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  1. 1. TRANSFORMACIONES LINEALES (ALGEBRA) ALUMNOS: MIGUEL ANGEL GARCIA WHA
  2. 2. VICTOR MANUEL GONZALES OLLERVIDEZ JESUS ALBERTO MONTOYA BALLEZAÍNDICE PAG.Introducción 31. Transformaciones lineales 41.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades 41.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación,contracción, rotación) 71.3 Definición del núcleo o kernel, e imagen de unatransformación lineal 111.4 La matriz de una transformación lineal y representación 13matricial de una transformación lineal 151.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales1.6 Algebra de las transformaciones lineales 191.7 Aplicación de las transformaciones lineales. 19 2
  3. 3. 1.8 Isomorfismos 22 Conclusión 23 Bibliografía 23 INTRODUCCIÓNUna transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre unvector para convertirlo en otro vector.Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber,sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado,conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones sellamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos.Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se puedenrepresentar en términos de matrices, y viceversa.Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen seanespacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Lastransformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal yen otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones 3
  4. 4. importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física,la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentestipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuacioneslineales. 1. TRANSFORMACIONES LINEALES 1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades 4
  5. 5. Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Unatransformación lineal de V en W, es una función tal que: i) , . i) , , .En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operacionesdefinidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.Observaciones: i) Si es una transformación lineal, entonces .En efecto . Por la ley de la cancelación en W, tenemos que .Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamosen el siguiente inciso. i) es lineal si y solo si , , .Si T linéal, entonces . Inversamente, supongamos que , , . Probemos las dos condiciones para que T sealineal: a) . b)Nótese que usamos el hecho de que , lo cual es consecuencia del comentariohecho al final del inciso (i). i) es lineal si y solo si , .La demostración se hace por inducción sobre n. a) Si , entonces , por la condición (ii) de T. b) Supongamos válido para n. Probemos para : 5
  6. 6. Por la condición (i) de T, tenemos que, Y por hipótesis de inducción, tenemosque,Así que podemos concluir que,Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso dela observación (i) de arriba.Ejemplo 1.Sea tal que , . Entonces T es lineal, ya que , y porotro lado, . Por lo tanto, vemos que .Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como .Ejemplo 2.Sea tal que , . Entonces T es lineal, ya que .Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y sedenota como .Ejemplo 3.Sea tal que la traza de A, es decir, , la suma de loselementos de la diagonal. Entonces T es lineal, ya que 6
  7. 7. Ejemplo 4. Sea tal que . Entonces T es lineal, ya queEjemplo 5.Sea tal que , la derivada de . Entonces T es lineal ya que:Ejemplo 6.Sea , el espacio vectorial de todas las funciones continuas en un intervalocerrado y sea tal que . Entonces T es lineal ya que:Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen seanespacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: 1. T(u+v) = T(u) + T(v) 2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.Clasificación de las transformaciones lineales 1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. 2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva). 3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva). 4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo). 5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez. 7
  8. 8. 1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo )Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es latransformación T de en que gira cada vector un ángulo , paraobtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:Distribuyendo y usando el hecho de que y tenemos que:Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación talque .Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que: 8
  9. 9. Ejemplo 8. (Reflexión sobre el eje x)En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de enque cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector . Enuna gráfica, vemos la situación como sigue:En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulosrectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que: 9
  10. 10. Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de enque a cada vector lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtenerun vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal.Consideremos el siguiente subespacio de :Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien, tiene un complemento directo, a saber,De tal forma que cada vector se escribe en forma única como suma de unvector de más un vector de como sigue: 10
  11. 11. Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a sobre , el cual esprecisamente el término correspondiente a en la descomposición anterior!Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue:Definición. Sea V un espacio vectorial y sea un subespacio tal que existe elcomplemento directo de en V, es decir tal que , de tal forma que cadavector se escribe en forma única como:Con y . Definimos entonces la proyección sobre , como aquellatransformación tal que .Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si , con y , entoncescon y . Por lo tanto, de acuerdo a la definición de T, tenemosque:En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de laproyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificarsobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es elcomplemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tenerdistintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complementodirecto:En efecto, es claro que es un subespacio de y . Además,cada se escribe como . Todo esto demuestra que . Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos queen este caso, la transformación queda dada como sigue:Así pues, por cada complemento directo que tengamos a la mano, podemos definir unaproyección asociada a dicha descomposición.Ejemplo contracciónUna contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción,cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que laoriginal. k 0Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal A = cuando K=1/2 0 1 1/ 2 0VA = 2 4 =1 4 0 1Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal. 11
  12. 12. Ejemplo dilatación o expansiónUna dilatación es una transformación que incrementa distancias. 1 0Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical A = cuando K=2 0 k 1 0VA = 2 4 = 2 8 0 2Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1) 1.3 DEFINICIÓN DEL NÚCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEALKernel o NúcleoDefinición 94 Sea una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleode la transformación lineal , denotado por al conjunto de las preimágenes delvector nulo, es decirEjemplo Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformaciónlinealSolución: Necesitamos determinar los vectores de tales queEvaluandoes decir, 12
  13. 13. luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemosPor lo tanto,Con lo cual,(x;y;z) = (0;-(1/3)z;z) = z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es elsubespacioNote que el resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las preimágenes de un vector para una transformación lineal dada.Ejemplo Determinar el kernel de la siguiente transformación linealSolución: Como tenemos que ReemplazandoImagen o RecorridoRecordemos la definición de recorrido.Definición Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal , esto es como el conjunto de los vectores que tienen al menos una preimagen.Ejemplo Dada la transformación lineal 13
  14. 14. Determinar la imagen deSolución: Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable,determinemos cuales vectores tienen pre imagen.Para ello, sean tales queT(x;y;z) = (a;b;c) (2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c)Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistemaAhora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, y determinando suescalonadaluego, un vector tiene pre imagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (nonecesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribirPor lo tanto,Im(T) = {(a;b;c) /((x;y;z) ((T(x;y;z)=(a;b;c))= {(a;b;c) /a-b-c=0}= <(1;1;0);(1;0;1)>:1.4 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL YREPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓNLINEALRepresentación matricial de una transformación lineal.Sea T : V ↦−→ W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y{w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad,como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m∑i=1tikwidonde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la base ordenada {w1,...,wm}. 14
  15. 15. • Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una columna para cada uno de los n–elementos t(e1),..., t(en), formando así una matriz de orden m × n. Así toda T.L de un espacio n–dimensional V, en un espacio m dimensional W da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación matricial de T relativa a unas bases ordenadas {e1,...,en}, de V y {w1,...,wm}, para w.TeoremaDada una transformación lineal T: V → V donde dimV = n. Si T tienen unarepresentación en matriz diagonal, existe entonces un conjunto de elementosindependientes u1,...,u2 en V y un conjunto correspondiente de escalares λ1,...λn quesatisfacen: T(uK) = λkuk para k=1, 2,...,n. Recíprocamente, si existe un conjuntoindependiente u1,...,un en V y un conjunto correspondiente de escalares λ1,...,λn quesatisfacen (1), entonces la matriz A = diag(λ1,...,λn) es una representación de T respectoa la base(u1,...,un).Luego el problema de hallar una representación en matriz diagonal de unatransformación lineal se reduce al de hallar el elemento sin dependientes u1,...,un y losescalares λ1,...,λn que satisfacen T(uk) = λkuk. Para k = 1, 2,...,n. Tales elementosu1,...,un y λ1,...,λn, se conocen como autovectores y autovalores respectivamente.TeoremaSea una matriz de n × n se dice que λ es un valor propio de A ssi P(λ)=det(A − λi) = 0Esta es la ecuación característica de A, P(λ) se llama polinomio característico de A.TeoremaSea A una matriz real o compleja de orden n × n, entonces exite una matriz C complejainvertible de orden n × n talqueC−1 AC = JDonde J es la matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores propiosde A.Mas aun la matriz de Jordan es única, excepto por el orden (dado por la base ordenadafija) en el que aparecen los bloques de Jordan.Una manera de facilitar el trabajo con una transformación lineal, es asociarle unamatriz, para lo cual es necesario considerar un par de bases ordenadas.Definición Sean dos espacios vectoriales sobre , además bases ordenadas derespectivamente y una transformación lineal de enSe define la matriz asociada a en las bases adenotada por 15
  16. 16. dondeAdemás si la base del espacio de partida es igual al del espacio de llegada, la matrizasociada a la transformación lineal se denota por1.5 TRANSFORMACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALESTeorema sobre transformaciones de renglones de matrices.Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistemaequivalente si:a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj.b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRi Ri .c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Símbolo: kRi+ Rj Rj.Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.Ejemplo.Resuelve el sistema:x + 2y + 3z = 94x + 5y + 6z = 243x + y - 2z = 4Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz(más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolosadecuados entre matrices equivalentes. 16
  17. 17. (-4)R1 + R2 R2 (-3)R1 + R3 R3 (-(1÷ 3))R2 R2 (-1)R3 R3 (-5)R2 + R3 R3Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede encontrarahora por sustitución.La matriz final de la solución es una forma escalonada. En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones: a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1. b) La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo. c) Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz.Ejemplo:Sea la matriz: 17
  18. 18. , es "una matriz escalonada"Guías para hallar la forma escalonada de una matriz.(a) Localizar la primera columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicartransformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esacolumna.(b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj Rj. para j > 1y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglonesrestantes.(c) Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contengaelementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón conobjeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna.(d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj Rj. para j >2 y obtener 0bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en cada uno de los renglones restantes.(e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columnaque contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento.(f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.Ejemplo:Resuelve el sistema:Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una formaescalonada, según se describe en las guías. R1 R4 18
  19. 19. R2 R3 (1)R1 + R3 R3 (-2)R1 + R4 R4 (-1)R2 R2 (-(1÷ 2))R2 R2 (-1)R2 + R3 R3 (-1)R2 + R4 R4 (3)R3 + R4 R4La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones: 19
  20. 20. (-(1÷ 2))R4 R4Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos quew = -1; de la tercera ecuación vemos que z = -2 . Sustituimos en la segundaecuación, y obtenemos:y - 2z - w = 6y - 2(-2) - (-1) = 6y+4+1=6y=1Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:x + z + 2w = -3x + (-2) + 2(-1) = -3x - 2 - 2 = -3x=1Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = -2, w = -1. 1.6 ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALESSean podemos definir la suma de transformaciones lineales, dada porTambién podemos definir la multiplicación por escalar.Sean definamos la multiplicación por escalar de unatransformación lineal, dada por  Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3 ∈ A y α ∈F: 20
  21. 21.  T1(T2+T3)=T1T2+T1T3  (T2+T3)T1=T2T1+T3T1  α(T1T2)=(αT1)T2=T1(αT2)  Si además se cumple que  (T1T2)T3=T1(T2T3)  entonces A es un álgebra asociativa  Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1: VàU y T2: UàW dos transformaciones lineales.  Se define la composición de T2 seguida de T1 T2°T1 como la función de V a W (T2°T1) :VàW tal que (T2°T1)(v)=T2(T1(v))  Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2°T1 también lo es.  Demo. Sean u,v ∈V y α,β ∈ F, entonces  (T2°T1)(αv+βu)=T2(T1(αv+βu))=T2(αT1(v)+βT1(u))  = α (T2°T1)(v)+β (T2°T1)(u)  (T2°T1) es T.L.  Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa. 1.7 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número deproblemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen yteniendo esto saber si es un espacio vectorial.Ejemplo 142Dada la transformación linealDeterminar todos los espacios propios asociados a sabiendo que son los únicosvalores propios.Solución: Determinemos el espacio propio asociado al valor propioV2 = { (x;y)/T(x;y)=2(x;y)}= {(x;y)/(x+y;3x-y)=2(x;y)}= {(x;y)/(-x+y;3x-3y)=(0;0)}= {(x;y)/-x+y=0= <(1;1)> 21
  22. 22. Para el otro valor propio procedemos de manera similarV-2 = {(x;y)/T(x;y)=-2(x;y)}= {(x;y)/(x+y;3x-y)=-2(x;y)}= {(x;y)/(3x+y;3x+y)=(0;0)}= {(x;y)/3x+y=0}= <(1;-3)>Ejemplo Sean bases de y una transformación linealtal queDemostrar que es un isomorfismo, sin explicitarSolución: Para demostrar que es un isomorfismo, basta celular el determinante de y comprobar que es distinto deCalculemosPor lo tanto la matriz es invertible, luego es un isomorfismo.Para explicitar la transformación inversa, tenemosReemplazando obtenemosNecesitamos determinar las coordenadas de en la base .Igualando coordenadas obtenemos el sistema de ecuaciones lineales 22
  23. 23. Resolviendo el sistema mediante la matriz, tenemosAsí luego[T-1(x;y;z)]b = ( -1 -2 0)74x+14y-54z ( -8 -13 1)14y-54x+34z ( -11 -18 1) 14z+14x-14y[T(x;y;z)]D = ( 34x-34y-14z) (a) ( 52x-112y+12z)=(b) ( 72x-152y+12z) (c)Con lo cual obtenemosT-1(x;y;z) = a(1;1;-1)+b(0;2;-1)+c(1;0;1)T-1(x;y;z) = (174x-334y+14z;234x-474y+34z;14x-54y+14z ) 1.8 ISOMORFISMOSEl concepto matemático de isomorfismo (del griego iso-morfos: Igual forma)pretende captar la idea de tener la misma estructura.Dos estructuras matemáticas entre las que existe una relación de isomorfismo sellaman isomorfas.Ejemplos de isomorfismosPor ejemplo, si X es el conjunto de los números reales positivos con el producto y Yes el conjunto de los números reales con la suma, la función logarítmica ln:X→Y esun isomorfismo, porque y cada número real es ellogaritmo de un único número real positivo. Esto significa que cada enunciado sobreel producto de números reales positivos tiene (sin más que sustituir cada número porsu logaritmo) un enunciado equivalente en términos de la suma de números reales,que suele ser más simple.Otro ejemplo: si en el espacio E elegimos una unidad de longitud y tres ejesmutuamente perpendiculares que concurren en un punto, entonces a cada punto delespacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas, obteniendo así una 23
  24. 24. aplicación f:E→R³ en el conjunto de las sucesiones de tres números reales. Cuandoen E consideramos la distancia que define la unidad de longitud fijada y en R³consideramos la distancia que define la raíz cuadrada de la suma de los cuadradosde las diferencias, f es un isomorfismo. Este descubrimiento fundamentalde Descartes permite enunciar cualquier problema de la geometría del espacio entérminos de sucesiones de tres números reales, y este método de abordar losproblemas geométricos es el núcleo de la llamada geometría analítica.Características del isomorfismoEl descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa esencialmenteque el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo que nos da dos puntos devista diferentes sobre cada cuestión y suele ser esencial en su adecuadacomprensión. También significa una analogía como una forma de inferencialógica basada en la asunción de que dos cosas son la misma en algunos aspectos,aquellos sobre los que está hecha la comparación. En ciencias sociales, unisomorfismo consiste en la aplicación de una ley análoga por no existir una específicao también la comparación de un sistema biológico con un sistema social, cuando setrata de definir la palabra "sistema". Lo es igualmente la imitación o copia de unaestructura tribal en un hábitat con estructura urbana. CONCLUSIÓNSe han visto más detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedadesque hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado ala conclusión de todos los temas están relacionados en cierta forma ya que envarios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto entemas anteriores.Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de lautilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir lasenseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender yanalizar y poder poner en practica los temas futuros.Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que dejartirado lo ya hemos aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar 24
  25. 25. problemas en nuestro futuro, citando el dicho popular si no aprendemos denuestros errores del pasado los mismo nos estarán esperando en un futuro. BIBLIOGRAFÍAhttp://72.14.253.104/search?q=cache:nor7ql8AS2QJ:www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/memorias/memorias13/Formas%2520can%C3%B3nicas%2520de%2520Jordan.pdf+REPRESENTACI%C3%93N+MATRICIAL+DE+UNA+TRANSFORMACI%C3%93N+LINEAL&hl=es&ct=clnk&cd=6&gl=mx&lr=lang_eshttp://docentes.uacj.mx/gtapia/ALgebra/Contenido/Unidad%20IV/definicion%20y%20ejemplos.htmhttp://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def91.htmhttp://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def94.htm 25
  26. 26. http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def97.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s1.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s2.htmlhttp://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_2.html#http://www.ciencia.net/VerArticulo/Transformaci%C3%B3n-lineal?idArticulo=dsfjuvpf1drjfg2kj5kpa2e1http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html 26
  27. 27. http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def97.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s1.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s2.htmlhttp://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_2.html#http://www.ciencia.net/VerArticulo/Transformaci%C3%B3n-lineal?idArticulo=dsfjuvpf1drjfg2kj5kpa2e1http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html 26
  28. 28. http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def97.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s1.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s2.htmlhttp://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_2.html#http://www.ciencia.net/VerArticulo/Transformaci%C3%B3n-lineal?idArticulo=dsfjuvpf1drjfg2kj5kpa2e1http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html 26
  29. 29. http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def97.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s1.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s2.htmlhttp://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_2.html#http://www.ciencia.net/VerArticulo/Transformaci%C3%B3n-lineal?idArticulo=dsfjuvpf1drjfg2kj5kpa2e1http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html 26

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