1. 1、设康普顿效应中入射 X 射线(伦琴射线)的波长λ =0.700 Å，散射的 X 射线与入射的 X 射
线垂直，求：
(1) 反冲电子的动能 EK
(2) 反冲电子运动的方向与入射的 X 射线之间的夹角θ．
(普朗克常量 h =6.63×10
-34
J·s，电子静止质量 me=9.11×10
-31
kg)
解：令 p
v
、ν 和 p′
v
、ν ′ 分别为入射与散射光子的动量和频率， v
v
m 为反冲电子的动量(如
图)．因散射线与入射线垂直，散射角φ =π / 2，因此可求得散射 X 射线的波长
cm
h
e
+=′ λλ = 0.724 Å
(1) 根据能量守恒定律
22
mchhcme +′=+ νν
且
22
cmmcE eK −=
得 )/()( λλλλνν ′−′=′−= hchhEK = 9.42×10
-17
J
(2) 根据动量守恒定律 v
vvv
mpp +′=
则
2222
)/()/( λλ ′′+=′+= hhppmv
22
)/()/(
/
cos
λλ
λ
θ
′+
==
hh
h
m
p
v 2
)/(1
1
λλ ′+
=
=
′+
= −
2
1
)(1
1
cos
λλ
θ
/
o
044.
2、已知粒子处于宽度为 a 的一维无限深方势阱中运动的波函数为
a
xn
sin
a
)x(n
π2
=ψ ， n = 1, 2, 3, …
试计算 n = 1 时，在 x1 = a/4 → x2 = 3a/4 区间找到粒子的概率．
解：
∫
43
4
11
/a
/a
*
xd)x()x( ψψ ∫=
43
4
2 π2
/a
/a
xd
a
x
sin
a
p′
v
p
v
θ
v
v
m

2. π
1
2
1
1
2
π
π
1
+=+= )(
8180.=
3、粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
)sin(2)( a/xna/xn π=ψ ( 0 <x < a )
若粒子处于 n =1 的状态，它在 0－a /4 区间内的概率是多少？
解：
xd
a
x
a
xd
π22
sin
2
=ψ
粒子位于 0 – a/4 内的概率为：
xd
a
x
a
P
/a
∫=
4
0
2
sin
2 π
)(sin
2
4
0
2
a
x
d
a
xa
a
/a
ππ
π∫=
4
0
2
1
]
2
sin
4
1
[
2
/a
a
x
a
x ππ
π
−= )]
4
2
(sin
4
1
4
[
2 2
1
a
a
a
a
π
−=
π
π
0910.=
4、（1）质量为 m 的粒子处在宽度为 L 的一维无限深势阱中，它的解为 ( )xψ =
L
xn
sinA
π
，
试应用薛定谔方程，求该粒子在这势阱中的能量表达式。
（2）当该粒子在势阱中处在基态时，试求发现粒子处在 x=
4
L
到 x=
2
L
之间的几率 P。
解：（1）将 ( )xψ =
L
xn
sinA
π
代入 2
22
d
d
2 xm
Ψh
− 得： Ψ
πΨ
2
222
2
22
2d
d
2 mL
n
xm
hh
=−
Ψ
Ψ
E
xm
=− 2
22
d
d
2
h
2
22
2
222
82 mL
hn
mL
n
En
==
πh

3. （2）
L
Axx
L
n
sinA
L
2
1d2
0
2
=⇒=∫
π
基态：n =1， ( )x1ψ =
L
x
sin
L
π2
410
2
1
4
1
d
2 2
2
4
.x
L
x
sin
L
L
L
≈+=⇒ ∫ π
π
5、当氢原子处于 12 == l,n 的激发态时，则该激发态的电子总能量 E 约为多少？电子轨
道角动量的可能取值 L ？电子轨道角动量的空间可能取向θ ？电子自旋角动量的可能取值
S ？（氢原子基态能量为 eV613.− ）
解： eV)43
2
613
22 (.
.
E −=−=
hh 21 =+= )l(lL
hh ±== ,mL lz 0 θθ cos2cos h== LLz
4
3
24
πππ
θ ,,=
hh
2
3
1 =+= )s(sS
6、设一粒子出现在 ax ≤≤0 区间内的概率密度为常量，而在该区间外的概率密度处处为零，
试求该粒子在此区域内的概率密度。
解：
Cx =)(ρ ax ≤≤0
0)( =xρ ax,x >< 0
由归一化条件得： ∫∫ ===
∞
∞−
a
CaCdxdxx
0
1)(ρ
a
C
1
=

4. 在此区域内粒子概率密度： a/1 ，只与区域宽度有关。
7、试用（1）德布罗意波的驻波条件；（2）不确定关系式；（3）定态薛定谔方程等三种方法
中的任意两种方法讨论宽为 a 的无限深一维势阱中质量为 m 的粒子的最小能量.
解：
（1）德布罗意波的驻波条件： …== ,,,n,an 321
2
λ
粒子的动量：
a
nhh
p
2
==
λ 2
2222
22 ma
n
m
p
E
πh
== ， 取 1=n ，得： 2
22
2ma
E
πh
=
（2）不确定关系式： hpx ≥∆∆ ， ax =∆
2
222
22
)(
2 ma
h
m
p
m
p
E ≥≥=
∆
8、根据玻尔的轨道角动量量子化假设
（1）计算氢原子中电子在量子数为 n 的轨道上作圆周运动的频率；
（2）计算当该电子跃迁到 (n-1) 的轨道上时所发出的光子的频率；
（3）证明当 n 很大时，上述（1）和（2）结果近似相等．
解： (1)
r
m
r
e 2
2
0
2
4
v
=
πε
①
π
=
2
h
nrmv ②
r
n
v
=ω ③
①、②、③联立解出 332
0
4
1
2 nh
me
n ⋅
π
=
ε
ω 以及 332
0
4
1
42 nh
men
n ⋅=
π
=
ε
ω
ν

5. (2) 由①、②得 ⋅−=−= 222
0
4
0
2
2
8π42
1
nh
me
r
e
mvE
n
nn
εε
电子从 n 态跃迁到( n-1 )态所发出光子的频率为
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
= −
2232
0
4
1 1
)1(
1
8
'
nnh
me
h
EE nn
ε
ν 2232
0
4
)1(
12
8 −
−
⋅=
nn
n
h
me
ε
(3) 当 n 很大时， n
nh
me
ν
ε
ν =⋅= 332
0
4
1
4
'
9、已知一维无限深势阱中粒子的定态波函数为
L
xn
L
Ψn
π
sin
2
= ，其中 L 为阱宽.
试求：
（1）试求粒子处于 2=n 的定态时，粒子出现概率密度最大和最小值的空间位
置坐标；
（2）当粒子处于第二激发态时出现在 0=x 到
4
L
x = 之间的概率；
（3）设粒子质量为 m ，求粒子处于 5=n 能态时的能量。
解：
)
π2
(sin
2
)( 2
2 x
LL
x =ρ
（1）由此得：密度最大： 1)
π2
(sin2
=x
L
，即： L
k
x
4
12 +
=
考虑到 x 的范围在[ ]L,0 的区间里，故得：
4
1
L
x = 和 Lx
4
3
2 = .
密度最小： 0)
π2
(sin2
=x
L
得： L
k
x
2
= 除了势阱边，只有
2
L
x = 最小
（2） == ∫ x
L
x
L
P
L
d)
π3
(sin
2 4
0
2
30.0
π6
1
4
1
≈+
（3）由 52
22
2
5
22
2
π25
d
d
2
Ψ
mLx
Ψ
m
hh
=− 得 2
22
5
2
π25
mL
E
h
=