División de Polinomios
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División de Polinomios Presentation Transcript

  • 1. MATH 111 Lección 22 Capítulo 5 Sec. 5.3 División de Polinomios
  • 2. Cuando el Divisor es un Monomio • Cuando dividimos un monomio por un monomio, podemos usar las reglas de los exponentes y restamos exponentes cuando las bases son las mismas. • Por ejemplo: 45 x10 45 104 48a 2b5 48 21 5 2  x  15 x 6  a b  16ab3 3x 4 3 , 3ab 2 3
  • 3. Cuando el Divisor es un Monomio • Cuando dividimos un polinomio por un monomio, rompemos la división en una suma de cocientes de monomios. – Para hacerlo, usamos la regla de suma usando notación fraccional en orden inverso. Esto es, debido a que A B A B A B A B   , sabemos que   C C C C C C
  • 4. Cuando el Divisor es un Monomio • Para dividir un polinomio por un monomio, divida cada termino por el monomio. 1. Divida 12x3 + 8x2 + x + 4 por 4x . 12 x 3  8 x 2  x  4 Escríbelo como expresión fraccional. 4x 12 x 3 8 x 2 x 4 Divida cada termino del numerador     por el monomio: Esto es el orden 4x 4 x 4 x 4 x inverso de suma. 2 1 1  3x  2 x   Haciendo las cuatro divisiones indicadas. 4 x
  • 5. Cuando el Divisor es un Monomio 2. Divida: (8x4y5 – 3x3y4 + 5x2y3) ÷ x2y3 4 5 3 4 2 3 4 5 3 4 2 3 8 x y  3x y  5 x y 8 x y 3x y 5 x y 2 3  2 3  2 3  2 3 x y x y x y x y 2 2  8 x y  3xy  5
  • 6. Cuando el Divisor No es un Monomio • Cuando el divisor no es un monomio, usamos un procedimiento como la división larga en aritmética. • Veamos el siguiente ejemplo: 3. Divida x2 +5x + 8 por x + 3 .
  • 7. Cuando el Divisor No es un Monomio 3. Divida x2 +5x + 8 por x + 3 . x Divida el primer término por el primer término: x2/x = x . x  3 x2  5x  8 x 2  3x Multiplique la x de arriba por el divisor, x + 3. 2x Reste: (x2 + 5x) – (x2 +3x) = x2 + 5x – x2 – 3x = 2x . Ahora bajamos el otro término del dividendo, en este caso el 8. Veamos la siguiente diapositiva:
  • 8. Cuando el Divisor No es un Monomio 3. x 2 Divida el primer término por el primer término: x2/x = x . x  3 x2  5x  8 x 2  3x 2x  8 Se bajo el 8. 2x  6 Multiplique el 2 de arriba por el divisor x + 3 . 2 Restamos: (2x + 8) – (2x + 6) = 2x + 8 – 2x – 6 = 2 . 2 La contestación es x + 2, R 2 , o x2 x3 Esta expresión es el residual sobre el divisor.
  • 9. Cuando el Divisor No es un Monomio • Note que la contestación anterior (ejemplo 3) no es un polinomio a menos que el residual sea 0. • Para verificar, multiplicamos el cociente por el divisor y sumamos el residual para ver si obtenemos el dividendo: Divisor Cociente Residual (x + 3) ∙ (x + 2) + 2 = (x2 + 5x + 6) + 2 = x2 + 5x + 8
  • 10. Cuando el Divisor No es un Monomio 4. Divide: (5x4 + x3 – 3x2 – 6x – 8) ÷ (x – 1) . 5 x 3  6 x 2  3x  3 x  1 5 x 4  x 3  3x 2  6 x  8 4 3 5x  5x 6 x 3  3x 2 Reste: (5x4 + x3) – (5x4 – 5x3) = 6x3 3 2 6x  6x 3x 2  6 x Reste: (6x3 – 3x2) – (6x3 – 6x2) = 3x2 3x 2  3 x  3x  8 Reste: (3x2 – 6x) – (3x2 – 3x) = -3x 3x  3  11 Reste: (-3x – 8) – (-3x + 3) = -11
  • 11. Cuando el Divisor No es un Monomio 4. La contestación es 5x3 + 6x2 + 3x – 3, R -11; o 3 2 11 5 x  6 x  3x  3  x 1 • Siempre acuérdese cuando divida polinomios arregle el polinomio en orden descendente.
  • 12. Cuando el Divisor No es un Monomio • En una división polinomial, si hay términos ausentes en el dividendo, escriba los términos ausentes con un coeficiente de 0, o deje espacio para ellos. – Por ejemplo, en 125y3 – 8, decimos que los términos y2 y y están faltando. Podemos escribirlos como sigue: 125y3 + 0y2 + 0y - 8.
  • 13. Cuando el Divisor No es un Monomio 5. Divida: (125y3 – 8) ÷ (5y – 2) . 2 25 y  10 y  4 3 2 Cuando faltan términos, 5 y  2 125 y  0 y  0 y  8 podemos insertarlos. 125 y 3  50 y 2 2 50 y  0 y Reste: (125y + 0y ) – (125y – 50y ) = 50y 2 3 2 3 2 2 50 y  20 y 2 2 Reste: (50y + 0y) – (50y – 20y) = 20 y  8 20y 20 y  8 0 Reste: (20y - 8) – (20y – 8) = 0 La respuesta es 25y2 + 10y + 4 .
  • 14. Cuando el Divisor No es un Monomio 6. Divida: (x4 – 9x2 – 5) ÷ (x – 2) . Note que los términos x3 y x faltan en el dividendo. En este ejemplo dejamos los espacios. x 3  2 x 2  5 x  10 Dejamos espacios para términos x  2 x4  9 x2 5 faltantes. x4  2 x3 2 x3  9 x2 Restamos x4 – (x4 – 2x3) = 2x3 2 x3  4 x2  5x 2 Restamos (2x3 – 9x2) – (2x3 -4x2) = -5x2 5 x 2  10 x  10 x  5 Restamos -5x2 – (-5x2 + 10x) = -10x  10 x  20  25 Restamos (-10x – 5) – (-10x + 20) = -25 25 La contestación es x3 + 2x2 - 5x - 10, R -25; o x3  2 x 2  5 x  10  x2
  • 15. Cuando el Divisor No es un Monomio • Cuando dividimos, podemos tener un residual de 0 o no. • Cuando el residual no es 0 podemos seguir trabajando hasta que el grado del residual es menos que el grado del divisor, como en el siguiente ejemplo.
  • 16. Cuando el Divisor No es un Monomio 7. Divida: (6x3 + 9x2 - 5) ÷ (x2 -2x) 6 x  21 x2  2 x 6x3  9 x2  0 x  5 Insertamos el termino ausente. 3 2 6 x  12 x Reste 2 21x  0 x 21x 2  42 x Reste El grado del residual es menos 42 x  5 que el grado del divisor, por lo tanto terminamos. 42 x  5 La contestación es 6x + 21, R 42x – 5 o 6 x  21  2 x  2x
  • 17. División Sintética • Para dividir un polinomio por un binomio del tipo x – a, podemos simplificar el procedimiento general por un procedimiento llamado división sintética. • Es importante recordar que para que funcione este sistema, el divisor tiene que ser de la forma x – a, esto es, una variable menos una constante. El coeficiente de la variable tiene que ser 1.
  • 18. División Sintética • Compare los siguientes ejemplos. En A hacemos la división. En B también dividimos pero no escribimos las variables. A. 4 x 2  5 x  11 B. 4  5  11 x  2 4 x 3  3x 2  x  7 1 2 4  3  1 7 4 x3  8x 2 4 8 5x2  x 5 1 5 x 2  10 x 5  10 11x  7 11  7 11x  22 11  22 29 29 En B todavía hay alguna duplicidad. También, podemos restar sumando el opuesto, podemos usar 2 en vez de -2 y luego sumar en vez de restar.
  • 19. División Sintética C. División Sintética a) 2 4  3 1 7 Escriba el 2, el opuesto de -2 en el divisor x – 2, y los coeficientes del dividendo. 4 Baje el primer coeficiente. b) 2 4  3 1 7 8 Multiplique 4 por 2 para obtener 8. Sume 8 y -3. 4 5 c) 2 4  3  1 7 8 10 Multiplique 5 por 2 para obtener 10. Sume 10 y 1. 4 5 11 d) 2 4  3  1 7 8 10 22 Multiplique 11 por 2 para obtener 22. Sume 22 y 7. 4 5 11 29 Cociente Residual
  • 20. División Sintética C. El ultimo número, es el residual. Los otros números son los coeficientes del cociente, con el termino del grado mayor primero, como sigue: 4 5 11 29 Residual Coeficiente grado 0 Coeficiente primer grado Coeficiente segundo grado 29 La contestación es 4x2 + 5x + 11, R 29, o 4 x 2  5 x  11  x2
  • 21. División Sintética 8. Usando división sintética divida: (x3 + 6x2 – x - 30) ÷ (x – 2) 2 1 6  1  30 2 16 30 1 8 15 0 La contestación es x2 + 8x + 15, R 0, o x2 + 8x +15
  • 22. División Sintética 9. (2x3 + 7x2 – 5) ÷ (x + 3) Aquí no hay el término x, por lo cual escribimos un 0 para su coeficiente. Note que x + 3 = x – (-3), por lo tanto escribimos -3 en la esquina izquierda. 3 2 7 0 5 6 3 9 2 1 3 4 2 4 La contestación es 2x2 + x - 3, R 4, o 2x  x  3  x3
  • 23. División Sintética 10. (x3 + 4x2 – x – 4) ÷ (x + 4) 4 1 4  1  4 4 0 4 1 0 1 0 La contestación es x2 - 1
  • 24. División Sintética 11. (x4 – 1) ÷ (x – 1) 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 La contestación es x3 + x2 + x +1
  • 25. División Sintética 12. (8x5 - 6x3 + x – 8) ÷ (x + 2) 2 8 0 6 0 1 8  16 32  52 104  210 8  16 26  52 105  218 La contestación es 8x4 – 16x3 + 26x2 – 52x + 105, R -218, o 4 3 2 218 8 x  16 x  26 x  52 x  105  x2