Física en la Terapia Ocupacional
1.5 Torque y Palanca
Teoría
Dr. Willy H. Gerber
Instituto de Física,
Universidad Austral, Valdivia, Chile
12.09.2009
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Generación de Rotación
Hasta ahora hemos visto como la Fuerza origina Traslación
pero no hemos analizado como se genera Rotación. Por ello
veremos
▶ Centro de Masa
▶ Fuerza sobre un Objeto
▶ El Equilibrio
▶ El Torque
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Centro de Masa I
Si observamos un Cuerpo
que se sostiene desde un
Punto, veremos que
tenemos que balancearlo
bien para evitar que ruede
en una o la otra dirección.
Concluimos que existe un
punto desde el cual
podemos equilibrar el
cuerpo no presentando
rotación alguna.
Este Punto se denomina
Centro de Masa.
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Centro de Masa II
Para determinar el punto de
equilibrio podemos balancear el
cuerpo en cada uno de sus ejes.
Si lo orientamos de una forma y
encontramos la Posición en que
se mantiene en equilibrio
habremos identificado una recta
imaginaria sobre el cual se
encuentra el Centro de Masa.
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Centro de Masa III
Una vez se ha determinado uno de las coordenadas del Centro
de Masa se rota el objeto y busca la próxima coordenada del
Centro de Masa.
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Centro de Masa IV
De esta forma se determina un Punto que denominamos
Centro de Masa/
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Centro de Masa V
Cuando arrojamos un objeto observaremos que se desplaza
girando en torno de su Centro de Masa:
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Fuerza sobre un Objeto
De la discusión anterior se
concluye que toda Fuerza ⃗ se
F
puede descomponer en dos
⃗ partes. Una primera ⃗ ∥ a lo largo
F
F
de la linea que une el Punto de
⃗∥
F
⃗⊥ Ataque (PA) al Centro de Masa
F
PA (CM) del Cuerpo. La segunda
componente es perpendicular ⃗ ⊥ F
a la linea que une el Punto de
CM Ataque con el Centro de Masa.
La primera origina la Traslación
del Cuerpo mientras que la
segunda su Rotación.
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El Equilibrio I
Si recordamos nuestra infancia en que jugábamos con
balancines sabemos que una de las formas de inclinar lo hacia
nuestro lado ere ’echándose para atrás’.
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El Equilibrio II
Si analizamos el caso del Balancín
veremos que si este tiene una
inclinación de en en cada
extremo de largos d1 y d2 se
d1
aplican Fuerzas F1 y F2 existirán
F1 fuerzas perpendiculares F1⊥ y F2⊥
d2
que lo trataran de rotar.
F1⊥
La Fuerza F1⊥ trata de girar el
balancín en el sentido contrario al
F2 movimiento del reloj mientras que
F2⊥ la fuerza F2⊥ lo hace en el sentido
positivo.
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El Torque
Experimentado uno encuentra que
el sistema esta en equilibrio y no
rota si
F1⊥ d1 = F2⊥ d2 (1)
⃗
T Por ello se define como Torque
T = rF⊥ (2)
⃗
r
o en forma vectorial
⃗⊥
F ⃗ =⃗ × ⃗
⃗
F T r F (3)
con r la distancia entre el Centro
de Masa y el Punto de Ataque.
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Torque
Mediante el Torque podemos calcular y explicamos una serie
de comportamientos:
▶ Centro de Masa
▶ Equilibrio
▶ Rotación
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Centro de Masa I
Si tenemos varias masas mi cada
una estará sujeta a una fuerza
gravitacional
m1 Fi = mi g (4)
generando un torque igual a
⃗CM
r Ti = ri mi g (5)
⃗1
r m2
donde ri es la distancia horizontal
⃗2
r de la masa i al Punto de Apoyo. Et
Torque total sera
T= Ti (6)
i
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Centro de Masa II
Si rCM es la Posición del Centro de
Masa, el Torque total en torno de
esta Punto
TCM = Ti = (ri −rCM )mi g = 0
i i
debe ser cero. De esta ecuación
podemos despejar el Centro de
Masa obteniendo
i mi ri
rCM = (7)
i mi
Con esta ecuacion podemos
calcular por ejemplo el Centro de
Masa de nuestro Cuerpo.
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Centro de Masa III
Si deseamos correr en una carrera
por lo general bajamos nuestro
cuerpo en función de tener un
buen apoyo con los pies para
impulsarnos. Sin embargo
tendemos a mantener nuestro
Centro de Masa en alto para
reducir la Energía necesaria para
elevarlo a la posición en que se
encuentra cuando corremos.
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Centro de Masa IV
Si desplazamos nuestro cuerpo
hacia un lado estamos moviendo
proporcionalmente el Centro de
Masa en la misma dirección. Sin
embargo notamos que tendemos
a tener cuidado con este tipo de
movimiento ’apuntalando’ con los
Pies. Si no lo hacemos perdemos
el Equilibrio lo que veremos a
continuación.
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Equilibrio I
Si el Centro de Masa no esta
exactamente sobre el Punto de
Apoyo, el Torque sobre este puede
desestabilizar la Posición a menos
que exista un Torque que actué en
contra y anule este. Si lo
visualizamos en un rectángulo,
esto significa que mientras el
Centro de Masa este al lado
izquierdo del Punto de giro el
Torque generado por la Gravedad
lo volverá a enderezar. Si
sobrepasa dicho punto caerá.
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Equilibrio II
En nuestro caso, el canto del
Rectángulo equivale a lo que son
los dedos de los Pies y el Talón,
Podemos desplazarnos en la
medida que nuestro Centro de
Masa no sobrepase el Punto de
Apoyo. Si requerimos desplazarlo
mas aya de lo que nuestra postura
habitual, deberemos desplazar
nuestros Pies de modo de crear el
Soporte.
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Equilibrio III
De esta forma se explica el uso
del bastón. Introduce un punto
lejano de apoyo que permite crear
estabilidad adicional. Esto en
particular si la persona tiene
dificultad de coordinar sus
movimientos por lo que errores en
el desplazamiento, que podrían
fácilmente llevar a una
desestabilizacion, pueden ser
evitados ya que existe un mucho
mayor rango movimientos
tolerantes al error.
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El Musculo I
El Musculo básicamente es un
generador de Torque que permite
mover cada uno de nuestros
miembros y para soportar
Fuerzas. Un ejemplo es nuestro
biceps que por un lado soporta el
peso del antebrazo y el Peso de
cualquier objeto que sostenga.
Como ejemplo podemos calcular
la Fuerza que debe soportar un
Musculo que ataca a r = 2,5 cm del
codo, para soportar la masa del
Brazo M = 1,5 kg que ataca a una
distancia D = 17 cm y la masa de
m = 500 g a una distancia
W. Gerber d = 40 cm. y Palanca - Teoría
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El Musculo II
Para que podamos sujetar un
Objeto y mantener el brazo en
forma horizontal deberemos
igualar con el Musculo el Torque
generado por la masa del Brazo y
F del Objeto, esto es
d rF = DMg + dmg = (DM + md)g
D
Con ello la Fuerza del Musculo
r sera
(DM + md)
F= g
r
mg que para el caso descrito arrojaría
Mg 178,4 N lo que equivale a sujetar
una masa de 18,2 kg.
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Palanca I
La relación entre las fuerzas y brazos (1) se denominan la Ley
de Palanca y permiten calcular el factor con que amplificamos
una Fuerza en función de actuar con un Brazo de mayor largo.
Si d2 > d1 podemos con una fuerza menor F⊥2 generar una
Fuerza mayor igual a
d2
F1⊥ = F2⊥ (8)
d1
donde d2 /d1 es el factor de amplificación.
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Palanca II
Un ejemplo de la ley de palanca
es el alicate.
Si el mango del alicate tiene un
largo de d2 = 12 cm y la parte de la
tensas es de d1 = 1,5 cm el factor
de amplificación es de
d2 12 cm
= =8
d1 1,5 cm
Eso significa que si aplicamos una
fuerza de 10 N se obtendrá una
Fuerza de 80 N.
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Ecuación de Movimiento
Mediante el Torque podemos calcular y explicamos una serie
de comportamientos:
▶ Fuerza y Torque
▶ Momento Angular
▶ Leyes de Newton
▶ Energía de Rotación
▶ Momento de Inercia
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Fuerza y Torque
Como hemos visto el Torque
cumple el rol de la Fuerza para el
caso de la Rotación:
F ←→ T
Para establecer las ecuaciones de
movimiento podemos recordar la
forma como se definió la Fuerza
en función del Momento
Δp
F= (9)
Δt
Por ello debemos definir primero lo
que equivale al Momento para el
caso de la Rotación.
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Momento Angular
El Momento se definió como el
Producto de la Masa Inercia con la
Velocidad:
p=m (10)
El análogo a la Velocidad en el
caso de la Rotación es la
Velocidad Angular , por ello el
equivalente al Momento deberá
ser un Momento Angular de la
forma:
L=I (11)
donde I se denomina el Momento
de Inercia y equivale a la Masa m.
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Leyes de Newton I
Por ello el Torque promedio sera
ΔL
T= (12)
Δt
y el Torque instantáneo
ΔL dL
T = limt→0 = (13)
Δt dt
que equivale a la Segunda Ley de
Newton para el caso de la
Rotación.
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Leyes de Newton II
En el caso de que el Momento de
Inercia sea constante
ΔL Δ
T= =I =I (14)
Δt Δt
con la Aceleración Angular. Esta
relación es el equivalente de la
segunda Ley de Newton (F = ma).
De esta forma, si se conoce el
Torque y el Momento de Inercia,
se puede calcular la Aceleración
Angular
T
= (15)
I
y con ello el Movimiento del
Sistema.
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Leyes de Newton III
De la segunda Ley se concluye
que, de la misma forma que en la
Traslación, si no se aplica Torque
la Velocidad Angular sera
constante que corresponde a la
primera Ley de Newton
T = 0 −→ = cte (16)
En forma análoga a todo Torque
Acción (TA ) existe un Torque de
Reacción (TR ) de igual magnitud y
dirección opuesta:
TR = −TA (17)
Uso de Acción-Reacción
lo que emplea el Gato.
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Energía de Rotación
Con la analogía entre rotación y
traslación podemos proponer una
relación para la Energía Cinética
de un cuerpo que rota. Como la
Energía Cinética en el caso de la
traslación es
1 2
T= m (18)
2
por lo que tendrá que ser
1 2
T= I (19)
2
Sin embargo aun no hemos
explicado como podemos calcular
la Momento de Inercia I.
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Momento de Inercia I
Si una masa m gira en torno a un
eje con velocidad tangencial la
Energía Cinética es
1 2
T= m
2
Dado que la Velocidad Tangencial
es
=r
r
m tenemos que la Energía Cinética
es
1 2 1
T= m = mr2 2
(20)
2 2
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Momento de Inercia II
Comparando (19) y (20) se ve que
el Momento de Inercia es
I = mr2 (21)
para una Masa Puntual m que gira
a una distancia r del Eje. Cualquier
cuerpo podemos visualizarlo como
la suma de muchas masas
pequeños mi cada una a una
distancia distinta ri del eje. En ese
caso el Momento de Inercia sera
El patinador modifica su I= mi ri2 (22)
i
Momento de Inercia
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Anexos
▶ Momentos de Inercia
▶ Unidades
▶ Conversiones
▶ Bibliografia
▶ Contacto
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Momentos de Inercia I
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Momentos de Inercia II
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Unidades
Simbolo Tipo Ejemplos
L Largo m, cm, mm, m
T Tiempo s, min, hrs
M Masa kg
% Porcentaje −
Simbolo Tipo Ejemplos
L2 Área, Superficie m2 , cm2
L3 Volumen m3 , cm3
M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3
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Conversiones I
1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3
1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m
1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3
1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3
1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt
1m2 = 10−4 ha
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Conversiones II
1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1s = 1,67 × 10−2 min
1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1s = 2,78 × 10−4 hr
1s = 1,16 × 10−5 dias
1 m/s = 3,6 km/hr 1s = 3,17 × 10−8 aos
1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7 s
1 dia = 8,64 × 10+4 s
1 hr = 3600 s
1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados. En caso de links a Google Books se
trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.
Introduction to Kinesiology: Studying Physical Activity, S.J.
Hoffman (Editor), Human Kinetics Publishers, 2008,
ISBN-13: 9780736076135
→ Leer en Google Books
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Contacto
Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net
Instituto de Física
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Valdivia, Chile
+(56) 63 221125
Set del Curso:
http://www.gphysics.net/physics-in-kinesiology-uach
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