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Modulación analógica

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Teoria basica de la modulacion analogica y digital.

Teoria basica de la modulacion analogica y digital.

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Modulación analógica Document Transcript

  • 1. ´ ´ MODULACION ANALOGICA Y DIGITAL DE PULSOS. Marcos Mart´ Fern´ndez ın a E. T. S. de Ingenieros de Telecomunicaci´n o Universidad de Valladolid.
  • 2. CONTENIDOS INDICE DE FIGURAS . VII 1. TEOREMA DE MUESTREO. 1 2. ˜ MUESTREO DE SENALES PASO BANDA. 9 3. ´ ASPECTOS PRACTICOS DEL MUESTREO. 15 3.1. Muestreo de Duraci´n Finita. o 15 3.2. Muestras planas o Flat-Top. 18 4. ´ ˜ RECONSTRUCCION DE UNA SENAL ALEATORIA MUESTREADA 23 5. ´ ´ MULTIPLEXACION POR DIVISION EN EL TIEMPO (TDM). 27 6. ´ MODULACION DE PULSOS EN AMPLITUD (PAM). 29 7. ´ MODULACION DE PULSOS EN EL TIEMPO (PPM Y PDM). 33 8. ´ MODULACION DIGITAL DE PULSOS (PCM). 39 8.1. Muestreo. 40 8.2. Cuantificaci´n. o 40 8.3. Codificaci´n. o 45 8.4. Regeneraci´n. o 47 8.5. Decodificaci´n. o 48 8.6. Filtrado. 48 8.7. Multiplexado. 48 8.8. Sincronizaci´n. o 49 8.9. Ejemplo Sistema T1. 50 9. ´ ANALISIS DE LA CALIDAD EN PCM. 51 9.1. Ruido de Transmisi´n y Probabilidad de Error. o 51 9.2. Ruido de Cuantificaci´n. o 56 v
  • 3. INDICE DE FIGURAS Cap´ ıtulo 1 1.1. Se˜al arbitraria de energ´ finita. n ıa 1 1.2. La se˜al de la figura 1.1 muestreada idealmente. n 2 1.3. Espectro de la se˜al a muestrear limitado a la banda W . n 3 1.4. Espectro de la se˜al a muestreada para el caso fs = 2W . n 3 1.5. Filtro ideal de reconstrucci´n. o 5 1.6. Esquema del proceso de recuperaci´n de la se˜al a partir de las muestras. o n 5 1.7. Espectro de la se˜al a muestreada para el caso fs < 2W . n 7 Cap´ ıtulo 2 2.1. Espectro de una se˜al paso banda. n 9 2.2. Espectro de una se˜al paso banda para la que se ha definido el nuevo ancho de banda y n frecuencia central. 12 2.3. Frecuencia de muestreo como funci´n de la frecuencia m´xima de la se˜al paso banda. o a n 13 Cap´ ıtulo 3 3.1. Se˜al arbitraria. n 15 3.2. Se˜al muestreadora formada por un tren de pulsos rectangulares. n 16 3.3. Se˜al muestreada a la salida del conmutador. n 16 3.4. Espectro de la se˜al de la figura 3.1 limitado a la banda W . n 17 3.5. Espectro de la se˜al muestreada de la figura 3.3. n 17 3.6. Se˜al muestreada empleando muestras de tipo Flat-Top. n 18 3.7. Respuesta en amplitud y en fase del sistema con funci´n de transferencia H(f ). o 19 3.8. Respuesta en amplitud m´xima del ecualizador en funci´n del tiempo de ocupaci´n de a o o muestra. 20 Cap´ ıtulo 4 Cap´ ıtulo 5 5.1. Esquema de un sistema TDM extremo a extremo. 27 Cap´ ıtulo 6 6.1. Se˜al moduladora. n 29 6.2. Se˜al portadora utilizada en PAM. n 29 6.3. Se˜al PAM. n 30 6.4. Trama TDM-PAM con una marca de sincronismo por trama. 31 6.5. Caracter´ ıstica entrada/salida del dispositivo umbral. 31 6.6. Se˜al de sincronismo recuperada. n 31 Cap´ ıtulo 7 vii
  • 4. viii ´ ´ MODULACION ANALOGICA Y DIGITAL DE PULSOS. 7.1. Se˜al moduladora. n 33 7.2. Se˜al PDM con muestreo uniforme. n 34 7.3. Se˜al PPM con muestreo uniforme. n 35 7.4. Procedimiento para generar una se˜al PDM con muestreo natural. n 36 7.5. Esquema para generar una se˜al PPM a partir de una PDM. n 37 7.6. Sincronizaci´n de tramas TDM-PDM y TDM-PPM. o 38 Cap´ ıtulo 8 8.1. Esquema del codificador/transmisor PCM. 39 8.2. Esquema del decodificador/receptor PCM. 39 8.3. Regeneraci´n de la se˜al a lo largo del canal de comunicaciones. o n 40 8.4. Caracter´ıstica entrada/salida para el cuantificador de tipo Mid-Thread. 41 8.5. Error de cuantificaci´n como funci´n de la se˜al de entrada. o o n 41 8.6. Se˜al sinusoidal cuantificada junto con el error de cuantificaci´n cometido. n o 42 8.7. Caracter´ıstica entrada/salida para el cuantificador de tipo Mid-Riser. 42 8.8. T´cnica de cuantificaci´n no uniforme usando compansi´n. e o o 43 8.9. Caracter´ıstica entrada/salida del compresor con ley µ. 43 8.10. Caracter´ ıstica entrada/salida del compresor con ley A. 44 8.11. Ejemplo de codificaci´n para los seis tipos de c´digos de l´ o o ınea. 47 8.12. Esquema de un repetidor/regenerador colocado a lo largo de la l´ınea de transmisi´n. o 48 8.13. Trama TDM-PCM del sistema T1. 49 Cap´ ıtulo 9 9.1. Esquema del detector empleado en PCM. 52 9.2. Funci´n densidad de probabilidad cuando se transmiti´ ∅ y probabilidad de error. o o 53 9.3. Funci´n densidad de probabilidad cuando se transmiti´ 1 y probabilidad de error. o o 54 9.4. Probabilidad de error medio como funci´n de la SNR de pico. o 55
  • 5. 1 TEOREMA DE MUESTREO. Una operaci´n que es b´sica para dise˜ar todos los sistemas de modulaci´n de pulsos es el proceso de o a n o muestreo, donde una se˜al anal´gica se convierte en una secuencia de n´meros que normalmente est´n n o u a uniformemente espaciados en el tiempo. Para que dicho proceso tenga utilidad pr´ctica es necesario elegir a la tasa de muestreo adecuadamente de modo que esa secuencia de n´meros identifique de forma unica a la u ´ se˜al anal´gica original. Esta es la esencia del teorema de muestreo. n o Consideremos una se˜al arbitraria g(t) de energ´ finita como la que se muestra en la figura 1.1. Supon- n ıa gamos que muestreamos la se˜al g(t) de forma instant´nea a una tasa uniforme cada Ts segundos. Como n a resultado de este proceso se obtiene una secuencia de n´meros espaciados Ts y que podemos denotar me- u diante {g(nTs )}, donde n puede tomar cualquier valor entero, Ts es el periodo de muestreo y fs = 1/Ts es la frecuencia de muestreo. Esta forma ideal de muestreo recibe el nombre de muestreo instant´neo. a Sea gδ (t) la se˜al obtenida multiplicando la secuencia de n´meros {g(nTs )} por un tren de deltas espa- n u ciados Ts , entonces se puede expresar seg´n la ecuaci´n (1.1). u o ∞ gδ (t) = g(nTs )δ(t − nTs ) (1.1) n=−∞ A gδ (t) se la denomina se˜ al muestreada ideal. En la figura 1.2 se puede ver el resultado de este n tipo de muestreo aplicado a la se˜al de la figura 1.1. De forma equivalente se puede expresar gδ (t) como n g(t) t Figura 1.1 Se˜al arbitraria de energ´ finita. n ıa 1
  • 6. 2 Cap´ ıtulo 1 g (t) δ Ts t Figura 1.2 La se˜ al de la figura 1.1 muestreada idealmente. n el producto de la se˜al original g(t) por la funci´n de muestreo ideal δTs (t) con periodo Ts seg´n la n o u ecuaci´n (1.2). o ∞ gδ (t) = g(t)δTs (t) = g(t) δ(t − nTs ) (1.2) n=−∞ Se puede determinar la transformada de Fourier de la se˜al muestreada gδ (t) convolucionando la trans- n formada de Fourier de g(t) con la transformada de Fourier de la funci´n de muestreo ideal δTs (t) que viene o dada por la ecuaci´n (1.3). Entonces si G(f ) es la transformada de Fourier de g(t), la transformada de o Fourier Gδ (f ) de la se˜al muestreada gδ (t) viene dada por la ecuaci´n (1.4). Si intercambiamos el orden n o del sumatorio y la convoluci´n se obtiene la ecuaci´n (1.5). La convoluci´n de una se˜al cualquiera con una o o o n delta desplazada, desplaza la se˜al seg´n la ecuaci´n (1.6), por lo que se tiene finalmente la ecuaci´n (1.7). n u o o ∞ ∞ 1 n δTs (t) = δ(t − nTs ) ⇐⇒ δ f− (1.3) n=−∞ Ts n=−∞ Ts ∞ 1 n Gδ (f ) = G(f ) ∗ δ f− (1.4) Ts n=−∞ Ts ∞ 1 n Gδ (f ) = G(f ) ∗ δ f − (1.5) Ts n=−∞ Ts n n G(f ) ∗ δ f − =G f− (1.6) Ts Ts ∞ 1 n Gδ (f ) = G f− (1.7) Ts n=−∞ Ts
  • 7. TEOREMA DE MUESTREO. 3 G(f) G(0) f −W W Figura 1.3 Espectro de la se˜ al a muestrear limitado a la banda W . n G δ (f) 2WG(0) f 3 2 1 −W W 1 2 3 − − − Ts Ts Ts Ts Ts Ts Figura 1.4 Espectro de la se˜al a muestreada para el caso fs = 2W . n Gδ (f ) representa un espectro continuo peri´dico con periodo fs = 1/Ts . Se puede decir entonces que el o proceso de muestreo uniforme de una se˜al en el dominio del tiempo da lugar a un espectro peri´dico en el n o dominio de la frecuencia con periodo igual a la frecuencia de muestreo. A partir de la ecuaci´n (1.1) tomando transformada de Fourier en ambos lados se obtiene la ecuaci´n o o (1.8). Esta ecuaci´n se puede ver como una representaci´n en serie compleja de Fourier de la se˜al peri´dica o o n o en la frecuencia Gδ (f ), siendo los coeficientes complejos de la expansi´n la secuencia de muestras {g(nTs )}, o por lo que se tiene la ecuaci´n (1.9), que es la ecuaci´n an´lisis de la expansi´n en serie compleja de Fourier o o a o de una se˜al. Hay que tener en cuenta que en las ecuaciones (1.8) y (1.9) se han intercambiado el papel n habitual del tiempo y de la frecuencia. ∞ Gδ (f ) = g(nTs ) exp(−j2πnf Ts ) (1.8) n=−∞ fs g(nTs ) = Ts Gδ (f ) exp(j2πnf Ts )df (1.9) 0 Todas las relaciones anteriores se pueden aplicar a cualquier se˜al continua g(t) de energ´ finita y de n ıa duraci´n finita. Vamos a suponer ahora que la se˜al es estrictamente limitada a la banda W , es decir, la o n transformada de Fourier G(f ) de la se˜al g(t) no tiene componentes frecuenciales fuera de |f | < W . En n la figura 1.3 podemos ver el espectro G(f ) limitado a la banda W . La forma de este espectro se considera triangular para simplificar las figuras, pero en la pr´ctica puede tener cualquier otra forma. a 1 Vamos a suponer que se elige un periodo de muestreo Ts = 2W o lo que es lo mismo, una tasa de muestreo fs = 2W . En este caso se puede ver el espectro de Gδ (f ) en la figura 1.4. En este caso la ecuaci´n (1.8) se o puede volver a escribir seg´n la ecuaci´n (1.10). u o
  • 8. 4 Cap´ ıtulo 1 ∞ n jπnf Gδ (f ) = g exp − (1.10) n=−∞ 2W W Comparando las figuras 1.3 y 1.4 se puede comprobar que se puede recuperar el espectro original G(f ) a partir del espectro de la se˜al muestreada Gδ (f ) seg´n la ecuaci´n (1.11). Juntando las ecuaciones (1.10) n u o y (1.11) se tiene la ecuaci´n (1.12). o 1 G(f ) = Gδ (f ) −W ≤f ≤W (1.11) 2W ∞ 1 n jπnf G(f ) = g exp − −W ≤f ≤W (1.12) 2W n=−∞ 2W W n Si se conoce el valor de todas las muestras g 2W de la se˜al g(t), entonces la transformada de n Fourier G(f ) de la se˜al g(t) est´ un´ n a ıvocamente determinada por la representaci´n en serie de Fourier de o la ecuaci´n (1.12). Adem´s puesto que g(t) se puede determinar a partir de su espectro G(f ) utilizando o a la transformada inversa de Fourier, la se˜al original g(t) est´ tambi´n un´ n a e ıvocamente determinada por las n n muestras g 2W . En otras palabras, la secuencia g 2W contiene toda la informaci´n de la se˜al g(t). o n n Vamos a considerar ahora el problema de recuperar la se˜al g(t) a partir de las muestras g 2W . n Usando la ecuaci´n (1.12) y la expresi´n de la transformada inversa de Fourier se puede escribir el desarrollo o o de la ecuaci´n (1.13). Si intercambiamos el orden del sumatorio y la integral en la ecuaci´n anterior se puede o o escribir la ecuaci´n (1.14). La integral de la derecha de esta ecuaci´n es inmediata y se puede calcular o o directamente obteni´ndose finalmente la ecuaci´n (1.15). e o ∞ W ∞ 1 n jπnf g(t) = G(f ) exp(j2πf t)df = g exp − exp(j2πf t)df (1.13) −∞ −W 2W n=−∞ 2W W ∞ W n 1 n g(t) = g exp j2πf f − df (1.14) n=−∞ 2W 2W −W 2W ∞ ∞ n sin(2πW t − nπ) n g(t) = g = g sinc(2W t − n) (1.15) n=−∞ 2W 2πW t − nπ n=−∞ 2W La ecuaci´n (1.15) se conoce como f´rmula de interpolaci´n para reconstruir la se˜al original g(t) a o o o n n partir de las muestras g 2W , siendo la funci´n sinc(2W t) la funci´n interpoladora. Cada muestra o o se multiplica por una versi´n retardada de la funci´n interpoladora y el resultado se suma para obtener la o o se˜al original g(t). Se puede ver que esta ecuaci´n representa la respuesta de un filtro paso bajo ideal de n o ancho de banda W , con retardo cero y cuya entrada es la se˜al muestreada gδ (t). Esto se puede comprobar n de forma intuitiva viendo los espectros Gδ (f ) y G(f ) en las figuras 1.3 y 1.4 ´ a partir de la ecuaci´n (1.11). o o En la figura 1.5 se puede ver la funci´n de transferencia del filtro de reconstrucci´n. En la figura 1.6 se o o puede ver esquem´ticamente el proceso de recuperaci´n de la se˜al original g(t) a partir de las secuencia a o n n de muestras g 2W .
  • 9. TEOREMA DE MUESTREO. 5 |H(f)| 1 2W f −W W Figura 1.5 Filtro ideal de reconstrucci´n. o Secuencia de Filtro Señal Muestras Paso Bajo Continua {g(nTs )} Ideal g(t) Figura 1.6 Esquema del proceso de recuperaci´n de la se˜ al a partir de las muestras. o n Vamos a ver otra interpretaci´n de la f´rmula de interpolaci´n dada por la ecuaci´n (1.15) utilizando o o o o la propiedad de que la funci´n interpoladora desplazada sinc(2W t − n) forma una familia de funciones o mutuamente ortogonales. Vamos a comenzar probando esta ultima afirmaci´n en primer lugar. Vamos ´ o a considerar una versi´n generalizada del teorema de energ´ de Rayleigh dada por la ecuaci´n (1.16), o ıa o siendo g1 (t) y g2 (t) dos se˜ales de energ´ cualesquiera y G1 (f ) y G2 (f ) sus transformadas de Fourier, n ıa respectivamente. Vamos a aplicar este teorema a las se˜ales que nos interesa seg´n las ecuaciones (1.17) y n u (1.18), siendo n y m dos enteros cualesquiera. Utilizando la transformada inmediata dada por la ecuaci´no (1.19) y la propiedad de la transformada de Fourier de desplazamiento temporal se puede llegar a las ecuaciones (1.20) y (1.21). ∞ ∞ ∗ g1 (t)g2 (t)dt = G1 (f )G∗ (f )df 2 (1.16) −∞ −∞ n g1 (t) = sinc(2W t − n) = sinc 2W t − (1.17) 2W m g2 (t) = sinc(2W t − m) = sinc 2W t − (1.18) 2W 1 f sinc(2W t) ⇐⇒ Π (1.19) 2W 2W 1 f jπnf G1 (t) = Π exp − (1.20) 2W 2W W
  • 10. 6 Cap´ ıtulo 1 1 f jπmf G2 (t) = Π exp − (1.21) 2W 2W W Usando ahora la relaci´n dada por la ecuaci´n (1.16) se obtiene la ecuaci´n (1.22). El resultado de esta o o o 1 ecuaci´n es 2W para n = m y cero en el resto, es decir, se tiene finalmente la ecuaci´n (1.23), con lo que o o queda demostrado que la familia de funciones sinc(2W t − n) es ortogonal. ∞ 2 W 1 jπf sinc(2W t − n)sinc(2W t − m)dt = exp − (n − m) df −∞ 2W −W W sin[π(n − m)] 1 = = sinc(n − m) (1.22) 2W π(n − m) 2W  1 ∞  2W n=m sinc(2W t − n)sinc(2W t − m)dt = (1.23) −∞  0 n=m La ecuaci´n (1.15) representa entonces la expansi´n de la se˜al g(t) como la suma infinita de funciones o o n n ortogonales cuyos coeficientes son las muestras de la se˜al g 2W . Utilizando la propiedad de ortogo- n nalidad de estas funciones dada por la ecuaci´n (1.23) se puede llegar a la expresi´n dada por la ecuaci´n o o o n (1.24) para las muestras de la se˜al. Los coeficientes de esta expansi´n g 2W n o se pueden ver como una coordenada en un espacio de se˜al de dimensi´n infinita cuyos ejes son ortogonales y corresponden a las n o funciones sinc(2W t − n). Cada punto de este espacio corresponde a una se˜al g(t) y cada se˜al g(t) a un n n punto. ∞ n g = 2W g(t)sinc(2W t − n)dt (1.24) 2W −∞ Se puede enunciar el teorema de muestreo o teorema de Nyquist para se˜ales limitadas en banda n de energ´ finita de dos modos: ıa Una se˜al limitada en banda de energ´ que no tiene componentes a frecuencias mayores que W Hz se n ıa puede representar de forma exacta especificando los valores de la se˜al en instantes de tiempo separados n 1 Ts = 2W segundos. Una se˜al limitada en banda de energ´ sin componentes frecuenciales superiores a W Hz se puede n ıa recuperar de forma exacta a partir de sus muestras tomadas a una tasa de fs = 2W muestras por segundo. La tasa de muestreo fs = 2W definida para una se˜al con ancho de banda W se denomina tasa de n Nyquist. El teorema de muestreo es la base de la equivalencia entre se˜ales anal´gicas y digitales. n o El teorema de muestreo se basa en la suposici´n de que la se˜al g(t) sea estrictamente limitada en banda. o n Esto s´lo se satisface si g(t) tiene duraci´n infinita. Es decir, una se˜al estrictamente limitada en banda no o o n puede ser simult´neamente estrictamente limitada en tiempo y viceversa. Sin embargo, se va a poder aplicar a en la pr´ctica el teorema de muestreo a se˜ales limitadas temporalmente cuando ´stas sean esencialmente a n e limitadas en banda en el sentido de que fuera de la banda de inter´s el valor que toma el espectro no es e relevante. Esto justifica la aplicaci´n pr´ctica del teorema de muestreo. o a
  • 11. TEOREMA DE MUESTREO. 7 G δ (f) 2WG(0) f 3 2 1 −W W 1 2 3 − − − Ts Ts Ts Ts Ts Ts Figura 1.7 Espectro de la se˜al a muestreada para el caso fs < 2W . n Cuando la tasa de muestreo fs excede a la de Nyquist 2W , las replicas de g(f ) requeridas para la construcci´n de Gδ (f ) est´n m´s separadas por lo que no existe ning´n problema a la hora de recuperar la o a a u se˜al original g(t) a partir de la se˜al muestreada gδ (t) con el procedimiento descrito. Sin embargo, cuando n n la tasa de muestreo fs es menor que 2W , se puede ver que al construir la se˜al Gδ (f ), las replicas de G(f ) n aparecen solapadas. En este caso el espectro Gδ (f ) pasar´ a ser el de la figura 1.7. Las altas frecuencias ıa de G(f ) se ven reflejadas hacia las bajas frecuencias en Gδ (f ). Este fen´meno se denomina aliasing. Es o evidente que comprobar que si la tasa de muestreo fs es menor que la de Nyquist 2W , la se˜al original g(t) n no se puede recuperar de forma exacta a partir de las muestras y, por lo tanto, se pierde informaci´n en el o proceso de muestreo. Debido a que una se˜al, como ya hemos dicho, no puede ser estrictamente limitada en tiempo y frecuencia, n si la se˜al es finita en el tiempo, siempre existir´ algo de aliasing y se perder´ parte de la informaci´n en n a a o el proceso de muestreo. Sin embargo, este efecto suele ser en general despreciable. Para que as´ sea: ı Antes de muestrear la se˜al pasarla por un filtro paso bajo antialiasing para atenuar las compo- n nentes a alta frecuencia de la se˜al (o del ruido) fuera de la banda de inter´s. n e Muestrear la se˜al filtrada ligeramente por encima del l´ n ımite de Nyquist. Es interesante resaltar que el uso de una tasa de muestreo superior a la de Nyquist tiene el efecto deseable de hacer m´s sencillo el filtro paso bajo de reconstrucci´n para recuperar la se˜al. Ya no es necesario que a o n sea un filtro ideal. Con una tasa de muestreo superior a la de Nyquist las repeticiones de G(f ) en el espectro de la se˜al muestreada Gδ (f ) a parecen separadas fs − 2W Hz. En particular, se puede elegir un filtro paso n bajo de reconstrucci´n con un ancho de banda B que satisfaga W < B < fs − W . Adem´s el filtro paso o a bajo no es necesario que sea ideal y puede tener una zona de transici´n m´s suave que caiga en el intervalo o a (W, fs − W ).
  • 12. 2 ˜ MUESTREO DE SENALES PASO BANDA. Hasta ahora nos hemos centrado en se˜ales paso bajo. Sin embargo, muchas se˜ales en la pr´ctica tienen n n a naturaleza paso banda. En este caso cuando el ancho de banda es peque˜o comparado con la componente n superior a alta frecuencia, es posible utilizar una frecuencia de muestreo menor de dos veces la mayor frecuencia de la se˜al. n Para analizar esto con detalle. Vamos a considerar una se˜al g(t) paso banda con frecuencia portadora n fc y ancho de banda 2W , de modo que el espectro ocupa el intervalo frecuencial fc − W ≤ |f | ≤ fc + W . En la figura 2.1 podemos ver el espectro de esta se˜al. La forma de este espectro se considera triangular n para simplificar las figuras, pero en la pr´ctica puede tener cualquier otra forma. a Puesto que la se˜al g(t) es paso banda se puede expresar en funci´n de la componente en fase gc (t) y de n o la componente en cuadratura gs (t) utilizando la forma can´nica seg´n la ecuaci´n (2.1). o u o g(t) = gc (t) cos(2πfc t) − gs (t) sin(2πfc t) (2.1) Vamos a suponer inicialmente que la frecuencia superior fc + W es m´ltiplo del ancho de banda 2W , u de modo que se cumple la ecuaci´n (2.2), donde k es un entero positivo. En los instantes de muestreo o t = nTs la ecuaci´n (2.1) se puede poner como la ecuaci´n (2.3), donde Ts es el periodo de muestreo y o o n = 0, ±1, ±2, . . . fc + W = 2kW =⇒ fc = (2k − 1)W (2.2) G(f) 2W 2W f −fc fc Figura 2.1 Espectro de una se˜ al paso banda. n 9
  • 13. 10 Cap´ ıtulo 2 g(nTs ) = gc (nTs ) cos(2πnfc Ts ) − gs (nTs ) sin(2πnfc Ts ) (2.3) Vamos a suponer que la frecuencia de muestreo fs es dos veces el ancho de banda, por lo que fs = 4W o 1 lo que es lo mismo Ts = 4W . Sustituyendo esto en la ecuaci´n (2.3) se obtiene la ecuaci´n (2.4). Si tenemos o o en cuenta la ecuaci´n (2.2) la ecuaci´n anterior se puede poner seg´n la ecuaci´n (2.5). o o u o n n πnfc n πnfc g = gc cos − gs sin (2.4) 4W 4W 2W 4W 2W n n nπ n nπ g = gc cos (2k − 1) − gs sin (2k − 1) (2.5) 4W 4W 2 4W 2 Para n par se puede poner n = 2v. En este caso se cumplen para todo k las ecuaciones (2.6) y (2.7). Usando estas ecuaciones la ecuaci´n (2.5) se puede poner seg´n la ecuaci´n (2.8). o u o nπ cos (2k − 1) = cos[vπ(2k − 1)] = (−1)v (2.6) 2 nπ sin (2k − 1) = sin[vπ(2k − 1)] = 0 (2.7) 2 v v g = (−1)v gc (2.8) 2W 2W Para n impar se puede poner n = 2v − 1. En este caso se cumplen para todo k las ecuaciones (2.9) y (2.10). Usando estas ecuaciones la ecuaci´n (2.5) se puede poner seg´n la ecuaci´n (2.11). o u o nπ π cos (2k − 1) = cos (2v − 1)(2k − 1) = 0 (2.9) 2 2 nπ π sin (2k − 1) = sin (2v − 1)(2k − 1) = (−1)v+k (2.10) 2 2 2v − 1 2v − 1 g = (−1)v+k+1 gs (2.11) 4W 4W Las componentes gc (t) y gs (t) son paso bajo, ambas limitadas en banda a |f | < W . Entonces por el teorema de muestreo se sigue que tanto gc (t) como gs (t) se pueden determinar por sus muestras tomadas a una tasa uniforme de fs = 2W muestras por segundo. Se puede decir que: v 1. Las muestras gc 2W para v = 0, ±1, ±, . . . son suficientes seg´n el teorema de muestreo para deter- u minar la componente en fase gc (t) seg´n la ecuaci´n (2.12). u o
  • 14. ˜ MUESTREO DE SENALES PASO BANDA. 11 ∞ ∞ v v gc (t) = gc sinc(2W t − v) = (−1)v g sinc(2W t − v) (2.12) v=−∞ 2W v=−∞ 2W 2. Las muestras gs 2v−1 para v = 0, ±1, ±, . . . son suficientes seg´n el teorema de muestreo para deter- 4W u minar la componente en cuadratura gs (t) seg´n la ecuaci´n (2.13). En esta ecuaci´n se ha tenido en u o o cuenta que las muestras de la se˜al g(t) utilizadas para reconstruir la componente en cuadratura gs (t) n 1 son las impares, por lo que est´n retrasadas Ts = 4W con respecto a las muestras de g(t) utilizadas a para reconstruir la componente en fase gc (t) que son las pares. ∞ ∞ 2v − 1 1 2v − 1 1 gs (t) = gs sinc 2W t − v + = (−1)v+k+1 g sinc 2W t − v + v=−∞ 4W 2 v=−∞ 4W 2 (2.13) Sustituyendo la ecuaci´n (2.12) para la componente en fase gc (t) y la ecuaci´n (2.13) para la componente o o en cuadratura en la forma can´nica dada por la ecuaci´n (2.1), se tiene la ecuaci´n (2.14), siendo k un o o o entero positivo. ∞ v g(t) = (−1)v g sinc(2W t − v) cos(2πfc t) v=−∞ 2W ∞ 2v − 1 1 + (−1)v+k g sinc 2W t − v + sin(2πfc t) (2.14) v=−∞ 4W 2 1 fc Teniendo en cuenta que Ts = 4W y que W = 2k − 1 se puede comprobar f´cilmente que se cumplen a las ecuaciones (2.15) y (2.16), por lo que la ecuaci´n (2.14) se puede poner de forma m´s compacta seg´n o a u la ecuaci´n (2.17). Esta ecuaci´n nos da la expresi´n deseada para recuperar una se˜al paso banda g(t) a o o o n partir de sus muestras tomadas a una tasa m´ ınima de muestreo fs = 4W para el caso especial en el que la frecuencia superior de la se˜al g(t) es un m´ltiplo entero del ancho de banda 2W . n u (−1)v cos(2πfc t) = cos[2πfc (t − 2vTs )] (2.15) (−1)v+k sin(2πfc t) = cos[2πfc (t − (2v − 1)Ts )] (2.16) ∞ n g(t) = g(nTs )sinc 2W t − cos[2πfc (t − nTs )] (2.17) n=−∞ 2 Vamos a considerar ahora el caso general para el que s´lo es necesario asumir que fc > W ≥ 0. Es decir, o la banda de frecuencias significativas de la se˜al g(t) ocupa una posici´n arbitraria en el eje de frecuencias. n o Sea r el entero que satisface la ecuaci´n (2.18). o fc + W r≤ <r+1 (2.18) 2W
  • 15. 12 Cap´ ıtulo 2 G(f) 2W´ 2W´ f −f c´ f c´ Figura 2.2 Espectro de una se˜ al paso banda para la que se ha definido el nuevo ancho de banda y n frecuencia central. Manteniendo la frecuencia superior fc + W constante vamos a incrementar el ancho de banda hacia las bajas frecuencias hasta un nuevo valor 2W de forma que se cumpla la ecuaci´n (2.19). Vamos a definir o tambi´n una nueva frecuencia central fc a mitad del nuevo ancho de banda. Para esta nueva frecuencia se e cumple la ecuaci´n (2.20). En la figura 2.2 se puede ver gr´ficamente el nuevo ancho de banda 2W y la o a nueva frecuencia central fc . fc + W =r (2.19) 2W 1 fc = 1− (fc + W ) (2.20) 2r Como se puede ver claramente en la figura 2.2 el espectro sigue siendo el mismo que el de la se˜al original n g(t). Sin embargo, hemos conseguido que la frecuencia superior fc + W sea ahora m´ltiplo del nuevo ancho u de banda 2W . La representaci´n de la se˜al es la ya explicada sustituyendo W por W , para el nuevo o n 1 periodo de muestreo Ts = 4W y reemplazando fc por fc y k por r. En particular las expresiones para la componente en fase gc (t) y en cuadratura gs (t) de la se˜al dadas por las ecuaciones (2.12) y (2.13) pasan n a ser ahora las ecuaciones (2.21) y (2.22), respectivamente. ∞ v gc (t) = (−1)v g sinc(2W t − v) (2.21) v=−∞ 2W ∞ 2v − 1 1 gs (t) = (−1)v+r+1 g sinc 2W t − v + (2.22) v=−∞ 4W 2 La ecuaci´n (2.17) se puede poner ahora seg´n la ecuaci´n (2.23) que muestra que g(t) se puede recuperar o u o de forma exacta a partir de sus muestras tomadas a una tasa fs = 4W . ∞ n g(t) = g(nTs )sinc 2W t − cos[2πfc (t − nTs )] (2.23) n=−∞ 2
  • 16. ˜ MUESTREO DE SENALES PASO BANDA. 13 1 Ts´ 8W 1 6W r= 2 16/3 W r= 3 5W 24/5 W r= r= 4 r=5 4W fc + W 0 2W 4W 6W 8W 10W 12W Figura 2.3 Frecuencia de muestreo como funci´n de la frecuencia m´xima de la se˜ al paso banda. o a n La ecuaci´n (2.23) se puede poner de forma m´s est´ndar convolucionando a ambos lados con la funci´n o a a o φ1 (t) dada por la ecuaci´n (2.24). La transformada de Fourier de esta funci´n viene dada por la ecuaci´n o o o (2.25), es decir, es un filtro paso banda ideal que ocupa la misma banda de frecuencias que la se˜al paso n banda g(t). Por tanto la convoluci´n de esta se˜al con g(t) la deja sin modificar. Entonces la ecuaci´n (2.23) o n o se puede poner seg´n la ecuaci´n (2.26), donde la funci´n φ2,n (t) viene dada por la ecuaci´n (2.27). u o o o φ1 (t) = 4W sinc(2W t) cos(2πfc t) (2.24)   1 fc − W < |f | < fc + W Φ1 (f ) = (2.25) 0 en el resto  ∞ g(t) = g(nTs )φ1 (t) ∗ φ2,n (t) (2.26) n=−∞ φ2,n (t) = sinc[2W (t − nTs )] cos[2πfc (t − nTs )] (2.27) Haci´ndolo en el dominio de la frecuencia se puede comprobar que la convoluci´n de las funciones φ1 (t) e o 1 y φ2,n (t) viene dada por la ecuaci´n (2.28). Teniendo en cuenta que Ts = 4W , la ecuaci´n (2.26) se puede o o poner finalmente seg´n la ecuaci´n (2.29). u o
  • 17. 14 Cap´ ıtulo 2 W φ1 (t) ∗ φ2,n (t) = sinc[2W (t − nTs )] cos[2πfc (t − nTs )] (2.28) W ∞ g(t) = 4W Ts g(nTs )sinc[2W (t − nTs )] cos[2πfc (t − nTs )] (2.29) n=−∞ En el caso general, la frecuencia de muestreo m´ınima fs viene dada por la ecuaci´n (2.30), siendo r o el entero dado por la ecuaci´n (2.18). Si dibujamos la frecuencia de muestreo m´ o ınima fs en funci´n de la o frecuencia m´xima fc +W de la se˜al paso banda g(t), obtenemos la gr´fica que puede verse en la figura 2.3. a n a Como puede verse, independientemente de la posici´n de la banda de frecuencias de la se˜al, la frecuencia o n m´ınima de muestreo est´ siempre entre 4W y 8W . En la figura anterior los m´ a ınimos corresponden siempre a una frecuencia m´ınima de muestreo de 4W , mientras que los m´ximos a una frecuencia 4W r+1 . a r 2(fc + W ) fs = ≥ 4W (2.30) r En general, se suele muestrear la se˜al paso banda a una tasa ligeramente superior a la dada por la figura n 2.3 ´ por la ecuaci´n (2.30) para tener en cuenta que la se˜al no es estrictamente limitada en banda y o o n simplificar el dise˜o del filtro paso banda de reconstrucci´n. n o
  • 18. 3 ´ ASPECTOS PRACTICOS DEL MUESTREO. En la pr´ctica el muestreo de una se˜al anal´gica se logra mediante circuitos con transistores que con- a n o mutan a alta velocidad. As´ se puede ver que la se˜al muestreada resultante no es exactamente la descrita ı n de forma ideal con muestras instant´neas debido a que la operaci´n de muestreo, aunque sea muy r´pida, a o a requiere un intervalo de tiempo distinto de cero. A menudo resulta que las muestras de una se˜al anal´gi- n o ca son alargadas en el tiempo intencionadamente para su transmisi´n o para instrumentaci´n. Vamos a o o analizar los efectos de las desviaciones del muestreo ideal. 3.1 ´ MUESTREO DE DURACION FINITA. Vamos a considerar una se˜al anal´gica arbitraria g(t), como la que se muestra en la figura 3.1, aplicada n o a un circuito conmutador controlado por una funci´n muestreadora c(t) que consiste en un tren de pulsos o rectangulares de amplitud A, duraci´n T y periodo Ts como se muestra en la figura 3.2. La salida del o circuito conmutador s(t) se puede ver en la figura 3.3. Se puede ver que la operaci´n de conmutaci´n extrae de la se˜al g(t) trozos de duraci´n T a una o o n o tasa fs = 1/Ts . La se˜al muestreada s(t) consiste en una secuencia de pulsos cuya expresi´n viene dada n o simplemente por la ecuaci´n (3.1). La se˜al muestreadora c(t) es una se˜al peri´dica con periodo Ts por lo o n n o que se puede representar en serie de Fourier. La expresi´n de la serie compleja de Fourier para esta se˜al o n se puede determinar de forma sencilla, obteni´ndose la ecuaci´n (3.2). Sustituyendo esta expresi´n en la e o o ecuaci´n (3.1), se obtiene la ecuaci´n. (3.3). o o g(t) t Figura 3.1 Se˜al arbitraria. n 15
  • 19. 16 Cap´ ıtulo 3 c(t) T A t Ts Figura 3.2 Se˜ al muestreadora formada por un tren de pulsos rectangulares. n s(t) T t Ts Figura 3.3 Se˜al muestreada a la salida del conmutador. n s(t) = c(t)g(t) (3.1) ∞ TA nT j2πnt c(t) = sinc exp (3.2) Ts n=−∞ Ts Ts ∞ TA nT j2πnt s(t) = sinc exp g(t) (3.3) Ts n=−∞ Ts Ts Utilizando la propiedad de la transformada de Fourier de desplazamiento frecuencial se puede llegar sin problema a la expresi´n para el espectro S(f ) de la se˜al s(t) dada por la ecuaci´n (3.3), obteni´ndose la o n o e ecuaci´n (3.4), donde G(f ) es el espectro de la se˜al original g(t). o n
  • 20. ´ ASPECTOS PRACTICOS DEL MUESTREO. 17 G(f) f −W W Figura 3.4 Espectro de la se˜ al de la figura 3.1 limitado a la banda W . n S(f) sinc ( nT) Ts f 2 1 −W W 1 2 − − Ts Ts Ts Ts Figura 3.5 Espectro de la se˜al muestreada de la figura 3.3. n ∞ TA nT n S(f ) = sinc G f− (3.4) Ts n=−∞ Ts Ts Si suponemos que la se˜al g(t) no tiene componentes fuera de |f | < W seg´n la figura 3.4, el espectro n u de la se˜al s(t) viene dado gr´ficamente por la figura 3.5. Hemos supuesto que la tasa de muestreo fs es n a superior al l´ ımite de Nyquist 2W para no tener aliasing. Como se puede apreciar el efecto de la duraci´no nT finita de los pulsos es multiplicar el l´bulo n por el factor T A sinc Ts . La se˜al original se va a poder o n recuperar sin distorsi´n pasando la se˜al muestreada s(t) por un filtro paso bajo ideal con ancho de banda o n B que satisfaga la condici´n dada por la ecuaci´n (3.5) ´ por un filtro real cuya zona de transici´n caiga o o o o en dicho intervalo. W < B < fs − W (3.5) Se puede decir que el uso de pulsos de muestreo de duraci´n finita no tiene efectos importantes en el o proceso de muestreo. En el caso particular que los pulsos tengan ´rea unidad, es decir, T A = 1, la ecuaci´n a o (3.4) y la ecuaci´n (3.6) que define el espectro para el muestreo ideal como ya vimos son iguales en el l´ o ımite cuando hacemos T → 0. O dicho de otro modo la se˜al s(t) tiende a la se˜al muestreada ideal gδ (t) seg´n n n u la duraci´n de los pulsos T → 0, cuando mantenemos el ´rea de los pulsos unidad, T A = 1. o a ∞ 1 n S(f ) = G f− (3.6) Ts n=−∞ Ts
  • 21. 18 Cap´ ıtulo 3 s(t) T t Ts g(t) Figura 3.6 Se˜al muestreada empleando muestras de tipo Flat-Top. n 3.2 MUESTRAS PLANAS O FLAT-TOP. Vamos a considerar ahora la situaci´n en la que la se˜al anal´gica g(t) se muestrea de forma instant´nea o n o a a una tasa fs = 1/Ts y cada muestra se mantiene o alarga una duraci´n T tal y como se muestra en la o figura 3.6. Este tipo de muestreo se denomina muestreo Flat-Top. Una raz´n para incrementar intencionadamente la longitud de las muestras es para evitar el uso de o un ancho de banda de transmisi´n excesivo, ya que el ancho de banda es inversamente proporcional a la o duraci´n de los pulsos. Si denominamos s(t) a la se˜al muestreada empleando muestras Flat-Top, podemos o n escribir a ecuaci´n (3.7), donde h(t) es un pulso rectangular de amplitud unidad y duraci´n T definido por o o la ecuaci´n (3.8). o ∞ s(t) = g(nTs )h(t − nTs ) (3.7) n=−∞   1 0<t<T h(t) = (3.8) 0 en el resto  La expresi´n para la se˜al con muestreo instant´neo gδ (t) como ya vimos era la de la ecuaci´n (3.9). o n a o ∞ gδ (t) = g(nTs )δ(t − nTs ) (3.9) n=−∞ Si convolucionamos la se˜al con muestreo instant´neo gδ (t) con h(t) se obtiene el desarrollo de la ecuaci´n n a o (3.10). Utilizando la propiedad de desplazamiento temporal de δ(t) se obtiene la ecuaci´n (3.11), por lo que o la se˜al muestreada Flat-Top s(t) es matem´ticamente equivalente a la convoluci´n de la se˜al muestreada n a o n ideal gδ (t) con la forma del pulso h(t).
  • 22. ´ ASPECTOS PRACTICOS DEL MUESTREO. 19 |H(f)| T f −2/T −1/T 1/T 2/T H(f) pte. −πT f Figura 3.7 Respuesta en amplitud y en fase del sistema con funci´n de transferencia H(f ). o ∞ ∞ ∞ gδ (t) ∗ h(t) = gδ (τ )h(t − τ )dτ = g(nTs )δ(τ − nTs )h(t − τ )dτ −∞ −∞ n=−∞ ∞ ∞ = g(nTs ) δ(τ − nTs )h(t − τ )dτ (3.10) n=−∞ −∞ ∞ s(t) = gδ (t) ∗ h(t) = g(nTs )h(t − nTs ) (3.11) n=−∞ Tomando transformada de Fourier en la ecuaci´n (3.11) se tiene la ecuaci´n (3.12), siendo H(f ) la trans- o o formada de Fourier de la forma del pulso h(t) y Gδ (f ) el espectro de la se˜al muestreada ideal gδ (t). n ∞ 1 n S(f ) = Gδ (f )H(f ) = G f− H(f ) (3.12) Ts n=−∞ Ts Si suponemos que la se˜al g(t) est´ limitada en banda y que la tasa de muestreo fs es mayor que la tasa n a de Nyquist, si pasamos la se˜al s(t) a trav´s del filtro paso bajo de reconstrucci´n, el espectro de la se˜al a n e o n
  • 23. 20 Cap´ ıtulo 3 1.4 1.3 1.2 1 sinc ( T ) 2Ts 1.1 1 Condicion ideal 0.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 T/Ts Figura 3.8 Respuesta en amplitud m´xima del ecualizador en funci´n del tiempo de ocupaci´n de mues- a o o tra. la salida ser´ G(f )H(f ). Es decir, el proceso de muestreo y reconstrucci´n va a ser equivalente en este caso a o a pasar la se˜al original g(t) a trav´s de un filtro paso bajo de funci´n de transferencia H(f ) o respuesta n e o al impulso h(t). La expresi´n para H(f ) se puede determinar de forma sencilla, obteni´ndose la ecuaci´n o e o (3.13). En la figura 3.7 se puede ver gr´ficamente la respuesta en amplitud y en fase de este filtro (no se a ha tenido en cuenta en la representaci´n de la fase el signo de la funci´n sinc). o o H(f ) = T sinc(f T ) exp(−jπf T ) (3.13) Se puede decir que las muestras Flat-Top introducen distorsi´n de amplitud, adem´s de un retardo de o a T /2. Este efecto es parecido a la variaci´n de la frecuencia debido al tama˜o finito de la apertura del o n escaneado en televisi´n y fax. Se suele denominar efecto apertura. o La distorsi´n de amplitud se suele corregir conectando un ecualizador en cascada con el filtro paso o bajo de reconstrucci´n. Este ecualizador tiene el efecto de disminuir la p´rdida en la banda del filtro o e de reconstrucci´n seg´n la frecuencia crece de forma que se compense el efecto apertura. Idealmente la o u respuesta en amplitud del ecualizador viene dada por la ecuaci´n (3.14). o 1 1 πf = = (3.14) |H(f )| T sinc(f T ) sin(πf T ) 1 En la pr´ctica la cantidad de ecualizaci´n necesaria es peque˜a. A la frecuencia superior f = 2Ts , que es a o n donde hay m´s distorsi´n, cuando la frecuencia de muestreo es la de Nyquist, se puede ver que la respuesta a o en amplitud del ecualizador normalizada a la frecuencia cero viene dada por la ecuaci´n (3.15), donde T /Ts o es el tiempo de ocupaci´n de muestra. En la figura 3.8 podemos ver esta respuesta m´xima del ecualizador o a como funci´n del tiempo de ocupaci´n de muestra T /Ts . o o
  • 24. ´ ASPECTOS PRACTICOS DEL MUESTREO. 21 (π/2)(T /Ts ) (3.15) sin[(π/2)(T /Ts )) Lo ideal ser´ que el factor de compensaci´n m´xima fuera unidad (no compensaci´n). Por ejemplo ıa o a o para un tiempo de ocupaci´n del 10 %, el factor de compensaci´n es de 1,0041. Por eso, para tiempos de o o ocupaci´n menores del 10 %, el efecto apertura se puede considerar despreciable y la ecualizaci´n puede o o eliminarse.
  • 25. 4 ´ ˜ RECONSTRUCCION DE UNA SENAL ALEATORIA A PARTIR DE SUS MUESTRAS. El estudio del proceso de muestreo quedar´ incompleto sin considerar la reconstrucci´n de una se˜al ıa o n aleatoria a partir de sus muestras. Vamos a ver que cuando un proceso estacionario en sentido amplio cuya densidad espectral de potencia est´ limitada en banda se puede reconstruir a partir de la secuencia de a muestras tomadas a una tasa igual a dos veces la frecuencia superior de la se˜al. En este caso el proceso de n reconstrucci´n da lugar a una se˜al que es igual a la original en sentido cuadr´tico medio en todo instante o n a de tiempo. Sea un proceso estoc´stico o se˜al aleatoria X(t) estacionario en sentido amplio con funci´n de autoco- a n o rrelaci´n RX (τ ) y densidad espectral de potencia SX (f ). La condici´n de se˜al limitada en banda viene en o o n este caso dada por la ecuaci´n (4.1). o SX (f ) = 0 para |f | > W (4.1) Supongamos ahora que se dispone de una secuencia infinita de muestras tomadas del proceso a la tasa de Nyquist fs = 2W , es decir, a dos veces la frecuencia superior de la se˜al. Si denotamos con X (t) a la n se˜al aleatoria reconstruida a partir de la secuencia infinita de muestras, podemos utilizar la f´rmula de n o n interpolaci´n vista obteni´ndose la ecuaci´n (4.2), donde cada X 2W es una variable aleatoria obtenida o e o n muestreando el proceso X(t) en el instante de tiempo t = 2W . ∞ n X (t) = X sinc(2W t − n) (4.2) n=−∞ 2W El valor cuadr´tico medio del error entre la se˜al original X(t) y el proceso reconstruido X (t) viene a n dado por la ecuaci´n (4.3). o E = E[(X(t) − X (t))2 ] = E[X 2 (t)] − 2E[X(t)X (t)] + E[(X (t))2 ] (4.3) El primer t´rmino de la ecuaci´n (4.3) es el valor cuadr´tico medio de la se˜al original se puede poner e o a n seg´n la ecuaci´n (4.4). u o E[X 2 (t)] = RX (0) (4.4) Para el segundo t´rmino de la ecuaci´n (4.3) se puede sustituir X (t) por su valor dado por la ecuaci´n e o o (4.2), obteni´ndose la ecuaci´n (4.5). Si en esta ecuaci´n intercambiamos el orden del sumatorio y el valor e o o esperado obtenemos la ecuaci´n (4.6). o 23
  • 26. 24 Cap´ ıtulo 4 ∞ n E[X(t)X (t)] = E X(t) X sinc(2W t − n) (4.5) n=−∞ 2W ∞ ∞ n n E[X(t)X (t)] = E X(t)X sinc(2W t − n) = RX t − sinc(2W t − n) (4.6) n=−∞ 2W n=−∞ 2W Para procesos estacionarios E[X(t)X (t)] es independiente del tiempo t. Podemos poner t = 0 en la ecuaci´n (4.6) y tener en cuenta que en el caso real la autocorrelaci´n es par, RX (−τ ) = RX (τ ), por lo que o o obtenemos la ecuaci´n (4.7). o ∞ n E[X(t)X (t)] = RX sinc(−n) (4.7) n=−∞ 2W n Los t´rminos RX 2W representan muestras de la funci´n de autocorrelaci´n RX (τ ) tomadas a una e o o tasa fs = 2W . Ya que, como hemos dicho, la transformada de Fourier de la autocorrelaci´n RX (τ ) es la o densidad espectral de potencia SX (f ) que est´ limitada en banda seg´n la ecuaci´n (4.1), se cumple el a u o teorema de Nyquist y por tanto utilizando la f´rmula de interpolaci´n se puede escribir la ecuaci´n (4.8) o o o n para recuperar la autocorrelaci´n RX (τ ) a partir de sus muestras RX 2W . o ∞ n RX (τ ) = RX sinc(2W τ − n) (4.8) n=−∞ 2W Comparando las ecuaciones (4.7) y (4.8), se puede fijar τ = 0 en la segunda para poder igualarlas obteni´ndose finalmente la ecuaci´n (4.9) para el segundo t´rmino de la ecuaci´n (4.3). e o e o E[X(t)X (t)] = RX (0) (4.9) Para el tercer t´rmino de la ecuaci´n (4.3) se puede sustituir X (t) por su valor dado por la ecuaci´n e o o (4.2), obteni´ndose la ecuaci´n (4.10). Si en esta ecuaci´n intercambiamos el orden del sumatorio y el valor e o o esperado obtenemos la ecuaci´n (4.11). o ∞ ∞ n k E[(X (t))2 ] = E X sinc(2W t − n) X sinc(2W t − k) n=−∞ 2W 2W k=−∞ ∞ ∞ n k = E sinc(2W t − n) X X sinc(2W t − k) (4.10) n=−∞ 2W 2W k=−∞ ∞ ∞ n k E[(X (t))2 ] = sinc(2W t − n) E X X sinc(2W t − k) n=−∞ 2W 2W k=−∞ ∞ ∞ n−k = sinc(2W t − n) RX sinc(2W t − k) (4.11) n=−∞ 2W k=−∞
  • 27. ´ ˜ RECONSTRUCCION DE UNA SENAL ALEATORIA MUESTREADA 25 Se puede comprobar f´cilmente teniendo en cuenta la ecuaci´n (4.8) que el segundo sumatorio de la a o ecuaci´n (4.11) se puede poner seg´n la ecuaci´n (4.12). Sustituyendo esta ecuaci´n en la ecuaci´n (4.11) o u o o o y teniendo en cuenta las ecuaciones (4.6) y (4.9) se obtiene finalmente la ecuaci´n (4.13) para el tercer o t´rmino de la ecuaci´n (4.3). e o ∞ ∞ n−k k n RX sinc(2W t − k) = RX sinc(2W t − n − k) = RX t − (4.12) 2W 2W 2W k=−∞ k=−∞ ∞ n E[(X (t))2 ] = RX t − sinc(2W t − n) = RX (0) (4.13) n=−∞ 2W Sustituyendo las ecuaciones (4.4), (4.9) y (4.13) en la ecuaci´n (4.3) se tiene la ecuaci´n (4.14). Es decir, o o el valor cuadr´tico medio de la diferencia entre la se˜al original X(t) y la se˜al reconstruida X (t) utilizando a n n las muestras tomadas a la tasa de Nyquist fs = 2W es igual a cero. E = E[(X(t) − X (t))2 ] = E[X 2 (t)] − 2E[X(t)X (t)] + E[(X (t))2 ] = 0 (4.14)
  • 28. 5 ´ ´ MULTIPLEXACION POR DIVISION EN EL TIEMPO (TDM). El teorema de muestreo nos permite transmitir toda la informaci´n contenida en una se˜al limitada en o n banda g(t) utilizando muestras tomadas uniformemente a una tasa ligeramente superior a la de Nyquist. Una caracter´ ıstica importante en el proceso de muestreo es la conservaci´n del tiempo. Esto quiere decir o que la transmisi´n de una se˜al muestreada utiliza el canal de comunicaci´n solamente durante una fracci´n o n o o muy peque˜a del tiempo de muestreo de forma peri´dica y, de este modo, el resto del tiempo entre muestras n o adyacentes no se utiliza. Este tiempo que no se utiliza se puede usar precisamente para transmitir muestras procedentes de otras fuentes de informaci´n independientes en un sistema en tiempo compartido. As´ ob- o ı tenemos lo que se denomina se˜ al TDM o multiplexaci´n por divisi´n en el tiempo que permite la n o o utilizaci´n conjunta de un canal de comunicaciones com´n por un conjunto de fuentes independientes sin o u interferencia mutua. En la figura 5.1 se puede ver esquem´ticamente un sistema TDM extremo a extremo. El sistema tiene a como entrada N se˜ales anal´gicas procedentes de N fuentes independientes. Cada una de estas se˜ales n o n de entrada se limita en banda al ancho de banda adecuado mediante un filtro paso bajo antialiasing para eliminar las componentes en frecuencia no esenciales para la representaci´n de la se˜al. Las N salidas de o n los filtros paso bajo se aplican a un conmutador que se implementa en la pr´ctica mediante circuiter´ a ıa electr´nica de conmutaci´n. El prop´sito de este conmutador es: o o o Tomar una muestra estrecha de cada una de las N entradas a una tasa fs ligeramente superior a la tasa de Nyquist 2W , siendo W la frecuencia de corte de los filtros paso bajo antialiasing. Colocar cada una de las N muestras procedentes de las N se˜ales de forma ordenada dentro de cada n periodo Ts . 1 Filtro Filtro 1 Paso Bajo Paso Bajo Sincronizacion 2 Filtro Filtro 2 Paso Bajo Paso Bajo Modulador de Canal de Demodulador Pulsos Transmision de Pulsos Conmutador Deconmutador Pulsos de Pulsos de Sincronismo Sincronismo N Filtro Filtro N Paso Bajo Paso Bajo Figura 5.1 Esquema de un sistema TDM extremo a extremo. 27
  • 29. 28 Cap´ ıtulo 5 La segunda operaci´n del conmutador es de hecho lo esencial de la multiplexaci´n por divisi´n en el o o o tiempo. Tras el conmutador, la se˜al ya multiplexada se aplica a un modulador de pulsos, cuyo prop´sito es n o modificar la se˜al multiplexada de la forma apropiada para su transmisi´n por el canal de comunicaciones. n o Se puede ver que el proceso de multiplexaci´n introduce una expansi´n en el ancho de banda de un o o factor de N , puesto que el esquema TDM coloca N muestras procedentes de fuentes independientes en un intervalo temporal igual al periodo de muestreo. Es decir, la tasa real de muestras por segundo es de N fs . En el extremo receptor, la se˜al recibida se aplica a un demodulador de pulsos que realiza la operaci´n n o inversa al modulador de pulsos. Las muestras ordenadas en la se˜al TDM a la salida del demodulador n de pulsos se distribuyen en los N canales utilizando un deconmutador, como se puede ver en la figura 5.1, que debe estar en perfecto sincronismo con el conmutador del transmisor. La sincronizaci´n entre el o conmutador y deconmutador es esencial para el correcto funcionamiento el sistema TDM. El modo en el que se implementa esta sincronizaci´n, como veremos m´s adelante, va a depender del m´todo de modulaci´n o a e o de pulsos empleado para transmitir por el canal de comunicaciones la secuencia multiplexada. Finalmente, como se puede ver en la figura 5.1, cada una de las N se˜ales se pasa por el filtro paso bajo de reconstrucci´n n o correspondiente para obtener las N se˜ales anal´gicas. n o El sistema TDM es muy sensible a la dispersi´n del canal de comunicaciones, esto es, es muy sensible a o variaciones de la amplitud con la frecuencia o a p´rdidas de proporcionalidad de la fase con la frecuencia. e En general, va a ser necesario realizar una ecualizaci´n de la se˜al para asegurar el correcto funcionamiento o n del sistema. El sistema TDM es inmune a no linealidades en la amplitud del canal de comunicaciones como fuente de diafon´ (proceso por el cual se mezclan o interfieren se˜ales procedentes de fuentes o canales diferentes), ıa n debido a que las diferentes se˜ales no est´n presentes en el canal de forma simult´nea. n a a TDM y FDM constituyen los dos est´ndares b´sicos de multiplexaci´n m´s utilizados en telefon´ Con a a o a ıa. la coexistencia de los sistemas anal´gicos y digitales en la red telef´nica, es necesario disponer de interfaces o o entre las secciones anal´gicas y las secciones digitales de la red. El elemento denominado transmultiplexor o es el interfaz dise˜ado con este prop´sito: convierte una se˜al TDM en FDM y viceversa. n o n
  • 30. 6 ´ MODULACION DE PULSOS EN AMPLITUD (PAM). En la modulaci´n de pulsos en amplitud o PAM, la amplitud de pulsos rectangulares equiespaciados es o proporcional al valor instant´neo de las muestras de una se˜al continua. En la figura 6.1 podemos ver un a n ejemplo de se˜al moduladora. En la figura 6.2 se puede ver la portadora utilizada para generar la se˜al n n PAM. Como puede verse no es m´s que un tren peri´dico de pulsos. En la figura 6.3 podemos ver la se˜al a o n PAM generada a partir de la se˜al moduladora de la figura 6.1 y la se˜al portadora de la figura 6.2. n n La se˜al PAM se puede poner anal´ n ıticamente seg´n la ecuaci´n (6.1), donde m(nTs ) es la muestra n de u o la se˜al moduladora m(t), Ts es el periodo de muestreo, ka es la sensibilidad en amplitud y g(t) es la forma n de pulso. Al igual que ocurr´ en AM la constante ka se elige para no tener sobremodulaci´n, es decir, para ıa o mantener la polaridad de la portadora siempre positiva, seg´n la ecuaci´n (6.2). La tasa de muestreo debe u o ser mayor que dos veces la frecuencia m´xima de la se˜al moduladora m(t) de acuerdo con el teorema de a n muestreo. m(t) t Figura 6.1 Se˜al moduladora. n c(t) t Figura 6.2 Se˜ al portadora utilizada en PAM. n 29
  • 31. 30 Cap´ ıtulo 6 s(t) t Figura 6.3 Se˜ al PAM. n ∞ s(t) = [1 + ka m(nTs )]g(t − nTs ) (6.1) n=−∞ 1 + ka m(nTs ) > 0 ∀n (6.2) La se˜al PAM s(t) se puede demodular de forma sencilla utilizando un filtro paso bajo con frecuencia de n corte igual al ancho de banda de la se˜al moduladora m(t). La se˜al recuperada tendr´ una componente n n a continua, debido a que la se˜al PAM contiene la se˜al portadora, que se puede eliminar de forma sencilla n n mediante un condensador de desacople. Adem´s la se˜al recuperada tiene una ligera distorsi´n en amplitud a n o debido al efecto apertura causado por el alargamiento de las muestras que se puede corregir utilizando un ecualizador como ya hemos visto. La transmisi´n de se˜ales PAM impone restricciones muy severas en la respuesta en amplitud y fase del o n canal de comunicaciones debido a la duraci´n relativamente corta de los pulsos transmitidos. Adem´s de o a un excesivo ancho de banda de transmisi´n, el funcionamiento frente al ruido de un sistema PAM nunca o puede ser mejor que la transmisi´n de la se˜al en banda base. Se puede ver que para transmisi´n a larga o n o distancia el sistema PAM se puede utilizar como una parte del proceso TDM a partir del cual se utilizar´ un a modulador de pulsos que emplee alguna otra forma de modulaci´n de pulsos. o La mayor parte de los sistemas de modulaci´n de pulsos requieren sincronizaci´n del receptor y del o o transmisor. Se suele mantener sincronismo a nivel de trama. Este m´todo requiere transmitir informaci´n e o a˜adida, adem´s de los pulsos de informaci´n, que sirva como marcas temporales dentro de cada trama de n a o forma que ciertas puertas en la estructura del receptor se puedan abrir y cerrar en los instantes apropiados del tiempo. En algunos casos la marca temporal se fija transmitiendo un marcador por trama, mientras que en otros casos se fija eliminando un pulso en su intervalo correspondiente. En el caso de transmitir marcadores, ´stos deber´n ser tales que se puedan distinguir de los pulsos de informaci´n. En un sistema e a o PAM, un marcador se identifica haciendo la amplitud del pulso mayor que todos los posibles valores de los pulsos de informaci´n. En la figura 6.4 se puede ver la trama TDM correspondiente a tres canales PAM o y una marca de sincronismo por trama. Un marcador de este tipo se puede separar f´cilmente de la se˜al a n recibida mediante un sistema umbral que deje pasar unicamente se˜ales con amplitud mayor que el umbral ´ n de entrada. En la figura 6.5 se puede ver la caracter´ ıstica entrada/salida de este dispositivo umbral. Cuando la se˜al TDM de la figura 6.4 est´ por debajo del umbral la salida es cero. Para cuando la se˜al es mayor n a n
  • 32. ´ MODULACION DE PULSOS EN AMPLITUD (PAM). 31 Umbral 1 2 3 S 1 2 3 S Figura 6.4 Trama TDM-PAM con una marca de sincronismo por trama. Salida Entrada Umbral Figura 6.5 Caracter´ ıstica entrada/salida del dispositivo umbral. 1 2 3 S 1 2 3 S Figura 6.6 Se˜al de sincronismo recuperada. n que el umbral la salida es constante. Cuando la se˜al TDM de la figura 6.4 se pasa por el sistema umbral n de la figura 6.5 se obtiene una se˜al de sincronismo como la que puede verse en la figura 6.6. n
  • 33. 7 ´ MODULACION DE PULSOS EN EL TIEMPO (PPM Y PDM). En un sistema de modulaci´n de pulsos, se puede incrementar el ancho de banda gastado por los pulsos o para obtener una mejora en su funcionamiento con ruido representando cada muestra de la se˜al mediante n alguna propiedad del pulso distinta de su amplitud. En la modulaci´n por duraci´n del pulso o PDM, o o las muestras de la se˜al moduladora m(t) se utilizan para modificar la duraci´n de los pulsos individuales. n o La se˜al moduladora m(t) modifica el instante de tiempo del flanco de subida, del flanco de bajada o de n ambos. Para el caso en el que s´lo se modifique la posici´n del flanco de bajada, la forma del pulso g(t) o o debe cumplir la ecuaci´n (7.1), entonces la se˜al modulada viene dada por la ecuaci´n (7.2), donde kd es o n o la sensibilidad en duraci´n del modulador. Para no tener sobremodulaci´n (que los pulsos no se solapen) o o es necesario que se cumpla la ecuaci´n (7.3). En la figura 7.1 se puede ver una se˜al moduladora y en la o n figura 7.2 la se˜al PDM. n g(t) = 0 s´lo para 0 ≤ t ≤ T o (7.1) ∞ 2T [t − nTs ] s(t) = g (7.2) n=−∞ Ts [1 + kd m(nTs )] 1 + kd m(nTs ) > 0 ∀n (7.3) En PDM los pulsos largos gastan una cantidad considerable de potencia durante el pulso mientras que no a˜aden informaci´n adicional. Si dicha potencia adicional se elimina de la se˜al PDM y se conserva n o n m(t) t Figura 7.1 Se˜al moduladora. n 33
  • 34. 34 Cap´ ıtulo 7 s(t) t Ts 2Ts 3Ts Figura 7.2 Se˜al PDM con muestreo uniforme. n unicamente los instantes de las transiciones, se obtiene un tipo m´s eficiente de modulaci´n de pulsos ´ a o denominado modulaci´n por posici´n de pulsos o PPM. En PPM la posici´n relativa del pulso o o o respecto a su posici´n sin modular var´ de acuerdo con la se˜al moduladora m(t). La forma del pulso g(t) o ıa n debe cumplir la ecuaci´n (7.4), entonces la se˜al modulada viene dada por la ecuaci´n (7.5), donde kp es o n o la sensibilidad en posici´n del modulador. Para no tener sobremodulaci´n (que los pulsos no se solapen) o o es necesario que se cumpla la ecuaci´n (7.6). En la figura 7.3 se puede ver la se˜al PPM para la se˜al o n n moduladora de la figura 7.1. T g(t) = 0 para |t| > (7.4) 2 ∞ s(t) = g[t − nTs − kp m(nTs )] (7.5) n=−∞ Ts − T kp |m(nTs )| < ∀n (7.6) 2 Un procedimiento para generar una se˜al PDM en la que var´ el flanco de bajada consiste en sumar a n ıe la se˜al moduladora m(t) una se˜al portadora con pulsos con forma de dientes de sierra y la se˜al suma n n n aplicarla a un sistema umbral. En la figura 7.4 se puede ver este procedimiento. La duraci´n del pulso es o proporcional a la magnitud de la se˜al en el instante del flanco de bajada en lugar de por el flanco de subida n que es peri´dico en el tiempo. Por lo tanto, no se est´ haciendo un muestreo uniforme de la se˜al. Esta o a n forma de muestreo se denomina muestreo natural para diferenciarlo del uniforme. Si se desea emplear muestreo uniforme en lugar de muestreo natural se puede generar en primer lugar una se˜al PAM cuyos n pulsos ocupen todo el periodo de muestra y sumar esta se˜al a la se˜al con forma de dientes de sierra n n en lugar de la moduladora directamente. De esta forma la duraci´n del pulso es proporcional a la se˜al o n moduladora m(t) en el instante del flanco de subida que es peri´dico. Ahora el muestreo es uniforme. Una o consecuencia del muestreo uniforme es que se introduce cierta distorsi´n en la se˜al reconstruida. Esta o n distorsi´n es aceptable para voz si la alta fidelidad no es esencial. o Se puede generar una se˜al PPM a partir de una se˜al PDM utilizando el esquema de la figura 7.5. n n Este sistema tiene un estado absoluto y otro casi absoluto que viene fijado por una se˜al de entrada. Se n puede seleccionar que el pulso de salida del multivibrador venga determinado por el flanco de bajada de la
  • 35. ´ MODULACION DE PULSOS EN EL TIEMPO (PPM y PDM). 35 s(t) t Ts 2Ts 3Ts Figura 7.3 Se˜al PPM con muestreo uniforme. n se˜al de entrada. Puesto que la posici´n del flanco de bajada de la se˜al de entrada var´ seg´n la se˜al n o n ıa u n moduladora, en la salida la posici´n del pulso va a variar seg´n la se˜al moduladora como se desea en una o u n se˜al PPM. La duraci´n de los pulsos de salida se puede ajustar eligiendo adecuadamente los valores para n o la resistencia y el condensador. Cuando la se˜al PDM a la entrada emplee muestreo natural, la se˜al PPM n n resultante tambi´n. En el caso de que la se˜al PDM tenga muestreo uniforme, la se˜al PPM tambi´n. e n n e El an´lisis espectral de se˜ales PDM y PPM es complicado. Vamos a ver una descripci´n cualitativa en a n o PDM con muestreo natural. Sea Ts el periodo de muestreo. Ts es tambi´n la separaci´n entre los flancos e o de subida de la se˜al PDM. La se˜al PDM se ha obtenido mediante muestreo natural en los flancos de n n bajada. Vamos a suponer tambi´n que la se˜al moduladora m(t) es sinusoidal con frecuencia fm . Bajo estos e n supuestos la se˜al PDM tiene las siguientes componentes frecuenciales: n Componente continua a frecuencia cero igual al valor medio de la se˜al modulada. n Componentes a frecuencias m´ltiplos enteros de la de muestreo fs = 1/Ts que corresponden a l´ u ıneas espectrales en ±nfs para n = 1, 2, 3, . . . Estas componentes as´ como la componente continua son ı debidas al tren de pulsos sin modular que se puede considerar como se˜al portadora. n Componente a la frecuencia fm en fase con la se˜al moduladora que da lugar a las l´ n ıneas espectrales ±fm . Componentes frecuenciales correspondientes a productos de modulaci´n cruzados entre la se˜al mo- o n ıneas espectrales ±nfs ± mfm , para n, m = duladora sinusoidal y la se˜al portadora. Dan lugar a las l´ n 1, 2, 3, . . . Son pares de bandas laterales para cada componente de la se˜al portadora, excepto para n frecuencia cero. La se˜al moduladora se puede recuperar pasando la se˜al PDM por un filtro paso bajo, sin embargo n n el proceso de reconstrucci´n viene acompa˜ado por cierta cantidad de distorsi´n debido a los productos o n o de modulaci´n que caen en la banda de la se˜al como fs − 2fm , fs − 3fm , etc. Para evitar que haya o n mucha distorsi´n en la se˜al reconstruida, es necesario restringir la m´xima excursi´n del flanco de bajada o n a o de la se˜al PDM. Cuando se utiliza muestreo uniforme para generar la se˜al PDM, la salida del filtro n n reconstructor paso bajo no s´lo tiene la se˜al deseada, sino tambi´n sus arm´nicos ±mfm con m = 2, 3, . . .. o n e o Con muestreo natural esos arm´nicos no existen. En ambos casos siempre est´n presentes los productos o a de modulaci´n antes indicados. En el muestreo uniforme se tiene un deterioro mayor de la se˜al que en el o n muestreo natural.
  • 36. 36 Cap´ ıtulo 7 m(t) t c(t) t Ts 2Ts 3Ts m(t) + c(t) Umbral t s(t) t Ts 2Ts 3Ts Figura 7.4 Procedimiento para generar una se˜ al PDM con muestreo natural. n
  • 37. ´ MODULACION DE PULSOS EN EL TIEMPO (PPM y PDM). 37 R C Señal Multivibrador Señal PDM Monoestable PPM Figura 7.5 Esquema para generar una se˜al PPM a partir de una PDM. n En el caso de la se˜al PPM, se puede asumir que cada pulso tiene una duraci´n T muy peque˜a comparada n o n con el intervalo de muestreo Ts , as´ que se puede considerar como un impulso. De aqu´ se puede deducir que ı ı el espectro de una se˜al PPM con muestreo natural y moduladora sinusoidal es muy similar al espectro de n PDM, excepto que contiene una componente proporcional a la derivada de la se˜al moduladora en lugar n de proporcional a la se˜al moduladora como tal y que la componente continua es mucho menor. Entonces n se puede recuperar la se˜al de informaci´n de la se˜al PPM pas´ndola por un filtro paso bajo e integrando n o n a el resultado. Otra forma de recuperar la se˜al de informaci´n consiste en convertir la se˜al PPM en PDM n o n primero y luego demodular este ultima mediante un filtro paso bajo. De este modo se obtiene una mayor ´ amplitud de se˜al y menos distorsi´n. n o En un sistema con modulaci´n de pulsos en el tiempo como PDM o PPM, la informaci´n transmitida o o est´ contenida en las posiciones relativas de los pulsos modulados o sus flancos de subida o bajada. La a presencia de ruido afecta al funcionamiento del sistema modificando el instante de tiempo en el cual el pulso comienza o acaba. Se puede conseguir inmunidad frente al ruido haciendo que la subida o bajada de los pulsos sea muy r´pida de forma que el intervalo de tiempo durante el cual el ruido puede ejercer a perturbaciones sea muy peque˜o. De hecho, un ruido selectivo podr´ no afectar a los flancos de subida y n ıa bajada de los pulsos si los pulsos recibidos fueran perfectamente rectangulares, debido a que la presencia de ruido que s´lo introduzca perturbaciones en amplitud no afecta a la posici´n de los flancos. La recepci´n o o o de pulsos perfectamente rectangulares implica un ancho de banda de transmisi´n infinito. o En la pr´ctica con un ancho de banda de transmisi´n finito, los pulsos recibidos tienen un tiempo finito a o de subida y bajada por lo que el funcionamiento del sistema se va a ver afectado por el ruido. Como en un sistema FM la calidad frente al ruido en un sistema PPM o PDM es proporcional al cuadrado del ancho de banda normalizado. La calidad del sistema PPM, bajo las mismas condiciones, es siempre mejor que para el sistema PDM. La raz´n de ello es que el sistema PPM contiene la misma informaci´n que el o o sistema PDM, pero con un ahorro significativo de potencia transmitida con respecto a PDM. Por ello, PPM es m´s eficiente en potencia que PDM. En cualquier caso ambos sistemas pueden mejorar significativamente a al sistema PAM simplemente intercambiando ancho de banda por calidad. Adem´s si el ruido es elevado, a el receptor puede detectar pulsos falsos o no detectar pulsos buenos aumentando mucho el ruido hasta desaparecer la se˜al por completo. Es decir, como los sistemas PPM y PDM no son lineales sufren un n efecto umbral de forma similar a como ocurr´ con FM. ıa Al igual que ocurr´ con los sistemas PAM, los sistemas PDM y PPM se suelen emplear como base de ıa modulaci´n para formar tramas TDM que requieren transmitir ciertas marcas de sincronismo. Al igual que o vimos para los sistemas TDM-PAM, en TDM-PDM y en TDM-PPM se utiliza una marca de sincronismo por trama. En la figura 7.6 podemos ver un ejemplo de sincronismo a nivel de trama para ambos casos. En PDM el marcador se identifica eliminando el pulso en el intervalo correspondiente al canal de sin- cronismo. Un m´todo para identificar el marcador en recepci´n es utilizar el tiempo de carga de una red e o resistencia-condensador para medir la duraci´n de los intervalos de tiempo entre cada dos pulsos consecu- o tivos. La constante de tiempo se elije de modo que durante el intervalo del marcador (pulsos separados)
  • 38. 38 Cap´ ıtulo 7 PDM Marca Marca 1 2 3 S 1 2 3 S PPM Marca Marca 1 2 3 S 1 2 3 S Figura 7.6 Sincronizaci´n de tramas TDM-PDM y TDM-PPM. o la tensi´n en el condensador supere un valor suficientemente por encima de cuando se detecten los pulsos o normales de canales de informaci´n (pulsos juntos). La se˜al de tensi´n en el condensador se puede aplicar o n o a un circuito umbral apropiado de forma que a su salida se obtenga la se˜al de sincronismo buscada. n En PPM por su parte el marcador se identifica transmitiendo un pulso varias veces m´s ancho que el a resto de pulsos utilizados para canales de informaci´n. En recepci´n el marcador se puede extraer por o o un procedimiento similar al explicado para PDM. En este caso el condensador se debe cargar durante el tiempo que el pulso est´ a nivel alto y descargar en los intervalos entre pulsos. La tensi´n en el condensador a o superar´ un umbral cuando hay marcador y entonces mediante un circuito umbral se puede obtener la se˜al a n de sincronismo a partir de la se˜al TDM-PPM recibida. n
  • 39. 8 ´ MODULACION DIGITAL DE PULSOS (PCM). En los sistemas PAM, PDM y PPM s´lo se expresa el tiempo de forma discreta, mientras que los o par´metros de modulaci´n: amplitud, duraci´n y posici´n var´ de acuerdo con el mensaje. En estos a o o o ıan sistemas, la transmisi´n de la informaci´n es anal´gica en instantes discretos. Por otro lado, en PCM (Pulse o o o Code Modulation), la se˜al es muestreada y cada muestra se redondea al m´s cercano de un conjunto finito n a de posibles valores. As´ tanto la amplitud como el tiempo son discretos. De esta forma la informaci´n se ı o puede transmitir con impulsos codificados. La utilizaci´n de se˜ales digitales en lugar de anal´gicas tiene tres ventajas: o n o Robustez frente al ruido y las interferencias. Regeneraci´n eficiente de la se˜al codificada a lo largo del camino de transmisi´n. o n o Formato uniforme para diferentes tipos de se˜ales banda base. n Como inconveniente se puede citar el incremento del ancho de banda, as´ como el incremento de la ı complejidad. Con el incremento de disponibilidad de sistemas de banda ancha y la mejora de las tecnolog´ ıas, los sistemas digitales se han puesto en pr´ctica en muchos casos. En la figura 8.1 se puede ver el esquema a del codificador/transmisor de PCM. El muestreo, cuantificaci´n y codificaci´n se suelen realizar en un unico o o ´ sistema denominado conversor A/D. El esquema del decodificador/receptor de PCM se puede ver en la figura 8.2. Adem´s en puntos intermedios a lo largo del canal de comunicaciones se puede regenerar la a se˜al seg´n como puede verse en la figura 8.3. Cuando se multiplexan varias se˜ales PCM para generar una n u n trama TDM-PCM es necesario que el transmisor y el receptor est´n sincronizados. e Señal Filtro Señal Banda Muestreador Cuantificador Codificador Paso Bajo PCM Base Figura 8.1 Esquema del codificador/transmisor PCM. Señal Circuito Filtro de Señal Decodificador Entrada Regenerador Reconstruccion Destino Figura 8.2 Esquema del decodificador/receptor PCM. 39
  • 40. 40 Cap´ ıtulo 8 Señal PCM Repetidor Repetidor Señal PCM Regenerador Regenerador con Distorsion Regenerada Figura 8.3 Regeneraci´n de la se˜ al a lo largo del canal de comunicaciones. o n 8.1 MUESTREO. La se˜al anal´gica de entrada se muestra con un tren de pulsos rectangulares estrechos que aproximen al n o muestreo instant´neo. Para asegurar la reconstrucci´n de la se˜al original en recepci´n, la tasa de muestreo a o n o debe ser mayor que la de Nyquist, es decir, que el doble de la componente frecuencial mayor W de la se˜aln banda base de entrada. De hecho se suele utilizar un filtro paso bajo a la entrada de ancho de banda W para eliminar las componentes a mayor frecuencia antes del proceso de muestreo propiamente dicho. El muestreo permite la transformaci´n de una se˜al continua que var´ en el tiempo a un conjunto de valores o n ıa en instantes discretos del tiempo. 8.2 ´ CUANTIFICACION. La amplitud de cada muestra tiene un rango continuo de valores. Dentro del rango finito en amplitud donde var´ las muestras de la se˜al banda base, se puede encontrar un n´mero infinito de posibles niveles ıan n u de amplitud. En la pr´ctica, los sentidos s´lo pueden diferenciar un n´mero finito de niveles de amplitud. a o u Esto significa que cada muestra se va a poder aproximar por una amplitud discreta de un conjunto finito de posibles valores, procurando reducir el error en la aproximaci´n tanto como sea posible. La existencia de un o n´mero finito de amplitudes es una caracter´ u ıstica diferencial de una se˜al PCM. Si se eligen estos niveles n de amplitud lo suficientemente cercanos entre s´ el error cometido entre la se˜al original y la cuantificada ı, n ser´ despreciable, por lo que en la pr´ctica, ambas se˜ales ser´n indistinguibles. a a n a La conversi´n de una muestra continua a formato digital, es decir, a una muestra con amplitud discreta, o se denomina proceso de cuantificaci´n. La caracter´ o ıstica entrada/salida de un cuantificador tiene forma de escalera. La diferencia entre dos valores adyacentes se denomina tama˜o del escal´n δ. Un cuantificador n o se dise˜a para un rango de valores de entrada esperados (−Am´x , Am´x ). Siempre que la se˜al de entrada n a a n caiga en este intervalo, se dice que el cuantificador est´ funcionando es su zona lineal de trabajo. Si el valor a de la se˜al de entrada cayera fuera de este intervalo, se dice que el cuantificador est´ funcionando en zona n a de saturaci´n. En general el tama˜o del escal´n se determina utilizando la ecuaci´n (8.1) donde L el el o n o o n´mero de niveles de cuantificaci´n. u o 2Am´x a δ= (8.1) L En la figura 8.4 se puede ver la caracter´ıstica entrada/salida para L = 11 niveles de cuantificaci´n, o tama˜o del escal´n δ = 1 y rango de entrada dado por Am´x = 5,5. n o a La amplitud de entrada se divide en intervalos (zonas horizontales de la escalera) y se asigna para todos los valores dentro de ese intervalo el nivel de salida correspondiente al valor medio del intervalo (altura vertical de los escalones). Por ejemplo seg´n la figura 8.4 si el valor de entrada cae en el intervalo [2,5 3,5) u se le asignar´ el valor cuantificado de salida 3. a Se denomina error de cuantificaci´n a la diferencia entre la se˜al de entrada y la se˜al de salida del o n n cuantificador. En la figura 8.5 se ha representado el error de cuantificaci´n como funci´n de la se˜al de o o n entrada para el cuantificador de la figura 8.4. Como puede verse en la zona lineal de funcionamiento el error m´ximo de cuantificaci´n viene dado por la mitad del tama˜o del escal´n (0,5 en este caso), mientras que a o n o
  • 41. ´ MODULACION DIGITAL DE PULSOS (PCM). 41 Salida 5 4 3 2 −7/2 −3/2 1 −9/2 −5/2 −1/2 1/2 3/2 5/2 7/2 9/2 Entrada −1 −2 −3 −4 −5 Figura 8.4 Caracter´ ıstica entrada/salida para el cuantificador de tipo Mid-Thread. Error 1/2 −9/2 −7/2 −5/2 −3/2 −1/2 Entrada 1/2 3/2 5/2 7/2 9/2 −1/2 Figura 8.5 Error de cuantificaci´n como funci´n de la se˜al de entrada. o o n en la zona de saturaci´n el error no est´ acotado. El objetivo a la hora de dise˜ar un cuantificador debe ser o a n evitar la zona de saturaci´n y minimizar el error de cuantificaci´n empleando para ello el menor n´mero de o o u escalones posibles, pues como veremos m´s adelante aumentar el n´mero de escalones significar´ un mayor a u a ancho de banda de transmisi´n.o En la figura 8.6 se puede ver la se˜al cuantificada correspondiente a una se˜al sinusoidal, junto con el n n error de cuantificaci´n cometido. o Si δ es el tama˜o del escal´n, en un caso general cuando la se˜al de entrada cae en el intervalo [(Hi − n o n 1/2)δ, (Hi + 1/2)δ) el valor cuantificado de salida es Hi δ para Hi = 0, ±1, ±2, . . .. Este tipo de cuantificador que posee un n´mero de niveles L impar, se denomina de tipo Mid-Thread, ya que el origen coincide con u una zona horizontal de la escalera. El cuantificador de la figura 8.4 es de este tipo. Cuando el n´mero de u
  • 42. 42 Cap´ ıtulo 8 Entrada Salida Error t t Figura 8.6 Se˜ al sinusoidal cuantificada junto con el error de cuantificaci´n cometido. n o Salida 7/2 5/2 3/2 1/2 1 2 3 Entrada −3 −2 −1 −1/2 −3/2 −5/2 −7/2 Figura 8.7 Caracter´ ıstica entrada/salida para el cuantificador de tipo Mid-Riser. niveles L es par, el cuantificador se denomina de tipo Mid-Riser, ya que el origen coincide con una zona vertical de la escalera. En este caso cuando la se˜al de entrada cae en el intervalo [(Hi −1)δ/2, (Hi +1)δ/2) el n valor cuantificado de salida es Hi δ/2 para Hi = ±1, ±3, ±5, . . .. En la figura 8.7 se puede ver la caracter´ ıstica entrada/salida de tipo Mid-Riser para L = 8 niveles de cuantificaci´n, tama˜o del escal´n δ = 1 y rango o n o de entrada dado por Am´x = 4. a El proceso de cuantificaci´n visto utiliza una separaci´n uniforme entre los valores de cuantificaci´n. En o o o algunos casos es util usar separaciones variables entre los niveles de cuantificaci´n. En el caso de una se˜al ´ o n de voz, entre una se˜al fuerte y una d´bil puede haber una relaci´n de amplitudes de 1000 a 1 . Usando n e o un cuantificador uniforme las se˜ales d´biles tendr´n un error relativo de cuantificaci´n mucho mayor n e a o que las se˜ales fuertes ya que utilizan muchos menos niveles (escalones) de cuantificaci´n que las se˜ales n o n fuertes. Utilizando un cuantificador no uniforme de forma que el tama˜o del escal´n aumente seg´n nos n o u alejamos del origen, se consigue que el error de cuantificaci´n se mantenga aproximadamente constante, o es decir, el error de cuantificaci´n va a ser similar para se˜ales d´biles, que utilizan menos escalones pero o n e peque˜os en tama˜o, que para se˜ales fuertes, que utilizan todos los escalones pero los m´s alejados de n n n a tama˜o mayor. De esta forma se logra un porcentaje de precisi´n uniforme independientemente del rango n o de amplitudes de la se˜al de entrada siempre que no estemos en saturaci´n. Se necesita un menor n´mero n o u de escalones que si se utilizara un cuantificador uniforme para garantizar la calidad en se˜ales d´biles. n e
  • 43. ´ MODULACION DIGITAL DE PULSOS (PCM). 43 TRANSMISOR/CODIFICADOR RECEPTOR/DECODIFICADOR Señal Señal Cuantificador Compresor Expansor Uniforme Entrada Destino Figura 8.8 T´cnica de cuantificaci´n no uniforme usando compansi´n. e o o 1 0.9 0.8 0.7 µ = 100 Salida normaliazada 0.6 µ=5 0.5 µ=0 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Entrada normalizada Figura 8.9 Caracter´ ıstica entrada/salida del compresor con ley µ. El uso de un cuanficador no uniforme es equivalente a pasar la se˜al banda base por un compresor n y utilizar un cuantificador uniforme. Para recuperar la se˜al en recepci´n va a ser necesario utilizar un n o expansor cuya caracter´ ıstica entrada/salida es la complementaria al compresor. Idealmente el compresor y el expansor deben ser inversos de modo que excepto por los errores de cuantificaci´n la se˜al a la o n entrada del compresor y a la salida del expansor sean exactamente iguales. La combinaci´n de compresor o y expansor se denomina t´cnica de compansi´n. En la figura 8.8 se puede ver el esquema de esta t´cnica e o e de cuantificaci´n no uniforme. o Existen dos leyes de compansi´n. La primera de ellas se denomina ley µ. Si v1 y v2 son las amplitudes o normalizadas de entrada y salida del compresor, la caracter´ ıstica entrada/salida viene dada por la ecuaci´n o (8.2) y por la figura 8.9, donde µ es un par´metro a ajustar de la ley. Para µ = 0 tenemos el caso uniforme, a es decir, el compresor es lineal. Un valor t´ ıpico utilizado en la pr´ctica es µ = 100. Como se puede ver la a ley µ no es ni estrictamente lineal ni estrictamente logar´ ıtmica. Se puede decir que es aproximadamente lineal para µ|v1 | 1 y aproximadamente logar´ ıtmica para µ|v1 | 1. ln(1 + µ|v1 |) |v2 | = (8.2) ln(1 + µ) Para un valor dado de µ, con el inverso de la pendiente de la curva de compresi´n se puede obtener el o tama˜o del escal´n para cada valor v1 de entrada seg´n la ecuaci´n (8.3). Cerca del origen el tama˜o del n o u o n
  • 44. 44 Cap´ ıtulo 8 1 0.9 0.8 0.7 A = 100 Salida normalizada 0.6 A=5 0.5 A=1 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Entrada normalizada Figura 8.10 Caracter´ ıstica entrada/salida del compresor con ley A. µ escal´n ha disminuido por un factor o ln(1+µ) . Este valor se denomina ganancia de compansi´n y para o µ = 100 vale 26,7 dB. d|v1 | ln(1 + µ) = (1 + µ|v1 |) (8.3) d|v2 | µ La segunda de las leyes se denomina ley A. La caracter´ ıstica entrada/salida viene dada por la ecuaci´n o (8.4) y por la figura 8.10, donde A es un par´metro a ajustar de la ley. Para A = 1 tenemos el caso uniforme, a es decir, el compresor es lineal. Un valor t´ ıpico utilizado en la pr´ctica es A = 100. La ley A esta formada a por un primer tramo estrictamente lineal seguido de un segundo tramo estrictamente logar´ ıtmico.  A|v1 | 1   1+ln(A) 0 ≤ |v1 | ≤ A |v2 | = (8.4)  1+ln(A|v1 |) 1  1+ln(A) A ≤ |v1 | ≤ 1 Para un valor dado de A, el inverso de la pendiente de la curva, esto es, el tama˜o del escal´n, para cada n o valor v1 de entrada, viene dado por la ecuaci´n (8.5). Cerca del origen el tama˜o del escal´n ha disminuido o n o A por un factor 1+ln(A) . Este valor se denomina ganancia de compansi´n y para A = 100 vale 25 dB. o 1+ln(A)  1 d|v1 |  A 0 ≤ |v1 | ≤ A = (8.5) d|v2 |  1 (1 + ln(A))|v1 | A ≤ |v1 | ≤ 1
  • 45. ´ MODULACION DIGITAL DE PULSOS (PCM). 45 En los sistemas PCM reales, los sistemas compansores no son una r´plica exacta de la caracter´ e ıstica de la ley µ o de la ley A, sino que son una aproximaci´n por intervalos lineales a la curva deseada. Utilizando o un n´mero elevado de segmentos lineales, la aproximaci´n llega a ser bastante buena. u o 8.3 ´ CODIFICACION. Combinando muestreo y cuantificaci´n hemos convertido la se˜al banda base continua en un conjunto de o n valores discretos de un conjunto finito de posibles valores. Sin embargo, esta representaci´n no es adecuada o para su transmisi´n. Para aprovechar las ventajas de los sistemas digitales se requiere la codificaci´n para o o obtener una se˜al con una forma m´s apropiada para su transmisi´n. Cualquier forma de representar cada n a o uno de los valores discretos del conjunto finito se denomina c´digo. Cada evento discreto del c´digo se o o denomina elemento del c´digo o s´ o ımbolo. Por ejemplo, un s´ ımbolo se puede representar por la presencia o ausencia de un pulso. Una ordenaci´n particular de los s´ o ımbolos utilizada en un c´digo para representar o un unico valor del conjunto discreto se denomina palabra c´digo o car´cter. ´ o a Un c´digo binario tiene dos s´ o ımbolos que se denotan por ∅ y 1. En un c´digo ternario hay 3 s´ o ımbolos, etc. En presencia de ruido el c´digo binario es el que tiene un mejor comportamiento puesto que cada s´ o ımbolo puede soportar un nivel de ruido relativamente elevado y es m´s f´cil de regenerar. a a Supongamos que en el c´digo binario cada palabra c´digo tiene n bits (bit equivale a s´ o o ımbolo binario). Con ese c´digo se pueden representar 2n n´meros distintos. Es por ello que se suele elegir el n´mero de o u u niveles de cuantificaci´n como potencia de 2 de forma que se puede igualar L = 2n , o lo que es lo mismo, el o n´mero de bits necesarios para codificar muestras cuantificadas con L niveles es n = log2 (L). n representa el u n´mero de bits por muestra. Por ejemplo, para L = 128 niveles tenemos n = 7 bits y para L = 256 tenemos u n = 8 bits. Hay muchas formas de establecer la relaci´n uno a uno entre cada nivel de cuantificaci´n y cada o o palabra c´digo. Una forma sencilla de hacerlo es representar el n´mero de escal´n (empezando a contar o u o desde abajo) en base dos (representaci´n binaria). En la tabla 8.1 se puede ver un ejemplo de este tipo de o codificaci´n para L = 8 y n = 3. o La se˜al que representa a cada 1 ´ ∅ se denomina c´digo de l´ n o o ınea. Existen muchos c´digos de l´ o ınea. Es deseable que tenga una componente continua (dc) lo menor posible, que tenga el menor ancho de banda posible y que permita recuperar el sincronismo a nivel de bit. Los m´s utilizados son los siguientes: a NRZ (Nonreturn to zero) unipolar (on-off ). El s´ ımbolo 1 se representa transmitiendo un pulso de amplitud constante durante todo el intervalo de bit y el ∅ se representa mediante la ausencia de pulso. En los periodos largos de varios unos o ceros consecutivos se puede perder el sincronismo de bit. Presenta siempre componente continua. Tiene un ancho de banda relativamente peque˜o. n NRZ polar. El s´ ımbolo 1 y el ∅ se representan mediante pulsos de igual amplitud positiva y nega- tiva respectivamente durante todo el intervalo de bit. En los periodos largos de varios unos o ceros consecutivos se puede perder el sincronismo de bit. Cuando los bits son equiprobables desaparece la componente continua. Tiene un ancho de banda relativamente peque˜o. n RZ (Return to zero) unipolar. El s´ ımbolo 1 se representa transmitiendo un pulso de amplitud constante durante la mitad del intervalo de bit y el ∅ se representa mediante la ausencia de pulso. En periodos largos de varios ceros consecutivos se puede perder el sincronismo de bit, no as´ en periodos ı largos de varios unos consecutivos debido al flanco de bajada a mitad de intervalo de bit. Tiene un ancho de banda mayor debido a que la duraci´n de los pulsos es menor. Tiene componente continua o aunque esta es menor que para NRZ unipolar. Tiene un ancho de banda relativamente peque˜o. n Bipolar. Se utilizan tres niveles de amplitud. Para representar el s´ ımbolo 1 se utilizan alternativamente pulsos positivos y negativos de igual amplitud y de duraci´n igual a todo el intervalo de bit. El s´ o ımbolo ∅ se representa mediante la ausencia de pulso. En periodos largos de varios ceros consecutivos se puede perder el sincronismo de bit, no as´ en periodos largos de varios unos consecutivos debido a la ı alternancia de pulsos positivos y negativos. Tiene componente continua cero. Tiene un ancho de banda relativamente peque˜o. n
  • 46. 46 Cap´ ıtulo 8 N´ mero de escal´n u o Palabra c´digo o 0 ∅∅∅ 1 ∅∅1 2 ∅1∅ 3 ∅11 4 1∅∅ 5 1∅1 6 11∅ 7 111 Tabla 8.1 Ejemplo de c´digo usando la representaci´n en base dos del n´ mero de escal´n. o o u o C´digo Manchester (Split-phase). El s´ o ımbolo 1 se representa mediante un flanco de bajada, es decir un pulso de amplitud positiva de duraci´n la mitad del tiempo de bit seguido de otro pulso de la o misma amplitud pero negativa de la misma duraci´n. El s´ o ımbolo ∅ se representa mediante un flanco de subida, es decir un pulso de amplitud negativa de duraci´n la mitad del tiempo de bit seguido o de otro pulso de la misma amplitud pero positiva de la misma duraci´n. No tiene nunca componente o continua y mantiene el sincronismo a nivel de bit independientemente de los bits transmitidos puesto que siempre presenta un flanco a mitad de tiempo de bit. Sin embargo, tiene un mayor ancho de banda debido a que la duraci´n de los pulsos es menor (tiene mayor n´mero de transiciones por unidad de o u tiempo). Diferencial. En este caso la informaci´n se codifica en t´rminos de transiciones en la se˜al. El s´ o e n ımbolo ∅ se codifica mediante una transici´n en la se˜al, mientras que el s´ o n ımbolo 1 se codifica mediante ausencia de transici´n (se mantiene el valor de la se˜al). En ambos casos la se˜al se mantiene durante todo o n n la duraci´n del bit. Se permite pulso con amplitud constante y ausencia de pulso. La informaci´n se o o recupera comparando los pulsos adyacentes para determinar la presencia o ausencia de transiciones. Hay presencia de componente continua. Tiene un ancho de banda relativamente peque˜o. Una inversi´n n o de la polaridad no va a afectar a la recuperaci´n de la informaci´n. Una secuencia larga de unos (no o o transici´n) va a provocar la p´rdida de sincronismo a nivel de bit. Una secuencia larga de ceros (siempre o e transici´n) no presenta problemas de sincronismo de bit. o En la figura 8.11 se puede ver un ejemplo para los 6 tipos de c´digos de l´ o ınea vistos. En la pr´ctica, los a pulsos que se transmiten no son rectangulares, es decir, est´n conformados para mejorar sus prestaciones a frente al ruido y las interferencias. La conformaci´n o forma de los pulsos se ver´ en el tema siguiente. o a
  • 47. ´ MODULACION DIGITAL DE PULSOS (PCM). 47 0 1 1 0 1 0 0 1 NRZ unipolar NRZ polar RZ unipolar Bipolar Manchester Diferencial Bit de referencia Tiempo Figura 8.11 Ejemplo de codificaci´n para los seis tipos de c´digos de l´ o o ınea. 8.4 ´ REGENERACION. Una de las caracter´ısticas m´s importantes de PCM es la posibilidad de controlar los efectos de la a distorsi´n y el ruido debidos a su transmisi´n a trav´s de un canal de comunicaciones. Esta capacidad se o o e logra mediante la inserci´n de repetidores/regeneradores a lo largo de la l´ o ınea de transmisi´n colocados o a la distancia adecuada. En la figura 8.12 se puede ver esquem´ticamente un repetidor/regenerador. a El repetidor/regenerador conlleva tres procesos: ecualizaci´n, recuperaci´n del reloj y decisi´n. o o o El ecualizador conforma los pulsos recibidos para compensar los efectos de distorsi´n en amplitud y fase o introducidos por el canal. El circuito de reloj genera un tren de pulsos peri´dicos obtenido a partir de la o se˜al recibida ya ecualizada, para poder muestrear esta se˜al en el mejor instante de forma que la relaci´n n n o se˜al a ruido (SNR) sea m´xima. El decisor es el encargado de muestrear la se˜al recibida ecualizada en los n a n instantes indicados por la se˜al de reloj y de decidir cu´l fue el s´ n a ımbolo enviado para poder regenerarle y transmitirle hasta el pr´ximo repetidor o hasta el receptor. Por ejemplo, si el c´digo de l´ o o ınea es NRZ unipolar si el valor muestreado es mayor que un cierto umbral se decide por 1 y se retransmite sin ruido ni distorsi´n o y si el valor muestreado es menor que el umbral se decide por ∅ y se retransmite sin ruido ni distorsi´n. De o esta forma el repetidor/regenerador ha eliminado tanto el ruido como la distorsi´n completamente, siempre o que el ruido y la distorsi´n de la se˜al recibida no sean tan elevados como para que el decisor cometa o n errores. Entonces, excepto por un retardo, se puede decir que la se˜al a la salida del repetidor/regenerador n es exactamente igual que la se˜al a la salida del transmisor. n En la pr´ctica, hay dos cosas a tener en cuenta que pueden hacer que la se˜al regenerada no sea igual a a n la transmitida: La presencia de ruido y distorsi´n hace que el decisor se confunda ocasionalmente dando lugar a bits o err´neos en la se˜al regenerada. o n
  • 48. 48 Cap´ ıtulo 8 Señal PCM Amplificador Señal PCM Decisor Ecualizador con Distorsion Regenerada Circuito de Sincronismo Figura 8.12 Esquema de un repetidor/regenerador colocado a lo largo de la l´ ınea de transmisi´n. o Si el espaciado entre los pulsos se modifica con respecto al de la se˜al transmitida se produce un n fen´meno que recibe el nombre de jitter que va a afectar a la posici´n de los pulsos regenerados dando o o lugar a la distorsi´n de la se˜al. o n 8.5 ´ DECODIFICACION. En el receptor la primera operaci´n es la regeneraci´n de la se˜al: conformar los pulsos y decidir cu´l o o n a fue el s´ ımbolo transmitido generando una se˜ al limpia. Esta se˜al binaria se debe agrupar de n en n bits n n para formar palabras c´digo. Ahora cada palabra c´digo se mapea en el valor cuantificado correspondiente, o o dando lugar a una se˜al PAM cuantificada. Durante el proceso de cuantificaci´n la agrupaci´n de n bits n o o para obtener las palabras c´digo requiere generar pulsos cuya amplitud es la suma lineal de los pulsos o correspondientes a los n bits ponderados por potencias de dos: 20 , 21 , 22 , etc. 8.6 FILTRADO. La se˜al continua original se puede recuperar pasando la se˜al PAM cuantificada generada a la salida del n n decodificador a trav´s de un filtro de reconstrucci´n paso bajo cuya frecuencia de corte sea igual al ancho e o de banda W de la se˜al banda base original. Si suponemos que no tenemos un ruido excesivo en el canal el n decisor pr´cticamente no cometer´ errores de bit y la distorsi´n de la se˜al recuperada ser´ muy peque˜a a a o n a n y debida unicamente al proceso de cuantificaci´n. ´ o 8.7 MULTIPLEXADO. En las aplicaciones que utilizan PCM es natural multiplexar diferentes fuentes con t´cnicas TDM-PCM e conservando su individualidad en el camino entre el transmisor y el receptor. Esta individualidad tiene en cuenta la facilidad de insertar y extraer la se˜al en un sistema TDM. Seg´n aumenta el n´mero de fuentes n u u independientes, el intervalo de tiempo de cada fuente se debe reducir de modo que todas ellas puedan caber dentro del tiempo equivalente al periodo de muestro, que ser´ igual a la duraci´n de una trama TDM- a o PCM. De esta forma la duraci´n de una palabra c´digo se reduce considerablemente. Los pulsos utilizados o o para transmitir cada s´ımbolo (o lo que es lo mismo para transmitir los bits) se reducen en duraci´n, siendo o entonces m´s complicada su generaci´n, transmisi´n y detecci´n. De hecho si estos pulsos fueran demasiado a o o o estrechos la distorsi´n del canal dar´ lugar a que el sistema deje de funcionar correctamente produci´ndose o a e interferencias entre los diferentes canales PCM multiplexados. En la pr´ctica siempre existe un l´ a ımite al n´mero m´ximo de canales PCM independientes que se pueden multiplexar en una trama TDM-PCM. u a
  • 49. ´ MODULACION DIGITAL DE PULSOS (PCM). 49 Señalizacion Informacion Informacion 7 6 5 4 3 2 1 0 x 24 7 6 5 4 3 2 1 x 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 x 0.647 µs = 8 bits 8 x 0.647 µs = 8 bits Informacion y señalizacion Informacion 1 2 · · · 23 24 sync x5 1 2 · · · 23 24 sync 8 8 8 8 1 8 8 8 8 1 125 µs = 193 bits 125 µs = 193 bits 1 2 3 4 5 6 193 193 193 193 193 193 6 x 125 µs = 193 x 6 bits Figura 8.13 Trama TDM-PCM del sistema T1. 8.8 ´ SINCRONIZACION. Para que una trama TDM-PCM funcione correctamente es necesario que el reloj del receptor est´ sin- e cronizado a nivel de bit y a nivel de trama con el del transmisor, teniendo en cuenta por su puesto el tiempo gastado en la transmisi´n de la se˜al a trav´s del canal de comunicaciones y los retardos intro- o n e ducidos tanto en el transmisor y el receptor como en las etapas regeneradoras a lo largo del canal. Una forma de sincronizar el receptor con el transmisor a nivel de trama consiste en transmitir un bit especial de sincronismo al final de la trama TDM-PCM. El bit de sincronismo alterna ∅ con 1 a la tasa de trama (que coincide con la tasa de muestreo de cada canal PCM). El receptor busca esa se˜al alternando ∅ con 1 n a la tasa de trama y cuando la encuentra se logra el sincronismo de trama de forma que el sistema puede comenzar a funcionar correctamente (en ese momento se puede saber qu´ bits corresponden a cada canal e PCM contando a partir del bit de sincronismo encontrado). El procedimiento consiste en examinar los bits de la trama de uno en uno peri´dicamente a la tasa de trama hasta encontrar el pulso de sincronismo. o Se examina siempre el mismo bit de la trama cada periodo de la trama. Cuando haya pasado un tiempo suficiente se puede establecer que dicho bit no es el de sincronismo ya que no alterna, pas´ndose a observar a el siguiente bit. Este proceso se repite hasta que se encuentre el bit de sincronismo. El n´mero m´ximo de u a b´squedas ser´ igual al n´mero de bits por trama como mucho, suponiendo que se est´ transmitiendo. u a u e Cuando la transmisi´n se interrumpe por alguna raz´n (o al principio de la misma), se pierde el sincro- o o nismo de trama y es necesario recuperarlo. El tiempo requerido para encontrarlo depende del instante de tiempo en el que se haya reanudado la transmisi´n y puede variar. o
  • 50. 50 Cap´ ıtulo 8 8.9 EJEMPLO SISTEMA T1. El sistema T1 es un sistema TDM-PCM que transmite 24 canales de voz telef´nicos que se utiliza en o EEUU, Canad´ y Jap´n. Cada canal telef´nico se limita a la banda 300 a 3400 Hz. Para que el filtro de a o o reconstrucci´n sea m´s sencillo se fija una frecuencia de muestreo de 8000 Hz. Se utiliza un cuantificador o a de 256 niveles con ley µ con µ = 255. El n´mero de bits por palabra c´digo es de 8. El periodo de muestreo u o es 125 µs y ser´ igual a la duraci´n de la trama TDM-PCM. La trama est´ formada entonces por las 24 a o a palabras c´digo de 8 bits cada una correspondientes a los 24 canales PCM y por un bit de sincronismo, o dando lugar a 193 bits por trama. Se transmiten 193 bits cada 125 µs por lo que cada bit dura 0.647 µs y la tasa binaria total del sistema T1 es de 1544 Kbps. Adem´s para cada canal cada 6 tramas de informaci´n a o el bit menos significativo de la sexta trama se utiliza para se˜alizaci´n telef´nica (marcaci´n de n´meros, n o o o u descolgar, colgar, tarificaci´n, etc.). De esta forma cada canal tiene 7 + 5 bits de informaci´n y 1 bits de o 6 o 6 se˜alizaci´n por trama. La tasa de cada canal es de 64 Kbps de los cuales 62,66 Kbps son de informaci´n y n o o 1,33 Kbps de se˜alizaci´n. Finalmente, los 1544 Kbps corresponden a 1504 Kbps de informaci´n conjunta, n o o 32 Kbps de se˜alizaci´n conjunta y 8 Kbps de sincronismo. En la figura 8.13 se puede ver c´mo es la trama n o o TDM-PCM de este sistema.
  • 51. 9 ´ ANALISIS DE LA CALIDAD EN PCM. Hay dos fuentes de ruido en los sistemas PCM: Ruido de transmisi´n: introducido en diferentes puntos entre el transmisor y el receptor. o Ruido de cuantificaci´n: introducido en la etapa de cuantificaci´n en el transmisor. o o Aunque aparecen de forma conjunta en la se˜al recibida los vamos a analizar por separado. n 9.1 ´ RUIDO DE TRANSMISION Y PROBABILIDAD DE ERROR. El efecto del ruido de transmisi´n en la se˜al recibida es debido a la introducci´n de bits err´neos por o n o o parte de la etapa de decisi´n en el receptor. En el caso binario un bit ser´ err´neo cuando debiendo ser 1 es o a o ∅ y viceversa. Cuanto m´s frecuentemente ocurran estos errores, la se˜al a la salida del receptor tendr´ una a n a mayor distorsi´n con respecto a la se˜al enviada. La fidelidad de la informaci´n transmitida en un sistema o n o PCM se mide en funci´n de la probabilidad de error o tasa de error: la probabilidad de que un s´ o ımbolo recibido sea distinto del enviado. Consideremos una se˜al PCM s(t) que consiste en una secuencia de d´ n ıgitos binarios de forma que el ımbolo ∅ se representa mediante un pulso de amplitud cero y el s´ s´ ımbolo 1 mediante un pulso rectangular de amplitud A. Es decir, estamos empleando un c´digo de l´ o ınea de transmisi´n del tipo NRZ unipolar. o La se˜al recibida x(t) consiste en la se˜al s(t) junto con un ruido AWG w(t) con media cero y densidad n n espectral de potencia SW (f ) = N0 seg´n la ecuaci´n (9.1). 2 u o x(t) = s(t) + w(t) (9.1) En la figura 9.1 se puede ver el esquema empleado para detectar la se˜al PCM. Como se puede ver en n dicha figura la se˜al recibida x(t) se pasa a trav´s de un filtro paso bajo que tiene un ancho de banda B que n e sea suficientemente grande como para dejar pasar la se˜al PCM sin distorsi´n significativa y que elimine n o la mayor cantidad del ruido w(t) fuera de la banda de la se˜al. La se˜al y(t) a la salida del filtro viene n n dada entonces por la ecuaci´n (9.2) donde n(t) es la versi´n filtrada del ruido w(t). Este ruido filtrado tiene o o media cero y potencia σ 2 = N0 B. y(t) = s(t) + n(t) (9.2) 51
  • 52. 52 Cap´ ıtulo 9 x(t) Filtro y(t) yk 1 si yk > A/2 PCM + Decisor s(t) + Paso Bajo en t k 0 si yk < A/2 w(t) Umbral A/2 Figura 9.1 Esquema del detector empleado en PCM. Estamos interesados en determinar en cada intervalo de s´ ımbolo si se transmiti´ ∅ ´ 1. Lo primero que o o se hace es muestrear la se˜al y(t) a mitad de intervalo de bit Tb peri´dicamente cada Tb segundos (una n o muestra por bit), obteni´ndose la muestra yk en el instante de tiempo tk = kTb . Se supone que se dispone e de una se˜al de reloj sincronizada a nivel de bit con la se˜al recibida. Esta se˜al de reloj se puede extraer n n n de la se˜al recibida de forma m´s o menos sencilla teniendo en cuenta el c´digo de l´ n a o ınea empleado. Ahora deberemos decidir si cada muestra yk corresponde a un ∅ ´ a un 1. Puesto que se emplea c´digo de l´ o o ınea NRZ unipolar con amplitud cero y A, y suponiendo que la posible atenuaci´n de la se˜al se ha compensado o n en el receptor, se puede decidir f´cilmente cu´l fue el s´ a a ımbolo transmitido comparando la amplitud yk con un umbral de amplitud A/2. Si yk es mayor que el umbral A/2 se decide en favor de 1, si es menor se decide por ∅ y si es igual se decide aleatoriamente. Siempre que el ruido no sea demasiado elevado, yk ser´ mayor a que el umbral A/2 cuando se transmita 1 y menor cuando se transmita ∅ por lo que no se cometer´ error. a S´lo en el caso de que el ruido sea elevado el decisor cometer´ errores. Vamos a analizar esto en m´s detalle. o a a Vamos a suponer que los s´ımbolos 1 y ∅ tienen igual probabilidad de ocurrencia. Debido a la presencia de la componente de ruido n(t) en la banda de la se˜al, el decisor va a poder cometer dos tipos de errores: n Decidir por ∅ cuando se transmiti´ 1. o Decidir por 1 cuando se transmiti´ ∅. o Para determinar la probabilidad media de error vamos a considerar estos dos tipos de errores por separado. Vamos a suponer primero que se transmiti´ ∅. En este caso la muestra yk viene dada por la ecuaci´n (9.3). o o Vamos a denotar con Yk a la variable aleatoria correspondiente a la muestra yk . Si se ha transmitido ∅ la variable aleatoria Yk ser´ Gaussiana con media cero y varianza σ 2 , por lo que su funci´n densidad de a o probabilidad vendr´ dada por la ecuaci´n (9.4). a o yk = n(tk ) (9.3) 1 y2 fYk /∅ (yk /∅) = √ exp − k2 (9.4) σ 2π 2σ En este caso se cometer´ error siempre que la variable sea mayor que el umbral A/2 ya que se decide por a 1. La probabilidad de error Pe∅ corresponder´ entonces a la zona rayada de la figura 9.2. Esta probabilidad a de error viene dada por el desarrollo de la ecuaci´n (9.5), donde en la ultima integral se ha empleado el o ´ cambio de variable z = σyk2 . √
  • 53. ´ ANALISIS DE LA CALIDAD EN PCM. 53 f Y /0 (y /0) k k A/2 y k Figura 9.2 Funci´n densidad de probabilidad cuando se transmiti´ ∅ y probabilidad de error. o o ∞ ∞ 2 A 1 yk Pe∅ = P yk > /∅ = fYk /∅ (yk /∅)dyk = √ exp − dyk 2 A 2 σ 2π A 2 2σ 2 ∞ 1 = √ exp(−z 2 )dz (9.5) π A √ 2σ 2 Teniendo en cuenta que la funci´n de error complementario (erfc) viene dada por la ecuaci´n (9.6), o o la probabilidad de error cuando se transmiti´ ∅ viene dada finalmente por la ecuaci´n (9.7). La funci´n de o o o error complementario se utiliza habitualmente para determinar probabilidades en el caso Gaussiano y suele estar tabulada. Es una funci´n mon´tona decreciente. o o ∞ 2 erfc(u) = √ exp(−z 2 )dz (9.6) π u 1 A Pe∅ = erfc √ (9.7) 2 2σ 2 Vamos a suponer ahora que se transmiti´ 1. En este caso la muestra yk viene dada por la ecuaci´n (9.8). o o Si se ha transmitido 1 la variable aleatoria Yk ser´ Gaussiana con media A y varianza σ 2 , por lo que su a funci´n densidad de probabilidad vendr´ dada por la ecuaci´n (9.9). o a o yk = A + n(tk ) (9.8) 1 (y − A)2 fYk /1 (yk /1) = √ exp − k 2 (9.9) σ 2π 2σ En este caso se cometer´ error siempre que la variable sea menor que el umbral A/2 ya que se decide por a ∅. La probabilidad de error Pe1 corresponder´ entonces a la zona rayada de la figura 9.3. Esta probabilidad a de error viene dada por el desarrollo de la ecuaci´n (9.10), donde se ha empleado el cambio de variable o k −A z = − yσ√2 y la funci´n error complementario dada por la ecuaci´n (9.6). o o
  • 54. 54 Cap´ ıtulo 9 fY (y /1) k /1 k A/2 A y k Figura 9.3 Funci´n densidad de probabilidad cuando se transmiti´ 1 y probabilidad de error. o o A A A 2 1 2 (yk − A)2 Pe1 = P yk < /1 = fYk /1 (yk /1)dyk = √ exp − dyk 2 −∞ σ 2π −∞ 2σ 2 ∞ 1 1 A = √ exp(−z 2 )dz = erfc √ (9.10) π A √ 2 2σ 2 2σ 2 Como puede verse a partir de las ecuaciones (9.7) y (9.10) se tiene que Pe∅ = Pe1 . Siempre que esto ocurra se dice que el canal es sim´trico. En este caso es debido a la simetr´ del umbral A/2 con respecto e ıa a las amplitudes 0 y A de los s´ımbolos transmitidos. Si la probabilidad de transmitir 1 es p1 y la de ∅ es p∅ la probabilidad de error medio viene dada por la ecuaci´n (9.11). Puesto que se ha supuesto que los s´ o ımbolos transmitidos son equiprobables se tiene que p1 = p∅ = 1 , por lo que se tiene finalmente que la probabilidad de error medio viene dada por la ecuaci´n 2 o (9.12). Pe = p∅ Pe∅ + p1 Pe1 (9.11) 1 A Pe = Pe∅ = Pe1 = erfc √ (9.12) 2 2σ 2 Para el caso NRZ unipolar, la se˜al alterna entre los niveles 0 y A, por lo que la potencia de pico de n se˜al ser´ A2 . Ya que σ 2 es la potencia de ruido, la probabilidad de error medio se puede poner seg´n la n a u ecuaci´n (9.13), donde γ es la SNR de pico dada por la ecuaci´n (9.14). Se puede decir entonces que el o o valor medio de la probabilidad de error en PCM s´lo depende de la SNR de pico a la entrada del receptor. o 1 1 γ Pe = erfc (9.13) 2 2 2 A2 γ= (9.14) σ2
  • 55. ´ ANALISIS DE LA CALIDAD EN PCM. 55 0 10 −2 10 −4 10 −6 10 Pe −8 10 −10 10 −12 10 12 14 16 18 20 22 24 SNR de pico en dB Figura 9.4 Probabilidad de error medio como funci´n de la SNR de pico. o SNR de pico γ [dB] probabilidad media de error Pe tiempo medio entre errores para 105 bps 13.3 10−2 10−3 segundos 17.4 10−4 10−1 segundos 19.6 10−6 10 segundos 21.0 10−8 20 minutos 22.0 10−10 1 d´ ıa 23.0 10−12 3 meses Tabla 9.1 Algunos valores de SNR de pico, probabilidad de error y tiempo medio entre bits err´neos o para una tasa de 105 bps. En la figura 9.4 se puede ver gr´ficamente la probabilidad de error medio como funci´n de la SNR de a o pico en dB. Esta probabilidad decrece muy r´pidamente con un incremento peque˜o de la SNR de pico. a n Un peque˜o incremento en la SNR de pico da lugar a una gran disminuci´n en el n´mero de errores que n o u comete el decisor. En la tabla 9.1 se recogen algunos valores de SNR de pico y probabilidad media de error as´ como el tiempo medio esperado para cometer un error en un bit para una tasa binaria de 105 bps. ı Hay un umbral de error en torno a unos 20 dB de SNR de pico por debajo del cual tenemos un n´mero de u errores relevante y por encima del cual el efecto del ruido de transmisi´n se puede considerar despreciable. Se o
  • 56. 56 Cap´ ıtulo 9 puede decir entonces que si γ > 20 dB el ruido de transmisi´n no tiene efectos apreciables en las prestaciones o del sistema. Esta es una caracter´ ıstica fundamental de los sistemas PCM. Si γ < 20 dB habr´ errores en a la etapa de decisi´n, lo que dar´ lugar a generar palabras c´digo diferente y por tanto la se˜al recuperada o a o n ser´ bastante diferente de la original. a Comparando los 20 dB del sistema PCM con los 60 a 70 dB para AM con buena calidad, se puede ver que PCM requiere mucha menor potencia, incluso teniendo en cuenta el incremento del ancho de banda de ruido por el factor n, siendo n el n´mero de bits necesarios por s´ u ımbolo transmitido. En la mayor´ de los sistemas de transmisi´n, el efecto del ruido y la distorsi´n de los enlaces individuales ıa o o se van acumulando. Dada una calidad extremo a extremo, cuanta mayor distancia tengamos, m´s severos a ser´n los requisitos de cada enlace. En PCM sin embargo, ya que se puede regenerar la se˜al tantas veces a n como sea necesario, los efectos de distorsi´n de amplitud, fase y no lineal en un enlace no tienen efectos o en el siguiente (siempre que estos efectos se mantengan dentro de unos m´rgenes). Adem´s si estamos por a a encima del umbral, el ruido tampoco tendr´ ning´n efecto en la calidad final del sistema. Para prop´sitos a u o pr´cticos los requerimientos de un enlace PCM son independientes de la longitud total, dada una calidad a extremo a extremo. Otra caracter´ıstica de un sistema PCM es la robustez frente a interferencias. Hemos visto que si la amplitud del ruido no es mayor que el umbral del decisor (fijado a medio camino entre las amplitudes 0 y A para el caso NRZ unipolar), el ruido no afecta a la calidad final del sistema. Si la suma del ruido y la interferencia no superan dicho umbral, en este caso la calidad tampoco se ve afectada. El efecto de la presencia de interferencias es la de subir el umbral de error en la SNR de pico a un valor mayor de 20 dB, dependiendo de la potencia de la interferencia. Si ahora nos aseguramos que nuestro sistema funciona por encima de este nuevo umbral de SNR de pico, el sistema no se ver´ afectado ni por el ruido ni por la a interferencia. Esta es la raz´n por la que decimos que el sistema PCM es robusto frente a interferencias. o 9.2 ´ RUIDO DE CUANTIFICACION. Es debido al redondeo de las muestras de la se˜al continua al nivel permitido m´s cercano. Supongamos n a que δ es el tama˜o del escal´n. Para el caso de cuantificador uniforme de tipo Mid-Thread los niveles n o de salida son 0, ±δ, ±2δ, ±3δ, . . . Si una muestra de entrada cae en el intervalo (kδ − δ/2, kδ + δ/2), con k = 0, ±1, ±2, ±3, . . ., el nivel de salida cuantificado es kδ. Tenemos una regi´n de incertidumbre de ancho o δ y centrada en kδ. Sea qe el valor del error debido al proceso de cuantificaci´n. La amplitud de la muestra o a la entrada es kδ + qe y a la salida es kδ. Si la amplitud de la muestra a la entrada es aleatoria pero dentro del margen din´mico del cuantificador (no est´ en saturaci´n), qe est´ restringida al intervalo (−δ/2, δ/2). a a o a Cuando la cuantificaci´n es suficientemente fina (el n´mero de niveles o escalones es mayor de 64), la o u distorsi´n producida por el ruido de cuantificaci´n es equivalente a una fuente de ruido independiente, o o aditiva, de media cero y valor cuadr´tico medio determinado por el valor del tama˜o del escal´n δ. La a n o raz´n de esto es que la densidad espectral de potencia del ruido de cuantificaci´n a la salida del receptor es o o pr´cticamente independiente de la se˜al banda base para un rango bastante amplio de amplitudes de se˜al. a n n Para una se˜al banda base con valor RMS (ra´ cuadrada del valor cuadr´tico medio) grande comparado n ız a con el tama˜o del escal´n δ, se puede ver que la densidad espectral de potencia del ruido de cuantificaci´n n o o tiene un ancho de banda grande comparado con el de la se˜al. El ruido de cuantificaci´n est´ uniformemente n o a distribuido en el ancho de banda de la se˜al y el efecto es similar al de un ruido t´rmico. n e Sea Qe la variable aleatoria que denota el ruido de cuantificaci´n. Supongamos que Qe est´ uniformemente o e distribuido en el intervalo (−δ/2, δ/2) seg´n la ecuaci´n (9.15). Para que esto sea cierto la se˜al de entrada u o n no debe saturar al cuantificador. La media de esta distribuci´n es cero mientras que la varianza viene dada o por la ecuaci´n (9.16). o  1 δ  δ |qe | ≤ 2 fQe (qe ) = (9.15) 0 en el resto 
  • 57. ´ ANALISIS DE LA CALIDAD EN PCM. 57 ∞ δ/2 1 δ2 E[Q2 ] = e 2 qe fQe (qe )dqe = 2 qe dqe = (9.16) −∞ δ −δ/2 12 Vamos a denotar con ARMS al valor RMS de la se˜al a cuantificar m(t). En ese caso la potencia media n de la se˜al m(t) ser´ A2 . Cuando la se˜al banda base se reconstruye a la salida del receptor se obtiene n a RMS n la se˜al m´s el ruido de cuantificaci´n. Entonces la SNR a la salida va a venir dada por la ecuaci´n (9.17). n a o o A2 RMS SNRO = (9.17) δ 2 /12 Si m(t) se modela como una se˜al con distribuci´n Gaussiana con media cero y la zona lineal de funcio- n o namiento del cuantificador va de −4ARMS a 4ARMS , la probabilidad de que la se˜al m(t) entre en zona de n saturaci´n es de 10−4 , por lo que se puede utilizar la distribuci´n uniforme para el ruido de cuantificaci´n. o o o El n´mero de niveles del cuantificador es L = 2n siendo n el n´mero de bits necesarios por muestra cuanti- u u ficada en la etapa de codificaci´n. Entonces el tama˜o del escal´n viene dada por la ecuaci´n (9.18), por lo o n o o que sustituyendo esta expresi´n en la ecuaci´n (9.17) se puede obtener la ecuaci´n (9.19) para la SNR de o o o la se˜al reconstruida (a la salida del receptor/decodificador). Esta ecuaci´n suele venir dada normalmente n o en dB seg´n la ecuaci´n (9.20). u o 8ARMS δ= (9.18) 2n 3 2n SNRO = 2 (9.19) 16 10 log10 (SNRO ) = 6n − 7,3 [dB] (9.20) Seg´n la ecuaci´n (9.20) cada bit adicional contribuye con 6 dB a la SNRO . Esto da una idea del u o comportamiento de un sistema PCM frente al ruido de cuantificaci´n siempre que: o El ruido de transmisi´n sea despreciable. Para ello se ten´ que cumplir que la SNR de pico del canal o ıa fuera mayor que 20 dB en ausencia de interferencia o del nivel correspondiente superior en presencia de ´sta. e El error de cuantificaci´n qe se pueda considerar uniformemente distribuido seg´n la ecuaci´n (9.15). o u o La cuantificaci´n sea suficientemente fina (n > 6) para evitar patrones de se˜al correlados en el ruido o n de cuantificaci´n. o El rango del cuantificador sea de −4ARMS a 4ARMS . Las condiciones primera y tercera se cumplen siempre que la calidad del sistema sea suficientemente elevada. Si la calidad no es un requisito tan severo, se puede tener n ≤ 6. En este caso la calidad no est´ reflejada unicamente en el valor de SNRO , sino en la presencia no deseada de patrones de se˜al en la a ´ n forma de onda del error de cuantificaci´n dependientes de la se˜al. o n
  • 58. 58 Cap´ ıtulo 9 n´mero de niveles L u n´mero de bits n u SNRO [dB] caso sinusoidal SNRO [dB] caso Gaussiano 32 5 31.8 22.8 64 6 37.8 28.8 128 7 43.8 34.8 256 8 49.8 40.8 Tabla 9.2 N´ mero de niveles, n´mero de bits y SNRO en dB para el caso sinusoidal y Gaussiano. u u Vamos a analizar ahora el caso en el que la se˜al a cuantificar sea una se˜al sinusoidal de la forma n n m(t) = Am cos(2πfm t) que recorra completamente todo el rango completo del cuantificador, es decir, el rango es ahora de −Am a Am (caso sinusoidal con carga total o completa). La potencia de esta se˜al n sinusoidal es A2 /2. El tama˜o del escal´n viene dado por la ecuaci´n (9.21) y la varianza del ruido por la m n o o ecuaci´n (9.22). o 2Am δ= = Am 21−n (9.21) L δ2 1 E[Q2 ] = e = A2 2−2n (9.22) 12 3 m La SNR a la salida viene dada por la ecuaci´n (9.23) o en dB por la ecuaci´n (9.24). o o 3 2n SNRO = 2 (9.23) 2 10 log10 (SNRO ) = 6n + 1,8 [dB] (9.24) En la tabla 9.2 se recogen para varios valores del n´mero de bits por s´ u ımbolo n los valores correspon- dientes para el n´mero de niveles L y los valores de SNRO en dB para el caso sinusoidal y Gaussiano, u respectivamente. A partir de la tabla 9.2 y dada una calidad se puede determinar el n´mero de bits n u y correspondientemente el n´mero de niveles L del cuantificador para el caso sinusoidal o para el caso u Gaussiano. Si la se˜al m(t) tiene un ancho de banda W , la tasa de Nyquist es de 2W . Si se utiliza un cuantificador de n n bits, la duraci´n de cada bit viene dado por la ecuaci´n (9.25). En general, el ancho de banda requerido o o para transmitir esta se˜al binaria como veremos en el tema siguiente viene dado por la ecuaci´n (9.26), n o siendo k una constante que depende de la forma de los pulsos transmitidos que suele moverse en el rango 1 ≤ k ≤ 2. Si utilizamos la expresi´n para la SNRO cuando la se˜al m(t) es sinusoidal con carga completa o n dada por la ecuaci´n (9.23) y sustituyendo n a partir de la ecuaci´n (9.26) se obtiene la ecuaci´n (9.27). o o o A partir de esta ecuaci´n se deduce que la SNRO tiene una relaci´n exponencial o potencial con respecto o o al ancho de banda normalizado Bn = BT /W . En FM esta relaci´n era cuadr´tica: doblando el ancho de o a banda, siempre que estemos por encima del umbral la mejora es de 6 dB. Sin embargo en un sistema PCM doblando el ancho de banda, se puede utilizar un cuantificador con el doble n´mero de bits n por lo que u
  • 59. ´ ANALISIS DE LA CALIDAD EN PCM. 59 la mejora es de 6n dB. Podemos concluir diciendo que PCM es mucho m´s eficiente que FM en lo que se a refiere a intercambio de ancho de banda de transmisi´n BT y SNRO . Adem´s, ya que la calidad en PDM o a y PPM segu´ tambi´n una relaci´n cuadr´tica con el ancho de banda como FM, PCM tambi´n va a ser ıa e o a e mucho m´s eficiente que la modulaci´n anal´gica de pulsos (PAM, PDM y PPM) en lo que se refiere a a o o intercambio de ancho de banda de transmisi´n BT y SNRO . o 1 Tb = (9.25) 2nW BT = knW (9.26) 3 BT 1 SNRO = 4 W 4k (9.27) 2