Your SlideShare is downloading. ×
  • Like
Resolviendo por Sustitución o Eliminación
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Now you can save presentations on your phone or tablet

Available for both IPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Resolviendo por Sustitución o Eliminación

  • 128,169 views
Published

 

Published in Technology , Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
128,169
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
352
Comments
2
Likes
2

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. MATH 111 Lección 19 Capitulo 3 Sec. 3.2 Resolviendo Sistemas de Ecuaciones por Sustitución o Eliminación
  • 2. El Método de Sustitución
    • Una método sin el uso de gráficas para resolver sistemas de ecuaciones se conoce como método de sustitución .
    • Para entender este sistema lo explicaremos con los siguientes ejemplos.
  • 3. El Método de Sustitución
    • Resuelva este sistema:
    (1) (2) La ecuación (2) dice que x y y + 1 nombran el mismo numero. Por lo tanto podemos sustituir y + 1 para x en la ecuación (1): Ecuación (1) Sustituyendo y + 1 para x
  • 4. El Método de Sustitución
    • Debido a que la ecuación anterior tiene solamente una variable, podemos resolverlo por y usando métodos aprendido anteriormente:
    Removiendo el paréntesis y coleccionando los términos iguales Restando 1 Dividiendo por 2
  • 5. El Método de Sustitución
    • Retornamos a el par original de ecuaciones y sustituimos 3/2 por y en cualquier de las dos ecuaciones, para resolver por x .
      • Escogemos la ecuación (2) debido a que esta ya resuelta para x .
    Ecuación (2) Sustituyendo 3/2 por y
  • 6. El Método de Sustitución
    • Obtenemos el par ordenado .
      • De todas manera aunque resolvamos por y primero es todavía la segunda coordenada.
      • Verificamos que el par ordenado es una solución.
    Cierto Cierto
  • 7. El Método de Sustitución
    • Resuelva este sistema:
    (1) (2) Primero, resolvemos una ecuación para una variable. Debido a que el coeficiente de y es 1 en la ecuación (1), es fácil resolver por y : (3) (1)
  • 8. El Método de Sustitución
    • Luego, sustituimos 6 – 2 x por y en la ecuación (2) y resolvemos por x :
    (2) Sustituimos 6 – 2 x por y Multiplicamos para remover paréntesis Coleccionando términos iguales Restando 24 Dividiendo por -5
  • 9. El Método de Sustitución
    • Volvemos a cualquier de las dos ecuaciones originales, (1), o (2) o ecuación (3), que resolvimos por y .
      • Es generalmente mas fácil usar una ecuación como (3), donde podemos resolver por una variable especifica.
      • Sustituimos 4 por x en la ecuación (3) y resolvemos por y .
    Obtenemos el par ordenado (4, -2). Es bueno siempre verificar la solución.
  • 10. El Método de Eliminación
    • El método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones hace uso de el principio de suma para ecuaciones.
    • Algunos sistemas son mas fáciles resolverlos usando el método de eliminación en vez de el método de sustitución.
  • 11. El Método de Eliminación
    • Resuelva este sistema:
    (1) (2) La clave de la ventaja del método de eliminación para resolver este sistema envuelve el -3 y en una de las ecuaciones y 3 y en la otra ecuación. Estos términos son opuestos. Si lo sumamos, estos términos sumarían 0 , y en efecto, la variable y sería “eliminada”.
  • 12. El Método de Eliminación
    • Usaremos el principio de suma para ecuaciones, sumando los mismos números en ambos lados de la ecuación.
      • De acuerdo a la ecuación (2), -4 x + 3 y y -1 son el mismo numero.
      • Por lo tanto podemos usar una forma vertical y sumar -4 x + 3 y a la izquierda de la ecuación (1) y -1 a el lado derecho:
  • 13. El Método de Eliminación
    • Sumamos:
    (1) (2) Sumando Hemos eliminado la variable y , por lo cual es porque lo llamamos el método de eliminación.
  • 14. El Método de Eliminación
    • Luego sustituimos ½ para x en cualquier de las ecuaciones y resolvemos por y :
    (1) Obtenemos el par ordenado: Si hacemos la verificación encontramos que el par ordenado obtenido es la solución
  • 15. El Método de Eliminación
    • Para poder eliminar una variable, algunas veces usamos el principio de multiplicación para multiplicar una o ambas ecuaciones por un número en particular antes de sumar.
    • Resuelva este sistema:
    (1) (2)
  • 16. El Método de Eliminación
    • Si sumamos directamente, obtenemos 5 x + 9 y = 37 , pero no hemos eliminado una variable.
      • Ahora, note que si 3 y en la ecuación (1) fuera -6 y , podríamos eliminar y .
      • Por lo tanto multiplicamos por -2 en ambos lados de la ecuación (1) y sumamos:
  • 17. El Método de Eliminación
    • Luego resolvemos por y , sustituyendo 2 por x en la Ecuación (2) .
    Obtenemos el par ordenado: (2, 3) El par verifica, por lo tanto es la solución.
  • 18. El Método de Eliminación
    • Algunas veces tenemos que multiplicar dos veces para poder hacer dos términos opuestos.
    • Resuelva el sistema:
    (1) (2)
  • 19. El Método de Eliminación
    • Debemos primero multiplicar para hacer un par de términos con la misma variable opuestas.
      • Decidimos aquí hacerlo con los términos x en cada ecuación.
      • Multiplicamos la ecuación (1) por 5 y la ecuación (2) por -2 .
      • Obtenemos 10 x y -10 x , que son opuestos.
  • 20. El Método de Eliminación
    • Luego sustituimos 27 para y en la ecuación (1) .
    Obtenemos el par ordenado (-32, 27). Verificamos, y encontramos que es la solución.
  • 21. El Método de Eliminación
    • Algunos sistemas no tienen solución.
      • ¿Cómo reconocemos dicho sistemas si estamos resolviendo usando un método algebraico?
    • Utilizaremos el siguiente ejemplo para demostrarlo.
  • 22. El Método de Eliminación
    • Resuelva este sistema:
    (1) (2) Si encontramos la ecuación pendiente-intercepto para este sistema, obtenemos: Las gráficas son líneas paralelas. El sistema no tiene solución.
  • 23. El Método de Eliminación
    • Usando el método de eliminación.
      • Multiplicamos por -1 ambos lados de la ecuación (2) y sumamos:
    Ecuación (1) Multiplicamos por -1 ecuación (2) Obtenemos ecuación falsa El termino x y el termino y son eliminados y terminamos con una ecuación falsa. Por lo tanto, si obtenemos una ecuación falsa cuando resolvemos algebraicamente, sabemos que el sistema no tiene solución. El sistema es inconsistente e independiente.
  • 24. El Método de Eliminación
    • Algunos sistemas tienen infinitamente muchas soluciones.
      • ¿Cómo reconocemos dicha condición si estamos resolviendo sistemas usando un método algebraico?
    • El siguiente ejemplo nos aclarara como reconocer esta condición.
  • 25. El Método de Eliminación
    • Resuelva este sistema:
    (1) (2) Si hacemos la gráfica encontramos que son la misma línea El sistema tiene infinitamente muchas soluciones.
  • 26. El Método de Eliminación
    • Usando el método de eliminación:
    Multiplicando ecuación (1) por 4 Ecuación (2) Obtenemos una ecuación cierta Hemos eliminado ambas variables, y lo que queda es una ecuación cierta. Se puede expresar como 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 , y es cierta para todos los números x y y . Si un par es una solución de una ecuación original, entonces es una solución de la otra. Este sistema tiene infinitamente muchas soluciones. El sistema es considerado consistente y dependiente.
  • 27. El Método de Eliminación
    • Cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables:
      • Si se obtiene una ecuación falsa, tal como 0 = 7 , entonces el sistema no tiene solución.
        • El sistema es inconsistente e independiente.
      • Si se obtiene una ecuación cierta, tal como 0 = 0 , entonces el sistema tiene infinitamente muchas soluciones.
        • El sistema es consistente y dependiente.
  • 28. El Método de Eliminación
    • Llevando a cabo el método de eliminación, ayuda escribir primero la ecuación en la forma de Ax + By = C .
    • Cuando decimales o fracciones ocurren, ayuda despejarlas antes de resolver.
    • Veamos el siguiente ejemplo:
  • 29. El Método de Eliminación
    • Resuelva este sistema:
    (1) (2)
  • 30. El Método de Eliminación
    • Multiplicamos la ecuación (1) por 10 para despejar los decimales. Multiplicamos la ecuación (2) por 35 , el mínimo común denominador, para despejar las fracciones.
    Multiplicamos por 10 Multiplicamos por 35 El problema es ahora idéntico al ejemplo 5. La solución es (-32, 27) o x = -32, y = 27 .
  • 31.
    • Para usar el método de eliminación para resolver sistemas en dos ecuaciones:
      • Escriba ambas ecuaciones en la forma Ax + By = C .
      • Despeje los decimales y fracciones.
      • Escoja la variable a eliminar.
      • Haga los términos de las variables escogida opuestos, multiplicando una o ambas ecuaciones por los números apropiados, si es necesario.
      • Elimine una variable sumando los lados de las ecuaciones y luego resuelva la variable restante.
      • Sustituya en cualquier de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.
    El Método de Eliminación
  • 32. Problemas de Aplicación
    • La suma de dos números es 47 y su diferencia 23. Halla los números.
    De estos datos podemos construir un sistema de ecuaciones de dos variables, uno para la suma y otro para la resta. (1) (2) Sumamos el sistema de ecuaciones. Despejamos por x , y nos da que x = 35 .
  • 33. Problemas de Aplicación
    • Ahora encontramos el valor de y sustituyendo x en la ecuación (1):
    Por lo tanto los números son 35 y 12 .
  • 34. Problemas de Aplicación
    • El perímetro de un rectángulo es 36 cm. Si el largo es 3 más que el doble de su ancho, halla las dimensiones del rectángulo.
    p = 2 a + 2 l 36 = 2 a + 2 l l = 2 a + 3 Encontramos la formula para el perímetro. Traducimos en ecuación el largo. El perímetro ( p ) es 36 Con las ecuaciones obtenidas construimos un sistema de dos ecuaciones con dos variables, y procedemos a resolver el problema. (1) (2)
  • 35. Problemas de Aplicación
    • Resolvemos el sistema de ecuaciones:
    Buscamos el ancho ( a ) usando la ecuación (2): Resolvemos por el largo l : Encontramos que las dimensiones son 5 cm de ancho por 13 cm de largo.