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  • 1. INTRODUCCIÓN Las vigas son elementos cuya disposición en las estructuras es principalmentehorizontal, aunque también pueden ser inclinadas, pero que en todo caso tienen laimportante función de servir de apoyo de otros miembros estructurales que letransmiten las cargas verticales generadas por la gravedad, las cuales actúanlateralmente a lo largo de su eje. Gracias a estos elementos se pueden construir todotipo de maquinarias y estructuras, tales como chasis de vehículos, soporte demaquinarias, vigas de puentes y edificaciones, etc. Esta condición hace que las vigasestén sometidas a esfuerzos diferentes a la tensión simple, representados por losesfuerzos de flexión. En este caso las fuerzas externas pueden variar de una sección aotra a lo largo de la viga, además la disposición de ellas, las condiciones de soporte y lageometría, genera en el interior de la misma la aparición de cuatro fuerzas llamadasresistentes. Si consideramos un sistema espacial tenemos:1- Fuerza Cortante: se produce con dirección perpendicular al eje de la viga y su efecto es similar al generado por una tijera al cortar un papel, es decir una fuerza cortante paralela a la cara de la sección de la viga.2- Fuerza Axial: se produce cuando la disposición de las fuerzas externas no es totalmente perpendicular al eje de la viga, existiendo componentes de ellas a lo largo del eje. Cuando aparece esta fuerza junto con la flexión, se genera un esfuerzo combinado de flexión con esfuerzo axial. Este estudio esta fuera del alcance del presente trabajo.3- Momento Flector: es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar la rotación del sólido en un eje perpendicular a su eje y fuera de su plano, y que produce sobre la viga un efecto de curvatura a largo de su eje.4- Momento Torsor: es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar la rotación del sólido según un eje paralelo al eje longitudinal de la viga, y que produce sobre la misma un efecto de giro alrededor de su propio eje. La aparición de esta fuerza
  • 2. interna depende de la aplicación de las fuerzas externas, de tal manera que generen alguna componente de momento alrededor del eje de la viga. Esta fuerza no se considera en este estudio. En el presente trabajo solo se considera el estudio de vigas a flexión pura y nouniforme, es decir bajo la aplicación de cargas externas que generan en su interiorfuerzas cortantes y momentos flectores. Se estudia la relación que existe entre lasfuerzas externas y las internas. Como varían estas ultimas a lo lago de la viga,mediante la elaboración de diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores, a losfines de poder diseñar su dimensionado de manera económica con la condición mascrítica de fuerza interna. Se estudia también por varios métodos, lo relacionado a lasdeformaciones producidas por el efecto de las fuerzas externas. Finalmente se abordael tema de las vigas hiperestáticas, y la forma de encontrar las reacciones externas,utilizando las ecuaciones adicionales proporcionadas por las deformaciones. Los primeros cuatro capítulos comprenden un estudio teórico muy simplificado, delos conceptos arriba descritos, teniendo como base los planteamientos del libro textorecomendado en clases, del profesor Ferdinand L. Singer, abundando en aquellasexplicaciones, en donde por mi experiencia docente, presentan más dudas los alumnos. En los últimos cuatro capítulos, se resuelven problemas relacionados con casosprácticos de utilización de vigas en la Ingeniería, haciendo énfasis tanto en los aspectosconceptuales de los principios que rigen la resistencia de materiales, como de aquellosconceptos prácticos relacionados con el diseño y verificación de secciones, destacandola importancia de los aspectos económicos que siempre están relacionados con laIngeniería. Se hace más énfasis en la explicación de la resolución de problemas que enla cantidad de problemas resueltos. Por último se incluye un disco, que contiene un apoyo visual computarizado, de lateoría aquí contenida, donde de manera animada se explican los principios físicos querigen el estudio de las vigas, para una mejor comprensión de los alumnos. 2
  • 3. CAPÍTULO I FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS.1.1 .-TIPOS DE VIGAS. De acuerdo al número y tipo de los apoyos que soportan la viga, existen dosgrandes grupos de vigas: 1.1.1 Vigas Isostáticas o estáticamente determinadas: en estas vigas el numero dereacciones externas coincide con el numero de ecuaciones de equilibro disponibles. Nosobra ni faltan reacciones para que el sólido permanezca en equilibrio estable, tienegrado de indeterminación (G.I) cero. A continuación se muestran algunos ejemplos:a-Viga simplemente apoyada de un tramo:# reacciones = 3# ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA) G.I. = 0b-Viga en cantiliver, voladizo o ménsula:# reacciones = 3# ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA) G.I. = 0c-Viga simplemente apoyada con volados:# reacciones = 3# ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA) G.I. = 0d-Viga continúa de dos tramos, con volados yarticulación:# reacciones = 4# ecuaciones = -4 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA, ΣMCizq o ΣMCder) G.I. = 01.1.2 - Vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas: presentan un númeromayor de reacciones externas que de ecuaciones de equilibrio disponibles, lo cualsignifica que estas vigas presentan al menos una condición de sujeción adicional a lasmínimas requeridas para que se mantenga en equilibrio estable, es decir, tienen 3
  • 4. reacciones sobrantes, cuya eliminación las convertiría teóricamente en isostáticas. Acontinuaron se muestran algunos ejemplos:a- Viga empotrada y apoyada en un rodillo:# reacciones = 4# ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA) G.I. = 1b-Viga empotrada- empotrada:# reacciones = 6# ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA) G.I. = 3c-Viga de dos tramos empotrada y apoyada:# reacciones = 5# ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA) G.I. = 21.2 - DEFINICIÓN DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR. En la figura se muestra una viga horizontal elemental, isostática de un solo tramo,con una carga puntual “P”, en la sección a-a se hace un corte imaginario para observarlas fuerzas internas que aparecen para satisfacer las condiciones de equilibro, tal comose muestra en el diagrama decuerpo libre de abajo.1.2.1 - Fuerza Cortante: del equilibrio defuerzas verticales practicado a cualquierade los dos segmentos de viga separados,aparece una fuerza interna “Va-a”, llamadaresistente, debido a que se opone al efectode las fuerzas activas externas, cuya dirección es perpendicular al eje longitudinal de laviga AB, el cual coincide a su vez con el eje “X” del sistema de referencia particular “XY” 4
  • 5. de la viga . Para el caso de vigas inclinadas la fuerza cortante Va-a, tiene la mismainclinación, puesto que se orienta según el eje particular de la viga y no según elsistema global vertical-horizontal. En este sentido se define la fuerza cortante como la sumatoria de lacomponente perpendicular al eje, de las fuerzas externas situadas a la izquierdao a la derecha de la sección de viga estudiada: Va-a = ΣFyizqa-a= ΣFydera-a. La convención de signos más común, es aquella que considera positiva la fuerzacortante que hace deslizar hacia arriba, la porción de viga situada a la izquierda de lasección estudiada, en caso contrario se considera negativa. En otras palabras cuandola sumatoria de fuerzas a la izquierda de la sección es positiva la fuerza cortante tieneel mismo signo, igual para el caso contrario, tal como se muestra en el siguientediagrama fig 1.3.a. En la Fig. 1.3.b. se muestra la convención de signos desde el puntode vista de la deformación de un elemento diferencial situado justo en la sección a-a.1.2.2- Momento Flector: el equilibrio rotacional de los segmentos de viga estudiadosse logra con la aparición del Momento Flector Ma-a, señalado en el diagrama de cuerpo 5
  • 6. libre anterior. De esta manera este se puede definir como la sumatoria de losmomentos de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de lasección estudiada, considerando que el plano de aplicación de las fuerzas es XY (hojade papel), y la dirección del momento flector es perpendicular a este, es decir el ejeparticular Z: Ma-a = ΣMiizqa-a= ΣMidera-a En cuanto al signo del momento flector, es importante resaltar que este nodepende de su sentido de rotación, tal como sucede con el momento de equilibrio, sinomás bien de la curvatura que sufre la viga por la aplicación del mismo. De tal maneraque una curvatura cóncava hacia arriba se considera positiva, lo contrario es negativo.En la siguiente figura se ilustra esta convención. Los momentos flectores positivos generan tracción o alargamiento en las fibrasinferiores de la viga y compresión o acortamiento en las superiores, los negativos 6
  • 7. producen lo contrario, como se muestra en la parte superior de la figura anterior. En losgráficos inferiores, de la figura anterior, se muestra el efecto de fuerzas individuales y elsentido de curvatura de la viga, considerando un empotramiento imaginario en lasección a-a.1.3- RELACIÓN ENTRE CARGA, CORTE Y MOMENTO FLECTOR. Resulta particularmente importante, conocer no solo el valor del corte y delmomento flexionante en un punto de la viga, sino mas bien a lo largo de todo elelemento, debido a que en su diseño, se debe considerar la condición más desfavorablede esfuerzo resistente en el interior del sólido, por lograr esto se construyen losllamados diagramas de fuerza cortante y momento flector. La realización de estosdiagramas requiere conocer la relación existente entre las cargas externas y lasfuerzas internas de corte y momento flector. En el siguiente gráfico, se ha considerado una viga simplemente apoyada, conun sistema de cargas distribuida general “q”, de signo positivo, por tener sentido verticalhacia arriba. 1 y 2 representan dos secciones de la viga separadas una distancia dx. Ala derecha se ha graficado en forma ampliada, el diagrama de cuerpo libre del elementodiferencial de viga contenido entre las secciones 01 y 02, que incluye tanto las fuerzasexternas “q”, como las fuerzas internas V y M, las cuales se supusieron con signopositivo. Para la cara de la sección 01, los valores de fuerzas cortantes y momentosflexionantes son respectivamente V y M, mientras que para la sección 02, son losvalores de la sección 01 más un cierto diferencial dV y dM respectivamente. 7
  • 8. Equilibrando el elemento diferencial tenemos :1.3.1. Relación Carga – Corte: por sumatoria de fuerzas verticales, ∑ Fy = 0 dV = q ∙ dx V X 2 1 Integrando ∫V dV = ∫X q∙dx 1 1 1-2 V2 – V1 = ∆V = (Área)CargaDe esta manera se encuentran las siguientes relaciones: 1- q = dV q: intensidad de carga; dv: Pendiente diagrama de corte dx dx 1.a - El signo de la carga, define la inclinación de la pendiente del diagrama de corte. 1.b - La intensidad de la carga “q” define la variación de la pendiente del diagrama de corte. 8
  • 9. 2- Se puede calcular el corte en la sección 02, con el corte anterior en la sección 01,más el área del diagrama de carga existente entre las secciones 01 y 02: 1-2 V2 = V1 + (Área) carga1.3.2. Relación Corte – Momento: por sumatoria de momentos en el punto “0”: 9
  • 10. ∑MB = 0 dM = V∙ dx M2 x2 Integrando: ∫ dM = ∫ V∙ dx M1 x1 1-2 M2 – M1 = ∆M = (Área)corteLas relaciones entre corte y momento son: 3- V = dM V: intensidad del diag. de Corte; dM: Pendiente diag. de Momentos dx dx 3.a. El signo del diagrama de corte, define la inclinación de la pendiente del diagrama de Momentos: 3.b. La Intensidad del diagrama de corte, define la variación de la pendiente del diagrama de Momentos, como se muestra a continuación: 10
  • 11. 4- Se puede calcular el momento en la sección 02, con el momento anterior en lasección 01, más el área del diagrama de corte existente entre las sección 01 y 02: 1-2 M2 = M1 + (Área) Corte 11
  • 12. CAPÍTULO II TENSIÓN EN VIGAS: Una vez conocidas las fuerzas generadas en el interior de la viga, es posibleestudiar los esfuerzos que ellas producen. Se consideraran los esfuerzos normalesproducidos en la cara de la sección y los esfuerzos cortantes, paralelos a dichas caras.Para el primer estudio consideraremos que la viga esta sometida a esfuerzo de flexiónpura, es decir solo se consideran aquellas porciones de viga donde la fuerza cortante escero, para el segundo estudio se trataran vigas sometidas a flexión no uniforme, esdecir en presencia de fuerzas cortantes. Para ambos casos se harán las siguientessuposiciones: 1- Las secciones transversales serán planas antes y después de la aplicación de las fuerzas externas. 2- El material es homogéneo y cumple con la ley de Hooke. 3. El módulo de elasticidad “E”, es igual a tracción que a compresión. 4- La viga será recta y su sección constante en toda su extensión. 5- Las cargas externas actúan en el plano que contiene la viga, según los ejes principales de la sección, y serán perpendiculares al eje longitudinal. 6- Las deformaciones se consideran pequeñas.2.1- Deformaciones. Consideremos una viga simplemente apoyada en 1 y 2, como se muestra en lasiguiente figura, sometida a un sistema de cargas, que generan en el tramo central,fuerza cortante cero, de tal manera que solo actúa el momento flector en el elemento“abcd” estudiado en el gráfico de deformaciones de la Fig. 2.1.a. 12
  • 13. Fig. 2.1.aDe la observación del grafico de deformaciones, se desprende lo siguiente:- Las fibras “bd” se alargan (tracción).- Las fibras “ac” se acortan (compresión).- Entre las dos anteriores existe la fibra “ef” que no cambia su longitud, debido a que notiene tensión. Las fibra “ef” tiene la misma longitud original “dx”, debido a que estásituadas en lo que se llama línea neutra.Si ahora trazamos la linea “c’d ” por “f” paralela a “ab”, se aprecia que “ac” se acortaen “cc’” mientras que “bd” se alarga en “dd’ ”.Si consideremos ahora la fibra genérica “gh” situada a la distancia “y” de la línea neutra,podemos apreciar como se alarga la distancia “hk”: δgh = hk = y dӨLa deformación unitaria será entonces:ε = δ = y∙ dӨ = y∙ dӨ ε =y L ef ρ∙ dӨ ρSi se aplica Ley de Hooke:σ=E∙ ε = E.y ec. 2.1.a ρEsta es la fórmula del esfuerzo normal por flexión “σ”, en función del radio de curvatura“ρ” y de la distancia a la fibra estudiada “y”, medida desde la línea neutra. 13
  • 14. 2.2- Relación entre las Fuerzas Externas y las Tensiones, fórmula de flexión: En el gráfico siguiente se muestra el diagrama de cuerpo libre del elemento de lafig. 2.1.a., en el espació. Se aprecian la superficie, línea y eje neutro, cuyas fibras noestán sometidas a esfuerzos. Obsérvese que las cargas externas P y q, estáncontenidas en el plano del eje principal que pasa por Y, y son perpendiculares al eje X,por lo cual no hay componentes de estas en X y Z. Ahora definimos la fibra rayada situada a una distancia “y” del eje neutro, cuyasección transversal es dA, la cual esta sometida a las fuerzas normal σx∙dA, y a lasfuerzas cortantes xy.dA y xz.dA. M MR VR xz.dA x.dA xy.dALas Fuerzas Externas son equilibradas por las Fuerzas Resistentes Internas, por lotanto procedemos a plantear las respectivas ecuaciones de equilibrio:1- ΣFX = 0 ∫ σx.∙ dA = 0Las Fuerzas Externas no tienen componentes en la dirección X, sustituyendo σx por laecuación ec.2.1.a encontrada anteriormente: _ E/ ρ. ∫ y∙dA = 0; E/ ρ es una constante ∫y∙dA = A.y es el momento estático del área de la sección. 14
  • 15. _ _ (E/ ρ) ∙ A. y = 0; para que esta expresión sea cero, y = 0, lo que indica que la línea neutra pasa por el centróide de la sección.2- ΣFy = 0; ∫ xy. dA = VR ,esto representa la fuerza Cortante resistente en la sección: VR.3- ΣFz = 0; ∫ xz.dA = 0, las fuerzas externas no tienen componente en Z y comoademás están aplicadas en el eje que contiene al centróide no generan momentos detorsión alrededor del eje X, por lo tanto para las condiciones supuestas: xz =04- ΣMx = 0; ∫y. ( xz. .dA) - ∫z ( xy ∙ dA) = 0; se anulan las caras opuestas de lasección.5- ∑My = 0; ∫z.(σx ∙ dA) = 0 Sustituyendo de nuevo la expresión ec. 2.1.a queda:E/ ρ ∫z. y. dA, este integral representa el producto de inercia respecto a dos ejes desimetría, por lo que vale cero.6- ∑Mz = 0El equilibrio de fuerzas alrededor del eje Z, si tiene fuerzas externas actuantes,representadas por el momento flector “M”. Este momento tiene su contraparte internoque es el momento resistente “Mr”. M = Mr = ∫y (σx∙dA); sustituyendo por la expresión ec. 2.1.a.: M = (E /ρ). ∫y2 ∙ dAEn esta expresión el integral representa al momento de Inercia o de segundo orden dela sección, con respecto al eje neutro, por lo que la expresión se puede escribir así:M =(E / ρ). ⌶ . Utilizando de nuevo la expresión ec. 2.1.a.: E / ρ = M / ⌶ = σ / yFinalmente la fórmula del esfuerzo normal por flexión es: σ= M∙y ⌶Donde:σ: es el esfuerzo normal por flexión en una fibra situada a la distancia “y” del eje neutro. 15
  • 16. M: es el momento flector generado por las fuerzas externas, en la sección estudiada.y: representa la distancia a la que se encuentra la fibra estudiada del eje neutro.⌶: momento de inercia centroidal, calculado con respecto al eje neutro. Esta expresión escrita de la siguiente manera: σ = (M / ⌶).y, nos permite apreciarque el primer término es constante, mientras que “y” es la variable, por lo tanto laecuación anterior es una línea recta. La variación del esfuerzo normal por flexión a lolargo de una sección de viga es una línea recta. Para valores de y =0, el esfuerzo “σ“escero (en el eje neutro), por el contrario para valores de “y” equivalentes a la mitad de laaltura de la sección los valores de “σ“ serán máximos (en los extremos superior einferior). Si se considera que “c” es la mitad de la altura de la sección es decir h/2,entonces: Si, y = c = h/2 σmax = M ∙ c ⌶Para efectos de diseño de vigas, resulta muy útil definir el término Módulo Resistente dela sección “Z”, cuya expresión es: Z=⌶/cEste valor se encuentra tabulado en los catálogos de vigas comerciales, que seencuentran en los anexos de este trabajo.El esfuerzo normal máximo en función del módulo resistente será entonces: σmax = M ZPara una Sección Rectangular el gráfico de esfuerzo normal será: 16
  • 17. b c max bh C= 2 . 2 2c Compresion. C=h C 3 Linea neutra E.N. h 2c 3 Tracción. C=h C bh T= 2 . 2 T max Corte longitudinal Sección Transversal Las fuerzas “C” y “T”, son las resultantes de compresión y tracción de los prismastriangulares generados por los esfuerzos normales respectivos. El momento resitenteMR es producido por el par de fuerzas C y T.MR = σ ∙ b∙h ∙ 2 h = σ ∙ b∙h2 MR = σ ∙ z 2 2 3 6 B ∙ h3Z = ⌶ = 12 Z = b ∙ h2 c h 6 22.3- VIGAS ASIMETRICAS: Para la viga de sección “T” mostrada mas adelante, si los esfuerzos admisibles delmaterial son iguales a tracción que a compresión, simplemente se calculan losesfuerzos normales máximos en las fibras superiores e inferiores de la sección con lasrespectivas distancias “y1“ y “y2“ . En los casos de materiales que tienen diferente capacidad admisible acompresión que a tracción, como el caso del concreto armado, puede ser necesarioencontrar alguna dimensión de la sección, para hacer que se alcance las resistenciasadmisibles simultáneamente a tracción y compresión, de tal manera que: 17
  • 18. T C b σADM ≠ σADM e σ=M∙y y1 ⌶ C T σADM = M ∙ y1 ; σADM = M ∙ y2 h ⌶ ⌶ y2 ① ② σcADM = y1 y1 + y2 = h t σTADM y2Para calcular alguna de las dimensiones b, t, ò e:Se igualan los Momentos Estáticos respecto a un eje común: _ _A∙Y = ∑Ai ∙ yi[(h – e) t + e ∙ b ] y2 = e∙ b ( h - e) + (h - e) ∙ t = (h - e) 2 2 18
  • 19. 2.4- ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS Consideremos a continuación la viga simplemente apoyada de la fig. 2.4.a, lamisma presenta una carga puntual “P” aplicada perpendicularmente al eje de la viga. Lasección transversal de la viga esta compuesta por cuatro placas, inicialmenteindependientes entre si. Para el momento de aplicación de la carga “P”, la deformaciónpor flexión que aparece en la viga, hace que las placas deslicen horizontalmente unassobre otras. Si ahora asumimos que las placas tienen algún pegamento o soldadura, de talmanera que impida el deslizamiento anterior, instintivamente podemos visualizar laaparición de una fuerza horizontal entre las placas, que las mantendrá unidas entre si.Esta fuerza generada tiene las características de una fuerza cortante por ser tangente oparalela a la superficie de contacto entre las placas. Considerando la sección con las placas soldadas de la fig. 2.4.b, donde seaprecian los prismas de esfuerzo normal a compresión y tracción, podemos notar comolas resultantes C1 y C2 de compresión, tienen diferente magnitud, por lo tanto en elplano “b” se produce una fuerza cortante Vb, que mantiene en equilibrio las dos placassuperiores, de igual manera se cumple en las dos placas inferiores a tracción, por lasimetría los cortes Vb = Vd. Las caras “a” y “e”, por ser libres no pueden generar fuerzacortante, mientras que en el plano “c”, se produce el mayor desequilibrio de fuerzasnormales puesto que se suman las dos fuerzas de compresión superior con las dos detracción inferior, las cuales deben ser equilibradas por la fuerza cortante V c. Este ejemplo permite de antemano suponer que a diferencia de los esfuerzosnormales, los esfuerzos cortantes presentan sus valores máximos en el eje neutro,mientras que los esfuerzos mínimos están en las fibras superiores e inferiores de lasección estudiada. 19
  • 20. Fig. 2.4.a Fig. 2.4.b. El corte en el plano b = d El corte en el plano a y e = 0 El corte en el plano c es el máximo C1 + C2 = C3 + C4 La parte izquierda de la figura de abajo representa la sección longitudinal delelemento diferencial “dx”, contenido entre las secciones 1 y 2, y los respectivosdiagramas de esfuerzo normal en ambas secciones, considerando que estos diagramasdifieren en intensidad, debido a la variación de magnitud de momento flector existenteentre ambas secciones. En la sección transversal de la derecha, se establece una fibrasituada a una distancia variable “y”, medida desde el eje neutro cuya seccióntransversal es dA. La distancia “y1” esta situada en el plano de separación entre dosplacas, por ejemplo el plano “b”, el área rayada representa la placa superior. dA 1 dA dA 2 C dv y y1 y1 dx b Si consideramos que “dv” es un diferencial de fuerza cortante resistente, queaparece entre las placas soldadas, por lo que matemáticamente se puede expresarcomo un esfuerzo cortante por un área de aplicación horizontal: 20
  • 21. dv = ∙( b∙dx) = dv / (b∙dx) (ec. 2.4.a) La diferencia de fuerzas horizontales generadas por los esfuerzos normales “σ”ubicados a ambos lados en las secciones 1 y 2 es: c c c c cdv = ∫ y1 σ2. dA - ∫ y1 σ1. dA = M2 / ⌶ ∫ y1 y. dA – M1 / ⌶ ∫ y1 y. dA = (M2 – M1) / ⌶. ∫ y1 y.dA(M2 – M1) = dM Incremento diferencial del Momento FlectorSustituyendo en la la ec. 2.4.a.: c = dM . ∫ y1 y∙ dA ⌶∙(b.dx) dM / dx = V; relación encontrada anteriormente entre corte y momento flector. c ∫y1 y∙ dA = Me; momento estático o de primer orden.Finalmente la fórmula de esfuerzo cortante en vigas sustituyendo a “b” por “t” será: = V. Me ⌶.t : Esfuerzo cortante en una fibra situada a la altura “y1”, del eje neutro.V: Fuerza cortante actuante en la sección.⌶: Momento de inercia de la sección con respecto al eje neutro.t: ancho de la zona cortada donde se evalúa el esfuerzo. Para no confundir con el ancho de la viga usaremos la letra “t”, b = t.Me: momento estático del área de sección de viga que genera el esfuerzo cortante a laaltura “y1”. 2.4.1- Relación entre el Corte Vertical y el Corte Horizontal.La fuerza cortante que hasta ahora se estudiado es horizontal, sin embargo la fuerzatomada de los diagramas de corte es vertical. Para relacionar estas fuerzasconsideremos el cubo diferencial de la figura siguiente: 21
  • 22. h h h.dx.dz o v v v.dy.dz v.dy.dz v h v h h.dx.dzColocamos los esfuerzos cortantes indicados en las caras verticales y horizontales,como se aprecian en las figuras de la izquierda. Hacemos una sumatoria de momentosproducidos por las fuerzas cortantes de la figura a la derecha, respecto del punto “o”,conseguimos: h . dx.dz.dy = v. dy.dz.dx h= vLos cortes horizontal y vertical son iguales. A este esfuerzo se le llama flujo cortante.2.5- DISEÑO DE VIGAS. Uno de los objetivos más importantes del estudio de la resistencia de materialesy de las materias posteriores de diseño, es encontrar los elementos constitutivos de lasestructuras, maquinas, etc., más económicos del mercado pero que cumplan con doscondiciones básicas: a- Resistencia: es la condición más importante, puesto que el perfil seleccionadodebe ser capaz de soportar las cargas externas a las que va a estar sometido, con uncierto grado de seguridad o confianza. Esta seguridad se logra mediante los factores deseguridad empleados, los cuales varían de acuerdo al sistema normativo o teoría decálculo del país donde se aplique. Para este curso, a manera de introducción, seconsidera la teoría elástica, donde el factor de seguridad es un número que rebaja losesfuerzos críticos del límite elástico, y los convierte en admisibles. Para otros diseñosmás específicos y avanzados, se utilizan teorías más modernas, como la de los estados 22
  • 23. límites, donde el factor de seguridad depende de la relación de cargas externaspermanentes y variables, del elemento a diseñar y de los materiales empleados. b- Rigidez: es la condición que permite que el uso del elemento estructural, sehaga de manera agradable, con una satisfactoria sensación de seguridad. Estacondición esta asociada con las deformaciones de los elementos estructurales, de talmanera que estas se mantengan por debajo de los límites aceptados por la normativaempleada. Una excesiva deformación de una viga, aún cuando esta cumpla con lacondición de resistencia, puede crear una sensación visual de inseguridad para elusuario. También las grandes deformaciones pueden ocasionar el daño de elementosno estructurales débiles o susceptibles, tales como ventanales de vidrio, puertas,tabiques, etc., o impedir el adecuado movimiento de piezas de una maquinaria. Estacondición también esta asociada con las vibraciones sufridas por los elementosdiseñados, al ser sometidos a las cargas externas principalmente variables, debidas apersonas, vehículos, etc.2.5.1. Secciones Económicas. En la figura 2.6. se observa a la izquierda fig. 2.6.a. una sección de vigarectangular, cuya área es A = bxh. Si consideramos cargas verticales, el eje neutro eshorizontal y esta situado en el centróide del área. La orientación es importante paraaprovechar la condición de máxima resistencia estática de la sección, representada porel momento de inercia, de modo que se hace coincidir el eje neutro con el eje de mayorinercia de la sección, en este caso es el eje x-x. Una sección ideal es aquella que permite utilizar toda el área “A”, en dos franjasdelgadas distanciadas lo mas posible del eje neutro para lograr el mayor momento deinercia, puesto que así la mayor parte de los diferenciales de área tienen una distanciamayor al eje centroidal, en este caso el momento de inercia seria varias veces mayorque el de la sección rectangular. Pero esta sección no se puede fabricar en la práctica,surgiendo entonces la sección “I” o doble tee, la cual incorpora un alma que conecta lasdos alas de la sección ideal fig. 2.6.c, d y e. 23
  • 24. Existe en el mercado una amplia gama de perfiles, con características diferentes,que permiten su utilización para fines específicos. Entre los perfiles laminados encaliente que se consiguen en el mercado nacional, figuran los de ala estrecha IPN e IPE(fig. 2.6.c.), los de ala ancha HEA Y HEB (fig. 2.6.d.). Entre los perfiles laminados en frióse encuentran los Properca (fig.2.6.e.), que se diferencian de los anteriores en que launión entre el alma y ala se realiza mediante una electro soldadura continua, existiendolas opciones de ala estrecha denominados ”VP” y los de ala ancha denominados “CP”.Ambos se fabrican con acero ASTM – A- 32. Además existen los perfiles estructurales tubulares, con características diferentesa los anteriores, y con un menor aprovechamiento de las propiedades estáticas de lasección, pero de mejor apariencia exterior, denominados perfiles ECO Conduven(fig.2.6.f). Vienen en tres formas: rectangular, cuadrado y circular, y son fabricados conacero ASTM–A-500 de mayor resistencia de cedencia. Desde el punto de vista de su utilización, los perfiles de ala estrecha al igual quelos tubos rectangulares son colocados principalmente como vigas, debido a sucaracterística de mucha mayor inercia del eje x-x, respecto al eje y-y. Mientras que losperfiles de ala ancha al igual que los tubos cuadrados y circulares, son utilizadosprincipalmente como columnas, debido a sus propiedades de inercia más semejantesen ambos sentidos, lo cual reduce las posibilidades de pandeo de estos elementosflexo-comprimidos. 24
  • 25. 2.5.2. Método de diseño por Resistencia. 1- Primero se escoge del diagrama de momentos de la viga el mayor momento flector actuante, positivo o negativo. Para los efectos de este diseño el perfil soporta el mismo esfuerzo admisible a tracción que a compresión. 2- Con el momento máximo y el esfuerzo normal admisible del material se calcula el módulo resistente mínimo que debe tener el perfil, con la fórmula: Zmin ≥ Mmax σadm 3- Se busca en las tablas de perfiles aquellos que tengan el módulo resistente más cercano por encima, del mínimo calculado Zmin. 4- Se hace una verificación, calculando un momento flector producido por la carga debido al peso propio de la viga en el mismo sitio donde ocurrió el momento máximo por cargas externas y se le suma a este. Con este nuevo momento se calcula un Zppmin. Si este nuevo módulo resistente todavía esta por debajo del módulo del perfil, este cumple por peso propio, en caso contrario, se escoge el perfil inmediatamente superior. Solo para aquellos casos donde los módulos resistentes mínimos calculados (Zmin) y del perfil están muy cercanos, podría no cumplirse la condición. En la mayoría de los casos esta condición no es crítica. 5- Finalmente se hace una verificación por corte, que consiste en calcular el esfuerzo cortante máximo actuante en el eje neutro de la sección para compararlo con el esfuerzo cortante admisible del material. Si este ultimo es mayor que el primero, el perfil cumple, en caso contrario, se tendrá que escoger el perfil inmediatamente superior. Para la aplicación de la fórmula de esfuerzo, se deberá buscar del diagrama de fuerza cortante, el máximo valor absoluto de fuerza, y de las tablas de perfiles las características de tamaño e inercia respecto al eje xx, del perfil escogido: adm ≥ act = Vmax .Me Іxx . t En la gran mayoría de los casos esta condición no es crítica, y el diseño esta regido casi siempre por el esfuerzo normal. 25
  • 26. CAPÍTULO III DEFORMACIÓN EN VIGAS3.1- METODO DE DOBLE INTEGRACIÒN.Consideremos un elemento diferencial de viga, con una deformación por flexiónexagerada, como el que se muestra en la siguiente figura:Tg (ө) = dy ; como la curva es muy suave: Tg (ө) ≈ ө dxө = dy derivando la expresión anterior: dө = dy2 dx dx dx2Por otro lado: ds = ∙dө; pero ds ≈ dx dx = ∙dө 1 = dө dxRelacionando las dos fórmulas anteriores.① 1 = dө = dy2 ; recordando la fórmula deducida anteriormente: 1 = M ② dx dx2 E.Igualando ① y ② resulta: E. ∙ dy2 = M(x) dx2 26
  • 27. Esta expresión se denomina ecuación diferencial de la curva elástica y sus términos sonlos siguientes:E. : Rigidez a Flexión, normalmente constante a lo largo de la viga.M(x): ley de momentos flectores, en función de la distancia X. Para darle una utilidad práctica a esta ecuación, se hacen dos integraciones,considerando que E.I es constante:1- La primera ecuación permite conocer la pendiente de la elástica en cualquier punto Ecuación de la pendiente: dy / dx = ө E dy = ∫ M(x).dx + C1 dx2- La segunda integración permite conseguir la deflexión o abcisa de la curva elásticaen cualquier punto situado a la distancia “x” del origen de coordenadas “xy” Ecuación de la flecha: “y” E y = ∫∫ M(x).dx + C1∙X + C2 Las constantes de integración C1 y C2, se consiguen aplicando una condición defrontera cinemática o condiciones de borde, para lo cual se grafica la curva elásticaaproximada de la viga y se observan aquello puntos donde es conocida bien sea ladeflexión o el giro. Estos puntos de valores conocidos son los apoyos, de tal maneraque un apoyo fijo o un rodillo, harán que la deflexión en ese punto sea cero (y=0),mientras que un empotramiento además de restringir la flecha también impide el giro“ө”, creando así las condiciones de borde: y = 0 y ө = 0.3.2- MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS. Se basa en relación existente entre el Momento Flexionante y la rotación o giroen cualquier punto de un miembro sometido a Flexión. La siguiente figura muestra una 27
  • 28. porción de viga cargada con su diagrama de momentos dividido entre la rigidez E.I. Elelemento diferencial de viga se encuentra entre los puntos 3 y 4.Ecuación de Flexión: 1 = M E. t En el siguiente gráfico se amplia el elemento diferencial y se observan lastangentes a la elástica trazadas en 3 y 4, las cuales son perpendiculares a los radios decurvatura “ ” respectivos:se puede entonces escribir: ds = ∙dөEntonces junto con la ecuación de flexión anterior: 1 = M = dө ө E ds 28
  • 29. ò también dө = M ds; pero como la curvatura es suave: ds ≈ dx EEntonces: ① dө = M dx EEntre 1 y 2 el incremento de la pendiente será: ө2 X2 X2ө 1,2 = ∫ dө = 1 ∫ M.dx ; ө1,2 = 1 ∫ M.dx ө1 E X1 E X1Por otro lado del primer gráfico dƚ = X∙dө; y por incrementos sucesivos de “dƚ “: ө2ƚ2/1 = ∫ dƚ = ∫ X∙dө , sustituyendo por ①: ө1 X2 ƚ2/1 = 1 . ∫ X∙Mdx E X1 Para “x1“, el Integral es cero, por lo tanto si Mdx = dA y “X” representa la distanciaa el punto 2, la expresión integral representa el momento de primer orden del área deldiagrama de momentos respecto del punto 2. A continuación se enuncian los dos teoremas del método, el primero de loscuales sirven para calcular el ángulo de desviación entre dos puntos, y el segundocalcula la desviación lineal vertical entre los mismos.Teorema 1: La variación de la pendiente entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al producto de 1/E por el área del diagrama de Momentos Flectores entre estos dos puntos. өAB = 1 ∙ (Área)AB EA continuación se muestra la convención de signos. 29
  • 30. Teorema 2: La desviación de un punto B, respecto de la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a la viga inicial, es igual al producto 1/E por el Momento respecto de B del área de la porción del diagrama de Momentos entre A y B. En anexo A se presentan unas tablas con las áreas de diferentes diagramas de momento y la distancia centroidal X. _ ƚB/A = 1 (Area)AB ∙ XB EI 30
  • 31. 3.3- MÉTODO DE SUPERPOSICION O SOBREPOSICION. Este es un método práctico que se utiliza para conseguir deflexiones, ángulos degiro y hasta fuerzas internas. Se fundamenta en el hecho de encontrar lasdeformaciones producidas por diferentes cargas aplicadas simultáneamente sobre laviga, sumando el efecto que de manera independiente produciría cada una de ellas.Para ello se utilizas las tablas del anexo B, en ellas se consideran vigas elementales deun solo tramo sometidas a diferentes tipos de cargas y de apoyos. Por otros métodos secalculó las flechas, giros, momentos y cortes en puntos relevantes, e inclusive se da laecuación de la curva elástica. Este método es parte de un concepto más general utilizado en mecánica desólidos llamado Principio de Superposición. Este principio es válido cuando lacantidad que se desea calcular es función lineal de las cargas aplicadas. En el caso delas vigas, la naturaleza de la ecuación diferencial de la curva elástica y sus respectivasintegraciones para calcular deformaciones, son ecuaciones lineales por que todos lostérminos que contienen las deformaciones (y, ө) están elevados a la primera potencia;por lo tanto la solución de estas ecuaciones, para varias condiciones de carga, puederesolverse sumando algebraicamente cada una por separado. En vigas este principio es valido si se cumple lo siguiente: 1- Se aplica en materiales linealmente elásticos es decir vale la ley de Hooke. 2- Las deformaciones son pequeñas. 3- La presencia de deformaciones no altera la acción de las cargas aplicadas. A estos sistemas se les llama Sistemas Estructurales Lineales, por que laecuación diferencial de la curva de deflexiones es lineal. Las tablas empleadas estasdividas en dos grandes grupos, vigas de un tramo simplemente apoyadas y encantiliver. Para la solución de problemas prácticos, se debe manipular estas vigaselementales de tal manera que se puedan conseguir todos los tipos de cargasexistentes en la viga real, pudiéndose cambiar la orientación de la viga o el sentido delas cargas, siempre y cuando no se altere la esencia física de los resultados buscados. 31
  • 32. En la viga mostrada a continuación, queremos calcular la flecha o deflexión en elextremo “A”, por superposición. La viga original en cantiliver, tiene tres cargas externas.Por lo cual se generan tres casos de carga, los cuales sumados producen el efecto de la viga original. Para cada caso buscamos en las tablas respectivas la deflexión en el extremo A. Las deflexiones hacia arriba son positivas y hacia abajo negativas. 1 A= MB.L2 2EI 2 A= - q.a3 (4L – a) 24EI 3 A= - P.c2 (3L – c) 6EI T 1 2 3 La deflexión total en A es: A = A+ A + A 32
  • 33. CAPÍTULO IV VIGAS HIPERESTÁTICAS. Como se describió en el capitulo 1.1.2, las vigas hiperestáticas o estáticamenteindeterminadas, son aquellas que tiene al menos un grado de indeterminación, estoequivale a decir que existe como mínimo una reacción sobrante, a estas reacciones seles llama redundantes estáticas. Si estas reacciones son suprimidas de la estructuraoriginal por algún método de cálculo, a la nueva estructura se le llama estructuraliberada o también estructura primaria. En el cálculo de este tipo de vigas, las ecuaciones de equilibrio estático no sonsuficientes para encontrar las reacciones externas, puesto que solo se disponen de tres;las dos sumatorias de fuerzas y la de momentos. Si la viga tiene cargas verticalessolamente, la ecuación de sumatoria de fuerzas en X, siempre dará reacciones nulas enese sentido. Para poder generar un número adicional de ecuaciones que coincida con elgrado de indeterminación, se recurre a las ecuaciones de deformación de la viga. Aestas ecuaciones se les llama ecuaciones de deformaciones compatibles, debido aque las mismas reflejan o son compatibles con las deformaciones que los apoyos de laviga original le permite, según la curva elástica de la viga. Para solución de este tipo de vigas estudiaremos dos métodos: 4.1- Método de doble integración. Primero se generan las ecuaciones de deformaciones compatibles, tantas comogrado de indeterminación tenga la estructura, mediante un procedimiento similar aldescrito para calcular las deformaciones en vigas isostáticas. En este caso las condiciones de borde o de frontera cinemática encontradas, tendráque ser igual al grado de indeterminación (G.I.) más dos, para poder encontrar losvalores de las dos constantes de integración C1 y C2.: No Condiciones de borde = G.I + 2 33
  • 34. Con estas ecuaciones generadas por deformaciones, más las ecuaciones deequilibro respectivas, se tendrá el número suficiente para calcular todas las reaccionesexternas de la viga. En el ejemplo 8.2.1 del capitulo de problemas, se puede apreciareste procedimiento.4.2- Método de Superposición.A continuación enumeramos los pasos a seguir con este método: 1- Seleccionamos tantas reacciones redundantes como grado de indeterminación tenga la viga, tratando siempre que la viga primaria sea estable y presente estados de carga contenidos en las tablas de superposición. 2- Asumimos las reacciones anteriores como cargas externas. 3- Se plantea un total de casos de carga o sub-problemas equivalente al número de cargas externas más las reacciones escogidas como redundantes. 4- Se asocia un caso de deformación, con cada reacción redundante, es así como una reacción tipo “fuerza” se corresponde con una deformación tipo “flecha o deflexión”, mientras que una reacción tipo “momento” se asocia con una deformación tipo “giro”. Estas deformaciones deben ocurrir en el mismo punto de aplicación de las reacciones redundantes. 5- Se plantean tantas ecuaciones de deformaciones compatibles como sea el número de reacciones redundantes. Para ello se plantea que las deformaciones asociadas tengan el valor de deformación de la viga original y su curva elástica en los puntos específicos, que suele ser en los apoyos 6- Se tendrá un número equivalentes de ecuaciones y de reacciones redundantes. Se resuelve el sistema, dando como resultado los valores de las reacciones redundantes. 7- Se encuentran las demás reacciones no redundantes, por las ecuaciones de equilibrio estático. A continuación se muestra un ejemplo de escogencia de dos tipos diferentes dereacciones redundantes para una misma viga. En el primer caso se resuelve el sistema 34
  • 35. por las tablas de vigas en cantiliver, en el segundo por las tablas de vigas simplementeapoyadas. 35
  • 36. CAPÍTULO V PROBLEMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR.5.1- CÁLCULO DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR. 5.1.1- Calcular la Fuerza Cortante “V” y el Momento Flector “M”, en la sección 1-1,de la Viga simplemente apoyada mostrada. Como la viga es simétrica, podemos calcular las reacciones así: RA = RB ; ∑Fy = 2.RA RA = ∑Fy 2 RA = RB = 6.000 Kg. = 3.000 Kg. 2 El Segmento de la viga situado a la izquierda de 1-1, presenta 2 cargas externas: RA y 1.500 Kg.Para calcular la Fuerza Cortante en la sección 1-1, sumamos las fuerzas externas a laizquierda de la sección 1-1. Obsérvese que V1-1 se definió positivo. Izq V1-1 = ∑Fi 1-1 V1-1 = 3.000 – 1.500 = 1.500 Kg.Para calcular el Momento Flector en la sección 1-1, sumamos los Momentos de lasfuerzas externas situadas a la izquierda de la sección 1-1. Obsérvese que M1-1 sedefinió positivo. Izq M1-1 = ∑Mi 1-1 M1-1 = 3.000 × 2 – 1.500 x 1m M1-1 = 4.500 Kg – m 36
  • 37. 5.1.2- Para la viga mostrada, calcule el valor de la Fuerza Cortante y del MomentoFlector en la sección 2-2. Carga a la izquierda de 2-2 con el corte V2-2 y M2-2 definidos como (+)Cálculo de Reacciones: ∑Mb = 0 1 × 10 – 5 × 2 × 1 + 5 + 4 Rc – 5 × 10 = 0 Rc = 11,25 Kn ∑Fy = 0 -10 + Rb – 5 × 2 + 11,25 – 10 = 0 Rb = 18,75 Kn Izq 2-2La Fuerza Cortante en 2-2 será: V2-2 = ∑Fc = -10 + 18,75 – 5 × 1.5 V2-2 = 1,25 KnEl Momento Flector en 2-2 será: Izq 2-2 M 2-2 = ∑Mc = -10 × 2,5 + 18,75 × 1,5 – 5 x 1,5 × 1,5 2 M2-2 = - 2,5 Kn. m 5.1.3- Calcule el valor de la carga “P” y del momento “Md”, sabiendo que en lasección 3-3 el corte es de 1.250 Kg. y el Momento Flector es de -666,67 Kg-m 37
  • 38. En este caso trabajaremos con la porción de viga situada a la derecha de lasección 3-3, para no tener que calcular las reacciones en “A”.Obsérvese que se definen V3-3 y M3-3 positivos para el lado derecho. Calculo de Y1 = 3.000 = Y1 Y1 = 1.000 Kg/m 3 1 Der 3-3 V3-3 = ∑Fi = 1.000 × 1 + P = 1.250 P = 750 Kg 2 Los momentos flectores producidos por la carga triangular yla fuerza “P” sonnegativos, respecto a 3-3, mientras que MD es positivo. Der 3-3 M3-3 = ∑Fi = - 1.000 × 1 × 1 × 1 – 2 × 750 + MD= - 666,67 2 3 MD = 1.000 Kg - m 5.1.4- La Viga mostrada representa una losa de fundación de concreto armado, lascargas q1 y p1 representan el peso de la edificación mientras que la carga uniforme q2representa la reacción del suelo contra la losa, como se muestra en la Figura.a. Determine el valor de q2 para alcanzar el equilibrio.b. Determine los valores de corte y Momento Flector en las secciones a-a y b-b.a. Las cargas son simétricas. Para encontrar q 2, hacemos equilibrio de fuerzasverticales.∑Fy = 0 12m x q2 – 2 × 3m × 10 ton/m – 25 ton = 0 q2 = 7 ton/m 38
  • 39. b. La sección a-a, representa el borde de la edificación. Izq Va-a = ∑Fi = 1m × 7 ton Va-a = 7 ton a-a m Izq Ma-a = ∑Mi = + 7 ton x 1m × 1m Ma-a = 3,5 ton.m a-a m 2La sección b-b representa el centro de la losa y el apoyo de una columna Para calcular el corte se presentan 2 casos: - El primero es el corte a la izquierda de la sección b-b, donde la carga P1 no aparece. Izq Va-a = 6m × 7 ton – 3m × 10 ton = 12 ton m m Izq Va-a = 12 ton - El segundo es el corte a la derecha de la sección b-b, donde si actúa la carga puntual P1. Der Va-a = 6m × 7ton – 3m ×10 ton – 24 ton m m Der Va-a = -12 tonLa diferencia del corte entre estos dos puntos se corresponde con el valor de la cargapuntual. Para calcular el Momento Flector en b-b, estos son iguales tanto a la izquierda, como a la derecha de la sección. Mb-b = 6m × 7 ton × 3,5m – 3m × 10 ton × 3,5m m m Mb-b = 42 ton∙m 39
  • 40. 5.1.5- La Viga principal AB, soporta un elemento secundario CDE, con una carga puntual en el extremo. Determine el valor del corte y del Momento Flector en a-a para la viga principal. Por equilibrio determinamos los valores de Md y Dy, sobre la viga principal (verdiagrama de cuerpo libre).Elemento DE: ∑Fy = o+↑ Dy – 50 Kn = 0 Dy = 50 Kn ∑MD = 0+ MD – 50Kn × 1,5 m = 0 MD = 75 Kn × m Consideramos ahora la viga principal bajo el efecto de las dos fuerzascalculadas, donde Dy representa la fuerza cortante para los miembros DE y AB, portratarse de una carga perpendicular al eje de la viga, mientras que para el miembro CD,representa una fuerza axial de tracción.∑Ma = 0 – 3m × 50 Kn – 75 Kn × m + 6m × By = 0 By = 37,5 Kn∑Fy = 0 Ay – 50 Kn + 37,5 Kn = 0 Ay = 12,5 KnCorte en a-a: Va-a = 12,5 KnMomento Flector en a-a Ma-a = 2m × 12,5 Kn ; Ma-a = 25 Kn∙m 40
  • 41. 5.1.6- La viga de peso despreciable mostrada, representa un sistema de elevación,mediante un cable y una polea sin fricción en C, que levanta una carga W = 2.000 Kg.a. Hacer el diagrama de cuerpo libre de cada barra.b. Encontrar el valor del Corte, Momento Flector y Fuerza Axial de la viga a la izquierda y derecha de “D”.c. Encontrar el valor del Corte, Momento Flector y Fuerza Axial del miembro “DE”. Tg Ө = 2,6 Ө = 30 o 4,5 . 2,6m . . 2,5m 2,5m 2mEn la polea c, la tensión del cable es igual a W:∑Fx = 0 Cx – T × cos 30 o = 0 ; Cx = 2.000 Kg × cos 30 o = 1.732,0508 Kg∑Fy = 0 Cy + T × sen Ө - T = 0 ; Cy = 1.000 KgEn el punto E: Tx = 2.000 × cos 30 o = 1.732,05 Kg Ty = 2.000 × sen 30 o = 1.000 KgEn la barra DE: ∑Fy = 0 Dy = Ty = 1.000 Kg ∑Fx = 0 VDE = Tx = 1.732,05 Kg De ∑MD = 0 M D = 2,6m × 1.732,05 Kg = 4.503,33 Kg - MCalculamos las Reacciones Externas como una viga simplemente apoyada 41
  • 42. ∑Ma = 0 ; -7m × 2.000 Kg + 5 By = 0 By = 2.800 Kg∑Fy = 0 ; Ay + By – 2.000 = 0 Ay = -800 Kg∑Fx = 0 ; Ax = 0Con el tramo AD Izq Izq∑Fx = 0 Ax - DX = 0 DX =0 No hay Fuerza Axial Izq Izq∑Fy = 0 Ay - VD =0 VD = -800 Kg Corte negativo Izq Izq iZQ∑MD = 0 -2,5 mAy + MD = 0 MD = 2,5 m (-800 Kg) MD = - 2.000 Kg.m El Momento Flector es negativo contrario al positivo supuesto.Con el Tramo DC Der Der∑Fx = 0 Dy - Cx = 0 DX = 1.732,05 Kg Hay fuerza axial de compresión Der Der∑Fy = 0 VD + By – Cy = 0 VD = Cy – By = 1.000 Kg – 2.800 Izq VD = - 1.800 Kg El corte a la derecha es contrario al supuesto que era positivo Der Der∑MD = 0 -MD + 2,5m × By – 4,5m × Cy = 0 MD = 2.500 Kg.mEn estos casos el corte y el momento flector fueron asumidos positivos en el diagrama ycolocados dentro de las fórmulas de estática como fuerzas de equilibrio.Con el Miembro DE:∑Fy = 0 ; Dy – Ty = 0 Dy = 1.000 Kg.f Fuerza Axial de compresión.∑Fx = 0 ; Tx – VDE = 0 VDE = 1.732,05 Kg Corte horizontal DE DE∑MD = 0 ; MD - 2,6 m × Tx = 0 MD = 4.503,33 Kg.m Momento FlectorVerificación del Equilibrio en el Nodo D 42
  • 43. Izq Der∑Fx = 0 DX - D x + VDE = 0 0 – 1.732,05 + 1.732,05 = 0 Izq Der∑Fy = 0 V D - VD - Dy = 0 -800 – (-1.800) – 1.000 = 0 Der Izq Der∑MD = 0 MD - MD - MD = 0 2.500 – (-2-000) – 4.503,33 0* Debido a la aproximación de Ө = 30°y en realidad es Ө = 30,0183675.2- DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS. 43
  • 44. 5.2.1- Hacer el diagrama de Fuerza Cortante y de Momento Flector de la vigasimplemente apoyada mostrada. Definimos los tramos originados por las cargas puntuales, en este caso 4. Por ser la viga simétrica de cargas verticales las reacciones externas son: Ay = Ey = ∑Fi/2 = 500 Kg 2m 2m 2m 2m Corte: Secuencia de izquierda a derecha. El corte de arranque en A es el valor de la reacción, de signo + Ay Para todos los tramos: La relación entre carga y corte son: Carga: 0 Pendiente: 0 Intensidad: ctte Izq AB VB = VA + (Área)carga = 500 + 0 = 500 Kg Der Izq VB = VB + P1 = 500 – 200 = 300 Kg Izq Der BC Vc = VB + (Área)carga = 300 + 0 = 300 Kg Der Izq VC = VC + P2 = 300 – 600 = - 300 Kg Igual para los demás tramos.Obsérvese que la carga puntual produce un salto en el diagrama de corte con el mismovalor de la carga; si la carga es negativa el escalón de la derecha baja y viceversa.Momento Flector:El Momento de arranque en A es cero, puesto que el apoyo articulado no generamomento, para los tramos AB y BC, la relación entre Corte y Momento son:Corte: (+) Pendiente: (+) Intensidad: ctte ABMB = MA + (Área)corte = 0 + 500 x 2 = 1.000 BCMC = MB + (Area)corte = 1.000 + 300 × 2 = 1.600Para los tramos CD y ED la relación entre Corte y momento son: 44
  • 45. Corte: (-) Pendiente: (-) Intensidad: ctte CDMD = MC + (Área)corte = 1.600 - 300 × 2 = 1.000 DEME = MD + (Área)corte = 1.000 – 500 × 2 = 0Cuando no hay fuerzas tipo par, aplicadas en la viga, el diagrama de momentos notiene saltos. 5.2.2- Trace los Diagramas de Corte y Momento Flector de la viga en cantilivermostrada. 3,00m 3,00m 5m 1m Calculo de las reacciones: R1 = 2.500 × 300 = 3.750 2 ∑Fy = 0 Ay – R1 = 0 Ay = 3.750 Kg ∑MA = 0 MA – 5m × 3.750 Kg = 0 m MA = 18.750 Kg-mCorte: 45
  • 46. Relación Carga – CorteTramo AC: Carga: 0 Pendiente: 0 Intensidad: ctteTramo CB: Carga: Triang Pendiente: (-) Intensidad: crece negativamente. VA: Reacción: 3.750 Kg AC VC = VA + (Área)carga = 3.750 Kg + 0 = 3.750 Kg BC VB = Vc + (Área)carga = 3.750 Kg – 3.750 Kg = 0Momento:Relación Corte – MomentoTramo AC: corte: rectang Pend: (+) Intens.: ctteTramo CB: corte: Parab. Pend: (+) Intens.: Decrece. MA = -18.750 de signo negativo, visto como Momento Flector. AC MC = MA + (Área) corte = -18.750 + 3.750 × 3 = -7.500 Kg-m CB MB = MC + (Área)corte = -7.500 + 2/3 x (3.750 × 3) = 0 5.2.3- Trace los diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector de la vigamostrada a continuación, articulada en el perno E. 1m 2m 2m 2m 2m X1 46
  • 47. Cálculo de Reacciones:Tramo EF: ∑ME=0 - 3.000 × 2 × 1 + 2 RF = 0 Fy = 3.000 KgTodo el sistema: ∑MB = 0 500 – 2 × 1.000 – 6 × 12.000 + 4 RD + 8 × 3.000 = 0 Dy = 12.375 KgTodo el sistema: ∑Fy = 0 By – 1.000 + 12.375 – 4 × 3.000 + 3.000 = 0 By= - 2.375 KgCalculo del corte cero en el punto “P” por dos métodos:- Por relación de triángulos: 9.000 = 3.000 X1=3m X1 4 - X1- Por definición de Fuerza Cortante como la sumatoria de fuerzas a la izquierda:X: variableV1-1 = 9.000 Kg – (X). 3.000 Kg/m = 0 X = 3mEn los puntos de corte cero, el diagrama de Momento Flector presenta valoresmáximos, bien sea positivo o negativo. 47
  • 48. 5.2.4- Trace los Diagramas de Corte y Momento Flector para la viga mostrada.Reacciones:Miembro D,E,F: 2 2.400 = Y1 Y1 = 2.400 = 600 Kg/m 4 1 4 R1 = 3 m × 600 Kg/m = 1.800 Kg 2m 1m 1,50m R2 = (2.400 – 600) Kg × 3 m = 2.700 Kg m 2 ∑MD = 0 ; 2 Ey – 1,50 × R1 – 2 × R2 = 0 Ey = 4.050 KgTodo el sistema:∑MB = 0 – 4 m×1.200×1 m–2 m×1.200 Kg + 3Cy–4m×2.400 Kg/m x5,67m + 6Ey = 0 2Cy = 3.366,67 Kg∑Fy = 0 By – 4 m ×1.200– 1.200 +Cy – 4 m ×2.400 Kg/m + Ey = 0 By = 3.383,33 Kg 48
  • 49. 2Calculo del valor de la distancia X1:2.183,30 = 216,30 X1 = 1.819 m (por relac. de triang.) X1 2 - X1Calculo del valor de la distancia X2, por definición de fuerza cortante: X = variable Ecuación de la Recta: y = A – X Y = 2.400 ∙ X Y = 600 X x 4 R = X ∙ Y = X ∙ (600X) R = 300 X2 2 2 VC-C = 0 VC-C = 749,97 – R = 749,97 – 300 X2 = 0 X2= 1,58 m 5.2.5- Construya los Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector de la viga dela fig. 5.2.5, tanto del elemento principal A-H, articulada en “B” y “F”; como del elementosecundario “DIJ”.Cálculo de reacciones: la fig. 5.2.5-b, muestra el diagrama de cuerpo libre.Tramo A∙B∑MB = 0 500 × 1,50 × 0,75 – 1,5 RA = 0 RA= 375Tramo F – H :900 = ∆y ∆y = 300 Y1 = 200 + 300 = 500 3 1R1 = 500 × 2 = 1.000 R2 = 600 × 2/2 = 600∑MF = - 1.000 × 1 – 600 × ∙ 2 / 3 ∙ 2 + 2RG + 3 ∙ 5000 = 0 RG= - 6.600 KgfTodo el Sistema:∑MC = 0 49
  • 50. 375×3+500×4,50×0,75–1.000×2+3RE –600×4,50–1.350×5–6.600×6+7×5.000 = 0 3 RE – 1.5487,50 = 0 RE= 5.162,50 Kgf∑Fy = 0375 – 2.250 + RC – 1.000 + 5.162,50 – 600 – 1.350 – 6.600 + 5.000 = 0 RC = 1.262,50 KgfLa fig. 5.2.5-b, muestra los diagramas de corte y momento del elemento secundario IJ,que no tiene fuerza cortante, V1 actúa en este miembro como fuerza axial decompresión. 50
  • 51. CAPÍTULO VI PROBLEMAS DE ESFUERZOS EN VIGAS.6.1- CÁLCULO DE ESFUERZO NORMAL Y CORTANTE EN VIGAS. 6.1.1- Calcular el Momento Flexionante y el esfuerzo de flexión máximo, de unalambre de diámetro d = 2 mm, si se dobla sobre un cilindro de diámetro D = 40 cm,considere E= 2 x 106 Kg/cm2 El radio del eje neutro será: ρ = r + d = 40 cm + 0,2 cm = 20,1 cm 2 2 2 La deformación unitaria máxima en el borde del alambre (fibras a). Є = Y = 0,1 cm = 0,004975 ρ 20,1 cm El Momento Flector será: M = E ∙ ⌶EN = 2 x 106 Kg/cm2 x 0,00007854 cm4 ρ 20,10 cm M = 7,81 Kg – cm El esfuerzo normal máximo por Flexión: σ = E. ε = 2 ∙ 106 Kg x 0,004975 cm2 σ = 9.950 Kg/cm2 6.1.2 Para la sección transversal de una viga rectangular, tal como se muestra en lafigura siguiente, el Momento Flector es de M=2.800 Kg–m y la Fuerza Cortante esV=7.800 Kg, con cargas verticales. Calcular:a. El esfuerzo máximo normal por flexión.b. El esfuerzo normal por flexión en la fibra “f”c. El máximo esfuerzo cortante.d. El valor del esfuerzo cortante en la fibra “f”.e. Dibuje los diagramas de esfuerzo normal y cortante (σ y Τ). 51
  • 52. Colocamos el eje neutro en el centro geométrico f de la sección, y debido a que las cargas son verticales, el eje neutro es horizontal según el eje Z. a. El esfuerzo máximo normal ocurre en las fibras más alejadas del eje neutro ① y ②, en la formula de flexión y = c f σ① = M ∙ C = 2.800 Kg – m x 100 cm/m x 15 cm ІEN 45.000 cm4 σ① = 93,33 Kg/cm2⌶E = 20 cm x 30 cm3 = 45.000 cm4 12b. En la fibra “f” la distancia “y” de la fórmula de flexión es 7 cm.σF = 2.800 kg – m x 100 cm/m x 7 cm σF = 43,56 kg/cm2 45.000 cm4 c- El Esfuerzo Cortante máximo ocurre en el eje neutro, por lo tanto el área queproduce el momento estático es la zona rayada indicada en la figura siguiente: max = EN = V ∙ Me = 7.800 Kg x 2.250 cm3 ⌶EN∙t 45.000 cm4 x 20 cm Τmax = 19,50 Kg/cm2 t = 20 cm (ancho de la zona cortada) _ Me= ∑Ai ∙ Yi _ Me = A1 x Y1 = 15 cm x 20 cm x 7,5 cm = 2.250 cm3 52
  • 53. d. En la fibra “f”, el área que produce Momento Estático o de primer orden esta porencima de dicha fibra, como se muestra: _ Me = A2 ∙ Y2 = 8 cm x 20 cm x 11 cm = 1.760 cm3 f f = 7.800 Kg x 1.760 cm3 f = 15,25 Kg/ cm2 45.000 cm4 x 20 cm e. Los gráficos de σ y son los siguientes: C max = 93,33 f f = 43,56 f f = 15,25 = 19,50 Paràbola 2do. grado max = Como el momento es positivo las fibras comprimidas están arriba y lastraccionadas abajo, tal como se refleja en el diagrama de la izquierda. La gráfica de esfuerzo cortante a la derecha es una parábola de segundo gradocuyo valor máximo ocurre en el eje neutro, y se hace nula en las caras superior einferior de la viga. 6.1.3- Para la Viga IPE 300 mostrada a continuación, sometida a un corte vertical de15 ton, determine el valor del flujo cortante en los siguientes puntos:a. En el eje neutrob. En la sección 1-1c. En la sección 2-2 53
  • 54. a. En el eje neutro ocurre el máximo valor de “ ” y el área rayada produce el momento estático. _ _ Me = A1 ∙ Y1 + A2 ∙ Y2 Me = 1,08 x 13,38 x 6,69 + 12,5 x 1,62 x 14,19 Me = 384,02 cm3_Y1 = 13,38/2 = 6,69 cm X = 15.000 Kg x 384,02 cm3_ 9.800 cm 4 x 1,08Y2 = 15 – 1,62/2 = 14,19 cm X = 544,25 Kg/cm2Debido a que casi todo el Esfuerzo Cortante lo soporta el alma, una forma de cálculoaproximada es: X = max = V = 15.000 = 519,03 Kg/m2 Aalma (30 – 2 x 1,62) x 1,08 b. El corte en 1-1 será: 1-1 = 15.000 Kg x 370,52 cm3 9.800 cm4 x 1,08 cm 1-1 = 525,11 Kg/cm2Y3 = 8,38cm + 5cm = 9,19cm 2Me1-1 = 1,08 x 8,38 x 9,19 + 12,5 x 1,62 x 14,19Me1-1 = 370,52 cm3 54
  • 55. c- el corte en la sección 2-2 será:Momento estático del área rayada: _Me = A1 ∙ Y4Me = 12,5cm x 1cm x 14cmMe = 175 cm3 2-2 = 15.000Kg x 175cm3 = 21,43 9.800 cm4 x 12,5cm 2-2 = 21,43 Kg/ cm2 6.1.4- El Muro en cantiliver mostrado esta en equilibrio, calcule los esfuerzosnormales de flexión máximos en las secciones 1-1 y 2-2 por metro de largo,considerando solo las fuerzas de empuje de tierra “E” y presión de contacto sobre elterreno “q” mostradas.Para la sección 1-1, se muestra el DCL a la derecha.Calculamos el valor de q11.500 = _ q1__ q1 = 928,57 Kg/m 2,10 1,30M1-1 = R1 ∙ b1 + R2 ∙ b2 55
  • 56. M1 -1 = ( 1.500 – 928,57 ) x 0,80 x 2 x 0,80 + 928,57 x 0,80 x 0,40 2 3M1-1 = 419,05 Kg – m = 41.905 Kg – cm 1-1 T C σmax = σmax = σmax = 41.905 Kg-cm x 15 cm 100 cm x 303 cm 12 1-1 σmax = 2,79 Kg/cm2 25 Para la sección 2-2 M2-2 = R3 ∙ b3 = 3m x 3.000 Kg-m x 1∙3m 2 3 M2-2 = 4.500 Kg – m = 450.000 Kg – cm 2-2 σmax = 450.000 Kg – cm x 12,5 cm 100 cm x 2,53 cm 12 2-2 σmax = 43,20 Kg/cm2 6.1.5- Para un perfil Properca VP 180 x 17.7, determine cual es el valor máximo defuerza cortante que puede soportar, si los esfuerzos admisibles del acero y soldadurason los siguientes: acero = 1.100 Kg/cm2, sold = 900 Kg/cm2. Considere un anchoefectivo sometido a corte de 3 mm. por cada soldadura. 12,50cm Para el caso del Esfuerzo Cortante en el acero, la 0,60cm zona de mayor esfuerzo ocurre en el eje neutro, por lo que afecta el alma de la viga. Soldadura Considerando el área rayada de la Fig. a de abajo,18cm el momento de 1er orden respecto al eje nuestro 0,45cm será. EN Me = A1∙ Ῡ1 + A2 ∙ Ῡ2 4 EN EN = 1.310cm Me = 12,5 x 0,60 x (9 – 0,60) + 0,45 x (9 – 0,60)2 2 2 56
  • 57. A 1 0,60 cm EN A A Me = 81,13 cm3 y1 A 2 y2 El Esfuerzo Cortante actuante en el EN será: EN ACT ACT ACT EN = V x Me EN V = ΤEN ∙ EN ∙ƚ (a) EN ∙ ƚ MeEN A 1 Para encontrar el valor máximo de V, sustituimos el esfuerzo actuante por el A A admisible. y2 1 VMAX = 1.100 x 1.310 x 0,45 = 7.992,73 Kg EN 81,13 (b) (b)Para el caso del Esfuerzo Cortante en la soldadura, este se produce en la Sección A-A,y el Momento estático es producido por el área rayada de la Fig b. El flujo cortanteserá:F= Sold ∙ 2 x 0,3 cm = 900 Kg/cm2 x 0,6 cm = 540 Kg/cmMe A-A = A1 x Ῡ1 = 12,5 x 0,60 x (9 – 0,60) = 65,25 cm3 2 2VMAX = F x EN = 540 x 1.310 = 10.841,38 Kg A-A 65,25 Me 1El máximo valor de Corte vertical que resiste el perfil es VMAX = 7.992,73 Kg,determinado en el alma. 6.1.6- La viga mostrada a continuación esta compuesta por tres tablones demadera pegados entre si, de manera muy firme, como se muestra en la figura, si seconsidera que el pegamento soporta un esfuerzo de adherencia de 3 Kg/cm2, y lamadera tiene los siguientes esfuerzos admisibles: m = 5 Kg/cm2 , σmcomp = 85 Kg/cm2 , σm tracc = 100 Kg/cm2.a- Verifique si la viga soporta la carga señalada por Esfuerzo normal de Flexión. 57
  • 58. b- Verifique si la viga soporta la carga señalada por Esfuerzo Cortante.c- ¿Cual será el máximo valor de “q” que se puede aplicar a la viga, considerandotodos los valores de esfuerzo admisibles dados? Fg. 2.9.a EN = 10 x 153 = 2.812,5 cm4 (Total) 12 a - Primero dibujamos los diagramas de Corte y Momento (fig 2.9.a) para conocerlos valores de Fuerzas máximas aplicadas a las vigas.Ahora calculamos los esfuerzos actuantes normales a tracción y compresión por flexióny los comparamos con los admisibles. La Inercia de la sección se calcula respecto al ejeneutro que esta en el centroide de la figura. σactƚ = σactC = M ∙ Y = 343,75 x 100 x 7,5 = 91,67 Kg/cm2 EN 10 x 153 12 σadm ƚ = 100 Kg > σ ƚ = 91,67 Kg act Si cumple 2 2 cm cm 58
  • 59. σadmC = 85 Kg < σactC = 91,67 Kg No Resiste a compresión cm2 cm2b- Para verificar por corte, hay dos puntos críticos que estudiar: - Primero, el corte máximo que ocurre en el eje neutro y que es soportado por el tablón de la madera: El Momento estático que genera este flujo cortante es el área rayada 2.9.b, el esfuerzo cortante actuante en esta zona será: EN = V ∙ Me = 275 x (7,5 x 10) x 3,75 = 2,75 Kg ∙ƚ 10 x 153 x 10 cm2 12 Lo comparamos ahora con el Esfuerzo Cortante admisible de la madera. m = 5 Kg > σEN = 2,75 Kg Si cumple cm2 cm2 - Otro punto crítico lo genera el pegamento, para el cual hay que verificar el flujo cortante a la altura de 2,5 cm, con el área rayada 2.9.c: = 275 x (5 x 10) x 5 = 2,44 Kg/cm2 2,5 10 x 153 x 10 12 Ahora lo comparamos con el Esfuerzo Cortante admisible del pegamento: P = 3 Kg/cm2 > 2,5 = 2,44 Kg Si cumple cm2 La viga soporta la carga por cortec. Cada uno de los Esfuerzos admisibles, genera una carga “q” máxima posible para colocar: - Por Esfuerzo normal de Flexión: el más crítico es la compresión: σmcomp = 85 ≥ M1 x 7,5 M1 ≤ 85 x 2812,50 = 31.875 Kg – cm 2.812,50 7,5 59
  • 60. Como M1 en el empotramiento es: M1 ≥ q1 x 2,52 2 q1 ≤ 2 x 31.875 = 10.200 Kg = 102 Kg q1 ≤ 102 kg 2,52 cm m m - Por corte en el eje neutro, el esfuerzo cortante será: m = 5 ≥ V1 x Me V1 ≤ 5 x 2.812,50 x 10 = 500 Kg EN ∙ƚ (7,5 x 10 x 3,75) El corte en el empotramiento es: V1 = q2 x 2,5 q2 ≤ 500 kg q2 ≤ 250 kg/m 2,5 m - Por corte en el pegamento: P= 3 ≥ V2 x Me V2 ≤ 3 x 2.812,50 x 10 = 337,50 Kg 6 EN ∙ ƚ (5x10x5) V2 = q3 x 2,5 q3 = ≤ 337,50 Kg q3 ≤ 135Kg/m 2,5La carga máxima que se puede aplicar a la viga, es la menor de la tres, para que nohaga fallar a ninguna de las tres condiciones: qmax = q1 = 102 Kg/m 6.1.7- En la viga de madera mostrada a continuación: a. Hacer el diagrama de corte y momento flector. b. Encuentre los esfuerzos máximos de tracción y compresión en la sección c. Dibuje el diagrama de esfuerzos anterior. d. Si se establecen los siguientes valores de esfuerzos admisibles. compr tracc = 65Kg/cm2 y = 40 Kg/cm2 ; cual será el máximo valor de “P” que se puede aplicar sobre la viga. e. Con la carga P = 80 Kg, encuentre el máximo valor de esfuerzo cortante en la sección, señale donde se produce. 60
  • 61. f. Si el Ala y el Alma de la viga se unen mediante un pegamento especial que soporta un esfuerzo cortante de = 20 Kg/cm2. Determine si la viga puede soportar la carga “P” colocada inicialmente. 10 cm P = 80Kg 61,49 1.50 m 1.50 m 2 cm A B E.N. G 8 cm 6,78 cm 400 V 129,46 -400 2 cm fig. 2.1.b 600 Sección transversal Sección Longitudinal Diagrama de M Fig 2.5a a. En la figura 2.5.a C1 A1 b. Cálculo del centroide: EN _ _ C2 y1 Y = ∑Ai ∙ Yi = 10 x 2 x 9 + 2 x 8 x 4 = 6,78 cm ∑Ai 2 x 10 + 2 x 8 y2 _ A2 Y = 6,78 cm Momento de Inercia centroidal: EN = A1 + A2 C1 EN 1 2 22.22 cm A1 EN = cA1 + A1d1 + cA2 + A2d2 EN EN = 10 x 23 + 2x10 x 2,222 + 2x83 + 2x8 x 2,7822,78 cm 12 12 C2 EN EN = 314,22 cm4 2 T σmax = 60 x 100 x 6,78 = 129,46 Kg/cm2 314,22 A2 C σmax = 60 x 100 x 3,22 = 61,49 Kg/cm2 314,22 61
  • 62. c. El diagrama de esfuerzo se muestra en la fig 2.1.b, la compresión esta arriba y latracción abajo.d. Mmax = P x 150 cm , 2 C PC ∙ 150 x 3,22 σADM = 65 Kg ≥ 2___________ PC ≤ 84,57 Kg cm2 314,22 T PT ∙ 150 x 6,78 σADM = 40 Kg ≥ 2____________ PT ≤ 24,72 Kg cm2 314,22La máxima carga que se le puede aplicar a la viga, es la menor de los dos P T =24,72Kg.Por lo tanto la viga no soporta la carga aplicada inicialmente de 80 Kg.e. El corte máximo ocurre en el eje neutro: EN _ _ A1 Me = A1 ∙ Y1 + A2 ∙ Y2 EN Me = 2 x 10 x 2,22 + 2 x 1,22 x 1,22 = 45,89 cm3y1 A2 2 y2 EN max = V ∙ Me = 40 x 45,89 = 2,92 Kg/cm2 ∙t 314,22 x 2f. El corte a la altura del pegamento lo genera el área A1, por lo tanto el MomentoEstático será: X-X _ Me = A1 ∙ Y1 = 2 x 10 x 2,22 = 44,4 cm31 cm A1 x x x-x = 40 x 44,4_ = 2,83 Kg 314,22 x 2 cm2Comparando: ADM = 2 Kg < X-X = 2,83 Kg No soporta cm2 cm2 62
  • 63. 6.2.- CÁLCULO DE SEPARACIÓN DE PERNOS Y REMACHES. 6.2.1- La viga mostrada de sección igual al problema anterior, pero atornillada,soporta un esfuerzo de tensión permisible de 40 Mpa a tracción y de 65 Mpa acompresión.a. Si la carga “P” es móvil, cual será su valor máximo permisible, desprecie el peso propio.b. Con el valor de “P” obtenido, encuentre la separación máxima entre los tornillos, si cada uno resiste una fuerza cortante admisible de 3.500 N.a. El Momento Flector debajo de la carga móvil se puede expresar como: (1) MC = RA ∙ X RA se consigue: ∑MA = 0 3 ∙ RB – X ∙ P = 0 RB = X ∙ P 3 ∑Fy = 0 RA + RB – P = 0 RA + X ∙ P – P = 0 3 RA = P – X ∙ P 3 Sustituyendo en 1: MC = (P – X. P) ∙ X = P.X – P ∙ X2 3 3Para encontrar el punto de Momento Flector máximo derivamos la expresión respectode X e igualamos a cero: d Mc = P – 2P ∙ x = 0 dx 3 div. por P: 1- 2 x = 0 x = 3 = 1,5 m 3 2El momento máximo esta en el centro de la luz, lo cual resulta lógico.Por lo tanto: RA = P/2 MC = P ∙ 1,5 = 0,75 P 2 63
  • 64. CEsfuerzo de compresión arriba: σMAX = M ∙ Y = 0,75 P x 0,0322 m ≤ 65 x 106 N 314,22 x 10-8 m4 m2 Pc ≤ 8.457,27 N TEsfuerzo de Tracción abajo: σMAX = M ∙ Y = 0,75 P x 0,0678 m 40 x 106 N 314,22 x 10 -8 m4 m2 PT 2.471,74 NLa máxima carga “P” rodante que se puede aplicar es: PT = 2,47 Knb. Para encontrar la posición de “P” que genera el corte máximo: Vc = ∑FIzq = RA = P − X∙ p 3Para que RA sea máximo: x = 0 RA = PLo que implica que la carga rodante debe estar muy cerca del apoyo.Para la sección x-x del problema anterior, el momento estático para producir corte en eltornillo es: Me = 44,4 cm3.Si F es la fuerza que soporta cada tornillo y “e” es la separación:El flujo cortante “ ” para un área A = t.e, será: X-X X-X X-X = _ F_ = V ∙ Me F = V ∙ Me ∙ e ƚ. e EN ∙ƚ ENPara: V = RA = P = 2.471,74 N F = 2.471,74 N x 44,4 cm3 ∙ e 314,22 cm4 F= 349,26 N ∙ e cada perno resiste F = 3.500 N cm Finalmente: e = 3.500 N = 10,02 cm eMAX 10 cm 349,26 N/cm 64
  • 65. 6.2.2- Para la viga de sección compuesta mostrada a continuación, determine condiagrama de fuerza cortante dado, la separación entre los remaches si el esfuerzocortante admisible en los mismos es de 1.000Kg/cm2 y su diámetro es de ½” (1,27cm).Aplicando las fórmulas: F = ∙ b.e (remaches); = V∙Me (esfuerzo cortante) ∙b Fuerza cortante actuante: F = V x Me x e = 750x15 x 10 x 10 x e 15 x 303 12 F = 33,33 x e .be R = Fuerza Cortante Resistente F = R = x A = 1.000 x (1,27)2 = 1.266,77 e= R = 1.266,77 = 38 cm ; 33,33 33,33 e ≤ 38 cm 65
  • 66. 6.3- CÁLCULO DE VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA. 6.3.1- Determine el Momento Flexionante permisible con respecto al eje neutrohorizontal, de la sección de viga mostrada, compuesta por madera y metal, los cualesestán unidos firmemente como un solo cuerpo.Emetal = 2,4 x 106 Kg/cm2, Emadera = 9,6 x 104 Kg/cm2, los esfuerzos permisibles son:σmetal = 1.600 Kg/cm2 y σmadera = 96 Kg/cm2.Utilizando el Método de la sección transformada, toda en madera, relacionamos elmódulo de elasticidad de los 2 materiales: n = Emetal = 2,4 x 106 = 25 Emadera 9,6 x 104Luego, el área de metal equivale a 25 veces el área de la madera.b = n ∙ 5 cm = 25 x 5 cm = 125 cmLa inercia de la sección transformada será: EN = 20 x 303 + 2 . [ 25 x 1,253 + 125 x 1,25 x (16,25 – 0,625)2] 12 12 EN = 121.334,63 cm4Para la madera se toma la distancia a la fibra mas esforzada ym = 15 cmσmad = M ∙ ymad M = σmad x EN EN ymadM = Mmax mad = 96 x 121.334,63 = 776.541,63 Kg - cm 15 66
  • 67. Para encontrar el máximo esfuerzo en el metal se considera las fibras ymet = 16,25 cm yse multiplica por “n”.σmetal = n∙ M ∙ ymet M = Mmax metal = 1.600 x 121.334,63 = 477.871,77 Kg - cm EN 16,25 x 25 2.11. A continuación se muestra la sección transversal de una viga de concretoarmado. El refuerzo de acero esta representado por 3 cabillas de diámetro 2,5 cm. y larelación modular es n = 12. Los esfuerzos normales permisibles para el concreto y elacero son 125 Kg/cm2 y 2.100 Kg/cm2, respectivamente. Si se asume que el concretosolo resiste compresión, calcule el Momento Flector resistente negativo de la sección. El área equivalente de las varillas de acero, será: 5cm Ae = n x 3 x Ai = 12 x 3 x π. (2,5)2 = 176,715 cm2 4 Como el Momento es negativo la compresión esta 40 cm debajo del eje neutro. Cálculo de la posición del eje neutro, situado en el centroide de la sección transformada. YC = ∑Ai ∙ Ῡi = 176,715 x 35 + 30 x Ῡc2 ∙ 12 30cm ∑Ai 176,715 + 30 x Ῡc 30 Ῡc2 + 176,715 Ῡc – 15 Ῡc2 = 6.185,0315 Ῡc2 + 176,715 Ῡc = 6.185,03 Ῡc = 15,25 cmLa inercia de la sección transformada, considerando que las varillas de acero tienen elárea concentrada en una línea, será: C1 A1 Y C y1 = 35cm yC A2 C2 y2 X 3 0 cm SECCIÓN TRANSFORMADA EN CONCRETO 67
  • 68. IEN = A1 x (Ῡ1 – Ῡc)2 + b∙ Ῡc3 3IEN = 176,715 (35 – 15,25)2 + 30 x (15,25)3 = 104.395,68 cm4 3Para calcular el Momento resistente, debemos considerar 2 casos: 1- Que falle el concreto: σC = Mc ∙ Ῡc Mc = σc∙ IEN = 125 x 104.395,68 = 855.702,30 Kg – cm IEN Ῡ 15,25 2- Que falle el acero: σac = n ∙ Mac ∙ Ῡc Mac = σac ∙ IEN = 2.100 x 104.395,68 = 925.025,01 Kg– cm IEN n∙(35 –Ῡc) 12 x (35 – 15,25) Por lo tanto el Momento Resistente lo define el concreto. MMAX = Mc = 855.702,30 Kg – cm = 8.557,02 Kg – m MMAX = 8.557,02 Kg – m 68
  • 69. 6.4- DISEÑO DE VIGAS, SECCIONES ECONÓMICAS. 6.4.1- Para la viga “AH” del problema 5.2.5 del capítulo anterior, encuentre elperfil más económico entre los IPN, IPE, HEA y VP. Verifique por peso propio y porcorte. Considerar los siguientes esfuerzos admisibles: adm = 1.400 Kg/cm2 y adm = 1.000 Kg/cm2. De la observación del diagrama de momentos, encontramos que el momentoflexionante más alto en módulo es Mmax = 5.000Kg-m. Este valor define la condiciónmás desfavorable de resistencia al esfuerzo normal de la sección. Encontramos primero el mínimo modulo resistente que debe tener el perfilseleccionado por esfuerzo normal, que suele ser la condición más crítica en las vigas:Zmin = Mmax / adm Zmin = 5.000 Kg-m x 100 cm/m / 1.400 Kg/cm2 = 357.14 cm3 En las tablas de perfiles, seleccionamos los perfiles que tengan el móduloresistente con respecto al eje x-x (mayor eficiencia) inmediatamente superior al mínimoencontrado, y anotamos las siguientes características: PERFIL Modulo Peso propio resistente Zx (cm3) (Kg/m) IPN 260 442 41.90 IPE 270 429 36.10 HEA 200 389 42.30 VP 300x41.30 568 41.30 La condición de máxima economía la establece el peso propio, dado que cuantomenor sea el peso menor será el costo de material por metro lineal de perfil. Basado enesta condición el perfil más económico de los cuatro seleccionados es el IPE 270. Enorden de selección posterior seria el VP 300x41.30, IPN 260 y HEA 200. Obsérvese quelos perfiles de ala ancha (HEA) resultan poco eficientes como vigas, y su mayor utilidades como columnas. 69
  • 70. Ahora procedemos a verificar la condición de resistencia por esfuerzo normal deflexión agregando el peso propio del perfil. Como el momento máximo del diagrama demomentos se produjo en el apoyo G, que tiene la viga en voladizo hacia el ladoderecho, podemos calcular el momento por peso propio utilizando la definición demomento flector de la siguiente manera: Momento debido a peso propio MG = -18.05 Kg/mEl nuevo momento máximo en G será: Mmax = 5.000Kg-m + 18.05 kg/m = 5.018,05 kg/m(Auque realmente estos momentos tienen signos opuestos, los sumamos para crearuna condición más general y más critica)El nuevo módulo resistente mínimo será:Zppmin = 5.018,05 Kg-m x 100 cm/m / 1.400 Kg/cm2 = 358.43 cm3 Este nuevo módulo esta todavía muy por debajo del módulo de la viga que es429cm3, por lo que el perfil seleccionado sigue cumpliendo por esfuerzo normal deflexión, ampliamente. En general esta revisión de peso propio, es necesaria cuando elmódulo resistente del perfil esta muy cercano del módulo calculado inicialmente Z min.Verificación por esfuerzo cortante: ACT EN = V x MeEN EN ∙ ƚEl esfuerzo cortante máximo se desarrolla en el ejeneutro de la sección, para aplicar la fórmula completamosla información relacionada conel dimensionado del perfil seleccionado IPE 270:Altura h = 27 cmAncho de las alas b=13.50 cm 70
  • 71. Espesor de alas tw= 1.02 cmEspesor del alma S= 0.66 cmEl momento estático en el eje neutro es:Me = 13.50x1.02x(13.50-1.02/2)+0.66 x (13.50–1.02)2 / 2 = 178.87+51.40 = 230.27 cm3Del diagrama de fuerza cortante tomamos el máximo valor en módulo: V max= 5.000Kg ACT EN = 5.000 x 230.27 = 301.29 Kg/ cm2 5.790x 0.66El esfuerzo cortante actuante esta muy debajo del admisible, por lo cual el perfilescogido cumple con la condición de corte ampliamente: act = 301.29 Kg/cm2 < adm = 1.000 Kg/cm2Calculando el corte máximo en el eje neutro en forma aproximada, por el área del alma,que es donde se concentra casi todo el esfuerzo de corte en estos perfiles: ACTEN = 5.000Kg / [(27-2x1.02).0.66] = 303.52 Kg/cm2; resulta muy aproximado. 71
  • 72. 6.4.2- En la siguiente planta se muestra un sistema de entrepiso, formado porlosacero, apoyado sobre correas IPE. Si se considera que el total de la carga variablemás permanente de la losa de entrepiso es de 500 Kg/m2, encuentre el perfil maseconómico para la correa del ej “A”, si se consideran las siguientes condicionesadmisibles: adm = 1.400 Kg/cm2 y adm = 1.000 Kg/cm2. La máxima flecha permitida en el centro de laluz es de L/400. Planta Arriba y a la derecha se presenta el esquema de cargas de una correa y de la vigade soporte en forma genérica. La reacción de la correa Rc es la carga puntual queactúa sobre la viga que sirve de soporte. La carga distribuida sobre la correa se calculamultiplicando el peso de la losa en m2 por el ancho tributario “e”. La correa de nuestroejemplo no tiene un ancho tributario constante sino que varia desde (0.80/2)=0,40m enel apoyo “2”, hasta (1.50/2)+0.40=1.15m en el apoyo “1”. El gráfico de carga calculadojunto con los diagramas de corte y momento de la correa se presentan a continuación.La siguiente figura muestra la carga sobre la correa. Cálculo de la carga distribuidasobre la correa.q1 = 0,40 x 500 = 200 Kgq2 = q1 + 0,75 x 500 = 575 Kg 72
  • 73. Cálculo de reacciones: Resultantes: R1 = 200. 4 = 800 R2 = 357. 4 = 750 2 ∑MB = 0 - RA x 4 + 800 x 2 + 750 x 4 = 0 RA = 650 Kg; Rb= 900Kg Punto de corte cero: V = 0 Ecuación de la recta: 375 = Y 4 X Y = 375.X / 4 X = 2.16m Sumatoria de fuerzas a la izquierda: 650 – 200∙X – X [ 375. X ] = 0 2 4 - 46,87 x2 – 200 x + 650 = 0 x = 2,16 mEl Momento Máximo en Xv = 0 sera:650 x 2,16 – 200 x 2,162 – 2,16 x 202,5 . 2,16 = MMA1.404 – 466,56 – 157,46 = M M MAX = 779,98 Kg-mCon este momento máximo encontramos el módulo resistente mínimo:Zmin = 78.000 = 55,71cm3 1.400En las tablas encontramos un perfil IPE 140 cuyo módulo es Z = 77.30 cm3 - Verificamos por peso propio aunque hay mucha diferencia entre los módulosresistentes.Peso propio del perfil: PP = 12.90 Kg/m; Mp-p= PP. L2 / 8 = 12.90 x 42 / 8 = 25.80Kg-m.El nuevo módulo resistente será: Zmin = ( 78.000+2580)/1.400 = 57.58 cm3 , cumple. 73
  • 74. - Verificamos ahora por corte:Usando la fórmula aproximada: ACT EN = 900Kg / [(14-2x0,69)x0,47] = 151.73 Kg/cm2 ≤ adm = 1.000 Kg/cm2 , cumple. - Finalmente verificamos por deflexión o flecha:Para hacerlo de forma rápida usaremos el método de superposicón. Como la condiciónde flecha máxima exigida, ocurre en el centro del tramo, sumaremos en ese punto elefecto de la deflexión de una carga rectangular más el de una carga triangularrespectivamente:Jcentro = 1 [5x 2x 4004 + 5x 3.75x 4004]; las cargas “q” en Kg/cm y L en cm. EI 384 768E = 2.10x 106 Kg/cm2IPE 140, I = 541 cm4Jcentro = 1.14 cmLa deflexión permitida es: L / 400 = 400/400 = 1 cmLa flecha en el centro es superior que la permitida, por lo que no satisface la condiciónde rigidez. Se deberá escoger el perfil inmediatamente superior que es el IPE 160, sinverificar nada más, puesto que las condiciones anteriores, este nuevo perfil, las cumpleaún más ampliamente que el anterior. 74
  • 75. CAPÍTULO VII PROBLEMAS DE DEFORMACIÓN EN VIGAS.7.1- MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN. 7.1.1- Para la Viga mostrada escriba la Ley de Momentos.Por relación de triángulos90 = Y1 Y1 = 30 (X-3) X-3R1 = 30 (X-3) (X-3); b = 1 (X-3) 2 3La ley de momentos será:M(X) = Ay ∙ X – MA – 100 X - 1,5 - 30 (X-3) (X-3) . (X-3) 2 3 3M(X) = Ay ∙ X – MA – 100 X - 1,5 - 5 X-3 7.1.2- Para la viga mostrada, calcule la flecha debajo de la carga “P” y el valor delgiro en el apoyo “1”, Considere “E ” constante. Estableciendo el sistema de referencia xy, con origen en 1. La figura muestra el D.C.L. para la sección x-x situada en el primer tramo 1-X de la viga. La Ley de momentos será: ^ M(x)= R1∙ X La figura muestra el DCL para la Sección y-y, en el segundo tramo 1-Y de viga. La Ley de momentos es: M(x)= R1 ∙ X – P ∙ (x-a) 75
  • 76. Unificamos la Ley de Momentos en una sola ecuación:M(x) = R1∙X – Px-a〉; con la salvedad de que:〈x-a〉= 0; si x ≤ aLa ecuación diferencial de la elástica será:1- E dy2 = M(x) = R1∙x – P〈x-a〉 dx2Primera Integración:1- E dy = R1∙x2 – P 〈x-a〉2 + C1 (Ecuación de giro “Ө”) dx 2 2Segunda integración: 32- E y = R1∙x – P 〈x-a〉+ C1∙X + C2 (Ecuación de la flecha “y”) 3 6 6A continuación escribimos las condiciones de borde o frontera cinemática, observandola curva elástica de la figura inicial (curva segmentada).1- x=0 2- x=L y=0 y=0Para poner a R1 en función de P:∑M2 = 0 L ∙ R1 - b∙P = 0 R1 = P∙b LSustituimos la condición de borde “1” (condición de flecha), en la ecuación No 02 deflechas: C2 = 0Sustituimos la condición de borde “2”, en la misma ecuación.0 = P∙b ∙ L3 – P (L-a)3 + C1∙ L C1 = P (b3 – b ∙L2) L 6 6 6LPara encontrar la flecha en el punto 3, sustituimos en la ecuación de flecha No 02, elvalor de x = aE ∙y3 = P∙b ∙ a3 – 0 + P (b3-b∙L2)∙ a L 6 6L 76
  • 77. E ∙y3 = P∙b∙a (a2 + b2 – L2) = P∙b∙a a2 + b2 – (a2 + b2 + 2∙ab 6L 6LY3 = - P∙b2∙a2 El signo menos significa que baja 3 E ∙LEl giro en A, se encuentra sustituyendo x = 0, en la ecuación “1” (ecuación de giro).E ∙ dy = E ∙өA = 0 – 0 + P (b3 – b∙L2) dx 6LөA = - P∙b (L2-b2) El signo menos significa que el giro es horario. 6∙E ∙L 77
  • 78. 7.2- MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS. 7.2.1- Para la viga en cantiliver mostrada, formada por dos segmentos de diferentesinercias, determine usando el método de Área de Momentos, la deflexión vertical y ladesviación angular del extremo libre “B”, considere E = 7,5 x 105 Kg/cm2 . Giro en “B” өB/A = 1 (Área)AB E = 1 (-75 – 37,5)15 + 1 (-187,5 x 15) E 2 E 2 = 1 (-843,75 – 1.406,25) E өB/A = - 0,003 rad Deflexión Vertical de B: ƚB/A = JB _ JB = 1 (Area)AB ∙ XB ; EI JB =1. [-37,5x15x32,5–37,5x15x35–187,5x15x 20] EI 2 2 JB = - 56.250 ; JB = 0,075 cm E7.2.2- Calcular la deflexión vertical a “A”, usando el método de Área momentos y diagramas demomentos por partes. Considere E constante. Fig. 3.3.b. La fig. 3.3.a. muestra el diagrama de momentos por partes respecto de “C”. _ ƚ A/C = 1 (Area) ∙ yA = 1 x 1 x 8 (-960) x 6 1 AC E E 3 Fig. 3.3.a ƚ A/C = - 15.360 / E.I. 78
  • 79. _ ƚ A/C =1 ∙ XA = 1 x 1∙ 4 x (240) = 320 x 7 E E 3 E JA = ƚ A/C + ƚ A/C = -15.360 + 2.240 ; JA =13.120 E E La fig. 3.3.b. muestra los diagramas de momentos por partes respecto el punto“B”, tomando en cuenta todas las fuerzas que hacen momento en ese punto, incluyendoRc. Con este diagrama se podría calcular la desviación de “B” con respecto de “C”, esdecir lo que baja “B”. 7.3.3- En el siguiente marco elástico, calcule el desplazamiento vertical de lospuntos “3” y “4” y el desplazamiento horizontal de “2” solo por flexión, en función de EI.Usando el método de Área de momentos, calculamos D2h: _D2h = ƚ2/1 = 1 ∙ (Area)1,2 ∙ X2 = P∙L ∙ 1,2 L ∙ 1,2 L E 2E 2D2h = 0,36 P∙L3 EConsiderando que la unión entre miembros es indeformable, es decir conserva laortogonalidad: 79
  • 80. D3V = ƚ3/2 + ө2 ∙ L _ƚ3/2 = 1 . (Área)2,3 ∙ X3 = 1 ∙ P∙L2 . 2.L = P∙L3 E E 2 3 3∙Eө1,2 = ө2 = 1 . (Área)1,2 = P∙L . 1,2 L = 0,60 P∙L2 E 2E ED3V = ƚ3/2 + ө2 ∙ L = P.L . L . 2. L + ө2. L = P∙L3 + ө2 ∙ L ; D3V = 0.93. P. L3 E.I. 2 3 3.E.I E.I.Lo que baja el punto 4 es igual a lo que baja el punto 3, dado que no se estánconsiderando deformaciones por fuerza axial en el miembro 3,4. Cabe destacar que lasdeformaciones son muy pequeñas, y están representadas en los gráficos de maneraexagerada: D3V = D4V = 0.93. P. L3 E.I. 80
  • 81. 7.3- MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN. 7.3.1- Determine usando los métodos de Área Momento y Superposición la flechaen el centro “B” de la viga mostrada. “EI” constante. El momento flector en “B” será: M = q∙L . L – 1q . L . 2 . L = q∙L2 – q∙L2 = q∙L2 4 2 2 2 3 2 8 12 24 q . L . 1 . L = - q∙L2 2 2 3 2 24Por Área de Momentos: a continuación se muestran los diagramas de momentos porpartes respecto “C”: _ ƚC/B = 1 (Area)BC ∙ XC EI ƚC/B = 1 . [q∙L2 . L . L – 1 . L . q∙L2 . 1 . L E 24 2 4 4 2 24 5 2 ƚC/B = 1 [ q∙L4 – q∙L4 ] = q∙L4 . 0,004687 E 192 1.920 EAhora por Superposición: JB = - ƚC/B = -q∙L4 . 0,004687 (B baja) E f f f f Tabla 6-2 f1 = - 5 q∙L4 384 E f JB = - 5 q∙L4 + q∙L4 384 E 120 E f2 = q∙L4 JB = - q∙L4 . 0,004687 f 120 E E 81
  • 82. CAPÍTULO VIII PROBLEMAS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS.8.1- CALCULO DEL GRADO DE INDETERMINACIÓN DE VIGAS. 8.1.1- Para la viga mostrada a continuación:a- Determine el grado de Hiperestaticidad.b- Trace la curva elástica.c- Establezca las condiciones de borde.d- Escriba la Ley de Momentos.a- Número de Reacciones =6 Ecuaciones de Equilibrio = -3 (∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Ma=0) Izq Der Ecuación en el perno = -1 (∑Mb ò ∑Mb) GI = 2 (grado de indeterminación)b- La curva elástica es la línea segmentada en la figura de arriba.c- De acuerdo con el sistema de referencia “xy” mostrado, las condiciones de borde son:1- X=1, Y=0 2- X=6; Y=0 3- X=10; Y=0 4- X=14; Y=0 5- X=14; ө=0d- La ley de momentos es: M(X)= -100 ∙ X2 + Ay X-1 + Cy X-6 + Dy X-10 2 82
  • 83. 8.2- CALCULO DE REACCIONES POR EL MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN. 8.2.1- Calcular las Reacciones Externas en A y B de la Viga mostrada, por elmétodo de doble integración.A continuación se presenta el diagrama de cuerpo libre y la curva elástica de la viga:cabe destacar que se incorporo el valor de la carga ficticia q 3, para contrarrestar elefecto de q1. La parte punteada de la carga q1, resulta de la aplicación de la Ley de momentosde esta carga, la cual se interrumpe antes del final de la viga. La colocación de la cargaficticia q3, se hace como artificio matemático para contrarrestar la prolongación tambiénficticia que la fórmula hace de la carga q1.La Ecuación diferencial de la elástica será:E dy2 = M(X) = Ay ∙ X – MA – 1.000 X2 + 1.000 X - 2 2 – 1.500 X - 4 2 dx 2 2 2Ecuación del giro: 1- E dy = Ay ∙ x2 – MA ∙ X - 1.000 X3 + 1.000 X - 2 3 – 1.500 X - 4 3 + C1 dx 2 6 6 6 83
  • 84. Ecuación de la flecha: 2- E y = Ay ∙ X3 – MA ∙ X2 - 1.000 X4 + 1.000 X - 2 4 – 1.500 X - 4 4 + C1X + C2 6 2 24 24 24Las condiciones de borde se establecen observando la curva elástica: 1- X = 0; y = 0 2- X = 0; ө = 0 3- X = 6m; y = 0 Dado que la viga tiene 4 reacciones externas, y solo disponemos de 3ecuaciones de equilibrio, el elemento es hiperestático de grado 1. Es decir, tiene unareacción sobrante o redundante. Por lo tanto son necesarias las 3 condiciones de bordeencontradas, dos de las cuales se usarán para encontrar C1 y C2, mientras que latercera generará la ecuación adicional que necesitamos para encontrar las 4 reaccionesexternas.Con 1- X = 0; y = 0 en la ecuación No. 2 C2 = 0Con 2- X = 0; ө = 0 en la ecuación No. 1 C1 = 0Con 3- X = 6m; y = 0 en la ecuación No. 2:(A) 0 = Ay ∙ 63 – MA (6)2 – 1.000 (6)4 + 1.000 (6 - 2)4 – 1.500 (6 - 4)4 6 2 24 24 24De esta manera tendremos las cuatro ecuaciones necesarias: A- 36 Ay – 18 MA – 65.666.67 = 0 B- ∑MA 0 = ; MA – 1.000 ∙ 22 – 1.500 ∙ 2 ∙ 5 + By ∙ 6 = 0 2 C- ∑Fy = 0 ; Ay – 2 ∙ 1.000 – 2 ∙ 1.500 + By = 0 Resolviendo el sistema: Ay = 2.634,26 Kg MA = 2.805,56 Kg.m By = 2.365,74 Kg. La última: D - ∑Fx = 0; Ax = 0Cabe destacar que las ecuaciones de equilibrio B,C y D se realizan con las cargasreales, no con las ficticias, aunque si se tomaran en cuenta, el resultado sería elmismo. 84
  • 85. 8.2.2- Resolver la siguiente viga Hiperestática, por doble integración.Por el método de doble integración hacemos el diagrama de cuerpo libre:Hay 5 reacciones, sin contar las horizontales, que son cero, menos las dos de equilibriodisponibles, se tienen que generar tres ecuaciones adicionales de deformación, igualesal grado de indeterminación.Función de Singularidad o ley de momentos: 2E . dy = M(x) = MA + RA ∙ X – 1.000 X + RB〈x – 12〉+ 1.000〈x - 12〉 2 2 dx2 2 2Primera integración: 2 3E . dy = ʃ M(x) = MA . X + RA ∙ X – 1.000 . X + RB〈x – 12〉+ 1.000 〈x - 12〉+ C1 2 3 dx 2 6 2 6Segunda integración: 3 4E ∙ Y = ʃ ʃ M(x) = MA∙X + RA∙ X – 1.000∙X + RB 〈x - 12〉+ 1.000〈x - 12〉+ C1∙X + C2 2 3 4 2 6 24 6 24Condiciones de Frontera: son cinco, tres por el GI, más dos para encontrar C1 y C2 85
  • 86. (1) Para: X = 0 dy = 0 C1 = 0; (2) Para: X = 0 Y=0 C2 = 0 dx(3) Para: X = 20 dy = 0 20 MA + RA∙(20)2 – 1.000∙(20)3 + RB . 82 + 1.000 ∙ 83 = 0 dx 2 6 2 6MA 20 MA + 200 RA – 1.333.333,33 + 32 RB + 85.333,33 = 0Ecuación ①: 20 MA + 200 RA + 32 RB – 1.248.000 = 0(4) Para: X = 12, Y = 0 122 MA + 123 RA – 1.000 (12)4 = 0 2 6 2472 MA + 288 RA – 864.000 = 0 ②(5) Para: X = 20, Y = 0 202 MA + 203 RA – 204. 1.000 + RB . 83 + 1.000.84 2 6 24 6 24200 MA + 1.333,33 RA – 6.666.666,67 + 85,33 RB + 170.666,67 = 0200 MA + 1.333,33 RA + 85,33 RB – 6.496.000 = 0 ③Con las ecuaciones ①, ② y ③ encontramos:MA = - 14.400 Kg-mRA = 6.600 KgRB = 6.750 KgCon las restantes ecuaciones de equilibrio se calculan las reacciones faltantes:∑Mc = 0; Mc = 3.600 Kg-m∑Fy = 0; Rc = - 1.350 Kg. 86
  • 87. 8.3- CÁLCULO DE REACCIONES POR EL MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS 8.3.1- Resolver la viga del problema anterior (8.2.2), por el método de área demomentos. Procedemos a elaborar el diagrama de momentos por partes de la viga, respecto del punto “B”. De esta manera se pueden establecer las siguientes condiciones de deformaciones compatibles, de acuerdo a la elástica: 1- ƚB/A = 0 2- ƚB/C = 0 3- өC/A = 0 Buscando en las tablas respectivas: 1- ƚB/A = 0 = 1 [ 122 MA + 122 RA . 1 . 12 – 1 . 12 ∙ 72.000 . 1 . 12 ] =0 ① E 2 2 3 3 4 2- ƚB/C = 0 = 1 [ 82. Mc + 82 Rc . 1 . 8 ] = 0 ② E 2 2 3 3- өC/A = 0 = 1 [ 122 RA + 12 M1 – 1x12 ∙ 72.000 + 8 MC + 82 RC ] = 0 ③ E 2 3 2Con estas tres ecuaciones más las de equilibrio se encuentran todas las reacciones. 87
  • 88. 8.4- CÁLCULO DE REACCIONES POR EL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN. 8.4.1- Resolver la viga del problema (8.2.2), por el método de superposición. Se decide considerar como reacciones redundantes a Rb, Rc y Mc, de estamanera se utilizaran las tablas de superposición correspondientes a las vigas encantiliver. Las tres reacciones redundantes se asumen ahora como fuerzas externasaplicadas a la estructura, junto con las dadas inicialmente, de esta manera se generancuatro casos de carga, tal como se grafican a continuación: - La condición de deformación asociada con la reacción Rc, es la flecha: JC =yc =0① J1C = q∙L4+ 8. q∙L3 = 1.000 x 124 + 8.1.000 ∙ 123 8E 6E 8E 6E② J2C = RB (12)3 + 8.RB(12)2 ò J2C = RB . R2 (3∙20 -12) 3E 2E 6E③ J3C = RC∙L3 3E④ J C = M ∙ L2 = MB∙(20)2 4 2E 2E 88
  • 89. De esta manera se genera la ecuación: a- JC = - J1C +J2C +J3C +J4C = 0- La condición de deformación asociada con la reacción Rb, es la flecha: JB = yb = 0 1 2 3 4① JB = 1.000 x 12 4 ② JB = RB ∙ 12 3 ③ JB = Rc ∙ (12) . (3x20-12) ④ JB = MB∙122 2 8E 3E 6E 2EDe esta manera se genera la ecuación: b- JB = - J1B +J2B +J3B +J4B = 0- La condición de deformación asociada con la reacción Mc, es el giro: өC = 0 1 2 3 4① өC = MC ∙ 20 ② өC = RB∙122 ③ өC = RC∙202 ④ өC = MB 20 E 2E 2E EDe esta manera se genera la ecuación: c- өC = - ө1C +ө2C +ө3C +ө4C = 0Con estas tres ecuaciones más las de equilibrio, se calculan las reacciones externas:Se resuelve el sistema y resulta: RB = 6.750 Kg. RC = - 1.350 Kg. MC = 3.600 Kg-m Por: ∑Fy = 0; RA = 6.600 Kg ∑MA = 0; MA = -14.400 Kg-m 89
  • 90. 8.5- VIGAS INCLINADAS. 8.5.1- Para la viga mostrada a continuación, inclinada 30o con la horizontal y cargasverticales:a- Calcule las reacciones externas en los apoyos “A” y “B”.b- Trace los diagramas de fuerza axial, cortante y momento flector.Desprecie el peso propio.La viga mostrada tiene un grado de indeterminación por tener cuatro reacciones. En la fig. 8.5.a, se puede ver la viga en posición horizontal, para facilitar sucomprensión, con las componetes de las fuerzas aplicadas, perpediculares y paralelasal eje de la viga. Las fuerzas externas aplicadas generan en su interior tres fuerzas:axial, cortante y momento flector. Esta viga esta sometida a un esfuerzo combinado defuerza axial con flexión. Utilzando el método de doble integración, establecemos un sistema decoordenadas locales inclinado como la viga, cuyo origen en este caso, esta en el ladoderecho, con la finalidad de hacer que las constantes de integración C1 y C2 sean cero.Esto también se pudo lograr rebatiendo la viga, y colocando el origen a la izquierda. Lasecuaciones diferenciales son:E dY2 = - MA + Ay.X – 3.031 X - 3 - 2165 X - 4,5 > + RB X - 6 dx2 2 2 2 21- E dY = - MA.X + Ay . X – 3.031 X - 3 – 2.165 X – 4,5 + RB X – 6 + C1 dx 2 2 2 2 90
  • 91. 3 3 32- E Y= - MA.X2 + Ay.X3 – 3.031 X – 3 - 2.165 X – 4,5 + RB X – 6 + C1X+C2 2 6 6 6 6Las condiciones de borde las podemos sacar, de la curva elástica que aparece comouna línea segmentada en la fig. 8.5.a y son:(1) X=0, Y=0, (2) X=0, y=0, (3) X=6, Y=0Sustituyendo la condición (1) en la ecuación (2) de arriba: C2 = 0Sustituyendo la condición (2) en la ecuación (1) de arriba: C1 = 0Sustituyendo la condición (3) en la ecuación (2) de arriba: 3 3 2 3E Y= - MA.6 + Ay.6 – 3.031 6 – 3 - 2.165 6 – 4,5 = 0 2 6 6 6Resultando la siguiente ecuación: -18 MA + 36 Ay – 14.857.31 = 0 1Por sumatoria de momentos en A: - MA + 3.031x3 + 2.165x 4.5 - 6RB +1.300x 7.50=0 2Por sumatoria de fuerzas en el eje “Y” (perpendiculares a la viga); RB + Ay – 6.496 =0 3Resolviendo el sistema de tres ecuaciones resulta:MA = 3.957,14 Kg-m, Ay = 2.391,27 Kg, RB = 4.104,73 KgPor sumatoria de fuerzas en el eje “X”, (paralelas a la viga): Ax – 1.750– 1.250– 750 =0 Ax = 3.750 Kg.Conocidas las reacciones, los diagramas respectivos se construyen por elprocedimiento normal, de izquierda a derecha bajo la misma convención de signos.Obsérvese que el diagrama de fuerza axial indica que la viga tiene tracción variable entodo su desarrollo, de tal manera que se encuentra bajo la acción de esfuerzos deFlexo-tracción, y el procedimiento de cálculo para este caso, es el de elementos 91
  • 92. sometidos a esfuerzos combinados, los cuales están fuera del alcance del presentetrabajo. Fig.8.5.a 92
  • 93. BIBLIOGRAFIAARIAS, Fidias G. (2.001). Mitos y errores en la elaboración de Tesis y Proyectos de Investigación. Editorial Episteme, c.a., Caracas, Venezuela.BEER, Ferdinand ; JOHNSTON, Russell (1.994). Mecánica de Materiales. Editorial MacGraw Hill, MéxicoGERE, James M, ( 2.006). Mecánica de Materiales. Thomson Editores, S.A. México. D.F.GREEN, Lenny (2000). El Proyecto Factible. Modelo metodológico para elaboración de trabajos de grado. Universidad de Carabobo. Valencia, VenezuelaIBÁÑEZ, Francisco E, (2.001). Problemas de Resistencia de Materiales para Estudiantes de ingeniería. Publicaciones Ingeniería U.C. Valencia, Venezuela.MORLES, Victor (1992). Planteamiento y Análisis de Investigaciones. El Dorado Ediciones. Caracas, Venezuela.POPOV, Egor P. (1.978). Mecánica de Sólidos. Editorial Limusa. México.RODRÍGUEZ, Fernando; AZCUNAGA Avial. (1.970). Problemas de Resistencia de Materiales. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid, España.SAMPIERI H., Roberto y Otros. (1996). Metodología de la Investigación. Editorial MacGraw Hill, México.SINGER, Ferdinad L. (1.982). Resistencia de Materiales. Ediciones Harla S.A.de c.v. Mexico. 93
  • 94. ANEXOS 94
  • 95. ANEXO ATABLA DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS DE MÉNSULAS. Fuente Resistencia de materiales, Singer (1971), Harla S.A. 95
  • 96. ANEXO BFuente: http://es.wikipedia.org/wiki/pendientes_y_deformaciones_vigas 96
  • 97. ANEXO BFuente: http://es.wikipedia.org/wiki/pendientes_y_deformaciones_vigas 97
  • 98. ANEXO BFuente: http://es.wikipedia.org/wiki/pendientes_y_deformaciones_vigas 98
  • 99. ANEXO BFuente: http://es.wikipedia.org/wiki/pendientes_y_deformaciones_vigas 99
  • 100. ANEXO BFuente: http://es.wikipedia.org/wiki/pendientes_y_deformaciones_vigas 100
  • 101. ANEXO BFuente: http://es.wikipedia.org/wiki/pendientes_y_deformaciones_vigas 101
  • 102. ANEXO BFuente: http://es.wikipedia.org/wiki/pendientes_y_deformaciones_vigas 102
  • 103. ANEXO BFuente: http://es.wikipedia.org/wiki/pendientes_y_deformaciones_vigas 103
  • 104. ANEXO BFuente: http://es.wikipedia.org/wiki/pendientes_y_deformaciones_vigas 104
  • 105. ANEXO CPERFILES IPN Fuente: http:/www.hierrobeco.com 105
  • 106. ANEXO CPERFILES IPE Fuente: http:/www.hierrobeco.com 106
  • 107. ANEXO CPERFILES HEA. Fuente: http:/www.hierrobeco.com 107
  • 108. ANEXO CPERFILES HEB. Fuente: http:/www.hierrobeco.com 108
  • 109. ANEXO CPERFILES ELECTROSOLDADOS PROPERCA Tf Tf Tf = Espesor de las alas. d = Altura total del perfil h h = Altura interior del perfil d h d Tw = Espesor del alma. Tw Bf = Ancho del perfil o del ala Tw Fy = 2530 kgf/cm 2 Bf Bf VP CP Fu = 4080 kgf/cm 2 Dimensiones Sección Total Designación Torsión Alma Ala Area Eje X-X Ele Y-Y Serie d x Peso tw bf tf A Ix Sx rx Zx Iy Sy ry Zy J Cw cm mm x kgf/m mm cm² cm4 cm³ cm cm³ cm³ cm cm³ cm4 cm6 4 Vp 100 x 5.35 2.1 80 3.00 6.82 128 25.6 4.33 - 26 6.4 1.94 2.16 0.17 602 Vp 120 x 9.70 3.0 100 4.5 12.3 335 55.7 5.21 61.2 75 15.0 2.47 22.7 0.700 2500 Vp 140 x 12.4 3.0 100 6.0 15.8 592 84.5 6.11 92.7 100 20.0 2.51 30.3 1.52 4490 Vp 160 x 16.4 6.0 100 6.0 20.9 874 109 6.47 125 100 20.0 2.19 31.3 2.52 5930 Vp 180 x 17.7 4.5 125 6.0 22.6 1310 146 7.43 162 195 31.3 2.94 47.7 2.29 14800 Vp 200 x 24.1 4.5 125 9.0 30.7 2280 228 8.62 252 293 46.9 3.09 71.2 6.44 26700 Vp 250 x 29.4 4.5 150 9.0 37.4 4390 351 10.8 386 506 67.5 3.68 102 7.80 73500 Vp 300 x 41.3 6.0 150 12.0 52.6 8520 568 12.7 633 676 90.1 3.58 138 18.7 140000 Vp 350 x 48.3 6.0 175 12.0 61.6 13700 785 14.9 869 1070 123 4.17 187 21.9 306000 Vp 400 x 55.4 6.0 200 12.0 70.6 20700 1040 17.1 1140 1600 160 4.76 243 25.1 602000 Vp 420 x 65.7 9.0 200 12.0 83.6 24600 1170 17.2 1330 1600 160 4.38 248 32.4 666000 Cp 80 x 3.98 2.15 80 2.15 6.39 78 19.6 3.50 - 26 6.4 2.00 2.19 0.17 379 Cp 140 x 25.5 6.0 140 9.0 32.5 1170 168 6.00 187 412 58.8 3.56 89.3 7.55 17700 Cp 160 x 29.3 6.0 160 9.0 37.3 1790 223 6.92 248 615 76.8 4.06 117 8.67 35000 Cp 180 x 33.1 9.0 180 9.0 42.1 2580 287 7.83 316 875 97.2 4.56 147 9.78 64000 Cp 200 x 50.1 9.0 200 12.0 63.8 4660 466 8.54 521 1600 160 5.01 244 27.0 141000 Cp 220 x 55.3 9.0 220 12.0 70.4 6280 571 9.44 636 2130 194 5.50 294 29.8 230000 Cp 240 x 60.4 9.0 240 12.0 77.0 8250 687 10.4 762 2770 231 6.00 350 32.6 359000 Cp 260 x 65.7 9.0 260 12.0 83.6 10600 815 11.3 900 3520 271 6.48 410 35.4 540000 Fuente: http:/www.hierrobeco.com 109
  • 110. ANEXO CPERFIL ESTRUCTURAL ECO CONDUVEN CIRCULAR Materia Prima: Astm – A – 500 Grado C Esfuerzo De Fluencia Fy = 3.515 Kg /cm2. e x D Flexión F6 = 0.72 X Fy. Longitud 12 metros Y Recomendado como Columnas, por soportar grandes cargas axiales. Norma Covenin 2063-99 DIMENSIONES SECCIÓN PROPIEDADES ESTÁTICASDIÁMETR mm PESO l S r A O D e kgf/m cm 4 cm³ cm Pulg. cm² 3 76.2 2.25 5.2 4.10 4.10 9.4 2.6 3 1/2 88.9 2.25 6.1 4.81 4.81 12.9 3.1 4 1/2 114.3 2.50 8.8 6.89 6.89 24.0 4.0 5 127.0 3.00 11.7 9.17 9.17 35.4 4.4 5 1/2 139.7 3.40 14.6 11.43 11.43 48.4 4.8 6 152.4 4.00 18.6 14.64 14.64 67.4 5.2 6 5/8 168.3 4.30 22.2 17.39 17.39 88.5 5.8 7 5/8 193.7 4.50 26.7 20.99 20.99 123.6 6.7 8 5/8 219.1 5.50 36.9 28.97 28.97 192.2 7.6 9 5/8 244.5 5.50 41.3 32.41 32.41 241.3 8.5 9 5/8 244.5 7.00 52.2 41.00 41.00 301.4 8.4 10 3/4 273.1 7.00 58.5 45.93 45.93 379.4 9.4 10 3/4 273.1 9.00 74.7 58.61 58.61 477.1 9.3 12 3/4 323.9 9.00 89.0 69.88 69.88 681.8 11.1 12 3/4 323.9 11.00 108.1 84.87 84.87 817.9 11.1 Fuente: http:/www.hierrobeco.com 110
  • 111. ANEXO C PERFIL ESTRUCTURAL ECO CONDUVEN RECTANGULAR y Materia Prima: Astm – A – 500. Grado C Esfuerzo De Fluencia Fy = 3.515 kg. + /cm2. R X Fb = 0.72 X Fy. H=Be Recomendado Como Vigas Para Grandes Momentos; Cargas Axiales Moderadas Y Valores (Kl) Pequeños. Norma Covenin 2063-99 y B Longitud: 12 metros SECCIÓ DIMENSIONES N PROPIEDADES ESTÁTICAS PESO mm HXB lx Sx rx Ly Sy ry A kgf/ mm e r m cm4 cm cm cm cm3 cm cm² 80 x 40 2.25 3.38 5.02 3.94 40.61 10.15 2.84 13.84 6.92 1.66 100 x 40 2.25 3.38 5.92 4.65 71.37 14.27 3.47 17.05 8.53 1.70 120 x 60 2.50 3.75 8.54 6.70 159.29 26.55 4.32 54.67 18.22 2.53 140 x 60 3.00 4.50 11.33 8.89 274.27 39.18 4.92 73.46 24.49 2.55 160 x 65 3.40 5.10 14.44 11.34 449.65 56.21 5.58 110.41 33.97 2.77 180 x 65 4.00 6.00 18.41 14.45 697.99 77.55 6.16 140.88 43.35 2.77 200 x 70 4.30 6.45 21.85 17.15 1016.19 101.62 6.82 194.94 55.70 2.99 220 x 90 4.50 6.75 26.39 20.72 1561.83 141.98 7.69 388.34 86.30 3.84 260 x 90 5.50 8.25 36.25 28.46 2844.82 218.83 8.86 536.10 119.31 3.85 300 x 100 5.50 8.25 41.75 32.77 4366.42 291.09 10.23 777.00 155.40 4.31 300 x 100 7.00 10.50 52.36 41.10 5360.46 357.36 10.12 943.61 188.72 4.25 1512.2 320 x 120 7.00 10.50 57.96 45.50 7032.23 439.51 11.02 252.04 5.11 4 1841.3 320 x 120 9.00 13.50 73.18 57.45 8654.16 540.89 10.87 306.88 5.02 1 13546.1 4418.3 350 x 170 9.00 13.50 87.58 68.75 774.06 12.44 519.80 7.10 0 0 15966.4 5179.0 350 x 170 11.00 16.50 105.41 82.74 912.37 12.31 609.30 7.01 3 4 Fuente: http:/www.hierrobeco.com 111
  • 112. ANEXO CPERFIL ESTRUCTURAL ECO CONDUVEN CUADRADO Materia Prima: Astm – A – 500 Grado C Esfuerzo De Fluencia Fy = 3.515. KG.F/cm2 Y Fb = 0.69 x Fy. R Recomendado como Columna, para cargas axiales X H=B grandes, momentos moderados y (KL)grandes.e Norma Covenin 2063-99 Y Longitud 12 Metros. B SECCIÓN PROPIEDADES DIMENSIONES PESO ESTÁTICAS HXB mm A l S r kgf/m mm e r cm² cm 4 cm³ cm 60 x 60 2.25 3.38 5.02 3.94 27.40 9.13 2.34 70 x 70 2.25 3.38 5.92 4.65 44.60 12.74 2.74 90 x 90 2.50 3.75 8.54 6.70 107.46 23.88 3.55 100 x 100 3.00 4.50 11.32 8.89 175.10 35.02 3.93 110 x 110 3.40 5.10 14.10 11.07 263.04 47.82 4.32 120 x 120 4.00 6.00 18.01 14.14 397.30 66.22 4.70 135 x 135 4.30 6.45 21.85 17.15 612.27 90.71 5.29 155 x 155 4.50 6.75 26.39 20.72 982.43 126.77 6.10 175 x 175 5.50 8.25 36.25 28.46 1709.23 195.34 6.87 200 x 200 5.50 8.25 41.75 32.77 2597.67 259.77 7.89 200 x 200 7.00 10.50 52.36 41.10 3194.10 319.41 7.81 220 x 220 7.00 10.50 57.96 45.50 4314.30 392.21 8.63 220 x 220 9.00 13.50 73.18 57.45 5317.27 483.29 8.52 260 x 260 9.00 13.50 87.58 68.75 9038.52 695.27 10.16 260 x 260 11.00 16.50 105.41 82.74 10656.87 819.76 10.06 Fuente: http:/www.hierrobeco.com 112
  • 113. ANEXO D.Fuente: POPOV, Egor P. (1.978). Editorial Limusa. México 113
  • 114. 114