Física en la Terapia Ocupacional
1.4 Fuerza y Aceleración
Teoría
Dr. Willy H. Gerber
Instituto de Física,
Universidad Austral, Valdivia, Chile
20.09.2009
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Generación de Movimiento
Desde los tiempos de Aristoteles se ha tratado de comprender
como se genera el Movimiento. Para ello veremos
▶ Aristoteles
▶ Galileo Galilei
▶ Leonhard Euler
▶ Pierre Louis Maupertuis
▶ Isaac Newton
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Aristoteles
Aristoteles fue el primero en tratar
de comprender el movimiento de
los cuerpos. En su libro ’De Caelo’
(Del Clielo) trata de comprender
como los cuerpos celestiales
(Planetas) y los cuerpos sobre la
tierra se mueven. Concluye que
aquellos en el Cielo son ’perfectos’
y por eso no caen. Que los
cuerpos ’sublunares’ no son
perfectos y por ello caen. Ademas
concluye que el tiempo que
demora una caída es proporcional
Aristoteles
a la masa, cosa que hoy sabemos
(384AC-322AC)
es falso.
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Galileo Galilei I
Galileo cuestiono la afirmación de
Aristoteles de que el tiempo de
caída de los cuerpos es
proporcional a la masa de estos.
En forma experimental muestro
que los cuerpos caen en el mismo
tiempo independiente de su masa.
De igual forma cuestiona otra
afirmación de Aristoteles según la
cual, fuera del vacío, todo cuerpo
tiende a quedar en reposo aun
Galileo Galilei que no actúen Fuerzas sobre este.
(1564-1642)
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Galileo Galilei II
Galileo enuncia en su libro
’Dialogo’ su principio de
relatividad, según el cual, un
experimento no sera afectado por
la velocidad con que se mueve el
sistema en que esta mientras que
la Velocidad sea constante. En
ese sentido un cuerpo en reposo
es un concepto relativo y, como
tal, no podría ser una ley universal.
Dialogo sopra i due
massimi sistemi del
mondo (1632)
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Leonhard Euler
En la búsqueda de las leyes que
nos permitan describir el
Movimiento en 1744, Euler
comenzó a trabajar con el
Momento
p=m (1)
donde m es la Masa y la
Velocidad de la Partícula. En
particular analiza como se
comporta una partícula en función
de lo que el llamo en su época la
Leonhard Euler acción, que define como la suma
(1707-1783) del Momento a lo largo del camino
que se desplaza la partícula.
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Isaac Newton
Newton es el primero que logra
establecer los principios básicos
sobre los que se logra. Su
Principia resume básicamente tres
Leyes que nos permite calcular
como los cuerpos se mueven.
Isaac Newton
(1643-1727)
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Leyes de Newton
Las Leyes de Newton son la base de la Mecánica por lo que
estudiaremos cada una:
▶ Ley de Inercia
▶ Ley de la Aceleracion
▶ Leys de Accion Reaccion
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Ley de Inercia I
La inercia es la tendencia de que
los cuerpos mantengan el estado
que tienen. En otras palabras se
requiere esfuerzo para cambiar la
velocidad que tienen. Si la acción
que hacemos es muy corta no
tendrá efecto sobre los cuerpos.
Un ejemplo es la vajilla sobre la
mesa: si los objetos se deslizan
fácilmente sobre el mantel podrá
jalar de este y retirarlo sin que la
loza se mueva.
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Ley de Inercia II
Una de las consecuencias dramáticas de la Inercia.
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Ley de Inercia III
Penetración de objetos
’blandos’ con ayuda de la Uso en juego
inercia.
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Ley de Inercia IV
Ley de Inercia
Todo cuerpo mantiene su estado
ya sea inmóvil o moviéndose en
forma uniforme y en línea recta, a
menos que actúa una fuerza sobre
el.
En forma matemática, si no existe
Fuerza ⃗ la Velocidad es
F
Constante ⃗ :
⃗ = ⃗ −→ ⃗ = cte
F 0 ⃗ (2)
en donde tanto la Fuerza como la
Velocidad son vectores.
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Ley de Aceleración I
La segunda Ley describe como
una Fuerza induce un cambio en
el Momento.
La Fuerza tiene una Dirección por
lo que se representa por un
Vector. Al tener Dirección genera
un Movimiento que a su vez tiene
una Dirección por lo que también
el Momento que lo describe tiene
que ser un Vector.
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Ley de Aceleración II
Ley de Aceleración
La tasa de cambio del momento
de un cuerpo es proporcional a la
resultante de la fuerza que actúa
sobre el cuerpo y en la misma
dirección.
La constante de proporcionalidad
se denomina Masa Inercial que es
distinta a la Masa Gravitacional.
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Ley de Aceleración III
Según la segunda Ley de Newton
la Fuerza promedio se puede
definir como
⃗ ⟨Δ⃗ ⟩
p
⟨F⟩ ≡ (3)
Δt
o el limite instantáneo
⃗ ≡ limt→0 Δ⃗ ≡ d⃗
F
p p
(4)
Δt dt
En el caso de que la masa es
constante
⟨Δ⃗ ⟩ = m⟨Δ⃗ ⟩
p (5)
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Ley de Aceleración III
En este caso la fuerza promedio
es
⃗ ⟨Δ⃗ ⟩
⟨F⟩ = m = m⟨⃗ ⟩
a (6)
Δt
En el caso uni-dimensional la
ecuación se reduce a
F = ma (7)
y si se tiene la Fuerza y la Masa
se puede calcular la aceleración
F
a= (8)
m
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Ley de Acción y Reacción I
La tercera Ley o Ley de la Acción
y Reacción describe como un
Sistema reacciona cuando le
aplicamos una Fuerza.
Cada vez que aplicamos una
Fuerza sobre un Objeto este
reacciona generando una Fuerza
igual pero en el sentid contrario.
En ese sentido un remero empuja
el agua hacia atrás para el
impulsarse hacia adelante.
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Ley de Acción y Reacción II
Ley de Acción y Reacción
Toda fuerza ocurre en pares, y
estas dos fuerzas son iguales en
magnitud y dirección opuesta.
La constante de proporcionalidad
se denomina Masa Inercial que es
distinta a la Masa Gravitacional.
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Ley de Acción y Reacción III
Si empujamos a otra persona
con la palma de las manos
sentiremos la misma fuerza del
otro sobre nosotros. Si
estamos parados sobre un
carro con rueda nos
impulsaremos mutuamente
alejándonos de la otra persona.
Lo mismo ocurre cuando
caminamos. Cuando
rechazamos con el Pie hacia
atrás, el Suelo reacciona
imprimiendo una Fuerza sobre
nosotros que nos impulsa.
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Ley de Acción y Reacción IV
Una de las Consecuencias es que no se puede hacer Fuerza
sobre uno mismos, ya que la Reacción la anula. Un ejemplo es
Münchhausen, que se salva de hundirse en un Pantano
jalando de su propio pelo.
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Ejemplos de Fuerzas
Para ir conociendo las Fuerzas, veremos algunos ejemplos:
▶ Fuerza Gravitacional
▶ Fuerza Elástica
▶ Fuerza Viscosa
▶ Aceleración del Pie
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Fuerza Gravitacional I
Una de las Fuerzas que
experimentamos a diario es la
Fuerza de la Gravedad. En las
cercanías de la Superficie del
Planeta se puede considerar que
es constante e igual a
Fg = mg g (9)
donde mg es la Masa Gravitacional
y g la Aceleración Gravitacional
que es 9,8 m/s2 . Con la Ecuación
Si se evita la resistencia de Newton (7) se obtiene para la
del Aire, se tiene una Fuerza Gravitacional que
caída libre
mi a = mg g (10)
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Fuerza Gravitacional II
Ya desde la Época de Galileo
mediciones habían dado que
ambas masas eran iguales
mg = mi ≡ m (11)
lo que significa que todo cuerpo (si
no hay otras fuerzas activas)
independiente de su forma y masa
cae con la misma Aceleración
Galileo experimento en a=g (12)
la torre de Piza
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Fuerza Elástica
Los resortes se extienden en
forma proporcional a la Fuerza
aplicada. Por ello la ley que los
describes es de la forma
F = kx (13)
donde k es la Constante del
Resorte y x la dilatación o
compresión. La Constante del
Resorte es propia de la geometría
y material del alambre empleado.
Resorte
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Fuerza Viscosa
La forma mas simple de la fuerza
viscosa es una Fuerza
proporcional a la Velocidad del
Cuerpo
F=b (14)
donde b es la Constante del
Elemento Viscoso y la Velocidad
del Objeto. La Constante del
Elemento Viscoso depende en
general de la Forma del Objeto y
de la Viscosidad del Medio en que
Viscosidad del Liquido se desplaza.
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Aceleración del Pie
Cuando aceleramos la Pierna, el
Pie alcanza Aceleraciones del
orden de 5 m/s2 mientras que a
nivel del Cuerpo es casi nula.
Como recién en el próximo
capitulo estudiaremos la rotación,
podemos en este momento solo
hacer una estimación aproximada,
suponiendo que para efectos de la
traslación la pierna como un todo
acelera a la mitad el valor del pie.
Como la masa es de la Pierna es
del orden de 14 kg la fuerza seria
F = ma = 14,5 kg 2,5 m/s2 = 36,25 N
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Energía
La Fuerza genera Energía la cual estudiaremos viendo:
▶ Concepto de Energía
▶ Energía Cinética
▶ Energía Potencial
▶ Energía Potencial Gravitacional
▶ Energía Potencial Elástica
▶ Conservación de Energía
▶ Energía para Caminar
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Concepto de Energía I
Carnot fue el Primero en describir
la Energía en función del Camino
y la Fuerza necesaria para
recorrerlo. Para avanzar un
Camino Δ⃗ con una Fuerza ⃗ se
s F
requiere/genera la Energía
ΔW = ⃗ ⋅ Δ⃗
F s (15)
Para un Camino de mayor largo se
debe sumar sobre la Energía
necesaria para cada Elemento de
Camino
Nicolas Léonard Sadi
Carnot ¯
W= ⃗ i ⋅ Δ⃗i
F s (16)
(1796-1832) i
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Concepto de Energía II
El Valor de esta Ecuación es eso
si solo un valor promedio de la
Energía requerida/generada. La
Energía precisa se obtiene en el
Limite que los Pasos son muy
d⃗
s ⃗
F pequeños de modo que la Fuerza
en ellos se pueda considerar
constante.
W= limΔ⃗i →⃗ ⃗ i ⋅ Δ⃗i
s 0F s (17)
i
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Concepto de Energía III
En dicho limite la Energía
corresponde a la Integral a lo largo
del Camino recorrido
W= ⃗ ⋅ d⃗
F s (18)
C
Las Unidades de la Energía se
han nombrado en honor a James
Joule que descubrió la
Equivalencia entre Energía
Térmica y Mecánica. La Unidad es
igual a
James Prescott Joule kg m2
J= 2
(1818-1889) s
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Energía Cinética I
La Energía necesaria para que un Objeto pase de la velocidad
1 a una Velocidad 2 se puede calcular mediante la definición
(15)
ΔW = FΔs
Con la segunda Ley de Newton se puede reescribir esta
expresión como
Δ
ΔW = m a Δs = m Δs
Δt
Empleando la Definición de la Velocidad
Δs
=
Δt
se obtiene
Δ
ΔW = m Δs = m Δ
Δt
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Energía Cinética II
la diferencia de las Velocidades sera
Δ = 2 − 1
Por otro lado la Velocidad misma se puede aproximar con la
velocidad promedio
1+ 2
=
2
Usando ambas expresiones se obtiene la expresión
( 1 + 2) m 2 2
ΔW = m Δ = m( 2 − 1) = ( 2 − 1)
2 2
Por ello la Energía varia según
m 2 m 2
ΔW = 2 − 1
2 2
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Energía Cinética II
Podemos definir asi la Energia
Cinetica
m 2
T≡ (19)
2
con lo que la Energía necesaria
para acelerar un Objeto de la
Velocidad 1 a 2 sera
m 2 m 2
ΔW = 2 − 1 ≡ T2 − T1 (20)
2 2
Al bajar gana Energía
Cinética
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Energía Potencial
La Energía se conserva por lo que
si la Energía Cinética varia debe
haber otra forma de Energía que
tiene el Potencial de transformarse
en Energía Cinética.
Como la Energía se define en
función de la Fuerza, a cada una
de estas les corresponde una
forma de Energía Potencial.
Viscosidad del Liquido
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Energía Potencial Gravitacional
Como la Fuerza Gravitacional es
F = mg
con m la masa. Para mover esta desde una altura h1 a una
altura h2 se va a recorrer un camino de
Δs = h2 − h1
la variación de la Energía Potencial seria
ΔW = FΔs = mg(h2 − h1 )
Por ello la Energía Potencial Gravitacional es
V = mgh (21)
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Energía Potencial Elástica
En el caso Elástico (Resorte) la Fuerza es
F = ks
con k la Constante del Resorte y s la elongación/compresión
del Resorte. La Variación de la Energía Potencial es
ΔW = FΔs = k s Δs
Por ello la Energía para elongación/compresión de s1 a s2 sera
(s1 + s2 ) k
ΔW = k s Δs = k(s2 − s1 ) = (s2 − s2 )
2 2 2 1
por lo que la Energía Potencial Elástica es
k
V = s2 (22)
2
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Conservación de Energía
Cuando tenemos roce
observamos que los cuerpos se
calientan por lo que tiene sentido
hablar de Energía Térmica.
Mohr fue el primero que se dio
cuenta que la suma de las
Energías Cinética T, Potencial V y
Térmica Q se conserva
E = T + V + Q = cte (23)
Karl Friedrich Mohr y solo existen conversiones entre
(1806-1879) estas.
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Energía para Caminar I
Existen distintos factores por los
cuales gastamos Energía al
caminar. Uno de los principales es
que en cada paso nuestras
Piernas son detenidas y
nuevamente aceleradas. El Pie
alcanza una Velocidad máxima de
max = 2,4 m/s mientras que el
Cuerpo se desplaza a una
Velocidad aproximadamente
constante de ¯ = 1,2 m/s. Al
posarse el Pie su velocidad baja
abruptamente a cero siendo
necesario volverlo a acelerar en el
próximo ciclo.
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Energía para Caminar II
A ¯ B ¯ C
d d
¯ h−d
h
¯ 1+ h
h
E max = 2¯ D
Para estudiar el caminar podemos mirar un modelo
simplificado en que el cuerpo viaja de A a B y C a velocidad
constante. Mientras el cuerpo viaja de A a B el pie esta en
reposo en D. Durante el desplazamiento del cuerpo de B a C el
pie lo rebasa yendo de D a E.
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Energía para Caminar III
En la primera fase un miembro a una distancia d del punto de
giro superior tendría una velocidad de
d
¯ 1− (24)
h
En la segunda parte del ciclo la velocidad del miembro tendría
no solo la velocidad del cuerpo ¯, a ellos se sumaria la de la
pierna que adelanta. En la mitad del recorrido la velocidad del
pie llegaría a max = 2¯, por lo que la velocidad del miembro
seria
d
¯ 1+ (25)
h
La Energía que el miembro pierde en cada paso es aquella que
se calcula de la diferencia de Energías Cinéticas de las dos
situaciones descritas.
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Energía para Caminar IV
Por ello la diferencia de Energías Cinéticas es
2 2
m 2 d m 2 d 2dm 2
ΔW = ¯ 1+ − ¯ 1− = ¯ (26)
2 h 2 h h
En otras palabras la Fuerza que haga nuestro pie al rechazar
debe a lo menos compensar esta perdida. Por ello, con (15), la
fuerza de rechazo para impulsar el miembro de masa m debe
ser:
ΔW 4dm 2
F= = ¯ (27)
Δs l
donde se asumió que Δs = l/2 es el largo de un paso y l el
largo de una zancada. La fuerza total se calcula sumando
sobre todas las masas (y correspondientes distancias al eje de
rotación) que deben ser aceleradas.
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Diagrama de Fase
Una forma simple de Analizar el Movimiento descrito por las
Ecuaciones es la representación gráfica en un diagrama
Velocidad-Posición. En este caso veremos:
▶ Diagrama de Fase
▶ Partícula Libre
▶ Fuerza Gravitacional
▶ Fuerza Elástica
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Diagrama de Fase
Una forma elegante de analizar
el comportamiento de Cuerpos
bajo las Ecuaciones de
Movimiento es la Diagramación
de gráficas Velocidad vs
Posición.
Para ello se debe escribir la
Energía total (Cinética +
s Potencial) y gratificar la relación
de Posición s y Velocidad .
Para el caso de sistemas que
disipan Energía tendremos que
gratificar considerando que la
Energía total va decreciendo
en el tiempo.
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Partícula Libre
En el caso de una Partícula
libre la Energía esta solo
compuesta por la Energía
Cinética por lo que tenemos
m 2
E= (28)
2
s La Función que se representa
en el Diagrama de Fase es
2E
= (29)
m
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Fuerza Gravitacional
La Energía total para el caso
de Fuerza Gravitacional es
m 2
E= + mgs (30)
2
Despejando la Velocidad se
s obtiene
√ E
= 2 − gs (31)
m
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Fuerza Elástica I
La Energía total para el caso
de Fuerza Elástica es
m 2 k
E= + s2 (32)
2 2
La curva corresponde a una
Elipse
2E
b= m
s s2 2
+ 2 =1 (33)
a2 b
2E
a= k
con los Semiejes
2E 2E
a= y b= (34)
k m
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Fuerza Elástica II
El Diagrama describe la típica
oscilación de un resorte.
▶ A: Resorte con Extención
máxima y Masa sin
Velocidad
▶ B: Resorte sin
Deformación y Masa tiene
D Velocidad máxima
s negativa
▶ C: Resorte con
C A
Compresión máxima y la
Masa sin velocidad
B
▶ D: Resorte sin
Deformación y Masa tiene
Velocidad máxima positiva
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Anexos
▶ Unidades
▶ Conversiones
▶ Bibliografia
▶ Contacto
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Unidades
Simbolo Tipo Ejemplos
L Largo m, cm, mm, m
T Tiempo s, min, hrs
M Masa kg
% Porcentaje −
Simbolo Tipo Ejemplos
L2 Área, Superficie m2 , cm2
L3 Volumen m3 , cm3
M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3
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Conversiones I
1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3
1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m
1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3
1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3
1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt
1m2 = 10−4 ha
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Conversiones II
1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1s = 1,67 × 10−2 min
1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1s = 2,78 × 10−4 hr
1s = 1,16 × 10−5 dias
1 m/s = 3,6 km/hr 1s = 3,17 × 10−8 aos
1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7 s
1 dia = 8,64 × 10+4 s
1 hr = 3600 s
1 min = 60 s
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Bibliografia I
Textos recomendados. En caso de links a Google Books se
trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.
Introduction to Kinesiology: Studying Physical Activity, S.J.
Hoffman (Editor), Human Kinetics Publishers, 2008,
ISBN-13: 9780736076135
→ Leer en Google Books
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Contacto
Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net
Instituto de Física
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Valdivia, Chile
+(56) 63 221125
Set del Curso:
http://www.gphysics.net/physics-in-occupational-therapy-uach
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