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  • 1. Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica, v. 30, n. 3, 3313 (2008) www.sbfisica.org.br Regi˜es de seguran¸a em lan¸amento de proj´teis o c c e (Security regions in projectile launching) L´cia Resende Pereira e Valdair Bonfim1 u Faculdade de Matem´tica, Universidade Federal de Uberlˆndia, Uberlˆndia, MG, Brasil a a a Recebido em 29/2/2008; Revisado em 11/6/2008; Aceito em 4/7/2008; Publicado em 8/10/2008 Nosso principal objetivo neste trabalho ´ a determina¸ao de regi˜es de seguran¸a em bal´ e c˜ o c ıstica. Por regi˜o a de seguran¸a entendemos a regi˜o do espa¸o tridimensional que fica livre da a¸ao de proj´teis. A determina¸ao c a c c˜ e c˜ da regi˜o de seguran¸a ser´ reduzida ao c´lculo da envolt´ria de uma fam´ de trajet´rias, indexada segundo o a c a a o ılia o ˆngulo de tiro. a Palavras-chave: lan¸amento de proj´teis, resistˆncia do ar, envolt´ria, regi˜o de seguran¸a. c e e o a c Our main objective in this work is the determination of security regions in ballistics. By security region we understand the region of three-dimensional space that is free to the action of projectiles. The determination of the security region will be reduced to the calculation of the envelope of a family of trajectories, indexed according to the angle of shot. Keywords: projectile launching, resistance of the air, envelope, security region. 1. Introdu¸˜o ca O assunto “lan¸amento de proj´teis” ´ bastante rico, c e e tanto do ponto de vista do ensino como da pesquisa, pois aparece numa s´rie de situa¸˜es pr´ticas. A ine co a ten¸˜o deste trabalho ´ abordar um tema ainda pouco ca e trabalhado neste t´pico da f´ o ısica, qual seja, o tema da regi˜o de seguran¸a. Existem v´rias situa¸˜es pr´ticas a c a co a onde h´ interesse na determina¸˜o desta regi˜o, como a ca a por exemplo em treinamentos militares, teste de instrumentos b´licos ou em obras da engenharia civil onde se e faz necess´rio o uso de explosivos para desobstruir bara reiras. Neste ultimo caso os detritos resultantes das ´ explos˜es s˜o lan¸ados em dire¸˜o aleat´ria com uma o a c ca o determinada velocidade inicial v0 , cuja intensidade na pr´tica ´ superestimada, e a preocupa¸˜o ´ que tais cora e ca e pos n˜o atinjam pessoas e ou constru¸˜es pr´-existentes a co e nas proximidades. Na literatura pesquisada sobre o assunto [1] vimos que foi tratado apenas o caso particular em que n˜o se considera a resistˆncia do ar. Neste a e trabalho consideraremos o efeito da resistˆncia do ar e e da presen¸a de ventos, e comentaremos as mudan¸as c c qualitativas ocorridas no movimento e na regi˜o de sea guran¸a. Como a regi˜o de seguran¸a ´ obtida via o c a c e c´lculo da envolt´ria de uma fam´ de trajet´rias, e a o ılia o como o c´lculo desta envolt´ria utiliza argumentos de a o geometria e equa¸˜es diferenciais, cria-se um ambiente co 1 E-mail: valdair@ufu.br. Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ ısica. Printed in Brazil. prop´ ıcio ` interdisciplinaridade entre a f´ a ısica e a matem´tica. Cabe ainda ressaltar que, devido a consia ` dera¸˜o da resistˆncia do ar e da presen¸a de ventos, ca e c aparecem algumas dificuldades que sugerem e incitam a utiliza¸˜o de recursos computacionais, muito uteis para ca ´ a elabora¸˜o de conjecturas e em completa consonˆncia ca a com as diretrizes curriculares nacionais para os cursos de f´ ısica. 2. Lan¸amento de proj´teis sem resisc e tˆncia do ar e Embora o caso do lan¸amento de proj´teis sem rec e sistˆncia do ar seja um tema bastante estudado, faree mos uma recapitula¸˜o deste tipo de movimento apenas ca para efeito de compara¸˜es com o caso menos trivial no co qual se leva em conta esta resistˆncia, bem como para fie xar nota¸˜o. Suponha que um proj´til de massa m seja ca e lan¸ado a partir do solo com uma velocidade inicial v0 , c a qual faz um ˆngulo de θ radianos com a horizontal. a Este ˆngulo θ ser´ denominado ˆngulo de tiro. Suponha a a a ainda que a unica for¸a atuante no corpo seja a atra¸˜o ´ c ca gravitacional mg, da Terra sobre o corpo. Escolhendo o sistema de coordenadas ilustrado na Fig. 1, cuja origem coincide com o ponto de lan¸amento, e denotando c por r(t) = (x(t), y(t)) a posi¸˜o do corpo no instante t, ca ent˜o a segunda lei de Newton nos diz que a
  • 2. 3313-2 Pereira e Bonfim dm´x = a 2 v0 sen(2θ). g (8) Em particular, a distˆncia horizontal m´xima ala a e can¸ada pelo corpo ´ v0 /g, e ´ conseguida quando o c e 2 a ˆngulo de tiro θ ´ igual a π/4 radianos, ou seja, 45◦ . e 3. A envolt´ria de uma fam´ de curo ılia vas Suponha dada uma fam´ de curvas planas ılia Cθ = { (x, y) ∈ R2 : f (x, y, θ) = 0 }. Figura 1 - Sistema de coordenadas para o lan¸amento obl´ c ıquo. 2 m d r = mg, dt2 r(0) = 0, dr (0) = v0 . dt (1) Ou ainda, em coordenadas cartesianas, x(t) = 0, ¨ y (t) = −g, ¨ x(0) = 0, y(0) = 0, x(0) = v0 cosθ, ˙ y(0) = v0 senθ, ˙ (2) cuja resolu¸˜o nos d´ ca a x = (v0 cosθ)t, g y = − t2 + (v0 senθ)t. 2 (3) (4) Isolando t na Eq. (3) e substituindo na Eq. (4) obtemos y=− g. sec2 θ 2 x + (tgθ) x. 2 2v0 (5) Das Eqs. (3), (4) e (5) podemos concluir v´rias coia sas a respeito do movimento do proj´til e de sua trae jet´ria. De in´ conclu´ o ıcio ımos, a partir da Eq. (5), que a trajet´ria do corpo ´ um arco de par´bola. O tempo o e a e e de subida ts , isto ´, o tempo que o proj´til leva para atingir o seu ponto mais alto, ´ conseguido impondo-se e y(ts ) = 0, ou seja ˙ ts = v0 senθ . g Dessa forma, a altura m´xima atingida pelo corpo a hm´x = y(ts ) = a 2 v0 sen2 θ , 2g (7) e a distˆncia horizontal m´xima alcan¸ada pelo mesmo a a c ´ dada pela raiz positiva da equa¸˜o quadr´tica e ca a g sec2 θ 2 x + (tgθ) x = 0, − 2 2v0 ou seja, Isto significa que para cada valor do parˆmetro θ a temos uma curva Cθ constitu´ por pontos (x, y) que ıda satisfazem ` equa¸˜o f (x, y, θ) = 0. Vamos supor aqui a ca que a fun¸˜o f possua derivadas parciais cont´ ca ınuas com respeito `s vari´veis espaciais x e y, e tamb´m com resa a e peito ao parˆmetro θ. Admita ainda que a curva Cθ seja a suave, no sentido de admitir reta tangente por cada um de seus pontos. Uma condi¸˜o suficiente para isso ´ ca e que, para cada θ fixado, o vetor gradiente (com rela¸˜o ca a `s vari´veis espaciais) seja diferente de zero em todos a e os pontos da curva Cθ , isto ´ ∇f (x, y, θ) = ∂f ∂f (x, y, θ) , (x, y, θ) ∂x ∂y = (0, 0), para todo (x, y) na curva Cθ . e A envolt´ria da fam´ Cθ ´ uma curva parameo ılia trizada γ(θ) = (x(θ), y(θ)) satisfazendo `s seguintes a condi¸˜es co i) γ(θ) ∈ Cθ , ∀ θ; ii) γ e Cθ possuem a mesma reta tangente no ponto γ(θ). As express˜es matem´ticas para tais condi¸˜es s˜o, o a co a respectivamente, as seguintes f ( γ(θ) , θ ) = 0, ∇f ( γ(θ) , θ ) . γ (θ) = 0, (6) ´ e (9) ou seja,  f ( x (θ) , y (θ) , θ)    ∂f    (x (θ) , y (θ) , θ) ∂x     ∂f    (x (θ) , y (θ) , θ) ∂y = 0, (10) = 0. (11) dx + dθ dy dθ Para o c´lculo da envolt´ria basta fixarmos o parˆmetro a o a θ e resolvermos o sistema de equa¸˜es co
  • 3. Regi˜es de seguran¸a em lan¸amento de proj´teis o c c e  f (x, y, θ)   3313-3 =0 (12)  ∂f   (x, y, θ) = 0 ∂θ (13) nas vari´veis x e y. Uma aplica¸˜o do Teorema da a ca Fun¸˜o Impl´ ca ıcita garante que, se ∂f ∂ 2 f ∂f ∂ 2 f − = 0, ∂x ∂θ ∂y ∂y ∂θ ∂x ent˜o o sistema composto pelas Eqs. (12) e (13) tem a solu¸˜o γ(θ) = (x(θ), y(θ)), a qual ´ t˜o regular quanto ca e a a fun¸˜o f . Para vermos que toda solu¸˜o (x(θ), y(θ)) ca ca das Eqs. (12) e (13) ´ uma envolt´ria, basta provarmos e o que a Eq. (11) tamb´m fica satisfeita, haja vista que e as Eqs. (10) e (12) s˜o as mesmas. Mas isto ´ sima e ples, pois derivando a Eq. (10) em rela¸˜o ` vari´vel θ ca a a encontramos Figura 3 - Fam´ de circunferˆncias cujos centros deslizam sobre ılia e o eixo x e cujos raios crescem de acordo com a raiz quadrada da distˆncia do centro ` origem. a a 4. C´lculo da regi˜o de seguran¸a a a c Inicialmente vamos fixar um plano perpendicular ao solo contendo o ponto de lan¸amento e determinar a enc volt´ria de todas as trajet´rias cujas velocidades iniciais o o sejam paralelas a este plano. Calculemos a envolt´ria o da fam´ de par´bolas (Cθ )− π <θ< π dada pela Eq. (5). ılia a 2 2 2 dx ∂f dy ∂f ∂f (x, y, θ) + (x, y, θ) + (x, y, θ) = 0, ∂x dθ ∂y dθ ∂θ que devido a Eq. (13) se reduz ` Eq. (11). Para ver ` a que este procedimento de fato conduz ` envolt´ria cona o sideremos duas fam´ ılias de curvas, as quais podem ser pensadas como propaga¸˜es de um determinado tipo de co onda. Fam´ 1: (x − θ)2 + y 2 = sen2 θ, com 0 < θ < 2π ılia e e Cada Cθ ´ uma circunferˆncia centrada em (θ, 0), com raio | senθ |. Neste caso temos f (x, y, θ) = (x − ca co θ)2 + y 2 − sen2 θ, e a resolu¸˜o do sistema de equa¸˜es (12)-(13) nos leva a x = x(θ) = θ + senθ cosθ e a y = y(θ) = ±sen2 θ. A Fig. 2 mostra v´rias circuno ferˆncias Cθ , bem como a sua envolt´ria. Caso se trate, e por exemplo, de propaga¸˜o de ondas prejudiciais aos ca seres humanos, a envolt´ria delimita a regi˜o que est´ o a a recebendo a influˆncia danosa das ondas da outra regi˜o e a que fica livre desta influˆncia. e Figura 2 - Fam´ de circunferˆncias cujos centros deslizam sobre ılia e um eixo horizontal e cujos raios variam periodicamente. Fam´ 2: (x − θ)2 + y 2 = θ , com θ > 0 ılia Trata-se agora de uma fam´ de circunferˆncias ılia e √ centradas em (θ, 0) e raio θ. Neste caso temos que ca f (x, y, θ) = (x − θ)2 + y 2 − θ, e a resolu¸˜o do sistema (12)-(13) fornece x = x(θ) = θ − 1/2 e y = y(θ) = 1/4. A Fig. 3 mostra v´rias a ± θ − 1/4, para θ curvas Cθ e a envolt´ria, que ´ uma par´bola. o e a No caso f (x, y, θ) = y + g sec2 θ x2 − (tgθ)x, o sistema 2v0 (12)-(13) torna-se  2  y + g sec θ x2 − (tgθ)x = 0   2  2v0      x sec2 θ gx tgθ − 1 = 0  2 v0 (14) Como x sec2 θ > 0 para todo x > 0 e todo − π < 2 θ < π , ent˜o a segunda equa¸˜o do sistema (14) nos a ca 2 fornece 2 v0 . (15) gx Agora, lembrando que sec2 θ = 1 + tg2 θ, e substituindo a Eq. (15) na primeira equa¸˜o do sistema (14), ca obtemos tgθ = 2 g 2 v0 (16) 2 x + 2g . 2v0 Surpreendentemente, a envolt´ria da fam´ de trao ılia jet´rias parab´licas ainda ´ uma par´bola, denominada o o e a par´bola de seguran¸a. Para obter a regi˜o de segua c a ran¸a no espa¸o tridimensional basta fazer a rota¸˜o da c c ca par´bola de seguran¸a em torno de seu eixo de simetria a c uma vez que, sendo os lan¸amentos aleat´rios, temos de c o considerar velocidades iniciais v0 paralelas a qualquer plano vertical passando pelo ponto de lan¸amento, e c n˜o somente paralelas ao plano fixado. A Fig. 4 ilustra a algumas trajet´rias, com alguns ˆngulos de tiro entre 0o o a e 180◦ . Observe que cada ponto dentro da regi˜o delia mitada pela par´bola de seguran¸a est´ na intersec¸˜o a c a ca de duas trajet´rias, significando que um corpo neste o ponto pode ser atingido por um proj´til ascendente ou e por um proj´til descendente. Cada uma das trajet´rias e o y=−
  • 4. 3313-4 Pereira e Bonfim na Fig. 4 pode ser visualizada na pr´tica com uma mana ´ gueira de jardim jorrando agua. E uma ocasi˜o onde a ´ a teoria pode ser comprovada de modo bastante simples. De fato pode-se observar, por exemplo, que o alcance horizontal m´ximo da ´gua ocorre quando a mangueira a a faz um ˆngulo de 45◦ com a horizontal. a Figura 6 - Uma erup¸˜o vulcˆnica. ca a 4.1. Figura 4 - Fam´ de trajet´rias e a respectiva envolt´ria obtidas ılia o o desconsiderando-se a resistˆncia do ar e com ˆngulos de tiro que e a variam entre 0◦ e 180◦ . A Fig. 5 mostra a implos˜o do Complexo Penia tenci´rio Carandiru num dia que, possivelmente, n˜o a a soprava ventos fortes, e portanto se enquadra dentro da modelagem feita. Observe que a nuvem de part´ ıculas sugere uma regi˜o que se assemelha a um a parabol´ide. Na Fig. 6 vemos uma erup¸˜o vulcˆnica, o ca a que tamb´m sugere aproximadamente o formato de e regi˜o parab´lica. Pequenas diferen¸as com o resultado a o c te´rico obtido se devem ao fato de que o modelo f´ o ısico n˜o incorporou particularidades destas situa¸˜es, como a co a possibilidade de existir mais de um centro de explos˜o, a ou seja, diferentes pontos de lan¸amento, gerando uma c combina¸˜o de regi˜es com formato de parabol´ide. ca o o Lan¸amento de proj´teis com resistˆncia c e e do ar A partir de agora consideraremos, al´m da for¸a grae c vitacional da Terra sobre o corpo de massa m, a resistˆncia do ar sobre o mesmo. Esta resistˆncia ser´ e e a e modelada fisicamente por −b dr , onde b ´ uma consdt tante positiva. Escolhendo o mesmo sistema de coordenadas (vide Fig. 1), cuja origem coincide com o ponto de lan¸amento, e denotando a posi¸˜o do corpo no insc ca tante t por r(t) = ( x(t) , y(t) ), ent˜o a segunda lei de a Newton nos diz que m dr d2 r = mg − b , dt2 dt r(0) = 0, dr (0) = v0 , dt (17) ou ainda    x(t) + b x(t) = 0 , x(0) = 0 , x(0) = v0 cosθ ˙ ˙  ¨  m    y (t) + b y(t) = −g , y(0) = 0 , y(0) = v senθ  ¨ ˙ ˙ 0 m Resolvendo este sistema de equa¸˜es diferenciais orco din´rias obtemos a x(t) = v0 cos θ (1 − e−kt ) k (18) e y(t) = ( v0 g g senθ + 2 )(1 − e−kt ) − t, k k k (19) onde k = b/m. Isolando t na Eq. (18) e substituindo na Eq. (19) obtemos y= Figura 5 - Explos˜o do Complexo Penitenci´rio do Carandiru. a a Foto: Rog´rio Cassimiro. e tgθ + g kx g sec θ x + 2 ln 1 − sec θ kv0 k v0 (20) Portanto, a trajet´ria do proj´til com velocidade inio e a e cial v0 e ˆngulo de tiro θ ´ a curva Cθ no plano xy cuja
  • 5. Regi˜es de seguran¸a em lan¸amento de proj´teis o c c e 3313-5 equa¸˜o ´ dada na Eq. (20). Observe que a Eq. (20) ca e s´ faz sentido quando o 1− kx sec θ > 0, v0 ou seja, quando v0 cos θ = ξ. k (21) lim y (x) = −∞, (22) x< Mais ainda, como x→ξ − segue que a trajet´ria tenderia assintoticamente para o uma reta vertical (a saber, a reta x = ξ) caso n˜o houa vesse colis˜o do proj´til com o solo. Isto ´, a trajet´ria a e e o seria limitada ` direita, conforme ilustrado na Fig. 7. a No caso espec´ ıfico abaixo temos ξ = 12, 6295 m. Esta ´ uma diferen¸a qualitativa grande com o caso e c parab´lico, uma vez que l´ as trajet´rias, caso n˜o foso a o a sem interrompidas com a colis˜o do proj´til no solo, a e seriam ilimitadas na dire¸˜o x. ca Outra diferen¸a entre os dois casos refere-se ao ˆnc a gulo de tiro que produz o alcance horizontal m´ximo. a 2 Enquanto que o alcance m´ximo v0 /g no caso paa rab´lico ´ obtido quando o angulo de tiro ´ 45◦ , isso o e ˆ e n˜o acontece no caso b > 0. Para constatar isso basta a considerar o caso particular em que v0 = 20 m/s, g = 9,8 m/s2 , b = 1 kg/s e m = 0,5 kg. Chamando d (θ) a distˆncia horizontal atingida pelo proj´til quando o a e a ˆngulo de tiro ´ θ, ent˜o e a tgθ + g kd g sec θ d + 2 ln 1 − sec θ = 0, kv0 k v0 ou seja, a fun¸˜o d (θ) ´ dada implicitamente pela ca e equa¸˜o ca G (θ, d) = 0, (23) onde G (θ, d) = tgθ + g g kd sec θ d + 2 ln 1 − sec θ . kv0 k v0 Utilizando um software para plotar a curva G (θ, d) = 0 obtemos a curva descrita na Fig. 9, ou seja, o ˆngulo de tiro que produz o alcance horizona tal m´ximo, neste caso particular, ´ aproximadamente a e 51% do ˆngulo de tiro que produz o alcance horizontal a m´ximo no caso parab´lico. a o Figura 7 - Trajet´ria de um proj´til considerando-se a resistˆncia o e e do ar. Al´m disso, independentemente do ˆngulo de tiro e a θ, nenhuma trajet´ria ultrapassaria a reta x = v0 /k = o (mv0 )/b. Note que a constante b aparece no denominador e, portanto, quanto maior o seu valor, isto ´, quanto e maior for a resistˆncia do ar, menor ser´ o alcance hoe a rizontal, conforme podemos ver na Fig. 8, que ilustra trajet´rias correspondentes aos parˆmetros: m = 2 kg, o a e θ = 45◦ , g = 9,8 m/s2 , v0 = 20 m/s, θ = 45◦ , e trˆs valores distintos de b, em kg/s. Figura 9 - Alcance horizontal m´ximo vs. ˆngulo de tiro. a a 4.2. C´lculo da regi˜o de seguran¸a considea a c rando a resistˆncia do ar e Para o c´lculo da envolt´ria devemos resolver o sistema a o Figura 8 - Trajet´rias correspondentes a diferentes valores de b, o em kg/s. f (x, y, θ) = 0, ∂f ∂θ (x, y, θ) = 0, onde agora (24)
  • 6. 3313-6 Pereira e Bonfim Para obter a regi˜o de seguran¸a no caso b > 0 basta a c rodar a envolt´ria da fam´ acima em torno do eixo o ılia y. Apesar das diferen¸as qualitativas j´ comentadas no c a texto do artigo, foi poss´ observar, em ambos os caıvel sos, que a envolt´ria da fam´ de trajet´rias tem o o ılia o mesmo aspecto das trajet´rias. Precisamente, no caso o parab´lico a envolt´ria tamb´m ´ uma par´bola, e no o o e e a caso b > 0 a envolt´ria tem uma ass´ o ıntota vertical, assim como tem ass´ ıntota vertical todas as trajet´rias de o proj´teis que est˜o sujeitos ` resistˆncia do ar. e a a e g f (x, y, θ) = (tgθ)x + (sec θ) x + kv0 g kx ln(1 − sec θ) − y. k2 v0 Efetuando os c´lculos obtemos o sistema a  y = (tgθ)x + g x sec θ + g ln(1 − kx sec θ),    kv0 k2 v0    (sec2 θ)x + g kv0 x sec θtgθ − g x cos θ sec θtgθ = 0, k v0 cos θ − kx ou ainda   y = (tgθ)x + g x sec θ + g ln 1 − kx sec θ ,    kv0 k2 v0   senθ   sec θ + g tgθ − g = 0. kv0 k v0 cos θ − kx 4.3. Vamos supor agora que os lan¸amentos ocorram num c local onde h´ presen¸a de vento, o qual imprime aos cora c pos a´ presentes uma velocidade constante u = (u1 , u2 ). ı Neste caso a equa¸˜o do movimento pode ser modelada ca na forma m Isolando x da segunda equa¸˜o obtemos ca x = x (θ) = 2 v0 k v0 sec θ + g tgθ (25) O efeito da presen¸a de vento c d2 r = mg − b. dt2 dr −u , dt dr (0) = v0 . dt r(0) = 0, Chamando k = b/m e escrevendo a equa¸˜o anterior ca em coordenadas cartesianas obtemos e levando a Eq. (25) na primeira obtemos g x (θ) sec θ+ y = y (θ) = (tgθ)x (θ) + kv0 g kx(θ) ln 1 − sec θ k2 v0 que junto com a Eq. (25) fornece uma parametriza¸˜o ca da envolt´ria. o Utilizando um software obtemos as seguintes trajet´rias, cujos ˆngulos de tiro s˜o vistas na Fig. 10 e o a a dadas por x(t) + k x(t) = ku1 , ¨ ˙ y (t) + k y(t) = −g + ku2 , ¨ ˙ x(0) = 0, y(0) = 0, x(0) = v0 cos θ, ˙ y(0) = v0 senθ, ˙ cuja resolu¸˜o fornece ca x(t) = tu1 + v0 cos θ − u1 (1 − e−kt ), k (26) e (−g + ku2 ) t+ k v0 senθ ku2 − g 1 − e−kt . − k k2 y(t) = π θi = (2i − 1) , para i ∈ {1, 2, 3, ..., 12} . 48 (27) Observe que para valores grandes de t o fator 1 − e−kt ´ e quase igual a 1, de modo que temos as seguintes aproxima¸˜es co x(t) ≈ u1 t + v0 cos θ − u1 , k e y(t) ≈ Figura 10 - Fam´ de trajet´rias obtidas considerando-se a reılia o sistˆncia do ar e com ˆngulos de tiro que variam entre 0◦ e 90◦ . e a (−g + ku2 ) t+ k Chamando c1 = k u2 − g , ent˜o a k2 v0 senθ k u2 − g . − k k2 v0 cos θ − u1 k e c2 = v0 senθ − k
  • 7. Regi˜es de seguran¸a em lan¸amento de proj´teis o c c e x(t) ≈ u1 t + c1 e y(t) ≈ 3313-7 (−g + ku2 ) t + c2 . k Logo y(t) − c2 (−g + ku2 ) ≈ , x(t) − c1 k u1 ou seja y(t) ≈ c2 + (−g + ku2 ) ( x(t) − c1 ) . k u1 A conclus˜o ´ de que para valores grandes de t a traa e jet´ria fica arbitrariamente pr´xima de uma reta com o o inclina¸˜o (−g+ku2 ) , a saber, a reta r de equa¸˜o carteca ca ku1 siana y = c2 + (−g + ku2 ) ( x − c1 ) . ku1 As diferentes trajet´rias depender˜o dos valores de o a e u1 e u2 . Na sequˆncia analisaremos alguns casos particulares. 4.3.1. Figura 12 - Trajet´ria de um corpo e sua respectiva ass´ o ıntota. Lan¸amento realizado a partir da origem considerando-se a rec sistˆncia do ar e a presen¸a de vento na dire¸˜o oeste co intensie c ca dade de 2 m/s. A Fig. 13 ilustra algumas trajet´rias com ˆngulos o a de tiro compreendidos entre 0◦ e 180◦ . O efeito do vento com velocidade u sobre o formato da regi˜o de a seguran¸a ´ evidente, a saber, o vento deforma a regi˜o c e a de seguran¸a fazendo com que a mesma n˜o apresente c a nenhum tipo de simetria. Caso 1: Vento horizontal soprando na dire¸˜o oeste ca Neste caso temos u1 < 0 e u2 = 0. Logo a inclina¸˜o ca da reta r ser´ positiva e igual a −g/ku1 , e como a ora denada y(t) dada na Eq. (27) ´ limitada superiormente e conclu´ ımos em particular que o corpo colidir´ com o a solo em tempo finito. As Figs. 11 e 12 ilustram duas trajet´rias t´ o ıpicas de um corpo sendo lan¸ado a partir da origem e as c correspondentes retas ass´ ıntotas, cujos dados s˜o os a seguintes: θ = π/4 rad, v0 = 20 m/s, u2 = 0, m = 0,25 kg, b = 0,6 kg/s, k = 2,4 s−1 , g = 9,8 m/s2 . Na Fig. 11 temos u1 = -10 m/s e na Fig. 12 temos u1 = -2 m/s. Ou seja, se o vento oeste for muito intenso o corpo colidir´ com o solo num ponto de abscissa a negativa (Fig. 11). Figura 13 - Fam´ ılia de trajet´rias obtidas considerando a reo sistˆncia do ar e a presen¸a de vento na dire¸˜o oeste. e c ca 4.3.2. a e Neste caso temos u1 > 0 e u2 = 0. A an´lise ´ completamente an´loga ` anterior, com a diferen¸a de que a a c para valores grandes de t as ´rbitas ficar˜o arbitrariao a mente pr´ximas de retas com inclina¸˜o negativa e igual o ca a −g/ku1 . 4.3.3. Figura 11 - Trajet´ria de um corpo e sua respectiva ass´ o ıntota. Lan¸amento realizado a partir da origem considerando-se a rec sistˆncia do ar e a presen¸a de vento que sopra na dire¸˜o oeste e c ca com intensidade de 10 m/s. Caso 2: Vento horizontal soprando na dire¸˜o leste ca Caso 3: Vento com dire¸˜o nordeste, e ca baixa intensidade na dire¸˜o vertical ca Por “vento na dire¸˜o nordeste” estamos querendo dica a zer que as componentes u1 e u2 s˜o ambas positivas, e por “baixa intensidade” entenderemos que u2 < g/k. Sob estas hip´teses a inclina¸˜o (−g + ku2 )/(k u1 ) da o ca reta ass´ ıntota ser´ negativa, e os proj´teis colidir˜o com a e a o solo em tempo finito, como nos casos anteriores. A
  • 8. 3313-8 Pereira e Bonfim regi˜o de seguran¸a apresentar´ o mesmo aspecto dos a c a casos anteriores. 4.3.4. diferentes ˆngulos de tiro. Com ela tem-se uma id´ia de a e como fica a regi˜o de seguran¸a, que ´ o complementar a c e da regi˜o “varrida” por estas v´rias trajet´rias. a a o Caso 4: Vento com dire¸˜o nordeste, e ca alta intensidade na dire¸˜o vertical ca a Al´m de supormos que u1 e u2 s˜o positivas, admitie remos que u2 > g/k. Isto implica que o coeficiente ıntota ´ positivo. e angular (−g + ku2 )/(ku1 ) da reta ass´ Assim, as express˜es de x(t) e y(t) dadas nas Eqs. (26) o e (27) s˜o ilimitadas superiormente, e dizem que para a valores grandes de t o proj´til estar´ bem pr´ximo de e a o uma reta com coeficiente angular positivo. Em particular podemos concluir que o corpo jamais atingir´ o a solo, conforme ilustra a Fig. 14. Figura 15 - Fam´ de trajet´rias na presen¸a de vento na dire¸˜o ılia o c ca nordeste, com alta intensidade na dire¸˜o vertical. ca Referˆncias e Figura 14 - Trajet´ria de um corpo lan¸ado a partir da origem o c na presen¸a de vento na dire¸˜o nordeste e alta intensidade na c ca dire¸˜o vertical, e sua respectiva ass´ ca ıntota. A Fig. 15 por sua vez mostra v´rias trajet´rias, com a o [1] J.L. Synge e B.A. Griffith, Mecˆnica Racional (Ed. a Globo, Porto Alegre, 1968), 2a ed. [2] M.P. Do Carmo, Geometria Diferencial de Curvas e Superf´ ıcies (Sociedade Brasileira de Matem´tica, Rio a de Janeiro, 2005), Cole¸ao Textos Universit´rios. c˜ a

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