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compás con un artículo sobre la relación de éstas con los ...
Polígono regular de 4 lados: Cuadrado
La construcción del cuadrado también es sencilla:
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Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular
La construcción del pentágono es algo más complicada que las
anteriores, pe...
simétrico a respecto de la mediatriz del segmento . Uniendo los
vértices obtenemos el pentágono regular buscado.
Polígono ...
recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices
obtenemos el hexágono regular buscado.
Polígono regula...
. Como no es raíz de debe
serlo del otro factor. Pero el grado del mismo es , y ya vimos que
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el heptágono regular ( ) no lo es. Continuando, el
octógono regular ( ) sí es construible pero el eneágono regular (
) no ...
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Mis apuntes de Álgebra II
Regla y compás en la Wikipedia
Construcción de polígonos...
Pentágono regular estrellado
El lema de la Escuela Pitagórica
fue todo es número y su
emblema el pentagrama o
polígono reg...
Octógono regular estrellado
Uniendo las divisiones de 3 en 3
obtenemos el octógono regular
estrellado.
Polígonos Estrellad...
número áureo aparece por doquier.
No existen polígonos estrellados de 6 lados, ya
que no existe ningún número primo con 6
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regulares estrellados
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Podemos construir
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igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble producto
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¿ Qué pudo hacer que los
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3.2. Pentágono dado el lado3.3. Heptágono dado el lado3.4.
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3.5. Eneágono dado el lado3.6. Decágono dado el lado3.7.
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  1. 1. Terminamos esta serie dedicada a las construcciones con regla y compás con un artículo sobre la relación de éstas con los polígonos regulares. La pregunta es sencilla: ¿se pueden construir todos los polígonos regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos y : Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero Es el polígono regular con menor número de lados que podemos tener. Su construcción es muy sencilla: Trazamos una circunferencia con centro en y radio y otra con centro en y mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos.Tomamos uno de ellos, digamos . Trazando los segmentos y obtenemos el triángulo equilátero .
  2. 2. Polígono regular de 4 lados: Cuadrado La construcción del cuadrado también es sencilla: Trazamos una circunferencia con centro en y radio . Esa circunferencia corta al eje en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos . Trazamos la recta paralela al eje que pasa por y la recta paralela al eje que pasa por . El punto de corte de las mismas, digamos , es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos , y obtenemos nuestro cuadrado.
  3. 3. Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular La construcción del pentágono es algo más complicada que las anteriores, pero sigue siendo ciertamente asequible: Trazamos la paralela al eje que pasa por , digamos . Se traza la mediatriz del segmento obteniendo el punto como corte con el eje . Trazamos la circunferencia de centro y radio , digamos . Obtenemos el punto como corte de con la recta . Con centro en trazamos la circunferencia de radio , , obteniendo el punto de corte con el eje . Trazamos ahora la circunferencia de centro y radio , . Obtenemos el punto al cortar con y el punto como corte con la mediatriz del segmento . Para obtener el vértice que nos falta, , simplemente construimos el punto
  4. 4. simétrico a respecto de la mediatriz del segmento . Uniendo los vértices obtenemos el pentágono regular buscado. Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular La construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La vemos: Con radio trazamos circunferencias con centro y . Tomamos uno de los puntos de corte, digamos . Ese es el centro del hexágono. Trazamos ahora la circunferencia de centro y radio . Obtenemos los puntos y como cortes con las circunferencias anteriores y como corte con el eje . Trazando la paralela al eje que pasa por obtenemos el último vértice, , como corte de esta
  5. 5. recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices obtenemos el hexágono regular buscado. Polígono regular de 7 lados: Heptágono regular El heptágono regular no es construible con regla y compás. Vamos a ver por qué: Viendo las construcciones anteriores de otra forma, mediante la relación de los puntos del plano con los números complejos, para construir un polígono regular de lados debe ser construible el número complejo . En el caso del heptágono debería ser construible el punto . Tenemos que el polinomio tiene a como raíz. La descomposición en polinomios irreducibles en queda así:
  6. 6. . Como no es raíz de debe serlo del otro factor. Pero el grado del mismo es , y ya vimos que para que un punto fuera construible el grado de su polinomio mínimo irreducible en debía ser una potencia de . Por tanto no podemos construir el número complejo y en consecuencia tampoco el heptágono regular. Ya hemos encontrado el primero que no puede construirse con regla y compás. Si continuáramos nos daríamos cuenta de que el polígono regular de 8 lados sí es construible pero el de 9 lados no lo es. Y ahora la pregunta es bastante evidente: ¿sabemos qué polígonos regulares son construibles con reglas y compás? Por suerte sí. Y nuestro idolatrado Gauss es uno de los principales culpables, probablemente el que más. Vamos con el resultado: Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y compás) Un polígono regular de lados es construible con regla y compás en el sentido expuesto si y sólo si la descomposición en factores primos de es de la forma siendo y los primos de Fermat distintos entre sí (recordemos que un primo de Fermat es un número primo que sea de la forma ). Es decir, que un polígono regular es construible si el número de lados del mismo es una potencia de 2, un primo de Fermat o producto de una cierta potencia de 2 (pudiendo ser ) y varios primos de Fermat distintos. Y lo mejor del teorema es que es un si y sólo si, es decir, tenemos totalmente determinados los polígonos regulares que podemos construir con regla y compás. Así el triángulo ( ), el cuadrado ( ), el pentágono ( ) y el hexágono ( ) son construibles con regla y compás pero
  7. 7. el heptágono regular ( ) no lo es. Continuando, el octógono regular ( ) sí es construible pero el eneágono regular ( ) no lo es. Una de las implicaciones de este teorema fue probada por Gauss y la otra fue demostrada por Pierre Wantzel. Una de las construcciones de polígonos regulares con regla y compás más conocidas es la del heptadecágono (polígono regular de lados). La primera demostración de que esta construcción es posible se debe también a Gauss que la encontró cuando contaba con 19 años de edad, aunque parece ser que la primera construcción física de este polígono se debe a Johannes Erchinger. Parece ser que el hecho de encontrar la solución a este problema (que aparece en la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae) hizo que Gauss se decantara por las Matemáticas en vez de por la Filosofía. Puede ser que sea ésta la razón por la que mandó que se grabara un heptadecágono en su tumba, aunque al final el albañil encargado del asunto, al ver la dificultad de la construcción y que apenas se distinguiría de un círculo, terminó grabando una estrella de 17 picos (Fuente: Dios creó los números, de Stephen Hawking). Al final del artículo tenéis un enlace a una página donde, entre otros, podéis ver cómo construir un heptadecágono con regla y compás. De hecho es el tercer primo de Fermat. Los cinco primeros (y los únicos que se conocen) son y , del cual ya hablamos hace unos días. La primera construcción que se conoce de este monstruo de polígono se debe a Johann Hermes y data de 1894, después de 10 años de trabajo. Si la construcción es correcta valió la pena tanto esfuerzo. Y para terminar algo de información para los retos que nos lanzó Domingo en este comentario del primer post de la serie: en MathWorld
  8. 8. en MathWorld Fuentes de los 3 artículos Mis apuntes de Álgebra II Regla y compás en la Wikipedia Construcción de polígonos regulares Regla y Compás: Zirkel.jar: Programa hecho en Java perfecto para las construcciones con regla y compás. Es el que he usado para este artículo. Muy recomendable y libre. Lo encontré en el blog de Concepción: Muchas gracias. Polígonos estrellados Si se une cada vértice del polígono con el siguiente, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado. Si al dividir una circunferencia en partes iguales unimos los puntos de división de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la poligonal hemos recorrido la circunferencia un número entero de veces, obtenemos un polígono regular estrellado. Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellados, y como unir los vértices, buscaremos los números enteros, menores que la mitad del número de lados del polígono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho número de lados. Por ejemplo: para el pentágono (5 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 5 solo tendremos el 2, por lo tanto podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 2 en 2 .
  9. 9. Pentágono regular estrellado El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es número y su emblema el pentagrama o polígono regular estrellado. En él aparece el número áureo. Si medimos con el transportador cada uno de los ángulos correspondientes a cada vértice y se suman los valores obtenidos, esta suma es aproximadamente 180º. Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono, compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º. Heptágonos regulares estrellados Podemos construir dos heptágonos regulares estrellados uniendo las divisiones de 2 en 2 y otro de 3 en 3.
  10. 10. Octógono regular estrellado Uniendo las divisiones de 3 en 3 obtenemos el octógono regular estrellado. Polígonos Estrellados. Si al dividir una circunferencia en partes iguales unimos los puntos de división de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la poligonal hemos recorrido la circunferencia un número entero de veces, obtenemos un polígono regular estrellado. Puede probarse que para obtener un polígono regular estrellado de n lados (la circunferencia estará dividida en n partes iguales) uniendo las divisiones de a en a, es necesario (y suficiente) que a y n sean primos. Como unir divisiones de a en a es igual que dividirlas de n - a en n - a (es decir de a en a en sentido contrario), se podrán construir polígonos estrellados considerando los números menores que n/2, que sean primos con n. Pentágono regular estrellado El número primo con 5 menor que 5/2 es 2; podemos construir el pentágono estrellado uniendo las divisiones de dos en dos. Obtenemos de esta forma el más popular de los polígonos estrellados y, posiblemente, el emblema de la escuela pitagórica. En él el
  11. 11. número áureo aparece por doquier. No existen polígonos estrellados de 6 lados, ya que no existe ningún número primo con 6 menor que 6/2. Heptágonos regulares estrellados Existen dos números primos con 7 menores que 7/2, el 2 y el 3. Podemos, por tanto, construir dos heptágonos regulares estrellados uniendo las divisiones de 2 en 2 y otro de 3 en 3. Octógono regular estrellado 3 es el único número primo con 8 menor que 8/2. Uniendo las divisiones de 3 en 3 obtenemos el octógono regular estrellado.
  12. 12. Eneágonos regulares estrellados 2 y 4 son primos con 9 menores que 9/2. Podemos construir dos polígonos regulares estrellados de 9 lados uniendo las divisiones de 2 en 2 y de 4 en 4. Decágono regular estrellado Por último, uniendo de 3 en 3 obtenemos el decágono regular estrellado. En él también "aparece" el número áureo. El Pentagrama y el Número Áureo El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es número y su emblema el pentagrama o pentágono regular estrellado. En el pentágono estrellado figura el número áureo infinidad de veces. Veamos qué relación existe entre el pentágono regular y el pentágono regular estrellado. Si consideramos el lado del pentágono la unidad, basta aplicar el teorema del coseno al triángulo ABC y resulta que AC es igual al número áureo. El teorema del coseno afirma que en todo triágulo un lado al cuadrado es
  13. 13. igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del águlo comprendido. En nuestro caso, aplicando dicho teorema al triángulo ABC, tendremos: AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB. AC. cos (108) y como AB = BC = 1, efectuando operaciones resulta: AC 2 = 2 - 2 cos (108) Extrayendo la raiz cuadrada: AC = 1,6180340... Considerando el lado del pentágono regular la unidad, (AG = 1), pueden obtenerse de forma inmediata las siguientes expresiones:
  14. 14. ¿ Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran tanta admiración por el número áureo ?. Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica la consideración del irracional 5 1/2 , de cuya existencia tuvieron conciencia antes que de 2 1/2 , tuvo que causar una profunda reflexión en las teorías de la secta. Si tienes alguna duda de las relaciones del número áureo con el pentágono estrellado ... ¡mira!, y así hasta el infinito. Siempre que encuentres un pentágono regular podrás hacer lo mismo. Dado un segmento AB, se dice que está dividido en media y extrema razón, cuando: "[...] si hay de la parte pequeña a la parte grande la misma relación que de la grande al todo" (Vitrubio). A partir del Renacimiento recibió el nombre de Divina Proporción. La Proporción Áurea fascinó como ideal de belleza a los griegos, a los renacentistas y perdura en nuestros días. Los pintores y escultores del Renacimiento la tuvieron muy en
  15. 15. cuenta ... y también los impresores. En el gráfico de la izquierda se puede apreciar el diseño de la caja y los márgenes de un libro según la normas de la Divina Proporción. En el de la derecha aparece la reproducción de un incunable impreso en Venecia (1495), según dichas normas. Se trata del libro de Pietro Bembo De Aetna (Sobre el Etna). Exquisita tipografía romana, calidad de papel y tinta, proporciones divinas. Una joya.
  16. 16. 3.2. Pentágono dado el lado3.3. Heptágono dado el lado3.4. Octógono dado el ladodel estrellado (construcción exacta) Operaremos como en el caso anmedia razón del lado del estrellado,Como en el caso anterior, trazaremextremo A del lado, con centro enradio A-1, que determinará elperpendicular, y trazaremos la medque nos determinará punto medio CA continuación, con centro ecircunferencia de radio A-C. Uniepunto C, esta recta determinaráanterior el punto 5, siendo el segconvexo del pentágono buscado.Completaremos el trazado por trianlos vértices restantes, y uniéndolos del convexo (construcción aproximada) Siendo el segmento 1-2 elcomenzaremos trazando la meditrazaremos la perpendicular en su eA continuación, en el extremo 1 co30º, que interceptará a la perpeextremo 2, en el punto D, la distancircunferencia circunscrita al hecentro en 1 y radio 1-D, trazamos uque interceptará a la mediatriz delcentro de la circunferencia circunsc Solo resta construir dicha circunobtener los vértices restantesconvenientemente unidos, nos debuscado. el convexo (construcción exacta) Siendo el segmento 1-2 elcomenzaremos trazando un cuadradel octógono dado.A continuación, trazaremos la medidiagonal del cuadrado construidorectas se cortan en el punto C, cecentro en C trazaremos la circunferecuadrado, dicha circunferencia inter lado 1- 2, en el punto O, centr circunscrita al octógono buscado.Solo resta construir dicha circunobtener los vértices restantesconvenientemente unidos, nos debuscado.erior, obteniendo en lael lado del convexo.s la perpendicular en el, trazaremos un arco depunto B, sobre dichaiatriz del segmento A-B,.C trazaremos unando el punto 1 con elsobre la circunferenciamento 1-5, el lado delg ulación, obteniendo asíconvenientemente.lado del heptágono,atriz de dicho lado, yxtremo 2.struiremos el ángulo dendicular trazada en elia 1-D, es el radio de latágono buscado, conn arco de circunferencialado 1-2 en el punto O,ita.ferencia circunscrita, ydel heptágono, queterminarán el polígonolado del octógono,o de lado
  17. 17. igual al ladotriz del lado 1-2, y unaanteriormente, ambasntro del cuadrado. Conncia circunscrita a dichocepta a la mediatriz delde la circunferenciaerencia circunscrita, ydel octógono, queterminarán el polígono
  18. 18. 3.5. Eneágono dado el lado3.6. Decágono dado el lado3.7. Decágono dado el ladodel convexo (construcción aproximada) Dado el lado 1-2 del eneágono, coequilátero con dicho lado, hallando elA continuación, trazaremos la mediatr triángulo, que pasará por el vértice 11-2, que pasará por A. Con centtrazaremos un arco, que determinanterior el punto O, que será el cencircunscrita al eneágono buscado.Solo resta trazar dicha circunfedeterminar sobre ella los vértices resconvenientemente unidos nos detebuscado. del convexo (construcción exacta) Dividiendo el lado del decágono en(segmentación áurea), obtendremos el racircunscrita al polígono.Comenzaremos trazando la perpendicullado, con centro en 2 trazaremos un arcdeterminará sobre la perpendicular anteriola mediatriz del segmento A-2, que nomedio B, y con centro en B trazaremos laB-A.Uniendo el punto 1 con el B, en su prolopunto C sobre la circunferencia anterior, scircunferencia circunscrita al polígono. A cla mediatriz del lado 1- 2, y con centro enque determinará sobre la mediatriz anterila circunferencia circunscrita.Solo resta trazar dicha circunferencia cisobre ella los vértices restantesconvenientemente unidos nos determinará del estrellado (construcción exacta) Dividiendo el lado del decágono enobtendremos el radio de la circunferenciay el lado del convexo.Comenzaremos trazando la perpendicullado, con centro en 2 trazaremos un arcdeterminará sobre la perpendicular trazaremos la mediatriz del segmento B-su punto medio C, y con centro en C trazde radio C-B.A continuación, uniremos A con C, desobre la circunferencia anterior, siendcircunferencia circunscrita. Trazando unradio A-D, determinaremos sobre el ladpunto 1, resultando en 1-2 el ladocorrespondiente. Con centro en 1 y 2 tr radio igual R, que nos determinaráncircunferencia circunscrita al polígono.Solo resta trazar dicha circunferencia cisobre ella los vértices restantesconvenientemente unidos nos determinar struiremos un triángulotercer vértice en A.iz del lado A-2, de dicho, y la mediatriz
  19. 19. del ladoro en A y radio A-B,ará sobre la mediatriztro de la circunferenciarencia circunscrita, yantes del polígono, querminarán el eneágonoedia y extrema razóndio de la circunferenciar en el extremo 2 delde radio 1-2, que nosr el punto A, trazaremosdeterminará su puntocircunferencia de radiongación obtendremos eliendo 1-C, el radio de laontinuación, trazaremos1 un arco de radio 1-C,r, el punto O, centro decunscrita, y determinar del polígono, quen el decágono buscado.edia y extrema razón,circunscrita al polígonoar en el extremo 2 delo de radio 2-A, que nosanterior el punto B,2, que nos determinaráremos la circunferenciaerminando el punto D,o A-D el radio de laarco con centro en A, ydel estrellado dado elel decágono convexozaremos dos arcos, deen O, el centro de larcunscrita, y determinar del polígono, queán el decágono.
  20. 20. 3.8. Hexágono dada la dista3.9. Octógono dada la dista3.10. Construcción por semencia entre caras (construcción exacta) Comenzaremos trazando dos rectas paralelasperpendicular a ambas rectas, que nos deter Con vértice en 1, construiremos un ángdeterminará sobre la recta s el punto 4, por una perpendicular que nos determinará el pulos segmentos 3-4 y 1-6, habremos obtenidbuscado, la obtención de los dos vérticessimple triangulación.Solo nos resta unir todos los vértices, par buscado. cia entre caras (construcción exacta) Dada la distancia entre caras d, con dicha discuadrado de vértices A, B, C y D, mediadiagonales obtendremos su centro en O.Con centro en los cuatro vértices del cuadr arcos de radio igual a la mitad de la diagonalpasarán por O, y que nos determinarán sobrelos puntos 1, 2, 3, ... y 8, vértices del polígono Solo nos resta unir todos los vértices, pabuscado. anza dado el lado del convexo Aunque en este caso, se trata de la constel procedimiento es aplicable a cualquier Comenzaremos por la construcción deuna circunferencia cualquiera, por el proctema anterior, obteniendo en este caso, uA partir del vértice 1', y sobre la prolllevaremos la longitud del lado del decágoel punto G. Prolongaremos los radiotrazaremos una paralela al radio O-1', qprolongación del radio O-2', el punto 2,vértices del polígono buscado, y resultaradio de la circunferencia circunscriTrazaremos dicha circunferencia coninterceptará a la prolongación del radiovértice del polígono buscado, obteniendodel polígono buscado.Solo resta determinar sobre la circunf vértices restantes del polígono, que cnos determinarán el decágono buscado., r y s, y trazaremos unainará los puntos 1 y 3.ulo de 30º, que nosdicho punto trazaremosto 6 sobre la recta r. Eno el lado del hexágonorestantes, se hará por a obtener el hexágonotancia construiremos unnte el trazado de susdo anterior, trazaremosdel cuadrado, arcos quelos lados del cuadrado,.a obtener el octógonoucción de un decágono,tro polígono.n decágono inscrito enedimiento ya visto en elo de sus lados en 1'-2'.ngación del lado 1'-
  21. 21. 2',no buscado, obteniendoO-1' y O-2'. Por Ge determinará sobre lasiendo este uno de losdo la distancia O-2, ela a dicho polígono.centro en O, que-1' en el punto 1, otroen la cuerda 1-2 el ladorencia circunscrita, losnvenientemente unidos
  22. 22. 7 of 7 Leave a Comment You must be logged in to leave a comment. Enviar Caracteres: 400 Taira Alejandra Guevara Bonilla esta en toda no reply2 days ago Dianita MoOxa m k mal no hay lo q kiero no vale q verga sa qn algo bueni que sirva !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :) ya ok =?¡ reply04 / 24 / 2012 Graciela Castillo ahhhhhh reply04 / 18 / 2012 Jorge L Marquez S que bien
  23. 23. reply02 / 07 / 2011 You must be logged in to leave a comment. Enviar Caracteres: ... Construccion de Poligonos Regulares Download or Print 47,650 Reads Información y clasificación Categoría: Sin categorizar. Rating: (3 Ratings) Upload Date: 07/28/2009 Derechos de autor: Funciones no comerciales Etiquetas: This document has no tags. Flag document for inapproriate content Uploaded by izaulparra Síganos Descargar Embed Doc Copy Link Add To Collection Comments Readcast Share × Share on Scribd: Readcast
  24. 24. Buscar TIP Press Ctrl-F⌘F to quickly search anywhere in the document. Buscar Search History: Searching... Result 00 of 00 00 results for result for p. More from This User Documentos relacionados More From This User 1 p. Listado Ubb Alumno Empresa 3 p. Listado Ubb Alumno Empresa 1 p.
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