Реконструкция генома: пазл с миллиардом частей Филлип Компо и Павел Певзнер, Калифорнийский университет, Сан-Диего
Вопрос Номер 1:   Кто Эти Люди?
Содержание <ul><li>Введение в секвенирование генома </li></ul><ul><li>Задача о газете </li></ul><ul><li>ДНК-чипы: первая п...
Часть 1: Введение в  секвенирование  генома
Что такое  секвенирование  генома? <ul><li>Геном можно рассматривать как книгу, написанную при помощи алфавита, содержащег...
Что такое  секвенирование  генома? <ul><li>Разные люди имеют слегка различные геномы: у всех людей общие 99.9% генетическо...
Видовое и индивидуальное секвенирование <ul><li>Видовое секвенирование : определить «общий геном» всего вида. </li></ul>
Видовое и индивидуальное секвенирование <ul><li>Индивидуальное секвенирование:  определить, насколько индивидуум  отличает...
<ul><li>Видовое  cеквенирование генома: </li></ul><ul><li>Сравнить различные виды (например, человек и шимпанзе), чтобы по...
Зачем мы хотим  секвенировать  геном? <ul><li>Индивидуальное  секвенирование генома: </li></ul><ul><li>Открытие генетическ...
Краткая история  секвенирования  генома <ul><li>Конец  1970 -х: Уолтер Гилберт и Фредерик Сэнгер развивают независимые мет...
Краткая история  секвенирования  генома <ul><li>1990 : Общественный проект «Человеческий геном», возглавляемый Фрэнсисом К...
Краткая история  секвенирования  генома <ul><li>2000 : Черновой вариант человеческого генома одновременно завершён (общест...
Краткая история  секвенирования  генома <ul><li>2000 -е: расшифровывается всё большее число геномов млекопитающих. </li></ul>
Начало персональной геномики <ul><li>2000 -е: Многие компании запускают проекты, ставящие целью на порядок уменьшить затра...
Будущее  секвенировнания  генома <ul><li>2010 -е?: Секвенирование генома будет, надеемся, продолжать развиваться. </li></u...
Что делает  секвенирование  генома трудн ым ? <ul><li>Когда мы читаем книгу, мы можем прочесть её всю по букве от начала д...
Часть 2: Задача  о  газет е  и  секвенирование  генома
Задача  о газете
Задача о газете
Задача о газете
Задача о газете
Задача о газете
Задача о газете
Задача  о газете  как «пазл  с наложениями » <ul><li>Задача о газете — не то же самое, что обычный пазл: </li></ul><ul><ul...
Секвенирование  сложнее   задач и   о газете <ul><li>В задаче  о газете   на нас работают  правила  языка  и здравый смысл...
Секвенирование  сложнее   задач и   о газете <ul><li>В каждом геноме есть много повторяющихся подстрок (50% человеческого ...
Секвенирование:  лаборатория + вычисления <ul><li>Генерация ридов  ( лабораторная ): Считать множество ридов из многих коп...
Секвенирование генома :  иллюстрация Много копий генома
Секвенирование генома: иллюстрация Много копий генома Чтение ридов
Секвенирование генома: иллюстрация Много копий генома Риды Чтение ридов
Секвенирование генома: иллюстрация Много копий генома Риды Чтение ридов Сборка фрагментов
Секвенирование генома: иллюстрация Много копий генома Риды Собранный геном … GGCATGCGTCAGAAACTATCATAGCTAGATCGTACGTAGCC … Ч...
Часть 3: ДНК-чипы  —  перв ая попытка   секвенирования   с помощью  коротки х   ридов
ДНК-чипы: от идеи до новой индустрии <ul><li>1989 : Радое Дрманач, Андрей Мирзабеков и Эдвин Саутерн независимо друг от др...
ДНК-чипы: реализация  <ul><li>Синтезировать все  k -меры в каждой из 4 k  ячеек матрицы.  </li></ul><ul><li>Покрыть матриц...
ДНК-чипы: иллюстрация
ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>AAA AGA CAA CGA GAA GGA TAA TGA AAC AGC CAC CGC GAC GGC TAC TGC AAG A...
ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT ||| ATG  CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT ATG CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT ATG CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT ATG CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT ATG CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><li>Значит,  3- мер   ATG   встречается где-то в геноме ! </li></...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC    GTG </li></ul></ul><u...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC </li></ul></ul><ul><ul><l...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
Красные  3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC     GTG </li></ul></ul><...
От биологических данных к вычислительной задаче <ul><li>Цель : построить наиболее короткий геном, содержащий все имеющиеся...
Часть 4: Два математических обхода
Ке нигсберг ские мосты <ul><li>Жители Кенигсберга в Пруссии (ныне Калининград в России) любили гулять. </li></ul>
Ке нигсберг ские мосты <ul><li>Можно ли пройти по городу, проходя по каждому мосту  ровно один раз  и вернуться туда, отку...
Ке нигсберг ские мосты <ul><li>1735 : Леонард Эйлер развивает подход к задаче для  любого  города, даже для города с милли...
Икосаэдрическая ( Icosian ) игра <ul><li>Проходит более столетия... </li></ul><ul><li>1857 : Ирландский математик Уильям Г...
Похожие задачи с очень разными  судьба ми  <ul><li>Эти две задачи формулируются в целом похоже:  </li></ul><ul><ul><li>Най...
Часть 5: Введение в   теорию   графов
Графы <ul><li>Граф   — это сеть из двух типов объектов : </li></ul><ul><ul><li>Вершины : каждая вершина представлена точко...
Граф К е нигсберг ских мостов <ul><li>Для задачи о Кёнигсбергских мостах мы создаём  граф : </li></ul><ul><ul><li>Вершины ...
Граф  Икосаэдрической  игры <ul><li>Для Икосаэдрической игры мы создаём  граф : </li></ul><ul><ul><li>Вершины  = острова; ...
Эйлеров   и   Гамильтонов  циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа  G . </li></ul><ul><li>Муравей може...
Эйлеров   и   Гамильтонов  циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа  G . </li></ul><ul><li>Муравей може...
Эйлеров   и   Гамильтонов  циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа  G . </li></ul><ul><li>Муравей може...
Эйлеров   и   Гамильтонов  циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа  G . </li></ul><ul><li>Муравей може...
Эйлеров   и   Гамильтонов  циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа  G . </li></ul><ul><li>Муравей може...
Эйлеров   и   Гамильтонов  циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа  G . </li></ul><ul><li>Муравей може...
Эйлеров   и   Гамильтонов  циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа  G . </li></ul><ul><li>Муравей може...
Эйлеров   и   Гамильтонов  циклы <ul><li>Два вопроса: </li></ul><ul><ul><li>Существует ли в  G  цикл, в котором муравей пр...
Эйлеров   и   Гамильтонов  циклы <ul><li>Два вопроса: </li></ul><ul><ul><li>Существует ли в  G  цикл, в котором муравей пр...
Эйлеров цикл <ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, со...
Эйлеров цикл <ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, со...
Эйлеров цикл <ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, со...
<ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий тако...
<ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий тако...
<ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий тако...
<ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий тако...
<ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий тако...
<ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий тако...
<ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий тако...
Эйлеров цикл <ul><li>Эйлеров цикл  —  это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, со...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul>...
Поиск   Эйлерова цикла   и   Гамильтонова цикла <ul><li>Если нам дан граф  G , то возникают два вопроса насчёт  G : </li><...
Часть 6: Теорема Эйлера
Теорема Эйлера <ul><li>А теперь посмотрим, как Эйлер решил задачу о Кёнигсбергских мостах. </li></ul><ul><li>Вы можете пре...
Ориентированные графы <ul><li>Ориентированный граф  — граф, в котором каждое ребро имеет направление (представленное стрел...
Эйлеров цикл   в   о риентированн ом  граф е <ul><li>Эйлеров цикл  в ориентированном графе ‒ это цикл, который проходит вс...
<ul><li>входящая степень ( v ) = число ребер, ведущих в вершину  v . </li></ul><ul><li>исходящая степень ( v ) = число реб...
<ul><li>входящая степень ( v ) = число ребер, ведущих к вершине  v . </li></ul><ul><li>исходящая степень ( v ) = число реб...
Теорема Эйлера <ul><li>Теорема Эйлера : ориентированный граф  G  эйлеров тогда и только тогда, когда  G  связен и сбаланси...
Proof of Euler’s Theorem:  Eulerian   Balanced <ul><li>Every time an Eulerian cycle passes through a vertex  v , it must e...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk al...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk al...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk al...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk al...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk al...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk al...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk al...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk al...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>Where will the ant stop? Can it stop in a vertex  w  different from ...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>Where will the ant stop? Can it stop in a vertex  w  different from ...
Proof of Euler’s Theorem:  Balanced  Eulerian <ul><li>After this random walk, the ant cannot get stuck in an intermediate ...
Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges?  </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is...
Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges?  </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is...
Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges?  </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is...
Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges?  </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is...
Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges?  </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is...
Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges?  </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is...
Can Red and Green Ants Combine Their Cycles Into a Single One?
Changing the Starting Vertex of the Red Ant
Now Red and Green Ant Start at the Same Vertex
Since Red and Green Ants Now Start at the Same Vertex, Their Walks Can be Combined into a Single Superwalk!    If two ants...
Часть 7:  Э йлеров цикл против гамильтонова цикла и алгоритмическая сложность
Решение задачи  об  эйлеров ом  цикл е <ul><li>По теореме Эйлера для выяснения того, содержит ли связный граф  G  эйлеров ...
Связный  +  Сбалансированный  =  Эйлеров <ul><li>Вернёмся к ориентированному графу из примера. </li></ul><ul><li>Здесь гра...
<ul><li>Вернёмся к ориентированному графу из примера. </li></ul><ul><li>Здесь граф не сбалансирован, следовательно, не эйл...
Поиск эффективного алгоритма решения  HCP  <ul><li>Никто не знает столь же эффективного теста для определения, гамильтонов...
NP -полные задачи <ul><li>Задача о гамильтоновом цикле классифицируется как  NP -полная . </li></ul><ul><li>Изъясняясь неп...
NP -полные задачи <ul><li>Попытка решить любую  NP -полную задачу сложна. </li></ul>« Я не могу найти эффективного алгорит...
NP -полные задачи <ul><li>Попытка решить любую  NP -полную задачу сложна. </li></ul><ul><li>Остаётся надеяться, что мы тер...
NP -полные задачи <ul><li>Попытка решить любую  NP -полную задачу сложна. </li></ul><ul><li>Остаётся надеяться, что мы тер...
NP -полнота задачи  о  гамильтонов ом  цикл е <ul><li>Вопрос, могут ли  NP -полные задачи (в т. ч. задачи гамильтонова цик...
Часть 8: От Эйлера и Гамильтона к  сборк е  фрагментов
Несколько упрощений <ul><li>Каждый  k -мер, встречающийся в геноме, встречается хотя бы в одном риде. </li></ul><ul><li>Сч...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создадим в графе  H   вершины, соответствующие всем  k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Первый подход: граф  H <ul><li>Создавая ребра графа   H ,  соединим вершину   v   и вершину   w  ориентированным ребром , ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul>ATG C...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG     TGG </li></ul><...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG     TGG     GGC </...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG     TGG     GGC  ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG     TGG     GGC  ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG     TGG     GGC  ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG     TGG     GGC  ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG     TGG     GGC  ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG     TGG     GGC  ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG     TGG     GGC  ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG     TGG     GGC  ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>A TG      TG G    GGC ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    T GG      GG C ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    G GC   ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Гамильтонов цикл   в графе   H <ul><li>В графе   H   есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG    TGG    GGC    ...
Проблема с графом  H <ul><li>Итак, мы должны найти гамильтонов цикл в графе  H , чтобы найти искомую последовательность. <...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все   префик...
Второй подход: граф  E <ul><li>Сформируем иной граф   E   следующим образ...
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Guests 2011-10-04-pevzner-assembly
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Guests 2011-10-04-pevzner-assembly

861 views
766 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
861
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
408
Actions
Shares
0
Downloads
9
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Guests 2011-10-04-pevzner-assembly

  1. 1. Реконструкция генома: пазл с миллиардом частей Филлип Компо и Павел Певзнер, Калифорнийский университет, Сан-Диего
  2. 2. Вопрос Номер 1: Кто Эти Люди?
  3. 3. Содержание <ul><li>Введение в секвенирование генома </li></ul><ul><li>Задача о газете </li></ul><ul><li>ДНК-чипы: первая попытка секвенирования короткими ридами </li></ul><ul><li>Два математических обхода </li></ul><ul><li>Введение в теорию графов </li></ul><ul><li>Теорема Эйлера </li></ul><ul><li>Эйлеров цикл против гамильтонова цикла и алгоритмическая сложность </li></ul><ul><li>От Эйлера и Гамильтона — к сборке фрагментов </li></ul><ul><li>Де Брюйн и итоговое решение для сборки фрагментов </li></ul><ul><li>Обобщая сборку фрагментов </li></ul>
  4. 4. Часть 1: Введение в секвенирование генома
  5. 5. Что такое секвенирование генома? <ul><li>Геном можно рассматривать как книгу, написанную при помощи алфавита, содержащего лишь 4 буквы — это нуклеотиды : A, T, G и C. </li></ul><ul><li>В человеческом геноме содержится около 3 миллиардов нуклеотидов. </li></ul><ul><li>Секвенирование генома — процесс выявления последовательности нуклеотидов, составляющих геном. </li></ul>...CTGATGATGGACTACGCTACTACTGCTAGCTGTATTACGATCAGCTACCACATCGTAGCTACGATGCATTAGCAAGCTATCGATCGATCGATCGATTATCTACGATCGATCGATCGATCACTATACGAGCTACTACGTACGTACGATCGCGGGACTATTATCGACTACAGATAAAACATGCTAGTACAACAGTATACATAGCTGCGGGATACGATTAGCTAATAGCTGACGATATATAGCCGAGCGGCTACGATGATGCTAGCTGTACAGCTGATGATCTAGCTATCGATGCGATCGATGCGCGAGTGCGATCGATCACTTCGAGCTAGCTGATCGATCGATGCTAGCTAGCTGACTGATCATGGCGTTAGCTAGCTAGCTGATCGTCGATCGTACGTAGCTGATTACGATCGTCCGATCGTGCTATGACGTACGAGGCGGCTACGTAGCATGCTAGCTGACTGATGTAGCTAGCTATACGATACTATATATTCGATCGATTTATTACCATGACTGACGCGCATCGCTGTACACGTACTAGCTGATCGATGCTAGTCGATCGATCGATCATGTTATATATCGCGGCGCATCGATCGACTGCTCGATTATCGATACGTCGATCGCTGTATATACGTCTTTATAGCTAGGAGCATAGCGACGCGCTATCGATCGATCGTCTAGTCGACTGATCGTACTAGCTGACGCTGACGACTAGCTAGCTATCGACGATCGTAGTGCGATTACTAGCTAGGATCCTACTGTACGTCAGTCAGTCTGATCGATAGCGAGGAAAGCGAGACTGATCGTTCTCTAGATGTAGCTGATGTGACTACTATACTACTGGCAGCGATCGGGA…
  6. 6. Что такое секвенирование генома? <ul><li>Разные люди имеют слегка различные геномы: у всех людей общие 99.9% генетического кода. </li></ul><ul><li>Разница в 0.1% касается роста, цвета глаз, склонности к высокому уровню холестерина и т. д. </li></ul>CTGATGATGGACTACGCTACTACTGCTAGCTGTATTACGATCAGCTAC C ACATCGTAGCTACGATGCATTAGCAAGCTATCGATCGATCGATCGATTATCTACGATCGATCGATCGATCACTATACGAGCTACTACGTACGTACGATCGCG G GACTATTATCGACTACAGAT A AAACATGCTAGTACAACAGTATACATAGCTGCGGGATACGATTAGCTAATAGCTGACGATATCCGAT CTGATGATGGACTACGCTACTACTGCTAGCTGTATTACGATCAGCTAC A ACATCGTAGCTACGATGCATTAGCAAGCTATCGATCGATCGATCGATTATCTACGATCGATCGATCGATCACTATACGAGCTACTACGTACGTACGATCGCG T GACTATTATCGACTACAGAT G AAACATGCTAGTACAACAGTATACATAGCTGCGGGATACGATTAGCTAATAGCTGACGATATCCGAT
  7. 7. Видовое и индивидуальное секвенирование <ul><li>Видовое секвенирование : определить «общий геном» всего вида. </li></ul>
  8. 8. Видовое и индивидуальное секвенирование <ul><li>Индивидуальное секвенирование: определить, насколько индивидуум отличается от вида. </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Видовое cеквенирование генома: </li></ul><ul><li>Сравнить различные виды (например, человек и шимпанзе), чтобы понять, как функционируют их гены (например, какие гены важны для развития головного мозга). </li></ul><ul><li>Выявить эволюционное родство между видами. </li></ul><ul><li>Определить генетический состав наших эволюционных предков. </li></ul>Зачем мы хотим секвенировать геном?
  10. 10. Зачем мы хотим секвенировать геном? <ul><li>Индивидуальное секвенирование генома: </li></ul><ul><li>Открытие генетической основы многих заболеваний; </li></ul><ul><li>Судебные исследования. </li></ul><ul><li>Пример: в 2010 г. 6-летний Николас Волкер стал первым человеком, которого удалось спасти благодаря секвенированию генома. </li></ul><ul><li>Доктора не могли диагностировать его состояние, вызывавшее странные инфекции; он побывал в сотне врачебных кабинетов. </li></ul><ul><li>Последовательность генома выявила редкую мутацию в гене, ведущую к дефекту в его иммунной системе. </li></ul><ul><li>Это подтолкнуло врачей к использованию более глубокой иммунотерапии, что и спасло ребёнка. </li></ul>
  11. 11. Краткая история секвенирования генома <ul><li>Конец 1970 -х: Уолтер Гилберт и Фредерик Сэнгер развивают независимые методы секвенирования. </li></ul><ul><li>1980 : Они получают Нобелевскую премию по химии. </li></ul><ul><li>Однако их методы выявления последовательности были слишком дороги для больших геномов: при расходах в 1 доллар на нуклеотид расшифровка человеческого генома стоила бы 3 миллиарда долларов. </li></ul>Уолтер Гилберт Фредерик Сэнгер
  12. 12. Краткая история секвенирования генома <ul><li>1990 : Общественный проект «Человеческий геном», возглавляемый Фрэнсисом Коллинзом, задаётся целью расшифровать человеческий геном. </li></ul><ul><li>1997 : Крейг Вентер основывает частную фирму «Celera Genomics» с той же целью. </li></ul>Фрэнсис Коллинз Крейг Вентер
  13. 13. Краткая история секвенирования генома <ul><li>2000 : Черновой вариант человеческого генома одновременно завершён (общественным) проектом «Человеческий геном» и (частной) Celera Genomics. </li></ul>
  14. 14. Краткая история секвенирования генома <ul><li>2000 -е: расшифровывается всё большее число геномов млекопитающих. </li></ul>
  15. 15. Начало персональной геномики <ul><li>2000 -е: Многие компании запускают проекты, ставящие целью на порядок уменьшить затраты на секвенирование. </li></ul><ul><li>2010 : Рождается рынок приборов, секвенирующих геном: </li></ul><ul><ul><li>Illumina уменьшает стоимость секвенирования индивидуального человеческого генома с 3 миллиардов долларов до 10 тысяч. </li></ul></ul><ul><ul><li>Complete Genomics строит в Кремниевой долине предприятие по секвенированию с производительностью сотни геномов в месяц. </li></ul></ul><ul><ul><li>Пекинский институт по исследованию геномов заказывает сотни секвенирующих машин, становясь крупнейшим центром в мире. </li></ul></ul><ul><ul><li>23andMe предлагает частичное чтение последовательности генома за 499 долларов. </li></ul></ul><ul><ul><li>Многие университеты вводят новые курсы, на которых студенты будут изучать свои собственные геномы. </li></ul></ul>
  16. 16. Будущее секвенировнания генома <ul><li>2010 -е?: Секвенирование генома будет, надеемся, продолжать развиваться. </li></ul><ul><li>Секвенирование человеческого генома за 1000 долларов может стать реальностью уже в 2012 году. </li></ul><ul><li>Вероятно, секвенирование индивидуального генома вскоре станет таким же рутинным делом, как рентгеновский снимок. </li></ul>
  17. 17. Что делает секвенирование генома трудн ым ? <ul><li>Когда мы читаем книгу, мы можем прочесть её всю по букве от начала до конца. </li></ul><ul><li>Однако современные машины по расшифровке не могут прочесть весь геном нуклеотид за нуклеотидом от начала до конца. Они могут читать лишь короткие отрывки, вырезанные из генома. </li></ul><ul><li>Поэтому мы можем идентифицировать очень короткие фрагменты ДНК (длиной примерно в 100 нуклеотидов), называемые риды ( reads ). </li></ul><ul><li>Но у нас нет подсказки, из какой части генома данный рид! </li></ul><ul><li>Мы должны выяснить, как составить риды вместе, чтобы получился геном. </li></ul>
  18. 18. Часть 2: Задача о газет е и секвенирование генома
  19. 19. Задача о газете
  20. 20. Задача о газете
  21. 21. Задача о газете
  22. 22. Задача о газете
  23. 23. Задача о газете
  24. 24. Задача о газете
  25. 25. Задача о газете как «пазл с наложениями » <ul><li>Задача о газете — не то же самое, что обычный пазл: </li></ul><ul><ul><li>У нас есть множество копий одного и того же издания газеты. </li></ul></ul><ul><ul><li>Некоторые листы газеты разлетелись на мелкие клочки. </li></ul></ul><ul><li>Мы должны использовать клочки бумаги, накладывающиеся друг на друга, чтобы восстановить, что говорилось в газете. </li></ul><ul><li>Это даёт нам гигантский пазл с наложениями! </li></ul>
  26. 26. Секвенирование сложнее задач и о газете <ul><li>В задаче о газете на нас работают правила языка и здравый смысл (например, « убийство » и « подозреваемый » скорее встретятся в газете рядом друг с другом) . </li></ul><ul><li>Однако « язык » ДНК остаётся по большей части нея с ным. </li></ul>
  27. 27. Секвенирование сложнее задач и о газете <ul><li>В каждом геноме есть много повторяющихся подстрок (50% человеческого генома — повторения). </li></ul><ul><ul><li>Пример : GCTT встречается четыре раза в строке </li></ul></ul><ul><li>AA GCTT CTATT GCTT AATTG GCTT GCTTC GCTT TG </li></ul><ul><li>Аналогия: треугольный пазл содержит множество повторяющихся фигур. Это сильно затрудняет его решение (даже с 16 кусочками). </li></ul>
  28. 28. Секвенирование: лаборатория + вычисления <ul><li>Генерация ридов ( лабораторная ): Считать множество ридов из многих копий одного генома. </li></ul><ul><li>Сборка фрагментов ( вычислительная ): Собрать геном из этих ридов с помощью эффективного алгоритма . </li></ul>
  29. 29. Секвенирование генома : иллюстрация Много копий генома
  30. 30. Секвенирование генома: иллюстрация Много копий генома Чтение ридов
  31. 31. Секвенирование генома: иллюстрация Много копий генома Риды Чтение ридов
  32. 32. Секвенирование генома: иллюстрация Много копий генома Риды Чтение ридов Сборка фрагментов
  33. 33. Секвенирование генома: иллюстрация Много копий генома Риды Собранный геном … GGCATGCGTCAGAAACTATCATAGCTAGATCGTACGTAGCC … Чтение ридов Сборка фрагментов
  34. 34. Часть 3: ДНК-чипы  — перв ая попытка секвенирования с помощью коротки х ридов
  35. 35. ДНК-чипы: от идеи до новой индустрии <ul><li>1989 : Радое Дрманач, Андрей Мирзабеков и Эдвин Саутерн независимо друг от друга вводят понятие ДНК-чипов ( матриц ) для чтения ридов. </li></ul><ul><li>Ключевая идея : считать все k -меры * генома в надежде, что из них может быть собран геном. </li></ul><ul><li>1989 : журнал Science пишет: «Использование ДНК-матриц для определения последовательности было бы всего лишь заменой одной безнадежной задачи на другую.» </li></ul><ul><li>2000 : Матрицы ‒ индустрия с миллиардами долларов. </li></ul>Саутерн Мирзабеков Дрманач k- мер : Строка длины k ( над алфавитом из четырех нуклеотидов )
  36. 36. ДНК-чипы: реализация <ul><li>Синтезировать все k -меры в каждой из 4 k ячеек матрицы. </li></ul><ul><li>Покрыть матрицу многими копиями флуоресцентно помеченного фрагмента неизвестной ДНК. </li></ul><ul><li>ДНК гибридизирует с k -мером, если они дополняют друг друга. </li></ul><ul><li>Использовать спектроскоп, чтобы определить, какие ячейки излучают свет — дополнения к этим ячейкам выявят k -меры неизвестного фрагмента ДНК. Это и есть искомые риды! </li></ul>
  37. 37. ДНК-чипы: иллюстрация
  38. 38. ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>AAA AGA CAA CGA GAA GGA TAA TGA AAC AGC CAC CGC GAC GGC TAC TGC AAG AGG CAG CGG GAG GGG TAG TGG AAT AGT CAT CGT GAT GGT TAT TGT ACA ATA CCA CTA GCA GTA TCA TTA ACC ATC CCC CTC GCC GTC TCC TTC ACG ATG CCG CTG GCG GTG TCG TTG ACT ATT CCT CTT GCT GTT TCT TTT
  39. 39. ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  40. 40. ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT ||| ATG CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  41. 41. ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT ATG CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  42. 42. ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT ATG CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  43. 43. ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT ATG CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  44. 44. ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul>CAT ATG CAC CGC TGC CAT CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  45. 45. ДНК-чипы: пример <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><li>Значит, 3- мер ATG встречается где-то в геноме ! </li></ul>ATG CAC CGC TGC ATG CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  46. 46. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA  TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA  TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCC  GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>TTG  CAA </li></ul></ul>CAC CGC TGC ATG CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  47. 47. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul>CAC CGC TGC ATG CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  48. 48. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul>GTG CGC TGC ATG CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  49. 49. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA  TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA  TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCC  GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>TTG  CAA </li></ul></ul>GTG CGC TGC ATG CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  50. 50. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA  TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA  TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCC  GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>TTG  CAA </li></ul></ul>GTG GCG TGC ATG CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  51. 51. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC </li></ul></ul>GTG GCG TGC ATG CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  52. 52. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  53. 53. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG CCA GCA GCC ACG TTG ATT
  54. 54. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG CCA GCA GCC CGT TTG ATT
  55. 55. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG CCA GCA GCC CGT TTG ATT
  56. 56. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG CCA GCA GCC CGT TTG AAT
  57. 57. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG CCA GCA GCC CGT TTG AAT
  58. 58. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA  TGG </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG TGG GCA GCC CGT TTG AAT
  59. 59. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA  TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG TGG GCA GCC CGT TTG AAT
  60. 60. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA  TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA  TGC </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GCC CGT TTG AAT
  61. 61. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA  TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA  TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCC </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GCC CGT TTG AAT
  62. 62. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA  TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA  TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCC  GGC </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GGC CGT TTG AAT
  63. 63. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA  TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA  TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCC  GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>TTG </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GGC CGT TTG AAT
  64. 64. Красные 3- меры точно присутствуют в геноме <ul><li>Прочитанные риды: </li></ul><ul><ul><li>CAC  GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGC  GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC  GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>ACG  CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATT  AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>CCA  TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA  TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCC  GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>TTG  CAA </li></ul></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GGC CGT CAA AAT
  65. 65. От биологических данных к вычислительной задаче <ul><li>Цель : построить наиболее короткий геном, содержащий все имеющиеся риды. </li></ul><ul><li>Теперь это вычислительная задача! </li></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GGC CGT CAA AAT
  66. 66. Часть 4: Два математических обхода
  67. 67. Ке нигсберг ские мосты <ul><li>Жители Кенигсберга в Пруссии (ныне Калининград в России) любили гулять. </li></ul>
  68. 68. Ке нигсберг ские мосты <ul><li>Можно ли пройти по городу, проходя по каждому мосту ровно один раз и вернуться туда, откуда начался путь? </li></ul>
  69. 69. Ке нигсберг ские мосты <ul><li>1735 : Леонард Эйлер развивает подход к задаче для любого города, даже для города с миллионом островов. </li></ul><ul><li>Мы вскоре обсудим метод Эйлера, а равно и то, какое он имеет отношение к секвенированию генома. </li></ul>Леонард Эйлер
  70. 70. Икосаэдрическая ( Icosian ) игра <ul><li>Проходит более столетия... </li></ul><ul><li>1857 : Ирландский математик Уильям Гамильтон разрабатывает игру на доске с 20 «островами», соединёнными «мостами». </li></ul><ul><li>Цель : найти путь, посещающий каждый остров ровно один раз и возвращающийся в начальную точку. </li></ul>Уильям Гамильтон Икосаэдрическая игра
  71. 71. Похожие задачи с очень разными судьба ми <ul><li>Эти две задачи формулируются в целом похоже: </li></ul><ul><ul><li>Найти путь, который проходит через каждый мост лишь один раз (Кёнигсбергие мосты) </li></ul></ul><ul><ul><li>Найти путь, который проходит через каждый остров лишь один раз (Икосаэдрическая игра) </li></ul></ul><ul><li>Эйлер решил первую задачу (даже для города с миллионом мостов ), но математики до сих пор не знают, как решить вторую задачу, даже для города с небольшим количеством островов . </li></ul><ul><li>Однако причем же тут геномы?! </li></ul>
  72. 72. Часть 5: Введение в теорию   графов
  73. 73. Графы <ul><li>Граф — это сеть из двух типов объектов : </li></ul><ul><ul><li>Вершины : каждая вершина представлена точкой. </li></ul></ul><ul><ul><li>Рёбра : каждое ребро представлено отрезком, соединяющим две вершины. </li></ul></ul><ul><li>Теория графов может применяться к самым различным задачам: </li></ul><ul><ul><li>Транспортные сети; </li></ul></ul><ul><ul><li>Эпидемиология; </li></ul></ul><ul><ul><li>Компьютерные вирусы, распространяющиеся по интернету; </li></ul></ul><ul><ul><li>И да… секвенирование генома! </li></ul></ul>
  74. 74. Граф К е нигсберг ских мостов <ul><li>Для задачи о Кёнигсбергских мостах мы создаём граф : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = 4 участка земли; </li></ul></ul><ul><ul><li>Рёбра = 7 мостов, соединяющих участки земли. </li></ul></ul>Замечание: нам не нужно знать точное расположение вершин, как и форму мостов.
  75. 75. Граф Икосаэдрической игры <ul><li>Для Икосаэдрической игры мы создаём граф : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = острова; </li></ul></ul><ul><ul><li>Рёбра = мосты, соединяющие острова. </li></ul></ul>
  76. 76. Эйлеров и Гамильтонов циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа G . </li></ul><ul><li>Муравей может ходить от вершины к вершине вдоль рёбер G . </li></ul><ul><li>Если муравей вернётся туда, откуда он начал путь, последовательность его ходов сформирует цикл в графе G . </li></ul>
  77. 77. Эйлеров и Гамильтонов циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа G . </li></ul><ul><li>Муравей может ходить от вершины к вершине вдоль рёбер G . </li></ul><ul><li>Если муравей вернётся туда, откуда он начал путь, последовательность его ходов сформирует цикл в графе G . </li></ul>“ Here I go!”
  78. 78. Эйлеров и Гамильтонов циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа G . </li></ul><ul><li>Муравей может ходить от вершины к вершине вдоль рёбер G . </li></ul><ul><li>Если муравей вернётся туда, откуда он начал путь, последовательность его ходов сформирует цикл в графе G . </li></ul>“… He wakes up in the morning…”
  79. 79. Эйлеров и Гамильтонов циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа G . </li></ul><ul><li>Муравей может ходить от вершины к вершине вдоль рёбер G . </li></ul><ul><li>Если муравей вернётся туда, откуда он начал путь, последовательность его ходов сформирует цикл в графе G . </li></ul>“… goes to visit his mommy…”
  80. 80. Эйлеров и Гамильтонов циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа G . </li></ul><ul><li>Муравей может ходить от вершины к вершине вдоль рёбер G . </li></ul><ul><li>Если муравей вернётся туда, откуда он начал путь, последовательность его ходов сформирует цикл в графе G . </li></ul>“… when all the little ants are marching…”
  81. 81. Эйлеров и Гамильтонов циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа G . </li></ul><ul><li>Муравей может ходить от вершины к вершине вдоль рёбер G . </li></ul><ul><li>Если муравей вернётся туда, откуда он начал путь, последовательность его ходов сформирует цикл в графе G . </li></ul>“… they all do it the same way…”
  82. 82. Эйлеров и Гамильтонов циклы <ul><li>Рассмотрим муравья, стоящего на вершине графа G . </li></ul><ul><li>Муравей может ходить от вершины к вершине вдоль рёбер G . </li></ul><ul><li>Если муравей вернётся туда, откуда он начал путь, последовательность его ходов сформирует цикл в графе G . </li></ul>“ Oh no! I’m back where I started!”
  83. 83. Эйлеров и Гамильтонов циклы <ul><li>Два вопроса: </li></ul><ul><ul><li>Существует ли в G цикл, в котором муравей проходит каждое ребро точно один раз? </li></ul></ul><ul><ul><li>Существует ли в G цикл, в котором муравей проходит каждую вершину точно один раз? </li></ul></ul>“ ??? !!! ”
  84. 84. Эйлеров и Гамильтонов циклы <ul><li>Два вопроса: </li></ul><ul><ul><li>Существует ли в G цикл, в котором муравей проходит каждое ребро точно один раз? Эйлеров цикл. </li></ul></ul><ul><ul><li>Существует ли в G цикл, в котором муравей проходит каждую вершину точно один раз? Гамильтонов цикл. </li></ul></ul>“ I wish someone would name a cycle after me…I’m the one doing all the walking here!”
  85. 85. Эйлеров цикл <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul>
  86. 86. Эйлеров цикл <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul><ul><li>Если добавить два ребра, такой цикл появится, видите? </li></ul>
  87. 87. Эйлеров цикл <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul><ul><li>Если добавить два ребра, такой цикл появится, видите? </li></ul>1
  88. 88. <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul><ul><li>Если добавить два ребра, такой цикл появится, видите? </li></ul>Эйлеров цикл 1 2
  89. 89. <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul><ul><li>Если добавить два ребра, такой цикл появится, видите? </li></ul>Эйлеров цикл 1 2 3
  90. 90. <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul><ul><li>Если добавить два ребра, такой цикл появится, видите? </li></ul>Эйлеров цикл 1 2 3 4
  91. 91. <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul><ul><li>Если добавить два ребра, такой цикл появится, видите? </li></ul>Эйлеров цикл 1 2 3 4 5
  92. 92. <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul><ul><li>Если добавить два ребра, такой цикл появится, видите? </li></ul>Эйлеров цикл 1 2 3 4 5 6
  93. 93. <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul><ul><li>Если добавить два ребра, такой цикл появится, видите? </li></ul>Эйлеров цикл 1 2 3 4 5 6 7
  94. 94. <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul><ul><li>Если добавить два ребра, такой цикл появится, видите? </li></ul>Эйлеров цикл 1 2 3 4 5 6 7 8
  95. 95. Эйлеров цикл <ul><li>Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. </li></ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым . </li></ul></ul><ul><li>Если бы было решение для задачи о Кёнигсбергских мостах, то мы могли бы найти эйлеров цикл в этом графе. </li></ul><ul><li>Однако такого цикла не существует. </li></ul><ul><li>Если добавить два ребра, такой цикл появится, видите? </li></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9
  96. 96. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, называется гамильтоновым . </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Например, граф, соответствующий Икосаэдрической игре — гамильтонов. </li></ul></ul><ul><ul><li>Это означает, что Икосаэдрическая игра имеет решение! </li></ul></ul>
  97. 97. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1
  98. 98. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2
  99. 99. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3
  100. 100. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4
  101. 101. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5
  102. 102. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6
  103. 103. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7
  104. 104. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8
  105. 105. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9
  106. 106. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  107. 107. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
  108. 108. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
  109. 109. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
  110. 110. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
  111. 111. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
  112. 112. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
  113. 113. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
  114. 114. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
  115. 115. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
  116. 116. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
  117. 117. Гамильтонов цикл <ul><ul><li>Гамильтонов цикл  — это цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Граф, содержащий такой цикл, — гамильтонов . </li></ul></ul></ul>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
  118. 118. Поиск Эйлерова цикла и Гамильтонова цикла <ul><li>Если нам дан граф G , то возникают два вопроса насчёт G : </li></ul><ul><li>Задача об эйлеровом цикле (ECP): найти эйлеров цикл в  G или доказать, что G — не эйлеров. </li></ul><ul><li>Задача о гамильтоновом цикле (HCP): найти гамильтонов цикл в G или доказать, что G — не гамильтонов. </li></ul>
  119. 119. Часть 6: Теорема Эйлера
  120. 120. Теорема Эйлера <ul><li>А теперь посмотрим, как Эйлер решил задачу о Кёнигсбергских мостах. </li></ul><ul><li>Вы можете предположить: он использовал теорию графов! </li></ul><ul><li>Это не совсем корректно. Лучше было бы сказать: он изобрёл теорию графов! </li></ul>
  121. 121. Ориентированные графы <ul><li>Ориентированный граф — граф, в котором каждое ребро имеет направление (представленное стрелкой). </li></ul><ul><ul><li>Возможно, проще представить ориентированные ребра как «мосты с односторонним движением». </li></ul></ul>Неориентированный граф Ориентированный граф
  122. 122. Эйлеров цикл в о риентированн ом граф е <ul><li>Эйлеров цикл в ориентированном графе ‒ это цикл, который проходит все рёбра в правильном направлении. </li></ul><ul><li>Ориентированный граф ‒ эйлеров , если он содержит эйлеров цикл. </li></ul><ul><li>Этот граф ‒ эйлеров? Почему? </li></ul>
  123. 123. <ul><li>входящая степень ( v ) = число ребер, ведущих в вершину v . </li></ul><ul><li>исходящая степень ( v ) = число ребер, ведущих из вершины v . </li></ul><ul><li>Если входящая степень( v ) = исходящая степень( v ) для каждой вершины v , то граф сбалансирован. </li></ul><ul><li>Этот граф несбалансирован, т. к. у некоторых вершин не равны входящая и исходящая степени. </li></ul>Сбалансированные графы (1, 2) (2, 1) (1, 0) (2, 1) (1, 1) (0, 2) (1, 1)
  124. 124. <ul><li>входящая степень ( v ) = число ребер, ведущих к вершине v . </li></ul><ul><li>исходящая степень ( v ) = число ребер, ведущих из вершины v . </li></ul><ul><li>Если входящая степень( v ) = исходящая степень( v ) для каждой вершины v , то граф сбалансирован. </li></ul><ul><li>Добавлением нескольких ребер, этот граф можно сбалансировать. </li></ul>Сбалансированные графы (2, 2) (2, 2) (1, 1) (2, 2) (1, 1) (2, 2) (1, 1)
  125. 125. Теорема Эйлера <ul><li>Теорема Эйлера : ориентированный граф G эйлеров тогда и только тогда, когда G связен и сбалансирован. </li></ul><ul><ul><li>Граф — связный , если для каждой пары вершин муравей может пройти от одной вершины к другой. </li></ul></ul>(2, 2) (2, 2) (1, 1) (2, 2) (1, 1) (2, 2) (1, 1) Несвязный Связный + Сбалансированный   = Эйлеров
  126. 126. Proof of Euler’s Theorem: Eulerian Balanced <ul><li>Every time an Eulerian cycle passes through a vertex v , it must enter v by a new edge and exit v by a new edge. </li></ul><ul><li>Therefore, indegree(v)=outdegree(v) for every vertex v </li></ul>
  127. 127. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk along edges in any legal direction. The ant is not allowed to walk along the previously traversed edges. </li></ul>
  128. 128. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk along edges in any legal direction. The ant is not allowed to walk along the previously traversed edges. </li></ul>
  129. 129. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk along edges in any legal direction. The ant is not allowed to walk along the previously traversed edges. </li></ul>
  130. 130. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk along edges in any legal direction. The ant is not allowed to walk along the previously traversed edges. </li></ul>
  131. 131. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk along edges in any legal direction. The ant is not allowed to walk along the previously traversed edges. </li></ul>
  132. 132. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk along edges in any legal direction. The ant is not allowed to walk along the previously traversed edges. </li></ul>
  133. 133. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk along edges in any legal direction. The ant is not allowed to walk along the previously traversed edges. </li></ul>
  134. 134. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk along edges in any legal direction. The ant is not allowed to walk along the previously traversed edges. </li></ul>
  135. 135. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>Where will the ant stop? Can it stop in a vertex w different from v? </li></ul><ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk along edges in any legal direction. The ant is not allowed to walk along the previously traversed edges. </li></ul>3 2 4 6 5 1 7
  136. 136. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>Where will the ant stop? Can it stop in a vertex w different from v? </li></ul><ul><li>Since indegree(w)=outdegree(w), there exists an edge out of w that the ant has not traversed yet! </li></ul><ul><li>Put an ant in an arbitrary vertex v of the graph and let him walk along edges in any legal direction. The ant is not allowed to walk along the previously traversed edges. </li></ul>3 2 4 6 5 1 7
  137. 137. Proof of Euler’s Theorem: Balanced Eulerian <ul><li>After this random walk, the ant cannot get stuck in an intermediate vertex and thus will return to the vertex where he started! </li></ul>
  138. 138. Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges? </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is Eulerian. </li></ul></ul><ul><ul><li>If NO, then </li></ul></ul><ul><ul><li>remove edges traversed by the ant </li></ul></ul>
  139. 139. Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges? </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is Eulerian. </li></ul></ul><ul><ul><li>If NO, then </li></ul></ul><ul><ul><li>remove edges traversed by the ant </li></ul></ul><ul><ul><li>let the second ant </li></ul></ul><ul><ul><li>randomly walk in </li></ul></ul><ul><ul><li>the resulting (smaller) </li></ul></ul><ul><ul><li>balanced graph </li></ul></ul>
  140. 140. Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges? </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is Eulerian. </li></ul></ul><ul><ul><li>If NO, then </li></ul></ul><ul><ul><li>remove edges traversed by the ant </li></ul></ul><ul><ul><li>let the second ant </li></ul></ul><ul><ul><li>randomly walk in </li></ul></ul><ul><ul><li>the resulting (smaller) </li></ul></ul><ul><ul><li>balanced graph </li></ul></ul>
  141. 141. Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges? </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is Eulerian. </li></ul></ul><ul><ul><li>If NO, then </li></ul></ul><ul><ul><li>remove edges traversed by the ant </li></ul></ul><ul><ul><li>let the second ant </li></ul></ul><ul><ul><li>randomly walk in </li></ul></ul><ul><ul><li>the resulting (smaller) </li></ul></ul><ul><ul><li>balanced graph </li></ul></ul>
  142. 142. Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges? </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is Eulerian. </li></ul></ul><ul><ul><li>If NO, then </li></ul></ul><ul><ul><li>remove edges traversed by the ant </li></ul></ul><ul><ul><li>let the second ant </li></ul></ul><ul><ul><li>randomly walk in </li></ul></ul><ul><ul><li>the resulting (smaller) </li></ul></ul><ul><ul><li>balanced graph </li></ul></ul><ul><ul><li>until it returns </li></ul></ul><ul><ul><li>where it started </li></ul></ul>
  143. 143. Proof of Euler’s Theorem: The Second Ant <ul><li>Has the ant traversed all edges? </li></ul><ul><ul><li>If YES, then G is Eulerian. </li></ul></ul><ul><ul><li>If NO, then </li></ul></ul><ul><ul><li>remove edges traversed by the ant </li></ul></ul><ul><ul><li>let the second ant </li></ul></ul><ul><ul><li>randomly walk in </li></ul></ul><ul><ul><li>the resulting (smaller) </li></ul></ul><ul><ul><li>balanced graph </li></ul></ul><ul><ul><li>It is important that </li></ul></ul><ul><ul><li>the second ant starts </li></ul></ul><ul><ul><li>in a vertex traversed </li></ul></ul><ul><ul><li>by the first ant </li></ul></ul>
  144. 144. Can Red and Green Ants Combine Their Cycles Into a Single One?
  145. 145. Changing the Starting Vertex of the Red Ant
  146. 146. Now Red and Green Ant Start at the Same Vertex
  147. 147. Since Red and Green Ants Now Start at the Same Vertex, Their Walks Can be Combined into a Single Superwalk! If two ants still leave some edges non-traversed, bring in 3rd, 4 th , 5 th … ant
  148. 148. Часть 7: Э йлеров цикл против гамильтонова цикла и алгоритмическая сложность
  149. 149. Решение задачи об эйлеров ом цикл е <ul><li>По теореме Эйлера для выяснения того, содержит ли связный граф G эйлеров цикл, нужно лишь выяснить, сбалансирован ли G . </li></ul><ul><li>Так что мы просто подходим к каждой вершине и осуществляем эту простую проверку: </li></ul><ul><ul><li>Если каждая вершина сбалансирована, то G должен содержать эйлеров цикл. </li></ul></ul><ul><ul><li>Если какая-то вершина не сбалансирована, то G не может содержать эйлеров цикл. </li></ul></ul>
  150. 150. Связный + Сбалансированный = Эйлеров <ul><li>Вернёмся к ориентированному графу из примера. </li></ul><ul><li>Здесь граф не сбалансирован, следовательно, не эйлеров. </li></ul>(1, 2) (2, 1) (1, 0) (1, 1) (0, 2) (1, 1) (2, 1)
  151. 151. <ul><li>Вернёмся к ориентированному графу из примера. </li></ul><ul><li>Здесь граф не сбалансирован, следовательно, не эйлеров. </li></ul><ul><li>После добавления рёбер и балансировки графа, эйлеров цикл будет существовать. </li></ul>Связный + Сбалансированный = Эйлеров (2, 2) (2, 2) (1, 1) (1, 1) (2, 2) (1, 1) 1 2 3 7 6 5 4 8 9 10 11 (2, 2)
  152. 152. Поиск эффективного алгоритма решения HCP <ul><li>Никто не знает столь же эффективного теста для определения, гамильтонов ли граф. </li></ul><ul><li>Конечно, мы можем исследовать все возможные прохождения муравья по графу. </li></ul><ul><li>Однако этот грубый подход просто неэффективен: даже по графу с 1000 вершин существует больше вариантов прохождений, чем атомов во вселенной! </li></ul>
  153. 153. NP -полные задачи <ul><li>Задача о гамильтоновом цикле классифицируется как NP -полная . </li></ul><ul><li>Изъясняясь непрофессиональным языком, это значит, что задача гамильтонова цикла относится к тысячам вычислительных задач, которые не могут быть решены быстро для больших входных данных. </li></ul><ul><li>NP -полные проблемы эквивалентны друг другу: найдя эффективное решение для одной из них, вы получите эффективное решение для всех. </li></ul>
  154. 154. NP -полные задачи <ul><li>Попытка решить любую NP -полную задачу сложна. </li></ul>« Я не могу найти эффективного алгоритма, наверное, я просто слишком глуп. » Из Гэри и Джонсон. Компьютеры и трудность. 1979
  155. 155. NP -полные задачи <ul><li>Попытка решить любую NP -полную задачу сложна. </li></ul><ul><li>Остаётся надеяться, что мы терпим неудачу потому, что эффективного алгоритма для NP -полных задач — не существует. </li></ul>« Я не могу найти эффективного алгоритма, потому что такого алгоритма не может быть. » Из Гэри и Джонсон. Компьютеры и трудность. 1979
  156. 156. NP -полные задачи <ul><li>Попытка решить любую NP -полную задачу сложна. </li></ul><ul><li>Остаётся надеяться, что мы терпим неудачу потому, что эффективного алгоритма для NP -полных задач — не существует. </li></ul><ul><li>Текущее состояние дел — где-то посередине. </li></ul>« Я не могу найти эффективного алгоритма, но и все эти велики е люди тоже не могут. » Из Гэри и Джонсон. Компьютеры и трудность. 1979
  157. 157. NP -полнота задачи о гамильтонов ом цикл е <ul><li>Вопрос, могут ли NP -полные задачи (в т. ч. задачи гамильтонова цикла) быть эффективно решены, — одна из семи математических задач тысячелетия. </li></ul><ul><li>Найдите эффективный алгоритм для задачи о гамильтоновом цикле или докажите, что такого алгоритма не существует, и вы получите миллион долларов. </li></ul><ul><li>Однако если вы станете математиком, есть вероятность, что вы занимаетесь наукой не ради $$$ ... недавно Григорий Перельман решил одну из задач тысячелетия, но отказался от премии. </li></ul>Григорий Перельман, легенда
  158. 158. Часть 8: От Эйлера и Гамильтона к сборк е фрагментов
  159. 159. Несколько упрощений <ul><li>Каждый k -мер, встречающийся в геноме, встречается хотя бы в одном риде. </li></ul><ul><li>Считывания безошибочны. </li></ul><ul><li>Каждый k -мер, встречающийся в геноме, встречается в нем ровно один раз. </li></ul><ul><li>Исследуемый геном — одна кольцевая хромосома. </li></ul><ul><li>В финальной части мы откажемся от этих предположений. </li></ul>
  160. 160. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GGC CGT CAA AAT
  161. 161. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GTG GCG GCA ATG TGG TGC GGC CGT CAA AAT
  162. 162. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GCG GCG GCA ATG TGG TGC GGC CGT CAA AAT
  163. 163. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GCG GCA GCA ATG TGG TGC GGC CGT CAA AAT
  164. 164. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GCG GCA ATG ATG TGG TGC GGC CGT CAA AAT
  165. 165. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGG TGC GGC CGT CAA AAT
  166. 166. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC TGC GGC CGT CAA AAT
  167. 167. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GGC GGC CGT CAA AAT
  168. 168. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GGC CGT CGT CAA AAT
  169. 169. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GGC CGT CAA CAA AAT
  170. 170. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>GTG GCG GCA ATG TGG TGC GGC CGT CAA AAT AAT
  171. 171. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  172. 172. Первый подход: граф H <ul><li>Создадим в графе H вершины, соответствующие всем k -мерам, найденным с помощью ДНК-чипа. </li></ul><ul><ul><li>Префикс  — это первые k – 1 нуклеотидов k- мера ( CA A ) </li></ul></ul><ul><ul><li>Суффикс  — последние k – 1 нуклеотидов k- мера ( C AA ) </li></ul></ul><ul><li>Разные 3-меры могут иметь общий префикс/суффикс: A TG , TG A, C TG </li></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  173. 173. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>A TG CGT GGC AAT GTG TG G TG C CAA GCA GCG
  174. 174. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>A TG CGT GGC AAT GTG TG G TG C CAA GCA GCG
  175. 175. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>ATG C GT GGC AAT GT G TGG TGC CAA GCA GCG
  176. 176. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>ATG CGT G GC AAT GTG TGG TGC CAA GC A GC G
  177. 177. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>AT G CGT GGC A AT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  178. 178. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>ATG CGT GGC AAT G TG TG G TG C CAA GCA GCG
  179. 179. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>ATG CGT GG C AAT GTG T GG TGC CAA GCA GCG
  180. 180. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG T GC CAA GC A GC G
  181. 181. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>ATG CGT GGC AA T GTG TGG TGC C AA GCA GCG
  182. 182. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CA A G CA GCG
  183. 183. Первый подход: граф H <ul><li>Создавая ребра графа H , соединим вершину v и вершину w ориентированным ребром , если суффикс v совпадает с префиксом w . </li></ul>ATG CG T GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA G CG
  184. 184. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  185. 185. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  186. 186. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  187. 187. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  188. 188. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  189. 189. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  190. 190. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  191. 191. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  192. 192. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  193. 193. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  194. 194. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  195. 195. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul>ATG CGT GGC AAT GTG TGG TGC CAA GCA GCG
  196. 196. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul>
  197. 197. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul>Геном : T G A
  198. 198. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>A TG  TG G  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>A TG </li></ul></ul><ul><ul><li>TG G </li></ul></ul><ul><ul><li>A TG G </li></ul></ul>Геном : T G G A
  199. 199. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  T GG  GG C  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>T GG </li></ul></ul><ul><ul><li>GG C </li></ul></ul><ul><ul><li>AT GG C </li></ul></ul>Геном : T G G C A
  200. 200. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  G GC  GC G  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>G GC </li></ul></ul><ul><ul><li>GC G </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG GC G </li></ul></ul>Геном : T G G C G A
  201. 201. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  G CG  CG T  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>G CG </li></ul></ul><ul><ul><li>CG T </li></ul></ul><ul><ul><li>ATGG CG T </li></ul></ul>Геном : T G G C G T A
  202. 202. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>C GT </li></ul></ul><ul><ul><li>GT G </li></ul></ul><ul><ul><li>ATGGC GT G </li></ul></ul>Геном : T G G C G T G A
  203. 203. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  G TG  TG C  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>G TG </li></ul></ul><ul><ul><li>TG C </li></ul></ul><ul><ul><li>ATGGCG TG C </li></ul></ul>Геном : T G G C G T G C A
  204. 204. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  T GC  GC A  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>T GC </li></ul></ul><ul><ul><li>GC A </li></ul></ul><ul><ul><li>ATGGCGT GC A </li></ul></ul>Геном : T G G C G T G C A A
  205. 205. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  G CA  CA A  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>G CA </li></ul></ul><ul><ul><li>CA A </li></ul></ul><ul><ul><li>ATGGCGTG CA A </li></ul></ul>Геном : A T G G C G T G C A
  206. 206. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  C AA  AA T  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>C AA </li></ul></ul><ul><ul><li>AA T </li></ul></ul><ul><ul><li>ATGGCGTGC AA T </li></ul></ul>Геном : A T G G C G T G C A
  207. 207. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>CAA </li></ul></ul><ul><ul><li>A AT </li></ul></ul><ul><ul><li>AT G </li></ul></ul><ul><ul><li>ATGGCGTGCA AT G </li></ul></ul>Геном : A T G G C G T G C A
  208. 208. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>CAA </li></ul></ul><ul><ul><li>AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATGGCGTGCAATG </li></ul></ul>Геном : A T G G C G T G C A
  209. 209. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGG </li></ul></ul><ul><ul><li>GGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCG </li></ul></ul><ul><ul><li>CGT </li></ul></ul><ul><ul><li>GTG </li></ul></ul><ul><ul><li>TGC </li></ul></ul><ul><ul><li>GCA </li></ul></ul><ul><ul><li>CAA </li></ul></ul><ul><ul><li>AAT </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG </li></ul></ul><ul><ul><li>ATG GCGTGCA ATG </li></ul></ul>Геном : A T G G C G T G C A
  210. 210. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul>Геном : A T G G C G T G C A
  211. 211. Гамильтонов цикл в графе H <ul><li>В графе H есть гамильтонов цикл: </li></ul><ul><ul><li>ATG  TGG  GGC  GCG  CGT  GTG  TGC  GCA  CAA  AAT  ATG </li></ul></ul>Геном : A T G G C G T G C A
  212. 212. Проблема с графом H <ul><li>Итак, мы должны найти гамильтонов цикл в графе  H , чтобы найти искомую последовательность. </li></ul><ul><li>На этой идее базировался метод сборки человеческого генома из 50 миллионов (долгих и дорогих) ридов в 2000 г., но вычислительная нагрузка была непомерно высока: секвенирование человеческого генома заняло несколько компьютеро-месяцев (в круглосуточном режиме работы). </li></ul><ul><li>С новейшими технологиями секвенируются миллиарды (коротких и недорогих) ридов: нужна новая идея. </li></ul>
  213. 213. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  214. 214. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TGC GGC CGT CAA AAT GT G GCG GCA ATG TGG Риды
  215. 215. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG TGC GGC CGT CAA AAT G TG GCG GCA ATG TGG Риды
  216. 216. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC TGC GGC CGT CAA AAT GTG GC G GCA ATG TGG Риды
  217. 217. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG TGC GGC CGT CAA AAT GTG G CG GCA ATG TGG Риды
  218. 218. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GC A ATG TGG Риды
  219. 219. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG G CA ATG TGG Риды
  220. 220. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA AT G TGG Риды
  221. 221. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA A TG TGG Риды
  222. 222. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TG G Риды
  223. 223. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG T GG Риды
  224. 224. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG TG C GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  225. 225. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG T GC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  226. 226. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG TGC GG C CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  227. 227. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG TGC G GC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  228. 228. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG TGC GGC CG T CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  229. 229. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG TGC GGC C GT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  230. 230. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG TGC GGC CGT CA A AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  231. 231. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG AA TGC GGC CGT C AA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  232. 232. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG AA TGC GGC CGT CAA AA T GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  233. 233. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>GT TG GC CG CA AT GG AA TGC GGC CGT CAA A AT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  234. 234. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul>CA GC CG TG GT GG AT AA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  235. 235. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul><ul><ul><li>Соединим вершины v и w ориентированным ребром, если есть k - мер, в котором префикс — это v , а суффикс — это w . </li></ul></ul>CA GC CG TG GT GG AT AA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды
  236. 236. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul><ul><ul><li>Соединим вершины v и w ориентированным ребром, если есть k - мер, в котором префикс — это v , а суффикс — это w . </li></ul></ul>CA GC CG TG GT GG AT AA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды GTG
  237. 237. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul><ul><ul><li>Соединим вершины v и w ориентированным ребром, если есть k - мер, в котором префикс — это v , а суффикс — это w . </li></ul></ul>CA GC CG TG GT GG AT AA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды GCG GTG
  238. 238. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul><ul><ul><li>Соединим вершины v и w ориентированным ребром, если есть k - мер, в котором префикс — это v , а суффикс — это w . </li></ul></ul>CA GC CG TG GT GG AT AA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды GCG GTG GCA
  239. 239. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul><ul><ul><li>Соединим вершины v и w ориентированным ребром, если есть k - мер, в котором префикс — это v , а суффикс — это w . </li></ul></ul>CA GC CG TG GT GG AT AA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды ATG GCG GTG GCA
  240. 240. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul><ul><ul><li>Соединим вершины v и w ориентированным ребром, если есть k - мер, в котором префикс — это v , а суффикс — это w . </li></ul></ul>CA GC CG TG GT GG AT AA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды ATG TGG GCG GTG GCA
  241. 241. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul><ul><ul><li>Соединим вершины v и w ориентированным ребром, если есть k - мер, в котором префикс — это v , а суффикс — это w . </li></ul></ul>CA GC CG TG GT GG AT AA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды ATG TGG GCG GTG TGC GCA
  242. 242. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul><ul><ul><li>Соединим вершины v и w ориентированным ребром, если есть k - мер, в котором префикс — это v , а суффикс — это w . </li></ul></ul>CA GC CG TG GT GG AT AA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды ATG TGG GGC GCG GTG TGC GCA
  243. 243. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = все префиксы и суффиксы всех k - меров . </li></ul></ul><ul><ul><li>Соединим вершины v и w ориентированным ребром, если есть k - мер, в котором префикс — это v , а суффикс — это w . </li></ul></ul>CA GC CG TG GT GG AT AA TGC GGC CGT CAA AAT GTG GCG GCA ATG TGG Риды ATG TGG GGC GCG CGT GTG TGC GCA
  244. 244. Второй подход: граф E <ul><li>Сформируем иной граф E следующим образом : </li></ul><ul><ul><li>Вершины = вс

×