Losas aligeradas-en-dos-direcciones

DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2
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ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
169
10. ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES
10.1 Introducción
En las edificaciones de hormigón armado las losas son aquellos elementos estructurales
planos que permiten en primer lugar suministrar superficies de apoyo a las cargas
verticales sean estas vivas o muertas y en segundo termino actuar como elemento de
amarre ( diafragma ) al sistema de columnas y muros que es en definitiva el que soporta
la estructura, figura 10.1.
Figura 10.1 Representación esquemática de las losas de edificios
La losa puede apoyarse directamente sobre columnas o descansar sobre muros
cargueros, vigas de hormigón o de acero generando así diferentes de condiciones de
apoyo que indican formas especiales de trabajo estructural. Por ejemplo si la losa se
apoya en todo su perímetro sobre vigas cargueras rígidas o sobre muros se tiene el
sistema de “ Losas perimetralmente apoyadas ” el cual puede trabajar en una o dos
direcciones de acuerdo a la relación de sus lados, figura 10.2.b. Si la losa se apoya en
solo dos vigas o muros cargueros se tiene la “ losa en una dirección ”, figura 10.2.a. Si
finalmente se apoya directamente sobre las columnas se generan dos tipos de superficies
únicas en el hormigón armado: “ la losa plana y la placa plana “, figura 10.3.
Igualmente una losa puede ser completamente sólida o contener cavidades vacías, en el
primer caso de tiene la “ Losa maciza “ y en el segundo “ la losa aligerada “. La losa
aligerada es la mas utilizada en los edificios porque al permitir disminuir el peso propio
Cargas
Losa

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170
Figura 10.2 Sistemas de losa en una y dos direcciones
Figura 10.3 Sistemas de placa plana y losa plana
Luz losa
Direcc. losa
hs
Viga 2
Viga 1
Direcc. losa
Luz losa
hs
a) losa en una dirección
b) losa en dos direcciones apoyada sobre vigas
o muros cargueros
Placa Plana Losa plana

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171
de las edificaciones se disminuye el costo. La losa maciza es utilizada en los tableros de
puentes por su alta capacidad estructural, figura 10.4.
Figura 10.4 Sección de losa maciza y aligerada de hormigón armado
Adicionalmente a los tipos de losas indicados, existen otras que se apoyan en toda su
superficie como los pisos de edificios, pavimentos de vías, pisos de bodegas y
parqueaderos que requieren un tratamiento diferente a las anteriormente mencionadas.
El refuerzo en las losas se coloca en forma convencional en dirección paralela a las
superficies planas superior e inferior, sin embargo en el caso de losas de puentes, se
pueden utilizar acero doblado a 45° que permite resistir tensiones por flexión positivas y
negativas sin interrumpir longitudinalmente el refuerzo. Se puede utilizar también
mallas electrosoldadas como refuerzo en losas y acero de alta resistencia en forma de
cables para losas postensadas.
10.2 Análisis y diseño de losas perimetralmente apoyadas
10.2.1 Comportamiento estructural
Las losas en una dirección se deforman bajo carga siguiendo una superficie cilíndrica
similar a la indicada en la figura 10.5. En este sentido la acción estructural es
principalmente en una dirección, es decir normal a los bordes de apoyo de la losa. Sin
embargo este no es el caso general y muchas veces las losas tienen dimensiones y están
apoyadas de tal forma que se presenta una acción bidireccional es decir la superficie
deformada ya no es cilíndrica sino en forma de domo esférico y cualquier punto de la
hs
a) sección de losa maciza
Refuerzo M ( - )
Refuerzo M ( + )
hs
a) sección de losa aligerada
Aligerante Aligerante
hf
bw

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172
losa esta sometido a dos tipos de curvaturas indicando que existen momentos en las dos
direcciones ortogonales. Para resistir estos momentos la losa se debe reforzar en ambas
direcciones con capas de acero cuyas cuantías aseguren una adecuada capacidad de
carga cuando se someta a las diferentes solicitaciones externas.
Figura 10.5 Accion estructural en una y en dos direcciones en losas
El tipo mas simple de losa con acción estructural en las dos direcciones esta
representado en la figura 10.2.b. En este caso la losa indicada se apoya en vigas
perimetrales cargueras que van en los cuatro bordes y se caracterizan porque son muy
rígidas y trabajan monolíticamente con la losa transfiriendo flexión, torsión y cortante.
La rigidez de las vigas de borde garantiza que bajo la acción de las cargas estas no
sufren deformaciones apreciables. Esta hipótesis no se cumple si la losa no lleva vigas
o estas se colocan con espesor delgado ( se recomienda que la viga perimetral tenga al
menos un espesor igual a tres veces el espesor de la losa).
Si se asumen las consideraciones anteriores se puede visualizar la losa como un
conjunto de franjas imaginarias de ancho “ bx : franjas paralelas al eje Y ” y “ by :
franjas paralelas al eje X “ que recorren la losa en las dos direcciones y se interceptan
en determinados puntos, figura 10.6. Al aplicar una carga uniformemente distribuida
cualquiera “ q “ sobre la losa es evidente que cierta fracción de esta se transmite en una
dirección mientras que otra parte se transmite en la dirección perpenticular de acuerdo a
las características dimensiónales de la losa. Si se define ahora que la losa es rectangular
con “ la “ siendo la luz corta y “ lb “ la luz larga y se consideran solo las dos franjas
centrales se tiene el siguiente resultado: “ la deflexión en el punto central de la losa
donde se interceptan las dos franjas imaginarias debe ser la misma por compatibilidad
de deformaciones “. Para demostrar este enunciado se asumirá una losa simplemente
apoyada perimetralmente =>
Accion unidirecc.
Accion bidirecc.
Luz losa

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173
Figura 10.6 Disposicion de franjas en una losa en dos direcciones
Las deflexiones de ambas franjas se obtienen de la resistencia de materiales:
IE
lq aa
a
..384
..5
4
.max =∆ y
IE
lq bb
b
..384
..5
4
.max =∆
En la igualdad =>
44
.max.max .. bbaaba lqlq =⇒∆=∆
4
4
a
b
b
a
l
l
q
q
= ( 10.1 )
Se demuestra para este caso en particular que la relación de las cargas en dirección corta
y larga es inversamente proporcional a la relación de las luces elevadas a la cuarta
potencia. En otras palabras la proporción de carga que toma la dirección corta es mucho
mayor que la que toma la dirección larga. Por ejemplo si se tiene una losa con la = 4.0 m
y lb = 5.0 m y se aplica una carga de q = 15 kN / m2 la proporción es la siguiente:
44.2
4
5
4
4
==
b
a
q
q
15=+= ba qqq 2
/6.10 mkNqa = 2
/4.4 mkNqb =
Es decir la luz corta se lleva aprox. dos veces y media mas carga que la luz larga o lo
que es lo mismo: la luz corta se lleva el 70% de la carga.
En realidad este resultado es aproximado ya que el comportamiento bajo carga es
mucho mas complejo que lo ilustrado, sin embargo nos sirve para mostrar algunas
la
lb
Franjas en dirección Y ( larga)
Franjas en dirección X ( Corta)
la : luz en dirección corta
lb : luz en dirección larga

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174
tendencias en el comportamiento estructural de las losas. La figura 10.6 muestra
también que paralelas a las franjas centrales van franjas cercanas a los bordes que no
solo se deflectan sino que sufren distorsiones a torsión por el efecto de las vigas de
borde. Estas deformaciones por torsión lo que hace es modificar la capacidad resistente
de la losa generando un efecto de confinamiento lateral que le permite soportar mas
carga de la que realmente un análisis elástico puede determinar. Esta es la razón por la
cual los momentos medidos en losas bajo carga son muy pequeños comparados con los
que se obtienen de un análisis estructural elástico considerando franjas paralelas no
conectadas transversalmente y sometidas a “ qa “ y “ qb “. Por ejemplo para una losa
cuadrada “ la = lb = l “ simplemente apoyada se cumple: “ qa = qb = q / 2. Si solo se
presentara flexión el momento máximo en cada franja seria:
( ) 2
22
max 0625.0
16
.
8
2/
ql
lqlq
M ===+
( 10.2 )
La teoría exacta de la flexión de placas elásticas muestra que realmente el momento
máximo en esta losa es:
2
max 048.0 qlM =+
( 10.3 )
Esto significa una disminución en el momento de aprox. un 25% debido a la presencia
de los momentos torsores no considerados en la ecuación 10.2. Los mayores momentos
se presentan cuando la curvatura es mas pronunciada fenómeno que se inicia en la franja
central corta de la losa. Si se supone ahora que la carga se aumenta hasta sobretensionar
la sección mas critica de esta franja de tal forma que el acero entre en fluencia se
produce inmediatamente su falla, pero si se considera unida lateralmente a las otras
franjas la falla no se manifiesta y por lo tanto se demuestra como de esta forma la franja
esta en capacidad de soportar una carga adicional a la que ella en forma aislada esta en
capacidad de resistir. Esta redistribución de tensiones generalmente se presenta en el
rango inelástico y continuara hasta lograr que todo el refuerzo bidireccional de la losa
entre en fluencia momento en el cual se presenta la falla. Por estas razones, confirmadas
también por numerosos ensayos, se demuestra que en el diseño de las losas no se
requiere utilizar el máximo momento elástico de diseño de la ecuación 10.3 en cada una
de las dos direcciones sino un valor promedio menor que en muchos casos se acerca a
un 75% del valor dado por la teoría elástica:
2
max 036.0 qlM =+
( 10.4 )
Los mayores momentos en las losas en dos direcciones se presentan en la mitad de
ambas franjas mientras que la variación de los momentos en cada franja se da en sentido
perpenticular a su dirección como lo indica la figura 10.7. El diagrama de momentos en
cada una de las dos direcciones es valido únicamente en las franjas centrales porque en
las extremas el momento disminuye como se indica en la figura 10.7. Estas variaciones
en el momento máximo se deben realizar en forma mas o menos realista para que
reflejen mas certeramente el comportamiento bajo carga de estas estructuras. Los
momentos en las franjas centrales deben ser mayores que los de las franjas extremas es
decir de las franjas cercanas a los bordes de la losa.

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175
Figura 10.7 Definición de franjas y momentos en losas en dos direcciones
Un análisis mas riguroso de la ecuación 10.1 indica que solo aquellas losas con relación
luz larga a luz corta “ lb / la “ menor que 2.0 requieren diseñarse como losas en dos
direcciones ya que para relaciones mayores o iguales a 2.0 la contribución de la luz
larga es de solo 1 / 16 parte de la dirección corta por lo que su comportamiento es
prácticamente en una dirección ( corta). En consecuencia aquellas losas perimetralmente
apoyadas con relación “ lb / la < 2.0 “ o también “ 0.5 ≤ la / lb < 1.0 “ son las únicas que
deben ser tratadas como losas en dos direcciones. En este caso se puede considerar
como primera aproximación de diseño que el espesor de la losa sea mayor o igual al
0.55% del perímetro del panel respetivo:
hs ≥ ( perímetro panel ) / 180
Ma max
Mb max
Franj.Extr.corta
Franj.Extr.corta
Franj.Med.corta
Franjas
extr. larga
Franjas Med.
larga
Franjas
extr. larga
lb
la
Franjas largas
Franjas cortas

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176
10.2.2 Análisis estructural por el método de los coeficientes del ACI
Si se utilizan los principios anteriores para determinar por teoría de elasticidad los
momentos en losas bidireccionales es evidente la inmensa cantidad de cálculos que se
deben realizar para cada una de las condiciones de carga y apoyos en un determinado
proyecto estructural. Aun con la ayuda de computadores esto realmente no es practico ni
se mejoran los resultados de los diseños obtenidos. Es por esta razón que la ingeniería
ha adoptado métodos mas simplificados para determinar las reacciones y los esfuerzos
en este tipo de losas. Según el código ACI-318 todos los sistemas de losa en dos
direcciones ilustrados en las figuras 10.2 y 10.3 pueden ser diseñados por
procedimientos mas elaborados como el método directo o el del pórtico equivalente; sin
embargo se reconoce que en aquellos casos donde se cumplen las particularidades e
hipótesis requeridas se pueden aplicar algoritmos mas sencillos que, reduciendo
notablemente la cantidad de operaciones de calculo, entregan resultados satisfactorios.
El “ método de los coeficientes del ACI “ fue originalmente propuesto por Henry
Marcus en 1929 y ampliamente difundido en Europa. En América fue presentado por
Paul Rogers en 1944. Este ha sido usado por los ingenieros calculistas Americanos en
forma amplia desde su presentación oficial en el código ACI 318-63 cuando se
requieren diseñar o revisar losas en dos direcciones apoyadas rígidamente en sus bordes
por vigas o muros que suministren una gran rigidez perimetral. A pesar de que en
ediciones posteriores el ACI no hizo referencia directa a este método ( solo menciona el
método directo y el del pórtico equivalente) si recomienda en general que “ Una losa de
puede diseñarse por cualquier procedimiento que satisfaga las ecuaciones de equilibrio
y compatibilidad si se demuestra que la resistencia de diseño en cada sección de la
estructura es al menos igual a la resistencia requerida por las cargas y se satisfacen los
requisitos de servicio y funcionabilidad exigidos “.
El método utiliza las tablas de coeficientes 10.1, 10.2, 10.3 y 10.4 en donde se presenta
la variedad mas practica de cargas y condiciones de borde. Los valores de las tablas se
basan en los cálculos elásticos anteriormente indicados y tienen en cuenta la reducción
de los momentos por efecto de la redistribución inelástica de tensiones. En consecuencia
el momento de diseño para cada dirección es menor que el máximo obtenido por
elasticidad para esa misma dirección. Los momentos en las dos direcciones se
determinan con la expresión 10.5 en donde “ Ma y Mb “ son los momentos en dirección
corta y larga respectivamente, “ Ca y Cb “ son los coeficientes de momento para la
dirección corta y larga, “ q “ la carga uniformemente distribuida en la losa, “ la y lb “ son
las luces en dirección corta y larga.
2
2
..
..
bbb
aaa
lqCM
lqCM
=
=
( 10.5 )
El método recomienda que cada recuadro de losa ( otro termino muy utilizado para
definir una región interna de losa bordeada por vigas perimetrales es “ panel “ ) sea
dividido en tres zonas para cada una de las dos direcciones de diseño, una central o
media la cual tiene un ancho igual a la mitad de la luz y dos zonas de borde o de
columnas con anchos cada una iguales a la cuarta parte de la luz respectiva.

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177
Figura 10.8 Momentos negativos en losas en dos direcciones
Tabla 10.1 Coeficientes para momentos negativos
Un borde sombreado indica que existe continuidad o la losa esta empotrada en el apoyo. Un borde
sin sombra indica que el apoyo no ofrece ninguna restricción al giro torsional de la losa.
Ma( - )
Ma( - )
Mb( - )
Mb( - )
la
lb

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178
Figura 10.9 Momentos positivos por carga muerta en losas en dos direcciones
Tabla 10.2 Coeficientes para momentos positivos por carga muerta
Un borde sombreado indica que existe continuidad o la losa esta empotrada en el apoyo. Un borde
sin sombra indica que el apoyo no ofrece ninguna restricción al giro torsional de la losa.
la
lb
Ma ( + ) carga muerta
Mb ( + ) carga muerta

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179
Figura 10.10 Momentos positivos por carga muerta en losas en dos direcciones
Tabla 10.3 Coeficientes para momento positivo por carga viva
Un borde sombreado indica que existe continuidad o la losa esta empotrada en el apoyo. Un borde sin
sombra indica que el apoyo no ofrece ninguna restricción al giro torsional de la losa.
la
lb
Ma ( + ) carga viva
Mb ( + ) carga viva

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180
Figura 10.11 Reacciones y cortantes en losas en dos direcciones
Un borde sombreado indica que existe continuidad o la losa esta empotrada en el apoyo. Un borde sin
sombra indica que el apoyo no ofrece ninguna restricción al giro torsional de la losa.
Tabla 10.4 Proporción de la carga “ q “ en cada dirección de la losa y que
se usa para calcular la cortante y las reacciones en los apoyos
la
lb
Ra
Rb

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181
Ejemplo 10.1 Determinar los momentos positivos en la región media de una losa con
dimensiones la = 3.0 m y lb = 5.0 m sobre la que actúa una carga muerta de qm = 5 kN /
m2
y una viva de “ qv = 10 kN / m2
“. Los bordes son discontinuos y están conectados a
vigas rígidas perimetrales.
Solución: de la tabla 10.2 y 10.3 se obtiene para “ la / lb = 3.0 / 5.0 = 0.60 “ y del primer
caso de apoyo se obtienen los siguientes coeficientes de momento positivo:
Para carga muerta: Ca = 0.081 y un Cb = 0.010
Para carga viva: Ca = 0.081 y un Cb = 0.010
En la luz corta se tiene:
mmkNmuertaMa /.6.30.35081.0)( 2
=××=+
mmkNvivaMa /.3.70.310081.0)( 2
=××=+
El momento total en dirección corta es: mmkNMa /.9.103.76.3 =+=+
es decir por cada
franja de un metro de ancha actúa en el centro de la luz un momento de 10.9 kN.m / m.
En la luz larga se tiene:
mmkNmuertaMb /.2.10.55010.0)( 2
=××=+
mmkNvivaMb /.5.20.510010.0)( 2
=××=+
El momento total en dirección larga es: mmkNMa /.7.35.22.1 =+=+
es decir por cada
franja de un metro de ancha actúa en el centro de la luz un momento de 3.7 kN.m / m.
Figura 10.12 Momentos máximos positivos en las dos franjas medias del ejemplo 10.1.
Ma = 10.9 kN.m / m Mb = 3.7 kN.m / m

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182
Como se discutió en 10.2.1 y se mostró en la figura 10.7 los momentos en ambas
direcciones son mayores en la región central de la losa mientras que en las franjas de
borde se disminuyen considerablemente sus magnitudes. En consecuencia se propone
que por seguridad y facilidad de calculo toda la franja media se diseñe para el máximo
momento obtenido del análisis y las franjas de borde se diseñen para la tercera parte del
máximo momento en la mitad de la luz como se explica en la figura 10.13.
Figura 10.13 Momentos en franjas centrales y de borde en losas bidireccionales
La discusión anterior se ha realizado para un solo recuadro o panel de losa y en
condiciones de simplemente apoyado en sus bordes. En la practica esta no es la
situación típica y por lo general el sistema de piso esta compuesto por varios paneles
que tienen condiciones de borde diferentes de acuerdo a su ubicación geométrica figura
10.14. Por ejemplo los paneles 6 y 9 son continuos en sus cuatro lados por lo tanto
ilustran el caso 2 de las tablas 10.1 a 10.4. Los paneles 2, 3, 5, 7 y 10 son continuos en
tres lados e ilustran los casos 8 y 9. Los paneles 1, 8,11 y 12 son continuos solo en dos
de sus lados e ilustran los casos 3, 4 o 5 y el panel 4 es continuo solo en un lado e ilustra
los casos 6 y 7. Se puede apreciar en este simple ejemplo como el caso 1 ( bordes no
continuos ) no ha sido considerado confirmando lo dicho inicialmente.
En un borde continuo los momentos son negativos en los bordes de las vigas continuas
interiores y la magnitud de los momentos positivos depende de las condiciones de
continuidad de los bordes de la losa en forma similar al método de los coeficientes para
vigas continuas y losas en una dirección.
lb
la
lb / 2
la / 2
Mb
Ma
Ma / 3
Mb / 3

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183
Figura 10.14 Sistema de piso en dos direcciones con vigas de borde
Según lo anterior las tablas 10.1 a 10.4 dan los coeficientes de momento y cortante para
las diferentes condiciones de apoyo y dimensiones indicadas. Los máximos momentos
negativos se presentan cuando se aplica la totalidad de la carga muerta y viva en dos
paneles consecutivos. En los bordes discontinuos la viga de borde o los muros de apoyo
suministran cierto grado de restricción rotacional de la losa por lo que existen
momentos negativos cuya magnitud se puede asumir igual a la tercera parte del
momento positivo para la misma dirección. Para los momentos positivos el efecto
anterior es despreciable cuando solo actúa la carga muerta en los dos paneles
consecutivos. Los máximos momentos positivos por carga viva se presentan cuando la
carga actúa solo en el panel indicado mientras los paneles adyacentes están sometidos
solo a la carga muerta. En este caso se puede presentar una ligera rotación en los bordes
continuos de la losa el cual es considerado en los coeficientes dados en la tabla 10.3.
Finalmente para determinar la cortante en la losa y la cargas sobre las vigas se utilizan
los valores de la tabla 10.4 para ambas direcciones.
1 2 3 4
5 6 7
8 9
1 2 3 4
5 6 7
9 10
1
2
3
4
A
B C D
E
8
5
11 12
X
Y
l1x l2x l3x l4x
l1y
l2y
l3y
l4y

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184
10.2.3 Cuantías, posición y distribución del refuerzo en la losa
El refuerzo a flexión de la losa se coloca distribuido en forma de malla con barras
paralelas a cada dirección de trabajo. Cuando se trabaja con barras prácticamente es
imposible que ambas capas de refuerzo ( X y Y ) queden a la misma altura efectiva “ d “
por lo que se debe colocar la capa en dirección por encima de la capa en dirección corta.
Este problema solo se presenta en los momentos positivos porque para los negativos
solo se refuerza en la dirección considerada.
El refuerzo en forma de malla se puede utilizar siempre y cuando se coloque la cuantía
adecuada en cada sección. El uso de barras rectas es el método mas convencional pero
este requiere detallarlo adecuadamente en aquellos puntos de corte y doblado. Se
pueden utilizar también barras rectas dobladas a 45° que sirvan para atender momentos
positivos y negativos simultáneamente. La figura 10.15 resume las recomendaciones
generales de colocación y distribución del refuerzo en losas de acuerdo a la practica mas
utilizada en la ingeniería.
Figura 10.15 Puntos de corte y doblado de barras en losas bidireccionales
L1 L2
150
L1/ 8
150
L2/ 8
150
L2/ 8
L1/ 4
L1/ 3 L2/ 3 L2/ 3
Cortar
¾ As
Cortar
¾ As
L1 L2
150
L1/ 4
150
L2/ 4
150
L2/ 4
L1/ 7 L1/ 3 L2/ 3 L2/ 3
Cortar
¾ As

_________________________________________________________________________________________________________
185
La cantidad de refuerzo mínimo en cada dirección equivale al de la requerida por
retracción y temperatura de acuerdo a los siguientes valores:
Cuando fy = 280 o 350 MPa ρmin = 0.0020
Si fy = 420 MPa o se refuerza con malla ρmin = 0.0018
Si fy > 420 MPa ( fy medido a un εs = 0.0035 ) ρmin = 0.0018 x ( 420 / fy )
En las zonas de momento máximo la separación lateral del refuerzo no debe exceder de
dos veces el espesor de la losa.
Los momentos torsores que actúan en los bordes de la losa solo tienen influencia en las
esquinas exteriores donde el efecto es mayor. En estas regiones se produce una
fisuración tanto en la parte superior como inferior de la losa siguiendo un patrón en
forma de diagonal como se ilustra en la figura 10.16. Para evitar este efecto se
recomienda colocar en estos puntos un refuerzo diagonal que se prolongue una longitud
igual a la quinta parte de la mayor dimensión del panel.
Figura 10.16 Refuerzo por torsión en los bordes exteriores de la losa
Ejemplo 10.2 Se requiere diseñar la losa de la figura 10.14 con los siguientes datos:
distancia de centro a centro de ejes en X = 6.50 m , distancia de centro a centro de ejes
en Y = 8.0 m, Carga viva de servicio: 7.0 kN / m2
, f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa.
Solución: El procedimiento de diseño se resume en los siguientes pasos: a) dimensionar
losa y vigas b) estimar cargas de diseño c) Determinar momentos en cada panel
utilizando los coeficientes de las tablas d) Ajustar y equilibrar los momentos en cada
una de las direcciones de trabajo e ) determinar el refuerzo a flexión f) revisar la
cortante y g) determinar las cargas sobre las vigas en las dos direcciones
lb
la
Refuerzo superior
Refuerzo inferior

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186
a) Dimensionamiento de la losa y las vigas: Para determinar el espesor de la losa “ hs “
se puede inicialmente considerar que el ancho de las vigas sea de bv = 300 mm
( ) ( )[ ] mhh ss 15.0
180
3.00.8.23.05.6.2
≥⇒
−+−
≥
Se puede asumir que el espesor de losa maciza sea hs = 150 mm. Si se quiere utilizar un
sistema nervado en dos direcciones se deben dimensionar los nervios, el sistema
aligerante y el espesor del recubrimiento así: sea bw =100 mm, cajas de madera como
aligerante de dimensiones 0.60 x 0.60 x 0.35 m y recubrimiento de 50 mm =>
Figura 10.17 Sección típica de losa aligerada en dos direcciones
Para garantizar rigidez en los bordes de la losa las vigas deben tener alturas mayores o
iguales a 3 x 150 mm = 450 mm. Sean vigas en las dos direcciones de hv = 500 mm la
cual cumple satisfactoriamente con la restricción de hv ≥ ( 8.0 - 0.30 ) / 24 = 0.32 m.
Figura 10.18 Panel interior típico de losa en dos direcciones
0.60 m
0.10 m 0.10 m
50 mm
0.70 m
0.35 m
6.20 m
7.70 m

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187
b) Cargas de diseño de la losa. El peso propio de la losa es:
Maciza: 2
/.5.380.94.215.0 mkNqpp =××=
Aligerada:
( ) 2
/5.38.94.2
60.0
10.035.0
.205.0 mkNqpp =××










 ×
+=
Caja de madera = 0.15 kN/m2
Acabados de piso e instalaciones=1.0 kN/ m2
Divisiones interiores = 1.5 kN/ m2
Total de la carga muerta: 3.5 + 0.15 + 1.0 + 1.5 = 6.15 kN/m2
Total de la carga viva = 6.70 kN/ m2
Carga total de diseño: 2
/187.104.770.66.115.62.1 mkNqu =+=×+×=
c) Determinación de los momentos en cada panel
La determinación de los valores de momento y cortante se realizara para cada tipo de
panel y cada dirección utilizando primero las franjas centrales, luego se definirán las
características de las franjas de borde. “ la / lb = 6.2 / 7.7 = 0.80 “ para todos los paneles.
Paneles: 1, 8, 11 y 12. Están con dos bordes discontinuos => caso # 4
Figura 10.19 Panel continuo en dos lados del ejemplo 10.2
Lb = 7.70
La = 6.20
Y
X
Franja central en X
Franja central
en Y

_________________________________________________________________________________________________________
188
Momentos negativos en los bordes continuos: Tabla 10.1
mmkNMa /..492.618071.0 2
=××=−
mmkNMb /..317.718029.0 2
=××=−
Momentos positivos por carga muerta: Tabla 10.2
mmkNcmMa /..112.64.7039.0)( 2
=××=+
mmkNcmMb /.77.74.7016.0)( 2
⋅=××=+
Momentos positivos por carga viva: Tabla 10.3
mmkNcvMa /.202.67.10048.0)( 2
⋅=××=+
mmkNcvMb /.137.77.10020.0)( 2
⋅=××=+
Fuerza cortante y reacciones: tabla 10.4
( ) ( ) mkNVa /407.72/7.72.61871.0 ⋅=××××=
( ) ( ) mkNVb /202.62/7.72.61829.0 ⋅=××××=
Figura 10.20 Momentos y cortantes en panel # 1 en las dos franjas centrales
Ma ( +) = 11 y 20 kN.m / m
La = 6.2 m
Ma(-) = 49 kN.m / m
Franja media corta
Va = 40
Va = 40
Lb = 7.7 m
Vb = 20 Vb = 20
Mb ( +) = 7 y 13 kN.m / m
Mb(-) = 49 kN.m / m
Franja media larga

_________________________________________________________________________________________________________
189
Paneles: 2 y 3. Están con un borde discontinuo => caso # 9
Figura 10.21 Panel continuo en tres lados del ejemplo 10.2
Momentos negativos :
mmkNMa /..522.618075.0 2
=××=−
mmkNMb /..187.718017.0 2
=××=−
Momentos positivos (carga muerta):
mmkNcmMa /..82.64.7029.0)( 2
=××=+
mmkNcmMb /.47.74.7010.0)( 2
⋅=××=+
Momentos positivos (carga viva):
mmkNcvMa /.172.67.10042.0)( 2
⋅=××=+
mmkNcvMb /.117.77.10017.0)( 2
⋅=××=+
Cortante y reacciones:
( ) ( ) mkNVa /467.72/7.72.61883.0 ⋅=××××=
( ) ( ) mkNVb /122.62/7.72.61817.0 ⋅=××××=
Lb = 7.70
La = 6.20
Y
X
Franja central en X
Franja central
en Y

_________________________________________________________________________________________________________
190
Panel: 4. tiene un solo borde continuo => caso # 6
Figura 10.22 Panel continuo en un solo lado del ejemplo 10.2
Momentos negativo:
mmkNMa /..602.618086.0 2
=××=−
Momentos positivos ( carga muerta ):
mmkNcmMa /..132.64.7045.0)( 2
=××=+
mmkNcmMb /.77.74.7015.0)( 2
⋅=××=+
Momentos positivos ( carga viva ):
mmkNcvMa /.212.67.10051.0)( 2
⋅=××=+
mmkNcvMb /.127.77.10019.0)( 2
⋅=××=+
( ) ( ) mkNVa /487.72/7.72.61886.0 ⋅=××××=
( ) ( ) mkNVb /102.62/7.72.61814.0 ⋅=××××=
Lb = 7.70
La = 6.20
Y
X
Franja central en X
Franja central
en Y

_________________________________________________________________________________________________________
191
Paneles: 5, 7 y 10. Están con un borde discontinuo => caso # 8
Figura 10.23 Panel continuo en dos de sus lados. Ejemplo 10.2
Momentos negativos:
mmkNMa /..382.618055.0 2
=××=−
mmkNMb /..447.718041.0 2
=××=−
Momentos positivos ( carga muerta ):
mmkNcmMa /..92.64.7032.0)( 2
=××=+
mmkNcmMb /.77.74.7015.0)( 2
⋅=××=+
Momentos positivos ( carga viva ):
mmkNcvMa /.182.67.10044.0)( 2
⋅=××=+
mmkNcvMb /.127.77.10019.0)( 2
⋅=××=+
( ) ( ) mkNVa /317.72/7.72.61855.0 ⋅=××××=
( ) ( ) mkNVb /312.62/7.72.61845.0 ⋅=××××=
Lb = 7.70
La = 6.20
Y
X
Franja central en X
Franja central
en Y

_________________________________________________________________________________________________________
192
Paneles: 6 y 9. Están con todos los bordes continuos => caso # 2
Figura 10.24 Panel continuo en todos sus lados. Ejemplo 10.2
Momentos negativos:
mmkNMa /..452.618065.0 2
=××=−
mmkNMb /..297.718027.0 2
=××=−
Momentos positivos
mmkNcmMa /..82.64.7026.0)( 2
=××=+
mmkNcmMb /.57.74.7011.0)( 2
⋅=××=+
Momentos positivos
mmkNcvMa /.172.67.10041.0)( 2
⋅=××=+
mmkNcvMb /.117.77.10017.0)( 2
⋅=××=+
Fuerza cortante y reacciones:
( ) ( ) mkNVa /407.72/7.72.61871.0 ⋅=××××=
( ) ( ) mkNVb /202.62/7.72.61829.0 ⋅=××××=
Lb = 7.70
La = 6.20
Y
X
Franja central en X
Franja central
en Y

_________________________________________________________________________________________________________
193
d) Ajuste y equilibrio de momentos en cada dirección
Dirección X
Franja media en paneles 1, 2, 3 y 4
Ma(-)
Ma(+)cm 11 8 8 13
Ma(+)cv 20 17 17 21
Figura 10.25 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central X paneles “ 1 2 3 y 4 “
De la figura 10.25 se obtienen los momentos de diseño positivos y negativos para la
región central de los paneles 1, 2, 3 y 4 de la losa. El tramo AB se diseña para un
momento positivo de MuAB = 30 kN.m /m; el tramo BC: MuBC = 26 kN.m / m; el tramo
CD: MuCD = 27 kN.m / m y el tramo DE: MuDE = 36 kN.m /m.
Los momentos de diseño negativos son: en el borde A: MuA = 30 / 3 = 10 kN.m/m; en
B: MuB = 50 kN.m/m; en C: MuC = 52 kN.m/m; en D: MuD =56 kN.m/m y en E: MuE =
36 / 3 = 12 kN.m / m.
49 52 52 52 52 60
50 52
56
30
9
27
15
10
26
6
36
50 52 56
1 2 3 4
Primera
combinación
de carga
Segunda
combinación
de carga
A B C D E
1
2

_________________________________________________________________________________________________________
194
Franja media en paneles 5, 6 y 7:
Ma(-)
Ma(+)cm 9 8 9
Ma(+)cv 18 17 18
Figura 10.26 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central X paneles “ 5, 6 y 7 “
De la figura 10.26 se obtienen los momentos de diseño positivos y negativos para la
región central de los paneles 5, 6 y 7 de la losa. Los momentos positivos son:
Tramo AB: MuAB = 26 kN.m / m;
Tramo BC: MuBC = 27 kN.m / m;
Tramo CD: MuCD = 26 kN.m / m.
Los momentos de diseño negativos son:
En el borde A: MuA =26 / 3 = 9 kN.m / m.
En B: MuB = 41 kN.m / m.
En C: MuC = 41 kN.m / m
En D: MuD = 9 kN.m / m.
38 45 45 38
41 41
26
8
26
8
27
8
41 41
5 6 7
Primera
combinación de
carga
Segunda
combinación de
carga
A B C D
2
3

_________________________________________________________________________________________________________
195
Franja media en paneles 8, 9 y 10:
Ma(-)
Ma(+)cm 11 8 9
Ma(+)cv 20 17 18
Figura 10.27 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central X paneles “ 8, 9 y 10 “
La figura 10.27 resume los momentos de diseño positivos y negativos para la región
central de los paneles 8, 9 y 10 de la losa. Los momentos positivos son:
Tramo AB: MuAB = 32 kN.m / m;
En A: MuA = 32 / 3 = 11 kN.m / m.
En B: MuB = 47 kN.m / m.
En D: MuD = 25 / 3 = 8 kN.m / m.
49 45 45 38
47 41
32
9
25
12
26
5
47 41
8 9 10
Primera
combinación de
carga
Segunda
combinación de
carga
A B C D
3
4

_________________________________________________________________________________________________________
196
Franja media en paneles 11 y 12
Figura 10.28 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central X paneles “ 11 y 12 “
Los momentos de diseño positivos y negativos para la región central de los paneles 11 y
12 están indicados en la figura 10.28. Los momentos positivos son:
En B: MuA = 31 / 3 = 10 kN.m / m.
En D: MuD = 31 / 3 = 10 kN.m / m.
11 12
6.2 6.2
11
31
49
B C D
31
11
49
4
5

_________________________________________________________________________________________________________
197
Dirección Y
Franja central en paneles 1, 5 y 8
Figura 10.29 Equilibrio y ajuste de momentos en franja central Y paneles “ 1, 5 y 8 “
Los momentos de diseño positivos y negativos para la región central de los paneles 1, 5
y 8 están indicados en la figura 10.29.
Los momentos de diseño positivos son:
Tramo 1-2: Mu12 = 16 kN.m / m
Tramo 2-3: Mu23 = 25 kN.m / m
Tramo 3-4: Mu34 = 16 kN.m / m.
En 1: Mu1 = 16 / 3 = 5 kN.m / m.
En 2: Mu2 = 38 kN.m / m
En 3: Mu3 = 38 kN.m / m.
En 4: Mu4 = 16 / 3 = 5 kN.m / m.
1
5
8
31
44
44
31
7
13
7
12
7
13
38
38
16
13
16
38
38
3
25
3
A B
1
2
3
4

_________________________________________________________________________________________________________
198
Franja central en paneles 2, 6, 9 y 11
Momentos de diseño positivos Momentos de diseño negativos
Tramo 1-2: Mu12 = 13 kN.m / m En 1: Mu1 = 13 / 3 = 4 kN.m / m.
Tramo 2-3: Mu23 = 16 kN.m / m En 2: Mu2 = 23 kN.m / m
Tramo 3-4: Mu34 = 16 kN.m / m. En 3: Mu3 = 29 kN.m / m
En 5: Mu4 = 20 / 3 = 7 kN.m / m
2
6
9
18
29
29
29
4
11
5
11
5
11
23
29
13
8
16
23
29
4
16
5
B C
1
2
3
4
5
11
31
29
7
13
30
7 20
30

_________________________________________________________________________________________________________
199
Franja central en paneles 3, 7, 10 y 12
Momentos de diseño positivos Momentos de diseño negativos
Tramo 1-2: Mu12 = 9 kN.m / m En 1: Mu1 = 9 / 3 = 3 kN.m / m.
Tramo 3-4: Mu34 = 22 kN.m / m. En 3: Mu3 = 44 kN.m / m
En 5: Mu4 = 17 / 3 = 6 kN.m / m
3
7
10
18
44
44
44
4
11
7
12
7
12
31
44
9
14
22
31
44
-2
26
10
C D
1
2
3
4
5
12
31
44
7
13
38
4 17
38

_________________________________________________________________________________________________________
200
Franja central en panel 4
En esta franja no hay que realizar equilibrio y ajuste de momentos en dirección Y :
Momento de diseño positivo: MuAB = 19 kN.m / m
Momento negativo en borde 1: Mu1 = 19 / 3 = 6 kN.m / m
Momento negativo en borde 2: Mu2 = 19 / 3 = 6 kN.m / m
e) Determinación del refuerzo a flexión para cada dirección
Se utiliza el algoritmo de diseño de secciones rectangulares simplemente reforzadas.
Los datos necesarios para el diseño son: espesor de losa maciza h = 150 mm, d = 125
mm y b = 1000 mm. El hormigón de f´c = 21 MPa y el acero de fy = 420 MPa
El refuerzo mínimo es Asmin = 0.0018 x 1000 x 125 = 225 mm2
/ m 1# 4 @ 0.55 m.
Sin embargo en las zonas de momento máximo ( franjas medias ) el máximo
espaciamiento es 2 x h = 300 mm mientras que en el resto de la losa es 3 x h = 450 mm.
Dirección X
Refuerzo en los paneles 1, 2, 3 y 4.
Tramo AB
Franjas centrales: MuAB = 30 kN.m / m => As = 678 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Franjas de borde: MuAB = 10 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m
Tramo BC
Franjas centrales: MuBC = 26 kN.m / m => As = 582 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Franjas de borde: MuBC = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m
Tramo CD
Franjas centrales: MuCD = 27 kN.m / m => As = 606 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Franjas de borde: MuCD = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m
Tramo DE
Franjas centrales: MuDE = 36 kN.m / m => As = 826 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.15 m
Franjas de borde: MuDE = 12 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m
Borde A
Franjas centrales: MuA = 10 kN. m / m => As = 216 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.30 m
Franjas de borde: MuA = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m
Nudo B
Franjas centrales: MuB = 50 kN. m / m => As = 1192 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.10 m
Franjas de borde: MuB = 17 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m

_________________________________________________________________________________________________________
201
Nudo C
Franjas centrales: MuC = 52 kN. m / m => As = 1247 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.10 m
Franjas de borde: MuC = 17 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m
Nudo D
Franjas centrales: MuD = 56 kN. m / m => As = 1360 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.10 m
Franjas de borde: MuD = 19 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m
Borde E
Franjas centrales: MuE = 12 kN. m / m => As = 260 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.30 m
Franjas de borde: MuE = 4 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m
Refuerzo en los paneles 5, 6 y 7.
Tramo AB
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Tramo BC
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Tramo CD
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Borde A
Franjas centrales: MuA = 9 kN. m / m => As = 216 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.30 m
Nudo B
/ m 1 # 4 @ 0.15 m
Nudo C
/ m 1 # 4 @ 0.15 m
Franjas de borde: MuC = 14 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.40 m
Nudo D
Franjas centrales: MuD = 9 kN. m / m => As = 216 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.30 m
Refuerzo en los paneles 8, 9 y 10.
Tramo AB
/ m 1 # 4 @ 0.15 m

_________________________________________________________________________________________________________
202
Tramo BC
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Tramo CD
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Borde A
Franjas centrales: MuA = 11 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m
Nudo B
/ m 1 # 4 @ 0.10 m
Franjas de borde: MuB = 16 kN.m / m => As = 350 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.35 m
Nudo C
/ m 1 # 4 @ 0.15 m
Franjas de borde: MuC = 14 kN.m / m => As = 305 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.40 m
Nudo D
Franjas centrales: MuD = 8 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m
Refuerzo en los paneles 11 y 12
Tramo BC
/ m 1 # 4 @ 0.15 m
Tramo CD
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Borde B
Franjas centrales: MuB = 10 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m
Nudo C
/ m 1 # 4 @ 0.10 m
Franjas de borde: MuC = 16 kN.m / m => As = 350 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.35 m
Borde D
Franjas centrales: MuD = 10 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m

_________________________________________________________________________________________________________
203
Dirección Y
Refuerzo en los paneles 1, 5 y 8
Tramo 1-2
Franjas centrales: Mu12 = 16 kN.m / m => As = 350 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.30 m
Franjas de borde: Mu12 = 5 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m
Tramo 2-3
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Tramo 3-4
/ m 1 # 4 @ 0.30 m
Borde 1
Franjas centrales: Mu1 = 5 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m
Nudo 2
Franjas centrales: Mu2 = 38 kN. m / m => As = 877 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.15 m
Nudo 3
/ m 1 # 4 @ 0.15 m
Borde 4
Refuerzo en los paneles 2, 6, 9 y 11
Tramo 1-2
Franjas centrales: Mu12 = 13 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m
Tramo 2-3
/ m 1 # 4 @ 0.30 m
Tramo 3-4
/ m 1 # 4 @ 0.30 m

_________________________________________________________________________________________________________
204
Tramo 4-5
/ m 1 # 4 @ 0.30 m
Borde 1
Nudo 2
/ m 1 # 4 @ 0.25 m
Nudo 3
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Nudo 4
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Borde 5
Refuerzo en los paneles 3, 7, 10 y 12
Tramo 1-2
Franjas centrales: Mu12 = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m
Tramo 2-3
/ m 1 # 4 @ 0.20 m
Tramo 3-4
/ m 1 # 4 @ 0.25 m
Tramo 4-5
/ m 1 # 4 @ 0.30 m
Borde 1

_________________________________________________________________________________________________________
205
Nudo 2
/ m 1 # 4 @ 0.15 m
Nudo 3
/ m 1 # 4 @ 0.10 m
Franjas de borde: Mu3 = 15 kN.m / m => As = 328 mm2
/ m 1 # 4 @ 0.40 m
Nudo 4
/ m 1 # 4 @ 0.15 m
Borde 5
Refuerzo en el panel 4
Tramo 1-2
/ m 1 # 4 @ 0.30 m
Borde 1
Borde 2
La figuras 10.30 ilustra el refuerzo en una franja media en dirección X y la figura 10.31
para una franja en dirección Y.
Figura 10.30 Colocación del refuerzo en dirección X. Franja típica central
# 4 @ 0..30 # 4 @ 0.10 # 4 @ 0.10 # 4 @ 0.10 # 4 @ 0.30
# 4 @ 0..20 # 4 @ 0..20 # 4 @ 0..20 # 4 @ 0..15
Panel 1 Panel 2 Panel 3 Panel 4

_________________________________________________________________________________________________________
206
Figura 10.31 Colocación del refuerzo en dirección Y. Franja típica central
f) Revisión de la cortante en la losa
La cortante que le transmite la losa a las vigas es numéricamente igual a las cargas
verticales sobre las vigas reducidas en una cantidad equivalente al valor de “ Vud “. La
resistencia a cortante de la losa es:
mkNmmNVc /.73/107312510002117.075.0. 3
=×=××××=φ
Si la cortante externa “ Vud “ es menor que “ ΦVc / 2 = 37 kN / m “ se concluye que la
losa no requiere refuerzo transversal.
La carga total por panel es: 18 kN / m2
x 6.2 x 7.7 = 859 kN ( 41% muerta, 59% viva)
Cortante en paneles 1, 2, 3 y 4 ( dirección X )
De la tabla 10.4 para una relación la / lb = 0.80 se obtiene:
Panel 1 : Caso 4 => Ca = 0.71 Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m
Panel 2 y 3 : Caso 9 => Ca = 0.83 Vu = 0.83 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 46 kN / m
Panel 4 : Caso 6 => Ca = 0.86 Vu = 0.86 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 48 kN / m
La cortante a una distancia “ d = 125 mm “ de la cara del apoyo es:
Panel 1 : Vud = 38 kN / m > 37 kN / m => Se requiere refuerzo transversal
Paneles 2 y 3: Vud = 44 kN / m > 37 kN / m => Se requiere refuerzo transversal
Panel 4 : Vud = 46 kN / m > 37 kN / m => Se requiere refuerzo transversal
# 4 @ 0..30 # 4 @ 0.25 # 4 @ 0.20 # 4 @ 0.20 # 4 @ 0..30
# 4 @ 0..30 # 4 @ 0.30 # 4 @ 0.30 # 4 @ 0.30
Panel 2 Panel 6 Panel 9 Panel 11

_________________________________________________________________________________________________________
207
Figura 10.32 Cortante en los paneles 1, 2, 3 y 4 ( dirección X )
Cortante en paneles 5, 6 y 7 ( dirección X ): la / lb = 0.80
Paneles 5 y 7: Caso 8 => Ca = 0.55 Vu = 0.55 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 31 kN / m
Panel 6: Caso 2 => Ca = 0.71 Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m
Paneles 5 y 7 => Vud = 30 kN / m => No se requiere refuerzo transversal
Panel 6 => Vud = 38 kN / m => Se requiere refuerzo transversal
Cortante en paneles 8, 9 y 10 ( dirección X ): la / lb = 0.80
Panel 8: => Vud = 38 kN / m => Se requiere refuerzo transversal
Panel 9: => Vud = 38 kN / m => Se requiere refuerzo transversal
Panel 10: => Vud = 30 kN / m => No se requiere refuerzo transversal
6.2 6.2 6.2 6.2
40 kN/m
40 kN/m
46 kN/m
46 kN/m
46 kN/m
46 kN/m
48 kN/m
48 kN/m
Panel 1
Panel 2 Panel 3 Panel 4

_________________________________________________________________________________________________________
208
Cortante en paneles 11 y 12 ( dirección X ): la / lb = 0.80
Paneles 11 y 12: Caso 4 => Ca = 0.71 Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m
Paneles 11 y 12: => Vud = 38 kN / m => Se requiere refuerzo transversal
Nota: Por lo general las losas no llevan refuerzo transversal ya que desde el
dimensionamiento preliminar se asegura que su espesor sea el adecuado para resistir la
mayor cortante en la losa. En casos excepcionales el refuerzo por cortante se coloca en
forma similar a las vigas es decir en forma de estribos de una o varias ramas. En este
caso como la cortante que aporta el hormigón es de 73 kN / m se requiere colocar un
refuerzo mínimo a cortante:
Si se utilizan barras @ 65 mm con fy = 420 MPa el área mínima de refuerzo es:
⇔=
×
×= 2
min, .54
420
651000
35.0 mmAv Usar # 2 (31 mm2
) @ 65 mm según figura 10.33
Figura 10.33 Refuerzo a cortante en dirección X de la losa del ejemplo 10.2
Cortante en paneles 1, 5 y 8 en dirección Y
Panel 1 y 8 : Caso 4 => Cb = 0.29 Vu = 0.29 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 20 kN / m
Panel 5 : Caso 8 => Cb = 0.45 Vu = 0.45 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 31 kN / m
Todos < 37 kN / m => No se requiere refuerzo por cortante
Cortante en paneles 2, 6, 9 y 11 en dirección Y
Panel 2: Caso 9 => Cb = 0.17 Vu = 0.17 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 12 kN / m
=> No se requiere refuerzo por cortante
# 2 @ 65 mm
1.0 m

_________________________________________________________________________________________________________
209
Cortante en paneles 3, 7, 10 y 12 en dirección Y
=> No se requiere refuerzo por cortante
Cortante en panel 4, dirección Y
Panel 4: Caso 6=> Cb = 0.14 Vu = 0.14 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 10 kN / m
En resumen para la dirección Y no se requiere refuerzo por cortante.
g ) Determinación de las cargas ultimas vivas y muertas sobre las vigas
Una vez se conocen las cortantes en cada panel se obtienen también las reacciones para
cada dirección que precisamente son las cargas sobre las vigas. Del total el 41% es
carga muerta y el 59% carga viva. Para diseñar las vigas se debe sumar el peso propio.
Vigas en dirección Y ( reciben las franjas en dirección X de la losa)
Viga A: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 40 = 16 kN/m qv =0.59 x 40 = 24 kN/m
Tramo 2-3: qm= 0.41 x 31 = 13 kN/m qv =0.59 x 31 = 18 kN/m
Viga B: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 86 = 35 kN/m qv =0.59 x 86 = 51 kN/m
Viga C: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 92 = 38 kN/m qv =0.59 x 92 = 54 kN/m

_________________________________________________________________________________________________________
210
Viga D: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 94 = 39 kN/m qv =0.59 x 94 = 55 kN/m
Viga E: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 48 = 20 kN/m qv =0.59 x 48 = 28 kN/m
Vigas en dirección X ( reciben las franjas en dirección Y de la losa)
Viga 1: Tramo AB: qm= 0.41 x 20 = 8 kN/m qv =0.59 x 20 = 12 kN/m
Tramo BC: qm= 0.41 x 12 = 5 kN/m qv =0.59 x 12 = 7 kN/m
Tramo CD: qm= 0.41 x 12 = 5 kN/m qv =0.59 x 12 = 7 kN/m
Tramo DE: qm= 0.41 x 10 = 4 kN/m qv =0.59 x 10 = 6 kN/m
Viga 5: Tramo BC: qm= 0.41 x 20 = 8 kN/m qv =0.59 x 20 = 12 kN/m

_________________________________________________________________________________________________________
211
10.2.4 Control de las deflexiones
Por las características de borde particulares para este tipo de losas es frecuente obtener
pequeños espesores que reflejan grandes deflexiones a no ser que se impongan algunas
restricciones respecto a la relación luz – espesor. En la edición del código ACI 318-63,
donde por primera vez se presenta el método, se indicaba que de acuerdo al
comportamiento observado en la practica y los ensayos realizados el espesor mínimo de
losa debe ser el mayor de: a ) 100 mm o b) el perímetro del panel dividido por 180. Sin
embargo en este método quedan algunas variables por solucionar como por ejemplo el
efecto de la rigidez de las vigas perimetrales en el comportamiento de la losa y la
posibilidad de disponer de un sistema de piso sin vigas de borde. Este ultimo aspecto lo
soluciona el ACI proponiendo dos procedimientos generales de calculo que aparecen
por primera vez en la versión del código ACI-318-71: a) el método directo y b) el
método del pórtico equivalente, ambos permiten resolver cualquier sistema de piso que
trabaje en dos direcciones.
Alternativamente la deflexión máxima en el centro de un panel en dos direcciones
puede estimarse por las ecuaciones geométricas y luego compararse con los valores
admisibles definidos en las especificaciones de diseño. La tabla 10.5 resume esta
recomendaciones para losas en dos direcciones y vigas.
Tabla 10.5 Deflexiones máximas admisibles en losas en dos direcciones y vigas
Tipo de elemento Deflexión considerada Deflexión limite
Losas de cubierta cuya deflexión
no afecta a divisiones o
conexiones interiores.
Instantánea debida a la carga
viva Luz / 180
Losas de piso cuya deflexión no
afecta a divisiones y conexiones
interiores.
Instantánea debida a la carga viva
Luz / 360
Losas de piso y de cubierta cuya
deflexión si afecta otros
elementos interiores
Luz / 480
Losas de piso y de cubierta cuya
deflexión no afecte a otros
elementos interiores.
Luz / 240
El calculo de la deflexión de una losa es complejo por la influencia de gran numero de
variables, por ejemplo: la variación rotacional de las restricciones de borde, la influencia
de la disposición de cargas alternadas, la variación en la relación dimensional de los
lados y los efectos de la fisuración, la retracción y la fluencia del hormigón. Sin
embargo es posible determinar unos valores apropiados de la deflexión con base en los
coeficientes de momento dados en las tablas 10.1 a 10.3.
La deflexión total de una losa esta compuesta de una parte inmediata debida a la carga
viva mas una diferida debida a la carga sostenida. La tabla 10.5 da los valores limites
aceptables para cualquier caso en consideración en función de la luz ( las
especificaciones ACI no son claras al indicar cual luz usar si la corta o la larga, pero es
razonable basar los cálculos en la luz corta ya que indica una menor deflexión).
Deflexión obtenida después de
colocar los elemento no
estructurales. Es la suma de la
deflexión diferida por carga
sostenida mas la deflexión
inmediata por carga viva

_________________________________________________________________________________________________________
212
Es importante recordar que en la determinación de los momentos utilizando el método
de los coeficientes se obtienen siempre los máximos positivos y negativos para cada
condición de borde. Igualmente se estimaron con base en una condición de carga viva
alterna para momento positivo y continua para momento negativo. Estas probables
condiciones de carga son incorrectas para estimar las deflexiones ya que es
prácticamente imposible que se presenten simultáneamente dos condiciones máximas de
carga en un determinado momento.
La deflexión máxima por carga viva se obtiene cuando esta actúa sobre el panel
indicado, con sus paneles vecinos descargados. Esta disposición es la conocida como “
tablero de ajedrez “. La deflexión por carga viva se debe estimar a partir del máximo
momento positivo hallado según las tablas y con los correspondientes momentos
negativos para las condiciones de borde indicadas.
La figura 10.34 ilustra lo indicado anteriormente: en esta losa se considera la franja
media por unidad de ancho en la dirección larga del panel. La variación del momento
para una carga uniformemente distribuida es parabólica y la suma del momento positivo
y el promedio del momento negativo debe dar según la estática: “ Mest. = qb.lb
2
/ 8 “.
Figura 10.34 Variación del momento positivo de acuerdo a los bordes
∆l
lb
la
Momento
estatico total :
Mest.
Línea de momento cero
para apoyos articulados
Línea de momento cero para
apoyos 50% empotrados
Línea de momento cero
para apoyos empotrados
1/3 Mest.
2/3 Mest
1/3 Mest
Mb = Cb.q.lb
2
Franja media
en luz larga

_________________________________________________________________________________________________________
213
Donde “ qb “ es la fracción de la carga en dirección larga. Si se presentara
empotramiento total en los apoyos el momento negativo seria:
.
22
. .
3
2
..
3
2
8
1
.
12
1
estbbbbneg MlqlqM =





==
El momento positivo seria:
22
.... ..
24
1
..
8
1
.
3
1
.
3
1
.
3
2
bbbbestestestpos lqlqMMMM =





==−=
Como previamente se ha indicado al usar las tablas 10.1 a 10.3 los coeficientes de
máximo momento positivo por carga viva se han obtenido para un 50% de
empotramiento y no un 100%. Según lo anterior la línea de cero momento asociada con
el máximo momento positivo “ Mb “ es como se indica en la figura 10.34 en línea
punteada resaltada.
Los cálculos de la deflexión se basan en el diagrama parabólico de momentos de la
figura 10.34 con un valor de momento máximo en la mitad de la luz igual a “ Mb “ y los
momentos negativos en los bordes iguales a la mitad de este valor. La deflexión por
carga viva en la mitad de la luz “ ∆L “ de la franja media de la losa indicada en la figura
10.34 se puede determinar fácilmente usando el diagrama de momentos ilustrado. Si la
losa tiene ambos bordes continuos =>
effc
bb
L
IE
lM
.
.
32
3 2
=∆ ( 10.6 )
Para demostrar la ecuación anterior se parte de que la deflexión máxima de una viga
doblemente empotrada y sometida a una carga uniformemente distribuida es:
IE
lq bb
..384
. 4
max =∆
Además el momento en la franja media es:
36
.
.
24
1
3
2
3
2 2
2 bb
bbestb
lq
lqMM =





==
Despejando el valor de la carga: 2
.36
b
b
b
l
M
q =
Reemplazando “ qb “ en “∆max” se obtiene:
IE
lM
IE
l
l
M bbb
b
b
..32
..3
..384
.
.36 24
2max ==∆
Este ultimo valor concuerda perfectamente con la ecuación 10.6. El valor de “ Mb “ es el
momento positivo por carga viva usando el coeficiente de la tabla correspondiente. “ Ec

_________________________________________________________________________________________________________
214
“ es el modulo elástico del hormigón y “ Ieff “ es el momento efectivo de inercia de la
sección de hormigón utilizando un ancho de franja unitario.
La ecuación 10.6 se ha derivado para un panel interior típico de una losa, con momentos
de empotramiento iguales en los extremos. En general se pueden derivar de la misma
forma otros casos para determinar la deflexión cuando uno o los dos extremos sean
discontinuos. Sin embargo reconociendo que el análisis por el método de los
coeficientes utiliza en los bordes discontinuos un momento igual a un tercio del
momento positivo es evidente que el resultado de las ecuaciones deducidas difiere muy
poco del obtenido con la ecuación 10.6 y por tanto esta se puede usar, con muy poco
error, en paneles con uno o ambos extremos discontinuos siempre y cuando la losa
trabaje monolíticamente con las vigas perimetrales.
En los casos en que la losa se apoye directamente sobre muros se concluye que no hay
restricción al giro por lo que la deflexión por carga viva es:
effc
bb
L
IE
lM
.
.
48
5 2
=∆ ( 10.7 )
La deflexión por carga muerta puede obtenerse a partir del diagrama de momentos,
usando el máximo momento positivo por carga muerta obtenido de las tablas
correspondientes y considerando todos los paneles cargados. Se debe recordar que para
los bordes continuos no se utilizo el empotramiento total en la determinación de los
coeficientes por lo que para determinar la deflexión por carga muerta se debe
considerar este aspecto =>
effc
bb
D
IE
lM
.
.
16
1 2
=∆ ( 10.8 )
En este caso “ Mb “ es el máximo momento positivo por carga muerta. En los casos en
donde la losa este apoyada sobre muros y pueda rotar libremente se tiene:
effc
bb
D
IE
lM
.
.
48
5 2
=∆ ( 10.9 )
Ya que las deflexiones indicadas anteriormente se han obtenido en la franja unitaria de
la losa en dirección larga es claro que si se realizan los cálculos en dirección corta se
deben obtener los mismos resultados ya que la deflexión en el centro del panel debe ser
la misma en ambas direcciones. Si se presentan algunas diferencias, estas se deben a las
aproximaciones de los cálculos. En algunos casos se pueden determinar las deflexiones
para cada dirección y luego promediar el resultado para obtener la del panel.
El ACI recomienda ( igual el NSR-98 ) que el momento efectivo de inercia se determine
usando la expresión 10.10 en donde “ Mcr “ es el momento de fisuración del hormigón.
de esta forma se considera el efecto de la fisuración del hormigón en la reducción de la
rigidez. En losas apoyadas en sus bordes la fisuración bajo cargas de servicio es por lo

_________________________________________________________________________________________________________
215
general reducida y con muy poco error se pueden realizar los cálculos usando la sección
bruta “ Ig “ para la franja unitaria.
gcr
a
cr
g
a
cr
eff II
M
M
I
M
M
I ≤














−+





= .1.
33
( 10.10 )
Las deflexiones de la losa determinadas con el procedimiento indicado son las elásticas
iniciales producidas por la aplicación de las cargas. En el caso de cargas sostenidas se
recomienda que la deflexión diferida se obtenga de multiplicar la deflexión inmediata
por el factor de la ecuación 10.11.
´
501 ρ
λ
+
=
T
( 10.11 )
En donde “ λ “ es el factor que multiplica a la deflexión inmediata para hallar la
deflexión a largo plazo. “ T “ es el coeficiente de tiempo que depende de la duración de
la carga ( entre 1.0 y 2.0 ). “ ρ´ ” es la cuantía del refuerzo a compresión.
La experiencia indica que un valor de T = 2.0 subestima el valor de las deflexiones para
el caso de losas por lo en estos casos se sugiere “ T = 3.0 “ .
Ejemplo 10.3 Considerando el panel # 1 del ejemplo 10.2 y suponiendo que sobre la
losa se colocan elementos decorativos y arquitectónicos que no soportan grandes
deflexiones determinar . a) la deflexión por carga muerta b) la deflexión por carga viva
y c) la deflexión diferida. Asumir además que estos elementos se van a colocar tres
meses después de construida la losa y el periodo de carga sostenida es de 5 años.
Solución: Se deben trabajar los cálculos con las cargas en servicio =>
Deflexión inmediata por carga muerta: se utiliza la ecuación 10.8
MPaEc .21950214790 =×=
Para franjas de b = 1.0 m 46
3
10281
12
1501000
mmIg ×=
×
=
Momento ( + ) en servicio ( carga muerta ) dirección larga: mmkNMb /.8.5
2.1
0.7
==
mmD .48.3
1028121950
7700108.5
16
1
6
26
=
××
××
×=∆
Momento ( + ) en servicio ( carga muerta ) dirección corta: mmkNMa /.2.9
2.1
11
==

_________________________________________________________________________________________________________
216
mmD 85.3
1028121950
6200102.9
16
1
6
26
&=
××
××
×=∆
La deflexión inmediata por carga muerta es:
( ) mmD 53.3
2
58.348.3
=
+
=∆
Deflexión diferida por carga sostenida: Se asume que solo la carga muerta
permanece aplicada continuamente en los 5 años. Además como parte de la
carga muerta se aplica a los tres meses cuando ya se tiene aproximadamente un
50% de la deflexión diferida el coeficiente λ se debe dividir por 2 => λ = T = 3.0
mmDLP 30.5
2
0.3
53.3
2
=×=⋅∆=∆
λ
Deflexión por carga viva: se determina con la ecuación 10.6 =>
Momento ( + ) en servicio ( carga viva ) dirección larga: mmkNMb /.8.10
2.1
13
==
mmL 73.9
1028121950
7700108.10
32
3
6
26
=
××
××
×=∆
Momento ( + ) en servicio ( carga viva ) dirección corta: mmkNMa /.0.17
2.1
20
==
mmL 93.9
1028121950
62001017
32
3
6
26
=
××
××
×=∆
La deflexión inmediata por carga viva es:
( ) mmL 83.9
2
93.973.9
=
+
=∆
La deflexión total a los 5 años es: 5.30 + 9.83 = 15.13 mm
La deflexión admisible para este panel es: mmadm 92.12
480
6200
==∆ . Se concluye que
la losa no cumple la especificación exigida y se recomienda modificar sus dimensiones
o considerar la posibilidad de aligerar el peso de los elementos decorativos o
arquitectónicos que actúan sobre la losa.
De la misma forma se procede con los paneles restantes en la losa determinando las
deflexiones inmediatas y diferidas y comparándolas con las admisibles de acuerdo a los
requisitos de uso y servicio de la edificación.

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