Your SlideShare is downloading. ×
0
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Curs 9: Grafuri orientate
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Curs 9: Grafuri orientate

572

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
572
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
19
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Curs 9: Grafuri orientate Teoria grafurilor Radu Dumbr˘veanu a Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti a, Facultatea de Stiinte Reale , , Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a a ¸ ¸ Distribuire-ˆ ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0) ¸ a B˘lti, 2013 a, R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 1/1
  • 2. Graf orientat; Arce Definitie , Un graf orientat este o pereche G = (V , E) de multimi unde E este o , multime de perechi ordonate de elemente din V . , Elementele multimii V se numesc vˆ ırfurile grafului G; elementele multimii , , E se numesc arcele grafului G. Multimea arcelor este o submultime a produsului cartezian V × V . , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 2/1
  • 3. Reprezentarea grafic˘ a v x u z y G = ({u, v, x, y, z}, {(u, v), (u, x), (u, y), (u, z)}) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 3/1
  • 4. Reprezentarea grafic˘ a v x u z y H = (V , E) unde V = {u, v, x, y, z}, E = {vx, xy, zy, vz} R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 4/1
  • 5. Grade Gradul exterior al vˆ ırfului v se noteaz˘ d + (v) ¸i este egal cu num˘rul de a s a arce care au ca extremitate initial˘ pe v. ¸ a Gradul interior al vˆ ırfului v se noteaz˘ d − (v) ¸i este egal cu num˘rul de a s a arce care au ca extremitate final˘ pe v. a Se numeste succesor al vˆ ırfului v oirce vˆ la care ajunge un arc care iese ırf , din vˆ ırful v Se numeste predecesor al vˆ ırfului vˆ orice vˆ la care intr˘ un arc in ırf ırf a , vˆ ırful v R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 5/1
  • 6. Grade v x u z y Succesorul vˆ ırfului x este y; predecesorul lui x este v. Grade interioare si exterioare: d − (x) = d + (x) = 1; d − (y) = 2 si , , d + (y) = 0. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 6/1
  • 7. Drum; Circuit Se numeste drum ˆ ¸ ıntr-un graf orientat o secvent˘ de vˆ ¸a ırfuri v1 , v2 , ..., vn , astfel ˆ ıt pentru oricare dou˘ vˆ ıncˆ a ırfuri consecutive vi ¸i vi+1 exist˘ arcul s a (vi , vi+1 ). Un drum ˆ ınchis, ˆ ınceputul si sfˆ , itul coincid, se numeste circuit. ırs , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 7/1
  • 8. Drum vs Lant; Circuit vs ciclu , v1 v4 v2 v0 v3 Drum de la v0 la v3 : (v0 , v1 , v2 , v3 ). Lant care nu este drum: (v1 , v2 , v4 ). , ˆ general nu exist˘ drumuri care s˘ se termine ˆ v4 . In a a ın Cicuit: v1 , v2 , v3 , v1 . Ciclu, dar nu si circuit: v0 , v1 , v3 , v0 . , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 8/1
  • 9. Secvente infinite de vˆ ırfuri , Lemma a ırfuri (v0 , v1 , ...) astfel ˆ ıt ıncˆ Dac˘ un digraf contine o secvent˘ infinit˘ de vˆ a , ,a vi−1 vi este un arc pentru orice i > 0, atunci G contine un circuit. , v2 v1 v3 v7 v0 v4 v5 v6 Exemplu de secventa infinit˘ cu prorietatea c˘ vi−1 vi este un arc pentru orice i: a a , (v0 , v1 , ..., v5 , v6 , v0 , v1 , ..., v5 , v6 , ...). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 9/1
  • 10. Secvente infinite de vˆ ırfuri , Demonstratie. ¸ Graful G are un num˘r finit de vˆ a ırfuri; reiese c˘ ˆ secvent˘ sˆ vˆ a ın , a ınt ırfuri care se repet˘. a Fie c˘ vi = vj pentru un careva i < j si toti vk , i < k < j sˆ diferiti (nu a ınt , , , se repet˘ ˆ acest diapazon). a ın Atunci vi , vi+1 , ..., vj este un ciclu ˆ G. ın Analog putem demonstra urm˘toarea lem˘: a a Lemma Dac˘ un digraf contine o secvent˘ infinit˘ de vˆ a a ırfuri (v0 , v1 , ...) astfel ˆ ıt ıncˆ , ,a vi+1 vi este un arc pentru orice i ≥ 0, atunci G contine un circuit. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 10 / 1
  • 11. Surse si destinatii , , Teorem˘ a Un digraf f˘r˘ circuite contine cel putin un vˆ f˘r˘ succesori ¸i cel putin aa ¸ ırf a a s ¸ un vˆ f˘r˘ predecesori. ırf a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 11 / 1
  • 12. Surse si destinatii , , Demonstratie. ¸ Presupunem c˘ G nu contine vˆ a ırfuir f˘r˘ succesori. aa , Alegem v0 ˆ baza presupunerii acesta are cel putin un succesor; alegem ın , unul din ei, de exemplu v1 . Pentru v1 este valabil˘ aceeasi presupunere, deci putem alege succserotul a , v2 s.amd.m.d. , Dar atunci lema spune c˘ graful are circuite; Contradictie. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 12 / 1
  • 13. Drumuri; Num˘r cromatic a Teorem˘ a Orice graf orientat G contine un drum elementar de lungimea χ(G) − 1. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 13 / 1
  • 14. Conexitate tare ˆ Intr-un digraf dou˘ vˆ a ırfuri se numesc tare conexe dac˘ exist˘ un drum de a a la primul vˆ spre al doilea si invers. ırf , Un digraf este tare conex dac˘ orice dou˘ vˆ a a ırfuri sˆ tare conexe. ınt Vom considera c˘ orice vˆ este tare conex cu el ˆ asi. a ırf ıns˘ , Un digraf este conex dac˘ ˆ a ıntre orice dou˘ vˆ a ırfuri exist˘ un lant. a , ˆ Intr-un digraf care nu este tare conex putem evidentia componente tari , [conexe]. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 14 / 1
  • 15. Grafuri orientate remarcabile Graf orientat complet pe n vˆ ırfuri este graful ˆ care ˆ ın ıntre orice dou˘ a vˆ ırfuri exist˘ un arc. a ˆ general pe n vˆ In ırfuri putem construi mai multe grafuri complete. Un graf orientat se numeste antisimetric dac˘ pentru oricare dou˘ vˆrfuri ¸ a a a din graf u ¸i v dac˘ exist˘ arcul (u, v), atunci nu exist˘ arcul (v, u). s a a a Un graf orientat complet ¸i antisimetric se numeste graf turneu. s ¸ R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 15 / 1
  • 16. Digraf asimetric; Turneu v1 v2 v1 v0 v2 v3 v0 v3 Primul digraf este un turneu; al doilea nu este antisimetric si respectiv nu , poate fi turneu. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 16 / 1
  • 17. Grafuri orientate remarcabile Notatiile pentru grafurile remarcabile neorientate r˘mˆ aceleasi doar c˘ a ın a , , prefixate cu “D”; Digraful circuit: DCn . Digraful drum: DPn . Digraful complet: DKn . R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 17 / 1
  • 18. Orient˘ri a Un graf neorientat poate fi transformat ˆ ıntr-un digraf asociind fiec˘rei a muchii o directie. , Acest proces se numeste orientare a grafului. , Dac˘ un graf neorientat are m muchii acesta poate orientat ˆ 2m moduri; a ın ın ınt ˆ general printre aceste 2m digrafuri unele sˆ izomorfe. O problem˘ practic˘ ˆ cazul orientarii grafurilor este de a orienta astfel a a ın ıncˆ a ˆ ıt digraful rezultat s˘ fie tare conex. O astfel de orientare se numeste orientare tare. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 18 / 1
  • 19. Orient˘ri tari a Teorem˘ a Un graf conex G are o orientare tare dac˘ si numai dac˘ orice muchie a , a apartine la cel putin un ciclu. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 19 / 1
  • 20. Turnee ˆ cazul cˆ avem o competitie sportiv˘ ˆ care fiecare participant trebuie In ınd a ın , s˘ joace cu toti ceilalti participanti si rezultatul fiec˘rui joc este cˆ, tig sau a a ıs , , , , pierdere; acesta poate fi modelat˘ printr-un digraf. a Participantii reprezent˘m prin vˆ a ırfuri, iar dac˘ x a cˆ, tigat jucˆ cu y a ıs ınd , ducem un arc de xy. Pentru n participanti avem un graf orientat complet si asimetric; care se , , numeste turneu. , Gradul exterior al unui vˆ este num˘rul de cˆ, tiguri al acestui participant. ırf a ıs Dac˘ avem arcul xy spunem c˘ x domin˘ y. a a a Un turneu este reductibil dac˘ multimea vˆ a ırfurilor poate fi partitionat˘ ˆ a ın , , dou˘ submultimi nevide X si Y astfel ˆ ıt fiecare vˆ din X domin˘ a ıncˆ ırf a , , fiecare vˆ din Y . ırf R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 20 / 1
  • 21. Turnee Teorem˘ a Un turneu este ireductibil dac˘ si numai dac˘ este tare conex. a , a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 21 / 1
  • 22. Turnee Demonstratie. ¸ Presupunem c˘ G este un turneu reductibil si fiecare vˆ din X domin˘ a ırf a , fiecare vˆ din Y . ırf Atunci nici un vˆ din X nu este accesibil din Y (nu exist˘ drum din Y ırf a spre X ), deci G nu este tare conex. Presupunem c˘ G nu este tare conex; fie dou˘ vˆ a a ırfuri u si v astfel ˆ ıt v ıncˆ , nu este accesibil din u. Not˘m prin X multimea tuturor vˆ a ırfurilor care nu-s accesibile din u. , Si prin Y multimea vˆ ırfurilor care-s accesibile din u. , , Atunci X si Y nu sˆ vide deoarece u ∈ X si v ∈ Y ; X ∩ Y = ∅ si ınt , , , X ∪ Y = V (G). ˆ plus orice vˆ din X domin˘ orice vˆ din Y . Deci G este reductibil. In ırf a ırf R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 22 / 1
  • 23. Turnee Corolar Orice vˆ dintr-un turneu ireductibil apartine unui circuit de lungimea 3. ırf , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 23 / 1
  • 24. Turnee; Drum Hamilton Un drum Hamilton este drum elementar care contine toate vˆ ırfurile , digrafului Teorem˘ a Orice turneu contine un drum Hamilton. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 24 / 1
  • 25. Turnee; Drum Hamilton Demonstratie. ¸ Fie dat un turneu pe n vˆ ırfuri; adic˘ un DKn . a ˆ baza unei teoreme anterioare ˆ DKn exist˘ un drum elementar de In ın a lungimea χ(DKn ) − 1. Acesta este drumul Hamilton c˘utat deoarece χ(DKn ) = n − 1. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 25 / 1
  • 26. Turnee; Circuit Hamilton Teorem˘ a Orice vˆ ˆ ırf ıntr-un turneu tare conex pe n vˆ ırfuri, n ≥ 3, apartine unui , circuit de lungimea k pentru orice 3 ≤ k ≤ n. Corolar Orice turneu tare conex contine un circuit Hamilton. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 9: Grafuri orientate B˘lti, 2013 a, 26 / 1

×