Funciones inversa expo log tri princ

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Funciones inversa expo log tri princ

  1. 1. Funciones Rosa Margarita López UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO Recinto de Ponce Departamento de Estudios Graduados
  2. 2. Funciones II Funciones Inversas Funciones Exponenciales Funciones Logarítmicas Funciones Trigonométrica Inversas
  3. 3. Funciones Inversas 3
  4. 4. 4 • Definir la inversa de una función. • Verificar si dos funciones son inversas. • Trazar la gráfica de la inversa de una función. • Dada la tabla de valores de una función, encontrar los valores de la inversa. • Encontrar la inversa de una función algebraicamente. Objetivos
  5. 5. 5 Def. Una función f se dice que es uno a uno si, para cualquiera números x1 y x2, x1  x2 , en el dominio de f, tenemos que f (x1)  f (x2). Ejemplos: Determina si las funciones son 1-1. La función es uno a uno. 2. {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1)} La función no es uno a uno. 1. {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}
  6. 6. 6 Teorema: Prueba de la línea Horizontal. Si alguna línea horizontal interseca la gráfica de una función f en más de un punto, entonces f no es una función 1- 1.
  7. 7. 7 500 100 f x( ) 2015 x 10 0 10 20 500 Ej. Use la gráfica para determinar si la función es 1-1.
  8. 8. 8 Def. Sea una función uno a uno. Decimos que es es la función inversa de si y para todo en el dominio de y todo en el dominio . )(xf ( )g x )(xf  ( )f g x x  ( )g f x x x Denotamos la inversa de por . )(xf x ( )g x )(xf 1 ( )f x Nota:  1 a. ( )f f x x   1 b. ( )f f x x 
  9. 9. 9 Dominio de f Alcance de f 1 deAlcance  f 1 deDominio  f f 1 f 1 1 deDominiodeAlcance deAlcancedeDominio     ff ff
  10. 10. 10 ¿Cuándo una función tiene una función inversa? • Considere la siguiente función: • Halla su función inversa: x 3 2 -2 4 7 5 10 2 3 4 -1 6 8 -3 xf 1 x 2 3 4 -1 6 8 -3 3 2 -2 4 7 5 10 xf
  11. 11. 11 Teorema: La gráfica de una función f y la gráfica de su inversa son simétricas con respecto a la línea identidad y = x. f 1
  12. 12. 12 2 0 2 4 6 2 2 4 6 f f 1 y = x (2, 0) (0, 2)
  13. 13. 13 Ej. Verificar si las funciones son inversas.     3,3)1 1   xxfxxf    xff 1  3xf   33  x 33 x x    xff 1  31  xf 33 x x
  14. 14. 14     3 2 g,23)2 1-   x xxxg    xgg 1        3 2x g 2 3 2 3         x 22 x x    xgg 1  231  xg   3 223   x x
  15. 15. 15 Ej. Construir la tabla de la función inversa. x -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -8 -4 1 3 7 10 x -10 -8 -4 1 3 7 10  xf 1  xf 6 4 2 0 2 4 6
  16. 16. 16 3 5   x y 3 5   y x 53  xxy 53  xxy x x y 53   x x xf 53 )(1   Ej. Halla la inversa def x x x( ) ,   5 3 La función es 1-1. 3 .
  17. 17. 17 inversas.son 3 5 )(y 53 )(siVerifica     x xg x x xf         3 5 ))(( x fxgf 3 5 5 3 5 3          x x 3 3 3 5 5 3 5 3             x x x x
  18. 18. 18 3 3 3 5 5 3 5 3             x x x x   5 3515   x x x  5 5         x x gxfg 53 ))(( 3 53 5    x x x x x x     3 53 5 xx x 353 5   x x  5 5
  19. 19. 19 Ej. Encuentra la función inversa de: 3 5 1. 3 6 2. 1 3. ( ) 2, 2 4. ( ) 10 y x y x f x x x g x x         
  20. 20. Función Logarítmica
  21. 21. Objetivos • Reconocer y analizar las funciones logarítmicas • Estudiar sus gráficas. • Aplicar dichas funciones a la solución de problemas.
  22. 22. Tabla de contenido Definición de logaritmo Logaritmo natural Funición inversa exponencial Escribir ecuaciones logarítmicas como ecuaciones Determinar logaritmos comunes y naturales Función inversa logaritmo Evaluar logaritmos Logaritmo común Dominio y alcance de la función logaritmo Gráficas de funciones logarítmicas con base mayor que 1 Ecuaciones logarítmicas Problemas de Aplicación Gráficas de funciones logarítmicas con base menor que 1 Selecciona el tema que trabajarás Leyes de los logaritmos
  23. 23. Logaritmos El logaritmo de x con base b está definido por: Ej.       4 3 0 7 -2 1/ 3 1 5 log 81 4; 3 81 log 1 0; 7 1 1 log 9 2; 81 3 log 5 1; 5 5                 
  24. 24. Escribir ecuaciones logarítmicas como ecuaciones exponenciales y viceversa • La ecuación exponencial es de la forma donde base exponente argumentoo resultado Presiona aquí para continuar Si observas la base 2 en la forma exponencial se escribe un poco más abajo del logaritmo, el resultado se escribe al lado del logaritmo y el exponente fuera. Es muy distinto a la forma exponencial. Entonces si tenemos 24 = 16 en forma exponencial al escribirla en forma logarítmica es así: log2 16 = 4 b c = a Forma logarítmica logb a = c
  25. 25. Ejemplos Ej. Resuelve cada ecuación 2log 5x  5 2 32x   27log 3 x 3 27x  3 3 3 x  1 3x 1 3 x  m n a a m n  
  26. 26. Escribir ecuaciones logarítmicas como exponenciales y viceversa Intenta lo siguiente: Selecciona la respuesta correcta . 1. La forma exponencial del log10 10 = 1 es: a. 1010 = 1 b. 110 = 10 c. 101 = 10 2. La forma logarítmica de 33 = 27 es: a. log3 27 = 3 b. log27 3 = 3 c. log3 3 = 27
  27. 27. Notación: Logaritmo Común Logaritmo Natural 10log log ln loge x x x x   Leyes de Logaritmos 1. log log log 2. log log log 3. log log 4. log 1 0 5. log 1 b b b b b b n b b b b mn m n m m n n m n m b             Conociendo las propiedades podrás evaluar los logaritmos Presiona aquí para continuar
  28. 28. Ejemplo Utilizando las leyes de logaritmo simplifica la expresión: 7 1/2 5 5 5 5log 25 log log logx y z    7 5 25 log x y z 5 5 5 1 2 7log log log 2 x y z   
  29. 29. Evaluar logaritmos • Para evaluar un logaritmo observa el siguiente ejemplo: log4 16 = x • Puedes hacerte la siguiente pregunta: ¿ 4 elevado a qué potencia es 16? • En este momento puedes cambiarlo a forma exponencial, así: 4x = 16 4x = 42 x = 2 El 16 lo represento en forma exponencial Al ser las bases iguales los exponentes también son iguales Entonces: log4 16 = 2 Presiona aquí para continuar
  30. 30. Evaluar logaritmos Evalúa los siguientes logaritmos. a. log3 81 = b. log5 125 = c. log4 256 = d. log2 32 = Es tu turmo Presiona para verificar tus respuestas
  31. 31. Evaluar logaritmos Soluciones a. log3 81 = 4 b. log5 125 = 3 c. log4 256 = 4 d. log2 32 = 5
  32. 32. Logaritmo Común ( denominados también como logaritmos de Brigg) • La función logarítmica con base 10 se conoce como función logaritmo común. • La misma se evalúa con la tecla de en la calculadora. Para usar esta tecla, debes cambiar la base. Fórmula de Cambio de base: loga x = log10 x log10 a log
  33. 33. Logaritmo Natural ( logaritmos neperianos ) • Si x es un número real positivo, entonces el logaritmo natural de x se denota por: loge x o ln x ( la segunda notación es la más común) • Una función dada por f(x) = a + ln bx es llamada función logaritmo natural. • Ejemplo: Resuelve 2 11 10 3 x e   Presiona aquí para continuar
  34. 34. Logaritmo Natural ( logaritmos neperianos ) • Ejemplo: Resuelve 2 11 10 3 x e   2 1 30x e   2 1 ln(30)x   Aplicar ln en ambos lados ln(30) 1 1.2 2 x   
  35. 35. Determinar logaritmos comunes y naturales • Intenta tu lo siguiente: Halla el logartimo común de: a. log2 10 = b. log3 10 = c. log6 216 = d. log5 12 = e. ln 52400 f. ln 2.35 g. ln x = 2.386 Verifica tu respuesta
  36. 36. Determinar logaritmos comunes y naturales Soluciones: a.log2 10 ≈ 3.32 b.log3 10 ≈ 2.10 c.log6 216 = 3 d.log5 12 ≈ 1.54 e. ln 52400 ≈ 10.87 f. ln 2.35 ≈ 0.85 g. ln x = 2.386 Verifica tu respuesta ln x = 2.386 e2.386 = x 10.87
  37. 37. Dominio y alcance de la función logaritmo • El dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos y su rango es el conjunto de los números reales. Presiona aquí para continuar
  38. 38. Función Logarítmica  ( ) log 0, 1bf x x b b   La función logarítmica de x con base b está definida por: Propiedades: 1. Dominio: ( 0,  ) 2. Rango: ( - , ) 3. Intercepto en x: (1, 0) 4. Continua en (0,  ) 5. Creciente en (0,  ) si b > 1 6. Decresiente en (0,  ) si b < 1
  39. 39. Gráficas de funciones logarítmicas con base mayor que 1 La gráfica siempre contendrá al punto (1,0), ya que loga 1 = 0 y = loga x ( a > 1) Dominio ( 0, ∞ ) Recorrido ℝ Puntos ( 1, 0) y ( a, 1) Creciente Continua
  40. 40. Gráficas de funciones logarítmicas con base menor que 1 La gráfica siempre contendrá al punto (1,0), ya que loga 1 = 0 Cuando 0 < a < 1, entonces Dominio ( 0, ∞ ) Recorrido ℝ Puntos ( 1, 0) y ( a, 1) Decreciente Continua Presiona aquí para continuar
  41. 41. Gráficas de Funciones Logarítmicas Ej. 3( ) logf x x (1,0) 3x y  3logy x 1 3 x y        1/3logy x 1/3( ) logf x x x x y y (1,0) (0, 1) (0, 1)
  42. 42. Función inversa exponencial • Las funciones exponenciales también son inyectivas y tiene su inversa. Si y = bx ( a0 = 1) entonces la función inversa de ésta debería intercambiar la x y y de modo que x = by . Definiremos la inversa de la fórmula como: y = logb x Presiona aquí para continuar
  43. 43. Función inversa exponencial Ejemplo: y = 2x x = 2y y = log2 x Pasos: 1. Intercambiar las variables, o sea la y la cambias por la x en la función y la x por la y . 2. Escribir la función en forma logarítmica.
  44. 44. Función inversa logarítmica • La inversa de la función logarítmica es la función exponencial. Ejemplo: ln x = y ln y = x ex = y
  45. 45. Ecuaciones logarítmicas • Para resolver las ecuaciones logarítmicas debes repasar las propiedades logarítmicas ya estudiadas. Observa el ejercicio a continuación. • Resuelve la ecuación: log4 64 = -x + 3 Presiona aquí para continuar
  46. 46. Ecuaciones logarítmicas • log4 64 = -x + 3 Solución: log4 64 = -x + 3 4-x + 3 = 64 4-x + 3 = 43 -x + 3 = 3 3-3 = x 0 = x Cambiar a forma exponencial Expresar el 64 como exponente Despejas para x. Presiona aquí para continuar
  47. 47. Ecuaciones logarítmicas • Otro ejemplo: log x + log (x + 3) = 2 log (x + 1) log [ x ( x + 3) ] = log (x + 1)2 x ( x + 3) = (x + 1)2 x2 + 3x = x2 + 2x + 1 x = 1 Se aplicaron las reglas de producto y la de potencia de los logaritmos.
  48. 48. Problemas de Aplicación de Funciones logarítmicas Ejercicio 1: Crecimiento de una colonia de hormigas Ejercicio 2: Rapidez al caminar Ejercicio 3: La presión arterial de un niño Selecciona en el menú de la izquierda que ejercicio quieres trabajar.
  49. 49. Ejercicio 1 • Una colonia de hormigas se triplica cada semana. Si actualmente hay unas 8,000 hormigas, ¿cuántas semanas tomará para que hallan 100,000? Presiona aquí para continuar
  50. 50. Ejercicio 1 • Si definimos y como el número de hormigas en la colonia cada t semanas entonces y = 8,000 (3)t Debemos calcular t con y = 100,000. Al sustituir este número en la fórmula obtenemos que 100,000 = 8,000 (3)t Presiona aquí para continuar
  51. 51. Ejercicio 1 • Solución: y = 8,000 (3)t 100,000 = 8,000 (3)t 8,000 8,000 12.5 = 3t t = log3 12.5 Presiona aquí para continuar
  52. 52. Problemas de Aplicación de Funciones Logarítmicas • Solución: t = log3 12.5 Necesitamos hacer un cambio de base: t ≈ 2.30 Así que se tomará más de 2 semanas, aproximadamente dos y un tercio de semanas, para que hallan 100,000.
  53. 53. Ejercicio 2 • En una investigación realizada por los sicólogos Boinstein y Bornstein se llegó a la conclusión de que la función R(P) = .37lnP + .05 da la rapidez del caminar de las personas, en pies, en una comunidad de población P, dada en miles. La población en Seattle, Washington es 531,000. ¿Con qué rapidez caminan sus habitantes? Solución
  54. 54. Ejercicio 2 • Solución: R(P) = .37lnP + .05 R(531,000) = .37ln (531,00) + .05 = .37 (13.18) +.05 = 4.88 + .05 = 4.93 ft/sec
  55. 55. Ejercicio 3 La presión sistólica normal de un niño es aproximada a la función donde p(x) es la medida en milímetros del mercurio, x es el peso en libras, y m y b son constantes. Dado que m = 19.4 y b = 18, determina la presión sistólina de un niño que pesa 92 lb. = 105.72lb ( ) (ln )p x m x b 
  56. 56. Muy bien, felicitaciones.
  57. 57. Inténtalo nuevamente.
  58. 58. Funciones Trigonométricas Inversas
  59. 59. Objetivos • Representar las funciones trigonométricas inversas. • Hallar el periodo de las funciones trigonométricas inversas • Construir la función inversa de la funciones: y = sen x. y = cos x. y = tan x • Conocer el dominio y recorrido de las funciones: y = arc sen x y = arc cos x y = arc tan x
  60. 60. ArcoSeno • En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así que: y es igual al seno de x, la función inversa: lo que significa que: lo que significa que Si sin 30 = 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30 , es decir, arc sin 0.5 = 30 .
  61. 61. ArcosenoLa función f(x)=sin x, definida en el intervalo cerrado [-π /2, π /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. A su función inversa la denotaremos por f -1(x)=arc sin x estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente.
  62. 62. Arco Coseno • La función f(x)=cos x, definida en el intervalo cerrado [0,  ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por f -1(x)=arc cos x estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente.
  63. 63. Arco Coseno
  64. 64. Arc Tangente • En la función tangente, esta tiene un periodo de π y completa un ciclo en el intervalo ( −/2 , /2 ). Cuando y = tan x está restringida a − /2 ≤ x ≤ /2 tenemos una función uno a uno cuyo rango consta de todos los números Reales.
  65. 65. Gráfica de Arctan
  66. 66. Gráfica de Arctan
  67. 67. Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente utilizando la calculadora Localiza en la calculadora las teclas de sin, cos y tan. sin cos tan
  68. 68. Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente utilizando la calculadora Sobre estas teclas están sin-1 , cos-1 y tan-1 . sin-1 cos-1 tan-1
  69. 69. Calculadora • Sin-1 no quiere decir • Cos-1 no quiere decir • Al igual que con la tangente • Sino que sin-1 es el arcsin • Y el cos-1 es el arcocoseno. • Lo mismo sucede con la tangente
  70. 70. Ejercicios de Práctica • Encuentra el valor. 1. Tan -1 ( − 1) = 2. Sin-1 ( cos /2 ) = 3. Arcsin ( - 1 ) = 4. Arccos (− ½ ) = 5. Cos ( arcsin 0 ) = 6. Sin ( arcsin 1 ) =

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