Your SlideShare is downloading. ×
Pembahasan soal snmptn 2012 matematika ipa kode 634
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Pembahasan soal snmptn 2012 matematika ipa kode 634

6,344

Published on

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
6,344
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
350
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Pembahasan Soal SNMPTN 2012 SELEKSI NASIONAL MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang
  • 2. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 1 Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan Soal SNMPTN 2012 Matematika IPA Kode Soal 634 By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) lim 𝑥→0 1 − cos2 𝑥 𝑥2 tan (𝑥 + 𝜋 3 ) A. −√3 B. 0 C. √3 3 D. √3 2 E. √3 Penyelesaian: Ingat: lim 𝑥→0 𝑥 sin 𝑥 = lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 = lim 𝑥→0 𝑥 tan 𝑥 = lim 𝑥→0 tan 𝑥 𝑥 = 1 1 = sin2 𝑥 + cos2 𝑥 Substitusi 𝑥 = 0 pada limit: lim 𝑥→0 1 − cos2 𝑥 𝑥2 tan (𝑥 + 𝜋 3 ) = 1 − 1 02√3 = 0 0 (bentuk tak tentu) Jadi limit tersebut diselesaikan menggunakan identitas trigonometri: lim 𝑥→0 1 − cos2 𝑥 𝑥2 tan (𝑥 + 𝜋 3 ) = lim 𝑥→0 (sin2 𝑥 + cos2 𝑥) − cos2 𝑥 𝑥2 tan (𝑥 + 𝜋 3 ) = lim 𝑥→0 sin2 𝑥 𝑥2 tan (𝑥 + 𝜋 3 ) = lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑥 ∙ 1 tan (𝑥 + 𝜋 3 ) = lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 ∙ lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 ∙ lim 𝑥→0 1 tan (𝑥 + 𝜋 3 ) (Ingat lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 = 1) = 1 ∙ 1 ∙ lim 𝑥→0 1 tan (𝑥 + 𝜋 3 ) = 1 tan (0 + 𝜋 3 ) = 1 tan 60° = 1 √3 (Ingat rasionalisasi bentuk akar) = 1 √3 × √3 √3 = √3 3 1. TRIK SUPERKILAT: lim 𝑥→0 1 − cos2 𝑥 𝑥2 tan (𝑥 + 𝜋 3 ) = 𝑥2 𝑥2 tan 𝜋 3 = 1 √3 = √3 3
  • 3. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 2 2. Di dalam kotak terdapat 1 bola biru, 6 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah .... A. 5 9 B. 1 2 C. 5 12 D. 7 12 E. 20 45 Penyelesaian: Terdapat beberapa kemungkinan dengan syarat bola merah yang terambil dua kali bola putih yang terambil, yaitu: Kemungkinan pertama: Misal pada pengambilan sebanyak 7 bola di dalam kotak telah terambil 1 bola putih, maka untuk memenuhi syarat tersebut juga harus terambil 2 bola merah. Nah, akibatnya bola biru yang terambil harus sebanyak 4 bola biru. Jelas ini tidak mungkin, mengingat di dalam kotak hanya terdapat 1 bola biru saja. Kemungkinan kedua: Misal pada pengambilan sebanyak 7 bola di dalam kotak telah terambil 2 bola putih, maka untuk memenuhi syarat tersebut juga harus terambil 4 bola merah. Nah, akibatnya bola biru yang terambil harus sebanyak 1 bola biru. Kejadian inilah yang dimaksud dalam soal, mengingat di dalam kotak hanya terdapat 1 bola biru saja. Jadi dari dua kemungkinan tersebut di atas, pilihan kejadian yang mungkin adalah kemungkinan kejadian kedua, yaitu dalam pengambilan 7 bola di dalam kotak terambil 2 bola putih, 4 bola merah dan 1 bola biru. Sehingga peluangnya adalah: 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) ⇒ 𝑃(2𝑃 ∩ 4𝑀 ∩ 1𝐵) = 2 𝐶2 × 6 𝐶2 × 1 𝐶1 9 𝐶7 = 2! (2 − 2)! 2! × 6! (6 − 2)! 2! × 1! (1 − 1)! 1! 9! (9 − 7)! 7! = 2! 0! 2! × 6! 4! 2! × 1! 0! 1! 9! 2! 7! = 1 1 × 6 × 5 × 4! 4! × 2 × 1 × 1 1 9 × 8 × 7! 2 × 1 × 7! = 1 × 15 × 1 36 = 15 36 = 5 12 TRIK SUPERKILAT: 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) = 2 𝐶2 × 6 𝐶2 × 1 𝐶1 9 𝐶7 = 6 × 5 9 × 8 = 5 12
  • 4. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 3 3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = 1, dan 𝑥 = 2 adalah .... A. ∫ (1 − 𝑥2)𝑑𝑥 2 −1 B. ∫ (𝑥2 − 1)𝑑𝑥 2 −1 C. ∫ (𝑥2 − 1)𝑑𝑥 2 1 D. ∫ (1 − 𝑥2)𝑑𝑥 1 −1 E. ∫ (𝑥2 − 1)𝑑𝑥 2 0 Penyelesaian: Sekarang mari kita sketsa grafiknya. Menentukan terlebih dahulu batas integrasi di sumbu X: Batas kiri adalah perpotongan antara 𝑦 = 𝑥2 dengan 𝑦 = 1, yaitu di 𝑥 = 1. Batas kanan adalah garis 𝑥 = 2. Jadi batas integrasi adalah dari 𝑎 = 1 sampai 𝑏 = 2. Tentukan juga 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dalam selang interval 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 yang memenuhi 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥). Sehingga diperoleh { 𝑓(𝑥) ≡ 𝑦 = 𝑥2 𝑔(𝑥) ≡ 𝑦 = 1 Jadi luas daerah yang ditunjukkan oleh grafik di atas adalah: 𝐿 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ⇒ 𝐿 = ∫ (𝑥2 − 1) 2 1 𝑑𝑥 X 𝑦 = 𝑥2 Y 𝑦 = 1 𝑥 = 2 0−1−2−3 1 32 1 2 3 4 TRIK SUPERKILAT: Gambar sketsa grafiknya dulu Maka akan diperoleh 𝐿 = ∫ (𝑥2 − 1) 2 1 𝑑𝑥
  • 5. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 4 4. (cos 𝑥+sin 𝑥)2 (cos 𝑥−sin 𝑥)2 = .... A. 1 1−cos2𝑥 B. 1 1−sin 2𝑥 C. 1+cos2𝑥 1−cos2𝑥 D. 1+2 sin 𝑥 1−2 sin 𝑥 E. 1+sin 2𝑥 1−sin 2𝑥 Penyelesaian: Ingat: Identitas trigonometri cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 Trigonometri sudut rangkap: sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 Perkalian istimewa (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (cos 𝑥 + sin 𝑥)2 (cos 𝑥 − sin 𝑥)2 = cos2 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + sin2 𝑥 cos2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + sin2 𝑥 = (cos2 𝑥 + sin2 𝑥) + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 (cos2 𝑥 + sin2 𝑥) − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 (Ingat cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1) = 1 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 1 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 (Ingat 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = sin 2𝑥) = 1 + sin 2𝑥 1 − sin 2𝑥 TRIK SUPERKILAT: Substitusikan 𝑥 = 0° dan 𝑥 = 90° ke soal, maka jawabannya sama dengan 1. Cek pada jawaban, yang hasilnya juga 1 hanya di jawaban E. Ya kan?  Gampang kan?
  • 6. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 5 5. Lingkaran (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 25 memotong sumbu-𝑥 di titik 𝐴 dan 𝐵. Jika 𝑃 adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠𝐴𝑃𝐵 = .... A. 7 25 B. 8 25 C. 12 25 D. 16 25 E. 18 25 Penyelesaian: Mencari pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya. Ingat: 𝐿 ≡ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 adalah lingkaran dengan pusat di (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟. 𝐿 ≡ (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 25 adalah lingkaran dengan pusat di 𝑃(3, 4) dan jari-jari 5. Mencari letak titik potong lingkaran pada sumbu X, substitusikan 𝑦 = 0 ke persamaan lingkaran. 𝑦 = 0 ⇒ (𝑥 − 3)2 + (0 − 4)2 = 25 ⇔ (𝑥 − 3)2 + 16 = 25 ⇔ (𝑥 − 3)2 = 25 − 16 ⇔ 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 9 ⇔ 𝑥2 − 6𝑥 + 9 − 9 = 0 ⇔ 𝑥2 − 6𝑥 = 0 ⇔ 𝑥(𝑥 − 6) = 0 Pembuat nol ⇒ 𝑥 = 0 atau 𝑥 − 6 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 6 Jadi titik potong lingkaran pada sumbu X adalah di titik 𝐴(0, 0) dan 𝐵(6, 0). Sehingga, gambar sketsa grafiknya pada bidang koordinat adalah sebagai berikut. Panjang 𝐴𝑃 = 𝑃𝐵 = jari-jari lingkaran = 5 Panjang 𝐴𝐵 = jarak antara titik (0, 0)ke titik (6, 0) = √(6 − 0)2 + (0 − 0)2 = √36 + 0 = √36 = 6 Sehingga besar ∠𝐴𝑃𝐵 bisa ditentukan dengan aturan kosinus sebagai berikut: 𝐴𝐵2 = 𝐴𝑃2 + 𝑃𝐵2 − 2 ∙ 𝐴𝑃 ∙ 𝑃𝐵 ∙ cos ∠𝐴𝑃𝐵 ⇒ cos ∠𝐴𝑃𝐵 = 𝐴𝑃2 + 𝑃𝐵2 − 𝐴𝐵2 2 ∙ 𝐴𝑃 ∙ 𝑃𝐵 = 52 + 52 − 62 2 ∙ 5 ∙ 5 = 25 + 25 − 36 50 = 14 50 = 7 25 X Y 0 2 4 6 2 4 6 8 −2 𝑃 𝐴 𝐵
  • 7. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 6 6. Diberikan kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻. Jika 𝛼 adalah sudut antara bidang 𝐴𝐶𝐹 dan alas 𝐴𝐵𝐶𝐷, maka tan 𝛼 = .... A. √2 B. 1 √3 C. 1 2 D. 1 √2 E. √3 Penyelesaian: Sudut antara bidang 𝐴𝐶𝐹 dan alas 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah sudut yang dibentuk oleh ruas garis 𝑂𝐹 dan 𝑂𝐵 yaitu ∠𝐹𝑂𝐵. Misalkan panjang rusuk kubus tersebut adalah 𝑠, maka: 𝑂𝐵 = 1 2 diagonal bidang ⇒ 𝑂𝐵 = 1 2 × (𝑠√2) = 𝑠√2 2 Perhatikan ∆𝑂𝐵𝐹, maka nilai tangen ∠𝐹𝑂𝐵 adalah perbandingan sisi depan (𝐹𝐵) dibagi sisi samping (𝑂𝐵): tan ∠𝐹𝑂𝐵 = 𝐹𝐵 𝑂𝐵 ⇒ tan ∠𝐹𝑂𝐵 = 𝑠 𝑠√2 2 = 𝑠 × 2 𝑠√2 = 2 √2 (Rasionalisasi bentuk akar) = 2 √2 × √2 √2 = √2 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺𝐻 𝑂 𝐵 𝐹 𝑠 𝑠 2 √2 𝑂 TRIK SUPERKILAT: Logikanya, kita tahu panjang BF lebih panjang daripada BO. Maka nilai tangen pasti lebih besar 1. Jadi jawaban yang mungkin tinggal A dan E. Dengan memisalkan rusuk kubus 𝑠, maka diperoleh nilai tangen adalah √2.
  • 8. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 7 7. Lingkaran (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 64 menyinggung garis 𝑥 = −4 di titik .... A. (−4, 2) B. (−4, −2) C. (−4, 4) D. (−4, −4) E. (−4, 8) Penyelesaian: Untuk mencari letak titik singgung lingkaran terhadap garis 𝑥 = −4, maka substitusikan 𝑥 = −4 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh: 𝑥 = −4 ⇒ (−4 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 64 ⇔ 64 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 64 ⇔ 𝑦2 − 4𝑦 + 68 = 64 ⇔ 𝑦2 − 4𝑦 + 68 − 64 = 0 ⇔ 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 0 ⇔ (𝑦 − 2)(𝑦 − 2) = 0 ⇔ 𝑦1,2 = 2 Jadi titik singgung lingkaran dengan garis 𝑥 = −4 adalah (−4, 2). TRIK SUPERKILAT: Substitusikan semua pilihan jawaban, mana yang memenuhi persamaan lingkaran. Jelas (−4, 2) karena (−4 − 4)2 + (2 − 2)2 = 64
  • 9. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 8 8. Jika suku banyak 2𝑥3 − 𝑥2 + 6𝑥 − 1 dibagi 2𝑥 − 1, maka sisanya adalah .... A. −10 B. −1 C. 01 D. 02 E. 23 Penyelesaian: Pembagian suku banyak dengan metode Horner: 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝒙 = 𝟏 𝟐 2 −1 −6 −1 −1 0 3 𝟐 𝟎 𝟔 𝟐 Jadi, sisa pembagian suku banyak 2𝑥3 − 𝑥2 + 6𝑥 − 1 oleh 2𝑥 − 1 adalah 2. Pembagian suku banyak dengan metode biasa: 𝒙 𝟐 + 𝟑𝟑 + 4𝑥 − 𝟐𝒙 − 𝟏 2𝑥3 − 𝑥2 + 6𝑥 − 1 2𝑥3 − 𝑥2 − + 6𝑥 − 1 + 6𝑥 − 3 − − 𝟐 Jadi, sisa pembagian suku banyak 2𝑥3 − 𝑥2 + 6𝑥 − 1 oleh 2𝑥 − 1 adalah 2. TRIK SUPERKILAT: Gunakan metode horner. Metode paling ampuh untuk mencari nilai sisa untuk tipe soal ini.
  • 10. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 9 9. Grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 𝑐𝑥 + 20 turun, jika .... A. 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 dan 𝑎 < 0 B. 𝑏2 + 4𝑎𝑐 < 0 dan 𝑎 < 0 C. 𝑏2 + 3𝑎𝑐 < 0 dan 𝑎 > 0 D. 𝑏2 + 3𝑎𝑐 < 0 dan 𝑎 < 0 E. 𝑏2 − 3𝑎𝑐 < 0 dan 𝑎 < 0 Penyelesaian: Ingat: 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑛 ⇒ 𝑦′ = 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1 . Suatu fungsi 𝑓(𝑥) akan turun jika 𝑓′(𝑥) < 0. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 akan definit negatif jika 𝐷 < 0 dan 𝑎 < 0. Misal turunan pertama fungsi 𝑓(𝑥) adalah 𝑓′(𝑥), maka: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 𝑐𝑥 + 20 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 − 𝑐 Fungsi 𝑓(𝑥) akan turun jika 𝑓′(𝑥) < 0, sehingga: 𝑓′(𝑥) < 0 ⇒ 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 − 𝑐 < 0 Syarat fungsi ℎ(𝑥) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 − 𝑐 akan bernilai negatif adalah: 𝐷 < 0 ⇒ 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0 ⇔ (2𝑏)2 − 4(3𝑎)(−𝑐) < 0 ⇔ 4𝑏2 + 12𝑎𝑐 < 0 ⇔ 𝑏2 + 3𝑎𝑐 < 0 dan 𝐴 < 0 ⇒ 3𝑎 < 0 ⇔ 𝑎 < 0 Jadi fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 𝑐𝑥 + 20 turun, jika 𝑏2 + 3𝑎𝑐 < 0 dan 𝑎 < 0.
  • 11. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 10 10. Diketahui segitiga dengan titik sudut (−4, 0), (4, 0), dan (4 cos 𝜃 , 4 sin 𝜃) untuk 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. Banyak nilai 𝜃 yang mungkin agar luas segitiga tersebut 13 adalah .... A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1 Penyelesaian: Luas segitiga dengan titik sudut (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), dan (𝑥3, 𝑦3) adalah: 𝐿 = 1 2 | 𝑥1 𝑦1 1 𝑥2 𝑦2 1 𝑥3 𝑦3 1 | Sehingga, apabila titik sudut segitiga masing-masing adalah (−4, 0), (4, 0), dan (4 cos 𝜃 , 4 sin 𝜃) serta luas segitiga adalah 13, maka nilai luas harus diberi tanda mutlak (karena luas bernilai negatif apabila berada di bawah sumbu X): 𝐿 = 1 2 | 𝑥1 𝑦1 1 𝑥2 𝑦2 1 𝑥3 𝑦3 1 | ⇒ |13| = 1 2 | −4 0 1 4 0 1 4 cos 𝜃 4 sin 𝜃 1 | ⇔ |13| = 1 2 (32 sin 𝜃) ⇔ |13| = 16 sin 𝜃 ⇔ | 13 16 | = sin 𝜃 Dalam interval 0 < 𝜃 < 2𝜋, nilai sin 𝜃 = | 13 16 | yang tentunya bisa bernilai positif dan bisa bernilai negatif ada 4 buah, yaitu masing-masing bernilai positif di kuadran I (0 < 𝜃 < 𝜋 2 ) dan kuadran II ( 𝜋 2 < 𝜃 < 𝜋), serta bernilai negatif pada kuadran II (𝜋 < 𝜃 < 3𝜋 2 ) dan kuadran IV ( 3𝜋 2 < 𝜃 < 2𝜋).
  • 12. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 11 11. Vektor 𝑥⃗ dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 0. Kemudian hasilnya diputar terhadap titik asal 𝑂 sebesar 𝜃 > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor 𝑦⃗. Jika 𝑦⃗ = 𝐴𝑥⃗, maka matriks 𝐴 = .... A. [ cos 𝜃 − sin 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 ] [ 1 0 0 −1 ] B. [ −1 0 0 1 ] [ cos 𝜃 sin 𝜃 − sin 𝜃 cos 𝜃 ] C. [ cos 𝜃 − sin 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 ] [ −1 0 0 1 ] D. [ cos 𝜃 sin 𝜃 − sin 𝜃 cos 𝜃 ] [ 1 0 0 −1 ] E. [ 1 0 0 −1 ] [ cos 𝜃 sin 𝜃 − sin 𝜃 cos 𝜃 ] Penyelesaian: Ingat! Matriks transformasi pencerminan terhadap 𝑦 = 0 (sumbu X) adalah: 𝑀𝑠𝑏𝑋 = ( 1 0 0 −1 ) Matriks transformasi rotasi terhadap titik asal 𝑂 sebesar 𝜃 berlawanan jarum jam adalah: 𝑀 𝑅(𝑂,𝜃) ( cos 𝜃 − sin 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 ) Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi, jika vektor 𝑥⃗ secara berturut-turut ditransformasikan oleh matriks transformasi 𝑇1 lalu dilanjutkan transformasi oleh matriks transformasi 𝑇2 maka: 𝑦⃗ = (𝑇2 ∘ 𝑇1)𝑥⃗ ⇒ 𝑦⃗ = (𝑀 𝑅(𝑂,−𝜃) ∘ 𝑀 𝑀 𝑠𝑏𝑋 )𝑥⃗ ⇔ 𝑦⃗ = ( cos(−𝜃) − sin(−𝜃) sin(−𝜃) cos(−𝜃) ) ( 1 0 0 −1 ) 𝑥⃗ (Ingat sin(−𝜃) = − sin 𝜃 cos(−𝜃) = cos 𝜃 ) ⇔ 𝑦⃗ = ( cos 𝜃 sin 𝜃 − sin 𝜃 cos 𝜃 ) ( 1 0 0 −1 ) 𝑥⃗ Karena 𝑦⃗ = 𝐴𝑥⃗, maka jelas matriks 𝐴 adalah: 𝐴 = ( cos 𝜃 sin 𝜃 − sin 𝜃 cos 𝜃 ) ( 1 0 0 −1 )
  • 13. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 12 12. Himpunan 𝐴 memenuhi hubungan {1} ⊂ 𝐴 ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika 6 adalah anggota 𝐴, maka banyak himpunan 𝐴 yang mungkin adalah .... A. 04 B. 08 C. 16 D. 24 E. 32 Penyelesaian: Karena {1} ⊂ 𝐴 dan 6 adalah anggota 𝐴, maka jelas {1, 6} ⊂ 𝐴. Sehingga banyaknya anggota 𝐴 yang mungkin adalah sebagai berikut: Dua anggota: Hanya terdapat satu kemungkinan saja yaitu {1, 6} ⊂ 𝐴 Tiga anggota: Terdapat sebanyak 4 𝐶1 = 4 kemungkinan yaitu {1, 2, 6} ⊂ 𝐴 {1, 3, 6} ⊂ 𝐴 {1, 4, 6} ⊂ 𝐴 {1, 5, 6} ⊂ 𝐴 Empat anggota: Terdapat sebanyak 4 𝐶2 = 6 kemungkinan yaitu {1, 2, 3, 6} ⊂ 𝐴 {1, 2, 4, 6} ⊂ 𝐴 {1, 2, 5, 6} ⊂ 𝐴 {1, 3, 4, 6} ⊂ 𝐴 {1, 3, 5, 6} ⊂ 𝐴 {1, 4, 5, 6} ⊂ 𝐴 Lima anggota: Terdapat sebanyak 4 𝐶3 = 4 kemungkinan yaitu {1, 2, 3, 4, 6} ⊂ 𝐴 {1, 2, 3, 5, 6} ⊂ 𝐴 {1, 2, 4, 5 6} ⊂ 𝐴 {1, 3, 4, 5, 6} ⊂ 𝐴 Enam anggota: Terdapat sebanyak 4 𝐶4 = 1 kemungkinan yaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊂ 𝐴 Sehingga banyaknya himpunan bagian dari 𝐴 yang mungkin adalah: 1 + 4 𝐶1 + 4 𝐶2 + 4 𝐶3 + 4 𝐶4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 TRIK SUPERKILAT: Kita akan mencari himpunan bagian dari 4 anggota yang lain yaitu {2, 3, 4, 5}, jadi banyaknya himpunan bagian adalah 24 = 16.
  • 14. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 13 13. Diberikan suku banyak 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Jika 𝑏 dan 𝑐 dipilih secara acak dari selang [0, 2], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah .... A. 0 B. 1 6 C. 2 3 D. 3 4 E. 5 6 Penyelesaian: Ingat! Diskriminan persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 adalah 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Sifat-sifat diskriminan { 𝐷 > 0 ⇒ memiliki dua akar real berbeda 𝐷 = 0 ⇒ memiliki dua akar real kembar 𝐷 < 0 ⇒ tidak memiliki akar real (akar-akar imajiner) Syarat 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tidak mempunyai akar adalah nilai 𝐷 < 0. 𝐷 < 0 ⇒ 𝑏2 − 4𝑐 < 0 ⇔ 𝑏2 < 4𝑐 ⇔ 𝑏2 4 < 𝑐 Jika 𝑎 dan 𝑏 berada dalam selang [0, 2] dimisalkan 𝑥 = 𝑏 dan 𝑦 = 𝑐 sehingga persamaan di atas menjadi: 𝑏2 4 < 𝑐 ⇒ 𝑦 > 𝑥2 4 Fungsi 𝑦 > 𝑥2 4 dengan batas 0 ≤ 𝑎 ≤ 2 dan 0 ≤ 𝑏 ≤ 2 bisa digambar pada sketsa grafik berikut: Perhatikan gambar, daerah hasil dari 𝑎 dan 𝑏 adalah daerah persegi bergaris tepi berwarna biru dengan ukuran 2 × 2, sehingga jumlah ruang sampelnya adalah: 𝑛(𝑆) = Luas persegi = 2 × 2 = 4 Sedangkan, kejadian yang dimaksudkan pada soal adalah peluang suku banyak tersebut tidak memiliki akar berada pada daerah arsir berwarna merah, sehingga jumlah kejadiannya adalah: 𝑛(𝐴) = Luas daerah arsir = ∫ (2 − 𝑥2 4 ) 2 0 𝑑𝑥 = [2𝑥 − 𝑥3 12 ] 0 2 = (2(2) − (2)3 12 ) − (2(0) − (0)3 12 ) = (4 − 8 12 ) − (0) = 48 − 8 12 = 40 12 = 10 3 Jadi peluang suku banyak tersebut tidak memiliki akar adalah: 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) = 10 3 4 = 10 3 × 1 4 = 10 12 = 5 6 X Y 0 1 2 1 2 −1
  • 15. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 14 14. Nilai √3 sin 𝑥 − cos 𝑥 < 0, jika .... A. 7𝜋 6 < 𝑥 < 11𝜋 7 B. 5𝜋 6 < 𝑥 < 7𝜋 6 C. 5𝜋 7 < 𝑥 < 10𝜋 7 D. 𝜋 6 < 𝑥 < 9𝜋 6 E. 𝜋 12 < 𝑥 < 5𝜋 4 Penyelesaian: Ingat bentuk 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 𝑟 cos(𝑥 − 𝜃) dimana 𝑟 = √ 𝑎2 + 𝑏2 dan tan 𝜃 = 𝑎 𝑏 Perhatikan √3 sin 𝑥 − cos 𝑥 < 0 berarti 𝑎 = √3 dan 𝑏 = −1. Sehingga, 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 ⇒ 𝑟 = √(√3) 2 + (−1)2 = √3 + 1 = √4 = 2 Dan tan 𝜃 = 𝑎 𝑏 ⇒ 𝜃 = arctan ( 𝑎 𝑏 ) = arctan ( √3 −1 ) = arctan(−√3) = 120° = 2𝜋 3 Sehingga, √3 sin 𝑥 − cos 𝑥 < 0 ⇒ 2 cos (𝑥 − 2𝜋 3 ) < 0 Persamaan trigonometri sederhana cos (𝑥 − 2𝜋 3 ) = 0 = cos 𝜋 2 ⇒ 𝑥1 − 2𝜋 3 = 𝜋 2 + 𝑛 ∙ 2𝜋 ⇒ 𝑥2 − 2𝜋 3 = (− 𝜋 2 ) + 𝑛 ∙ 2𝜋 ⇔ 𝑥1 = ( 𝜋 2 + 2𝜋 3 ) + 𝑛 ∙ 2𝜋 ⇔ 𝑥2 = (− 𝜋 2 + 2𝜋 3 ) + 𝑛 ∙ 2𝜋 ⇔ 𝑥1 = ( 3𝜋 6 + 4𝜋 6 ) + 𝑛 ∙ 2𝜋 ⇔ 𝑥2 = (− 3𝜋 6 + 4𝜋 6 ) + 𝑛 ∙ 2𝜋 ⇔ 𝑥1 = 7𝜋 6 + 𝑛 ∙ 2𝜋 ⇔ 𝑥2 = 𝜋 6 + 𝑛 ∙ 2𝜋 𝑛 = −1 ⇒ 𝑥1 = 𝜋 6 𝑛 = 0 ⇒ 𝑥2 = 𝜋 6 𝑛 = 0 ⇒ 𝑥1 = 7𝜋 6 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥2 = 7𝜋 6 Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi 2 cos(𝑥 − 2𝜋 3 ) = 0 adalah { 𝜋 6 , 7𝜋 6 } Daerah penyelesaian pertidaksamaan 2 cos(𝑥 − 2𝜋 3 ) < 0 bisa digambarkan pada garis bilangan berikut: Jadi daerah penyelesaiannya adalah 0 < 𝑥 < 𝜋 6 atau 7𝜋 6 < 𝑥 < 2𝜋. Jadi daerah yang memenuhi pada jawaban adalah jawaban A yaitu 7𝜋 6 < 𝑥 < 11𝜋 7 . − −+ 0 𝜋 6 7𝜋 6 2𝜋
  • 16. Bimbel SBMPTN 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 15 15. Diketahui ‖𝑢⃗⃗‖ = 1 dan ‖𝑣⃗‖ = 2. Jika 𝑢⃗⃗ dan 𝑣⃗ membentuk sudut 30°, maka (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) ∘ 𝑣⃗ = .... A. √3 + 4 B. √3 + 2 C. 2√3 + 4 D. 3 E. 5 Penyelesaian: Ingat! 𝑎⃗ ∘ 𝑏⃗⃗ = ‖𝑎⃗‖ ∙ ‖𝑏⃗⃗‖ ∙ cos ∠(𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) Sifat operasi aljabar vektor: Distributif: (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∘ 𝑐⃗ = 𝑎⃗ ∘ 𝑐⃗ + 𝑏⃗⃗ ∘ 𝑐⃗ (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) ∘ 𝑣⃗ = 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑣⃗ + 𝑣⃗ ∘ 𝑣⃗ = ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ ∙ cos ∠(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) + ‖𝑣⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ ∙ cos ∠(𝑣⃗, 𝑣⃗) = ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ ∙ cos 30° + ‖𝑣⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ ∙ cos 0° = 1 ∙ 2 ∙ 1 2 √3 + 2 ∙ 2 ∙ 1 = √3 + 4 Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam menghadapi SNMPTN serta kumpulan pembahasan soal SNMPTN yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi http://pak-anang.blogspot.com. Terimakasih, Pak Anang.

×