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Introduccion a la teoria de interpolacion
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Introduccion a la teoria de interpolacion

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TEORÍA DE POLINOMIOS INTERPOLARES

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  • 1. República Bolivariana de Venezuela Universidad Fermín toro Facultad de Ingeniería Cabudare – Estado Lara Teoría de Interpolación Integrante: Wilmer Leon C.I 8.513.667 Sección: SAIA
  • 2. 1.) Introduccion a la Teoría de InterpolaciónUn problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y eningeniería es tratar de construir una función (denominada “función interpolante”) dela que se conoce una serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estosdatos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en un determinadoexperimento en el que se relacionan dos o más variables e involucran valores deuna función y/o de sus derivadas. El objetivo será determinar una función queverifique estos datos y que además sea fácil de construir y manipular. Por susencillez y operatividad los polinomios se usan frecuentemente como funcionesinterpolantes.Un problema de interpolación en general puede enunciarse de la siguiente forma:Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una función y/o susderivadas en determinados puntos xi, i = 0, 1, · · · ,n, que llamaremos nodos,nuestro objetivo es construir otra función que coincida con la función dada en losdatos de interpolación.Según el tipo de los datos de interpolación, podemos considerar los siguientestipos de interpolación:Interpolación de LagrangeInterpolación de TaylorInterpolación De Hermite2.) Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y Gauss3- ) Polinomio Interpolante de Newton-GregoryCuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puedeaproximar al polinomio se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomioque pasa por un conjunto de puntos esquiespaciados, es la fórmula del polinomiointerpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).4.) Fórmula de Avance5.)Fórmula de Retroceso6.) Polinomio Interpolante de GaussHay una gran variedad de formulas de interpolación además del método deNewton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla dediferencias; por ejemplo la fórmula del polinomio interpolante de Gauss( en avance
  • 3. y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valoresdesde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig.zag.En el caso de la formula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag,iniciando primero hacia hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y asisucesivamente. En formula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y asisucesivamente.7.) Interpolación De HermiteDisponemos de los valores de una función y de algunas de sus derivadassucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f (xi) y f′ (xi) en n + 1 puntosdistintos, xi, i = 0, 1, · · ·, nEn general, las funciones interpolantes forman un espacio vectorial de dimensiónfinita, es decir son del tipo:Ψ (x) = a0 ψ0 (x) + a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x),Donde ψ0(x), ψ1(x), · · ·, ψn(x) Son funciones dadas que forman base del espaciovectorial correspondiente y ai, i = 0, 1, ·, n numeras reales a determinar.Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolantes, lainterpolación se llamara polinómica, racional, trigonométrica, spline polinomial.Entre las diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad paraoperar, los polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en problemas deinterpolación, en este caso las funciones de base son ψi (x) = xi, i = 0, 1, · · ·, n.Sin embargo, no siempre dan una respuesta satisfactoria, especialmente si lasolución del problema requiere el uso de polinomios de alto grado o, por ejemplo,si se observa un comportamiento periódico en los datos de interpolación. Porsimplicidad, nos centraremos en este Tema en el estudio del caso particular de lainterpolación polinómica de Langrange.8.) Interpolación Usando SplinesEn el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curvadiferenciable definida en porciones mediante polinomios.En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediantesplines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso depolinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoríade las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado
  • 4. elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formascomplicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de lossplines los hacen populares para la representación de curvas en informática,particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que sonutilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizadode curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en variasdimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente sedeterminan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie derestricciones.Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la quese nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestrafunción polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, estoes, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta untotal de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos quevan a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos queunen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichospuntos, pero no derivable en general.Ejemplo: Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4F (1) = 1F (2) = 0.5F (4) = 0.25El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos decoordenadas (1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dosincógnitas:(1) 1=a+b(2) 0.5=2a+bDe (1) se obtiene:a=1-b (3)Reemplazando (3) en (2) se obtiene:0.5=2(1-b)+b
  • 5. Luegob=1.5Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene:a = - 0.5Por lo tanto, se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) =ax + b deberá unir el segundo punto (2,0.5) con el tercer punto (4,0.25).Análogamente a lo hecho para P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene:(1) 0.5 = 2a + b(2) 0.25 = 4a + ba = - 0.125, b = 0.75Luego P2(x) = - 0.125x + 0.759- ) Polinomio Interpolante De LagrangeEl problema de la interpolación polinómica de Lagrange consiste en lo siguiente:Conocidos los valores de una función f en n + 1 puntos distintos xi, i = 0, 1, · · ·, nde un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio Pn de grado nosuperior a n, que coincida con la función f en estos n + 1 puntos, es decir, Pn (xi) = f (xi), Para i = 0, 1, · · ·, n.El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomios de gradomenor o igual que n y, por tanto, Pn (x) será de la forma Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0,Y, para determinarla, habría que hallar los n + 1 coeficientes reales a0, a1, · · ·, an.En el caso que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente grado n.La existencia y unicidad del polinomio de interpolación Pn (x) se prueba en elsiguiente resultado, adamas se determina una primera forma de construirlo.Sean f: [a, b] → R y {x0, x1, · · ·, xn}, n+1 puntos distintos del intervalo [a, b].Entonces, existe un único polinomio Pn (x) de grado menor o igual que n, queverifica Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1, · · ·, n.
  • 6. A este polinomio se le denomina polinomio de interpolación de f en los nodos {x0,x1, · · · , xn} y viene dado por Pn (x) =Xni=0f (xi) Li (x), (1.1)Donde, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, Li (x) =Ynj=0j=6 ix – xj xi – xjTabla de DiferenciasResulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores x en ordenascendente. Además de las columnaspara x y f(x), se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. La tablaque se muestra a continuación es llamada tabla de diferencias. 2 3 x f(x) f(x)  f(x)  f(x) 4 5 6  f(x)  f(x)  f(x) 0,0 0,000 0,203 0,017 0,024 0,020 0,032 0,127 0,2 0,203 0,220 0,041 0,044 0,052 0,159 0,4 0,423 0,261 0,085 0,096 0,211 0,6 0,684 0,346 0,181 0,307 0,8 1,030 0,527 0,488 1,0 1,557 1,015 1,2 2,572Los términos calculados en la tabla de diferencias, permiten determinar loscoeficientes de polinomios interpolantes. Es convencional que la letra h sea ladiferencia uniforme de los valores x, es decir, h= x. Utilizando subíndices pararepresentar el orden de los valores x y f(x)10- ) Diferencias Divididas Y La fórmula General De NewtonLa diferencia dividida de newton para la interpolación de polinomios está entre losmodelos más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n+1puntos. Se usan estos datos para determinar los coeficientes para las diferenciasdivididas. Partiendo de una tabla de diferencias divididas. Para aplicar el polinomiode interpolación por diferencias divididas por newton, no es necesario que losdatos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores debanestar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de newtonestá sujeto a un error.
  • 7. 11.) Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En LaResolución De ProblemasFormulas como las de Newton-Gregory, Gauss, lagrange, Hermite, newton, etc,son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabularesdisponibles, como subrutinas de librerías; dichas formulas tienen relevancia en lasolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una funcióntabulada, en las abscisas que no aparecen en la tabla.El aumento de grado no siempre mejora la aproximaciónEl polinomio es muy sensible a los errores de los datos