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  1. 1. MATEMATICAS 2º Bachillerato MaTEX r=A+lu Proyecto A d B s=B+mv Rectas y Planos CIENCIAS MaTEX Fco Javier Gonz´lez Ortiz a Rectas y PlanosDirectorio Tabla de Contenido Inicio Art´ ıculo c 2004 gonzaleof@unican.es Doc Doc10 de junio de 2004 Versin 1.00 Volver Cerrar
  2. 2. MATEMATICAS 2º Bachillerato Tabla de Contenido A r=A+lu1. Sistema de referencia d • Vector de dos puntos • Punto medio de dos puntos B s=B+mv CIENCIAS2. Ecuaciones de la recta 2.1. Tipos de Ecuaciones de la recta3. Ecuaci´n del plano o MaTEX 3.1. Tipos de Ecuaciones del plano4. Posici´n relativa de dos planos o Rectas y 4.1. Haz de planos5. Posici´n relativa de recta y plano o Planos6. Posici´n relativa de tres planos o7. Posici´n relativa de dos rectas o • Rectas paralelas • Rectas coincidentes • Rectas que se cortan o se cruzan Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests Doc Doc Volver Cerrar
  3. 3. MATEMATICASSecci´n 1: Sistema de referencia o 3 2º Bachillerato z r=A+lu1. Sistema de referencia A Un sistema de referencia en el es- P d B pacio consta de un punto O llama- s=B+mv CIENCIAS do origen y tres vectores {i, j, k}. k Cualquier punto P (x0 , y0 , z0 ) tiene z0 −−→ un vector de posici´n OP . o O y MaTEX − −→ i j OP = x0 i + y0 j + z0 k x0 y0 Rectas y x z Planos• Vector de dos puntos A −→ Dados los puntos A(x0 , y0 , z0 ) y AB B(x1 , y1 , z1 ) se tiene k B − → − −→ −→ − OA + AB = OB O y luego i j − −→ −→ − − → AB = OB − OA x −→ Doc Doc AB = (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ) Volver Cerrar
  4. 4. MATEMATICASSecci´n 1: Sistema de referencia o 4 2º Bachillerato r=A+lu• Punto medio de dos puntos A d Dados los puntos A(x0 , y0 , z0 ) y A B B(x1 , y1 , z1 ) se tiene que el punto s=B+mv CIENCIAS medio del segmento AB verifica M −−→ −→ − AB = 2 AM B MaTEX luego A+B O (B−A) = 2 (M −A) =⇒ M = 2 Rectas y x0 + x1 y0 + y1 z0 + z1 Planos M= , , 2 2 2 − −→Ejemplo 1.1. Hallar el vector AB y el punto medio de los puntos A(−1, 3, 4)y B(3, 1, 2).Soluci´n: o − −→ AB = B − A = (3, 1, 2) − (−1, 3, 4) = (4, −2, 2) −1 + 3 3 + 1 4 + 2 M= , , = (1, 2, 3) 2 2 2 Doc Doc Volver Cerrar
  5. 5. MATEMATICASSecci´n 2: Ecuaciones de la recta o 5 2º Bachillerato r=A+lu2. Ecuaciones de la recta ADefinici´n 2.1 La ecuaci´n de una recta viene determinada por un punto o o dA(x0 , y0 , z0 ) y un vector u. B s=B+mv r ≡< A; u > CIENCIASEn el dibujo se observa que un punto X pertenece a la recta r, si el vector−→− −→ −AX es proporcional al vector u, es decir AX = λ u para alg´n λ ∈ R. u MaTEXSiendo −→ − − → −→ − OX = OA + AX −→ −→ − − − → A Rectas y AX = OX − OA u −→ − − → Planos OX − OA = λ u (X − O) − (A − O) = λ u Xdespejando X se obtiene la ecuaci´n o r r ≡ X = A + λu (1) Oen coordenadas se obtiene (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (u1 , u2 , u3 )Dependiendo de como escribamos la expresi´n anterior obtenemos diferentes o Doc Docecuaciones de la recta. Volver Cerrar
  6. 6. MATEMATICASSecci´n 2: Ecuaciones de la recta o 6 2º Bachillerato r=A+lu2.1. Tipos de Ecuaciones de la recta A Ecuaci´n Vectorial. Expresando la ecuaci´n 1 en coordenadas o o d B (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (u1 , u2 , u3 ) s=B+mv CIENCIAS Ecuaciones Param´tricas. Separando las componentes e x = x0 + λ u1   MaTEX y = y0 + λ u 2 z = z0 + λ u 3  Ecuaciones Continua. Despejando en la expresi´n anterior el par´metro o a Rectas y λ e igualando Planos x − x0 y − y0 z − z0 = = u1 u2 u3 Ecuaciones Cartesianas. Operando las igualdades, es decir, agrupan- do t´rminos y ordenando se obtiene las expresiones: e Ax + By + Cz + D = 0 Ax+B y+C z+D = 0Ejemplo 2.1. Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntosA(1, 2, 1) y B(0, 3, 2).Soluci´n: El vector director u = AB = (−1, 1, 1) o Ecuaci´n Vectorial. (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ (−1, 1, 1) o Doc Doc Volver Cerrar
  7. 7. MATEMATICASSecci´n 2: Ecuaciones de la recta o 7 2º Bachillerato  r=A+lu x = 1−λ  A Ecuaciones Param´tricas. y = 2 + λ e d z = 1+λ  B x−1 y−2 z−1 s=B+mv Ecuaci´n Continua. o = = CIENCIAS −1 1 1 Ecuaciones Cartesianas. Operando las igualdades, agrupando t´rmi- nos y ordenando se obtiene las expresiones: e MaTEX x−1 y−2   =  x+y−3 = 0 −1 1 ⇒ r≡ y−2 z−1  Rectas y y−z−1 = 0 =  1 1 Planos x−1 y+1 z−2Ejemplo 2.2. Determinar de la recta r ≡ = = , su direc- 2 3 1ci´n y dos puntos de la misma. oSoluci´n: La direcci´n viene dada por u = (2, 3, 1). Un punto es A(1, −1, 2). o oPara hallar otro punto usamos la expresi´n vectorial o r ≡ X = A + λuHaciendo λ = 2 obtenemos X1 = (1, −1, 2) + 2 (2, 3, 1) = (5, 5, 4) Doc Doc Volver Cerrar
  8. 8. MATEMATICASSecci´n 2: Ecuaciones de la recta o 8 2º Bachillerato r=A+luHaciendo λ = 3 obtenemos A X2 = (1, −1, 2) + 3 (2, 3, 1) = (7, 8, 5) dy as´ sucesivamente para obtener m´s puntos. ı a B s=B+mv  CIENCIAS x = 1 − 3λ Ejemplo 2.3. Dada la recta: y = 2 + λ z = 1 + 2λ  MaTEXDeterminar su vector direccional y dos puntos de la misma.Soluci´n: oSu vector direccional es u = (−3, 1, 2). Un punto es A(1, 2, 1). Para hallar otro Rectas ypunto damos valores al par´metro λ, por ejemplo, haciendo λ = 1 obtenemos a Planos  x = 1 − 3(1) = −2  y = 2 + (1) = 3 z = 1 + 2(1) = 3 Ejercicio 1. Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) est´n aalineados.Ejercicio 2. Dados los puntos A(m, 2, −3), B(2, m, 1) y C(5, 3, −2), determi-nar el valor de m para que est´n alineados, y hallar la recta que los contiene. e x+y−3 = 0Ejercicio 3. Dada la recta r , escribirla en forma con- y−z−1 = 0 Doc Doctinua. Volver Cerrar
  9. 9. MATEMATICASSecci´n 3: Ecuaci´n del plano o o 9 2º Bachillerato r=A+lu3. Ecuaci´n del plano o ADefinici´n 3.1 La ecuaci´n de un plano viene determinada por un punto o o dA(x0 , y0 , z0 ) y dos vectores u, v linealmente independientes. B s=B+mv π ≡< A; u, v > CIENCIAS −→ −Un punto X pertenece al plano π, observar el dibujo, si el vector AX escombinaci´n lineal de u y v, es decir o MaTEX −→ − AX = λ u + µ v Rectas ypara alg´n λ, µ ∈ R u −→ −→ − − − → Planos AX = OX − OA −→ − A uIdentificando OX = X y−→ v XOA = A se obtiene laecuaci´n o O π ≡ X = A + λu + µv (2) Doc Doc Volver Cerrar
  10. 10. MATEMATICASSecci´n 3: Ecuaci´n del plano o o 10 2º Bachillerato r=A+lu3.1. Tipos de Ecuaciones del plano A Ecuaci´n Vectorial.Expresando la ecuaci´n 2 en coordenadas o o d B (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (u1 , u2 , u3 ) + µ (v1 , v2 , v3 ) s=B+mv CIENCIAS Ecuaciones Param´tricas. Separando las componentes e MaTEX  x = x0 + λ u1 + µ v1  y = y0 + λ u2 + µ v2 z = z0 + λ u3 + µ v3  Ecuaci´n Cartesiana. Para hallar la ecuaci´n cartesiana del plano o o Rectas y hay que eliminar los par´metros λ y µ en las ecuaciones param´tricas. a e −→ − Planos Como el vector AX es combinaci´n lineal de los vectores direccionales o − y v, el rango de la matriz (−→ u, v) es 2 → u − AX,   x − x0 y − y0 z − z0 rg  u1 u2 u3  = 2 v1 v2 v3 y por tanto su determinante es nulo. x − x0 y − y0 z − z0 π≡ u1 u2 u3 =0 v1 v2 v3 Doc Doc π ≡ ax + by + cz + d = 0 (3) Volver Cerrar
  11. 11. MATEMATICASSecci´n 3: Ecuaci´n del plano o o 11 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 3.1. Determinar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos AA(2, 3, 5), B(1, 1, 2) y C(3, 6, 10). dSoluci´n: La direcci´n viene dada por los o o vectores B s=B+mv − −→ −→ AB(−1, −2, −3) AC(1, 3, 5) CIENCIASEcuaci´n Vectorial o π ≡ (x, y, z) = (2, 3, 5) + λ (−1, −2, −3) + µ (1, 3, 5) MaTEXEcuaciones Param´tricas e  x = 2−λ+µ  Rectas y y = 3 − 2λ + 3µ Planos z = 5 − 3λ + 5µ Ecuaci´n Cartesiana o x−2 y−3 z−5 π≡ 1 2 3 =0 1 3 5Se desarrolla por adjuntos por la primera fila π ≡ x − 2y + z − 1 = 0 Doc Doc Volver Cerrar
  12. 12. MATEMATICASSecci´n 3: Ecuaci´n del plano o o 12 2º Bachillerato r=A+lu A En la ecuaci´n general del plano: o n(a,b,c) d π ≡ ax + by + cz + d = 0 B s=B+mv los coeficientes (a, b, c) corresponden a CIENCIAS las componentes del vector perpen- dicular al plano y se le denomina el vector normal del plano π. MaTEX a x + by + c z +d = 0 n (a, b, c) Rectas yEjemplo 3.2. Determinar las ecuaciones param´tricas del plano e Planos π ≡ x − 2y + z − 1 = 0Soluci´n: Elegimos dos variables libres como par´metros, por ejemplo y = λ o ay z = µ, quedando   x = 1 + 2λ − µ y = λ z = µ La direcci´n viene dada por los vectores o u(2, 1, 0) v(−1, 0, 1) Doc Doc Volver Cerrar
  13. 13. MATEMATICASSecci´n 3: Ecuaci´n del plano o o 13 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 4. Hallar la ecuaci´n del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y o Acontiene a la recta de ecuaci´n : o d x−1 y+3 z r≡ = = B 2 1 −1 s=B+mv CIENCIASEjercicio 5. Hallar la ecuaci´n de la recta r que pasa por el punto A(1, 0, 0) oy es perpendicular al plano x − y − z + 2 = 0. MaTEXEjercicio 6. Determinar la ecuaci´n de un plano que contenga a la recta r oy sea perpendicular al plano π, siendo: Rectas y  x−1 y−1 z+1  x =λ−µ r≡ = = π: y =λ Planos 2 −3 −1 z =µ Test. El punto A(0, 1, 2) y los vectores u(1, 2, 3) y v(2, 4, 6) determinan unplano(a) Si (b) No x−2 y+5 z+1Test. El punto A(7, −4, 2) y la recta = = determinan un 5 1 3plano(a) Si (b) No Doc Doc Volver Cerrar
  14. 14. MATEMATICASSecci´n 4: Posici´n relativa de dos planos o o 14 2º Bachillerato r=A+lu4. Posici´n relativa de dos planos o A π1 ≡ A1 x + B1 y + C1 z = D1 dTeorema 4.1. Sean dos planos B π2 ≡ A2 x + B2 y + C2 z = D2 s=B+mv CIENCIAS Estudiamos el sistema lineal de 2 ecuaciones con 3 inc´gnitas: o A r(A) = 1 r(AM ) = 1 ⇒ π1 ≡ π2 MaTEX A1 B1 C1 D1 r(A) = 1 r(AM ) = 2 ⇒ π1 π2 A2 B2 C2 D2 r(A) = 2 r(AM ) = 2 ⇒ π1 ∩ π2 = {r} Rectas y AM Planos r(A)=r(AM)=1 r(A)=1 r(AM)=2 r(A)=2 r(AM)=2 p1 = p2 p1 p2 p1 p2 = {r} Doc Doc Volver Cerrar
  15. 15. MATEMATICASSecci´n 4: Posici´n relativa de dos planos o o 15 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 4.1. Determinar la posici´n relativa de los planos: o A π1 ≡ 3x − 2y + 4z = 2 d π2 ≡ 2 x + 3 y − 5 z = −8 B s=B+mv CIENCIASSoluci´n: o A A 3 −2 4 2 3 f2 −2 f1 ≡ 3 −2 4 2 MaTEX 2 3 −5 −8 0 13 −23 −28 AM AM Rectas yComo r(A) = r(AM ) = 2 los planos determinan una recta, π1 ∩ π2 = {r}. PlanosPara hallar r resolvemos el sistema pasando z como variable libre. De la 28 23segunda ecuaci´n y = − o + z y sustituyendo en la primera ecuaci´n o 13 13 10 2x = − − z, luego la recta es 13 13  10 2  x = − −  λ   13 13 28 23  y = − + λ    13 13 z = λ Doc Doc Volver Cerrar
  16. 16. MATEMATICASSecci´n 4: Posici´n relativa de dos planos o o 16 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 4.2. Determinar la posici´n relativa de los planos: o A π1 ≡ 3x − 2y + 4z = 1 d π2 ≡ −6 x + 4 y − 8 z = −2 B s=B+mv CIENCIASSoluci´n: Como o 3 −2 4 1 = = = −6 4 −8 −2 MaTEXlos planos son coincidentes. Rectas y PlanosEjemplo 4.3. Determinar la posici´n relativa de los planos: o π1 ≡ 3x − 2y + 4z = 1 π2 ≡ −6 x + 4 y − 8 z = 0Soluci´n: o 3 −2 4 1 f2 +2 f1 3 −2 4 1 ≡ −6 4 −8 0 0 0 0 2Como r(A) = 1 < r(AM ) = 2 los planos son paralelos. Doc Doc Volver Cerrar
  17. 17. MATEMATICASSecci´n 4: Posici´n relativa de dos planos o o 17 2º Bachillerato r=A+lu4.1. Haz de planos ADefinici´n 4.1 Sea la recta r determinada por los planos π1 y π2 . o d π1 ≡ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 B s=B+mv r≡ π2 ≡ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 CIENCIASllamamos haz de planos a los infinitos planos que pasan por r. Su expresi´n oviene dada por: MaTEX α (A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β (A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 Rectas yLa figura muestra el haz de planos. Se aseme- rja a un libro con infinitas hojas (los planos). p3 PlanosDando valores a los par´metros α y β no nu- alos a la vez, se obtienen los infinitos planos delhaz. α π1 + β π2 = 0 p2 p1Ejemplo 4.4. Hallar la ecuaci´n del plano que pasa por el punto P (2, −1, 3) oy contiene a la recta determinada por los planos: π1 ≡ x − y + z = 2 Doc Doc π2 ≡ 2 x + y − z = −1 Volver Cerrar
  18. 18. MATEMATICASSecci´n 4: Posici´n relativa de dos planos o o 18 2º Bachillerato r=A+luSoluci´n: El plano buscado est´ en el haz o a A α (x − y + z − 2) + β (2 x + y − z + 1) = 0 d Bexigimos que pase por el punto P (2, −1, 3) s=B+mv CIENCIAS α (2 + 1 + 3 − 2) + β (2 (2) − 1 − 3 + 1) = 0es decir 4 α + β = 0 =⇒ β = −4α MaTEXHaciendo α = 1 =⇒ β = −4, y sustituyendo se obtiene 7x + 5y − 5z + 6 = 0 Rectas y PlanosEjercicio 7. Dada la recta r formada por π1 y π2 : π1 ≡ x − y = 2 π2 ≡ y − z = 1Hallar: a) La expresi´n de todos los planos que la contienen. o b) El plano que contiene a r y pasa por el origen. c) El plano que contiene a r y es paralelo x − z = 5. Doc Doc Volver Cerrar
  19. 19. MATEMATICASSecci´n 5: Posici´n relativa de recta y plano o o 19 2º Bachillerato r=A+lu5. Posici´n relativa de recta y plano o A dTeorema 5.1. Sean la recta r y el plano π: B x − x0 y − y0 z − z0 s=B+mv r≡ = = CIENCIAS u v w π ≡ ax + by + cz = dPara estudiar la posici´n relativa o A3 MaTEX → − r2de la recta y el plano, se compara el r3 A2 u 2vector de la recta u(u, v, w) con el → −3 u Rectas yvector normal n(a, b, c) del plano. → − nSe pueden presentan tres casos: Planos r1 A1 → −1 u P 1. u1 ⊥ n y A1 ∈ π ⇒ r1 ⊂ π. Contenida. 2. u2 ⊥ n y A2 ∈ π ⇒ r2 π. Paralela. 3. u3 ⊥ n ⇒ r3 ∩ π = {P }. Se cortan. Doc Doc Volver Cerrar
  20. 20. MATEMATICASSecci´n 5: Posici´n relativa de recta y plano o o 20 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 5.1. Determinar b para que la recta: A x−1 y−2 z r≡ = = d 3 b 6 B s=B+mvno corte al plano π : 2x − 4y + 5z = 0 CIENCIASSoluci´n: oPara que r no corte al plano tiene que ser paralela, luego MaTEX u(3, b, 6) ⊥ n(2, −4, 5) u(3, b, 6) · n(2, −4, 5) = 0 = 36 − 4 b = 0 =⇒ b = 9 Rectas ySi b = 9, r π, veamos que no esta contenida comprobando que no tienen unpunto com´n. Tomamos A(1, 2, 0) ∈ r y sustituimos en π. u Planos 2(1) − 4(2) + 5(0) = −6 = 0 =⇒ r πEjercicio 8. Dados el plano π : x + y + mz = n, y la recta x y−2 z r≡ = = 1 −1 2 a) Calcular m y n para que π contenga a r. b) Calcular m y n para que π y r sean paralelos. c) Calcular m y n para que π y r sean secantes. Doc Doc Volver Cerrar
  21. 21. MATEMATICASSecci´n 6: Posici´n relativa de tres planos o o 21 2º Bachillerato r=A+lu6. Posici´n relativa de tres planos o A Sean los planos π1 ,π2 , y π3 : d A B s=B+mv π1 ≡ A1 x + B1 y + C1 z = D1   CIENCIAS π2 ≡ A2 x + B2 y + C2 z = D2 A1 B1 C1 D1  A2 B2 C2 D2  π3 ≡ A3 x + B3 y + C3 z = D3 A3 B3 C3 D3 MaTEX AMSe analiza el sistema de tres ecuaciones con tres inc´gnitas discutiendo los o Rectas yrangos de las matrices A y la ampliada AM . Se pueden presentar los sigu-ientes casos: Planos r(A) = 1 r(AM ) = 1, planos coincidentes. r(A) = 1 r(AM ) = 2, planos paralelos. r(A) = 2 r(AM ) = 2, Haz de planos, pudiendo haber dos de ellos coincidentes. Tienen una recta en com´n. u r(A) = 2 r(AM ) = 3, los 3 planos no tienen puntos comunes, pueden ser 2 paralelos que intersecan respectivamente al otro, o bien, se intersecan dos a dos en respectivas rectas. r(A) = 3 r(AM ) = 3, los planos tienen un punto en com´n. u Doc Doc Volver Cerrar
  22. 22. MATEMATICASSecci´n 6: Posici´n relativa de tres planos o o 22 2º Bachillerato r=A+lu r(A)=1 r(A)=1 r(A)=2 A r(AM)=1 r(AM)=2 r(AM)=2 d p3 B s=B+mv CIENCIAS MaTEX p2 p1 p2 p1 p1 = p2 = p3 Rectas y Planos r(A)=3 r(A)=2 r(A)=2 r(AM)=3 r(AM)=3 r(AM)=3 p3 p1 p1 p1 p2 p2 p3 p3 p2 Doc Doc Volver Cerrar
  23. 23. MATEMATICASSecci´n 6: Posici´n relativa de tres planos o o 23 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 6.1. Discutir la posici´n relativa de los planos: o A   α : x + y + kz = 1 d β : kx + y + z = 1 B s=B+mv γ : 2x + y + z = k  CIENCIAS 1 1 kSoluci´n: |A| = o k 1 1 = k 2 − 3k + 2 = 0 =⇒ k = 1 ∨ k=2 MaTEX 2 1 1 A A Rectas y     r(A) = 2k=1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 ⇒ r(AM ) = 2 Planos  1 1 1 1   0 0 0 0  Haz de planos 2 1 1 1 0 −1 −1 −1 AM AM A A r(A) = 2     r(AM ) = 3 k=2 1 1 2 1 = 1 1 1 1 ⇒ α ∩ β = r1  2 1 1 1   0 −1 −3 −1  α ∩ γ = r2 2 1 1 2 0 0 0 1 β γ AM AMSi k = 1; 2, r(A) = r(AM ) = 3, S.C.D. y los tres planos se cortan en un punto. Doc Doc Volver Cerrar
  24. 24. MATEMATICASSecci´n 6: Posici´n relativa de tres planos o o 24 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 6.2. Discutir la posici´n relativa de los planos: o A  x + y − z= 2  d 3x − 2y + z = 1 B s=B+mv 6x + y − 2z = 7  CIENCIASSoluci´n: o 1 1 −1 2   1 1 −1 2   1 1 −1 2  MaTEX f −3f1 f −f2 3 −2 1 1  −2− −  0 − −→ −5 4 −5  −3− →  0 −− −5 4 −5  f3 −6f1 6 1 −2 7 0 −5 4 −5 0 0 0 0 Es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.r(A) = r(AM ) = 2, Rectas yS.C.I, los tres planos tienen una recta en com´n. u PlanosEjercicio 9. Dados los planos :   πα : 2x − ky − 4z =2 πβ : kx − y + z = −3 πγ : x+y+z =1  1. ¿Para qu´ k, determinan πα y πβ una recta, r(k)?. e 2. Estudiar la posici´n relativa de las rectas r(k), respecto del plano γ. o Doc Doc Volver Cerrar
  25. 25. MATEMATICASSecci´n 7: Posici´n relativa de dos rectas o o 25 2º Bachillerato r=A+lu7. Posici´n relativa de dos rectas o A Sean dos rectas cualesquiera d B r : A + λu s : B + µv s=B+mv CIENCIASLas posibles posiciones relativas entre ellas son: MaTEX• Rectas paralelas Dos rectas r y s son paralelas si tienen la misma direcci´n. o Rectas yEjemplo 7.1. Comprobar que las rectas r y s son paralelas: x y−1 z+3 x y z Planos r≡ = = s≡ = = 1 1 3 2 2 6Soluci´n: En efecto, los vectores u(1, 1, 3) y v(2, 4, 6) son proporcionales, luego or y s tienen la misma direcci´n. o• Rectas coincidentes Dos rectas r y s son coincidentes, si son paralelas y tienen un punto encom´n. uEjemplo 7.2. Comprobar que las rectas r y s no son coincidentes: x y−1 z+3 x y z r≡ = = s≡ = = 1 1 3 2 2 6 Doc Doc Volver Cerrar
  26. 26. MATEMATICASSecci´n 7: Posici´n relativa de dos rectas o o 26 2º Bachillerato r=A+luSoluci´n: En efecto, por una parte, los vectores u(1, 1, 3) y v(2, 4, 6) son pro- o Aporcionales, luego r y s son paralelas. Por otra parte como el punto A(0, 1, −3) dde r no satisface la ecuaci´n de s, pues o B s=B+mv 0 1 −3 CIENCIAS = = 2 2 6las rectas son paralelas pero no coincidentes. MaTEX• Rectas que se cortan o se cruzan Si r y s no son paralelas hay dos posiciones de inter´s: que se corten o se e Rectas ycruzen en el espacio.(Observar el gr´fico inferior) aSi las rectas se cortan forman un Planos − −→plano y los vectores u,v y AB son vdependientes luego − −→ B det(u, v, AB) = 0y si se cruzan en el espacio los vec- s − −→tores u,v y AB son independientes vluego − −→ B´ det(u, v, AB) = 0 r v A u Doc Doc s´ Volver Cerrar
  27. 27. MATEMATICASSecci´n 7: Posici´n relativa de dos rectas o o 27 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 7.3. Comprobar que las rectas r y s se cruzan en el espacio: A x y−1 z+3 x y z r≡ = = s≡ = = d 1 1 3 1 0 1 B s=B+mvSoluci´n: En efecto, por una parte, los vectores u(1, 1, 3) y v(1, 0, 1) no son o CIENCIAS −−→proporcionales, luego r y s no son paralelas. Formamos el vector AB(0, −1, 3) −−→y calculamos det(u, v, AB). Como MaTEX 1 1 3 1 0 1 = −5 = 0 ⇒ se cruzan 0 −1 3 Rectas y PlanosEjemplo 7.4. Comprobar que las rectas r y s se cortan en el espacio: x−2 y z−2 x y z r≡ = = s≡ = = 1 1 3 1 0 1Soluci´n: En efecto, por una parte, los vectores u(1, 1, 3) y v(1, 0, 1) no son o − −→proporcionales, luego r y s no son paralelas. Formamos el vector AB(−2, 0, −2) −− →y calculamos det(u, v, AB). Como 1 1 3 1 0 1 = 0 ⇒ se cortan −2 0 −2tambi´n decimos que las rectas son incidentes, secantes o coplanarias. e Doc Doc Volver Cerrar
  28. 28. MATEMATICASSecci´n 7: Posici´n relativa de dos rectas o o 28 2º Bachillerato r=A+lu Otra forma equivalente de estudiar la posici´n relativa de dos rectas es o A − −→estudiar el rango de las matrices determinadas por los vectores (u, v, AB), dpudi´ndose presentar los siguientes casos: e B s=B+mv CIENCIAS Posici´n relativa de dos rectas o MaTEX r{u, v} = 1 1. ⇒ r y s son coincidentes. r{u, v, AB} = 1 Rectas y r{u, v} = 1 2. ⇒ r y s son paralelas. r{u, v, AB} = 2 Planos r{u, v} = 2 3. ⇒ r y s se cortan. r{u, v, AB} = 2 r{u, v} = 2 4. ⇒ r y s se cruzan. r{u, v, AB} = 3Ejercicio 10. Estudiar la posici´n relativa de las rectas: o x−3 y+1 z x−y+z−4=0 r≡ = = s≡ 5 2 −3 3x + 3y + 7z − 6 = 0 Doc Doc Volver Cerrar
  29. 29. MATEMATICASSecci´n 7: Posici´n relativa de dos rectas o o 29 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 11. Determinar a y b para que las rectas sean paralelas A 2x + ay − z = 1 d r ≡ 4x = 2y + 6 = z s≡ 2x + 3y + bz = 3 B s=B+mv CIENCIASEjercicio 12. Hallar los valores de m y n para que las rectas r y s seanparalelas:   x = 5 + 5λ x y−1 z+3 MaTEX r≡ y = 3+λ s≡ = = m 3 n z = −λ  Rectas yEjercicio 13. Estudiar seg´n los valores del par´metro a, la posici´n relativa u a ode las rectas r y s: Planos   x = (a + 2)λ r≡ y= 1 z= a  a−x y−2 z−a s≡ = = 1 a3 a−1Ejercicio 14. Estudiar la posici´n relativa de la recta: o kx + y + z = k 2 r≡ x + y + kz = ky el plano α : x + y + 2kz = 2, seg´n los valores del par´metro real k. u a Doc Doc Volver Cerrar
  30. 30. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 30 2º Bachillerato r=A+luSoluciones a los Ejercicios AEjercicio 1. Para que est´n alineados es necesario que los vectores e d −− → −→ B AB = (3, 1, 2) yAC = (0, −2, 1) s=B+mv CIENCIASsean proporcionales. Como 3 1 2 0 = −2 = 1 MaTEXlos puntos no est´n alineados. a Ejercicio 1 Rectas y Planos Doc Doc Volver Cerrar
  31. 31. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 31 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 2. Exigimos que los vectores A − −→ −→ AB = (2 − m, m − 2, 4) AC = (5 − m, 1, 1) d Bsean proporcionales, es decir, s=B+mv CIENCIAS  5−m = 1  5−m 1 1 2−m MaTEX  = = =⇒ 4 =⇒ m = 6 2−m m−2 4 1 1 =   m−2 4La ecuaci´n de la recta AB, ser´: o a Rectas y x−6 y−2 z+3 r≡ = = −1 1 1 Planos Ejercicio 2 Doc Doc Volver Cerrar
  32. 32. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 32 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 3. Para pasar r a param´tricas e A x+y−3 = 0 d r y−z−1 = 0 B s=B+mvelegimos una variable como par´metro, por ejemplo y = λ, y tenemos: a CIENCIAS   x = 3−λ r y = λ MaTEX z = −1 + λ Luego un punto es (3, 0, −1) y su vector (−1, 1, 1), y de aqu´ en forma continua ı Rectas yqueda x−3 y z+1 r≡ = = Planos −1 1 1 Ejercicio 3 Doc Doc Volver Cerrar
  33. 33. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 33 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 4. El plano buscado contiene a A y a r luego tenemos dos puntos AA(2, 0, 1), B(1, −3, 0) ∈ r del plano y un vector u = (2, 1, −1). d B s=B+mv A CIENCIAS r B MaTEXCon A y B formamos el otro vector direccional AB = (−1, −3, −1). Laecuaci´n del plano ser´: o a Rectas y x−2 y−0 z−1 Planos π≡ 2 1 −1 =0 −1 −3 −1 π ≡ 4 (x − 2) − 3 y + 5 (z − 1) = 0 Ejercicio 4 Doc Doc Volver Cerrar
  34. 34. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 34 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 5. La recta r buscada pasa por el punto A(1, 0, 0), y tendr´ como a Avector u el vector normal del plano n = (1, −1, −1) . d n B A s=B+mv CIENCIAS p MaTEX r Rectas y x−1 y z r≡ = = Planos 1 −1 −1 Ejercicio 5 Doc Doc Volver Cerrar
  35. 35. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 35 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 6. Del plano π1 buscado tenemos: A d n B s=B+mv CIENCIAS A r p1 MaTEX p Rectas y el punto A(1, 1, −1) ∈ r Planos el vector u(2, −3, −1) de r x y z y el vector n de π ≡ 1 1 0 = x − y + z = 0: −1 0 1 x−1 y−1 z+1 π1 ≡ 2 −3 −1 = −4x − 3y + z + 8 = 0 1 −1 1 Ejercicio 6 Doc Doc Volver Cerrar
  36. 36. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 36 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 7. A a) La expresi´n de todos los planos que la contienen es el haz de planos o d α (x − y − 2) + β (y − z + 1) = 0 α, β ∈ R B s=B+mv CIENCIAS b) El plano del haz pasa por el origen, verifica α (0 − 0 − 2) + β (0 − 0 + 1) = 0 =⇒ β = 2 α MaTEX con α = 1, se tiene β = 2 y sustituyendo en la expresi´n del haz, o x + y − 2z = 0 Rectas y c) Hallamos el plano del haz con vector normal proporcional al vector normal de x − z = 5. Asociando t´rminos en el haz se tiene e Planos α x + (β − α) y − β z − 2α + β = 0 α β−α −β = = =⇒ α = β 1 0 −1 con α = 1, se tiene β = 1 y sustituyendo en la expresi´n del haz, o x−z =1 Ejercicio 7 Doc Doc Volver Cerrar
  37. 37. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 37 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 8. ASean la recta y el plano: d x y−2 z B r≡ = = π : x + y + mz = n s=B+mv 1 −1 2 CIENCIAS a) Calcular m y n para que π contenga a r. Es necesario que u(1, −1, 1) sea ortogonal a n(1, 1, m), luego MaTEX u · n = 0; (1, −1, 1) · (1, 1, m) = 0 =⇒ m = 0 y que el punto A(0, 2, 0) ∈ r pertenezca al plano. Luego sustituyendo Rectas y (0) + (2) + m (0) = n =⇒ n = 2 Planos b) Calcular m y n para que π y r sean paralelos. Del apartado anterior r tiene que ser paralela sin puntos en com´n con π, luego m = 0 n = 2 . u c) Calcular m y n para que π y r sean secantes. Del apartado anterior r no tiene que ser paralela, luego m = 0 Ejercicio 8 Doc Doc Volver Cerrar
  38. 38. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 38 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 9. Los planos πα y πβ determinan una recta siempre que no sean Aparalelos. Para que sean paralelos se tienen que cumplir: d  −k  √  2 =  k=± 2 B 2 −k −4  k −1 s=B+mv = = ⇒ Imposible CIENCIAS k −1 1  −k = −4   k = −4 −1 1luego ∀ k ∈ R πα ∩ πβ = r(k). MaTEX Ahora estudiamos la posici´n relativa de πα , πβ y πγ : o A Rectas y   2 −k −4 2 Planos  k −1 1 −3  1 1 1 1 AM 2 −k −4Como k −1 1 = k 2 − 5k − 8. 1 1 1 √ 5± 68 |A| = 0 ⇒ k = . Por otra parte como un menor de AM , 2 Doc Doc Volver Cerrar
  39. 39. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 39 2º Bachillerato r=A+lu −k −4 2 A −1 1 −3 = −4k + 4 se anula para k = 1, se tiene d 1 1 1 √ B s=B+mv 5± 68 r(A) = 2 CIENCIAS •k = ⇒ ⇒ r(k)//πβ 2 √ r(AM ) = 3 •k = 5± 2 68 ⇒ r(A) = 3 r(AM ) = 3 ⇒ πα ∩ πβ ∩ πγ = {P} MaTEX Ejercicio 9 Rectas y Planos Doc Doc Volver Cerrar
  40. 40. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 40 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 10. Obtenemos un punto A ∈ r y su vector u A x−3 y+1 z A(3, −1, 0) d r≡ = = 5 2 −3 u = (5, 2, −3) B s=B+mvObtenemos un punto B ∈ s y su vector v CIENCIAS x−y+z−4=0 s≡ 3x + 3y + 7z − 6 = 0 ⇒ MaTEX   y=0⇒ x+z =4 11 3  B( , 0, − )    3x + 7z = 6 2 2 Rectas y ⇒ i j k  v= 1 −1 1 = v = (−10, −4, 6)  Planos   3 3 7 Como v = (−10, −4, 6) ∼ u = (5, 2, −3) son proporcionales las rectas r y sson paralelas. Por otra parte como A(3, −1, 0) ∈ r satisface las ecuaciones des,entonces A ∈ s, y las rectas r y s son paralelas con un punto en com´n uluego son coincidentes, r ≡ s Ejercicio 10 Doc Doc Volver Cerrar
  41. 41. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 41 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 11. Obtenemos el vector direccional u de r: A x y+3 z d r ≡ 4x = 2y + 6 = z } = = u = (1, 2, 4) ˜ 1 2 4 B s=B+mv CIENCIASObtenemos el vector direccional v de s: i j k 2 a −1 = v = (ab + 3, −2b − 2, 6 − 2a) ˜ MaTEX 2 3 b ab + 3 −2b − 2 6 − 2a r||s =⇒ = = Rectas y  1 2 4 ab + 3 6 − 2a Planos = b = −1/5   1 4 −2b − 2 6 − 2a a = −5   = 2 4 Ejercicio 11 Doc Doc Volver Cerrar
  42. 42. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 42 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 12. Para que r y s sean paralelas sus vectores deben ser propor- Acionales. Como u(5, 3, −1) y v(m, 3, n), d  5 =3  B 5 3 −1  m 3 =⇒ m=5 s=B+mv = = =⇒ CIENCIAS m 3 n  3 −1 n = −1  = 3 n Ejercicio 12 MaTEX Rectas y Planos Doc Doc Volver Cerrar
  43. 43. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 43 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 13. De r tenemos el punto A(0, 1, a) y el vector u = (a + 2, 0, 0). ADe la recta s tenemos el punto B(a, 2, a) y el vector v = (−1, a3 , a − 1). Para dque sean paralelas u ∼ v,luego B s=B+mv a+2 0 0 = 3 = ⇒ a = −2 CIENCIAS −1 a a−1pero con a = −2, el vector u = (0, 0, 0) lo cual no puede ser. Luego no puedenser paralelas. Veamos si pueden ser concurrentes. En este caso el determinante MaTEX|u, v, AB| = 0, a+2 0 0 Rectas y −1 a3 a − 1 = −(a + 2)(a − 1) = 0 ⇒ a = −2 ∨ a = 1 a 1 0 PlanosLuego si a = 1, r ∩ s = {P }. En resumen   a = −2 r no est´ definida a a=1 r ∩ s = {P } se cortan en un punto a = −2 ∧ 1 las rectas se cruzan  Ejercicio 13 Doc Doc Volver Cerrar
  44. 44. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 44 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 14. Discutimos el sistema seg´n los valores de k u A A d k2   k 1 1 =⇒ |A| = k(k − 1) = 0 ⇒ k = 0 ∨ k = 1 B s=B+mv  1 1 k k  CIENCIAS 1 1 2k 2 AM MaTEXDiscusi´n: o k=0 Rectas y     0 1 1 0 0 1 1 0 f3 −f2  1 1 0 0  ≡  1 1 0 0  Planos 1 1 0 2 0 0 0 2 con r(A) = 2 y r(AM ) = 3. Recta r paralela a π. k=1     1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1  ≡  0 0 0 0  1 1 2 2 0 0 1 1 con r(A) = 2 y r(AM ) = 2. Recta r contenida en el plano π. k = 0 ∧ 1, r(A) = 3 y r(AM ) = 3. Sistema Compatible Determinado. Se cortan en un punto. Ejercicio 14 Doc Doc Volver Cerrar
  45. 45. MATEMATICASSoluciones a los Tests 45 2º Bachillerato r=A+luSoluciones a los Tests ASoluci´n al Test: Como los vectores u(1, 2, 3) y v(2, 4, 6) son proporcionales o dno son linealmente independientes. Luego no tenemos direcci´n para un plano o B s=B+mvque necesita dos vectores linealmente independientes. En este caso con estos CIENCIASdatos tendr´ıamos una recta. Final del Test MaTEX Rectas y Planos Doc Doc Volver Cerrar
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