 2 c) 25p + 90p + 81 f) y – 2y – 15 i) -2 + 3x + xFuente de información:Álgebra y Trigonometria, Segunda Edición Revisada, Dennis G. Zil Jacqueline M.Dewar Editorial Mc Graw Hill.Algebra, Segunda Edición, Max a. Sobe, Norbert LernerPrentice Hall Hispanoamericana, S.A.ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 23 y 24Bloque de Contenidos: Indicador de logro:contenido: Álgebra Ecuaciones 9.6 (8ª grado) Resuelve problemas utilizando lineales ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita, en colaboración de sus compañerosCausas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem 1. Se equivoca en la reducción de términos semejantes aplicando inadecuadamente la ley de signos. 2. Efectúa mal la multiplicación de un monomio por un polinomio. 3. No interpreta adecuadamente los axiomas de la igualdad. 4. Desconoce el algoritmo de resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. 5. Dificultad para traducir el problema a un leguaje matemático.Actividad 1: Resolvamos problemas y ejercicios que involucran elplanteamiento y solución de una ecuaciónDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadPara resolver problemas que involucran el planteamiento y solución de ecuaciones, serecomienda:Presentar situaciones que motiven al estudiante a encontrar ciertos valoresdesconocidos que cumplan una condición determinada y plantear el algoritmo desolución de ecuaciones.
  • 53. Ejemplos:1) Hacer los siguientes cálculos: a) ¿Qué número debe sumarse a 7 para que el resultado sea 20? b) ¿Cuál es el número, si el triplo es 120? c) ¿Cuál es el número cuyo quíntuplo disminuido en 10, es 100?2) Expresar en leguaje matemático: a) el número aumentado en tres (la edad dentro de tres años) x + 3 b) el número disminuido en siete ( la edad hace 7 años) x - 7 c) el triple del número (el triple de la edad) 3x x 1 d) la mitad del número (la mitad de la edad) ó x 2 2 e) el cuadrado del número (cuadrado de la edad) 2 x f) la quinta parte del número disminuido en dos es x −2 5 1 g) un quinto del número disminuido en dos es ( x − 2) 53) Efectuar operaciones aplicando los axiomas de igualdad para los números reales: Dado x = 38 , multiplicar ambos miembros por tres3x = 3(3 ) 8 , reste 6 a cada miembro3x = 8 , sume x a cada miembro , divida entre 2 cada término de la ecuaciónx + 3x = x + 84) Resolver ecuaciones aplicando los axiomas de igualdad: x 2x − 3 = +1 2 x 2x − 3 = + 1 , multiplicando por 2 cada uno de los términos 2 2(2x − 3) = 2( x ) + 2(1) , 2 4x − 6 = x + 2 , restando x a cada miembro 4x − x − 6 = x − x + 6 , reduciendo términos semejantes 3x − 6 = 2 , sumando 6 a cada miembro 3x − 6 = 2 + 6 , reduciendo términos semejantes
  • 54. 3x = 8 , multiplicando ambos miembros por un tercio 1 1 (3x) = (8), 3 3 Luego: 8 x = 3Al aplicar los axiomas en ambos miembros de la igualdad y despejar la variable, sepuede inducir al estudiante a que realice procesos de transposición de términos de unmiembro a otro de la igualdad.Ejercicios:Resolver las siguientes ecuaciones: a) 3x − 7 = x + 1 c) 2(x + 3) = 5(x −1) − 7(x − 3) b) 4 − x = [x − (3x − 1) + 5x − 7 2x + 7 d) − = 3x − 14 2] 2 3Actividad 2: Resolvamos problemasDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadAnaliza las condiciones de cada problema y observa la forma de resolver.1) La edad actual de una madre es 5 veces la del hijo, dentro de 5 años será tres veces la del hijo. Hallar la edad actual del hijo. Solución: ¿Qué busco? La edad actual del hijo.Identifiquemos las variables La edad actual del hijo es: x La edad actual de la madre (5 veces la del hijo) es: 5xTranscurridos 5 años La edad del hijo será: x+5 La edad de la madre será: 5x+5 Tres veces la edad del hijo: 3(x+5)Si la edad de la madre después de 5 años es 3 veces la edad del hijo, la condición deigualdad es: 5x + 5 = 3(x + 5) Otra forma de plantear el problemaEdades iniciales Edades después de 5 años Condición de igualdadx, edad del hijo x + 5, edad del hijo
  • 55. 5x, edad de la madre 5x + 5, edad de la madre
  • 56. Resolvemos la ecuación:5x + 5 = 3(x + 5)5x + 5 = 3x + 155x - 3x = 15 – 5 Transponiendo los términos 2x = 10 Reduciendo términos semejantes x=5 Dividiendo entre 2R: La edad actual del hijo es 5 años.Los estudiantes pueden hacer otros planteamientos, partiendo de la edad de la madre ode la edad del hijo después de 5 años. En este caso estimular a los estudiantes que lospresenten y recordarles que hay diferentes formas de resolver los problemas. Perosiempre hay que tener claro cuál es la variable de interés, los cambios que experimentay la condición de igualdad que se plantea.2) Separar 132 en dos partes tales que 5/7 de una de ellas, y los 3/5 de la otra sumen 88.Solución: ¿Qué busco? Dos números que sumen 132. Uno de los números es “x” y elotro “132 – x”. Planteamiento del problemaNúmeros Partes de los números Condición de igualdadSea x uno de los 5 x, 5números 7 los 7 del primer número132 - x, el otronúmero (al 3 5 (132 − x ) , los5 3 del segundo número 5 7 3 x + (132 − x) = 88 , la 5sumarlo con x suma de las dosobtenemos 132) partes 5 3 x + (132 − x) , la suma de las partes 7 5Al resolver 5 x + 3 (132 − x) = 88 , resulta x = 77 que representa una de las partes y 132 - x = 55, 7 5la otra de las partes.R: 77 y 55 son las partes en que se divide 132Aplicando las condiciones del problema a las dos partes de 132, verificamos losresultados:5/7 de 77 es ( )( ) 1 55 55 + 33 = 88 5 77 = (5)( 77) (5)(11) 7 1 (7)(1) = =
  • 57. 3/5 de 55 es (515 )(53 ) =(1)( 5) 3) = (11)( 3) = 33 (55)( 1
  • 58. 3) Un grupo de excursionistas recorren en igual tiempo 160 km en una carretera pavimentada y 120 km en una carretera de tierra. Hallar la velocidad en cada carretera, sabiendo que la velocidad en la pavimentada es 15 km mayor que la de tierra.¿Qué busco? Las velocidades en carretera de tierra y en pavimentada. Sea y, velocidad en carretera de tierra Sea y + 15, velocidad en carretera pavimentada.¿Condición de igualdad?Los tiempos en ambas carreteras se encuentran a partir de la fórmula d=vt, luego t=d/v,el tiempo en carretera de tierra es igual al tiempo en carretera pavimentada. 160 120 160 120 Si t1 = y +15 y t2 = y son iguales, tenemos: = y + 15 yResolviendo: 160 120 = y + 15 y 160y = 120(y + 15) 160y = 120y+1800 40y = 1800 y = 45 y+15 = 45+15 = 60R: La velocidad en carretera de tierra es 45 km/h y en pavimentada, 60 km/hEjercicios:Resolver los problemasa) Las entradas a un cine valen $2 para niños y $5 para adultos. Sabiendo que asistieron 280 personas y que se recaudaron $800, ¿cuántos niños asistieron a la función?b) Hallar tres números enteros consecutivos que sumados dan 60.Fuente de Información:Álgebra y Trigonometria, Segunda Edición Revisada, Dennis G. Zil Jacqueline M.Dewar Editorial Mc Graw Hill.Álgebra, Segunda Edición, Max a. Sobe, Norbert LernerPrentice Hall Hispanoamericana, S.A.Álgebra. Aurelio Baldor.
  • 59. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 25Bloque de Contenido: Indicador de logro:contenido: Sistema de 2.18 (9º grado): Resuelve con seguridad un sistema deAlgebra ecuaciones ecuaciones lineales aplicando cualquiera de los lineales. métodos (sustitución, igualación, reducción).Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Dificultad al aplicar los métodos de resolución de un sistema de ecuaciones. 2. Errores en los procedimientos al aplicar el método y despejar la incógnita. 3. Dificultad para plantear las ecuaciones por falta de comprensión del enunciado.Actividad 1. Reforcemos saberes previosRecursos: Texto para consulta.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividadPractiquemos la lectura e interpretemos problemas, realizando cuestionamientos, discusión yplanteamientos de ecuaciones.Antes de resolver las actividades, se sugiere recordar los métodos de resolución de un sistema deecuaciones: reducción, igualación, sustitución, determinantes, método gráfico.Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2Determina dos líneas rectas en el plano xy.Hay tres casos posibles para las gráficas de las ecuaciones en el sistema:a) y Las rectas se intersecan en un solo punto por ser ecuaciones independientes. La solución del sistema es el par ordenado de números reales correspondiente al punto de intersección de las rectas. x yb) Las ecuaciones describen la misma recta por ser dependiente. Tienen infinitas x soluciones porque todos los puntos son comunes.c) No hay solución para el sistema porque no tienen un punto en común. Las dos rectas x son paralelas.
  • 60. Ejercicios:1) Encontrar el valor de las incógnitas que satisfacen el sistema de ecuaciones. Utiliza el método que prefieras. 2 a) 7x – 4y = 0 c) 7x + 2y = -1 e) x+y=4 5 4x – 2y = 16 x – y = 14 x = 5y d) x = -5y + 14 b) 2x + 7y = 57 x + y = -2 f) x + 2y = 5 6x + 5y = 24 x = -3y - 242) Encontrar las soluciones del sistema y clasificar las ecuaciones como dependientes o independientes. a) 2x – 3y = 12 b) 3x – 4y = 8 x + 4y = -5 2x + 9y = 3 c) 2x + y – 13 = 0 d) 3x – y = 2 x – 11y =0 x+y=6Actividad 2: Resolvamos los problemasRecursos: Texto para consulta.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividadResolvamos los problemas planteando un sistema de ecuaciones.1) Carlos vendió dos automóviles recibiendo un total de $13,000. Si recibió $1400 por uno más que por el otro, ¿cuál fue el precio de venta de cada uno?2) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 12 y cuando se invierten las cifras, el valor del número crece en 54. Encontrar el número.3) La fortuna de María se estima en $5,000 más que el triple de la fortuna de su marido. El valor combinado de sus bienes asciende a $185,000. Encontrar el valor de cada fortuna.4) La asistencia a un juego de fútbol profesional fue de 45,000 personas y el dinero recaudado en la entrada fue $495,000. Si cada persona compró un boleto de $10 o un boleto de $15, ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?Fuente de información: Algebra y Trigonometría Segunda Edición revisada Dennis g. Zill, Jacqueline m. Dewar Editorial MC Graw Hill
  • 61. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 26Bloque de Contenido Indicadores de logro:contenido: Álgebra conceptual: 5.8 (9°grado) Calcula las soluciones para Ecuaciones ecuaciones cuadráticas, aplicando la cuadrática fórmula general con orden y seguridad.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. No recuerda que debe igualar a cero la ecuación. 2. No ordena correctamente los términos de la ecuación. 3. Considera siempre positivo el signo de los coeficientes al sustituirlos en la fórmula. 4. No tienen dominio de la ley de los signos para el producto. 5. No tienen dominio de la ley de los signos al reducir términos.Actividad 1: Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1) Cuando los estudiantes presentan problemas en el desarrollo de un contenido con mucha frecuencia se debe a que no tienen dominio de los saberes previos. Este ítem, se espera que lo resuelvan utilizando la fórmula general pero muchos recurrirán a la factorización o a sustituir los valores de la variable en la igualdad; por eso, es importante saber como llegaron a la respuesta y orientarlos a partir de sus errores.2) Uno de los errores frecuentes al momento de utilizar la fórmula general es la asignación de valores a las variables a, b y c por las siguientes causas: a) Olvidan ordenar el trinomio. 2 Ejemplo: Si el trinomio es 3x – 2x + 9 = 0 utilizan a= 3, b= -2 y c= 9 b) Al ordenarlo le cambian el signo al término sin que este cambie de lado de la igualdad. 2 Ejemplo: Al ordenar el trinomio anterior, escriben 2x - 3x + 9 = 0 cambiando el signo a los dos primeros términos. c) Consideran siempre positivo el coeficiente. 2 Ejemplo: Si el trinomio ya ordenado es – 2x + 3x + 9 = 0 utilizan a=2, b=3 y c=9Se debe hacer igual énfasis en todas las causas.Ejercicio:Ordena los trinomios en función de la variable x (si lo considera necesario agregueel signo = en algún lugar del trinomio): 2 2 2 a) 5x - 8 + 3x c) 4xy + 3y - 2x 2 2 2 b) 10 – 2x - 5x d) 15a + 3x -18ax3) Aunque el ítem no incluye productos indicados, es posible que presenten problemas al hacer los productos sobre todo si los antecede un signo negativo.
  • 62. Ejercicio:Simplifica e iguala a cero, las expresiones: a) 3(3x -2) = (x + 4)(4 – x) 2 2 2 b) (x – 5) – (x – 6) = (2x – 3) – 118Actividad 2: Resolvamos ecuacionesDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEsta actividad tiene como objetivo diferenciar la forma en que se resuelven lasecuaciones cuadráticas incompletas (binomios) y las completas (trinomios). Indicandoque en todos los casos pueden utilizar la fórmula general, aunque para los binomiosexiste una manera más fácil de resolver.Resolver las ecuaciones: 2 1) 5x – 9 =16 2 4) 5x +4 = 2(x + 2) 2) (x + 5)(x – 5) = -7 2 5) x = -15x - 56 2 2 3) x – 3x = 3x – 4x 2 6) (x + 4) = 2x (5x - 1) – 7(x – 2)Actividad 3: Utilicemos la fórmula generalDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadLa actividad tiene como finalidad que los estudiantes valoren la importancia del 2discriminante (b – 4ac) en la resolución de ecuaciones cuadráticas y lo encuentrenantes de resolver. A continuación, se presenta un ejercicio de cada caso indicando enparéntesis el valor del discriminante.Resolver 21) 9x – 12x = - 4 (El discrimínate es cero, esto indica que se trata de un trinomio cuadrado perfecto) 22) 2x + 35 = 17x (El discrimínate es mayor que cero, esto indica que el trinomio tiene dos raíces) 23) 3x = 5x - 6 (El discrimínate es negativo, esto indica que no hay solución en el conjunto de números reales)Actividad 4: Resolvamos problemasDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadConsiderando que el enfoque de matemática es la resolución de problemas y que elcurrículo nacional es por competencias, debemos hacer énfasis en la aplicación de loscontenidos en el contexto.
  • 63. Resolver las siguientes situaciones, planteando ecuaciones cuadráticas:1) Jorge tiene 2 hermanitos, la suma de sus edades es 9 y la suma de los cuadrados de sus edades es 53. Hallar las edades de los hermanitos de Jorge.2) Un hombre compró cierto número de naranjas por $1.50. Se comió 5 naranjas y vendiendo las restantes a 1 centavo más de lo que le costó cada una, recuperó lo que había gastado. ¿Cuántas naranjas compró y a que precio?3) Los gastos de una excursión son $90. Si desisten de ir 3 personas, cada una de las restantes tendría que pagar $1 más. ¿Cuántas personas van en la excursión y cuánto paga cada una?4) Encontrar los valores de x y escribir las dimensiones en metros de las siguientes figuras: a) b)Fuente de informaciónhttp://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ecua2g.htmhttp://www.ematematicas.net/ecsegundogradoACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 27Bloque de Contenido Indicador de logro:contenido: Algebra conceptual: 7.11 (primer año) Resuelve con seguridad, Desigualdades ejercicios y/ o problemas utilizando lineales y desigualdades cuadráticas con una cuadráticas variable.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem 1. Dificultad al factorar el polinomio. 2. Dificultad al igualar a cero los factores y despejar la variable. 3. No establece la diferencia entre los corchetes abiertos y los cerrados. 4. Dificultad al elaborar el cuadro de variación para los signos.Actividad 1: Reforcemos conocimientos previosRecursos: Hoja impresa con ejercicios.
  • 64. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Proponer diferentes casos de expresiones cuadráticas que se puedan factorar. Veamos algunos ejemplos a) aplicando factor común b) aplicando diferencia de cuadrados c) aplicando trinomio cuadrado perfecto d) aplicando trinomios de la forma e) aplicando trinomios de la forma2. Factorar los siguientes polinomios. a) b) c) d) e) f) g) h)3. Proporcionar a los estudiantes una hoja de ejercicios en los que se apliquen los casos de factoreo a las expresiones cuadráticas.Actividad 2: Construyamos cuadros de variaciónRecursos: Cuadros de variación impresos.Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1) Proponer las reglas para construir un cuadro de variación de signos. a) Escribir un factor por fila en el cuadro de variación. b) Escribir en la parte superior del cuadro, en orden ascendente, los valores que hacen cero cada factor. c) Trazar un círculo hueco o relleno en el valor donde cada factor se hace cero. d) Colocar en cada fila, signos positivos a la derecha del círculo y negativos a su izquierda. e) Multiplicar en forma vertical los signos obtenidos y escribir el resultado en la tercera fila. f) Determinar el o los intervalos que contienen a los valores que cumplen la desigualdad, positivo si el signo de la desigualdad es “>” o negativo, si es “<”. g) Determinar si los corchetes del conjunto solución son abiertos (signos < y >) o cerrados (signos ). 2Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de x + 2x > 15 2Realizamos la transposición de términos al miembro de la izquierda x + 2x – 15 > 0 2 Factoramos el trinomio x + 2x – 15 = (x + 5)(x – 3)
  • 65. Completamos el cuadro de variación ubicando en la parte superior los valores quehacen cero a cada uno de los factores. Como (x + 5)(x – 3) > 0 el conjunto solución es que son los intervalos donde el producto es positivo. Si cambiamos el signo de la desigualdad (x + 5)(x – 3) < 0 el conjunto solución seria que es el intervalo donde el producto es negativo.2) Proporcionar a los estudiantes una hoja impresa con ejercicios. Ejemplo Factorar, completar el cuadro de variación y encontrar el conjunto solución de la desigualdad. 2 2x + 6x – 20 < 0Fuente de informaciónAguilera Liborio Raúl, Matemática primer año de bachillerato, Talleres gráficos UCAGalo de Navarro Gloria, Matemática primer año de bachillerato, UCA editorialACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 28 Contenido: Indicador de logro:Bloque de Operaciones con 7.3 (1º año) Aplica la unión, intersección ycontenido: Números intervalos diferencia de intervalos, con interés, eny Operaciones la solución de ejercicios.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Realiza las operaciones entre los conjuntos en el orden incorrecto. 2. No relaciona los símbolos (U e ∩) con la operación que representan.
  • 66. Actividad 1. Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Representar intervalos claramente delimitados utilizando colores u otros elementos que permitan la discriminación visual con facilidad, para que reorganice los esquemas mentales sobre el gráfico de un intervalo. Esto le permita comprender las operaciones de unión e intersección.2. Representar la unión e intersección de intervalos Encontrar A U B Encontrar A ∩ B Otra forma de representar la intersección de los intervalos3. Solicitar a los estudiantes que representen gráficamente los intervalos. Recordarles que esos son el resultado de operar dos intervalos. Y que en algunos casos pueden existir muchos pares de intervalos que llevan a la misma respuesta, pero que solo deben determinar un par que cumplan la condición dada.Escribe para cada ejercicio, dos intervalos que verifiquen las siguientes afirmaciones: a) De su unión resulta b) De su intersección resulta
  • 67. c) Su unión es d) Su intersección es e) Si los intercepta da vacío (Ø) y su unión es .Actividad 2. Ejercitemos lo aprendidoDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadLos estudiantes deben plantear el ejercicio, decidir qué letra asignar a cada conjunto, yexpresar la operación pero utilizando los nombres dados a los conjuntos, Luego debepedírsele los resuelva. Recordarles que debe prestar atención a: el orden requerido delas operaciones, la importancia de realizar más de un gráfico para representar lasoperaciones, y realizar las operaciones presentadas en paréntesis, y éste resultadocon el conjunto restante.Fuente de informaciónAguilera Liborio Raúl, Matemática primer año de bachillerato, Talleres gráficos UCA.Galo de Navarro Gloria, Matemática primer año de bachillerato, UCA editorial.ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 29 Y 30Bloque de Contenido Indicador de logro:contenido: conceptual: 4.2 (1er. año) Gráfica pares ordenados enRelaciones y Producto el plano cartesiano, con orden y aseo.funciones CartesianoCausas por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Confunde las coordenadas de un par ordenado. 2. Tiene dificultad al ubicar puntos que contienen una coordenada con valor cero.Actividad 1: Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEn ésta actividad se propone situaciones del contexto donde se aplique contenidosque ayuden a lograr las competencias requeridas, para ello se realiza un refuerzosobre contenidos como:
  • 68. 1. Representación de puntos sobre un eje.Un eje es una línea recta, horizontal o vertical, sobre la que señalamos un punto dereferencia, llamado origen, y sobre el que representamos los números enteros: a) Si el eje es horizontal, hacia la derecha se representan los enteros positivos, y hacia la izquierda los enteros negativos. b) Si el eje es vertical, hacia arriba se representan los enteros positivos, y hacia abajo los enteros negativos.Por ejemplo, si representamos los puntos A(3), B(-2), C(5), D(-3), E(-1) y F(1),tendremos que contar desde el origen (cero) tantas unidades hacia la derecha (si elnúmero es positivo) o hacia la izquierda (si el número es negativo) como indique elvalor absoluto (sin considerar el signo) del número que queremos representar: A= 3, B= -2,…Actividad 2: Grafiquemos en el plano cartesianoDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadIniciamos con la descripción del sistema de coordenadascartesianas antes de la ubicación de puntos.Al eje horizontal se le llama eje de abscisas, y se lerepresenta por la letra x.Al eje vertical se le llama eje de ordenadas, y se lerepresenta por la letra y.Si prolongamos los dos ejes, vemos que el plano quedadividido en cuatro regiones, llamadas cuadrantes, quese numeran así:Un punto P del plano quedará determinado por un par de números (x, y), que son lascoordenadas cartesianas del punto P.Veamos ahora con algunos ejemplos elprimer cuadrante:Las coordenadas de los puntos de este cuadrante sonambas positivas (+, +). Por ejemplo, los puntos A(3,1),B(2,2) y C (4,3) pertenecen al I cuadrante.Segundo cuadrante.Las coordenadas de los puntos de este cuadrante sonnegativa la “x” y positiva la “y” (-,+). Por ejemplo, lospuntos D (-3, 1), E (-2, 2) y F (-4, 3) pertenecen al IIcuadrante:
  • 69. Tercer cuadrante.Las coordenadas de los puntos de este cuadrante sonambas negativas (-, -). Por ejemplo, los puntos G (-3, -1),H (-2, -2) e I (-4, -3) pertenecen al III cuadrante:Cuarto cuadrante.Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son la“x” positiva y la “y” negativa (+, -). Por ejemplo, lospuntos J (3,-1), K (2, -2) y L (4, -3) pertenecen alIV cuadrante:Sobre los ejes de coordenadas.En este caso, de coordenadas de puntos que estánsobre los ejes de coordenadas, pueden darse dossituaciones: que el punto esté sobre el eje x o que estésobre el eje y.Si está sobre el eje x, las coordenadas del punto serán(x, 0), siendo x positiva o negativa, según si está a laderecha o a la izquierda del origen. Por ejemplo, lospuntos M(1, 0), N (-1, 0) y P (4, 0) están sobre el eje x:Si el punto está sobre el eje y, las coordenadas delpunto serán (0, y), siendo y positiva o negativa, segúnsi está por encima o por debajo del origen. Por ejemplo,los puntos Q (0, -3), R (0, 1) y S (0, -1) están sobre eleje y:Actividad 3: Nos divertimos uniendo y graficando puntos en el planoDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadProporcionar un listado de pares ordenados, y pedirles alos estudiantes que los grafiquen en un mismo planocartesiano y luego que unan los puntos por ordenalfabético, con segmentos de rectas.
  • 70. Ubicar los puntos en el plano y unirlos para obtener unafigura.A (0, 9), B (5, 2), C (0, 2), D (-8, 2), E (0, 8),F (0, 0), G (8, 0), H (6, -3), I (-6, -3), J (-8, 0), K (0,0)Fuente de informaciónwww.cescar,edu.do/Hojas%20Matemática02/01/2008ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 31, 32, 33 y 34Bloque de Contenidos: Indicador de logro:contenido: Funciones 9.6 (1º año). Determina, grafica y explicaRelaciones y algebraicas, las funciones cuadráticas confunciones dominio y recorrido precisión, orden y limpieza. de una relación, 4.6 (1º año). Determina, con seguridad, función raíz dominio y recorrido de una relación. cuadrada 9.10 (1º año). Determina, grafica y explica la función raíz cuadrada, con precisión, orden y limpieza.Causas por las que los estudiantes no respondieron bien el ítem 1. Dificultad para determinar cuál variable se asocia al dominio y cuál al recorrido. 2. Dificultad al despejar una variable en una ecuación. 3. No determina dominio y/o rango sin graficar. 4. Poca práctica con este tipo de ejercicios. 5. Dificultad para especificar los elementos que conforman los conjuntos numéricos (IN, Z, Q, Q ´, IR) 6. Desconocimiento de las propiedades de la función raíz cuadrada.Actividad 1. Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Realizar una breve exploración de saberes previos, para que a partir de estos se retroalimente. Presentar ejemplos y discutir los resultados justificando la respuesta.Dominio y recorrido de una relaciónDefinición (Dominio y Recorrido de una relación)Sean A y B dos conjuntos y R una relación de A en B, llamaremos Dominio de Ral conjunto formado por los elementos de A que cumplen la relación.Simbólicamente:Dom R = {x ∈ A / ∃ y ∈B; (x, y) ∈ R }
  • 71. Llamaremos Recorrido de R al conjunto formado por los elementos de B que cumplencon la relación.Simbólicamente:Rec R = {y ∈ B/ ∃ x ∈A; (x, y) ∈ R }Ejemplos:a) Si R = {(2,2), (1,1), (1,2), (1,3)} entonces Dom (R) = {2,1} = {1,2} y Rec (R) = {1, 2,3}b) La relación S= {(x, y) ∈ INxIN / x + 2y = 8} Por extensión es S={(2, 3), (4, 2), (6, 1) entonces Dom S = {2, 4, 6} y Rec S= {1, 2, 3} 2 2c) Si la relación C={ (x, y ) ∈ IRxIR / x + y = 1} para hallar el dominio y el recorrido de la relación C, observamos que: 2 2 Dom C = {x ∈ IR/ ∃ y ∈ IR, (x, y) ∈ C}= {x∈ IR/ ∃ y ∈IR, x + y = 1} 2 2 2 2 x + y = 1 ⇒ y = 1− x ⇒ y = ± 1 − x 2 , como y∈ IR, se debe cumplir que: 2 1− x ≥ 0 − x2 ≥ −1, multiplicando por -1 2 x ≤1 2 x ≤ 1 , como x 2 = x , se tiene entonces que | x | ≤ 1 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1Luego Dom C =[-1, 1], de manera análoga, se obtiene que Rec C= [-1, 1].A continuación se muestra el gráfico de la relación C. y 1 -1 0 1 x Fig 1. C: x2 + y2 =1 -1d) En IR, se define la relación L={(x, y)/y = x + 2} Dom L = {x ∈ IR/ ∃ y ∈ IR, (x, y) ∈ L}= {x ∈ IR/ ∃ y ∈IR, y = x + 2}, como y= x+ 2 es un número real para todo x ∈ IR, se obtiene que Dom L = IR
  • 72. Rec L = {y ∈ IR/ ∃ x ∈ IR, (x, y) ∈ L} = {y ∈ IR / ∃ x ∈ IR, y =x + 2} = {y ∈ IR/∃ x ∈ IR, y –2 =x}, como para todo y ∈ IR, x = y –2 ∈ IR, Rec L = IR La representación gráfica de la relación L se muestra a continuaciónActividad 2. Resolvamos ejerciciosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadLee cuidadosamente y resuelve los ejercicios1. Escriba el dominio y el recorrido de cada una de las relaciones, definidas en Z. a) R={(5,2),(6,4),(8,6)} b) S={(5,6)} c) T={(6,2),(2,0),(13,0)} d) V=={(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}2. Dado D = {−1, 0, 1,2}. Encontrar: a) D x D b) R1 = {(x, y) ∈ DxD / x ≠ y} por extensión. c) Dominio y recorrido de la relación anterior. 2 2 d) R2 = {(x, y) ∈ DxD / x = y } por extensión.3. Dado E = {-1, 1, 3,5}, encontrar el producto cartesiano E x E. Hallar por extensión la relación S= {(x, y) ∈ E x E / x < y }4. Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes relaciones. 2 2 a) R={(x, y) ∈ IRxIR/ x + y = 25} b) T={(x, y) ∈ IRxIR/ 4x + 9y = 36}5. Trazar el gráfico de las relaciones R y T del ejercicio 4.Actividad 3: Resolvamos los ejerciciosRecursos: Texto para consulta.
  • 73. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividadEn una expresión con radicales como x (función de la raíz cuadrada) el dominio de festa formado por los números reales no negativos (x ≥ 0), ya que la raíz cuadrada deun número negativo no es un número real.Ejercicios1) Evaluar las funciones: a) ¿Para qué valor de x es f (x) = x − 3 igual a 3? 1 1 b) Si f (x) = f (x) = x + 1 , hallar f (0), f (-8), f  , y f  −    2  2 2 c) ¿Para qué valores de x es f (x) = x −1 igual a 0? 3 d) Si f(x) = 4 + 2x , halle f(0), f(4), f(-2) f −   22) Graficar las funciones y escribir las características de cada gráfica FUNCIÓN GRÁFICA CARACTERISTICAS f(x) = x f(x) = - x f(x)= −x3) Gráfica de cada pareja de funciones en el mismo sistema de ejes. Diferenciarlas utilizando diferentes colores. a) f (x ) = x , g(x) = x−1 b) f (x) = x , g(x) = x+1 c) f(x) = - x , g(x) = - x−2
  • 74. Actividad 4. Encontremos el dominio de las funcionesDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadHallar el dominio de las funciones: a) f (x) = 3x + 2 d) f (x) = x−3 -1 b) f (x) = x−4 e) f (x) = - x +3 c) f (x) = x+2Fuente de informaciónAlgebra Segunda EdiciónMax A. Sobel, Norbert Lerner, Prentice Hall hispanoamericana, S.A.Algebra y Trigonometría, Segunda Edición Revisada.Dennis G. Zill, Jacqueline M. DewarACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 35Bloque de Contenido Indicador de logro:contenido: conceptual: 9.16 (1er año de bachillerato) ResuelveRelaciones y Funciones ejercicios y/o problemas aplicandofunciones algebraicas con confianza la función inversa.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Comete error al aplicar los pasos para obtener la inversa de una función. 2. Tiene problemas para despejar una variable en una ecuación.Actividad 1: Reforcemos conocimientos previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Recordar como se despeja una variable. En la ecuación despejar k. a) Si la ecuación es fraccionaria, como en este caso, hacerla entera. (f - k)(3a) = 5 (Se multiplicó por el mcm de los denominadores) b) Hacer los productos indicados, si los hay. 3fa – 3ka = 5 c) Dejar el o los términos que contienen a la variable, en un solo lado de la igualdad. Es recomendable que sea en el lugar en que su signo sea positivo. 3fa – 5 = 3ka d) Si la variable se encuentra en más de un término, se debe obtener como factor común. e) El factor que acompaña a la variable pasa a dividir al otro miembro de la igualdad.
  • 75. 2. Proporcionar al estudiante situaciones donde aplique contenidos que ayuden a lograr el indicador propuesto por el ítem.Ejercicios:En las siguientes ecuaciones, despejar la variable que se indica. 1) , despejar M 2) , despejar “A” 3) , despejar PActividad 2: Practiquemos la obtención de la inversa de una funciónDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadProporcionar los ejercicios a resolver en equipo e indicar que cada uno debe serdiscutido hasta que todos despejen sus dudas.Pasos para obtener la inversa de una función. 1) Realizar un cambio de variables: donde se encuentre “x” escribir “y” y viceversa. 2) Despejar “y” la ecuación que se obtenga será .Ejemplo: obtener la inversa dePaso 1: xPaso 2.Por lo tanto la inversa de la función f(x) es:Ejercicios:1. Determinar la inversa de las siguientes funciones. a) e) b) f) c) g) d) h) , con 0 < x < 22. Determinar cuál de las siguientes funciones es igual a su inversa. a) f(x) = - x b) f(x) = c) f(x) = 2x d) f(x) =
  • 76. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 36Bloque de Contenido: Indicador de logro:contenido: Funciones reales 4.10 (1º año): Interpreta, plantea y resuelve,Relaciones y de variable real con confianza, funciones reales defunciones variable real a fenómenos de la cotidianidad.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Dificultad para comprender el problema (comunicación con lenguaje matemático). 2. Dificultad para identificar la variable y escribir la ecuación.Actividad 1. Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Investigar los contenidos: función, tipos de función y evaluación de funciones.2. Realizar la lectura y planteamiento de diversos problemas (lógicos, algebraicos, aritméticos, etc.) para reforzar la lectura comprensiva.Ejemplo:Si viajas durante cierto tiempo en un automóvil cuya velocidad promedio es 50 km/h. a) ¿Cuál es la variable independiente x? b) ¿Cuál es la variable dependiente y? c) ¿Cómo puede representarse la situación utilizando una ecuación? d) ¿Qué tipo de función representa la ecuación planteada? e) ¿Cuál es la distancia recorrida en t = 3.5 horas? f) ¿Cuál es el dominio de la función? g) ¿Cuál es el rango de la función? h) Determinar la gráfica que representa la relación distancia- tiempo.Actividad 2: Resolvamos problemasDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadUna de las causas más frecuentes por las que los estudiantes cometen errores es:establecer una relación funcional entre dos variables, interpretando datos escritos.Para superarla es necesaria la ejercitación en la lectura.Ejercicios:Resolver los problemas:1) Una compañía ha determinado que el costo de producción de x unidades de su 2 producto está dado por C(x) = 600 + 8x + 0.003x . Evalúa el costo de producir: a) 4000 unidades. b) 1500 unidades. c) Ninguna unidad.
  • 77. 2) En una prueba sobre el metabolismo del azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azúcar en la sangre era una función del tiempo t 2 (medido en horas) y dada por a(t) = 3.9 + 0.2t – 0.1t Encontrar la cantidad de azúcar en la sangre: a) al principio de la prueba b) 1 hora después 1 c) 2 horas después 23) Un granjero tiene 400 yardas de cerca para delimitar un terreno rectangular. Expresar el área (A) del rectángulo como una función de la longitud de uno de sus lados.4) En la figura, s es la longitud de la sombra proyectada por una persona que mide 1.83 metros de altura, parada a x metros de una fuente luminosa que se encuentra a 7.32 metros sobre el nivel del suelo. Expresar s en función de x. 7.32m 1.83m x sFuente de información: Matemática. Primer año de bachillerato.Algebra Sobel, Max A. Lerner, Norbert. Gloria Galo de NavarroSegunda edición. Gildaberto BonillaPrentice hall. Hispanoamericana, s. a. Marta Lidia Merlos David Navarro, UCA Editores.ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 37Bloque de contenido: Contenido: Indicador de logro:Relaciones y funciones Función lineal 9.5 (1er. año) Resuelve ejercicios y/o problemas aplicando las funciones lineales.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Dificultad para expresar una situación en lenguaje algebraico. 2. Dificultad para identificar las variables y escribir la ecuación. 3. No utiliza correctamente la ecuación para determinar el resultado.Actividad 1. Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadPara superar la primera dificultad que se identificó, se presenta el siguiente ejercicio:
  • 78. Expresar en lenguaje algebraico: a) El triple de un número menos quince. c) Tres números enteros consecutivos. d) El perímetro de un rectángulo, con uno de sus lados 4m más largo que el otro. d) El triplo del cuadrado de un número disminuido en 10 equivale al número aumentado en 5.Actividad 2: Elaboremos gráficasDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadOtro de los problemas y que se identifica en la segunda dificultad, es reconocer cuálecuación al ser graficada nos da como resultado una línea recta.Ejercicios: 1) Elaborar las tablas de valores y graficar. a) y = x - 2 b) y = - 2x +3 2) En el mismo sistema de ejes, graficar: a) y = x b) y = x + 1 c) y = x – 1 Explicar la relación entre las tres gráficas.Actividad 3: Resolvamos problemasDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadOrientar a que resuelvan individualmente antes de compartir con sus compañeros ocompañeras.1) Si se viaja en condiciones similares, por una distancia de 100km se pagan $30. Por 150km, el costo es de $45. a) Escribir la ecuación de la función lineal para los puntos dados. b) Utilizar la función para calcular cuánto se paga por una distancia de 200km.2) Un contador determinó cinco pagos diferentes de impuestos en un año específico. Ingreso (en miles de $) 8 15 25 40 75 Impuestos ( en $) 24 70 180 300 560 Ajustar los datos a una función lineal y calcular el impuesto que se debe pagar correspondiente a un ingreso de $55.000, y el ingreso correspondiente a un impuesto de $240.3) El valor de una máquina fotocopiadora nueva es de $5,200. Después de dos años de uso su valor es de $4,225. Encontrar su valor después de 8 años.4) Un fabricante tiene costos fijos de $3,000 y costos variables de $25 por unidad. Encontrar la ecuación que relacione los costos con la producción y calcular el costo de producir 100 unidades.
  • 79. 5) La pieza de un equipo que se compró hoy por $10,000 se depreciará linealmente, estimando que su vida útil será de 20 años y su valor de desuso es de cero dólares. Escribir una fórmula para su valor (V) después de t años.Fuente de información:Algebra. Segunda edición. Max a. Sobel, Norbert LernerPrentice Hall Hispanoamericana, S.A.Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica.Stanley A. SmithACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 38Bloque de Contenido: Contenido: Indicador de logro:Relaciones y funciones Funciones 4.8 (1er. año) Interpreta las propiedades de las funciones y valora su importancia y utilidad al resolver diferentes situaciones relativas al entorno físico.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem 1. No interpreta el significado de la trayectoria de cada intervalo (creciente, decreciente y constante) de la gráfica. 2. Vincula la altura del gráfico con el tiempo utilizado para el recorrido.Actividad 1: Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividadPlantear la situación y discutirla en equipo:Fernando, Luis, María y Yolanda, viven en una colonia cercana a la universidad. Estamañana fueron al centro de estudios en bicicleta y cada uno lo hizo de diferente forma.Yolanda: salió sin precipitarse pero en el camino empezó a pedalear más de prisa.Fernando: salió rápido pero en el camino tuvo que reparar una llanta para poder llegar.Luis: salió pero olvidó algo en casa y regresó. Después pedaleó muy de prisa.María: salió tranquila y al final se apresuró.1) Si las gráficas muestran las distancias recorridas en función del tiempo, ¿a quién corresponde cada gráfica? Justifique su respuesta.
  • 80. 2) A continuación se presenta la gráfica de Yolanda, con mayor precisión. Indicado la distancia en kilómetros y la hora en la que realiza el recorrido. Usa la gráfica para contestar las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos kilómetros había recorrido Yolanda a las 7:45? b) ¿Cuántos minutos tardó Yolanda en la primera mitad del recorrido? c) ¿Cuántos km. pedaleó entre las 7:45 y las 8:00? d) ¿Cómo puedes saber que Yolanda fue a la misma velocidad en los primeros 20 minutos (de 7:30 a 7:50)? e) Si Yolanda hubiera seguido con la misma velocidad, ¿con cuántos minutos de adelanto o atraso habría llegado? f) ¿Entre qué horas, aproximadamente, fue la mayor velocidad de Yolanda? ¿A qué velocidad pedaleaba en ese momento?
  • 81. Actividad 2: El vuelo del Águila.Descripción:Este tipo de ejercicio es muy importante para la interpretación de la información queencontramos en los medios de comunicación.La gráfica muestra la altura en metros del vuelo de un águila en función del tiempo.Analicemos la gráfica:La gráfica nos muestra que estuvo volando durante 100 segundos y que sus alturasoscilaron entre 5 y 105 m aproximadamente. a) ¿Podríamos saber a qué altura estaba al cabo de 2 minutos? b) Observamos que en distintos instantes estuvo a la misma altura; por ejemplo, a los 20, 30, 40, y 57 segundos estuvo a 80 m del suelo. c) ¿Cuál es la mayor altura que alcanzó entre los 20 y 30 segundos? d) Entre los 50 y 60 segundos, ¿el vuelo era ascendente o descendente? e) Durante todo el tiempo que estuvo volando, ¿en qué instante alcanza la mayor altura? f) ¿A qué altura estaba cuando comenzó a volar? g) Entre los 30 y 40 segundos hubo un instante en que estuvo más bajo. ¿A qué altura se encontraba? ¿Ocurre esto en algún otro intervalo de tiempo? ¿Cuál? h) A los 70 segundos ¿el vuelo era ascendente o descendente? i) Durante todo el tiempo que estuvo volando, ¿en qué instante alcanza la menor altura?
  • 82. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 39 y 40Bloque de contenido: Contenido: Indicador de logro:Trigonometría Ángulos de 1.8 y 1.11 (1er. año) Resuelve problemas elevación y con confianza y seguridad, utilizando depresión los ángulos de elevación y depresión.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems: 1. Confunden los ángulos de elevación y depresión. 2. Dificultad para identificar el lado desconocido del triángulo. 3. Confunden las razones trigonométricas. 4. Presentan problemas al despejar la incógnita.Actividad 1: Reforcemos saberes previosDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Hacer ejercicios de identificación de los catetos y la hipotenusa en triángulos rectángulos.2. Identificar los catetos opuesto y adyacente en relación a uno de sus ángulos agudos (A).3. Encontrar las razones trigonométricas para cada uno de los ángulos agudos. y x y senA = , cos A = , tan A = z z x Recodar que el teorema de Pitágoras establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, para el triángulo anterior se tiene que z 2 = x 2 + y 2 , conocidas dos de ellas, se puede determinar la tercera.
  • 83. Ejercicio: Dado el triángulo rectángulo, determina las razones trigonométricas. sen A, cos B, tan A, tan B, cos ACalcular la hipotenusa usando el Teorema de Pitágoras 2 2 2 x = 20 + 15 → x 2 2 20 + 15 → x = 25 =Calcular las tres razones trigonométricas 15 15 15senA = = 0.6 cos B = = 0.6 tan A = = 0.75 25 25 20 20 20tan B = = 1.25 cos A = = 0.8 15 254. Determinar el valor de un ángulo dado el valor de una de sus razones trigonométricas, usando calculadora. a) Si tan A= 2, hallar el valor de A.Usar la función trigonométrica inversa de la tangente (arco tangente). En lacalculadora se puede seguir una de las siguientes formas (depende de la calculadora): -1• Presionar la tecla “inv” o “2da. f” y luego “tan” (aparece tan ). A continuación escribir el valor de la tangente, en este caso 2.• Escribir el valor de la tangente y a continuación presionar las teclas “inv” o “2da. f” y “tan”. −1Esto lo escribimos A = tan 2 = 63.43ºSolicitar a los estudiantes que lo comprueben encontrando tan 63.43º b) Si Sen A=0.8 hallar el valor del ángulo.Transformar 0.8 en fracción, construir el triángulo utilizando los lados que proporcionala fracción y aproximar el valor del ángulo.Calcular el ángulo utilizando la calculadora −1A = sen 0.8 = 53.13ºVerificar el resultado.
  • 84. c) Solicitar que encuentren un ángulo cuyo coseno es 1.2Indúzcalo a calcularlo con un triángulo, luego aplique la fórmula y compruebe quedicho ángulo no existe.Ejercicios a) Encuentre los valores de A, B y C, si Sen A= 0.5, tan B= 1, cos B= 3 , b) Explique por qué la calculadora produce un error al buscar C en el caso sen C= 2.Actividad 2: Resolvamos problemasDescripción de los pasos para el desarrollo de la actividad1. Reforzar los saberes previos. a) Línea de visión: la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. b) Ángulo de elevación: es el que se forma entre la horizontal y la línea de visión, cuando el observador se encuentra a menor altura que el punto de observación. c) Ángulo de depresión: es el que se forma entre la horizontal y la línea de visión, cuando el observador se encuentra a mayor altura que el punto de observación. d) Teorema de Pitágoras: se aplica únicamente a triángulos rectángulos.2. Seguir el procedimiento adecuado. a) Trazar el triángulo que represente las condiciones del problema. b) Identificar la razón trigonométrica que involucre a los datos del problema (si se conoce la hipotenusa debe ser seno o coseno; si son los catetos, utilizar la tangente).
  • 85. EjerciciosResolvamos las siguientes situaciones:1) Determine la altura de un árbol, si desde una distancia de 5 m se ve la parte superior del árbol con un ángulo de elevación de 30º.2) Con que ángulo debo lanzar una piedra para bajar un mango que está a 6 m de altura, si la piedra la lanzo desde una distancia de 3 metros del palo.3) Una escalera eléctrica debe transportar a una altura del piso de 20 pies, con un ángulo de elevación de 25º, ¿qué longitud tendrá la escalera?4) Cuando el ángulo de elevación del sol es de 28.4°; en París, la Torre Eiffel forma una sombra horizontal de 1822 pies de largo, ¿qué altura tiene la torre?5) Calcular la altura del árbol si el ángulo de elevación es de 58º y la sombra proyectada sobre el piso es de 8.8m.| 58º6) Desde la punta de un faro, a 120 pies sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión en dirección a un barco a la deriva del mar es de 9.4º, ¿a qué distancia está el barco de la base del faro?7) Un salvavidas se encuentra en una torre a 120 metros del nivel del mar. Descubre una persona que necesita su ayuda a un ángulo de depresión de 35º, ¿a qué distancia de la base de la torre se encuentra esa persona?8) Calcular la altura de una torre si desde un punto situado a un kilómetro de la base se ve la cúspide con un ángulo de elevación de 16°42’ 16º 42’9) Desde la cumbre de un cerro de 300m de alto, el ángulo de depresión de un barco es de 17°35’. Hallar la distancia del barco al punto de observación.Fuente de informaciónAlgebra y trigonometría. Segunda edición revisadaDennis G. Zill, Jacqueline M. DewarEditorial Mc Graw Hill

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