Intersecciones, Uniones y Desigualdades Compuestas

MATH 111 Lección 12 Capitulo 1 Sec. 1.5 Intersecciones, Uniones y Desigualdades Compuestas

Intersección de Conjuntos y Conjunción de Desigualdades
Conjunción de Desigualdades consiste de dos o mas desigualdades unidos por la palabra “ y” ( and ) o la palabra “ o” ( or ) .
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los miembros que son común a A y B . Se denota como:
A ∩ B .

Intersección de Conjuntos
Ejemplo. Encuentre la intersección:
{1, 2, 3, 4, 5} ∩ {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
Vemos que los números 1 , 2 y 3 son común a los dos conjuntos, por lo tanto la intersección es:
{1, 2, 3}

Conjunción de Desigualdades
Cuando dos o mas oraciones están unidas por la palabra “ y” ( and ) para hacer una oración compuesta, la nueva oración se llama una conjunción de las oraciones.
Los siguiente es una conjunción de desigualdades:
-2 < x y x < 1

Para que sea cierta una conjunción, cada oración individual tiene que ser cierta.
El conjunto de solución es la intersección del conjunto de solución de cada oración individual.

Consideremos: -2 < x y x < 1 .
Trazamos las Graficas:
-2 < x
x < 1
( ) 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2 < x y x < 1
( ) 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

En general para a < b :
a < x y x < b se puede abreviar a < x < b ;
y
b > x y x > a se puede abreviar b > x > a .
La palabra “ y ” ( and ) corresponde a “intersección” y al símbolo “ ∩ ” .
Para que un numero pueda ser una solución de una conjunción, tiene que estar en ambos conjuntos de solución.

Resuelva y trace la gráfica: -1 ≤ 2 x + 5 < 13 .
Restamos 5 Dividimos por 2 [ ) Notación de Intervalo y Conjunto de Solución Gráfica 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resuelva y trace la gráfica: 2 x – 5 ≥ -3 y 5 x + 2 ≥ 17 .

Continuando… Trazamos la gráfica de los dos conjuntos de solución:
Solución: Los números comunes a ambos conjuntos son aquellos que son mayores o igual a 3, por lo tanto: [ [ [ 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resuelva y trace la gráfica: 2 x – 3 > 1 y 3 x - 1 < 2 .

Continuando… Trazamos las gráficas para verificar el resultado:
Solución: Debido a que ningún número es a la vez mayor que 2 y menor que 1, el conjunto de solución es el conjunto vacío, { } o Ø . ( ) 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resuelva: 3 ≤ 5 - 2 x < 7 .
Restando 5 Simplificando Dividiendo por -2 . Los símbolos se invierten . Simplificando 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( ]

Conjuntos de Uniones y Disjuntos de Desigualdades
La unión de dos conjuntos A y B es la colección de elementos perteneciendo a A y/o B .
Se denota la unión de A y B por:
A U B

Conjuntos de Uniones y Disjuntos de Desigualdades
Encuentre la unión: {2,3,4} U {3,5,7} .
Los números están en ambos o en cualquiera de los conjuntos, estos son 2,3,4,5 y 7. Por lo tanto la unión es: {2,3,4,5,7}

Disjuntos
Cuando dos o mas oraciones son unidas por la palabra o ( or ) para hacer una oración compuesta, la nueva oración se llama disjunto de las oraciones.
Ejemplos:
x < -3 o x > 3
y es un número impar o y es un número primo
x < 0 o x > 3

Disjuntos
Para que un disjunto sea cierto, al menos una de las oraciones individuales tiene que ser cierta.
El conjunto de solución de un disjunto es la unión de los conjunto de solución individuales.
La palabra “ o ” ( or ) corresponde a “unión” y al símbolo “U” .
Para que un número este en el conjunto de solución de un disjunto, al menos tiene que estar en uno de los conjuntos de soluciones.

Disjuntos
Ejemplo: x < -3 o x > 3 .
) ( ) ( 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Disjuntos
Resuelva y trace la gráfica: 7 + 2 x < -1 o 13 – 5 x ≤ 3 .
Dividimos por -5 . El símbolo se invierte. ) [ 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Disjuntos
Resuelva: -2 x - 5 < -2 o x – 3 < -10 .
( ) Invirtiendo el símbolo. 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Disjuntos
Resuelva: 3 x – 11 < 4 o 4 x + 9 ≥ 1 .
Continuamos la solución en la siguiente diapositiva.

Disjuntos
Continuando …
) [ 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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