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  1. 1. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 1/59 Índice del material 1.0 ¿Qué es una ecuación? 1.1 Ecuación Diferencial 2.0 Origen de las ecuaciones diferenciales 3.0 Clasificación 3.1 Ordinarias 3.2 En Derivadas Parciales 4.0 Orden y Grado de una ecuación diferencial 4.1 Orden 4.2 Grado 5.0 Ecuación diferencial de primer orden 5.1 Ecuaciones separables 5.2 Ecuaciones homogéneas 5.3 Ecuaciones lineales 5.4 Ecuaciones exactas 6.0 Formación de ecuaciones diferenciales 6.1 Formación de ecuaciones diferenciales de primer orden 6.2 Formación de ecuaciones diferenciales de segundo orden 6.3 Ecuación diferencial de una familia de curvas 6.4 Ejemplo 6.5 Resolviendo un ejemplo de familia de rectas 6.6 Resolviendo un ejemplo de familia de circunferencias 7.0 Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden 7.1 Solución de una ecuación diferencial 7.2 Solución General de una ecuación diferencial 7.3 Solución Particular de una ecuación diferencial 8.0 El software Derive 6.0 8.1 Introducción al Derive 6.0 8.2 La pantalla del Derive 6.0 8.3 Barras de herramientas de Derive 6.0 8.4 Ecuaciones diferenciales de primer orden con Derive 6.0 8.5 Métodos elementales de resolución con Derive 6.0 9.0 Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden con el software Derive 6.0. Graficación. 9.1 Graficando las soluciones con Derive 6.0 9.2 Resolviendo ecuaciones diferenciales con el Derive 6.0 9.3 Resolviendo ecuaciones diferenciales con comandos de Derive 6.0 10.0 Aplicaciones a la economía con Derive 10.1 Principio económico de la Oferta y la Demanda 10.2 Inventarios 11.0 Actividades practicas del tema 12.0 Recursos 13.0 Bibliografía 14.0 Enlaces Ing. Nilda Esther Belcastro
  2. 2. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 2/59 Introducción a las ecuaciones diferenciales Comencemos por dar algunas definiciones que nos ayudarán a resolver los temas de este módulo. 1.0 ¿Que es una ecuación? El termino ecuación se define como una igualdad que relaciona variables y se verifica para determinados valores asignados a las mismas. Por ejemplo: y m x= Que es la conocida ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas. O sea, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. 1.1 Ecuación diferencial El término diferencial está asociado a derivación. Implícitamente la diferencial está aplicada a una función incógnita y , respecto de una variable independiente x . Una ecuación diferencial se trata de una relación entre una función, su variable independiente y las derivadas de dicha función, donde la función es la incógnita. Podemos decir, que en cuanto a la naturaleza de este tipo de ecuaciones, siendo la derivada una variación instantánea; el problema del cual proviene una ecuación diferencial, es aquel donde nos dan información sobre la variación de las variables más que de las variables mimas. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales. Cuando establecemos las relaciones entre dos o más variables preferimos hacerlo como razones de cambio entre las mismas. Si consideramos que los cambios de la variable analizada se producen en forma continua o instantánea, sus razones de cambio serán derivadas y las ecuaciones que las incluyan serán las ecuaciones diferenciales. Se denomina ecuación diferencial a aquella ecuación que contiene derivadas o se llama ecuación diferencial aquella en la que aparece una cierta función incógnita y , su(s) variables independiente(s) y su(s) derivada(s). 2.0 Origen de las ecuaciones diferenciales Existen muchos y variados campos de las Ciencias donde aparecen, y tuvieron su origen, Ing. Nilda Esther Belcastro
  3. 3. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 3/59 las Ecuaciones Diferenciales. Ejemplo: Escribir la ecuación diferencial que responde a la siguiente condición: la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos ( , )x y es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. Podemos observar que la idea de la pendiente de una curva esta directamente relacionada con la ecuación diferencial. Si ponemos como condición que en una curva en cada uno de sus puntos ( , )x y su pendiente dy dx es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. La expresión resultante se representa mediante la ecuación diferencial siguiente 2( )d y x y d x = + Donde x e y son las coordenadas de un punto cualquiera Otro ejemplo: Escribir la ecuación diferencial que responde a la siguiente condición: la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre él y el cuerpo que lo rodea. Velocidad de cambio Cuando la variable x varía con el tiempo, la velocidad con que lo hace se representa por medio de la derivada d x d t . Ing. Nilda Esther Belcastro
  4. 4. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 4/59 Otro ejemplo: Escribir la ecuación diferencial que responde a la siguiente condición: la población de una ciudad minera crece a un ritmo proporcional a dicha población. Entonces, si sabemos que una población crece en el tiempo en forma proporcional a la cantidad de población presente, el problema satisface la ecuación d P k t d t = Proporcionalidad: aparece una constante que hace que la expresión sea proporcional. Aparece factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades. Graficamente Las ecuaciones diferenciales son de aplicación en distintos campos del conocimiento, sociología, físicos y también económicos. Otro ejemplo: Ing. Nilda Esther Belcastro
  5. 5. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 5/59 Escribir la ecuación diferencial que responde a la siguiente condición: la rapidez de aumento de un capital es proporcional a su tamaño. Así por ejemplo con capitalización continua de intereses, la rapidez de aumento de un capital es proporcional a su tamaño es decir d C r C d t = Debemos tener presente que ciertas magnitudes relacionadas con una curva, como la pendiente y el radio de curvatura, se expresan en función de las derivadas. La derivada como vimos en clases anteriores tiene dos aplicaciones: 1) geométrica: como pendiente de la recta. 2) Física: como la velocidad de cambio, la rapidez o la capitalización continua. Estas no son más que distintas formas de expresar lo mismo. 3.0 Clasificación Las ecuaciones diferenciales se clasifican en: 3.1 Ordinarias Si la función involucrada (y) sólo depende de una variable (x), a la ecuación diferencial se la llama ecuación diferencial ordinaria, la cual es entonces una expresión del tipo nF x,y,y ,y ,....,y =0   ÷   ′ ′′ Si la ecuación sólo tiene una sola variable independiente recibe el nombre de ecuaciones diferenciales ordinarias. ejemplo: 2xy y′= 3.2 En derivadas parciales: si la función y depende de más de una variable, a la ecuación diferencial se le llama ecuación diferencial parcial o ecuación diferencial en derivadas parciales. Si la ecuación contiene más de una variable independiente, apareciendo así sus derivadas parciales, recibe el nombre de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. ejemplo: 2 22 2 yyx y xy y xx ∂∂ + = + ∂∂ Ing. Nilda Esther Belcastro
  6. 6. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 6/59 4.0 Orden y Grado de una ecuación diferencial 4.1 Orden Definimos el orden de una ecuación diferencial como el de la derivada de mayor orden que aparezca en la ecuación. Ejemplos: 34 ( )y y y′′ ′+ = es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden 22 ( ) 0y xy y y xy′′′ ′+ + + = es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden La ecuación general de orden n está dada por nF x,y,y ,y ,....,y =0   ÷   ′ ′′ , donde solo es esencial que figure ny , derivada n-ésima de y respecto de x. Ejemplo 0y′′′= 4.2 Grado El grado de una ecuación diferencial, que puede escribirse como un polinomio respecto a las derivadas, es el grado de la derivada de mayor orden que figura en ella. Aquí debemos prestar especial atención a la frase: que puede escribirse como un polinomio respecto a las derivadas, expresada en la definición anterior, ya que sólo para aquellas ecuaciones diferenciales que pueden expresarse como un polinomio respecto a las derivadas parciales se puede definir el grado de la ecuación diferencial. Ejemplo 36( ¨) 5 0y y′′ ′+ = Ecuación diferencial ordinaria de tercer grado 0ye xy ′ ′′′− = No tiene sentido hablar de grado de la ecuación diferencial porque no se la puede expresar como un polimonio respecto a las derivadas. Para afianzar estos conceptos presentamos estos otros ejemplos para determinar orden y grado de algunas ecuaciones diferenciales. Ejemplos Ing. Nilda Esther Belcastro
  7. 7. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 7/59 25 4y x x x ∂ = + + ∂ Ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado. 3 7 0y y y ′ − + = ′′ Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y primer grado. 33( ) 2 0y y′′ ′+ = Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y tercer grado. 0ye x y y ′′ ′′− + = No tiene sentido hablar de grado de la ecuación diferencial porque no se la puede expresar como un polimonio respecto a las derivadas. 26 4 3y x x x ∂ = + + ∂ Ecuación diferencial de primer orden y primer grado. También, podemos decir que si la ecuación diferencial es racional e integrable con respecto a todas las derivadas que figuran en ella, el grado con respecto a la derivada de mayor orden es el grado de la ecuación diferencial. 5.0 Ecuación diferencial de primer orden Cuando se desea conocer la evolución en el tiempo de un sistema con una sola variable fundamental x , en general, no es posible obtener directamente la relación funcional, ( )x x t= , que existe entre t y x . En numerosos casos, al aplicar las leyes correspondientes al problema concreto, se obtiene una relación entre t , x y el ritmo de variación de x , es decir, entre t , x y x t ∂ ∂ . Esta relación se puede expresar en la forma x F t,x, = 0 t    ÷  ÷  ÷  ÷   ∂ ∂ que recibe el nombre de ecuación diferencial de primer orden. O también, una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma ( , )y F x y′= Donde F es una función que depende de las variables x e y. Ing. Nilda Esther Belcastro
  8. 8. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 8/59 Esta clase de ecuaciones diferenciales son de las más sencillas y su resolución se logra aplicando las siguientes técnicas sencillas. 5.1 Ecuaciones separables Una ecuación diferencial de primer orden se dice que es separable si puede escribirse en la forma ( ) ( ) 0yM x N y x ∂+ = ∂ donde M(x) es una función continua que sólo depende de x y N(y) es una función continua que sólo depende de y. Este tipo de ecuaciones se resuelve utilizando el procedimiento de separación de variables, que consiste en situar todos los términos que contienen x a la izquierda (o la derecha) del signo de igualdad, y todos los términos que contienen y en el lado contrario. Luego se integran ambos miembros de la igualdad, cada uno respecto de la variable correspondiente. Asi, la solución viene dada por ( ) ( )M x d x N y d y C+ =∫ ∫ Donde C es una constante arbitraria 5.2 Ecuaciones homogéneas Se dice que una función ( ; )z f x y= es homogénea de grado n si ( , ) ( , )nf t x t y t f x y= donde n es un numero real. Una ecuación diferencial homogénea es cualquier ecuación diferencial que se puede escribir en la forma ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = 1 donde M y N son funciones homogéneas del mismo grado. La ecuación 1 puede escribirse como ( , )y F x y′= Ing. Nilda Esther Belcastro
  9. 9. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 9/59 donde la función F satisface la siguiente ecuación ( , ) ( , )F t x t y F x y= Este tipo de ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones separables tras un cambio de variables. Entonces Si ( , )y F x y′= es una ecuación homogénea, entonces el cambio de variable y v x= donde v es una función derivable de x, transforma la ecuación anterior en una nueva ecuación diferencial en las variables x y v que es separable. 5.3 Ecuaciones lineales Una ecuación diferencial lineal de primer orden es toda ecuación que se puede escribir en la forma ( ) ( )y P x y Q x′+ = donde P y Q son funciones continuas de x. La resolución de este tipo de ecuaciones se consigue utilizando la técnica de los factores integrantes. Un factor integrante es una función ( )u x tal que al multiplicarla por el lado izquierdo de la ecuación se obtiene la derivada del producto ( )u x y , o sea, ( ) ( ) ( ) ( ) d u x y u x y u x P x y d x    ′+ = Es fácil probar que un factor integrante es la función ( ) ( ) P x dx u x e∫= Así la solución de la ecuación diferencial es Ing. Nilda Esther Belcastro
  10. 10. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 10/59 ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx y e Q x e dx c −∫ ∫= +∫ Hay ecuaciones no lineales que se transforman, mediante una sustitución adecuada, en una ecuación lineal. Entre estas ecuaciones debemos destacar la ecuación diferencial de Bernoulli, que puede escribirse como ( ) ( ) ny P x y Q x y′+ = Esta ecuación es lineal si n = 0 y de variables separables si n = 1. Para otros valores de n, el cambio de variable 1 nz y −= transforma la ecuación anterior en la siguiente ecuación lineal: (1 ) ( ) (1 ) ( )z n P x z n Q x′+ − = − 5.4 Ecuaciones exactas Esta sección debe estudiarse después del cálculo diferencial en varias variables, ya que se hace uso del concepto de derivada parcial. Una ecuación diferencial de la forma ( ; ) ( ; ) 0M x y d x N x y d y+ = se dice que es una ecuación diferencial exacta si existe una función f de dos variables x e y, con derivadas parciales continuas, tal que ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f fx y M x y y x y N x y x y ∂ ∂= = ∂ ∂ La solución general de la ecuación es ( , )f x y C= No toda ecuación diferencial es exacta. Entonces, ¿como distinguimos las ecuaciones diferenciales que son exactas de las que no lo son? Si M y N tienen derivadas parciales continuas en un disco abierto entonces la ecuación diferencial Ing. Nilda Esther Belcastro
  11. 11. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 11/59 ( ; ) ( ; ) 0M x y d x N x y d y+ = es exacta si y solamente si M N xdy ∂ ∂= ∂ Debemos tener mucho cuidado con esta condición, ya que su exactitud es una condición extremadamente frágil, porque pequeñas alteraciones en una ecuación exacta pueden hacer que se pierda dicha propiedad. Como ejemplo, podemos mostrar que 2 2( ) 0x y x d x y x+ + = es exacta, pero si dividimos por x , 2( 1) 0y d x x y d y+ + = ya no es exacta. 5.0 Formación de Ecuaciones diferenciales de Primer Orden. Consideremos el proceso de la formación de ecuaciones diferenciales a partir de una familia de curvas. Para dos variables el problema puede expresarse asi: Dada la ecuación de una familia de curvas con dos variables y n constantes arbitrarias, encontrar la ecuación diferencial de orden n-ésimo cuya solución general sea la ecuación de la familia de curvas dada. 5.1 Formación de ecuaciones diferenciales de primer orden. Una ecuación ( , ) 0G x y = representa una curva. Pero si en la ecuación anterior figura un parámetro C , la nueva ecuación Ing. Nilda Esther Belcastro
  12. 12. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 12/59 ( , , ) 0G x y C = representa una curva para cada valor de C. Se obtiene así una familia infinita de curvas también llamada haz de curvas. Asi, dada la ecuación ( , , ) 0 (2)G x y C = de un haz de curvas, podrá eliminarse el parámetro C , obteniéndose una ecuación que relaciona la x con la y y la y′. Es decir, una ecuación que expresa una propiedad geométrica de la tangente en cada punto, para todas las curvas del haz, dicha ecuación es la ecuación diferencial. Para obtener la ecuación diferencial que proviene de la familia infinita de curvas, derivamos ( , , ) 0G x y C = respecto de la variable independiente x , obteniendo ( , , ) 0 (3) d G x y C d x = Debemos tener en cuenta al derivar que se trata de la derivada de una función compuesta pues y es función de x. Trabajando con las ecuaciones (2) y (3) eliminamos C, obteniendo una relación ( , , ) 0f x y y′ = la cual satisfacen todas las curvas del haz, esta es la ecuación diferencial del haz de curvas. Podemos observar que cuando aparece más de una variable, el procedimiento seria el mismo, se deriva tantas veces como constantes arbitrarias haya en la ecuación. Y este proceso es el que determina el orden de dicha ecuación, si se deriva dos veces será una ecuación de segundo orden, si se deriva tres veces la ecuación será de tercer orden y asi sucesivamente, lo que es importante es eliminar entre la ecuación dada y sus derivadas las constantes arbitrarias ya que en la ecuación diferencial no deben aparecer constantes arbitrarias, no debemos olvidar que la ecuación diferencial es una relación entre las variables y sus derivadas. Ing. Nilda Esther Belcastro
  13. 13. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 13/59 5.2 Formación de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Sea la ecuación 1 2 ( , , ) 0,G x y C C = que representa una familia infinita de curvas. Para formar la ecuación diferencial que proviene de dicha familia comenzamos derivando respecto de x: ( , , , ) 1 2 0 G x y C C x ∂ = ∂ que con la ecuación anterior permite eliminar un solo parámetro, por ejemplo 2C , obteniéndose 1( , , , ) 0x y y Cφ ′ = Derivando nuevamente respecto de x: 1( , , , ) 0 x y y C x φ ′∂ = ∂ que con la ecuación anterior permite eliminar el otro parámetro 1C , resultando ( , , , ) 0F x y y y′ ′′ = Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. El mismo procedimiento se aplica a una familia 1 2 ( , , ) 0, , , n G x y C C C =L para formar la ecuación diferencial que de ella proviene debemos eliminar los n parámetros 1 2 3 , , , , n C C C CL entre las 1n+ ecuaciones siguientes: la primera (primitiva: ecuación de la familia) y las n ecuaciones obtenidas derivando la primitiva, n veces con respecto a la Ing. Nilda Esther Belcastro
  14. 14. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 14/59 variable independiente. 5.3 Ecuación diferencial de una familia de curvas Teorema de existencia y unicidad. Como hemos visto dada una ecuación diferencial, ( , )y f x y′= su solución general depende de una sola constante. El problema inverso seria: Dada una familia de curvas dependiendo de un parámetro obtener la ecuación diferencial cuya solución sea la familia de curvas dada. Si la familia de curvas es ( , , ) 0f x y C = derivamos implícitamente respecto de la variable x y obtenemos la relación ( , , , ) 0 x g x y C x ∂ = ∂ de ambas ecuaciones debemos de eliminar el parámetro C. Dada una familia de curvas ( , , ) 0f x y C = , se desea encontrar otra familia ( , , ) 0F x y C = , Ing. Nilda Esther Belcastro
  15. 15. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 15/59 tal que para cada curva de la primera familia, que pasa por el punto ( , ) 0 0 x y exista otra curva de la segunda familia que pase también por ese punto y sea ortogonal a ella (sus tangentes han de ser perpendiculares en ( , ) 0 0 x y . Es decir, si ( , , ) 0 0 x y yµ = es una ecuación diferencial de ( , , ) 0f x y C = entonces 1( , , ) 0x y y ϕ − = ′ lo es de ( , , ) 0F x y C = A la familia de curvas ( , , ) 0F x y C = se le denomina trayectorias ortogonales. 5.4 Ejemplo Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x y C= Se halla la ecuación diferencial de la familia: 0y d x xd y+ = y y x −′= Por tanto, la ecuación diferencial de la familia de curvas de las trayectorias ortogonales viene dada por Ing. Nilda Esther Belcastro
  16. 16. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 16/59 1 y xy − = − ′ y xy′= Siendo la solución de dicha ecuación diferencial la familia de curvas 2 2x y K− = 5.5 Resolviendo un ejemplo de familia de rectas Hallar la ecuación diferencial de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas. Su ecuación es y m x= Solución: La familia de curvas está dada por la ecuación (1)y m x= Diferenciando tenemos (2)y m′= Eliminando entre (1) y (2) el parámetro m resulta y y x′= Que es la ecuación diferencial solicitada. Para resolver este problema podemos utilizar el software de calculo matemático DERIVE 6.0 para graficar este haz de rectas. A continuación mostramos la imagen resultante de este proceso de graficación. Ing. Nilda Esther Belcastro
  17. 17. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 17/59 5.6 Resolviendo un ejemplo de familia de circunferencias Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo r cuyos centros están en el eje x. Solución: Las ecuaciones de las circunferencias son de la forma 2 2 2( ) ( )x c y k r− + − = con r fijo Al agregarle la condición de pasar por el eje x, nos queda 2 2 2( ) (3)x c y r− + = con r fijo derivando 2( )(1) 2 0x c y y′− + = x c y y′− =− Entonces, reemplazando en la ecuación (3) queda Ing. Nilda Esther Belcastro
  18. 18. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 18/59 2 2 2( )y y y r′− + = y la ecuación diferencial es 2 2 2 2( )y y y r′ + = Observemos que aquí también hay una derivación implícita, ya que y es tambien función de x. Recuerde que para hallar la ecuación diferencial de una familia dada no es suficiente con derivar tantas veces como constantes arbitrarias distintas tenga la ecuación de la familia de curvas. Si las constantes no han sido eliminadas en el proceso de derivación debe resolver el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la familia de curvas dada y las de las derivadas sucesivas. 6.0 Resolución de Ecuaciones diferenciales de Primer Orden. El mayor interés que tenemos al plantear una ecuación cualquiera es encontrar las soluciones, para cualquier tipo de ecuación siempre se busca encontrar la solución. Resolver una ecuación diferencial significa hallar todas las relaciones que la satisfacen, llamadas soluciones o primitivas. Pero, ¿que es la solución? 6.1 Solución de una ecuación diferencial Tenemos dos formas de trabajo: 1) La primera: comenzamos a trabajar con operaciones algebraicas en un miembro de la ecuación, el de la izquierda (por ejemplo), para poder llegar a obtener el otro miembro de la ecuación, el de la derecha (en este caso). 2) La segunda es trabajar con operaciones algebraicas al mismo tiempo en ambos miembros de la ecuación (el de la izquierda y el de la derecha) para llegar a una identidad o igualdad. Escribiendo las formas de trabajo mencionadas anteriormente en términos más formales desde el punto de vista matemático, tenemos: Ing. Nilda Esther Belcastro
  19. 19. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 19/59 1) Consideremos una ecuación diferencial ordinaria: ( ), , , , , 0nF x y y y y′ ′′ =K Diremos que una función ( )y f x= es una solución de la ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir en ella y y sus derivadas por ( )f x y sus derivadas respectivas. 2 ) Recordemos que expresamos como una ecuación diferencial de orden n a la expresión ( ), , , , , 0nF x y y y y′ ′′ =K Llamaremos solución de esta ecuación diferencial a una función ( )xµ µ= tal que al sustituirla en la ecuación reduzca a ésta a una identidad. Es decir, ( )xµ µ= será solución de la ecuación si satisface ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , 0¨ nF x x x x xµ µ µ µ   ÷   ′ ′′ =K para todo ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,¨ nx x x x xµ µ µ µ′ ′′ K que esté en el dominio de la función F . Podemos distinguir dos tipos de soluciones: las soluciones generales y las soluciones particulares. 6.2 Solución General de una Ecuación Diferencial Consideremos una ecuación diferencial ordinaria Ing. Nilda Esther Belcastro
  20. 20. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 20/59 ( ), , , , , 0nF x y y y y′ ′′ =K La solución general de una ecuación diferencial ordinaria es una función ( ); ; ; ; 1 2 y f x c c= K dependiente de una o varias constantes tal que cualquier solución de la ecuación diferencial se obtiene dando valores específicos a una o mas de las constantes. La solución general de una ecuación diferencial de orden n es una relación entre sus variables que contiene a n constantes arbitrarias linealmente independientes y satisface idénticamente la ecuación diferencial. Ejemplo 1: Llamaremos solución general de una ecuación diferencial, a una función que sea solución de la ecuación y que posea n constantes arbitrarias. Por ejemplo, la función 12 3 x xy C e e−= + es solución general de la ecuación diferencial 2 xy y e′+ = Ya que, 2 21 12 3 3 x xx x xC e e C e e e      ÷  ÷     ′− −+ + + = 2 21 22 2 3 3 x xx x xC e e e C e e− −− + + + = x xe e= Ing. Nilda Esther Belcastro
  21. 21. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 21/59 Es decir, tal función 12 3 x xy C e e−= + es solución de la ecuación dada y además la constante C que aparece en la expresión de esta solución es arbitraria. Ejemplo 2: Verificar en el ejercicio siguiente que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas. 2 d y x d x = ; solución general 2y x c= + Encontramos integrando en ambos miembros: Para la ecuación diferencial 2 d y x d x = la solución general será una familia de funciones 2y x c= + . Como podemos observar geométricamente, la solución general de esta ecuación diferencial es una familia de curvas. Ejemplo 3: Si la ecuación dada es Ing. Nilda Esther Belcastro
  22. 22. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 22/59 ( )1y y x′= una solución de la misma es y m x= ecuación de rectas ya que derivando ( )2y m′= Y despejando de la ecuación (1) y y x ′= E igualando a la ecuación (2) nos queda m x m x= O sea, que la ecuación y m x= satisface idénticamente la ecuación diferencial, por lo tanto, es solución general de la misma. 6.3 Solución Particular de una Ecuación Diferencial Cuando damos valores concretos a todas las constantes de la solución general, surge una solución particular. Una solución particular de una ecuación diferencial es aquella que se obtiene de la solución general por medio de la asignación de valores específicos a las constantes arbitrarias que aparecen en tal solución. Toda solución de la ecuación diferencial que se deduce de la solución general por una determinación de las constantes arbitrarias es una solución particular. Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas, denominadas curvas solución, una para cada valor concreto asignado a la constante arbitraria. La solución particular que se obtiene a partir de la solución general es una de las curvas de esa familia de curvas que geométricamente representan la solución general. Este tema se desarrollará con detalle en el ejemplo 4 , mas adelante en este mismo documento. En la práctica, la determinación de las constantes que aparecen en la solución general se realiza a partir de las condiciones iniciales del problema. Las condiciones iniciales del problema son los valores que adquiere la función solución o sus derivadas en determinados puntos. Ing. Nilda Esther Belcastro
  23. 23. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 23/59 Por ejemplo, para una ecuación diferencial de primer orden ( );y F x y′= una condición inicial se expresaría en la forma 0 0 y x y   ÷   = En consecuencia, ( )y f x= es solución si ( ) ( )( );f x F x f x′ = para todo valor de x en cierto intervalo, y 0 0 f x y   ÷   = Ejemplo 4: Hallar la ecuación diferencial que se corresponde con el haz de rectas ( )1y C x= + Hallar la solución particular para C = 1. La ecuación diferencial ( )1 0y x y′ + − = tiene como solución general a la función ( ) ( )1 3y C x= + Intenten verificarlo ustedes mismos. Y, admite como soluciones particulares a las funciones: Ing. Nilda Esther Belcastro
  24. 24. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 24/59 ( )1 ; 2 1y x y x= + = + obtenidas de la solución general para valores de C = 1 y C = 2 respectivamente. O sea, reemplazando en la ecuación (3) los valores de C = = 1 y C = 2 ( )1 0y x y′ + − = Ecuación Diferencial ( )1y C x= + Derivando y C′= Luego reemplazando en la ecuación diferencial estas dos ultimas ecuaciones, encontramos ( ) ( )1 1 0C x C x+ − + = 0 0= Por lo tanto ( )1y C x= + es la solución general de la ecuación diferencial dada. Esta solución general geométricamente es un haz de rectas. Y podemos graficarla, como se observa en la figura siguiente obtenida con el software Derive 6.0 Figura 1 Si tomamos C = 1 entonces ( )1y x= + Ing. Nilda Esther Belcastro
  25. 25. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 25/59 esta función es la solución particular de la ecuación diferencial mencionada. Esta solución particular también se puede graficar, como vemos en la siguiente figura realizada con el software Derive 6.0 Figura 2 Geométricamente, la solución general ( )1y C x= + es una familia de rectas, denominadas rectas solución de la ecuación diferencial. La solución particular ( )1y x= + que se obtiene a partir de la solución general es una de las rectas de esa familia de rectas que geométricamente representan la solución general, la que corresponde al valor de C = 1. Esto lo podemos observar en los gráficos de las soluciones general (Figura 1) y solución particular (Figura 2), observando la figura 2 vemos que la recta trazada en color rojo es la que se corresponde a la solución particular, que también aparece en la figura 1 de la solución general. 7.0 El software Derive 6.0 Ing. Nilda Esther Belcastro
  26. 26. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 26/59 Derive 6.0 es un asistente matemático básico para estudiantes, educadores, ingenieros y científicos. Puede resolver álgebra, ecuaciones, trigonometría, vectores, matrices y calculo como una calculadora científica. También puede resolver fácilmente tanto problemas simbólicos como numéricos y permite luego graficar los resultados en planos 2D (en dos dimensiones) o superficies 3D (en tres dimensiones). El aspecto más sobresaliente de DERIVE 6.0 es su trabajo simbólico que unido a sus capacidades gráficas lo convierte en una herramienta excelente para hacer y aplicar matemáticas, para documentar el trabajo de matemáticas y para aprender y enseñar matemáticas. Para el profesor y para el estudiante, DERIVE 6.0 es la herramienta ideal para apoyar el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. Gracias a sus capacidades numéricas, algebraicas y gráficas, permite nuevos enfoques en la enseñanza, en el aprendizaje y en la comprensión de las matemáticas. De hecho, es fácil comprobar que muchos temas pueden tratarse más eficientemente que usando métodos de enseñanza tradicionales. Muchos problemas que requieren cálculos extensos y laboriosos, pueden resolverse apretando una tecla, se elimina así el aspecto más tedioso de muchos cálculos matemáticos. Dejando al software DERIVE 6.0 los aspectos mecánicos y los algoritmos de la resolución de problemas, los estudiantes pueden concentrarse en el significado de los conceptos matemáticos. En lugar de aprender y enseñar habilidades de cálculo, los profesores y los estudiantes pueden centrarse en los aspectos más excitantes de las técnicas de resolución de los problemas. Como ya se ha demostrado, esto facilita la comprensión y el desarrollo de los conceptos matemáticos. DERIVE es la herramienta ideal para acceder de manera rápida y eficaz a numerosas operaciones matemáticas y a visualizar los problemas y sus soluciones de formas diversas. Si se lo utiliza periódicamente, el trabajo matemático dispondrá de un asistente amable y potente que, además, es muy sencillo de utilizar. 7.1. Introducción al Derive 6.0 En los capítulos siguientes de este material resolveremos y graficaremos ecuaciones diferenciales utilizando la ayuda del software Derive 6.0. Derive 6.0 es un potente software de la empresa Texas Instruments, capaz de realizar todo tipo de cálculos matemáticos, de forma rápida y práctica, nos sirve para realizar largas operaciones matemáticas sin cometer errores manuales o para verificar ejercicios con total precisión y exactitud. DERIVE 6.0 permite realizar cálculos y manipulaciones matemáticas de carácter general. Resuelve todas las ecuaciones diferenciales de primer grado y primer orden mediante los métodos más conocidos (variables separadas, ecuaciones diferenciales lineales, ecuaciones exactas, factores integrantes, etc.). Ing. Nilda Esther Belcastro
  27. 27. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 27/59 Además proporciona, siempre que puede, la solución explícita de la ecuación diferencial. Sin embargo, es posible que DERIVE 6.0 ofrezca una solución que dependa de una integral no resoluble algebraicamente. Con este software se puede realizar todo tipo de operaciones matemáticas, como cálculos básicos de suma, resta, multiplicación y división, o complejas ecuaciones, cálculos trigonométricos, vectores, matrices, y funciones. Posee una interfaz de fácil y rápido manejo. Permite dibujar gráficas en dos y hasta tres dimensiones, donde se pueden cambiar los colores, ampliarlas, rotarlas y girarlas directamente con el ratón. Debemos tener en cuenta que este material no es una guía de referencia del Derive 6.0 ya que esa referencia exhaustiva de todas las funciones del programa la constituye la Ayuda del propio software a la que se accede con la tecla F1. Este software posee varias barras de herramientas que simplifican muchísimo el trabajo de escritura o introducción de datos y la realización de cálculos, ya que esta permite con un simple click agregar todo tipo de símbolos y operaciones matemáticas. Si necesita una ayuda inicial, recomendado para quienes tengan problemas con el manejo de este software les recomendamos ver el Manual Breve de Derive 4.11 for Windows de la profesora Maria Pilar Vélez de la Universidad Antonio Lebrija, Madrid, España. Si no puede acceder al Manual mencionado por el enlace anterior, busque el enlace correspondiente en la sección de recursos de este material. Deben tener en cuenta que este manual esta explicado para la version 4.11 del derive y por consiguiente se encontraran con algunos comandos con cambios, pero para la explicación del manejo básico les será muy útil. Destaco además que el manual mencionado no muestra ni describe la resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden, tema del que nos ocuparemos en detalle en la sección siguiente. DERIVE nos hace fácil la realización de operaciones matemáticas. Al introducir una expresión, se aplica una orden y se obtiene una nueva expresión. Todas las expresiones pueden usarse para nuevos cálculos, como en una hoja de papel. 7.2 La pantalla del Derive 6.0 Si no cuenta con acceso al software en su computadora o en los laboratorios de la Universidad puede descargar por 30 días una version de prueba del mismo desde el siguiente enlace: http://derive.softonic.com/ Ing. Nilda Esther Belcastro
  28. 28. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 28/59 Con un click del mouse en descargar se realiza la carga en su computador del software. Una vez instalado el software, con un doble clik sobre el icono del programa o desde Inicio Programas Derive Derive 6.0 podemos iniciar el mismo. Nos aparecerá asi la siguiente pantalla: En esta pantalla se muestran, de arriba abajo, los siguientes elementos: La barra de títulos Ing. Nilda Esther Belcastro
  29. 29. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 29/59 La barra o línea de menú o comandos La barra o línea de iconos La ventana de algebra, vacía con fondo blanco. Esta ventana se llama siempre Algebra 1 por defecto y es el lugar donde nos mostrara nuestras expresiones y cálculos que escribiremos en la barra de introducción de expresiones o línea de edición. Al realizar clik con el botón izquierdo del ratón o mouse sobre el primer icono de la tilde en verde, debajo del mensaje Press F1 for Help, se muestra en esta ventana la expresión que escribimos. Puede probarlo introduciendo expresiones sencillas. La barra de estado donde se lee Press F1 for Help. La barra de introducción de expresiones o línea de edición. Aquí es donde realizaremos la introducción de expresiones en la ventana con fondo blanco, al realizar clik con el botón izquierdo del ratón o mouse, al inicio de esta ventana se puede introducir datos tal como se indica por el cursor parpadeante que aparece sobre dicha línea. Las barras de letras griegas y símbolos matemáticos. En la parte superior se observa la imagen siguiente Que incluye la barra de títulos, la barra o línea de menú o comandos y la barra o línea de iconos. En la parte inferior se observa la siguiente imagen Que contiene la barra de estado, donde se lee Press F1 for Help; la barra de introducción de expresiones o línea de edición, donde se introducen las expresiones y las barras de letras griegas y símbolos matemáticos. En la barra de introducción de expresiones o línea de edición cuando se detecta un error sintáctico, el cursor | se mueve al lugar donde esta el error y la causa del error se muestra en el primer hueco de esta barra. Un ejemplo de error sintáctico seria un carácter especial inesperado o cuando se introduce un paréntesis en lugar del símbolo de la división o cuando faltan paréntesis o cuando tenemos dos símbolos matemáticos seguidos. En el caso de que existan varios errores como DERIVE sólo puede detectar uno por vez, nos muestra el primero que encuentra de ellos, y al corregirlo, nos va a mostrar el siguiente y asi sucesivamente hasta que no encuentre errores. Ing. Nilda Esther Belcastro
  30. 30. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 30/59 Este software también nos permite insertar líneas de texto, cambiar la fuente, el color yla justificación del mismo, de manera de poder generar un documento que junto con las expresiones nos permite realizar una salida por la impresora o una imagen. Como se muestra en la imagen siguiente: 7.3 Barras de herramientas de Derive 6.0 En la tercera línea de la imagen que observamos a continuación tenemos los botones, que permiten acceder en forma rápida a diferentes actividades. La siguiente imagen contiene en su tercera línea a la barra de iconos A continuación describimos el nombre de cada botón o icono y las actividades que permiten realizar, comentándolos de izquierda a derecha: Ing. Nilda Esther Belcastro
  31. 31. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 31/59 El nombre de cada botón se puede visualizar al colocar el mouse o ratón por encima del mismo. New : abre una nueva hoja de trabajo Open : abre una hoja de trabajo existente Save : guarda la sesión de trabajo Print: imprime la sesión de trabajo Remove: elimina la expresión marcada Unremove : recupera la última expresión eliminada Renumber: renumera las expresiones Author expresión: introduce una expresión sencilla Author vector: introduce un vector Author matriz: introduce una matriz Simplify: simplifica Approximate : calcula un valor aproximado Solve: Resuelve algebraicamente o numéricamente una expresión Substitute for variables: realiza una sustitución Calculate limit: calcula un límite Calculate derivative: calcula una derivada Calculate integral : calcula una integral Calculate sum: calcula una suma Calculate product: calcula un producto 2D-plot window : realiza un grafico bidimensional 3D-plot window : realiza un grafico tridimensional. Para completar este tema y sobre todo si no se es muy experto en el uso de software consulte el documento Prácticas con Derive 6, de la Universidad Politécnica de Madrid, donde se describen algunas pantallas, las barras de herramientas y sus símbolos. Además se plantean ejercicios para introducir ecuaciones, graficar, calcular limites, derivadas, integrales. Resolver y graficar desigualdades, números complejos, funciones de números complejos, representación, potencias de i, operaciones básicas con complejos, raíces. Si no puede acceder a través de este enlace, busque el enlace correspondiente en la sección de recursos de este material. 7.4 Ecuaciones diferenciales de primer orden con DERIVE 6.0 No olvidemos que debemos tener en cuenta que este material no es una guía de referencia del Derive 6.0 ya que esa referencia exhaustiva de todas las funciones del programa la constituye la Ayuda del propio software a la que se accede con la tecla F1. Por lo que se recomienda consultar esta ayuda en toda ocasión que sea necesario. El archivo FirstOrderODEs.mth define funciones para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Las definiciones de las funciones se leen automáticamente cuando cualquiera de ellas se usa por primera vez. Las funciones con el sufijo GEN dan la solución general (en términos de una constante simbólica). Las funciones sin el sufijo GEN nos dan una solución particular cuando tenemos condiciones iniciales (numéricas), o nos dan una solución general en términos de condiciones iniciales simbólicas. Ing. Nilda Esther Belcastro
  32. 32. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 32/59 En muchos casos, los resultados son ecuaciones en forma implícita. Además, esas ecuaciones pueden contener integrales que Derive no pueda simplificar exactamente. Sin embargo, en algunos casos tales soluciones implícitas se consideran suficientes incluso con las integrales. Evidentemente, si una solución implícita no contiene integrales, puede usar los comandos del menú Solve y luego Expression para intentar obtener soluciones en forma explícita. Si se quiere encontrar una solución particular usando condiciones iniciales simbólicas o numéricas, lo mejor es usar la función que da directamente soluciones particulares, aunque siempre puede sustituir, después de encontrar la solución general, 0 x e 0 y en dicha solución general, resolver para c (la constante) y luego sustituir este valor de c de nuevo en la solución general. 7.5 Métodos Elementales de resolución con Derive 6.0 Aclaremos algunos términos que utilizaremos de aquí en adelante para indicar algunas acciones sobre el software. Cuando nos referimos a comandos estamos hablando de expresiones que el software reconoce y que generan un resultado sobre el mismo. Se deben escribir estos comandos en la barra de introducción de expresiones o línea de edición respetando estrictamente cada uno de los términos o letras del mismo, y ante la duda consultar la ayuda del programa que indica claramente a que se refiere con cada expresión. A continuación mencionamos algunos de ellos. El comando DSOLVE1_GEN(p, q, x, y, c) solución general de una ecuación de la forma P ( x , y ) + q ( x , y ) · y' = 0 usando la constante simbólica c. Nótese que la mayoría de las ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden escribir de esa forma. El comando DSOLVE1_GEN puede resolver ecuaciones exactas, lineales, separables, homogéneas y ecuaciones con factor integrante que dependa sólo de x o sólo de y. Ing. Nilda Esther Belcastro
  33. 33. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 33/59 Si la ecuación no es de ninguno de los tipos anteriores, el comando DSOLVE1_GEN devuelve la palabra "inapplicable". En este caso, se puede comprobar si se puede resolver con alguna de las funciones adicionales que aparecen en este archivo, de acuerdo con el tipo de ecuación al que pertenezca. El comando DSOLVE1(p, q, x, y, x0, y0) es similar a DSOLVE1_GEN, pero nos da la solución particular para las condiciones iniciales 0 y y= en 0 x x= . Estas condiciones iniciales pueden ser números, variables, o expresiones generales. Por ejemplo, para resolver la ecuación diferencial 2 x y + (1 + x ²) y' = 0 con la condición inicial y=1 en x=0, escriba la expresión DSOLVE1(2·x·y, 1 + x^2, x, y, 0, 1) Asi se obtiene la solución en forma implícita x^2 . y + y - 1 = 0 Para verificar que satisface la condición inicial, haga x=0 y y=1 en la solución. Al simplificar, comprobará que se obtiene la identidad 0=0. La función o comando de diferenciación implícita IMP_DIF del archivo DifferentiationApplications.mth puede ser útil para verificar una solución implícita de una ecuación diferencial. Por ejemplo, para verificar la solución implícita anterior, introduzca la expresión 2·x·y + (1 + x^2)·IMP_DIF(x^2·y + y - 1, x, y) y vea que da 0=0. Si es necesario obtener una solución explícita de una ecuación diferencial, utilice el comando Resolver > Expresión. Las funciones o comandos siguientes sirven para resolver los tipos particulares de ecuaciones diferenciales englobados por esta función y se incluyen básicamente por motivos pedagógicos. Ing. Nilda Esther Belcastro
  34. 34. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 34/59 Para poder resolver ecuaciones diferenciales de primer orden es necesario tener cargado en el ordenador la utilidad ODE1.MTH, lo cual se consigue seleccionando las opciones File|Load|Math o File|Load|Utility. Esta utilidad proporciona una serie de funciones que nos permiten resolver las ecuaciones diferenciales utilizando distintos métodos. Por ejemplo la función de DERIVE SEPARABLE(p,q,x,y,a,b), Siendo p(x) una expresión cualquiera (no tiene por que ser un polinomio) que no depende de y , y donde q(y) es una expresión cualquiera que no depende de x. Y donde a y b son los valores de x e y para los cuales queremos una solución particular. Para obtener y en función de x debemos seleccionar las opciones Solve| Algebaically, con la opción Variable igual a y , y obtendremos la solución y 8.0 Resolución de Ecuaciones diferenciales de Primer Orden con el software Derive 6.0. Como ya hemos mencionado, resolver una ecuación diferencial significa hallar todas las relaciones que la satisfacen, llamadas soluciones o primitivas. O sea, que nuestro trabajo se circunscribe a encontrar la función solución de la ecuación diferencial. Como veremos, este software ( Derive 6.0 ), no solo nos ayuda a resolver ecuaciones diferenciales encontrando las soluciones, facilitando todo tipo de cálculos matemáticos, de forma rápida y práctica; sino que también nos permite graficar esa solución de la ecuación diferencial y observar asi, las relaciones entre la solución general y la solución particular, por ejemplo y otras aplicaciones. Si necesita una ayuda inicial, recomendado para quienes tengan problemas con el manejo de este software les recomendamos ver el Manual Breve de Derive 4.11 for Windows de la profesora Maria Pilar Vélez de la Universidad Antonio Lebrija, Madrid, España. Si no puede acceder al Manual mencionado por el enlace anterior, busque el enlace correspondiente en la sección de recursos de este material. También, y sobre todo si no se es muy experto en el uso de software consulte el documento Prácticas con Derive 6, de la Universidad Politécnica de Madrid, donde se describen algunas pantallas, las barras de herramientas y sus símbolos. Además se plantean ejercicios para introducir ecuaciones, graficar, calcular limites, derivadas, integrales. Resolver y graficar desigualdades, números complejos, funciones de números complejos, representación, potencias de i, operaciones básicas con complejos, raíces. Si no puede acceder a través de este enlace, busque el enlace correspondiente en la sección de recursos de este material. Ing. Nilda Esther Belcastro
  35. 35. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 35/59 Además, no olvidemos que debemos tener presente que este material no es una guía de referencia del Derive 6.0 ya que esa referencia exhaustiva de todas las funciones del programa la constituye la Ayuda del propio software a la que se accede con la tecla F1. Por lo que se recomienda consultar esta ayuda en toda ocasión que sea necesario. 8.1 Graficando las soluciones con Derive 6.0 La ecuación diferencial ( )1 0y x y′ + − = tiene como solución general a la función ( ) ( )1 3y C x= + Y, admite como soluciones particulares a las funciones: ( )1 ; 2 1y x y x= + = + obtenidas de la solución general para valores de C = 1 y C = 2 respectivamente. O sea, reemplazando en la ecuación (3) los valores de C = = 1 y C = 2 ( )1 0y x y′ + − = Ecuación Diferencial ( )1y C x= + Derivando y C′= Luego reemplazando en la ecuación diferencial estas dos ultimas ecuaciones, encontramos ( ) ( )1 1 0C x C x+ − + = Ing. Nilda Esther Belcastro
  36. 36. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 36/59 0 0= Por lo tanto ( )1y C x= + es la solución general de la ecuación diferencial dada. Esta solución general geométricamente es un haz de rectas. Lo primero que vamos a ver es la graficación de las soluciones con el software Derive. Para esto debemos abrir el software con un doble clik sobre el icono del programa en el escritorio o desde Inicio Programas Derive Derive 6.0 accedemos a la pantalla inicial. Ing. Nilda Esther Belcastro
  37. 37. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 37/59 Escribimos en la barra de introducción de expresiones o línea de edición la expresión de la función a graficar, en este caso: ( )1y C x= + Presionamos el click del Mouse sobre la tilde de verificación en verde de la misma barra de introducción de expresiones y aparecerá en la Ventana Algebra 1 la expresión de la función ingresada. Asi la pantalla del Derive 6.0 nos quedará como se muestra en la imagen siguiente. Para obtener el grafico de esta función, se utiliza el comando introducir vector. Al mismo podemos acceder por dos caminos: Ing. Nilda Esther Belcastro
  38. 38. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 38/59 El primero es ingresar a la barra de comandos o menús y se elegir la opción Author y luego Vector; o el segundo, es acceder por medio del botón […] Autor Vector de la barra de iconos. Con este comando se introducen las distintas rectas, como elementos del vector, otorgándole valores consecutivos o no, según se desee, a la constante C. Observemos que en este caso y dada la forma de la función, la constante C también admite valores negativos (estos no generan ninguna disparidad de dominio), por lo que es posible y aconsejable incorporar tanto elementos positivos como negativos en el vector. O sea, hacer que la constante C tome tanto valores positivos como negativos. Para obtener la grafica utilizamos el comando Insertar 2D- Plot Objets, que tiene la ventaja de mostrarnos la grafica en la misma ventana que la función. Y otra vez, al mismo podemos acceder por dos caminos: El primero es ingresar a la barra de comandos o menús y se elegir la opción Insertar y luego 2D-Plot Objets; o el segundo, es acceder por medio de las llamadas teclas rápidas (una combinación de teclas) con Ctrl+2, manteniendo presionada la tecla control ctrl. Se presiona la tecla 2 del teclado. Aquí se debe tener cuidado en observar que en algunos ordenadores y según la configuración del teclado particular de cada computadora es probable que las teclas del teclado numérico no funcionen en este caso. Lo que no sucederá con las teclas numéricos superiores del teclado. La pantalla nos quedara de la siguiente manera: Ing. Nilda Esther Belcastro
  39. 39. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 39/59 También tenemos el comando 2D - Plot Windows que se utiliza para graficar la función pero en una pantalla separada. Al mismo comando se puede ingresar por dos caminos. El primero es ingresar a la barra de comandos o menús y se elegir la opción Windows y luego New 2D-Plot Windows; o el segundo, es acceder por medio del tercer botón desde la derecha 2D-Plot Windows de la barra de iconos. Recuerde que este comando nos abre una nueva ventana 2D donde se dibuja la función. Con el comando Insert y luego Text Objets agregamos líneas de texto a la ventana, que nos pueden servir para documentar nuestras actividades y generar asi una salida por impresora o una imagen que podemos utilizar en cualquier documento. Al comando Insert Text Objets se puede ingresar por dos caminos. El primero es ingresar a la barra de comandos o menús y se elegir la opción Insert y luego Text Objets; o el segundo, es acceder por medio de las llamadas teclas rápidas utilizando la tecla F5 del teclado. Retomando el ejemplo de la ecuación diferencial Ing. Nilda Esther Belcastro
  40. 40. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 40/59 ( )1 0y x y′ + − = Cuya solución general es ( )1y C x= + Buscamos ahora obtener para poder graficar una solución particular. Si tomamos C = 1 entonces ( )1y x= + esta función es la solución particular de la ecuación diferencial mencionada. Esta solución particular también se puede graficar, como vemos en la siguiente figura realizada con el software Derive 6.0 Que se puede obtener con el comando 2D - Plot Windows que se utiliza para graficar la función pero en una pantalla separada. Como vimos al mismo comando se puede ingresar por dos caminos. El primero es ingresar a la barra de comandos o menús y se elegir la opción Windows y luego New 2D-Plot Windows; o el segundo, es acceder por medio del tercer botón desde la derecha 2D-Plot Windows de la barra de iconos. 8.2 Resolviendo de ecuaciones diferenciales con Derive 6.0 Supongamos que vamos a resolver el siguiente ejercicio: Ing. Nilda Esther Belcastro
  41. 41. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 41/59 Resolver la ecuación diferencial que se corresponde con el haz de rectas siguiente utilizando el software DERIVE ( )1y C x= + Comencemos: Trabajando con el software DERIVE podemos obtener la siguiente ventana siguiendo algunos pasos: escribimos en la barra de introducción de expresiones la ecuacion del haz de rectas; agregamos un vector dando valores tanto positivos como negativos a la constante C de la ecuación del haz de rectas; agregamos o insertamos un objeto grafico 2D con la grafica del haz de rectas; escribimos en la barra de introducción de expresiones la ecuación del haz de rectas para C=1 marcada con #3 en la imagen siguiente (recordemos que esta ecuación constituye una solución particular); insertamos un objeto grafico 2D con la grafica de la solución particular. Observemos que además podríamos agregar a esta pantalla objetos de texto que nos permitan clarificar la visualización. A continuación y a modo de ejemplo, les mostramos una salida por impresora de este mismo ejercicio, explicando los pasos matemáticos y del software necesarios para su resolución. Salida de impresora correspondiente al software DERIVE Ing. Nilda Esther Belcastro
  42. 42. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 42/59 La solución general seria #1: y = c·(x + 1) que es la ecuación de un haz de rectas Le damos valores a la constante C : Si tomamos C con valores positivos y con el comando introducir vector #2: [x + 1, 2·x + 2, 3·x + 3, 4·x + 4] obtenemos el haz de rectas en una ventana grafica 2D Si tomamos C con valores negativos y con el comando introducir vector #3: [-x - 1, - 2·x - 2, - 3·x - 3, - 4·x - 4] se representa el haz de rectas en una ventana grafica 2D Con el comando introducir vector generamos el haz para algunos valores de C #4: [x + 1, 2·x + 2, 3·x + 3, 4·x + 4, -x - 1, - 2·x - 2, - 3·x - 3, - 4·x - 4] obtenemos en la ventana grafica 2D el siguiente haz de rectas Ing. Nilda Esther Belcastro
  43. 43. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 43/59 La solución particular, para C = 1, por ejemplo, es #5: y = x + 1 Esta es la solución particular cuya grafica seria FIN DE LA SALIDA DE IMPRESORA del software DERIVE En este último grafico podemos observar la grafica que corresponde geométricamente a la solución particular. Como vemos, esta última grafica la recta roja es la misma recta que figura también en color rojo en el grafico anterior del haz de rectas, o sea, la grafica de la solución general. Asi reforzamos el concepto de que la solución particular es parte de la solución general o, dicho de otra forma, no es mas que alguna de aquellas funciones que forman parte de la solución general. 8.3 Resolviendo de ecuaciones diferenciales con comandos de Derive 6.0 Otra vez recurramos a otro ejemplo, supongamos que tenemos que resolver l siguiente ejercicio. Resolver la siguiente ecuación diferencial utilizando el software DERIVE, Ing. Nilda Esther Belcastro
  44. 44. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 44/59 2y y′= Y obtener la solución particular que pasa por el punto (0,2). Comenzamos la resolución Para resolver este ejemplo con el software DERIVE debemos escribir la ecuación diferencial como: 2 0y y′− + = Utilizamos la función o comando DSOLVE1(p,q,x,y,xo,yo) donde p y q son los coeficientes del primer y segundo miembro respectivamente de la ecuación y xo , yo las coordenadas del punto por donde debe pasar la curva integral. Entonces escribimos en la barra de introducción de expresiones de la pantalla del software DERIVE la ecuación: DSOLVE1(-2y,1,x,y,0,2) Y luego utilizamos el comando de la barra de menú Solve y después Expresión o la combinaciones de las teclas CTRL+Shif+E. Obteniendo asi la solución particular, marcada con #3 en la imagen de la pantalla del Derive mostrada mas abajo 22 xy e= Para obtener la imagen mostrada a continuación se realizaron los siguientes pasos: Ingresamos un objeto de texto con la inscripción: “ingresamos la ecuación diferencial”; escribimos en la barra de introducción de expresiones la expresión Solve que se corresponde con nuestra ecuación (1) ; ingresamos un objeto de texto con la inscripción: “con el comando- resolver expresión” ; ejecutamos el comando Solve expresión; la computadora nos devuelve la expresión marcada con #3 ; ingresamos un Ing. Nilda Esther Belcastro
  45. 45. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 45/59 objeto de texto con la inscripción: “obtenemos asi la solucion particular para el punto P(0,2)” ; agregamos o insertamos un objeto grafico 2D con la grafica de esta ultima función; ingresamos un objeto de texto con la inscripción: Esta seria la grafica de la solución particular. Si graficamos la solución general de la ecuación diferencial del ejercicio anterior utilizando el software, obtenemos: Para obtener la pantalla de Derive mostrada a continuación se realizaron los siguientes pasos: Ingresamos un vector con los datos de la solución general de la ecuación diferencial como elementos; agregamos o insertamos un objeto grafico 2D con la grafica de esta familia de curvas; ejecutamos el comando Solve Expression; la computadora nos devuelve la expresión marcada con #3 ; agregamos o insertamos un objeto grafico 2D con la grafica de esta ultima curva que resulta ser la solución particular de la ecuación diferencial planteada. Ing. Nilda Esther Belcastro
  46. 46. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 46/59 Otro ejemplo utilizando comandos: Tenemos que 2 xy C e= es solución general de la ecuación diferencial 2y y′= Hallaremos la ecuación de la curva integral que pasa por el punto (0 , 2). Como 2 xy C e= es solución de la ecuación cuando x = 0 e y = 2 Nos queda 02 C e= 2C = Ing. Nilda Esther Belcastro
  47. 47. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 47/59 ⇒ la solución particular es ⇒ 22 xy e= Y su grafica es : Para resolver este ejemplo con el software DERIVE debemos escribir la ecuación diferencial como: ( )2 0 1y y′− + = Utilizamos la función o comando DSOLVE1(p,q,x,y,xo,yo) donde p y q son los coeficientes del primer y segundo miembro respectivamente de la ecuación y xo, yo las coordenadas del punto por donde debe pasar la curva integral. Entonces escribimos en la barra de expresión del software DERIVE el siguiente comando que se corresponde con la ecuación diferencial DSOLVE1(-2y,1,x,y,0,2) Introducimos esta expresión en la barra de introducción de expresiones, para luego utilizar el comando Solve – Expression – Ing. Nilda Esther Belcastro
  48. 48. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 48/59 El resultado obteniendo es la solución particular 22 xy e= 9.0 Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales a la economía En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad. La Oferta y la Demanda Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada (por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t. El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t) , o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t) , sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p ´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse: ( ) ( )( ),D f p t p t′= Llamamos ƒ la función de demanda. Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse: ( ) ( )( ),S g p t p t′= Llamamos g a la función oferta. 9.1 Principio económico de la oferta y la demanda: Ing. Nilda Esther Belcastro
  49. 49. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 49/59 El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), ,f p t p t p t p tg′ ′= Las formas que deberían tener ƒ y g son las siguientes: ( ) ( )( ) ( ) ( ), 1 2 3 D f p t p t A p t A p t A′ ′= = + + ( ) ( )( ) ( ) ( ), 1 2 3 S g p t p t B p t B p t B′ ′= = + + Donde A1, A2, A3 y B1, B2,B3 son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 A p t A p t A p t B p t BB′ ′+ + + += ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 3 3 A B p t A B p t B A′− + − = − Asumamos que ; 1 1 2 2 3 3 A B A B y A B≠ ≠ ≠ Entonces podríamos escribir la formula como: ( ) ( ) 3 31 1 2 2 2 2 B AA B p t p t A B B A    ÷  ÷   −− ′ + = − − Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a 0 p p= en 0t = da como resultado: ( ) 1 1 2 23 33 3 0 1 1 1 1 A B t A BB A B A p t p e A B A B −   − − ÷  ÷  ÷   − − = + − − −    ÷   Caso I: Si ( ) 0 3 3 0 1 1 t B A p y p A B p − = + − = Ing. Nilda Esther Belcastro
  50. 50. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 50/59 entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo. Caso II: Si 2 1 1 2 0 B A B A − − > entonces se tendría una estabilidad de precios. Caso III: Si 2 1 1 2 0 B A B A − − < en este caso vemos que de la ecuación ( ) 1 1 2 23 33 3 0 1 1 1 1 A B t A BB A B A p t p e A B A B −   − − ÷  ÷  ÷   − − = + − − −    ÷   que el precio p(t) crece indefinidamente a medida que t crece, asumiendo que 3 3 0 1 1 B A p A B − > −    ÷   ,esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 3 3 A B p t A B p t B A′− + − = − Ejemplo: La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 – 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre: a) El precio en cualquier tiempo t > 0 b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio. Resolución: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es, Ing. Nilda Esther Belcastro
  51. 51. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 51/59 48 – 2 p(t) + 3 p´(t) = 30 + p(t) + 4 p´(t) ( ) ( )3 18p t p t′ + = Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado: ( ) 36 4 tp t e−= + De este resultado vemos que, sí , 6t p→∞ → Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades. 9.2 Inventarios Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad de bien en su posesión, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario. Formulación Matemática: Sea ( )q t la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t. Entonces ( ) ( )q t t q t q+∆ = + ∆ es la cantidad disponible en tiempo t + ∆t. Así tenemos que: Cantidad acumulada en intervalo t a t + ∆t = ∆q = q(t + ∆t) – q(t). S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t. D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores en tiempo t. Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por los consumidores entre t y t +∆t están dados aproximadamente por S∆t y D∆t respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por términos que involucran (∆t)² y mayores. Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + ∆t es igual a: S∆t – D∆t + términos con (∆t)² o mayores. Así ∆q/∆t = S – D + términos con (∆t)² o mayores. Ing. Nilda Esther Belcastro
  52. 52. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 52/59 tomando el limite cuando ∆t→0, dq/dt = S – D. De esta última ecuación podremos decir que servirá de base para el posterior análisis sobre precios. Como una ilustración, supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. En ese caso tenemos que: dp/dt = – α dq/dt Donde α > 0 es la constante de proporcionalidad que se asume conocida, de modo que usando la ecuación dp/dt = – α (S – D). Puesto que S y D se pueden expresar en términos de p, la ecuación dp/dt = – α (S – D) es una ecuación diferencial para p. Ejemplo: Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 – 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es α = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0 Resolución: de la formula dp/dt = - α dq/dt la ecuación diferencial requerida para p es: dp/dt = -4(60 + 2P – 120 + 3p) o dp/dt + 20 p = 240 resolviendo esta ultima ecuación diferencial tenemos que 2012 tp C e−= + usando p = 8 en t = 0 Ing. Nilda Esther Belcastro
  53. 53. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 53/59 nos da C = – 4 y así 2012 4 tp e−= + 10.0 Actividades practicas Trabajo practico Tema: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1) Escribir la ecuación diferencial que responde a la siguiente condición: a) En cada punto (x,y) la pendiente de la tangente es igual a la ordenada del punto aumentada en 3 unidades. b) La población de una ciudad minera crece a un ritmo proporcional a dicha población. c) La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto (x,y) del plano xy, está dada por 4 – 2x. d) La velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre él y el cuerpo que lo rodea. f) La pendiente de una curva en cada uno de sus puntos (x,y) es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. g) La rapidez de aumento de un capital es proporcional a su tamaño. 2) Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo r cuyos centros están en el eje x. 3) Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales según el orden y el grado : a) 13 2 ++= xx dx dy . b) 052 =+− ′′ ′ y y y c) 3(y’’)3 +2y’= 0 f) dx dy dx yd += 12 2 g) 0=+′′−′′′ yyxe y h) 13 2 ++= xx dx dy Ing. Nilda Esther Belcastro
  54. 54. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 54/59 4) Verificar en los ejercicios siguientes que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas. a) x dx dy 2= b) y x dx dy −= )(:generalsol.;1) :generalsol.;0)() :generalsol.;0-) 2 2 22 Cxsenyy dx dy e CCxyyyyxd Cxyy dx dy xc +==+      +==−′+′ ==+ 5) Averiguar si las funciones que se indican son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales que se dan: SenwtCCoswtCxxw dt xd c Cosx C yytgxyb xyyyxa 21 2 2 2 ,0) ,0.) 5,2) +==+ ==−′ ==′ 6) Hallar la ecuación diferencial de las siguientes familias: senxeCeCyh CyCxyg BAxyf ByAsenxe Aeyd b yx d rfijoradioyxejeelencentroconnciacircunferec bmxyb mxya xx x ++= += += += ==+ += = −3 2 2 1) 2) ln) )() )1 2 ) ) ) ) 7) Comprobar que la función x eKy .= es la solución general de la ecuación ′ − =y y 0 y hallar la solución particular que satisface la condición inicial 1)1( −=′y . Representar gráficamente ambas soluciones. 8) Dada la ecuación y m x= hallar la solución general y hallar la solución particular para m= 1. Ing. Nilda Esther Belcastro
  55. 55. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 55/59 9) Dada la ecuación 2y y′= Hallar la solución general y hallar la solución particular que pasa por el punto (0,2). 10) Hallar la ecuación diferencial que se corresponde con el haz de rectas y = C ( x+1), hallar la solución particular para C= 1. 11) Utilice el software derive para graficar el siguiente haz de rectas: y = m x 12) Resolver la ecuación diferencial que se corresponde con el haz de rectas ( 1)y C x= + utilizando el software DERIVE 13) Resolver la siguiente ecuación diferencial utilizando el software DERIVE, 2y y′= obteniendo la solución particular que pasa por el punto (0,2) 14) Graficar la solución general de la ecuación diferencial del ejercicio nro 13 utilizando el software DERIVE 15) Dada la ecuación 2x y y′= Ing. Nilda Esther Belcastro
  56. 56. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 56/59 Hallar la solución general y hallar la solución particular que pasa por el punto (0,2). 16) Indicar el orden y el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) 2 ''' 2 ( ') 0y xy y y xy+ + + = b) 2 2 2 0 d x x dt ω+ = c) 2 43 2 3 2 0 d w d w vw dv dv     − + = ÷  ÷     17) Hallar la ecuación diferencial de las siguientes curvas definidas mediante las siguientes condiciones: a) En cada punto (x,y), la pendiente de la tangente es igual al cuadrado de la ordenada del punto. b) En cada punto P(x,y), la pendiente de la tangente es igual a ½ de la pendiente de la recta que pasa por el origen y el punto P. c) La normal en cada punto pasa por el origen de coordenadas. d) En cada punto (x,y), la pendiente de la tangente es proporcional a la abscisa del punto d tangencia. 18) Se sabe que la población de una ciudad aumenta a una velocidad proporcional a la población y a la diferencia entre 200.000 y la población. Expresar este principio mediante una ecuación diferencial. 19) Averiguar si las funciones que se dan son solución de las ecuaciones diferenciales que se indican: a) 2 5y x= ' 2xy y= b) 1 2 x x y C e C e− = + '' 0y y− = 20) Demostrar que: a) 2 2 2 ln ln y x A x x + = + se puede expresar como 2 . x y B e= siendo A y B constantes. b) ln(1 ) ln(1 )y x A+ + + = se puede expresar como xy x y C+ + = siendo A y C constantes. 21) Demostrar que 2 ( )y C Cx− = es la solución general de la ecuación diferencial 2 4 ( ') 2 ' 0x y xy y+ − = y hallar la solución particular para el punto (1,2). 22) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables: Ing. Nilda Esther Belcastro
  57. 57. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 57/59 a) 2 ( 1) (2 ) 0y dx y xy dy− − + = b) 2 2 . ( ) 0z dt t a dz− − = c) 0xdy ydx dx− + = d) 2 'xy y y− = 23) Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas : a) ( ) 2 0x y dx xdy− − = b) 2 2 2 ( ) ( ) 0x xy dy x xy y dx− + − + = c) 2 2 ( ) 0xydx x y dy− − = 24) Resolver las siguientes ecuaciones reducibles a homogéneas: a) ( 2) ( 4) 0x y dx x y dy+ − + − + = b) 1 ' 3 x y y y x + + = − + c) 4 3 1 3 2 1 dy x y dx x y + + = − − − 25) Resolver las siguientes ecuaciones lineales y reducibles a lineales: a) ' x y y e− = b) 2 3 dy x y x dx + = c) 4 (2 2 )ydx x y dy= + d) 3 41 'y y x y x + = 26) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) 2 0 dy ty dt + = b) 1 1 dy y dx x + = + c) 0x xdy e ye dx + + = d) 2 2 dy xy dx x y = − e) ( ) ( ) 0y x dx y x dy− + + = f) 2 (2 ) ( ) 0 dy x y y x dx − + − = g) ' 2 2y y x+ = + Ing. Nilda Esther Belcastro
  58. 58. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 58/59 h) 2 dy ty t dx + = si y(0) = 3/2 27) Resolver la siguiente ecuación diferencial correspondiente a un Modelo Económico: . e dy kp k p dx + = 28) Si la elasticidad de la función demanda es 2 (2 )p p E q + = y para q = 25 es p = 1 : a) Calcular la función demanda. b) En condiciones normales. ¿para que valores de p está definida la demanda? 29) La relación entre la ganancia neta G y el gasto en publicidad x es tal que la tasa de cambio de la ganancia neta, a medida que crece el gasto en publicidad, es proporcional a la diferencia entre una constante “a” y la ganancia neta. Obtener la relación entre la ganancia neta y el gasto en publicidad si G(0) < a. 30) Si la tasa de interés es 100 % capitalizable continuamente y A es el Monto en cualquier tiempo (Capital más interés acumulado), entonces : . dA i A dt = . Calcular A(t). Interpretar. 31) La tasa de incremento del Costo “C” a medida que crece el número “q” de unidades fabricadas, es igual al doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del número de unidades, dividido todo entre el producto del costo y el numero de unidades. Determinar C(q) si C(1) = 3. 32) Hallar el tiempo necesario para que una cantidad de dinero aumente al doble, al 5 % por año, a interés compuesto continuo. 33) La demanda de un producto ha ido creciendo a una tasa exponencial dada por : 0.2 400.000. tdq e dt − = ¿Cuántas unidades totales se espera que se demanden en el intervalo de tiempo comprendido entre 1986 y 1995 ( en 1986 t =0). 34) En un cultivo de levadura, la cantidad de fermento activo aumenta a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si esa cantidad se duplica en una hora, ¿Qué cantidad habrá al cabo de 3 y ½ horas? 35) La población de un país se duplica en 50 años. ¿en cuántos años será el triple suponiendo que la velocidad de aumento sea proporcional al número de habitantes. 36) Una hipótesis matemática para explicar el crecimiento de la población consiste en suponer que la rapidez de cambio de la población es proporcional a la población pesente. Ing. Nilda Esther Belcastro
  59. 59. E d O∫ Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden 59/59 En 1.880 la población de los Estados Unidos era de 5 millones de personas, en 1.900 era de 75 millones. ¿Con qué frecuencia se está duplicando la población? ¿Cuál sería la población en 1.970? Articulo ecu dif resolución http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/LibroED.pdf Ing. Nilda Esther Belcastro

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