Poligonos regulares

1. Terminamos esta serie dedicada a las construcciones con regla y
compás con un artículo sobre la relación de éstas con los polígonos
regulares.
La pregunta es sencilla: ¿se pueden construir todos los polígonos
regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos
establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción
de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos y
:
Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero
Es el polígono regular con menor número de lados que podemos
tener. Su construcción es muy sencilla:
Trazamos una circunferencia con centro en y radio y otra con
centro en y mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos
puntos.Tomamos uno de ellos, digamos . Trazando los segmentos
y obtenemos el triángulo equilátero .

2. Polígono regular de 4 lados: Cuadrado
La construcción del cuadrado también es sencilla:
Trazamos una circunferencia con centro en y radio . Esa
circunferencia corta al eje en dos puntos. Tomamos uno de ellos,
digamos . Trazamos la recta paralela al eje que pasa por y la
recta paralela al eje que pasa por . El punto de corte de las
mismas, digamos , es el vértice que nos faltaba. Trazando los
segmentos , y obtenemos nuestro cuadrado.

3. Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular
La construcción del pentágono es algo más complicada que las
anteriores, pero sigue siendo ciertamente asequible:
Trazamos la paralela al eje que pasa por , digamos . Se traza la
mediatriz del segmento obteniendo el punto como corte con el
eje . Trazamos la circunferencia de centro y radio , digamos
. Obtenemos el punto como corte de con la recta . Con
centro en trazamos la circunferencia de radio , , obteniendo
el punto de corte con el eje . Trazamos ahora la circunferencia de
centro y radio , . Obtenemos el punto al cortar con y el
punto como corte con la mediatriz del segmento . Para obtener
el vértice que nos falta, , simplemente construimos el punto

4. simétrico a respecto de la mediatriz del segmento . Uniendo los
vértices obtenemos el pentágono regular buscado.
Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular
La construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La
vemos:
Con radio trazamos circunferencias con centro y . Tomamos
uno de los puntos de corte, digamos . Ese es el centro del
hexágono. Trazamos ahora la circunferencia de centro y radio .
Obtenemos los puntos y como cortes con las circunferencias
anteriores y como corte con el eje . Trazando la paralela al eje
que pasa por obtenemos el último vértice, , como corte de esta

5. recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices
obtenemos el hexágono regular buscado.
Polígono regular de 7 lados: Heptágono regular
El heptágono regular no es construible con regla y compás. Vamos
a ver por qué:
Viendo las construcciones anteriores de otra forma, mediante la
relación de los puntos del plano con los números complejos, para
construir un polígono regular de lados debe ser construible el
número complejo . En el caso del heptágono
debería ser construible el punto . Tenemos que
el polinomio tiene a como raíz. La descomposición en
polinomios irreducibles en queda así:

6. . Como no es raíz de debe
serlo del otro factor. Pero el grado del mismo es , y ya vimos que
para que un punto fuera construible el grado de su polinomio
mínimo irreducible en debía ser una potencia de . Por tanto no
podemos construir el número complejo y en consecuencia tampoco
el heptágono regular.
Ya hemos encontrado el primero que no puede construirse con regla
y compás. Si continuáramos nos daríamos cuenta de que el polígono
regular de 8 lados sí es construible pero el de 9 lados no lo es. Y
ahora la pregunta es bastante evidente: ¿sabemos qué polígonos
regulares son construibles con reglas y compás? Por suerte sí. Y
nuestro idolatrado Gauss es uno de los principales culpables,
probablemente el que más. Vamos con el resultado:
Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y
compás)
Un polígono regular de lados es construible con regla y compás en
el sentido expuesto si y sólo si la descomposición en factores primos
de es de la forma
siendo y los primos de Fermat distintos entre sí (recordemos
que un primo de Fermat es un número primo que sea de la forma
).
Es decir, que un polígono regular es construible si el número de
lados del mismo es una potencia de 2, un primo de Fermat o
producto de una cierta potencia de 2 (pudiendo ser ) y varios
primos de Fermat distintos. Y lo mejor del teorema es que es un si y
sólo si, es decir, tenemos totalmente determinados los polígonos
regulares que podemos construir con regla y compás. Así el
triángulo ( ), el cuadrado ( ), el pentágono ( ) y
el hexágono ( ) son construibles con regla y compás pero

7. el heptágono regular ( ) no lo es. Continuando, el
octógono regular ( ) sí es construible pero el eneágono regular (
) no lo es.
Una de las implicaciones de este teorema fue probada por Gauss y
la otra fue demostrada por Pierre Wantzel.
Una de las construcciones de polígonos regulares con regla y
compás más conocidas es la del heptadecágono (polígono regular
de lados). La primera demostración de que esta construcción es
posible se debe también a Gauss que la encontró cuando contaba
con 19 años de edad, aunque parece ser que la primera construcción
física de este polígono se debe a Johannes Erchinger. Parece ser
que el hecho de encontrar la solución a este problema (que aparece
en la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae) hizo que Gauss se
decantara por las Matemáticas en vez de por la Filosofía. Puede ser
que sea ésta la razón por la que mandó que se grabara un
heptadecágono en su tumba, aunque al final el albañil encargado del
asunto, al ver la dificultad de la construcción y que apenas se
distinguiría de un círculo, terminó grabando una estrella de 17 picos
(Fuente: Dios creó los números, de Stephen Hawking). Al final del
artículo tenéis un enlace a una página donde, entre otros, podéis ver
cómo construir un heptadecágono con regla y compás.
De hecho es el tercer primo de Fermat. Los cinco primeros (y los
únicos que se conocen) son y , del cual ya hablamos
hace unos días. La primera construcción que se conoce de este
monstruo de polígono se debe a Johann Hermes y data de 1894,
después de 10 años de trabajo. Si la construcción es correcta valió
la pena tanto esfuerzo.
Y para terminar algo de información para los retos que nos lanzó
Domingo en este comentario del primer post de la serie:
en MathWorld

8. en MathWorld
Fuentes de los 3 artículos
Mis apuntes de Álgebra II
Regla y compás en la Wikipedia
Construcción de polígonos regulares
Regla y Compás: Zirkel.jar: Programa hecho en Java perfecto
para las construcciones con regla y compás. Es el que he usado
para este artículo. Muy recomendable y libre. Lo encontré en
el blog de Concepción: Muchas gracias.
Polígonos estrellados
Si se une cada vértice del polígono con el siguiente, dando una
sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se
denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de
forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la
circunferencia, se denomina estrellado. Si al dividir una
circunferencia en partes iguales unimos los puntos de división
de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la poligonal
hemos recorrido la circunferencia un número entero de veces,
obtenemos un polígono regular estrellado.
Para averiguar si un polígono tiene construcción de
estrellados, y como unir los vértices, buscaremos los números
enteros, menores que la mitad del número de lados del
polígono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho
número de lados. Por ejemplo: para el pentágono (5 lados), los
números menores que la mitad de sus lados son el 2 y el 1, y
de ellos, primos respecto a 5 solo tendremos el 2, por lo tanto
podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado,
que se obtendrá uniendo los vértices de 2 en 2 .

9. Pentágono regular estrellado
El lema de la Escuela Pitagórica
fue todo es número y su
emblema el pentagrama o
polígono regular estrellado. En él
aparece el número áureo.
Si medimos con el transportador
cada uno de los ángulos
correspondientes a cada vértice y
se suman los valores obtenidos,
esta suma es aproximadamente
180º.
Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir
varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un
mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono,
compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º.
Heptágonos
regulares
estrellados
Podemos
construir dos
heptágonos
regulares
estrellados
uniendo las
divisiones de 2
en 2 y otro de 3
en 3.

10. Octógono regular estrellado
Uniendo las divisiones de 3 en 3
obtenemos el octógono regular
estrellado.
Polígonos Estrellados.
Si al dividir una circunferencia en partes iguales unimos los puntos
de división de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la
poligonal hemos recorrido la circunferencia un número entero de
veces, obtenemos un polígono regular estrellado.
Puede probarse que para obtener un polígono regular estrellado de n
lados (la circunferencia estará dividida en n partes iguales) uniendo
las divisiones de a en a, es necesario (y suficiente) que a y n sean
primos.
Como unir divisiones de a en a es igual que dividirlas de n - a en n - a
(es decir de a en a en sentido contrario), se podrán construir
polígonos estrellados considerando los números menores que n/2, que
sean primos con n.
Pentágono regular estrellado
El número primo con 5 menor que 5/2 es 2;
podemos construir el pentágono estrellado
uniendo las divisiones de dos en dos.
Obtenemos de esta forma el más popular de
los polígonos estrellados y, posiblemente, el
emblema de la escuela pitagórica. En él el

11. número áureo aparece por doquier.
No existen polígonos estrellados de 6 lados, ya
que no existe ningún número primo con 6
menor que 6/2.
Heptágonos
regulares estrellados
Existen dos números
primos con 7 menores
que 7/2, el 2 y el 3.
Podemos, por tanto,
construir dos
heptágonos regulares
estrellados uniendo
las divisiones de 2 en
2 y otro de 3 en 3.
Octógono regular estrellado
3 es el único número primo con 8 menor que
8/2. Uniendo las divisiones de 3 en 3
obtenemos el octógono regular estrellado.

12. Eneágonos
regulares estrellados
2 y 4 son primos con
9 menores que 9/2.
Podemos construir
dos polígonos
regulares estrellados
de 9 lados uniendo
las divisiones de 2 en
2 y de 4 en 4.
Decágono regular estrellado
Por último, uniendo de 3 en 3 obtenemos el
decágono regular estrellado. En él también
"aparece" el número áureo.
El Pentagrama y el Número Áureo
El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es número y su emblema el
pentagrama o pentágono regular estrellado. En el pentágono
estrellado figura el número áureo infinidad de veces.
Veamos qué relación existe entre el
pentágono regular y el pentágono
regular estrellado.
Si consideramos el lado del pentágono
la unidad, basta aplicar el teorema del
coseno al triángulo ABC y resulta que
AC es igual al número áureo.
El teorema del coseno afirma que en
todo triágulo un lado al cuadrado es

13. igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble producto
de ellos por el coseno del águlo
comprendido.
En nuestro caso, aplicando dicho
teorema al triángulo ABC, tendremos:
AC 2
= AB 2
+ BC 2
- 2 AB. AC. cos
(108)
y como AB = BC = 1, efectuando
operaciones resulta:
AC 2
= 2 - 2 cos (108)
Extrayendo la raiz cuadrada:
AC = 1,6180340...
Considerando el lado del pentágono
regular la unidad, (AG = 1), pueden
obtenerse de forma inmediata las
siguientes expresiones:

14. ¿ Qué pudo hacer que los
pitagóricos sintieran tanta
admiración por el número áureo ?.
Casi con toda seguridad, para la
escuela pitagórica la consideración
del irracional 5 1/2
, de cuya
existencia tuvieron conciencia
antes que de 2 1/2
, tuvo que causar
una profunda reflexión en las
teorías de la secta.
Si tienes alguna duda de las
relaciones del número áureo con el
pentágono estrellado ... ¡mira!, y
así hasta el infinito. Siempre que
encuentres un pentágono regular
podrás hacer lo mismo.
Dado un segmento AB, se dice que está dividido en media y
extrema razón, cuando: "[...] si hay de la parte pequeña a la parte
grande la misma relación que de la grande al todo" (Vitrubio). A
partir del Renacimiento recibió el nombre de Divina Proporción.
La Proporción
Áurea fascinó
como ideal de
belleza a los
griegos, a los
renacentistas y
perdura en
nuestros días. Los
pintores y
escultores del
Renacimiento la
tuvieron muy en

15. cuenta ... y
también los
impresores. En el
gráfico de la
izquierda se puede
apreciar el diseño
de la caja y los
márgenes de un
libro según la
normas de la
Divina
Proporción. En el
de la derecha
aparece la
reproducción de un
incunable impreso
en Venecia (1495),
según dichas
normas. Se trata
del libro de Pietro
Bembo De Aetna
(Sobre el Etna).
Exquisita tipografía
romana, calidad de
papel y tinta,
proporciones
divinas. Una joya.

16. 3.2. Pentágono dado el lado3.3. Heptágono dado el lado3.4.
Octógono dado el ladodel estrellado (construcción exacta)
Operaremos como en el caso anmedia razón del lado del
estrellado,Como en el caso anterior, trazaremextremo A del lado,
con centro enradio A-1, que determinará elperpendicular, y
trazaremos la medque nos determinará punto medio CA
continuación, con centro ecircunferencia de radio A-C. Uniepunto
C, esta recta determinaráanterior el punto 5, siendo el segconvexo
del pentágono buscado.Completaremos el trazado por trianlos
vértices restantes, y uniéndolos
del convexo (construcción aproximada)
Siendo el segmento 1-2 elcomenzaremos trazando la
meditrazaremos la perpendicular en su eA continuación, en el
extremo 1 co30º, que interceptará a la perpeextremo 2, en el punto
D, la distancircunferencia circunscrita al hecentro en 1 y radio 1-D,
trazamos uque interceptará a la mediatriz delcentro de la
circunferencia circunsc Solo resta construir dicha circunobtener los
vértices restantesconvenientemente unidos, nos debuscado.
el convexo (construcción exacta)
Siendo el segmento 1-2 elcomenzaremos trazando un cuadradel
octógono dado.A continuación, trazaremos la medidiagonal del
cuadrado construidorectas se cortan en el punto C, cecentro en C
trazaremos la circunferecuadrado, dicha circunferencia inter lado 1-
2, en el punto O, centr circunscrita al octógono buscado.Solo resta
construir dicha circunobtener los vértices restantesconvenientemente
unidos, nos debuscado.erior, obteniendo en lael lado del convexo.s
la perpendicular en el, trazaremos un arco depunto B, sobre
dichaiatriz del segmento A-B,.C trazaremos unando el punto 1 con
elsobre la circunferenciamento 1-5, el lado delg
ulación, obteniendo asíconvenientemente.lado del heptágono,atriz de
dicho lado, yxtremo 2.struiremos el ángulo dendicular trazada en
elia 1-D, es el radio de latágono buscado, conn arco de
circunferencialado 1-2 en el punto O,ita.ferencia circunscrita, ydel
heptágono, queterminarán el polígonolado del octógono,o de lado

17. igual al ladotriz del lado 1-2, y unaanteriormente, ambasntro del
cuadrado. Conncia circunscrita a dichocepta a la mediatriz delde la
circunferenciaerencia circunscrita, ydel octógono, queterminarán el
polígono

27. 3.5. Eneágono dado el lado3.6. Decágono dado el lado3.7.
Decágono dado el ladodel convexo (construcción aproximada)
Dado el lado 1-2 del eneágono, coequilátero con dicho lado,
hallando elA continuación, trazaremos la mediatr triángulo, que
pasará por el vértice 11-2, que pasará por A. Con centtrazaremos un
arco, que determinanterior el punto O, que será el cencircunscrita al
eneágono buscado.Solo resta trazar dicha circunfedeterminar sobre
ella los vértices resconvenientemente unidos nos detebuscado.
del convexo (construcción exacta)
Dividiendo el lado del decágono en(segmentación áurea),
obtendremos el racircunscrita al polígono.Comenzaremos trazando
la perpendicullado, con centro en 2 trazaremos un arcdeterminará
sobre la perpendicular anteriola mediatriz del segmento A-2, que
nomedio B, y con centro en B trazaremos laB-A.Uniendo el punto 1
con el B, en su prolopunto C sobre la circunferencia anterior,
scircunferencia circunscrita al polígono. A cla mediatriz del lado 1-
2, y con centro enque determinará sobre la mediatriz anterila
circunferencia circunscrita.Solo resta trazar dicha circunferencia
cisobre ella los vértices restantesconvenientemente unidos nos
determinará
del estrellado (construcción exacta)
Dividiendo el lado del decágono enobtendremos el radio de la
circunferenciay el lado del convexo.Comenzaremos trazando la
perpendicullado, con centro en 2 trazaremos un arcdeterminará
sobre la perpendicular trazaremos la mediatriz del segmento B-su
punto medio C, y con centro en C trazde radio C-B.A continuación,
uniremos A con C, desobre la circunferencia anterior,
siendcircunferencia circunscrita. Trazando unradio A-D,
determinaremos sobre el ladpunto 1, resultando en 1-2 el
ladocorrespondiente. Con centro en 1 y 2 tr radio igual R, que nos
determinaráncircunferencia circunscrita al polígono.Solo resta trazar
dicha circunferencia cisobre ella los vértices
restantesconvenientemente unidos nos determinar struiremos un
triángulotercer vértice en A.iz del lado A-2, de dicho, y la mediatriz

28. del ladoro en A y radio A-B,ará sobre la mediatriztro de la
circunferenciarencia circunscrita, yantes del polígono, querminarán
el eneágonoedia y extrema razóndio de la circunferenciar en el
extremo 2 delde radio 1-2, que nosr el punto A,
trazaremosdeterminará su puntocircunferencia de radiongación
obtendremos eliendo 1-C, el radio de laontinuación, trazaremos1 un
arco de radio 1-C,r, el punto O, centro decunscrita, y determinar del
polígono, quen el decágono buscado.edia y extrema
razón,circunscrita al polígonoar en el extremo 2 delo de radio 2-A,
que nosanterior el punto B,2, que nos determinaráremos la
circunferenciaerminando el punto D,o A-D el radio de laarco con
centro en A, ydel estrellado dado elel decágono convexozaremos dos
arcos, deen O, el centro de larcunscrita, y determinar del polígono,
queán el decágono.

46. 3.8. Hexágono dada la dista3.9. Octógono dada la dista3.10.
Construcción por semencia entre caras (construcción exacta)
Comenzaremos trazando dos rectas paralelasperpendicular a ambas
rectas, que nos deter Con vértice en 1, construiremos un
ángdeterminará sobre la recta s el punto 4, por una perpendicular
que nos determinará el pulos segmentos 3-4 y 1-6, habremos
obtenidbuscado, la obtención de los dos vérticessimple
triangulación.Solo nos resta unir todos los vértices, par buscado.
cia entre caras (construcción exacta)
Dada la distancia entre caras d, con dicha discuadrado de vértices A,
B, C y D, mediadiagonales obtendremos su centro en O.Con centro
en los cuatro vértices del cuadr arcos de radio igual a la mitad de la
diagonalpasarán por O, y que nos determinarán sobrelos puntos 1, 2,
3, ... y 8, vértices del polígono Solo nos resta unir todos los vértices,
pabuscado.
anza dado el lado del convexo
Aunque en este caso, se trata de la constel procedimiento es
aplicable a cualquier Comenzaremos por la construcción deuna
circunferencia cualquiera, por el proctema anterior, obteniendo en
este caso, uA partir del vértice 1', y sobre la prolllevaremos la
longitud del lado del decágoel punto G. Prolongaremos los
radiotrazaremos una paralela al radio O-1', qprolongación del radio
O-2', el punto 2,vértices del polígono buscado, y resultaradio de la
circunferencia circunscriTrazaremos dicha circunferencia
coninterceptará a la prolongación del radiovértice del polígono
buscado, obteniendodel polígono buscado.Solo resta determinar
sobre la circunf vértices restantes del polígono, que cnos
determinarán el decágono buscado., r y s, y trazaremos unainará los
puntos 1 y 3.ulo de 30º, que nosdicho punto trazaremosto 6 sobre la
recta r. Eno el lado del hexágonorestantes, se hará por a obtener el
hexágonotancia construiremos unnte el trazado de susdo anterior,
trazaremosdel cuadrado, arcos quelos lados del cuadrado,.a obtener
el octógonoucción de un decágono,tro polígono.n decágono inscrito
enedimiento ya visto en elo de sus lados en 1'-2'.ngación del lado 1'-

47. 2',no buscado, obteniendoO-1' y O-2'. Por Ge determinará sobre
lasiendo este uno de losdo la distancia O-2, ela a dicho
polígono.centro en O, que-1' en el punto 1, otroen la cuerda 1-2 el
ladorencia circunscrita, losnvenientemente unidos

54. 7
of 7
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Taira Alejandra Guevara Bonilla
esta en toda no
reply2 days ago
Dianita MoOxa
m k mal no hay lo q kiero no vale q verga sa qn algo bueni que sirva
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :) ya ok =?¡
reply04 / 24 / 2012
Graciela Castillo
ahhhhhh
reply04 / 18 / 2012
Jorge L Marquez S
que bien

55. reply02 / 07 / 2011
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