Curso: Ciência da Computação             Turma: 7ª SérieAspectos Teóricos da Teoria da Computação                     Aula...
Notas de Aula●   Livro texto: Linguagens Formais e Autômatos●                  Aspectos Teóricos da Computação
Aspectos Téoricos da Computação Computação pode ser definida como a solução de um  problema ou, formalmente, o cálculo de ...
Conjuntos, Relações e Linguagens●   Um conjunto é uma coleção de objetos.●   Por exemplo o conjunto L é composto de 4    l...
Conjuntos●   Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4}    ●   Podemos dizer que B ⊆ A ou B ⊇ A●   Igualdade de conjuntos    ●   A...
Conjuntos●   Há também um conjunto sem elementos    denominado conjunto vazio●   Ele é representado por {} ou Ø●   Podemos...
Conjuntos●   Como podemos por exemplo representar os números    naturais ímpares?    ●   O = {x: є N e x não é divisível p...
Conjuntos●   Provando que A está contido em B e que B    está contido em A                  Aspectos Teóricos da Computação
Operações entre Conjuntos●   União    ●   A U B = {x : x є A ou x є B}    ●   Exemplo {1,3,9} U {3, 5, 6} = {1,3,5,7,9}●  ...
Propriedades dos ConjuntosPropriedades de conjuntos●   A U A = A ou A ∩ A = A    → Idempotência.●   A U B = B U A ou A ∩ B...
Conjuntos●   Dois conjuntos são disjuntos se não tiverem nenhum    elemento em comum.●   Temos também US={x : x є P para a...
Conjuntos●   Uma partição de um conjunto não vazio A é qualquer    subconjunto ∏ de 2A, tal que Ø não seja elemento de    ...
Conjuntos●   Um elemento do produto cartesiano A x B é    denotado da forma (a,b) é denominado par    ordenado e não deve ...
Conjuntos●   O produto cartesiano de A x B é um conjunto    de pares ordenados com a є A e b є B:    ●   {1,3,9} x {b,c,d}...
Vamos definir juntos então●   O que seria uma Tripla?●   E uma Quádrupla?●   E uma Quíntupla?●   E uma Tupla?●   Se A1,......
Relações e Funções●   Definição: Suponha A e B conjuntos. Uma    Relação (binária) R de A em B é um    subconjunto de um p...
Endorrelação, Auto-Relação●   Suponha A um conjunto. Então uma relação    R:A → A (origem e destino no mesmo conjunto)    ...
Relação Conexa, Reflexiva, Simétrica,      Anti-Simétrica, Transitiva●   Sejam A um conjunto e R uma endorrelação    em A....
Função●   É uma associação de cada objeto de um tipo    com um único objeto de outro tipo.    ●   Pessoas com seu pai.    ...
Função●   Exemplo: seja    ●   R1 = {(x,y) : x є C, u є S e x é uma cidade do        estado y}    ●   R2 = {(x,y) : x є S,...
Funções●   f:A → B●   Dizemos que A é o domínio da função.●   Se a é algum elemento de A escrevemos f(a)    para designar ...
Funções●   Função injetora: Uma função f: A → B é dita injetora se, para quaisquer dois    elementos distintos a, a є A, f...
Tipos Especiais de Relações Binárias●   Uma relação binária pode ser representada por    um grafo orientado.●   Seja A um ...
Grafo Orientado●   Exemplo: Seja R = {(a,b),(b,a),(a,d),(d,c),(c,c),(c,a)} é    representado pelo grafo da figura abaixo.●...
Grafos Orientados●   Relação reflexiva: se (a,a) є R para cada a є A.    Os grafos orientados reflexivos têm em cada    vé...
Relação Simétrica e Relação Reflexiva●   Simétrica: Conjunto de 6 amigos a, b, c, d, e, f.    Se a é amigo de b, b é amigo...
Grafos●   Uma relação simétrica que não apresenta    pares da forma (a,a) costuma ser representada    na forma de grafo nã...
GrafosUma relação R é dita anti-simétrica quando, sempre que (a,b)є R, e a e b forem distintos, então, (b,a) não pertence ...
Exemplo de Grafo de uma Relação Transitiva●   Sempre que houver um conjunto de setas que    leve a até z haverá uma seta d...
Tipos Especiais de Relações Binárias●   Uma relação que seja reflexiva, simétrica, e    transitiva é denominada relação de...
Conjuntos Finito e Infinitos●   Quando trabalhamos com conjuntos finitos algumas afirmações    sobre os conjuntos não exig...
Conjuntos Finito e Infinitos●   No caso geral dizemos que um conjunto é finito se, intuitivamente ele    for equinumeroso ...
Para a Próxima Aula●   Ler capítulo 1 do livro texto.                    Aspectos Teóricos da Computação
Exercícios para Entregar1. Descreva o conjunto dos números que satisfazem a seguinte condição: G = {x : x є I e x > 2}2. S...
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Aula 2 conceitos fundamentais-conjuntoserelacoes

  1. 1. Curso: Ciência da Computação Turma: 7ª SérieAspectos Teóricos da Teoria da Computação Aula 2 Conceitos Fundamentais: Conjuntos e Relações Aspectos Teóricos da Computação
  2. 2. Notas de Aula● Livro texto: Linguagens Formais e Autômatos● Aspectos Teóricos da Computação
  3. 3. Aspectos Téoricos da Computação Computação pode ser definida como a solução de um problema ou, formalmente, o cálculo de uma função, através de um algoritmo. A teoria da computação, um subcampo da ciência da computação e matemática, busca determinar quais problemas podem ser computados em um dado modelo de computação. Por milhares de anos, a computação foi feita com lápis epapel, ou giz e quadro, ou mentalmente, às vezes com a ajuda de tabelas. Aspectos Teóricos da Computação
  4. 4. Conjuntos, Relações e Linguagens● Um conjunto é uma coleção de objetos.● Por exemplo o conjunto L é composto de 4 letras. Escrevemos L={a,b,c,d}.● Os componentes de um conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto.● Por exemplo b é um elemento de L. Escrevemos b ∈ L.● Por outro lado z ∉L. Aspectos Teóricos da Computação
  5. 5. Conjuntos● Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4} ● Podemos dizer que B ⊆ A ou B ⊇ A● Igualdade de conjuntos ● A = B se e somente se os conjuntos possuem exatamente os mesmos elementos. Formalmente: – A = B se A ⊆ B e B ⊆ A Aspectos Teóricos da Computação
  6. 6. Conjuntos● Há também um conjunto sem elementos denominado conjunto vazio● Ele é representado por {} ou Ø● Podemos indicar um conjunto como referência de outro. ● Por exemplo seja L = {1,3,9} e G = {3,9} – Podemos indicar G da seguinte maneira: ● G = {x:x є L tal que x > 2} Aspectos Teóricos da Computação
  7. 7. Conjuntos● Como podemos por exemplo representar os números naturais ímpares? ● O = {x: є N e x não é divisível por 2}● Dizemos então que O é um subconjunto de N.● Um conjunto A é um subconjunto de B – A está contido em B – se cada elemento de A também é um elemento de B.● Qualquer conjunto é um subconjunto dele próprio.● O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.● Como podemos provar então que dois conjuntos são iguais? Aspectos Teóricos da Computação
  8. 8. Conjuntos● Provando que A está contido em B e que B está contido em A Aspectos Teóricos da Computação
  9. 9. Operações entre Conjuntos● União ● A U B = {x : x є A ou x є B} ● Exemplo {1,3,9} U {3, 5, 6} = {1,3,5,7,9}● Intersecção ● A ∩ B = {x : x є A e x є B} ● Exemplo {1,3,9} ∩ {3,5,7} = {3}● Diferença ● A – B = {x : x є A e x não pertence a B} ● {1,3,9} – {3,5,7} = {1,9}● Complemento. A operação de complemento é definida em ralação a um conjunto fixo U denominado conjunto universo, como segue: ● ~A = A = { x | x є U e x ∉Α}● Produto cartesiano. ● A x B = {(a,b) | a є A e b є B} Aspectos Teóricos da Computação
  10. 10. Propriedades dos ConjuntosPropriedades de conjuntos● A U A = A ou A ∩ A = A → Idempotência.● A U B = B U A ou A ∩ B = B ∩ A → Comutatividade● (A U B) U C = A U (B U C) ou (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) → Associatividade● (A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C) ou (A ∩ B) U C = (A U C) ∩ (B U C) → Distributividade● (A U B) ∩ A = A ou (A ∩ B) U A = A → Absorção● A – (B U C) = (A – B) ∩ (A – C) ou A – (B ∩ C) = (A – B) U (A – C) → Leis de Morgan Aspectos Teóricos da Computação
  11. 11. Conjuntos● Dois conjuntos são disjuntos se não tiverem nenhum elemento em comum.● Temos também US={x : x є P para algum conjunto P є S} ● Exemplo: S = {{a,b}, {b,c}, {c,d}}, então US = {a,b,c,d}● A coleção de todos os subconjuntos de A é ela própria um conjunto chamado conjunto-potência de A, e denominado 2A. ● Por exemplo os subconjuntos de {c,d} são: – O próprio conjunto {c,d} – E os conjuntos unitários {c} e {d} – E o conjunto vazio Ø Aspectos Teóricos da Computação
  12. 12. Conjuntos● Uma partição de um conjunto não vazio A é qualquer subconjunto ∏ de 2A, tal que Ø não seja elemento de ∏, e que cada elemento de A pertença a um e somente um dos conjuntos contidos em ∏. Em outras palavras, ∏ é uma partição de A, se ∏ for um conjunto de subconjuntos de A, tal que: 1. Cada elemento de ∏ é não vazio; 2. Membros distintos de ∏ são disjuntos; 3. U∏ = A; ● Por exemplo, {{a,b},{c},{d}} é uma partição de {a,b,c,d}, mas {{b,c,{c,d}} não o é. Aspectos Teóricos da Computação
  13. 13. Conjuntos● Um elemento do produto cartesiano A x B é denotado da forma (a,b) é denominado par ordenado e não deve ser confundido com o conjunto {a,b} ● A ordem no par ordenado é muito importante diferente do conjunto {a,b}. ● As componentes pode ser repetidas.● O conceito de par ordenado pode ser generalizado para n-upla ordenada (x 1,x2,...,xn) Aspectos Teóricos da Computação
  14. 14. Conjuntos● O produto cartesiano de A x B é um conjunto de pares ordenados com a є A e b є B: ● {1,3,9} x {b,c,d} = {(1,b), (1,c), (1,d) …}● Esse produto cartesiano também é uma relação binária. Aspectos Teóricos da Computação
  15. 15. Vamos definir juntos então● O que seria uma Tripla?● E uma Quádrupla?● E uma Quíntupla?● E uma Tupla?● Se A1,...,An são conjuntos quaisquer, então o produto cartesiano múltiplo de nível n A1 x … x An é o conjunto de todas as n-tuplas ordenadas (a1, ...,an), com ai є Ai, para cada i = 1,...,n● Temos também como notação A x … x A = An● Por exemplo N2 é o conjunto de todos os possíveis pares ordenados dos números naturais. Aspectos Teóricos da Computação
  16. 16. Relações e Funções● Definição: Suponha A e B conjuntos. Uma Relação (binária) R de A em B é um subconjunto de um produto cartesiano A x B, ou seja: R ⊆ A x B ● Sendo que: – A é denominado domínio, origem ou conjunto de partida de R. – B é denominado contradomínio, codomínio, destino ou conjunto de chegada de R. – Pode ser denotada como R: A → B Aspectos Teóricos da Computação
  17. 17. Endorrelação, Auto-Relação● Suponha A um conjunto. Então uma relação R:A → A (origem e destino no mesmo conjunto) é dita uma Endorrelação ou Auto-Relação. Nesse caso, afirma-se que R é uma auto- relação em A. Aspectos Teóricos da Computação
  18. 18. Relação Conexa, Reflexiva, Simétrica, Anti-Simétrica, Transitiva● Sejam A um conjunto e R uma endorrelação em A. Então R é uma relação: a) Conexa, se, para todo a, b є A, vale que a = b. b) Reflexiva, se, para todo a є A, vale (a,a) є R. c) Simétrica, se, para todo a,b є A, se (a,b) є R então (b,a) є R. d) Anti-simétrica, se, para todo a,b є A, caso (a,b) є R e (b,a) є R então a=b. Não é possível inverter a ordem dos elementos ou seja o par (b,a) ∉R. e) Transitiva, se, para todo a,b,c є A, caso (a,b) є R e (b,c) є R então (a,c) є R. Aspectos Teóricos da Computação
  19. 19. Função● É uma associação de cada objeto de um tipo com um único objeto de outro tipo. ● Pessoas com seu pai. ● Cães com seus donos.● Formalmente: Uma função de um conjunto A para um conjunto B é uma relação binária R sobre A e B com a seguinte propriedade especial: para cada elemento a є A, há exatamente um par ordenado em R cuja primeira componente é a. Aspectos Teóricos da Computação
  20. 20. Função● Exemplo: seja ● R1 = {(x,y) : x є C, u є S e x é uma cidade do estado y} ● R2 = {(x,y) : x є S, y є C e y é uma cidade do estado x}● R1 é uma função mas R2 não é uma função.● Cada cidade está em um e somente um estado.● No segundo caso um estado pode conter várias cidades. Aspectos Teóricos da Computação
  21. 21. Funções● f:A → B● Dizemos que A é o domínio da função.● Se a é algum elemento de A escrevemos f(a) para designar o elemento de B, tal que (a,b) є f.● O objeto f(a) é conhecido como imagem de a sobre f.● O contra-domínio de f é a imagem do seu domínio.● Exemplo: função soma m e n ● f((m,n)) = m + n Aspectos Teóricos da Computação
  22. 22. Funções● Função injetora: Uma função f: A → B é dita injetora se, para quaisquer dois elementos distintos a, a є A, f(a) ≠ f(a). ● Exemplo: Se C for o conjunto das cidades do Brasil, S é o conjunto de estados e se a função g: S → C for especificada como g(s) = a capital do estado S para cada s є S; então g é injetora, uma vez que nenhum par de estados apresenta a mesma capital.● Função sobrejetora: Uma função f: A → B é dita sobrejetora se cada elemento de B for a imagem, sob f, de algum dos elementos de A. A função g acima não é sobrejetora mas a função R1 é, já que cada estado contém, pelo menos, uma cidade.● Bijeção: Um mapeamento f: A → B é dita uma bijeção entre A e B, se ele for simultaneamente injetor e sobrejetor. ● Por exemplo, se Co é o conjunto das cidades que são capitais de estado, então a função g: S → Co , acima especificada, g(s) = a capital do estado s é uma bijeção entre S e Co.● A inversa de uma relação binária R está contido A x B é denotada R-1 está contido B x A, e é simplesmente a relação {(b,a): (a,b) є R). Por exemplo, a relação R2 definida anteriormente é a inversa de R1.● Uma função f: A → B também pode não ter uma inversa caso haja algum elemento b є B, tal que, f(a) ≠ b para todo a є A.. No entanto se f for uma bijeção nenhuma dessas situações podem ocorrer. Aspectos Teóricos da Computação
  23. 23. Tipos Especiais de Relações Binárias● Uma relação binária pode ser representada por um grafo orientado.● Seja A um conjunto e R é um subconjunto de A x A, então cada elemento de A é representado por um pequeno círculo – denominado vértice do grafo orientado.● Uma seta apontando de a para b, ocorre no grafo se, e somente se, (a,b) є R.● Essas setas são denominados arcos do grafo orientado ou também arestas. Aspectos Teóricos da Computação
  24. 24. Grafo Orientado● Exemplo: Seja R = {(a,b),(b,a),(a,d),(d,c),(c,c),(c,a)} é representado pelo grafo da figura abaixo.● a b●●● d c●● Grafos orientados e não orientados são muito úteis para representar sistemas complexos como tráfego de redes de comunicação, estruturas e processos computacionais. Aspectos Teóricos da Computação
  25. 25. Grafos Orientados● Relação reflexiva: se (a,a) є R para cada a є A. Os grafos orientados reflexivos têm em cada vértice um arco apontando para si mesmo.● Uma relação R subconjunto de A x A é simétrica se (b,a) є R, sempre que (a,b) є R.● Dê um exemplo de uma relação simétrica e outro de uma relação reflexiva. Aspectos Teóricos da Computação
  26. 26. Relação Simétrica e Relação Reflexiva● Simétrica: Conjunto de 6 amigos a, b, c, d, e, f. Se a é amigo de b, b é amigo de a e assim sucessivamente.● Reflexiva: Conjunto dos números naturais menores ou iguais a ele mesmo. Aspectos Teóricos da Computação
  27. 27. Grafos● Uma relação simétrica que não apresenta pares da forma (a,a) costuma ser representada na forma de grafo não orientado, ou simplesmente, grafo. a b d c Aspectos Teóricos da Computação
  28. 28. GrafosUma relação R é dita anti-simétrica quando, sempre que (a,b)є R, e a e b forem distintos, então, (b,a) não pertence R.● Por exemplo seja P o conjunto de todas as pessoas. Então {(a,b): a,b є P e a é o pai de b} é anti-simétrica.Uma relação pode não ser simétrica, nem anti-simétrica; porexemplo a relação {(a,b): a,b є P e a gosta de b}.Uma relação binária é dita transitiva quando sempre que(a,b) є R e (b,c) є R, então (a,c) є R. Por exemplo a relação{(a,b): a,b є P e a é ancestral de b} é transitiva, pois, se a éum ancestral de b, e b é um ancestral de de c, então a é umancestral de c.Como representamos em um grafo a transitividade. Vamospensar em termos dos ascestrais.... Aspectos Teóricos da Computação
  29. 29. Exemplo de Grafo de uma Relação Transitiva● Sempre que houver um conjunto de setas que leve a até z haverá uma seta direta ligando a até z. a d b c Aspectos Teóricos da Computação
  30. 30. Tipos Especiais de Relações Binárias● Uma relação que seja reflexiva, simétrica, e transitiva é denominada relação de equivalência.● A representação de uma relação de equivalência por meio de um grafo não orientado compõe-se de um certo conjunto de clusters.● Em cada um desses clusters , cada par de vértices é conectado por uma linha. Aspectos Teóricos da Computação
  31. 31. Conjuntos Finito e Infinitos● Quando trabalhamos com conjuntos finitos algumas afirmações sobre os conjuntos não exigem demonstração pois são óbvias. ● Por exemplo se A é subconjunto de B o número de elementos de A é menor ou igual ao número de elementos de B.● Entretanto quando começamos a trabalhar com conjuntos infinitos essas afirmações não são tão óbvias. ● Será que existem mais múltiplos de 17 {0, 17, 34, 51, …} do que quadrados perfeitos { 0, 1, 4, 9, 16, ...}● Dizemos que dois conjuntos, A e B, são equinumerosos se houver uma função bijetora f: A → B.● Lembre-se que se há uma bijeção f: A → B então há uma bijeção f-1 : B → A: logo, a equinumerosidade é uma relação simétrica. ● Por exemplo, {8, vermelho, {Ø,b}} e {1,2,3} são equinumerosos; suponha que f(8)=1, f(vermelho)=2, f({ Ø,b})=3. Aspectos Teóricos da Computação
  32. 32. Conjuntos Finito e Infinitos● No caso geral dizemos que um conjunto é finito se, intuitivamente ele for equinumeroso com {1,2,3,...,n} para algum número natural N.● Dizemos que o número de elementos de um conjunto finito é a sua cardinalidade |A|.● Já um conjunto é dito infinito quando ele não for finito. ● Por exemplo o conjunto dos números naturais N é infinito. Aspectos Teóricos da Computação
  33. 33. Para a Próxima Aula● Ler capítulo 1 do livro texto. Aspectos Teóricos da Computação
  34. 34. Exercícios para Entregar1. Descreva o conjunto dos números que satisfazem a seguinte condição: G = {x : x є I e x > 2}2. Se A é um subconjunto de B e B é um subconjunto de A o que podemos afirmar sobre esses dois conjuntos? Aspectos Teóricos da Computação
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