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Relacion entre conjuntos
 

Relacion entre conjuntos

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investigacion relacion con el fin de dar a conocer todo lo referente a las relaciones de conjuntos

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    Relacion entre conjuntos Relacion entre conjuntos Document Transcript

    • Instituto Universitario Tecnológico “Antonio José De Sucre” Extensión – “BARQUISIMETO” Integrantes: Zambrano Walter 19.591.969 Materia: Algebra Profesor: Domingo MendezBarquisimeto, 04 de julio del 2.012
    • RelaciónDados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del productocartesiano A x B.Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con unelemento b, que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a unsubconjunto G (llamado grafo) del producto cartesiano A x B.Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesianoA x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relación sería R= {(a,1),(c,2)}.A las relaciones también se les llama correspondencias. Relación binariaDado el producto cartesiano A x A, una relación binaria es un subconjunto G(llamado grafo) de este producto cartesiano.Una relación binaria que cumple que para todo elemento a del conjunto A, elelemento (a,a) pertenece al grafo G tiene la propiedad reflexiva.Una relación binaria que cumple que para todo elemento a del conjunto A, elelemento (a,a) no pertenece al grafo G tiene lapropiedad irreflexiva o antireflexiva.Una relación binaria que cumple que para todo elemento a y b pertenecienteal conjunto A si (a,b) pertenece al grafo G entonces el elemento (b,a)también pertenece al grafo G, tiene la propiedad simétrica.Una relación binaria tiene la propiedad antisimétrica si para todo elemento ay b perteneciente al conjunto A si (a,b) pertenece al grafo G y el elemento(b,a) también pertenece al grafo G, entonces a = b.Una relación binaria tiene la propiedad transitiva si para todo elemento a, by c perteneciente al conjunto A si (a,b) pertenece al grafo G y (b,c) tambiénpertenece al grafo G, entonces (a, c) pertenece al grafo G.
    • Relación de equivalenciaUna relación de equivalencia es una relación binaria que tiene laspropiedades:Reflexiva: a R aSimétrica: Si a R b, b R aTransitiva: Si a R b y b R a, entonces a R c.Ejemplo: La relación a - b = 2.k (múltiplo de 2), siendo a y b números enteroses una relación de equivalencia porque cumple las propiedades:Reflexiva: a - a = 0 = 2.k (k = 0).Simétrica: a - b = b - a porque b - a = -(a - b). Si a - b es múltiplo de 2, -(a -b) también lo será.Transitiva: a - b = 2.k1 b - c = 2.k2 Sumando queda a - c = 2.k3 Entonces a -c es múltiplo de 2.Al conjunto de los elementos del conjunto A que están relacionados con élse llama clase de equivalencia.En el ejemplo anterior, la clase de equivalencia del número cero (uno de loselementos del conjunto de los números enteros) C(0) = {... -4, -2, 0, 2, 4, ...},pues 0 - (-4) es múltiplo de 2, 0 - (-2) es múltiplo de 2 ya sí sucesivamente.La clase de equivalencia del número 1 será C(1) = {... -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}pues la diferencia entre 1 y los números indicados es múltiplo de 2.Del mismo modo podríamos calcular las clases de equivalencia de másnúmeros.El conjunto formado por las clases de equivalencia se llama conjuntocociente.En el ejemplo anterior el conjunto cociente Z / 2 es el conjunto formadopor las clases de todos los elementos Z / 2 = {C(0), C(1), C(2), ... }.
    • Relación de ordenUna relación binaria es una relación de orden que tiene las propiedades:Reflexiva: a R aAntisimétrica: Si a R b y b R a entonces a = b.Transitiva: Si a R b y b R a, entonces a R c.Si en un conjunto se puede establecer una relación de orden el conjunto sedice ordenado.Las relaciones de orden se representan con el símbolo menor igual (a <= b)En un conjunto ordenado, si b <= a para todo b, a se llama elemento máximo.Si el máximo existe es único.En un conjunto ordenado, si a <= b para todo b, a se llama elemento mínimo.Si el mínimo existe es único.En un conjunto ordenado, si a <= b implica a = b, a y b se llaman elementosmaximales.En un conjunto ordenado, si b <= a implica a = b, a y b se llaman elementosminimales.