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Trabalho de matematica ensino médio

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  • 1. ENSINO MÉDIOTRABALHO DE MATEMÁTICA“TEORIA DOS CONJUNTOS” Por Wanderson Joner Silva Cruz Brasilia Maio de 2012 1
  • 2. TRABALHO DE MATEMÁTICA“TEORIA DOS CONJUNTOS” Trabalho apresentado à d i s c i p l i n a : M a t e m á t i c a , do Prof. Por: Wanderson Joner Silva Cruz Série: Ensino Médio Nota:_____ Assinatura do Professor (a): ________________________________ Brasilia Maio de 2012 2
  • 3. SUMÁRIO1 - INTRODUÇÃO ................................................................................. 042 – DESENVOLVIMENTO ............................................................ 05 à 16 2.1 - Noções.................................................................................. 05 à 11 2.2 – Representações.................................................................... 11 à 15 2.3 - Relação de pertinência...................................................................15 2.4 - Relação de inclusão........................................................................16 2.5 - Relação de igualdade.....................................................................163 – CONCLUSÃO ................................................................... .................174 – BIBLIOGRAFIA .................................................................................185 – ANEXOS ..............................................................................................19 3
  • 4. 1 - INTRODUÇÃO Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interaçõesentre muitos pesquisadores. Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um únicoartigo em 1874 por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade característica detodos os números algébricos reais". Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, quesão coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em umconjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que sãorelevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nasdefinições de quase todos os elementos matemáticos. O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantore Richard Dedekind em 1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dosconjuntos, numerosos sistemas de axiomas foram propostos no início do século XX, dosquais os axiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os maisconhecidos. Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo dematemática nos Estados Unidos. Fatos elementares sobre conjuntos e associação deconjuntos são frequentemente ensinados na escola primária, junto com diagramas deVenn, diagramas de Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção deconjunto. Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são umaparte padrão do currículo de matemática de graduação. A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistemaprecursor da matemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dosconjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisaativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleçãode temas, variando da estrutura do número real ao estudo da consistência de grandescardinais. A lógica de classes, que pode ser considerada um pequeno fragmento dateoria dos conjuntos com importância histórica é isomorfa à lógica proposicionalclássica e à álgebra booleana, e como tal, os teoremas de uma das teorias possuemanálogos nas outras duas. 4
  • 5. 2 – DESENVOLVIMENTO 2.1 - NOÇÕESNOÇÕES DE CONJUNTO A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do séculoXX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), AdolfFraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos vonNewman (húngaro - 1903 /1957), entre outros. O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido emalguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos,base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análisecombinatória, probabilidades, etc Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seuselementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia serrepresentado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elementoqualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.Relação de pertinência: Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A,onde o símbolo Î significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos essefato com a notação y Ï A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio erepresentado pela letra grega fi: f . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se oconjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo,representado pelo símbolo U. 5
  • 6. Assim é que, pode-se escrever como exemplos:Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.Subconjunto Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B,então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.Notas: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.Conjuntos numéricos fundamentais Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementossão números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamadosconjuntos numéricos fundamentais, a saber:Conjunto dos números naturaisN = {0,1,2,3,4,5,6,... }Conjunto dos números inteirosZ = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }Nota: é evidente que N Ì Z.Conjunto dos números racionaisQ = {x | x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }. (o símbolo | lê-se como "tal que"). Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na formade uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente dezero. Lembre-se que não existe divisão por zero!. São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000,0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. 6
  • 7. Notas: a) é evidente que N Ì Z Ì Q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.Exemplo: 0,4444... = 4/9Conjunto dos números irracionaisQ = {x | x é uma dízima não periódica}. (o símbolo | lê-se como "tal que").Exemplos de números irracionais:p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência eo seu diâmetro)2,01001000100001... (dízima não periódica)Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).Conjunto dos números reaisR = { x | x é racional ou x é irracional }.Notas:a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì Rb) Q Ì Rc) um número real é racional ou irracional; não existe outra hipótese!Intervalos numéricos Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto detodos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Osnúmeros p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitudedo intervalo. 7
  • 8. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, ointervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃOINTERVALO FECHADO [p;q] = {x Î R; p £ x £ inclui os limites p e q q}INTERVALO ABERTO (p;q) = { x Î R; p < x < exclui os limites p e q q}INTERVALO FECHADO [p;q) = { x Î R; p £ x < inclui p e exclui qA ESQUERDA q}INTERVALO FECHADO (p;q] = {x Î R; p < x £ exclui p e inclui qÀ DIREITA q}INTERVALO SEMI- [p;¥ ) = {x Î R; x ³ p} valores maiores ou iguais a p.FECHADOINTERVALO SEMI- (- ¥ ; q] = { x Î R; x £ valores menores ou iguais a q.FECHADO q}INTERVALO SEMI- (-¥ ; q) = { x Î R; x < valores menores do que q.ABERTO q}INTERVALO SEMI- (p; ¥ ) = { x > p } valores maiores do que p.ABERTONota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode serrepresentado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ).Operações com conjuntosUnião ( È ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î Aou x Î B}.Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto uniãocontempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. 8
  • 9. Propriedades imediatas:a) A È A = Ab) A È f = Ac) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.Interseção ( Ç ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; xÎ A e x Î B}.Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseçãocontempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.Propriedades imediatas:a) A Ç A = Ab) A Ç Æ = Æc) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.São importantes também as seguintes propriedades :P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)Observação: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem aoprimeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.Exemplos:{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.Propriedades imediatas:a) A - f = Ab) f - A = fc) A - A = Æd) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é, que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A – Bchama-se, neste caso, complementar de B em relação a A . 9
  • 10. Simbologia: CAB = A - B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universoU, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B .Observe que o conjunto B é formado portodos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:B = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:a) B Ç B = fb) B È B = Uc) f = Ud) U = fPartição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, erepresenta-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A(representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintescondições: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjuntovazio - Ø.Assim, o conjunto das partes de A será:P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):X = { {2}, {3,5} }Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:a) nenhum dos elementos de X é Ø .b) {2} Ç {3, 5} = Øc) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A 10
  • 11. Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é umapartição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2},{5} } são outros exemplos de partições do conjunto A. Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } éuma partição do conjunto Z dos números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} Ç {1, 3, 5, 7,...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = ZNúmero de elementos da união de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A sejan(A) e o número de elementos de B seja n(B).Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal doconjunto. Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B)e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguintefórmula:n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)2.2 - REPRESENTAÇÕES Representações de Conjuntosa) Extensão ou Enumeração Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração deseus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.Exemplos: Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana}; Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro}; Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.Observações: 1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez; 2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4}; 11
  • 12. 3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …}; 4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.b) Propriedade dos Elementos Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedadecaracterística comum a todos os seus elementos. Simbolicamente: A = {x | x tem a Propriedade P}e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.Exemplos: A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006}; B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima; C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.c) Diagrama de Euler-Venn Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e nãoentrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechadaindicam os elementos do conjunto.Conjunto Unitário e Conjunto Vazio Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia depluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto comapenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquerelemento, chamado de conjunto vazio (Ø).O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P élogicamente falsa.Exemplos de Conjuntos Unitários: Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro}; Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11}; 12
  • 13. Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.Exemplos de Conjuntos Vazios: {x | x > 0 e x < 0} = Ø; Conjunto dos meses com mais de 31 dias; {x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø.Conjunto Universo É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em umdeterminado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U. Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação dosegundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamosinteressados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nessecaso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura. Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de umapropriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a Be, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A: Observações: 1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”; 2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos; 3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.Subconjunto Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómentese, todo elemento x pertencente a A também pertence a B: onde a notação significa “A é subconjunto deB” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentidoinverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão ficasempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representadocomo: 13
  • 14. Exemplos: {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6} Ø C {a, b}; {a, b} C {a, b}; {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo. Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito quetodo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e Bestá contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemosprovar que:Propriedades da Inclusão Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintespropriedades: 1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; 2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva); 3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica); 4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva). Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais ébastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira: Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D,então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido noconjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D ésempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira. 14
  • 15. Conjunto das Partes Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjuntoformado por todos os subconjuntos de E: Exemplos: Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}} Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}}; Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.Observações: 1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos; 2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido); 3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A); 4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos; 5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21. A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e seráfeita oportunamente. Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a suaopinião nos comentários, ela é muito importante.2.3 - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA Cada aluno da classe tem uma mesma propriedade: estar na sala de aula.Assim, ao falarmos neste conjunto estabelecemos a possibilidade de averiguar se umapessoa pertence ou não a ele. O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação depertinência representada pelo símbolo Є. As letras minúsculas designam os elementosde um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é: V ={a, e, i, o, u}→ A relação de pertinência é expressa por: a Î V, pois o elemento a pertence aoconjunto V.→ A relação de não-pertinência é expressa por: b Ï V, pois o elemento b não pertenceao conjunto V. 15
  • 16. 2.4 - RELAÇÃO DE INCLUSÃO A relação de inclusão possui 3 propriedades:→ Propriedade reflexiva: A Ì A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.→ Propriedade anti-simétrica: se A Ì B e B Ì A, então A = B.→ Propriedade transitiva: se A Ì B e B Ì C, então A Ì C.2.5 – RELAÇÃO DE IGUALDADEIgualdade de Conjuntos Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmoselementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cadaelemento se apresenta. Vejamos os exemplos: {1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}ObservaçãoSe o conjunto A está contido em B (A B) e B está contido em A (B A), podemosafirmar que A = B. 16
  • 17. 3 - CONCLUSÃO Teoria dos Conjuntos Muitas das ciências hoje em dia, tem sua pedrafundamental na teoria dos conjuntos, que foi formulada no final do século XIX, foiestabelecida pelo matemático russo Geord Ferdinand Ludwig Philip Cantor ( 1845-1918). Nascido em S. Petersburgo, Rússia, concentrou seus estudos em Filosofia, Físicae Matemática. Doutourou-se em Berlim, na Alemanha, em 1867, com uma tese sobre aTeoria dos Números. No princípio, a reação dos círculos matemáticos não foi muitofavorável às concepções de Cantor, mas, no fim do século XIX, as idéias dele já erambem aceitas. Essa é considerada a primeira fase da Teoria dos Conjuntos. A segundafase iniciou-se nos primeiros anos do século XX, quando descobriu-se que a teoriacantoriana conduzia a contradições – os chamados paradoxos da Teoria dos Conjuntos.Em meados do século XX, a Teoria dos Conjuntos exerceu efeitos profundos sobre oensino da matemática. Cantor estava entre os matemáticos mais notáveis e originais desua época. No entanto, nunca consegui uma posição de destaque, passando a maior parteda sua carreira na Universidade de Halle. Apesar de não se poder definir o conjunto,entenderemos que ele seja um ente primitivo, isto é, uma coleção ou uma lista bemdefinida de objetos, símbolos, etc. Qualquer agrupamento pode ser chamado deconjunto. Assim, pois, dentro de um conjunto estão constituídos os elementos. Uma das formas de simbolizar o conjunto e seus elementos é representaro conjunto por uma letra maiúscula e seus elementos separados por vírgula e entrechaves. A representação em extensão pode ser usada para conjuntos finitos ou infinitos,mesmo que o número de elementos seja muito grande. Também podemos representarum conjunto por meio de uma figura chamada Diagrama de Venn ( John Venn, lógicoinglês,1834-1923). Fazemos notar, ainda, que contrariamente ao que se consideranormalmente nesta teoria, admite-se a existência de conjuntos com um só elemento(Conjunto Unitário) e conjuntos sem elementos (Conjuntos Vazios), notamos, ainda,que um conjunto pode ter um número Finito ou Infinito de Elementos. A partir doséculo VIII, os árabes introduziram na Europa o sistema de numeração com dezsímbolos criados pelos hindus. Esse sistema possuía inúmeras vantagens sobre os queeram normalmente utilizados, principalmente por facilitar a escrita e os cálculos. Ficouconhecido como sistema de numeração indo-arábico. Sofreu várias modificações esomente no século XIV os símbolos adquiriram o formato que utilizamos hoje. 17
  • 18. 4 - BIBLIOGRAFIAhttp://www.paulomarques.com.br/arq1-1.htmhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_conjuntoshttp://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria/conjuntos.asphttp://www.eumed.net/libros/2009a/499/FUNDAMENTOS%20DA%20MATEMATICA%20CONJUNTOS.htmhttp://www.dm.ufscar.br/~sampaio/itc.htmlhttp://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.phphttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htmhttp://www.youtube.com/watch?v=EKTw4Cr2AI8http://pt.wikibooks.org/wiki/Teoria_dos_conjuntoshttp://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_5TeoriaDosConjuntos.pdfhttp://www.cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula1.pdf 18
  • 19. 5- ANEXOS 19

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