Presentación #1
MATH 5400 Probabilidad
Dr. Balbino García
24 de septiembre de 2009
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En este trabajo se presenta la Teoría de Colas. Para el mismo utilizamos el libro de Sheldon M. Ross, Introdution to Probability Models.

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Presentación acerca de La Teoria De Colas

  1. 1. Presentación #1 MATH 5400 Probabilidad Dr. Balbino García 24 de septiembre de 2009 Integrantes del grupo: Wadi Adames Román Julia Crespo Rodríguez Joane De Jesús Dátiz Capítulo 8: Teoría de Colas Libro: “Introduction to Probability Models” Autor: Sheldon M. Ross PRELIMINARES La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de las líneas de espera. Una línea de espera o cola se presenta cuando los clientes llegan a un lugar demandando un servicio a un servidor o dependiente. Dentro de la teoría de colas se presentan varios elementos identificados por: L, el promedio de clientes en el sistema LQ, el promedio de clientes esperando en la cola W, el tiempo promedio que el cliente permanece en el sistema WQ, el tiempo promedio que el cliente permanece esperando en la cola Dado los elementos antes mencionados, debemos definir la terminología estándar utilizada para presentar la teoría de colas. Definimos aλ como el promedio de llegada de nuevos clientes, cuando hay a clientes en el sistema. Formalmente, t tN t a )( lim∞→ =λ donde N(t) es el número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t. Es de notar que si suponemos que los clientes nuevos tuvieran que pagar dinero al sistema, entonces tendríamos la siguiente regla o identidad básica de costo paganuevoclienteunquepromediocantidad ganasistemael cuallaapromediorazónLa a ×= λ
  2. 2. Ahora, supongamos que cada cliente paga $1 por unidad de tiempo. Entonces, el promedio de clientes en el sistema (L), está dado por: WL aλ= lo que se conoce como la fórmula de Little. Similarmente, se obtiene que QaQ WL λ= Definamos E[S] como el tiempo promedio que un cliente espera en servicio, entonces El promedio de clientes en servicio = ][SEaλ . Como dato importante las ecuaciones anteriores son válidas para todos los modelos de colas, independientemente el proceso de llegada, el número de servidores o la disciplina de colas. Probabilidades de la condición en estado estable Sea X(t) el número de clientes en el sistema en el tiempo t y sea n ≥0. Definimos, })({lim ntXPP t n == ∞→ O sea, Pn es la probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema. En general, Pn es la proporción de tiempo a largo plazo durante el cual el sistema contiene exactamente n clientes. Ejemplo, si P0 = 0.3, el sistema tendrá 0 clientes durante el 30% del tiempo. MODELOS EXPONENCIALES Sistema de colas exponencial de servidor sencillo Consideremos un sistema de colas de un solo servidor en acorde con un proceso de Poisson de razón λ , dondeλ es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo, y λ 1 es el tiempo promedio entre llegadas. Los tiempos de servicios sucesivos se distribuirán exponencialmente, de tal manera que µ es el número medio de clientes que el
  3. 3. servidor es capaz de atender por unidad de tiempo, y µ 1 es el tiempo medio de servicio. A esto se le conoce como la cola M/M/1. Las dos M se refieren a que tanto la distribución entre servicio y la distribución entre llegadas son exponenciales, y el 1 se refiere a la cantidad de servidores. Pasemos a analizar las probabilidades limitantes Pn para este modelo, asumiendo que 1< µ λ y que µλ ≤ (si µλ ≥ el sistema se satura): 1,1 ≥      −      = nP n n µ λ µ λ Como Pn es la probabilidad a largo plazo de que el sistema contenga exactamente n clientes, y ya que λλ =a obtenemos que: µ λ µ λ λµ λ − = − = 1 L µ λ µ λµ − = − = 1 1 1 W )'( λµµ λ − =QW )( 2 λµµ λ − =QL Sistema de colas exponencial de servidor sencillo con capacidad finita Un sistema de colas exponencial de servidor sencillo con capacidad finita es aquel sistema con una capacidad máxima N, o sea 0≤n≤N. En este caso: NnP N n n ,....,1.0, 1 1 1 =     −      −     = + µ λ µ λ µ λ Como Pn es la probabilidad a largo plazo de que el sistema contenga exactamente n clientes, obtenemos que:
  4. 4. ( ) ( )           −−           +−    + = + + 1 1 1 11 N NN NN L µ λλµ µ λ µ λλ a L W λ = RED DE COLAS Sistemas Abiertos Consideremos un sistema de dos servidores en el cual los clientes llegan al servidor 1 de acuerdo a una razón de Poisson λ . Luego de ser atendidos por el servidor 1 se unen a la cola del servidor 2. Asumamos que se tiene una cantidad infinita de espacio de espera en ambos servidores. Cada servidor atiende un cliente a la vez con el servidor i tomándose un tiempo exponencial con razón iµ por servicio, donde i = 1, 2. Tal sistema se conoce como sistema tandem o secuencial. Se les llama sistemas abiertos ya que los clientes pueden entrar y salir del sistema. La figura a continuación ilustra el sistema. Para comprender este sistema necesitamos llevar la cuenta del número de clientes en el servidor 1 y el número de clientes en el servidor 2, para lo cual definimos el estado mediante el par ordenado (n,m), que significa que hay n clientes en el servidor 1 y m en el servidor 2. Notemos que la situación en el servidor 1 es justamente la de un modelo M/M/1. Además, el proceso de salida en un modelo M/M/1 es un proceso de Poisson con razón λ y por tanto, el servidor 2 se enfrenta igualmente a un modelo M/M/1. De todo esto se sigue que la probabilidad de que haya n clientes en el servidor 1 es Servidor 1 Servidor 2 abandona el sistema
  5. 5. { }       −      = 11 11 µ λ µ λ n servidorenclientesnP y de la misma forma la probabilidad de que haya m clientes en el servidor 2 es { }       −      = 22 12 µ λ µ λ m servidorenclientesnP Ahora, como un proceso de llegadas de Poisson trabaja con promedios de tiempo, se sigue que en un sistema tandem, la cantidad de clientes en el servidor 1 y en el servidor 2 que un cliente nuevo (que irá al servidor 1) se encuentra al llegar son variables aleatorias independientes. Por lo tanto       −            −      = 2211 , 11 µ λ µ λ µ λ µ λ mn mnP . Luego, resulta que las ecuació que describen a L es λµ λ λµ λ − + − = 21 L de donde se tiene que λµλµλ − + − == 21 11L W . Es razonable preguntarse qué pasa si el sistema tiene más de dos servidores. Asumamos que el sistema es uno con k servidores y los clientes llegan al servidor i de acuerdo a procesos independientes de Poisson a razón ri, donde i = 1, 2,…, k. Una vez el cliente es atendido por el servidor i, pasa a la cola del servidor j, con probabilidad Pij, donde j = 1, 2,…, k. Sea jλ la razón total de llegadas de clientes al servidor j. Entonces ij k i ijj Pr ∑= += 1 λλ , j = 1, 2,…, k. Resulta que el número de clientes frente a cada uno de los servidores es independiente. Siguiendo el mismo razonamiento de antes tenemos que { }       −            −            −      = k k n k k nn k k nnnP µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ 111,...,, 2 2 2 2 1 1 1 1 21 21 L
  6. 6.         −         = ∏= j j k j n j j j µ λ µ λ 1 1 Luego el promedio de clientes en este sistema viene dado por kk k L λµ λ λµ λ λµ λ − ++ − + − = L 22 2 11 1 ∑= − = k j jj j 1 λµ λ El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema, W, se puede obtener de la ecuación inicial para L (es decir, WL λ= ) y del hecho que ∑ = = k j jr1 λ . Entonces ∑ ∑ = = − = k j j k j jj j r W 1 1 λµ λ . Nota: La ecuación antes obtenida,         −         = ∏= j j k j n j j k j nnnP µ λ µ λ 1),...,( 1 21 es un resultado interesante pues nos indica que la distribución del número de clientes en el servidor i es la misma que se obtendría en un modelo M/M/1 con razones iµ y iλ . Sin embargo en los modelos de redes el proceso de llegadas en el servidor i no tiene que ser necesariamente un proceso de Poisson. Esto se debe a que si permitimos la posibilidad de que un cliente visite un servidor más de una vez (a esto le llamamos “feedback” o retroalimentación), entonces el proceso de llegadas no será de Poisson. Entonces podemos apreciar que aún cuando permitimos el “feedback”, las probabilidades de condición estado-estable del número de clientes en cualquier servidor tienen la misma distribución que en un modelo M/M/1 incluso cuando el modelo no es M/M/1.
  7. 7. Sistemas Cerrados Un sistema es cerrado cuando no entran clientes nuevos y aquellos ya existentes nunca salen del mismo. Vamos a suponer que hay m clientes moviéndose en un sistema de k servidores, donde los tiempos de servicio en el servidor i son exponenciales con una razón iµ , i = 1,…, k. Cuando un cliente termina de ser atendido en el servidor i, se une a la cola frente al servidor j, j = 1,…, k, con probabilidad Pij, donde asumimos que ∑ = = k j ijP1 1 para toda i = 1,…, k. O sea, P = [Pij] es una matriz de probabilidades de transición de Markov, que asumiremos irreducible. Denotemos las probabilidades estacionarias para esta cadena de Markov mediante ),...,,( 21 kππππ = . Es decir π es la solución única de ∑= = k i ijij P 1 ππ (*) ∑= = k i j 1 1π (**) Sea )( jmλ la razón promedio de llegadas al servidor j, donde j = 1, 2,…, k. Luego, )( jmλ satisface que ∑= = k i ijmm Pij 1 )()( λλ . Sea ∑= = k j mm j 1 )(λλ . Podemos ver que mλ es la razón promedio en la cual el sistema entero termina el servicio. Entonces, de (*) y (*) se obtiene que kjj jmm ,...,2,1,)( == πλλ . (***) Consideremos las probabilidades limitantes { }jservidorelenclientesnPnnnP jkm =),...,,( 2,1 donde j = 1, 2,…, k. Se puede demostrar que
  8. 8. ( )        ≠ = = ∑ ∏ ∑ = = = k j j k j k j j n jjm km mnsi mnsiC nnnP j 1 1 1 2,1 ,0 , ),...,,( µπ donde hemos aplicado la ecuación (***) y donde Cm viene dado por ( ) 1 ,..., 11 − = =           ∑ = ∑ ∏ mn nn k j n jjm j k j C µπ . Ahora, esta ecuación para ),...,,( 2,1 km nnnP es útil para valores pequeños de m y k, pues la constante Cm trabaja sobre todos los posibles vectores ),...,,( 2,1 knnn para los cuales se cumple que ∑ = = k j j mn1 y hay       −+ m km 1 vectores que verificar. Por lo antes expuesto necesitamos de una forma más eficiente para hallar estas probabilidades limitantes. Expondremos a continuación un acercamiento que nos permitirá determinar de modo recursivo muchas de las cantidades de interés sin tener que calcular Cm. Pensemos en un cliente que acaba de abandonar el servidor i y se dirige al servidor j. Considérese la probabilidad de que este cliente observe, en ese momento, nl clientes en el servidor l, donde l = 1,…, k y ∑ = −= k l l mn1 1. Tal probabilidad viene dada por ( ) ( ) K jaidevaclientekllservenclientesnobservaclienteP k j n jjii l j ∏ = == 1 }:,...,2,1,.{ µπµπ Esta ecuación la reescribimos ( )∏= == k j n jjl j CjaidevaclientekllservenclientesnobservaclienteP 1 }:,...,2,1,.{ µπ . Ahora, C no depende de n1,…nk. Sin embargo esta ecuación es una densidad de probabilidad sobre el conjunto de vectores ),...,,( 2,1 knnn que satisfacen ∑ = −= k j j mn1 1. Por tanto
  9. 9. ),...,,(}:,...,2,1,.{ 211 kml nnnPjaidevaclientekllservenclientesnobservaclienteP −== , donde ∑ = −= k i i mn1 1. Esto se satisface para toda i. Tenemos así el Teorema de Llegadas. Teorema de Llegadas En un sistema de redes cerrado con m clientes, el sistema como visto por clientes que se dirigen al servidor j se distribuye como la distribución estacionaria en el mismo sistema de redes cuando hay solamente m – 1 clientes. Sea Lm(j) y Wm(j) el promedio de clientes y el tiempo promedio que un cliente pasa en el servidor j cuando hay m clientes en la red. El Teorema de Llegadas implica que j m m jL jW µ )(1 )( 1−+ = . Ahora, cuando hay m – 1 clientes en el sistema, de la ecuación (***) obtenemos que jmm j πλλ 11 )( −− = y entonces tenemos que )()( 111 jWjL mjmm −−− = πλ . Luego, j mjm m jW jW µ πλ )(1 )( 11 −−+ = . Ahora como ∑ = − −= k j m mjL1 1 1)( , obtenemos que ∑ = − − − = k i mi m iW m 1 1 1 )( 1 π λ . La fórmula recursiva para Wm(j) viene entonces dada por
  10. 10. ∑ = − −− += k i mij mj j m iW jWm jW 1 1 1 )( )()1(1 )( πµ π µ . Nótese que j jW µ 1 )(1 = . Utilizando este último dato, las probabilidades estacionarias jπ , con j = 1,…, k, y las ecuaciones (i) ∑ = − −− += k i mij mj j m iW jWm jW 1 1 1 )( )()1(1 )( πµ π µ (ii) )()( 111 jWjL mjmm −−− = πλ (iii) ∑ = − − − = k i mi m iW m 1 1 1 )( 1 π λ que acabamos de describir podemos determinar recursivamente W2(j),…,Wm(j), luego mλ y finalmente Lm(j). EL SISTEMA M/G/1 Preliminares: Trabajo y Otra Identidad de Costo Consideremos un sistema de colas arbitrario. Definimos el trabajo en el sistema en cualquier tiempo t como la suma de los tiempos de servicio restantes de todos los clientes en el sistema en el tiempo t. Denotemos por V el promedio de tiempo en el sistema. Ahora, en la sección de Preliminares discutimos la ecuación de costo paganuevoclienteunquepromediocantidad ganasistemael cuallaapromediorazónLa a ×= λ . Para comprender lo que obtener V significa considérese la siguiente regla de costo
  11. 11. “Cada cliente paga a una razón de tiempodeunidady cuando su tiempo de servicio restante es y, sea que esté en cola o que esté en servicio”. Entonces la razón a la que el sistema gana es justamente el trabajo en el sistema, o sea que [ ]clienteunpagaquecantidadEV aλ= . Para determinar [ ]clienteunpagaquecantidadE definimos S como el tiempo de servicio y * QW como el tiempo que un cliente dado espera en cola. Ahora, si x es el tiempo que el cliente está siento atendido, entonces el cliente paga a una razón de S por unidad de tiempo mientras espera en la cola y a una razón de S – x luego de pasar un tiempo x siendo atendido. Luego [ ]     −+= ∫ S Q dxxSSWEclienteunpagaquecantidadE 0 * )( y obtenemos así que [ ] [ ] 2 2 * SE SWEV a Qa λ λ += Esta ecuación es una identidad básica de la teoría de colas y es válida en prácticamente en todos los modelos. Si el tiempo de servicio de un cliente ies independiente de sue espera en cola entonces [ ] [ ] 2 2 SE WSEV a Qa λ λ += Aplicación de Trabajo al modelo M/G/1 Las premisas que indican que estamos trabajando con un modelo M/G/1 son: (1) Las llegadas siguen un proceso de Poisson a razón λ . (2) La distribución de servicio es general y no específica. (3) Se tiene un solo servidor. Asumiremos que los clientes son servidos según el orden de llegada (se atienden primero aquellos que llegaron primero). Ahora queremos ver las ecuaciones que gobiernan este
  12. 12. sistema. Considérese un cliente arbitrario en el modelo M/G/1. Entonces como hay solo un servidor Tiempo que el cliente esperan en la cola = trabajo en el sistema cuando el cliente llega Tomando el valor esperado a ambos lados de esta ecuación se obtiene llegaralclienteunvelocomopromediotrabajoWQ = Por la condición (1), resulta que VWQ = y obtenemos así la fórmula de Pollaczek- Khintchine, esto es [ ] ( )][12 2 SE SE WQ λ λ − = con E[S] y E[S2 ] siendo los primeros dos momentos del servicio de distribución. De esta ecuación obtenemos [ ] ( )][12 22 SE SE WL QQ λ λ λ − == [ ] ( ) ][ ][12 ][ 2 SE SE SE SEWW Q + − =+= λ λ [ ] ( ) ][ ][12 22 SE SE SE WL λ λ λ λ + − == Nota: Para que estas cantidades sean finitas, necesitamos que 1][ <SEλ . Periodos Ocupados Todo sistema alterna entre periodos lentos, cuando no hay clientes en el sistema, y periodos ocupados, en los que hay al menos 1 cliente. Sean In y Bn, r espectivamente, los largos del n-ésimo periodo lento y el n-ésimo periodo ocupado, donde n > 1. Se puede demostrar que
  13. 13. nn n n BBII II lentotiempodeproporciónP ++++ + == ∞→ LL L 11 1 0 lim Ahora, resulta que las I1,…, In, son independientes y están idénticamente distribuidas como lo están las B1,…, Bn. Por lo tanto, dividiendo el numerador y el denominador de esta ecuación por n y aplicando la ley fuerte de los grandes números, se obtiene que ][][ ][ 0 BEIE IE P + = donde I y B son variables aleatorias de tiempo lento y tiempo ocupado. En particular I se refiere al tiempo desde que un cliente abandona el sistema y el sistema queda vacío hasta llegar un cliente nuevo. Por las llegadas de Poisson, se observa que I es exponencial con razón λ y por lo tanto λ 1 ]1[ =E Para calcular P0 utilizamos la siguiente fórmula ][10 SEP λ−= . Luego tenemos que ][1 1 ][10 BE SEP + =−= λ λ λ . La otra fórmula que nos interesa es una que nos determine el número de clientes servidos en un periodo ocupado, cantidad que denotamos por C. Más aún, nos interesa el valor esperado de C. Ahora, por cada E[C] llegadas exactamente un cliente encontrará el sistema vacío, el primer cliente del periodo ocupado. Luego ][ 1 0 CE a = . Por las llegadas de Poisson, ][100 SEPa λ−== , lo cual implica que ][1 1 ][ SE CE λ− =
  14. 14. VARIACIONES EN EL SISTEMA M/G/1 MODELO M/G/1 “RANDOM –SIZED BATCH ARRIVALS” Supongamos que, como en un sistema M/G/1, las llegadas ocurren en acuerdo con el proceso de Poisson con una razón de λ, con la diferencia de que cada llegada consiste de una cantidad “random” de clientes. Por tanto ahora denotaremos por 1, ≥jjα la probabilidad con un puesto o lote arbitrario de j clientes y dado N una variable que representa el tamaño del puesto entonces { } jjNP α== . Entonces , )(NEa λλ = como la fórmula básica para trabajar y hallar [ ]       += 2 ( )( 2 SE WSENEV qλ Para obtener una segunda ecuación relativa de V a qW consideramos un promedio de clientes expresado de la siguientes manera: Cliente espera en la cola = el trabajo del sistema cuando el cliente llega + el tiempo de espera por el cliente cuando este pasa a su puesto Utilizando el proceso de Poisson, podemos resumir lo anterior de la siguiente manera: [ ]Bq WEVW += donde BW es el tiempo de espera del cliente para llegar al puesto. Para determinar la probabilidad del promedio de clientes que pueden llegar de un puesto con tamaño j debemos definir lo siguiente: Sea L un número mayor entonces el primer M puestos aproximadamente j M α , de tamaño j, 1≥j , y de los cuales el número aproximado de clientes legando al puesto esta dado por de j jM α en un puesto de tamaño j, la proporción de llegadas en el primer puesto M esta dada por ∑ jj jMjM j αα / Esta proporción es exactamente para ∞→M , por lo que podemos observar que
  15. 15. La proporción de clientes de un puesto de tamaño j = ][NE j jα . Dado esto, se puede calcular )( BWE , la espera en la cola de los otros clientes mientras que otros permanecen en el puesto de la siguiente manera: ][ ][][ NE j WEWE j j BB α ∑= , tomando en cuenta que el puesto es de tamaño j. Colas de prioridad Uno sistema de colas de prioridad es uno en el cual los clientes son clasificados y según sean clasificados reciben un servicio de prioridad de acuerdo a su clasificación. Considerando una situación en la que lleguen dos clientes con sus respectivas razones 1λ y 2λ y tiene una distribución de servicio 1G y 2G . Dentro de un sistema sin un servicio de prioridad conocido por FIFO (first come, first served) donde 21 λλλ += tenemos que )()()( 2 2 1 1 xGxGxG λ λ λ λ += En el sistema donde existe el servicio de prioridad, suponemos que el primer cliente mencionado tiene prioridad por tanto se dice que el promedio del trabajo esta dado por ])[][1(2 ][][ 2211 2 22 2 11 SESE SESE V λλ λλ −− + = donde iS es la distribución de .2,1, =iGi Queriendo llegar a calcular el promedio de espera de un cliente de clasificación i denota do como i QW , necesitamos definir las siguientes fórmulas: (i) 2 ][ ][ 2 iii Qii i SE WSEV λ λ += donde i V es la cantidad promedio del cliente de clasificación i en el trabajo
  16. 16. (ii) Si definimos que 2 ][ ][ 2 iii S i Qii i Q SE V WSEV λ λ ≡ ≡ donde i QV es la cantidad promedio del cliente de clasificación i en la cola y i SV es la cantidad promedio del cliente de clasificación i en el servicio, tenemos que ])[1(2 ][][ 11 2 22 2 111 SE SESE WQ λ λλ − + = y ])[1])([][1(2 ][][ 112211 2 22 2 112 SESESE SESE WQ λλλ λλ −−− + = Finalmente obtendríamos que ni SESE SESE W jj i ij nni Q ,...,1, ])[...][1(2 ][...][ 111 22 11 = −−−Π ++ = −= λλ λλ EL MODELO DE G/M/1 El Modelo de G/M/1 asume que el tiempo entre llegadas sucesivas tiene una distribución arbitraria G. El tiempo de servicio es una distribución exponencial con razón en una servidor simple. La dificultad principal de este sistema es que el número de clientes no es informado de una forma eficiente como para tener espacios en el servidor. Para resolver este problema debemos definir que 1, ≥nX n donde ≡nX el numero en el sistema de acuerdo a la legada n-nésima. La probabilidad de transición en este sistema esta dada por ijeP tdG j t t jii j ,...,1,0, 0 )( ! )( 1, == ∫ ∞ − −+ µ µ donde el nuemero de servidores en cualquier tiempo t es un “random” de Poisson con significado t. El Modelo de G/M/1 ocupado y desocupado Supongamos que surjan llegadas en un momento en que el sistema esta ocupado o desocupado. Dado que N es el número de clientes atendidos en ese periodo en que el
  17. 17. sistema esta ocupado, por las cadenas de Markov tenemos que ][ 1 NE es la proporción de transición e que la cadena de Markov cambia a estado 0que es equivalente a que el sistema este desocupado. Dado esto β− == 1 11 ][ 0a NE La suma de un sistema ocupado y desocupado puede expresarse como la suma de N tiempos entre llegadas. Entonces , si iT es el tiempo de llegadas después de que el sistema esta ocupado )1( 1 ][][ βλ − =+ DesocupadoEOcupadoE VARIACIONES EN EL SISTEMA M/G/1 MODELO G/M/1 MODELO DE FUENTE FINITA Consideremos un sistema de m máquinas, cuyos tiempos de trabajo son variables exponenciales aleatorias independientes con razón λ . Tras un fallo, la máquina va instantáneamente al departamento de reparaciones, el cual tiene un solo operador. Si el operador esta libre, comienza a reparar la máquina, de lo contrario la máquina se une a la cola de máquinas dañadas. Cuando una máquina se repara se convierte en una apta para trabajar, y la reparación comienza con otra máquina de la cola. Los tiempos de reparaciones siguientes son variables aleatorias independientes que tienen una función densa g, con media dada por: ∫ ∞ = 0 )( dxxxgRµ Para analizar este sistema se desarrolla el tiempo de trabajo exponencialmente distribuido para obtener una cadena de Markov. Dado que el tiempo de reparación de cada máquina es independiente, se obtiene la cadena }1,{ ≥nX n . Para determinar la probabilidad de transición Pi,j suponemos que i>0. Para esta cadena obtenemos que,
  18. 18. ( ) ( ) ( )∫ ∞ −−−− +− −      − = 0 1, 1 drrgee j jm P jimrjr jii λλ Si i=0, porque la siguiente reparación no comienza hasta que otra máquina tenga un fallo, P0,j=P1,j, 1−≤ mj Dado que, 1,...,0, −= mjjπ , representa las probabilidades de esta cadena de Markov, su única solución es: ∑ − = = 1 1 m oj jπ Dado que este sistema se renueva constantemente, supongamos que el sistema comienza un nuevo ciclo, obtenemos que: ∑− = N i iRB 1 donde, Ri, i>1, es el número de reparaciones en el momento en que el ciclo comienza, N es el número de reparaciones en el tiempo ocupado del ciclo, y B es el largo del periodo en que el sistema esta ocupado. El tiempo de parada de esta secuencia esta dado por la ecuación de Wald: RNEBE µ][][ = Por otra parte, la media de tiempo en que el sistema esta inactivo esta dado por: )( 1 ][ λm IE = Por lo tanto, PB, la proporción de tiempo en que el operador esta ocupado, satisface: [ ] [ ] ( )λµ µ m NE NE P R R B 1+ = Sin embargo, la proporción de reparaciones completas que deja a todas las máquinas trabajando, esta dada por: ][ 1 0 NE =π Por consiguiente: ( )λ πµ µ m P R R B 0+ =
  19. 19. Si nos enfocamos en una máquina a la que identificaremos como máquina 1, y tenemos en cuenta que todas las máquinas se fallan a la misma razón y tienen la misma distribución de reparación, entonces: λ πµ µ 0 ,1 + == R RB R mm P P donde P1,R es la proporción de tiempo en que la máquina 1 esta siendo reparada. Si la máquina 1 tiene intervalos de tiempo alternados en los cuales la máquina trabaja (W), esta en cola (Q) o se esta reparando (S). Tenemos entonces que la proporción de tiempo en que la máquina esta siendo reparada en su prime ciclo n de trabajo-cola-reparación es: ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ++ n i n i n i iii n i i n S n Q n W S 1 1 1 1 Si tenemos en cuenta que ∞→n y la ley de los números grandes podemos concluir que la media de Wi converge a λ 1 y la de Si a Rµ , obtenemos que: R R R Q P µλ µ ++ = 1,1 donde Q es la cantidad promedio de tiempo que la máquina 1 esta en cola cuando se daña. Por lo que podemos definirla de la siguiente manera: ( ) ( ) λ πµ 01 1 − −−= RmQ Si Q es igual a WQ , para determinar la media del tiempo en que la máquina dañada en la cola, utilizamos: QWL aQaQ λλ == donde aλ es la razón promedio en que una máquina se daña. Utilizamos la fórmula identidad básica de costo: RR rP µ1,1 = donde 1r es la razón media en la que la máquina 1 se daña, entonces: λ πµ 0 1 1 + = Rm r Entonces aλ es:
  20. 20. λ πµ 0+Rm m Por lo tanto, el promedio de máquinas en la cola de espera es: λ πµ λ πµ 0 0 )1( )1( + − −− = g g Q m m mm L Entonces: BQ PLL += COLAS DE SERVIDOR MÚLTIPLE Sistemas con múltiples servidores u operadores son más difíciles para analizar que aquellos que tienen un solo servidor. Sistema de pérdida de Erlang Un sistema de perdida es un sistema de colas en el cual las llegadas que encuentran a todos los servidores ocupados no entran, lo que significa una pérdida para el sistema. El sistema M/M/k es un sistema de pérdida en el cual los clientes llegan de acuerdo al proceso de Poisson que tiene razón λ , entre si al menos uno de los k servidores esta libre, y permanece una cantidad exponencial de tiempo con razón µ para ser atendido. Las ecuaciones balanceadas para este sistema son: 01 PP µ λ = 0 2 12 22 PPP      == µ λ µ λ 0 3 213 !33 PPP      == µ λ µ λ
  21. 21. ki ≤, 01 ! P k P k P k kk      == − µ λ µ λ Utilizando ∑ = k iP0 0, obtenemos: ki j iP k j j i ,...,1,0, ! ! 0 1 =           = ∑ = µ λ µ λ Dado que µ 1][ =SE , donde E[S] es la media de tiempo de servicio, lo anterior se puede escribir como: ( ) ( ) ki j SE i SE P k j j i ,...,1,0, ! ][ ! ][ 0 1 == ∑ = λ λ Cola M/M/k La cola de capacidad infinita M/M/k puede ser analizada por la técnica de ecuación balanceada. Lo siguiente se deja para que el lector verifique:                           − =                         >      − ++= ∑ kiP k k k k k k k i i i i i P k i k i , ! !! ! 0 1 0 µ λ λµ µµ λ µ λ µ λ En la misma se tiene que imponer la condición µλ k< . Cola G/M/k
  22. 22. Supongamos que tenemos k servidores, cada uno de ellos a una razón exponencial µ . Sin embargo, permitimos que el tiempo entre las llegadas sucesivas tenga una distribución arbitraria G, donde si la distribución de estado estable existe, se llega a la condición de que µµ k G <1 donde Gµ la media de G. Para derivar las probabilidades de la cadena de Markov }0,{ ≥nX n , donde Xn es el número en el sistema en el momento de la llegada n, utilizamos: 0,11 ≥−+=+ nYXX nnn donde Yn, es el número de salidas durante el tiempo de llegada entre n y (n+1) llegadas. Las probabilidades de transición Pij se calculan de la siguiente forma: Caso 1 1+> ij Este sigue fácilmente que 0=ijP . Caso 2 kij ≤+≤ 1 En ese caso si una llegada encuentra i en el sistema, luego como i<k la nueva llegada también entrara inmediatamente a servicio. Si la siguiente llegada encuentra j si de i+1 servicios i+1-j son completados en el tiempo entre llegadas, el cual si es condicionado se obtiene: ( ) ( ) ( )tdGee j i P jtjit ij µµ −−+− ∞ −      + = ∫ 1 0 1 1 Caso 3 kji ≥≥+1 En ésta caso todos los servidores están ocupados y la salida es un proceso de Poisson con razón µk . Condicionando nuevamente el tiempo entre llegada tenemos: ( ) ( ) ( )∫ ∞ −+ − −+ = 0 1 !1 tdG ji tk eP ji tk ij µµ Caso 4 jki ≥≥+1 En este caso mientras todos los servidores están ocupados, la salida es un proceso de Poisson, esto sigue que el intervalo de tiempo en el que solo hay k en el sistema tendrá una distribución gama con parámetros µkki ,1−+ .
  23. 23. Con probabilidad β β π − −=∑ − 1 1 1 0 ck i Con probabilidad β β π − −=∑ ∞ 1 1 c k i Condicionando primero el tiempo entre llegadas y luego en el tiempo en que solo hay k en el sistema obtenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∞ − −−−−−− − −      = 0 0 ! 1 t ki skjstjkst ij tdsdG ki sk ekee j k P µ µ µµµ Si sustituimos directamente en la ecuación ∑= i ijik Pππ o en la cadena de Markov ,...1,0,1 ==+− jc j jk βπ , cuando kj > , obtenemos que: ( ) ( )∫ ∞ −− = 0 1 tdGe tk βµ β Por lo tanto si WQ es la cantidad de tiempo que el cliente esta en cola, entonces: ( )( )         − = βµ 1 ,0 kExp WQ Cola M/G/k En esta cola se considera que los clientes llegan a la razón de Poisson λ y que son atendidos por cualquier servidor k, cada uno de los cuales tienen una distribución de servicio G. Comenzamos con la identidad básica: [ ] [ ] 2 2 SEWSEV Q λλ += luego intentamos derivar una segunda ecuación que relacione V con WQ. Si consideramos una llegada arbitraria, obtenemos: Trabajo en el sistema cuando llega un cliente=k×tiempo que el cliente esta en la cola+R donde R es la suma del tiempo de servicio que falta de todos los clientes en servicio al momento en que entre nuestra llegada. Tomando en cuanta las expectativas de la primera ecuación descrita en esta sección y utilizando las llegadas de Poisson, tenemos que: [ ]REkWV Q += Utilizando esto podemos calcular una aproximación para WQ cuando este tiene una distribución de servicio gama, dado por:
  24. 24. [ ] [ ]( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )       +−− ≈ ∑ − = − 1 0 2 12 ! !12 k n n kk Q SE n SE SEkk SESE W λλ λ λ EJEMPLO 1. Suponga que los clientes llegan a una razón de Poisson de 1 por cada 12 minutos, y que el tiempo de servicio es exponencial a una razón de 1 servicio por 8 minutos. Determine L y W. a. Solución: i. Dado que 12 1 =λ y 8 1 =µ , tenemos que 2 12 1 8 1 12 1 = − = − = λµ λ L 24 12 1 2 === λ L W Por lo tanto la media de clientes en el sistema es 2 y el tiempo medio que un cliente está en el sistema es de 24 minutos. Bibliografía Ross, Sheldon M. (2000). Introduction to Probability Models. Seventh Edition. Academic Press. Págs. 427-495. Documentos obtenidos de la Web como referencia: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_colas http://www.monografias.com/trabajos18/teoria-colas/teoria-colas.shtml

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