Your SlideShare is downloading. ×
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)

2,254

Published on

MOVIMIENTO PARABOLICO

MOVIMIENTO PARABOLICO

0 Comments
5 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
2,254
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
261
Comments
0
Likes
5
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES CINEMÁTICA II1. SISTEMA DE REFERENCIA. Es aquel lugar del espacio en donde en forma real o imaginaría se sitúa un Y (m) observador para analizar un fenómeno. Sobre un cuerpo en el espacio se fija rigurosamente un sistema coordenado Trayectoria (cartesiano, polar, cilíndrico, esférico, etc.), lugar en el cual se instala un reloj (sistema r horario) y se ubica un observador en forma real o imaginaria, quien estudiará el fenómeno (movimiento mecánico) en el X (m) 0 espacio y en el tiempo. A este conjunto se le denomina sistema de referencia.2. MOVIMIENTO MECÁNICO EN COORDENADAS CARTESIANAS. Consideremos el movimiento de una partícula en el plano cartesiano, es decir un movimiento bidimensional, entonces la ley de movimiento tendrá la siguiente forma: r = rx .i + ry . ˆ ˆ j X (m) Veamos el siguiente ejemplo: v v = Tanθ ( ) ( ) r = t 2 + 4 .i + t 3 − 5 . ˆ ˆ j La ley del movimiento de una partícula en el espacio tridimensional tienes la forma: Tangente r = rx .i + ry . ˆ + rz .k ˆ j ˆ X (t) Veamos el siguiente ejemplo: ( ) ( ) r = t 2 + 4 .i + t 3 − 5 . ˆ + (2t ).k ˆ j ˆ 0 θ t (s)3. VELOCIDAD (v) t La velocidad de una partícula se define como la derivada de la posición respecto del tiempo. dr  rx  ˆ  ry  ˆ v= =   .i +   . j dt  dt   dt  Y (m) La velocidad de una partícula en el v plano tiene dos componentes: α v = v x .i + v y . ˆ ˆ j La velocidad de una partícula en el espacio tridimensional tiene tres a Trayectoria componentes: 0 dr  rx   ry  r  ˆ X v= =  .iˆ +  . ˆ +  z .k  dt  j ACELERACIÓN Y VELOCIDAD (m) dt  dt     dt  v = v x .i + v y . ˆ + v z .k ˆ j ˆFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 1
  • 2. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES4. ACELERACIÓN (a) Es aquella magnitud física vectorial que mide la razón con que cambia la velocidad del móvil e modulo y dirección. Matemáticamente la aceleración se define como la derivada de la velocidad respecto del tiempo. dv  v x   v y  a= =  .i +  . ˆ ˆ j dt  dt   dt    La aceleración de una partícula en el plano tiene dos componentes: a = a x .i + a y . ˆ ˆ j La aceleración de una partícula en el espacio tridimensional tiene tres componentes: dv  dv x  ˆ  dv y  ˆ  dv z ˆ a= =  .i +  dt  .j +   .k dt  dt      dt  a = a x .i + a y . ˆ + az .k ˆ j ˆ5. ÁNGULO ENTRE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN El ángulo que forma la velocidad y la aceleración en cierto instante determina el carácter de la aceleración y la curvatura de la de la trayectoria del modo siguiente. Por un punto de la trayectoria trazamos una circunferencia que tenga con aquella una línea tangente común a dicho punto y que v en el tramo dado de la curva se α aproxime lo más exactamente posible a ella. Esta circunferencia se llama osculatriz y su radio R recibe el nombre de radio de a curvatura del punto dado. La aceleración está dirigida siempre hacia dentro de esta circunferencia. Se presentan tres casos posibles: ρ I. Si el movimiento es acelerado, es decir, la rapidez aumenta, la aceleración y la velocidad formaran Trayectoria un ángulo AGUDO. II. Si el movimiento es desacelerado o retardado, es decir, la rapidez disminuye, la aceleración y la velocidad formaran un ángulo OBTUSO. III. Si el movimiento es con rapidez constante, es decir el módulo de la velocidad con cambia, la aceleración y la velocidad formaran un ángulo RECTO ( α = 90 ). Además se cumple que: 0 a iv = 06. DESCOMPOSICIÓN DE LA ACELERACIÓN. La aceleración se puede descompones en dos componentes rectangulares, una es la dirección tangencial a la trayectoria en el punto dado, denominada aceleración tangencial y la otra en dirección normal, denominada aceleración normal, cumpliéndose que: a = at + an El valor de la aceleración se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 2
  • 3. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES a = at + an 2 2 2 at 2 2  d v   v2  a =  +  2  dt   ρ  φ a an La aceleración tangencial mide solamente la rapidez de cambio de la velocidad en módulo. La aceleración tangencial se obtiene derivando la velocidad respecto del tiempo: dv at = dt ρ La aceleración normal mide solamente la rapidez de cambio de la velocidad en dirección: v2 an = DESCOMPOSICIÓN DE LA ACELERACIÓN ρ Donde ρ representa el radio de curvatura de la trayectoria en un instante. La desviación φ de la aceleración respecto de la línea normal o radial es: at Tan φ = an MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN DOS DIMENSIONES1. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones r (t ) = (t 2 ; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.2. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones r (t ) = (t 2 + 5) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.3. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones r (t ) = (t 2 + 5;2t − 3) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.4. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones r (t ) = (3t 2 − 10;2t − 3) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.5. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones t2 r (t ) = ( + 5;8 − 3t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. 2FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 3
  • 4. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.6. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones t2 t3 r (t ) = ( + 5; ;8 − 3t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en 2 3 metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.7. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones t3 r (t ) = ( ;10 − t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. 3 Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.8. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones t3 t2 r (t ) = ( ;10 − ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. 3 2 Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.9. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = (3; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t =0 s la posición es (10;30)10. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = ( 2t ;3) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t =0 s la posición es (5;7)11. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = ( −2;2t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t =0 s la posición es (15;−10)12. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = ( −2t ; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t =0 s la posición es (10;−10)13. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = (−2;−2t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 sFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 4
  • 5. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;−10)14. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = (−1;−2t ;1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;30)15. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (−t ;−2t; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (30;0;20)16. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = (−2t + 1; t + 1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;20)17. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = (1;−2) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (0;0)18. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = (−2;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;0)19. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = (−2 + t ;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;10)20. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = ( −2 + t ;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;10)FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 5
  • 6. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES21. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = (1 + 2t ;10 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;20)22. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = ( 2 − t ;10 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (0;10) m.s −1 en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;10)23. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = ( 2 − t;10 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (10;0) m.s −1 en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;10)24. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (1 + 2t ;2 − t ;5 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (20;10;0) m.s −1 en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (30;20;10)25. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = ( 2t ;5 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (20;0) m.s −1 en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (−30;−20)26. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = (2t ;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (−20;40) m.s −1 en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (−30;20)27. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = ( 2t ;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (−20;20) m.s −1 en el instante t = 0 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (30;−10)FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 6
  • 7. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES28. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = ( 2t;−1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (−20;40) m.s −1 en el instante t = 0 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (30;−10) MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN TRES DIMENSIONES29. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en tres dimensiones r (t ) = (t 2 ; t ;8 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.30. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en tres dimensiones r (t ) = (t 2 + 5; t − 3;8 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.31. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en tres dimensiones r (t ) = (t 2 + 5;2t − 3;8 − t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.32. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en tres dimensiones r (t ) = (3t 2 − 10;2t − 3;8 − t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.33. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en tres dimensiones t2 r (t ) = ( + 5;2t ;8 − 3t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en 2 metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.34. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en tres dimensiones t2 t3 r (t ) = ( + 5; ;8 − 3t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en 2 3 metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.35. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en tres dimensiones t2 t3 r (t ) = ( ; ;10 − t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. 2 3 Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.36. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en tres dimensiones t3 t2 r (t ) = (8t ; ;10 − ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. 3 2FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 7
  • 8. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.37. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = ( 2;3; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t =0 s la posición es (10;20;30)38. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = ( 2t ;3; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t =0 s la posición es (5;6;7 )39. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (−2;3; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t =0 s la posición es (15;−10;5)40. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = ( −2;−2t ; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t =0 s la posición es (10;−10;5)41. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (−2;−2t ;1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;−10;5)42. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (−1;−2t ;1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;20;30)43. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (−t ;−2t; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (30;0;20)FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 8
  • 9. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES44. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (−t + 1;−2t + 1; t + 1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (30;10;20)45. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (1;−2;−1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (0;0;0)46. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (1;−2;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;0;0)47. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (1;−2 + t ;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;10;0)48. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (1 + 2t ;−2 + t;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (0;10;10)49. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (1 + 2t ;−2 + t ;10 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;10;10)50. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (1 − 2t ;2 − t ;10 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (0;0;10) m.s −1 en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (10;0;10)51. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (1 + 2t;2 − t ;10 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z enFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 9
  • 10. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (0;10;0) m.s −1 en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (0;10;10)52. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (1 + 2t ;2 − t ;5 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (20;10;0) m.s −1 en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (30;20;10)53. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = ( 2t ;−t ;5 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (20;0;0) m.s −1 en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (−30;−20;−10)54. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = ( 2t ;−t ; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (−20;0;40) m.s −1 en el instante t = 10 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (−30;20;−10)55. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = (2t ;−t ;4) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (−20;0;20) m.s −1 en el instante t = 0 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (30;20;−10)56. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones a (t ) = ( 2t ;−1;4) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante. (1) La velocidad es (−20;30;40) m.s −1 en el instante t = 0 s (2) En el instante t = 10 s la posición es (30;20;−10)FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 10
  • 11. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES7. MOVIMIENTO MECÁNICO EN COORDENADAS POLARES. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas ( x ; y ) y las coordenadas polares planas ( r ;θ ) son: x = r.Cosθ e y = r.Senθ Un punto material en coordenadas polares planas y viene localizado por la distancia “r” del Punto P al origen O y por el ángulo θ . Si definimos los vectores uθ ur ˆ unitarios uθ en la dirección Cosθ Senθ del crecimiento de θ y ur ˆ θ en la dirección radial o vector θ x posición, entonces podemos escribir estos vectores -Senθ O Cosθ unitarios en función de los VECTORES UNITARIOS: RADIAL Y TANGENCIAL vectores unitarios cartesianos i y ˆ ˆ j ur = i .Cosθ + ˆ.Senθ = ( Cosθ ; Senθ ) ˆ ˆ j uθ = − i .Senθ + ˆ.Cosθ = ( − Senθ ; Cosθ ) ˆ ˆ j Sabiendo que θ cambia en el tiempo, la posición de un punto material viene dado por la siguiente V relación: r = r.ur ˆ Observe la siguiente derivada: y Vr d ur  ˆ dθ dθ  Vθ =  − Senθ . ; Cosθ .  dt  dt dt  P(x;y) d ur  d θ  ˆ =  [ − Senθ ; Cosθ ] = ω. uθ ˆ dt  dt  d ur  d θ  ˆ • r =  .uθ = θ .uθ ˆ ˆ dt  dt  θ CÁLCULO DE LA VELOCIDAD Entonces la velocidad será de derivada temporal: O x d r d ( r.ur ) ˆ duˆ dr V= = = r. r + ur . ˆ VELOCIDAD EN COORDENADAS dt dt dt dt POLARES d ur • ˆ pero: = θ .uθ entonces la expresión de la ˆ dt velocidad que expresada así: • • V = r.θ .uθ + r .ur ˆ ˆ de aquí la componentes de la velocidad en las direcciones radial y tangencial son:FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 11
  • 12. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES • Velocidad Radial: Vr = r .ur = Vr .ur ˆ ˆ • y Velocidad Tangencial: Vθ = r.θ .uθ = r.ω.uθ ˆ ˆ CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN La aceleración es la segunda derivada temporal de la posición, esto es: d2 r dV d  • • a= 2 = ˆ ˆ  =  r.θ .uθ + r .ur  dt dt dt  Aplicando la regla de la derivada de una suma y de un producto, tenemos que:  ••  •  2   •• • •  a =  r − r. θ   .ur +  r.θ + 2 r .θ  uθ   ˆ ˆ       De ésta última relación tenemos las componentes radial y tangencial de la aceleración:  ••  •  2   d Vr  Aceleración Radial: ar =  r − r. θ  .ur de otra manera ar =  ˆ − r.ω 2  .ur ˆ          dt   •• • •  Aceleración Tangencial: aθ =  r.θ + 2 r .θ  uθ ˆ de otra manera aθ = ( r.α + 2v.ω ) uθ ˆ   OBSERVACIONES: 2 • I. En la aceleración radial, al término r. θ se le conoce como la aceleración centrípeta.     La aceleración centrípeta es: ac = r.ω 2 • • II. En la aceleración tangencial, al término 2 r .θ se le conoce como la aceleración de Coriolis. La aceleración de Coriolis es: acor = 2 v . ω * Gustavo-Gaspard Coriolis (1792 - 1842), científico francés conocido por sus trabajos sobre mecánica teórica y aplicada.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 12
  • 13. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES CASOS PARTICULARES1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO. La trayectoria de la partícula es una línea recta, entonces el radio de curvatura es infinito 2 ( ρ = ∞ ) , y la aceleración normal es nula an = v = 0 . La aceleración total a = at + an se ρ dv reduce a la aceleración tangencial, a = at = es decir la velocidad cambia solo en valor y dt no en dirección.2. MOVIMIENTO CURVILÍNEO UNIFORME. El movimiento curvilíneo es uniforme si la rapidez del móvil no cambia, es decir el módulo de la dv velocidad es constante, por consiguiente la aceleración tangencial es nula at = = 0 y la dt v2 aceleración total a = at + an se reduce a una aceleración normal a = an = y se cumple la ρ siguiente relación: a iv = 0 Aquí la aceleración está dirigida en todo instante al centro de la circunferencia de radio ρ , este radio es variable en el tiempo. Si el radio de curvatura se hace constante ρ = R entonces el movimiento es Circunferencial y Uniforme, es decir M.C.U, y la aceleración normal recibe el v2 nombre de aceleración centrípeta: a = ac = R3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. En este caso la velocidad no cambia en módulo ni en dirección es decir la aceleración total es nula dv v2 at = =0 y an = =0 entonces a = at = an = 0 dt ρ este en un movimiento mecánico ideal, es el movimiento más simple de la materia.4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO. La trayectoria de la partícula es una línea recta, entonces el radio de curvatura es infinito v2 ( ρ = ∞ ) , y la aceleración normal es nula an = = 0 . En este caso el punto material o partícula ρ tiene aceleración tangencial constante, es decir el valor de la velocidad aumenta o disminuye dv progresivamente: at = = CONSTANTE dt La posición de la partícula respecto de un sistema de referencia tiene la siguiente ley de  t2  movimiento: r = r0 + v0 .t + at   , donde r0 es la posición inicial y v0 es la velocidad inicial 2 cuando ( t = 0 ) . La velocidad tiene la siguiente ley: v = v0 + at .tFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 13
  • 14. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES Si durante el movimiento el valor de la velocidad aumenta el movimiento se denomina acelerado. Si durante el movimiento el valor de la velocidad disminuye el movimiento se denomina desacelerado o retardado.5. PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones: Para t = 2 segundos, calcular la velocidad, la aceleración y los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos.RESOLUCIÓNSabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo; por lo tanto, calculamos suscomponentes:Componiendo los tres valores obtenemos la velocidad, v, en función del tiempo:que para t = 2 segundos nos da v = 27,8 m/s.Para saber la aceleración, derivamos de nuevo las expresiones anteriores:Componiendo y sustituyendo para t = 2 segundos, resulta:El valor de los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos viene dadopor los cocientes respectivos de los módulos de las velocidades de cada componente respecto almódulo de la velocidad total. Tenemos que ya hemos calculado el valor del módulo de lacomposición de las tres ecuaciones para la velocidad y hemos obtenido un valor de 27,8. De esemodo:PROBLEMA 2La ecuación de un movimiento en función del tiempo es:x = t 4 − 2t 3 + t 2 + 4 , donde x se mide en centímetros y t en segundos.Calcular el valor de t para que la aceleración sea máxima y obtener la velocidad en ese momento;Calcular también los valores de t para que la velocidad, por una parte, y la aceleración, por otra,sean nulas.RESOLUCIÓNFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 14
  • 15. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES El primer apartado significa que la segunda derivada de la ecuación del enunciado debe ser máxima. Para el cálculo obtenemos el valor de las raíces de la primera derivada (que sería la velocidad): Sabemos que una función tiene un máximo cuando su primera derivada se anula y la segunda tiene un valor negativo. Si calculamos la segunda derivada de la expresión inicial resulta: Sustituyendo los valores anteriores tenemos un máximo para t = 0,5 s. La velocidad en ese instante, según las operaciones efectuadas, será v = 0 cm/s. Los valores de t para los que se anula la velocidad son, como hemos visto, las raíces de la ecuación derivada de la expresión de la posición, es decir, t = 0 s; t = 1s y t = 0,5 s. Los valores de t para los que se anula la aceleración son las raíces de la segunda derivada:FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 15
  • 16. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTOS CURVILÍNEO1. Un móvil se mueve en el plano con las siguientes leyes de movimiento: X = 3 t + 2 t 2 e Y = 2 t + 1 , donde X e Y se miden en metros y “t” en segundos. Determine la ecuación cartesiana de la trayectoria que describe el móvil durante su movimiento. X (m)2. Un móvil se mueve en el plano con las siguientes leyes de Para el problema 06 movimiento: X = t 2 ( t − 3) e Y = ( t − 1) , donde X e Y +5 2 se miden en metros y “t” en segundos. Determinar el radio de curvatura en el instante en que la aceleración de la partícula es mínima. 5 103. Un móvil se mueve en el plano con las siguientes O t (s) leyes de movimiento: X = A.Cos ωt e Y = B Sen ωt , donde X e Y se miden en metros, ω en s-1 y “t” en segundos. a) ¿La trayectoria es una elipse? -5 b) Determinar la aceleración del móvil. c) Demostrar que la aceleración de la partícula es directamente proporcional a la distancia que se Vy (m/s) encuentra del origen de coordenadas y apunta hacia al 2 origen.4. Las velocidades instantáneas de dos partículas A y B, ( ) que se mueven en el plano son: VA = 3 i + 4 ˆ m.s −1 y ˆ j ( ) VB = 7 i + 24 ˆ m.s −1 Determine la velocidad ˆ j instantánea del punto medio M del segmento Vx (m/s) imaginario que une las posiciones. O 2 Para el problema 075. Una partícula se mueve en el plano partiendo del reposo desde el origen de coordenadas ( 0;0 ) en el instante t = 0 . Si se sabe que las componentes rectangulares de su velocidad, en todo instante, están en la relación: Vy 2 = Vx y además respecto del eje “x” partió con aceleración constante ax = 1 i (m.s −2 ) , determinar la velocidad del móvil en el instante t = 3 s. ˆ6. La figura muestra la grafica de la ley de movimiento de un cuerpo pequeño que se mueve sobre el eje “x”. Determinar la aceleración media entre los instantes t = 3 s y t = 7 s .7. Un móvil se mueve en el plano x − y partiendo desde el origen ( 0;0 ) en el instante t = 0 si la gráfica Vy − Vx es un arco de circunferencia de radio 2 m/s y con respecto al eje “x” el móvil partió del reposo v0 x = 0 con aceleración constante ax = 1,0 m.s −2 , determinar el radio de curvatura en el instante t = 1,0 s8. Si una partícula tiene el vector posición r = 3.t i + 2.t ˆ + 4 k , ¿Qué tipo de movimiento ˆ j ˆ tiene?FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 16
  • 17. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES A) Curvilíneo con rapidez constante. B) Curvilíneo con aceleración constante C) Curvilíneo con acelerado. D) Rectilíneo con velocidad constante E) Rectilíneo acelerado9. Una partícula se mueve en el plano; su posición está definida en función del tiempo: r = ( t 3 + 2t 2 + 1) i + ( t 4 + 4 ) ˆ donde “t” se mide en metros y las coordenadas en metros. ˆ j Determine la velocidad y la aceleración en el instante t = 1 segundo. (10. El movimiento de un punto se da por la siguiente ley: r = 8.t − 4.t 2 ) iˆ + ( 6.t − 3.t ) ˆj 2 Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleración del punto material.11. El movimiento de un punto se da por la siguiente ley: r = ( a.Senωt ) i + ( a.Cosωt ) ˆ + ( u.t ) k donde a, ω y u son magnitudes constantes. ˆ j ˆ Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleración del punto material.12. La ecuación del movimiento de una partícula está dada por r = ( 2.Sen π t ;2.Cos π t ) . La componente normal de la aceleración en cualquier instante es:13. Un cuerpo esta vibrando con movimiento armónico simple x = A.Sen (ω.t + α ) de amplitud 8 cm y frecuencia es 2 ciclos por segundo. Determinar los valores máximos de la velocidad y la aceleración.14. Una partícula tiene como vector posición: r = ( a.Cosω.t ) i + ( a.Senω.t ) ˆ entonces el tipo ˆ j de movimiento es: A) Curvilíneo con rapidez constante. B) Curvilíneo con aceleración constante C) Curvilíneo con acelerado. D) Circunferencial con rapidez constante E) Circunferencial con aceleración angular constante.  π ˆ15. La ecuación del movimiento de un objeto pequeño es: x = 2.Cos  0,5.t +  i Determine  4 el valor máximo de la velocidad y de la aceleración.16. La posición de una partícula en cierto sistema de referencia esta expresada por: r = m + ( c − m ) Sen.t donde m = (1;1;1) y c = ( 3;4;5 ) . Determinar la distancia entre los puntos extremos del desplazamiento.17. El vector posición de cierta trayectoria helicoidal es: r (t ) = ( Cosωt ; Senωt ; t ) Sabiendo que la velocidad angular ω es constante, determine la aceleración tangencial.18. La ecuación del movimiento de un objeto pequeño es: r = ( 4.Senπ .t ) i − ( Cos 2π .t ) ˆ ˆ j Demuestre que la trayectoria es una parábola.19. Un disco de 30 m de radio rota con velocidad angular constante ω =1,0 rad / s respecto de un eje vertical. Una esfera se mueve con velocidad de valor 10 m/s en dirección radial respecto del disco. Determine la aceleración de Coriolis, la aceleración centrípeta y la aceleración total de laFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 17
  • 18. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES esfera cuando llega al borde del disco.20. La posición de una partícula está definida por: r = ( 4.Sen π .t ) i + ( 4.Cos π .t ) ˆ ˆ j Determine la aceleración y el valor de la ω aceleración centrípeta.21. La posición de una partícula está definida Vrel por: r = ( 3.Sen π .t ) i + ( 4.Cos π .t ) ˆ ˆ j Demuestre que la trayectoria es una elipse. Determine la aceleración y el valor de la aceleración centrípeta. Para el problema 1922. Un móvil se mueve sobre un plano x − y 9t 3 con la siguiente ley: θ = y r = 2 , donde θ (rad ) , r (m) y t ( s ) . ¿En qué instante la 4 aceleración tangencial, es igual, a la aceleración normal en módulo?23. Un móvil se mueve sobre un plano x − y con la siguiente ley: θ = t − 4t y r = 2t , donde 2 2 θ (rad ) , r (m) y t ( s) . Determinar el radio de curvatura de la trayectoria en el instante en que la dirección de la velocidad pasa por el origen de coordenadas.24. Un móvil se mueve sobre un plano x − y con la siguiente ley: θ = t − 3t y r = t , donde 2 θ (rad ) , r (m) y t ( s) . Calcular la velocidad que posee en el instante en que la aceleración apunta hacia el origen de coordenadas.25. Un móvil se mueve sobre un plano x − y con la siguiente ley: θ = 2.t y r = 6.t , donde 2 θ (rad ) , r (m) y t ( s) . Determinar la velocidad que posee el móvil en el instante en que su aceleración es perpendicular a su vector posición.26. Un escarabajo, que parte del extremo A, se Y mueve sobre la barra AB en un plano horizontal, alejándose de A con una B velocidad relativa de 8 cm/s respecto de la VREL barra. Si la barra gira alrededor del eje vertical que pasa por A con rapidez angular constante de ω = 0,5 rad / s ; ¿después de ω qué intervalo de tiempo de haber partido del origen de coordenadas su aceleración lineal tendrá un valor de a = 10 cm / s ? X 2 A27. La aceleración de una partícula tiene la Para el problema 26 siguiente ley: a = t. (1 − 3t ) e − t ˆ (m/s2). ¿En i qué instante adquiere la máxima velocidad?FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 18
  • 19. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES28. Se sabe que la trayectoria de una partícula pasa por el origen de coordenadas. Conociendo su ( velocidad es v = Cos t;Sec t; e 2 −t ) , determinar la ley del movimiento r ( t ) .29. El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones: 1 5 3 x = 10 + 3t − 3.Cos(t) ( m ) , y = t 5 − t 3 + t 2 + 4t ( m ) , z = t 2 + 4t + 8.Sen(t) ( m ) 3 2 2 Determinar su aceleración, indicando las componentes tangencial y normal, así como el radio de curvatura en el instante inicial t = 0 s .30. Si una partícula tiene el vector posición r = 3.t ˆ + 4.t ˆ , ¿Qué tipo de movimiento tiene? i j A) Curvilíneo con rapidez constante. B) Curvilíneo con aceleración constante C) Curvilíneo con acelerado. D) Rectilíneo con velocidad constante E) Rectilíneo acelerado31. Una partícula se mueve en el plano; su posición está definida en función del tiempo: ( ) ( ) r = t 3 + 2t 2 + 1 i + t 4 + 4 ˆ donde “t” se mide en metros y las coordenadas en metros. ˆ j Determine la velocidad y la aceleración en el instante t = 1 segundo.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 19
  • 20. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES MOVIMIENTO RELATIVO1. CONCEPTO. Hasta ahora hemos estudiado al movimiento de una partícula respecto de un sistema de referencia fijo a la Tierra. Sin embargo hay otros casos en los que es razonable y a veces necesario, examinar el movimiento de una partícula simultáneamente respecto de dos sistemas de referencia, uno de los cuales se considera convencionalmente inmóvil (fijo a la Tierra) y el otro se mueve respecto del primero. Entonces es importante saber la forma en que están relacionadas las observaciones hechas por personas de diferentes sistemas de referencia. Un avión bombardero se desplaza horizontalmente con velocidad constante, en vA cierto instante el piloto abandona una bomba. El observador dentro del avión ve vA un movimiento de caída libre vertical, en cambio un observador fuera del avión ve un movimiento parabólico. Por consiguiente la trayectoria es relativa. En general la vA/B vB vB posición, la velocidad, la aceleración, el tiempo, el movimiento y la masa son relativos. El reposo es un estado particular del movimiento. El reposo es relativo. No existe el reposo absoluto. La materia se encuentra en eterno movimiento y desarrollo.2. VELOCIDAD RELATIVA. Es la velocidad del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que también se mueve. La velocidad de A respecto de B, se define como la diferencia de las velocidades. VA / B = VA − VB La velocidad relativa es el vector diferencia entre la velocidad de A (minuendo) y la velocidad de B (sustraendo). VA = VB + VA / B3. MOVIMIENTO COMPUESTO. Es aquel movimiento que resulta de la composición de dos o más movimientos simples. Por ejemplo para cruzar un río, se emplea un bote que se mantiene siempre perpendicular a la corriente del agua. VBOTE / AGUA = VBOTE − VAGUA B C La velocidad del bote respecto de la Tierra es igual a la velocidad de la VBOTE corriente del río, mas, la velocidad del VB/R bote respecto del agua. Observe la composición de la velocidad: α VBOTE = VAGUA + VBOTE / AGUA VRIO En el movimiento compuesto tenemos los A θ siguientes elementos: Velocidad absoluta: VBOTE , Velocidad de arrastre: VAGUA , Velocidad Relativa: VBOTE / AGUA La velocidad absoluta del punto es igual a la suma geométrica de la velocidad de arrastre y la velocidad relativa.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 20
  • 21. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES4. PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS Vrelativa Cada movimiento componente es un Vabsoluta fenómeno físico independiente de los demás movimientos mecánicos, teniendo en común el tiempo θ transcurrido. Varrastre VABSOLTULA = VARRASTRE + VRELATIVA El movimiento compuesto fue estudiado por el físico italiano Galileo Galilei.5. ACELERACIÓN RELATIVA Es la aceleración del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que también se mueve con aceleración constante. La aceleración de A respecto de B, se define como la diferencia de las aceleraciones. a A / B = a A − aB aA La aceleración relativa es el vector diferencia entre la aceleración de A (minuendo) y la aA aceleración de B (sustraendo). Para el movimiento compuesto se cumple que: a A = aB + a A / B aB aB aA/B En el movimiento compuesto tenemos los siguientes elementos: Aceleración absoluta: a A , Aceleración de arrastre: aB , Aceleración Relativa: a A / B La aceleración absoluta del punto es igual a la suma geométrica de la aceleración de arrastre y la aceleración relativa.6. PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO Si restamos la misma cantidad a las velocidades de A y B de tal manera que la velocidad del móvil B sea nula. Es decir el observador se mueve con la misma velocidad de B. Entonces analizar el movimiento de A visto desde el móvil B en reposo es mucho más fácil. VA - VB VB -VB Móvil A Móvil B d Si fijamos nuestro sistema de referencia sobre el móvil B, entonces observamos al móvil A con rapidez (VA - VB). Para el observador, el móvil B se encuentra en reposo relativo. VA - VB VB = 0 d d relativa = Vrelativa .t ⇒ d relativa = (VA − VB ).tFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 21
  • 22. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES7. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS El planeta Tierra tiene movimiento de Rotación, gira a razón 15 grados sexagesimales en cada hora, que para los habitantes de la Tierra es la velocidad de arrastre, entonces cuando un automóvil se mueve y el velocímetro indica 90 km/h ésta es la velocidad relativa del automóvil respecto de la Tierra. Todos los cuerpos que se mueven sobre otro cuerpo que tienen movimiento de rotación pura experimentan ωarr la aceleración de Coriolis, que se caracteriza por el cambio de la velocidad relativa en el movimiento de arrastre y de la velocidad de arrastre del punto en el movimiento relativo. α Vrel acor La aceleración de Coriolis se determina con la siguiente fórmula: acor = 2 (ωarr × vrel ) Aceleración de CORIOLIS cuando el ángulo α es agudo. De este modo, la aceleración de Coriolis es igual al doble producto vectorial de la velocidad angular del movimiento de arrastre, por, la velocidad relativa del punto. Si se designa por α el ángulo entre las ω velocidades, el módulo de la aceleración de Coriolis será: acor = 2 ωarr . vrel .Senα 90° acor La aceleración de Coriolis puede ser nula en los siguientes casos: Vrel I. Cuando la velocidad angular es nula, es decir, cuando el movimiento de arrastre es de traslación; o si Aceleración de CORIOLIS la velocidad angular de la rotación de arrastre se hace cuando el ángulo α es recto nula en el instante dado. II. Cuando la velocidad relativa es nula, es decir, cuando la velocidad relativa se hace nula en el ω instante dado. III. Cuando el ángulo que forman los vectores velocidad angular y velocidad relativa es 0° o es 180°, es decir, cuando el movimiento relativo se efectúa en dirección paralela al eje de rotación de arrastre o si en el instante dado el vector velocidad relativa es paralelo a este eje de rotación. Vrel EJEMPLO 01: Un avión está volando paralelamente a la línea ecuatorial en sentido de rotación de la Tierra. Si el velocímetro del avión señala 1,0 km/s, Para el Ejemplo 01FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 22
  • 23. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES determine el valor de la aceleración de Coriolis. Resolución La Tierra gira respecto de su eje a razón de 15° sexagesimales en cada hora, de otro modo gira 2π radianes cada 24 horas. θ 2π 2π ω ω= = = t 24 h 24 × 3600 s La velocidad relativa de avión respecto de la −1 acor superficie terrestre es: vrel =1000 m.s La velocidad angular de arrastre y la velocidad Vrel relativa forman un ángulo recto. Formula para calcular la aceleración de Coriolis: Aceleración de CORIOLIS acor = 2 ωarr . vrel .Senα  2π   .(1000 m.s ) .Sen90° −1 acor = 2   24 × 3600 s  −2 El valor de la aceleración de Coriolis es: acor = 0,145 m.s y la dirección es radial hacia el centro de la Tierra.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 23
  • 24. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTO COMPUESTO1. Dos cuerpos A y B se mueven con velocidades de VA = 3 i (m/s) y VB = 4 j (m/s). Determinar la velocidad de A respecto de B (en m/s).2. Dos cuerpos A y B se mueven con velocidades de VA = 3 i (m/s) y VB = 4 j (m/s). Determinar la rapidez de A respecto de B (en m/s). BOTE C B RIO d RIO LANCHA V A Para el problema 07 Para el problema 3, 4 y 53. Un hombre nada con rapidez de 3 m/s con respecto a las aguas de un río. Si se desplaza desde A hasta B, determinar el intervalo de tiempo (en s) que empleará el hombre en cruzar el río, de rapidez de corriente de 5 m/s y 12 m de ancho, con la condición que llegue a la orilla opuesta 30 m alejado en forma mínima de su punto de partida. B N 40 m4. Para cruzar un río de 40 m de ancho, se O E emplea un bote que se mantiene siempre perpendicular a la corriente del agua con S RIO rapidez de 8 m/s. Si la rapidez de la corriente del río es 6 m/s, determine la distancia (en A m) desde A hasta B.5. Para cruzar un río de 60 m de ancho, se Para el problema 06 emplea una lancha que se mueve con rapidez constante de 3 m/s respecto del agua. Si la rapidez de la corriente del río es 5 m/s, determine la distancia BC mínima (en m) a lo largo de la orilla.6. El observador situado sobre el bote A, que se mueve libremente PERRO debido a la corriente del río a una VP distancia de 40 m de la orilla, observa que un bote a velas B parte de un punto de la orilla Para el problema 09 situada a distancia de 30 m aguas abajo. Si el viento sopla en la dirección E 74° S, determinar la mínima distancia (en m) a la cual 5 m/s se acercan los botes. Tren7. Una lancha a motor que va río arriba se encontró con un boteFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 24
  • 25. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES que flota aguas abajo. Pasada una hora después de este encuentro el motor de la lancha se paro. La reparación de esta duro 30 minutos y durante todo el tiempo la lancha seguía libremente la corriente del rió. Arreglando el motor, la lancha comenzó a ir río abajo con la misma rapidez con relación a la corriente del agua y alcanzo al bote a una distancia igual a 7,5 km del punto de su primer encuentro. Determinar la rapidez de la corriente del río, considerándola constante (en km/h).8. Un portaviones avanza hacia el Sur con rapidez constante de 60 S N 600 km/h 600 km/h km/h respecto de la Tierra. En un instante dado (t = 0) despegan de su cubierta dos aviones de reconocimiento, uno que va hacia 60 km/h el Norte y el hacia el Sur ambos con una rapidez de 600 km/h con PORTAVIONES respecto a la Tierra y en la misma OCÉANO línea de acción del portaviones. Cada uno se aleja 594 km respecto Para el problema 08 del portaviones y regresa hacia el. Determinar el intervalo de tiempo (en h) que demora en regresar cada avión.9. Un coche de ferrocarril se desplaza rectilíneamente sobre rieles con rapidez constante de 5 m/s. Un perro que se encuentra fuera de la línea férrea se dirige en todo instante al coche con rapidez constante. Si en cierto instante el perro observa que el tren pasa frente a él con una rapidez de 4 m/s, determinar la rapidez con que se mueve el perro.10. Se muestra dos bloques A y B que resbalan sobre planos inclinados libres de rozamiento. Si los planos forman entre si un ángulo recto, determinar el módulo de la aceleración relativa de A respecto de B. A B 53° g Para el problema 10 Para el problema 12 (g: módulo de la aceleración de la gravedad)11. Dos pueblos amazónicos se encuentran en la misma orilla de un río separados una distancia de 36 km. Los pobladores para movilizarse usan una lancha 37° que siempre se mueve con la misma velocidad constante en módulo respecto del agua, pero debido a la corriente de agua, cuando se mueve la lancha río debajo demora 1 53° hora y cuando se mueve río arriba se demora 2 horas, (1) (2) entre ambos pueblos. Determinar el modulo de la velocidad constante del río (en km/h) Para el problema 13FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 25
  • 26. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES12. Un hombre que guía su automóvil a través de una tormenta a 100 km/h observa que las gotas de lluvia dejan trazos en las ventanas laterales haciendo un ángulo de 53° con la vertical. Cuando el hombre detiene su auto, observa que la lluvia está cayendo realmente en forma vertical. Calcular el modulo de la velocidad de la lluvia (km/h) respecto de la tierra.13. El conductor de un automóvil ve que cuando avanza con rapidez constante la gotas de lluvia siguen la trayectoria (1) y cuando retrocede con la misma rapidez ve que las gotas siguen la trayectoria (2). Si la velocidad real de las gotas de lluvia también es constante, determinar el ángulo que hace la dirección del movimiento real de las gotas de lluvia con la vertical.14. A través del cristal de la ventana de un coche de ferrocarril, un pasajero ve caer las gotas de lluvia paralelamente a la diagonal del marco. ¿Con qué módulo de velocidad (en km/h) cae realmente, si no hay viento, y el tren está corriendo con velocidad constante cuyo módulo es 60 km/h? El ancho de la ventana es el doble de la altura.MOVIMIENTO COMPUESTO (SEGUNDA PARTE)1. Un hombre en un bote debe ir de A hacia B que están en orillas opuestas. Las dimensiones son AC = 80 m y BC = 60 m. Si la velocidad de la corriente del río es constante de modulo 5 m/s, determinar la mínima rapidez constante del bote respecto del agua (en m/s), para lograr su objetivo. C B B RIO RIO A A Para el problema 01 Para el problema 022. Un hombre puede nadar en aguas tranquilas con una rapidez de 5 m/s. Si el río mostrado tiene un ancho de 24 m cuya corriente tiene velocidad constante de módulo 3 m/s, determinar el intervalo de tiempo (en s) que tardará en cruzar el río, sabiendo que tiene que hacerlo de A hacia B.3. Un hombre puede nadar en aguas tranquilas con una rapidez de 4 5 m/s. Si el río mostrado tiene las siguientes dimensiones AC = 40 m y CB = 30 m, cuya corriente tiene velocidad constante de módulo 1 m/s, determinar el intervalo de tiempo (en s) que tardará en cruzar el río, sabiendo que tiene que hacerlo de A hacia B. C B C B RIO RIO A A Para el problema 03 Para el problema 04FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 26
  • 27. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES4. Por un río, del punto A al punto B que se encuentra en la orilla opuesta, a lo largo de la recta AB, navega un bote. La bandera ubicada en el mástil del bote flamea en la misma dirección del río. El viento sopla con una velocidad de 6 m/s en dirección perpendicular a la orilla de A hacia C. Si AC = 3 km y CB = 4 km, determinar el módulo de la velocidad (m/s) del bote respecto de la orilla.5. Para cruzar un río de ancho AC = 200 m, desde A hasta B, se emplea un bote que se mueve siempre perpendicularmente a la corriente del agua con velocidad de 4 km/h respecto del agua. Si la velocidad de la corriente del río tiene módulo de 3 m/s, ¿a qué distancia (en m) medida del punto de partida se encuentra el punto de llegada del bote? C B B RIO RIO A A Para el problema 05 Para el problema 066. Un hombre puede nadar en aguas O tranquilas con velocidad de módulo 4 VB m/s. Si el ancho del rió es AB = 12 m, cuyas aguas se mueven con 30° velocidad constante de 60° S N módulo 5 m/s, determinar el intervalo de tiempo (en s) que tardará en cruzar el río, sabiendo que sale del E punto A y quiere llegar alejado del punto de Para el problema 07 partida una distancia minina. N7. Una bandera ubicada en el mástil VB de un bote flamea haciendo un ángulo de 60° como se muestra en O la figura, pero la bandera situada en E la orilla del río se extiende al Sur 60° 30° Oeste. Determinar el módulo de la velocidad (en km/h) del 60° viento respecto a la Tierra, si el S bote se mueve con rapidez de 10 Para el problema 08 km/h.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 27
  • 28. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES8. Una bandera ubicada en el mástil de un bote flamea haciendo un ángulo de 60° como se muestra en la figura, pero la bandera situada en una casa en la orilla del río se extiende al Sur 60° Oeste. Determinar el módulo de la velocidad (en km/h) del viento respecto al bote, si el bote se mueve con rapidez de 10 km/h.9. Un hombre se encuentra parado sobre una plataforma móvil que se mueve horizontalmente con velocidad constante de modulo 7 m/s. Si el hombre sostiene en sus manos un rifle, ¿en qué dirección definida por el ángulo θ debe hace el disparo, en el instante que el hombre pasa enfrente a un poste para hacer blanco en éste. El módulo de la velocidad de la bala es 25 m/s respecto del rifle. POSTE RIFLE 37° θ V Para el problema 10 Para el problema 0910. Sobre las ventanas laterales de un automóvil que se desplaza a 30 km/h se observa que los trazos que deja la lluvia en las ventanas laterales forman un ángulo de 37° con la vertical. Si las gotas de lluvia se observa que caen verticalmente cuando el auto está detenido, ¿Cuál es la rapidez (en km/h) de la lluvia respecto de la tierra? Para el problema 11 B Y RIO 37° X A O Para el problema 1211. Las gotas de lluvia caen con velocidad constante de módulo 10 m/s formando un ángulo de 37° con la vertical. Determinar la rapidez (en m/s) y dirección con que debe moverse el hombre con un sombrero grande para mojarse lo menos posible.12. Del punto A situado en la orilla de un río es necesario llegar al punto B, moviéndose siempre por la recta AB. Si AC = 1 km, BC = 2 km, la velocidad máxima del bote con respecto al río es de 5 km/h y la rapidez de la corriente de agua en el río de 2 km/h. ¿Es posible cubrir la distancia AB en 30 minutos?FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 28
  • 29. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE PARABÓLICO1. CONCEPTO: Si lanzamos un cuerpo con cierto ángulo de inclinación y el medio fuese el vació, el móvil describiría una trayectoria curva llamada parábola, Y la cual tendrá una forma V0 Cosθ que dependerá de la V0 velocidad de lanzamiento y el ángulo de disparo. H Galileo demostró que el θ movimiento parabólico debido a la gravedad es un D X movimiento compuesto por otros dos: uno horizontal y el otro vertical. Descubrió asimismo que el movimiento horizontal se desarrolla siempre como un M.R.U. y el movimiento vertical es un M.R.U.V. con aceleración igual a “g”, es decir movimiento de caída libre vertical.2. TIRO SEMIPARABÓLICODesplazamiento vertical: caída libre desde el reposoDesplazamiento horizontal: movimiento con velocidad constante.Todos los tiros semiparabólicos causados por la gravedad se resuelven con las siguientes relaciones:Movimiento vertical: 1 2y= gt A L 2L 3L 2Movimiento horizontal: X (m)X = VX .t 5V0 : Velocidad de Blanzamiento (direcciónhorizontal). 25 C3. SISTEMA DEREFERENCIA: Para unatrayectoria semiparabólicafijamos nuestro sistema dereferencia en el nivel delanzamiento, de manera queel cuerpo acelera en el ejeY. 35 Y (m) D4. FORMA VECTORIAL: Cuando utilices las ecuaciones vectoriales no debes olvidar que todaslas cantidades vectoriales que en ellas aparecen tienen signos los que dependerán del sentido queFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 29
  • 30. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESposean. Asimismo, te recomiendo trazar el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento, ydesde allí medir los desplazamiento, horizontal ( x ) y vertical ( y ).Las ecuaciones vectoriales del movimiento vertical son:Para la velocidad vertical: V f y = V0 y + g.t g.t 2Para el desplazamiento vertical: h = V0 y .t + 2La velocidad total del proyectil es siempre tangente a la parábola en cualquier punto de esta, y suvalor se determina aplicando el teorema de Pitágoras: V = Vx2 + V fy 25. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA: Aplicamos en el eje X el M.R.U, entonces el módulo deldesplazamiento horizontal es x = Vx .t ⇒ x = (V0 .Cosθ ) .tAhora despejamos el tiempo transcurrido xt= … (1) V0 .CosθAplicamos en el eje Y el YM.R.U.V., la rapidez inicialen el eje vertical es: V0V0 y = V0 .Senθ yentonces el módulo deldesplazamiento vertical es θ X 2 g.ty = V0 y .t − … (2) x 2 2  x  g.   y = (V0 .Cosθ ) . x   V0 .Cosθ Reemplazamos (1) en (2): −  V0 .Cosθ  2  g  2y = ( Tgθ ) .x −  2  .x  2.V0 .Cosθ  2La trayectoria que describe el proyectil en una línea curva llamada PARÁBOLA.y = a.x − b.x 2ECUACIONES ESPECIALES6. TIEMPO DE VUELO: tiempo que demora el proyectil en regresar al nivel de lanzamiento. 2.V0 .Senθ T= g7. ALTURA MÁXIMA: En el instante que el proyectil alcanza la altura máxima, su velocidad eleje vertical es nula (un instante). V02 .Sen 2α H= 2gFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 30
  • 31. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES8. ALCANCE HORIZONTAL: Se define como el desplazamiento sobre el eje horizontal. 2.V02 .Senα .Cosα V02 .Sen 2α D= = g g 4H9. Relaciones entre la altura máxima y el alcance horizontal: Tgα = R g.T 210. Relaciones entre la altura máxima y el tiempo de vuelo: H = 811. ALCANCES IGUALES: Si dos cuerpos son lanzados con velocidades de igual módulo (vi) ycon distintas inclinaciones “α” y “β”, de manera que los alcances horizontales sean iguales en losdos casos, se verificará: Los alcance son iguales si los ángulos son complementarios, α + β = 90°.12. ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO: Cuando regamos el jardín con una mangueracomprobamos que el alcance cambia a medida que inclinamos más la manguera, y cuandocontinuamos con este proceso observamos que luego de un aumento de alcance, este empieza areducirse. Se puede demostrar que de todos los alcances, el máximo se logra cuando el ángulo dedisparo es de 45°, de este modo se obtiene que: V02Dmax imo = g13. TEOREMA PLUS 100Si dos partículas se mueven con una misma aceleración (iguales en modulo y dirección), sumovimiento relativo es un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.).DEMOSTRACIÓNSabemos que: v = v0 + a.t entonces para las partículas A y B que se mueven con una mismaaceleración tenemos que: v A = v0 A + a.t y vB = v0 B + a.tPor otro lado, por definición de velocidad relativa: v AB = v A − vBv AB = v0 A + a.t − ( v0 B + a.t )v AB = v0 A − v0 BComo la velocidad relativa de A respectode B, no varía con el tiempo, su trayectoria A V1relativa será una línea recta. OEste teorema es muy útil cuando dospartículas A y B describen una trayectoria gParabólica dentro de un campogravitacional. V214. TEOREMA PLUS 110: PSi dos partículas, que al ser lanzadassimultáneamente al campo de gravedad, βchocan en el aire, el punto de impacto P Bestará debajo del punto de intersección desus velocidades de lanzamiento. TEOREMA PLUS 110FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 31
  • 32. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESDEMOSTRACIÓNSabemos por teoría que el desplazamiento que experimenta una partícula que se mueve 1 2parabólicamente en el campo de gravedad esta dado por: d = v0 .t + g.t 2Según esto el vector desplazamiento d es la suma vectorial de un vector colineal con la velocidadde lanzamiento v0 y de un vector vertical paralelo a la aceleración de la gravedad g .Si dos partículas A y B, que al ser lanzadas simultáneamente, chocan en el punto P, se cumplirá queel punto P estará debajo del punto de intersección de sus velocidades de lanzamiento.En ausencia de la gravedad las partículas A y B chocarían en el punto “O”.15. TEOREMA PLUS 120:Si una partícula se mueve en el plano con ley de movimiento: x = x ( t ) y y = y ( t )Su distancia al origen de coordenadas tomará un valor extremo (máximo o mínimo relativo)cuando: x.vx + y.v y = 0DEMOSTRACIÓNEl vector posición en el plano cartesiano de la partícula móvil será: r = ( x; y ) y el modulo es: z = r = x 2 + y 2 , el modulo de r tomara su máximo (mínimo) valor cuando la función z ( t )tome su valor máximo (mínimo). Por otro lado la función z ( t ) tomara su máximo (mínimo)cuando su derivada respecto del tiempo, sea cero:dz d ( x 2 + y2 ) dx  dy = 0 entonces = 0 desarrollando tenemos que: 2x   + 2y  =0dt dt  dt   dt  dx  dyFinalmente verificamos que: x   + y  = 0 también x.v x + y.v y = 0  dt   dt FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 32
  • 33. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES16. DESCOMPOSICIÓN DE LA ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO PARABÓLICO.Descomponemos la velocidad de una partícula en un instante de tiempo, en el eje horizontal lavelocidad no varía, pero la velocidaden el eje vertical cambia debido alcampo de gravedad. Calculemos el Vy Vángulo que forma la velocidad V conel eje horizontal. Parábola VyTanφ = φ Vx VxAhora observe la descomposición φrectangular de la aceleración de la atgravedad. Tiene dos componentes en ancada instante de tiempo: gLa aceleración tangencial es colinealcon la velocidad instantánea V:at = g.Senφ Fig. 01. DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDADLa aceleración normal esperpendicular a la velocidad instantánea V:an = g.CosφEl radio de curvatura se puede calcular con la ecuación: V2 V2an = g.Cosφ = despejando tenemos ρ = ρ g.Cosφ PROBLEMAS PROPUESTOS (PARTE 1)1. Un cuerpo es lanzado con velocidad inicial V0 (m.s −1 ) desde el punto ( 20;45 ) expresado en metros, transcurrido 3 segundos alcanza la velocidad 40 ˆ + 30 ˆ (m / s) . Si su aceleración es i j −10 ˆ (m / s 2 ) , determinar: j a) la velocidad inicial. b) su velocidad y posición en cualquier instante. c) el tiempo transcurrido y la velocidad con que llega a la superficie de la Tierra. d) la ecuación de la trayectoria.2. Un cuerpo es lanzado con velocidad inicial V0 (m.s −1 ) desde el punto ( −20;30 ) expresado en metros, transcurrido 2 segundos alcanza la velocidad 10 ˆ + 20 ˆ (m / s) . Si su aceleración es i j −10 ˆ (m / s 2 ) , determinar: j a) la velocidad inicial. b) su velocidad y posición en cualquier instante. c) el tiempo transcurrido y la velocidad con que llega a la superficie de la Tierra. d) la ecuación de la trayectoria.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 33
  • 34. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES3. De lo alto de una torre se lanza una partícula con velocidad 40 ˆ (m / s) en el instante t = 0s . i Considerando a aceleración de la gravedad −10 ˆ (m / s ) , determina el valor de la aceleración j 2 normal y tangencial en el instante t = 3 s .4. Desde el piso se lanza una partícula con velocidad 30 ˆ + 60 ˆ (m / s) en el instante t = 0s . i j Considerando a aceleración de la gravedad −10 ˆ (m / s ) , determina el valor de la aceleración j 2 normal y tangencial en el instante t = 3 s .5. La velocidad de una partícula que se mueve en el plano X-Y se expresa como: 400 ˆ − ( 30t ) ˆ (m / s) . Si cuando t = 0s se encuentra en el punto ( 40;80 ) expresada en metros. i j Determinar: a) la ecuación de la trayectoria b) la posición, la velocidad y aceleración en el instante t = 3 s .6. La velocidad de una partícula que se mueve en el plano X-Y se expresa como: 40 ˆ + 30 ( t − 2 ) ˆ (m / s) . Si cuando t = 0s se encuentra en el punto ( 40;45) expresada en metros. i j Determinar: a) la ecuación de la trayectoria b) la posición, la velocidad y aceleración en el instante t = 3 s .7. La velocidad de una partícula que se mueve en el plano X-Y se expresa como: 40 ( t − 1) ˆ + 30 ( t 2 − 2t + 1) ˆ (m / s) . Si cuando t = 0s se encuentra en el punto i j ( 20; −10 ) expresada en metros. Determinar: a) la ecuación de la trayectoria b) la posición, la velocidad y aceleración en el instante t = 3 s . ( )8. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano r = 30.t ; 50.t − 5.t donde “t” se mide 2 en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional g = − 10 ˆ m.s −2 Determinar: j a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) la velocidad en cualquier instante c) la velocidad en el instante t = 2,0 s d) el valor de la velocidad en el instante t = 2,0 s e) la aceleración en cualquier instante f) la aceleración en el instante t = 2,0 s g) el valor de la aceleración en el instante t = 2,0 s h) la medida del ángulo que forma la velocidad y la aceleración en el instante t = 2,0 s i) el valor de la aceleración tangencial en el instantet = 2,0 s j) el valor de la aceleración normal en el instante t = 2,0 s k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantánea) en el instante t = 2,0 s9. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( ) r = 30.t ; 50.t − 5.t 2 donde “t” se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional g = − 10 ˆ m.s −2 Determinar: j a) La ecuación cartesiana de la trayectoria.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 34
  • 35. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES b) la velocidad en cualquier instante c) la velocidad en el instante t = 3,5 s d) el valor de la velocidad en el instante t = 3,5 s e) la aceleración en cualquier instante f) la aceleración en el instante t = 3,5 s g) el valor de la aceleración en el instante t = 3,5 s h) la medida del ángulo que forma la velocidad y la aceleración en el instante t = 3,5 s i) el valor de la aceleración tangencial en el instantet = 3,5 s j) el valor de la aceleración normal en el instante t = 3,5 s k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantánea) en el instante t = 3,5 s10. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( ) r = 30.t ; 50.t − 5.t 2 donde “t” se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional g = − 10 ˆ m.s −2 Determinar: j a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) la velocidad en cualquier instante c) la velocidad en el instante t = 5,0 s d) el valor de la velocidad en el instante t = 5,0 s e) la aceleración en cualquier instante f) la aceleración en el instante t = 5,0 s g) el valor de la aceleración en el instante t = 5,0 s h) la medida del ángulo que forma la velocidad y la aceleración en el instante t = 5,0 s i) el valor de la aceleración tangencial en el instantet = 5,0 s j) el valor de la aceleración normal en el instante t = 5,0 s k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantánea) en el instante t = 5,0 s11. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( ) r = 30.t ; 50.t − 5.t 2 donde “t” se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional g = − 10 ˆ m.s −2 Determinar: j a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) la velocidad en cualquier instante c) la velocidad en el instante t = 8,0 s d) el valor de la velocidad en el instante t = 8,0 s e) la aceleración en cualquier instante f) la aceleración en el instante t = 8,0 s g) el valor de la aceleración en el instante t = 8,0 s h) la medida del ángulo que forma la velocidad y la aceleración en el instante t = 8,0 s i) el valor de la aceleración tangencial en el instantet = 8,0 s j) el valor de la aceleración normal en el instante t = 8,0 s k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantánea) en el instante t = 8,0 sFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 35
  • 36. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES12. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( ) r = 40.t ; 60.t − 5.t 2 donde “t” se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional g = − 10 ˆ m.s −2 Determinar: j a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) la velocidad en cualquier instante c) la velocidad en el instante t = 8,0 s d) el valor de la velocidad en el instante t = 8,0 s e) la aceleración en cualquier instante f) la aceleración en el instante t = 8,0 s g) el valor de la aceleración en el instante t = 8,0 s h) la medida del ángulo que forma la velocidad y la aceleración en el instante t = 8,0 s i) el valor de la aceleración tangencial en el instantet = 8,0 s j) el valor de la aceleración normal en el instante t = 8,0 s k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantánea) en el instante t = 8,0 s13. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( ) r = 40.t ; 60.t − 5.t 2 donde “t” se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional g = − 10 ˆ m.s −2 Determinar: j a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) la velocidad en cualquier instante c) la velocidad en el instante t = 6,0 s d) el valor de la velocidad en el instante t = 6,0 s e) la aceleración en cualquier instante f) la aceleración en el instante t = 6,0 s g) el valor de la aceleración en el instante t = 6,0 s h) la medida del ángulo que forma la velocidad y la aceleración en el instante t = 6,0 s i) el valor de la aceleración tangencial en el instantet = 6,0 s j) el valor de la aceleración normal en el instante t = 6,0 s k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantánea) en el instante t = 6,0 s14. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( ) r = 40.t ; 60.t − 5.t 2 donde “t” se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional g = − 10 ˆ m.s −2 Determinar: j a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) la velocidad en cualquier instante c) la velocidad en el instante t = 4,0 s d) el valor de la velocidad en el instante t = 4,0 s e) la aceleración en cualquier instante f) la aceleración en el instante t = 4,0 s g) el valor de la aceleración en el instante t = 4,0 s h) la medida del ángulo que forma la velocidad y la aceleración en el instante t = 4,0 s i) el valor de la aceleración tangencial en el instante t = 4,0 sFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 36
  • 37. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES j) el valor de la aceleración normal en el instante t = 4,0 s k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantánea) en el instante t = 4,0 s15. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( ) r = 40.t ; 60.t − 5.t 2 donde “t” se mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional g = − 10 ˆ m.s −2 Determinar: j a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) la velocidad en cualquier instante c) la velocidad en el instante t = 3,0 s d) el valor de la velocidad en el instante t = 3,0 s e) la aceleración en cualquier instante f) la aceleración en el instante t = 3,0 s g) el valor de la aceleración en el instante t = 3,0 s h) la medida del ángulo que forma la velocidad y la aceleración en el instante t = 3,0 s i) el valor de la aceleración tangencial en el instantet = 3,0 s j) el valor de la aceleración normal en el instante t = 3,0 s k) la curvatura de la osculatríz (circunferencia instantánea) en el instanteFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 37
  • 38. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTO PARABÓLICO (parte 2)1. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad constante de módulo V = 50 m/s, a una altura de 500 m de la superficie terrestre. ¿Con qué ángulo de depresión debe ver el piloto el objetivo par que al dejar caer un bomba esta dé en el blanco B? (g = 10 m/s2) V A Para el problema 02 θ 37° B B 135 m Para el problema 01 C D2. Se abandona un bloque en la posición A sobre el plano inclinado. Si al pasar por B su V velocidad tiene módulo de 50 m/s, determinar el desplazamiento horizontal D (en m) que experimenta el móvil en el tramo BC. (g = 10 16° m/s2) 37° Para el problema 033. Se muestra el lanzamiento de una partícula, con rapidez V = 10 m/s formando un ángulo de 53° respecto de la horizontal, sobre un plano que está inclinado 37°. g ¿Después de cuántos segundos llegará a 50 m/s la superficie del plano inclinado? (g = 10 10 m/s m/s2) 37°4. Si el alcance horizontal máximo de un proyectil es 50 m, con que ángulo de tiro D debe disparase para dar en un blanco situado sobre el mismo plano horizontal Para el problema 05 y a una distancia de 25 m, si en ambos y cados el proyectil es lanzado con la misma A velocidad inicial. V H θ x O D Para el problema 6 y 7FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 38
  • 39. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES5. Un tanque se mueve horizontalmente con una velocidad de módulo 10 m/s hacia un mortero situado en el mismo plano horizontal y delante de el. Si de pronto el mortero lanza un proyectil con una velocidad de 50 m/s formando un ángulo de 37° con la horizontal y da en el blanco, ¿a qué distancia D (en m) del mortero se encontraba al tanque en el instante del disparo? (g = 106. La ecuación de la trayectoria que describe un proyectil durante su movimiento está definida por: x2 y = x− . Determinar la rapidez (en m/s) del proyectil en el instante que alcanza su altura 100 máxima. (g = 10 m/s2)7. Un proyectil es disparado desde el origen del sistema B de referencia haciendo un ángulo θ con el eje horizontal. Determinar la V 25 m medida del ángulo θ si para 53° t1 pasa por la posición (40 A 37° m; 25 m) y en el instante t2 pasa por la posición (160 m; 10 m 40 m). (g = 10 m/s2) Para el problema 08 A V8. Desde A se lanza una partícula se lanza en con velocidad V formando un ángulo de 53° con la horizontal. Si la partícula cae en el punto B de la semiesfera, determinar la rapidez de lanzamiento (en m/s). B (g = 10 m/s2) 160 m9. En la posición A se lanza horizontalmente una 80 m partícula, simultáneamente se abandona un bloque en la posición B sobre el plano inclinado. 30° Determinar la rapidez de lanzamiento V (en m/s) de la partícula para que ambas choquen durante su Para el problema 09 movimiento. No hay rozamiento. (g = 10 m/s2)10. En lo alto de una torre de 200 m de V altura, una artillería vigila un campo de prisioneros, en un descuido ciertos reclusos A 37° logran capturar un Jeep estacionado (reposo) al pie de la torre y tratan de huir g con aceleración constante de módulo 1,25 m/s2. ¿Qué intervalo de tiempo (en s) debe 200 m esperar la artillería desde que empezó la fuga par disparar el proyectil y darles a los Jeep fugitivos? La velocidad de salida del proyectil es de 50 m/s formando 37° con la D horizontal. (g = 10 m/s2) Para el problema 1011. Un móvil se desplaza en el plano x –yFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 39
  • 40. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES dentro de un campo gravitacional de intensidad constante a = 5 m/s2 cuya dirección se muestra en la figura. Si la posición inicial de móvil es A (4; 4) y la velocidad inicial es V = (1 i + 2 j) m/s, determinar su posición después de 2 segundos.12. Un tanque se mueve y (m) horizontalmente con una velocidad de Para el problema 11 módulo 10 m/s hacia la derecha situado en el mismo plano horizontal y delante V del mortero. Si de pronto el mortero a lanza un proyectil con una velocidad de 4 50 m/s formando un ángulo de 37° con la horizontal y da en el blanco. ¿A qué distancia D (en m) del mortero se encontraba al tanque en el instante del 53° x (m) disparo? (g = 10 m/s2) 0 413. La esfera A se lanza horizontalmente con velocidad V1, simultáneamente se lanza la esfera B con velocidad V2 formando un ángulo de 45° con la g horizontal. Sabiendo que chocan en el aire durante su movimiento, determinar el 50 10 m/s m/s desplazamiento horizontal (en m) que experimenta A hasta la colisión. 37° D Para el problema 1214. La esfera A se abandona, simultáneamente se lanza la esfera B con velocidad V2 formando un ángulo de θ A V1 Para el problema 13 con la horizontal. Sabiendo que chocan en el aire durante su movimiento, determinar el la medida del ángulo θ. g 30 m P V2 45° B 50 mFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 40
  • 41. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES15. Dos esferas A y B inician su movimiento simultáneamente, A es lanzada horizontalmente con rapidez “V” y B es lanzada verticalmente con rapidez “2V”. Determinar la distancia D (en m) sabiendo que los cuerpos chocan en el punto P. A V g A V1 = 0 P g 8 m 40 m 2V V2 P B θ B D 30 m Para el problema 15 Para el problema 1416. Determinar la relación entre la tangente de los ángulos α y β con que se P g lanzan los proyectiles simultáneamente, V2 si colisionan en P durante su movimiento. V117. Dos proyectiles A y B se lanzan α A β B simultáneamente. Si colisionan en P durante su movimiento, determine la d 2d medida del ángulo θ. Para el problema 1618. Desde un globo que asciende con una velocidad de módulo 6 m/s, se lanza una piedra horizontalmente P respecto del globo con rapidez de 5 g m/s. La piedra experimenta un V2 V1 alcance horizontal de 15 m hasta llegar al piso. ¿Desde qué altura H 45° (en m) se lanzó la piedra? (g = 10 A θ B m/s2) 30 m 40 m Para el problema 17FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 41
  • 42. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES19. Una persona que se encuentra en un globo en cual asciende con rapidez de 5 m/s, lanza un cuerpo con rapidez de 5 m/s formado un ángulo de 53° con la horizontal (respecto del globo). Sabiendo que el cuerpo describe una trayectoria parabólica, determinar la altura H (en m) desde el cual se lanzó el cuerpo. (g = 10 m/s2) V V g g H H 12 m 15 m Para el problema 19 Para el problema 1820. En la figura el campo gravitatorio se representa mediante líneas de fuerza, cuya intensidad es g = 10 m/s2. Se lanza una pelota pequeña perpendicular a la superficie con rapidez V = 20 m/s. Determinar la distancia máxima de alejamiento (en m) respecto de la superficie. g g V V 53° 30° B A Para el problema 20 D Para el problema 21 A21. En la figura el campo gravitatorio se representa mediante líneas de fuerza, cuya g 4m intensidad es g = 10 m/s2. Se lanza una pelota 53° pequeña perpendicular a la superficie con rapidez V = 40 m/s. Determinar la distancia AB (en m) sobre la superficie. g 13 m22. Se muestra dos zonas del campo de gravedad de igual módulo g = 10 m/s2. Si una esfera pequeña se abandona en la posición A, ¿después de que intervalo de tiempo (en s) sale de Para el problema 22 esta región gravitacional?FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 42
  • 43. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES23. ¿Cuál es la diferencia entre las alturas alcanzadas (en m) por el proyectil disparado con velocidad de módulo V = 2 m/s, cuando el ángulo de tiro g varia de 30° a 60°, sin cambiar B la rapidez de lanzamiento. (g = 10 m/s2) V24. Desde el punto “A” se 7m debe lanzar una piedra con el fin de impactar en el foco α ubicado en “B”. Calcular la medida del ángulo de lanzamiento “α” sabiendo que A 24 m la velocidad de lanzamiento Para el problema 24 de módulo V es mínima. (g = 10 m/s2)25. Dos partículas A y B son lanzadas g simultáneamente con velocidades de módulos 25 m/s y 80 m/s respectivamente. Determinar el módulo de la velocidad de su velocidad relativa de A respecto de B luego A B de 2 segundos. 44° 16°26. Si en el instante que la partícula A es Para el problema 25 lanzada en la forma que se indica, otra B es B g g VA VB 20 m V 53° 16° A 37° A B Para el problema 27 20 m dejada caer. Determinar la mínima distancia que las Para el problema 26 separa durante su movimiento.27. Si la partícula A mostrada en la figura es lanzada con una velocidad de módulo 40 m/s, determinar después de cuántos segundos debe lanzarse la partícula B con una velocidad de módulo 25 m/s, para que la distancia de separación entre estas no varié con el tiempo. (g = 10 m/s2)FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 43
  • 44. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES28. Dos partículas son lanzadas simultáneamente de los puntos A y B en la forma que indica la figura. Si la partícula que se lanzo de A llega a B y la que se lanzó de B llega al punto A, determinar cuál fue la mínima distancia de separación (en m) entre estas durante su movimiento. g g A B B 30° 60° A 61° 29° 35 m 100 m Para el problema 29 Para el problema 2829. Si las partículas A y B, que son lanzadas con velocidades de módulos 20 m/s y 15 m/s, chocan en el aire, determinar después de cuántos segundos sucede esto. A g V g VA VB 67° 23° 45 m Para el problema 30 P 150 m Para el problema 3130. Dos partículas A y B son lanzadas simultáneamente, desde el mismo punto, en forma V A que muestra la figura. Si las velocidades de g lanzamiento de A y B tiene los siguientes módulos 10 m/s y 24 m/s respectivamente, determinar la distancia (en m) que las separa después de 5 segundos. B31. Una partícula es lanzada horizontalmente 37° desde el punto A con velocidad de módulo V = 50 m/s. Determinar después de cuántos segundos la Para el problema 32 distancia que la separa del punto P es mínima. ( g = 10 m/s2)FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 44
  • 45. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES32. Un proyectil es disparado horizontalmente con una rapidez V = 15 m/s. ¿A qué distancia del punto de disparo (en m) el proyectil impacto sobre el plano inclinado? ( g = 10 m/s2)33. Un proyectil se dispara con una velocidad de 30 ˆ + 40 ˆ (m/s). Si éste i j Para el problema 36 choca contra la pared vertical con una velocidad que hace 45° con ella, el g proyectil choca cuando se encuentra Vo ganando altura. Calcula a qué distancia (en m) del punto de disparo se encuentra la pared. (g = 10 m/s2) A 60° R O34. Un proyectil se dispara con una velocidad de 30 ˆ + 40 ˆ (m/s). Si éste i j choca contra la pared vertical con una velocidad que hace 45° con ella, el proyectil choca cuando se encuentra perdiendo altura. Calcula a qué distancia (en m) del punto de disparo se encuentra la pared. (g = 10 m/s2)35. Un proyectil es lanzado con un ángulo de elevación de 16° y pasa justamente por la parte superior de dos postes de 5 m de altura separados g 100 m. Determinar el alcance horizontal (en m) A 30° desde que sale del piso hasta que regresa al piso. (g = 10 m/s2) V036. Observe la figura. Determinar la velocidad de 36 m lanzamiento V0 con que debe lanzarse una partícula, haciendo un ángulo de 60° con la horizontal, para que demore en chocar con el cilindro hueco de radio R el mayor tiempo posible. O37. Dos partículas A y B son lanzadas Para el problema 38 simultáneamente con la misma rapidez V0 pero con diferentes ángulos de lanzamientos α y β respectivamente. Determinar el valor de su velocidad relativa después de un cierto tiempo.38. Una partícula es lanzada oblicuamente desde la azotea (en A) de un edificio con una velocidad ( ) v0 = 5 3 ; −5 m.s −1 . Determinar en el instante en que la distancia que separa de un observador situado en O ( 0;0 ) toma un mínimo valor.39. La ley de movimiento de una partícula que se mueve sobre el plano x − y es: x = 1 + 4t − t e 2 y = 5 + 4t − 2 t 2 donde “x” e “y” se miden en metros y “t” en segundos. Determinar el instante en que la distancia de la partícula al origen de coordenadas toma su valor mínimo.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 45
  • 46. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES40. Las posiciones de dos partículas A y B que se mueven en el plano x − y están dados por: rA = ( 2t 2 − 1 ; 2t ) y rB = ( t 2 + 6 t + 10 ; t ) donde r se mide en metros y “t” en segundos. ¿Cuál es la distancia mínima entre estas partículas y en que instante ocurre esto?41. Dos móviles A y B desde las posiciones cuyas coordenadas cartesianas son A ( −5 ;0 ) y B ( 0 ; − 5 ) expresadas en metros, se mueven con velocidades constantes 3 i (m.s −1 ) y 4 ˆ (m.s −1 ) ˆ j a través de dos carreteras perpendiculares entre sí. Determinar la distancia mínima de acercamiento de los móviles Ay B durante su movimiento.42. PROBLEMA. Una partícula es lanzada horizontalmente con una cierta velocidad constante vo desde el punto A, de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O. Determinar el ángulo θ, que define la posición del punto A, para que el tiempo que dicha partícula permanece en el aire dentro del cilindro sea máximo. Despreciar toda clase de rozamiento. Expresar en términos de la siguiente constante:43.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 46
  • 47. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESLA TRAYECTORIA MÁS RÁPIDA (PRINCIPIO DE FERMAT)EJEMPLO 01: Juan se encuentra en la posición A de un lago donde nada con rapidez constante de3 m/s y en la orilla sobre la arena corre con rapidez de 5 m/s. Determinar el intervalo de tiempomínimo que emplea el llegar a su cabaña situado en la posición B. 390 m ARENA C B 120 m AGUA A A) 110 s B) 130 s C) 140 s D) 150 s E) 160 sResoluciónSi Juan se comportara como un rayo de luz y la línea CB como la superficie que divide dos mediosdonde las rapideces son diferentes, entonces el tiempo empleado sería mínimo. x 390-x ARENA 90º C B N α 120 m α AGUA ACálculo del tiempo en el agua: (120 ) 2 AN + x2t1 = = V1 3FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 47
  • 48. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONESCálculo del tiempo en la arena: NB 390 − xt2 = = V2 5Cálculo del tiempo total empleado: (120 ) 2 + x2 390 − x t = t1 + t2 = + 3 5 dtEl tiempo es mínimo, caso crítico, derivada del tiempo respecto de x, igual a cero. =0 dx1 2.x + ( −1) = 0  3  2. (120 ) 2 + x 2 5Resolviendo x = 90 metrosReemplazamos en: (120 ) + ( 90 ) 2 2 390 − 90t = t1 + t2 = + = 110 3 5Respuesta: el mínimo tiempo empleado, para ir de desde A hasta B es 110 segundos.EJEMPLO 02: Un joven deportista debe desplazarse desde la posición A en un lago hasta el puntoB sobre la arena, dividida entre sí por un segmento EF. En el lago nada con rapidez de 6 m/s y porla arena corre con una rapidez de 8 m/s. Determine el intervalo de tiempo mínimo que demora paratrasladarse desde A hasta B. C 100 m B 48 m ARENA E F α AGUA 48 m AResoluciónSi el joven se comportara como un rayo de luz y la línea EF como la superficie que divide dosmedios donde las rapideces son diferentes, entonces el tiempo empleado sería mínimo.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 48
  • 49. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES AP (48)2 + x 2Cálculo del tiempo en el agua: t1 = = 6 6 C (100 – x) B 48 m 48 ARENA β E F P AGUA 48 m α 48 A x PB (48)2 + (100 − x )2Cálculo del tiempo en la arena: t 2 = = 8 8Cálculo del tiempo total empleado: (48)2 + x 2 (48)2 + (100 − x )2t = t1 + t 2 = + 6 8 dtEl tiempo es mínimo, caso crítico, derivada del tiempo respecto de x, igual a cero. =0 dx1 2x 1 2(100 − x )(− 1) . +  . =0 6  2 (48)2 + x 2  8  2. (48)2 + (100 − x )2Resolviendo x = 36 metrosReemplazamos en: (48)2 + (36)2 (48)2 + (100 − 36)2t = t1 + t 2 = + 6 8Respuesta: el mínimo tiempo empleado, para ir de desde A hasta B es 20 segundos.FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 49
  • 50. CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES44. BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN: http://grups.es/didactika/yahoo.com http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com www.didactika.com walter_perez_terrel@hotmail.com wperezterrel@gmail.comFÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 50

×