Ecuaciones Lineales: Gráficas y Pendientes
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  • 1. MATH 111 Lección 15 Capitulo 2 Sec. 2.2 Ecuaciones Lineales: Gráficas y Pendientes
  • 2. Ecuaciones Lineales
    • Estudiaremos gráficas que sus ecuaciones son líneas rectas.
    • La primera a considerarse son del tipo y = mx + b , donde m y b son constantes.
    • Estudiaremos los efectos de m y b en las gráficas de ecuaciones del tipo y = mx + b .
  • 3. La Constante b : El Intercepto- y
    • Exploramos los efectos de la constante b , a través de los siguientes ejemplos:
    • Trace la gráfica y = 2 x y y = 2 x + 3 usando el mismo conjunto de ejes. Compare las gráficas.
    Primero hacemos la tabla de solución de ambas ecuaciones. x y y y = 2 x y = 2 x + 3 0 0 3 1 2 5 -1 -2 1 2 4 7 -2 -4 -1
  • 4. La Constante b : El Intercepto- y
    • Continuación …
    Luego, trazamos estos puntos. Dibujamos una línea roja para y = 2 x y una línea azul para y = 2 x + 3 . Notamos que la gráfica de y = 2 x + 3 es simplemente la gráfica de y = 2 x corrida, o trasladada , 3 unidades hacia arriba. Las líneas son paralelas. y = 2 x + 3 y = 2 x 3 unidades subiendo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x y
  • 5. La Constante b : El Intercepto- y
    • Trace la gráfica y en el mismo conjunto de ejes. Compare las gráficas.
    Hacemos la tabla de soluciones de ambas ecuaciones. Usando múltiplos de 3, evitamos fracciones. x y y 0 0 -2 3 1 -1 -3 -1 -3 6 2 0
  • 6. La Constante b : El Intercepto- y
    • Continuando …
    Trazamos estos puntos. Dibujando una línea para y = ⅓ x y una línea para y = ⅓ x – 2 , encontramos que la gráfica de y = ⅓ x – 2 es simplemente la gráfica de y = ⅓ x corrida, o trasladada, hacia abajo 2 unidades. 2 unidades bajando 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x y
  • 7. La Constante b : El Intercepto- y
    • Noten que en el ejemplo 1, la gráfica de y = 2 x + 3 paso por el punto (0, 3) y en el ejemplo 2, la grafica de y = ⅓ x – 2 paso por el punto (0, -2) .
    • En general, la gráfica de y = mx + b es una línea paralela a y = mx , pasando a través del punto (0, b ).
    • El punto (0, b ) se llama el intercepto- y porque es el punto en el cual la gráfica cruza el eje y .
    • Frecuentemente es conveniente referirse al número b como el intercepto- y .
    • La constante b tiene el efecto de mover la gráfica de y = mx hacia arriba o hacia abajo I b I unidades para obtener la gráfica de y = mx + b .
  • 8. La Constante b : El Intercepto- y
    • El intercepto- y de la gráfica y = mx + b es el punto (0, b ) o, simplemente, b .
    y x (0, b ) y = mx + b
  • 9. La Constante b : El Intercepto- y
    • Encuentre el intercepto- y de: y = -5 x +4 .
    • Encuentre el intercepto- y de : y = 6.3 x – 7.8 .
    y = -5 x + 4 (0, 4 ), o simplemente 4 , es el intercepto- y y = 6.3 x – 7.8 (0, -7.8 ), o simplemente -7.8 , es el intercepto- y
  • 10. La Constante m : Pendiente
    • La pendiente de una línea conteniendo los puntos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) es dada por:
    y x ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ( y 2 – y 1 ) ( x 2 – x 1 )
  • 11. La Constante m : Pendiente
    • La formula
    • nos dice de que podemos restar de dos maneras. Debemos recordar restar las coordenadas de x en el mismo orden que restamos las coordenadas de y .
  • 12. La Constante m : Pendiente
    • Trace la gráfica conteniendo los puntos (-4, 3) y (2, -5) y encuentre la pendiente.
    Yendo de (-4, 3) a (2, -5), vemos que el cambio en y , o la elevación, es -5 - 3 = -8. El cambio en x , o la corrida, es 2 – (-4) = 6 . corrida elevación (o “caída”) (-4, 3) (2, -5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x y
  • 13. La Constante m : Pendiente
    • La pendiente de una línea nos dice como se inclina.
      • Una línea con pendiente positiva se inclina hacia arriba de izquierda a derecha. Mientras mas grande es el número positivo, mas empinada es la inclinación.
      • Una línea con pendiente negativa se inclina hacia abajo de izquierda a derecha. Mientras mas pequeño sea el número negativo, mas empinada la línea.
    Vea las siguientes graficas:
  • 14. La Constante m : Pendiente y x y x y x y x
  • 15. La Constante m : Pendiente
    • ¿Como encontrar la pendiente de una ecuación dada?
      • Si tomamos el ejemplo de la ecuación y = 2 x + 3 , que esta dada en la forma y = mx + b .
      • Podemos encontrar dos puntos escogiendo valores convenientes a x , digamos 0 y 1 , y sustituyendo para encontrar los valores correspondientes a y .
        • Encontramos dos puntos en la línea que son (0, 3) y (1, 5).
  • 16. La Constante m : Pendiente
    • ¿Cómo …
      • Resolvemos para la pendiente utilizando los puntos (0, 3) y ( 1, 5):
      • La pendiente es 2 . Notamos que este es también el coeficiente del termino x en la ecuación y = 2 x + 3 .
  • 17. La Constante m : Pendiente
    • La pendiente de la línea y = mx + b es m .
    • De una ecuación linear en la forma y = mx + b , podemos leer directamente la pendiente y el intercepto- y de la gráfica.
    • La ecuación y = mx + b se llama ecuación pendiente-intercepto. La pendiente es m y el intercepto- y es (0, b ).
  • 18. La Constante m : Pendiente
    • Encuentre la pendiente y el intercepto- y de y = 5 x – 4 .
    Dado que la ecuación esta dada en la forma y = mx + b , simplemente leemos la pendiente y el intercepto- y de la ecuación. y = 5 x - 4 La pendiente es 5 . El intercepto- y (0, -4 ).
  • 19. La Constante m : Pendiente
    • Encuentre la pendiente y el intercepto- y de 2 x + 3 y = 8 .
    Primero resolvemos por y para poder leer fácilmente la pendiente y el intercepto- y . La pendiente es El intercepto- y es