Your SlideShare is downloading. ×
Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton

549
views

Published on

Published in: Education

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
549
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
19
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton Teoria grafurilor Radu Dumbr˘veanu a Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti a, Facultatea de Stiinte Reale , , Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a a ¸ ¸ Distribuire-ˆ ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0) ¸ a B˘lti, 2013 a, R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 1 / 32
  • 2. Problema postasului chinez , , Pentru prima dat˘ problema a fost publicat˘ de matematicianul chinez a a Mei-Ko Kwan (1962). De aici si denumirea problemei. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 2 / 32
  • 3. Problema postasului chinez , , Pentru prima dat˘ problema a fost publicat˘ de matematicianul chinez a a Mei-Ko Kwan (1962). De aici si denumirea problemei. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 2 / 32
  • 4. Ciclu Euler; Graf Euler Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului , se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau , , , graf eulerian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ In a a a ıntr-un ciclu eulerian nu este , permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ a ırfurile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 3 / 32
  • 5. Ciclu Euler; Graf Euler Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului , se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau , , , graf eulerian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ In a a a ıntr-un ciclu eulerian nu este , permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ a ırfurile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 3 / 32
  • 6. Ciclu Euler; Graf Euler Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului , se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau , , , graf eulerian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ In a a a ıntr-un ciclu eulerian nu este , permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ a ırfurile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 3 / 32
  • 7. Ciclu Euler; Graf Euler Un ciclu simplu, dintr-un graf conex, care contine toate muchiile grafului , se numeste ciclu Euler (sau ciclu eulerian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Euler se numeste graf Euler (sau , , , graf eulerian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: ˆ In a a a ıntr-un ciclu eulerian nu este , permis˘ repetitia muchiilor, dar se pot repeta vˆ a ırfurile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 3 / 32
  • 8. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este Euler, iar al doilea este Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Ciclul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este eulerian. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 4 / 32
  • 9. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este Euler, iar al doilea este Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Ciclul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este eulerian. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 4 / 32
  • 10. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este Euler, iar al doilea este Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Ciclul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este eulerian. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 4 / 32
  • 11. Lant Euler; Graf semi-Euler , ˆ Intr-un graf conex, un lant simplu care contine toate muchiile grafului se , , numeste lant Euler (sau lant eulerian). , , , Un graf care contine cel putin un lant Euler se numeste graf semi-Euler , , , , (sau graf semi-eulerian). Un lant eulerian se mai numeste traseu eulerian. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 5 / 32
  • 12. Lant Euler; Graf semi-Euler , ˆ Intr-un graf conex, un lant simplu care contine toate muchiile grafului se , , numeste lant Euler (sau lant eulerian). , , , Un graf care contine cel putin un lant Euler se numeste graf semi-Euler , , , , (sau graf semi-eulerian). Un lant eulerian se mai numeste traseu eulerian. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 5 / 32
  • 13. Lant Euler; Graf semi-Euler , ˆ Intr-un graf conex, un lant simplu care contine toate muchiile grafului se , , numeste lant Euler (sau lant eulerian). , , , Un graf care contine cel putin un lant Euler se numeste graf semi-Euler , , , , (sau graf semi-eulerian). Un lant eulerian se mai numeste traseu eulerian. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 5 / 32
  • 14. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este semi-Euler, iar al doilea este semi-Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Lantul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este semi-eulerian. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 6 / 32
  • 15. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este semi-Euler, iar al doilea este semi-Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Lantul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este semi-eulerian. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 6 / 32
  • 16. Exemple v1 u0 u1 v2 v1 u0 v0 u1 v3 v2 v0 v3 Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) nu este semi-Euler, iar al doilea este semi-Euler. v1 u0 u1 v2 v0 v3 Lantul (u0, v1, v0, v3, v2, v1, v3, u0, u1, v2) este semi-eulerian. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 6 / 32
  • 17. Conditie necesar˘ si suficient˘ a , a , Teorem˘ (Euler) a Un graf conex este eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ oricare vˆ al s˘u are as a ırf a gradul par. Teorem˘ a Un graf conex este semi-eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ cel mult dou˘ vˆ as a a ırfuri ale sale au grad impar. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 7 / 32
  • 18. Conditie necesar˘ si suficient˘ a , a , Teorem˘ (Euler) a Un graf conex este eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ oricare vˆ al s˘u are as a ırf a gradul par. Teorem˘ a Un graf conex este semi-eulerian dac˘ ¸i numai dac˘ cel mult dou˘ vˆ as a a ırfuri ale sale au grad impar. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 7 / 32
  • 19. Eulerizare Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene. ınt ın Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ ınd ırfurile s˘ aib˘ grad a a par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu , scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare. , , Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ a ıntre vˆ ırfurile care nu-s vecine; este permis doar dublarea muchiilor existente. O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi. a a a , , Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se a numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G). a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 8 / 32
  • 20. Eulerizare Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene. ınt ın Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ ınd ırfurile s˘ aib˘ grad a a par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu , scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare. , , Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ a ıntre vˆ ırfurile care nu-s vecine; este permis doar dublarea muchiilor existente. O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi. a a a , , Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se a numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G). a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 8 / 32
  • 21. Eulerizare Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene. ınt ın Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ ınd ırfurile s˘ aib˘ grad a a par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu , scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare. , , Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ a ıntre vˆ ırfurile care nu-s vecine; este permis doar dublarea muchiilor existente. O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi. a a a , , Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se a numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G). a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 8 / 32
  • 22. Eulerizare Grafurile care nu sˆ euleriene pot fi transformate ˆ grafuri euleriene. ınt ın Dublˆ unele muchii existente putem face ca toate vˆ ınd ırfurile s˘ aib˘ grad a a par. Graful obtinut va fi eulerian. Iar procedeul de dublare a muchiilor cu , scopul de a obtine un graf eulerian se numeste eulerizare. , , Nu este permis ad˘ugare de muchii ˆ a ıntre vˆ ırfurile care nu-s vecine; este permis doar dublarea muchiilor existente. O euleriazare se numeste bun˘ dac˘ contine num˘rul minim de muchii noi. a a a , , Num˘rul minim de muchii necesare pentru eulerizarea unui graf G se a numeste num˘rul de eulerizare si se noteaz˘ ecc(G). a a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 8 / 32
  • 23. Eulerizare v1 u0 u1 v2 v0 v3 Graful de mai sus, nefiind Euler, poate fi eulerizat ˆ felulurile urm˘toare: ın a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 9 / 32
  • 24. Eulerizare v1 u0 u1 v2 v0 v3 Graful de mai sus, nefiind Euler, poate fi eulerizat ˆ felulurile urm˘toare: ın a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 9 / 32
  • 25. Eulerizare v1 u0 u1 v2 v0 v3 Graful de mai sus, nefiind Euler, poate fi eulerizat ˆ felulurile urm˘toare: ın a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 9 / 32
  • 26. Problema Comis-Voiajorului R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 10 / 32
  • 27. Ciclu Hamilton; Graf Hamilton Un ciclu elementar, dintr-un graf conex, care contine toate vˆ ırfurile , grafului se numeste ciclu Hamilton (sau ciclu hamiltonian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Hamilton se numeste graf , , , Hamilton (sau graf hamiltonian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: un ciclu hamiltonian trebuie In a a a , treac˘ prin toate vˆ a ırfurile grafului, dar nu si prin toate muchiile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 11 / 32
  • 28. Ciclu Hamilton; Graf Hamilton Un ciclu elementar, dintr-un graf conex, care contine toate vˆ ırfurile , grafului se numeste ciclu Hamilton (sau ciclu hamiltonian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Hamilton se numeste graf , , , Hamilton (sau graf hamiltonian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: un ciclu hamiltonian trebuie In a a a , treac˘ prin toate vˆ a ırfurile grafului, dar nu si prin toate muchiile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 11 / 32
  • 29. Ciclu Hamilton; Graf Hamilton Un ciclu elementar, dintr-un graf conex, care contine toate vˆ ırfurile , grafului se numeste ciclu Hamilton (sau ciclu hamiltonian). , Un graf care contine cel putin un ciclu Hamilton se numeste graf , , , Hamilton (sau graf hamiltonian). ˆ aplicatii este util˘ urm˘toarea remarc˘: un ciclu hamiltonian trebuie In a a a , treac˘ prin toate vˆ a ırfurile grafului, dar nu si prin toate muchiile. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 11 / 32
  • 30. Exemple v1 u0 u1 v2 u v0 v z v3 x y Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) este Hamilton, iar al doilea nu este Hamilton. v1 u0 u1 v2 v0 v3 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 12 / 32
  • 31. Exemple v1 u0 u1 v2 u v0 v z v3 x y Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) este Hamilton, iar al doilea nu este Hamilton. v1 u0 u1 v2 v0 v3 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 12 / 32
  • 32. Exemple v1 u0 u1 v2 u v0 v z v3 x y Primul graf (de la stˆ ınga spre dreapta) este Hamilton, iar al doilea nu este Hamilton. v1 u0 u1 v2 v0 v3 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 12 / 32
  • 33. Ciclu Hamilton; Graf Hamilton Evident, grafurile Cn sˆ hamiltoniene, pentru orice n; grafurile Kn sˆ ınt ınt hamiltoniene pentru n ≥ 3. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 13 / 32
  • 34. Lant Hamilton; Graf semi-Hamilton , ˆ Intr-un graf conex, un lant elementar care contine toate vˆ ırfurile grafului se , , numeste lant Hamilton (sau lant hamiltonian). , , , Un graf care contine cel putin un lant Hamilton se numeste graf , , , , semi-Hamilton (sau graf semi-hamiltonian). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 14 / 32
  • 35. Exemple u v x z y Graful de mai sus este semi-hamiltonian. u v z R. Dumbr˘veanu (USARB) a x y Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 15 / 32
  • 36. Exemple u v x z y Graful de mai sus este semi-hamiltonian. u v z R. Dumbr˘veanu (USARB) a x y Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 15 / 32
  • 37. Exemple u v x z y Graful de mai sus este semi-hamiltonian. u v z R. Dumbr˘veanu (USARB) a x y Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 15 / 32
  • 38. Conditii suficiente , Teorem˘ (Ore) a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice dou˘ vˆ a a ırfuri , neadiacente u si v avem , d(u) + d(v) ≥ n, (1) atunci G este Hamilton. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 16 / 32
  • 39. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 40. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 41. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 42. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 43. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 44. Teorema Ore Demonstratie. ¸ Presupunem (prin absurd) c˘ teorema este fals˘. a a Adic˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a ırfuri, n ≥ 3, care verific˘ conditiile teoremei a , ıns˘ ˆ a nu este hamiltonian. Dac˘ astfel de grafuri sˆ mai multe (toate pe n vˆ a ınt ırfuri) alegem graful cu cel mai mare num˘r de muchii; not˘m acest graf prin G. a a Fie p si q dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente ale grafului G; ˆ virtutea conditiei de ın , , maximalitate a lui G, G + pq este hamiltonian. Mai mult, muchia pq trebuie s˘ apartin˘ oric˘rui ciclu hamiltonian din a a a , G + pq deoarece ˆ caz contrar am avea un ciclu hamiltonian ˆ G. ın ın ˆ acelasi timp: d(p) + d(q) ≥ n. In , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 17 / 32
  • 45. Teorema Ore Demonstratie; Continuare. , Fie un oarecare ciclu hamiltonian ˆ G + xy: ın p, v1 , v2 , ..., vn−2 , q, p. (2) Observ˘m c˘ dac˘ vi este adiacent cu p atunci vi−1 nu poate fi adiacent a a a cu q; ˆ caz contrar ciclul: ın p, v1 , v2 , vi−1 , q, vn−2 , vn−3 , vn−4 , ..., vi , p este hamiltonian ˆ G. ın p R. Dumbr˘veanu (USARB) a v1 vi−1 vi Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton vn−2 q B˘lti, 2013 a, 18 / 32
  • 46. Teorema Ore Demonstratie; Continuare. , Fie un oarecare ciclu hamiltonian ˆ G + xy: ın p, v1 , v2 , ..., vn−2 , q, p. (2) Observ˘m c˘ dac˘ vi este adiacent cu p atunci vi−1 nu poate fi adiacent a a a cu q; ˆ caz contrar ciclul: ın p, v1 , v2 , vi−1 , q, vn−2 , vn−3 , vn−4 , ..., vi , p este hamiltonian ˆ G. ın p R. Dumbr˘veanu (USARB) a v1 vi−1 vi Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton vn−2 q B˘lti, 2013 a, 18 / 32
  • 47. Teorema Ore Demonstratie; Continuare. , Fie un oarecare ciclu hamiltonian ˆ G + xy: ın p, v1 , v2 , ..., vn−2 , q, p. (2) Observ˘m c˘ dac˘ vi este adiacent cu p atunci vi−1 nu poate fi adiacent a a a cu q; ˆ caz contrar ciclul: ın p, v1 , v2 , vi−1 , q, vn−2 , vn−3 , vn−4 , ..., vi , p este hamiltonian ˆ G. ın p R. Dumbr˘veanu (USARB) a v1 vi−1 vi Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton vn−2 q B˘lti, 2013 a, 18 / 32
  • 48. Teorema Ore Demonstratie; Continuare. , Din cele de mai sus reiese c˘, ˆ a ıntrucˆ ˆ G sˆ d(p) vˆ ıt ın ınt ırfuri adiacente cu p, trebuie s˘ fie cel putin d(p) + 1 vˆ a ırfuri neadiacente cu q. , Asadar , d(p) + d(q) ≤ d(p) + (n − d(p) − 1) =n−1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 19 / 32
  • 49. Teorema Ore Demonstratie; Continuare. , Din cele de mai sus reiese c˘, ˆ a ıntrucˆ ˆ G sˆ d(p) vˆ ıt ın ınt ırfuri adiacente cu p, trebuie s˘ fie cel putin d(p) + 1 vˆ a ırfuri neadiacente cu q. , Asadar , d(p) + d(q) ≤ d(p) + (n − d(p) − 1) =n−1 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 19 / 32
  • 50. Conditii suficiente , Teorem˘ (Dirac) a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este a , 2 Hamilton. Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore. a Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a ıntˆ a a a , ıt fost publicat˘ teorema Ore. a Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘: a ınt a a Teorem˘ (Pos´) a a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k, a , 1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ a ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ ıntrece 2 k. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 20 / 32
  • 51. Conditii suficiente , Teorem˘ (Dirac) a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este a , 2 Hamilton. Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore. a Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a ıntˆ a a a , ıt fost publicat˘ teorema Ore. a Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘: a ınt a a Teorem˘ (Pos´) a a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k, a , 1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ a ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ ıntrece 2 k. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 20 / 32
  • 52. Conditii suficiente , Teorem˘ (Dirac) a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este a , 2 Hamilton. Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore. a Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a ıntˆ a a a , ıt fost publicat˘ teorema Ore. a Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘: a ınt a a Teorem˘ (Pos´) a a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k, a , 1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ a ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ ıntrece 2 k. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 20 / 32
  • 53. Conditii suficiente , Teorem˘ (Dirac) a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si δ(G) ≥ n , atunci G este a , 2 Hamilton. Teorema Dirac poate fi demonstrat˘ ca un corolar al teoremei Ore. a Dar istoric, ˆ ıi a fost publicat˘ acest˘ teorem˘ si doar peste cˆ, iva ani a ıntˆ a a a , ıt fost publicat˘ teorema Ore. a Pe de alt˘ parte ambele teoreme sˆ generalizate de urm˘toarea teorem˘: a ınt a a Teorem˘ (Pos´) a a Dac˘ G este un graf simplu cu |G| = n ≥ 3 si pentru orice k, a , 1 ≤ k ≤ n−1 , num˘rul de vˆ a ırfuri cu grad mai mica sau egal cu k nu ˆ ıntrece 2 k. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 20 / 32
  • 54. Conditii necesare , Teorem˘ a Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci a , |X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1. a Demonstratie. ¸ Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. , Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian: a , , v1 , v2 , ..., vn . Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 21 / 32
  • 55. Conditii necesare , Teorem˘ a Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci a , |X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1. a Demonstratie. ¸ Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. , Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian: a , , v1 , v2 , ..., vn . Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 21 / 32
  • 56. Conditii necesare , Teorem˘ a Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci a , |X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1. a Demonstratie. ¸ Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. , Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian: a , , v1 , v2 , ..., vn . Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 21 / 32
  • 57. Conditii necesare , Teorem˘ a Dac˘ un graf bipartit cu bipartitia {X , Y } este hamiltonian atunci a , |X | = |Y |; dac˘ graful este semi-hamiltonian atunci ||X | − |Y || ≤ 1. a Demonstratie. ¸ Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. , Presupunem c˘ G contine un lant hamiltonian: a , , v1 , v2 , ..., vn . Dac˘ v1 ∈ X atunci v2 ∈ Y , v3 ∈ X , v4 ∈ Y etc. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 21 / 32
  • 58. Conditii necesare , Demonstratie; Continuare. , Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...} , , (vˆ ırfurile cu indice par). Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar a a a a 2 atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 . 2 2 ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1. In , , Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n a a , , este par si |X | = |Y |. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 22 / 32
  • 59. Conditii necesare , Demonstratie; Continuare. , Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...} , , (vˆ ırfurile cu indice par). Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar a a a a 2 atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 . 2 2 ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1. In , , Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n a a , , este par si |X | = |Y |. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 22 / 32
  • 60. Conditii necesare , Demonstratie; Continuare. , Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...} , , (vˆ ırfurile cu indice par). Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar a a a a 2 atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 . 2 2 ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1. In , , Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n a a , , este par si |X | = |Y |. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 22 / 32
  • 61. Conditii necesare , Demonstratie; Continuare. , Asadar X = {v1 , v3 , ...} (vˆ ırfurile cu indice impar) si Y = {v2 , v4 , ...} , , (vˆ ırfurile cu indice par). Rezult˘ c˘, dac˘ n este par atunci |X | = |Y | = n ; dac˘ n este impar a a a a 2 atunci |X | = n+1 , iar |Y | = n−1 . 2 2 ˆ ambele cazuri diferenta dintre |X | si |Y | este cel mult 1. In , , Dac˘ G contine un ciclu hamiltonian si v1 ∈ X , atunci vn ∈ Y ; adic˘ n a a , , este par si |X | = |Y |. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 22 / 32
  • 62. Secvente de grade hamiltoniene , Definitie , a O secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) de numere naturale se numeste hamiltonian˘ ,a dac˘ orice graf pe n vˆ a ırfuri cu secventa de grade mai mare sau egal˘ a , punctual decˆ (a1 , a2 , ..., an ) este hamiltonian. ıt O secvent˘ (b1 , b2 , ..., bn ) de numere naturale este mai mare sau egal˘ a ,a punctual decˆ alt˘ secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) [de numere naturale], dac˘ ıt a a a , bi ≥ ai , 1 ≤ i ≤ n. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 23 / 32
  • 63. Secvente de grade hamiltoniene , Definitie , a O secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) de numere naturale se numeste hamiltonian˘ ,a dac˘ orice graf pe n vˆ a ırfuri cu secventa de grade mai mare sau egal˘ a , punctual decˆ (a1 , a2 , ..., an ) este hamiltonian. ıt O secvent˘ (b1 , b2 , ..., bn ) de numere naturale este mai mare sau egal˘ a ,a punctual decˆ alt˘ secvent˘ (a1 , a2 , ..., an ) [de numere naturale], dac˘ ıt a a a , bi ≥ ai , 1 ≤ i ≤ n. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 23 / 32
  • 64. Conditii suficiente si necesare , , Teorem˘ (Chv´tal) a a a O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale, n ≥ 3, este hamiltonian˘ ,a dac˘ si numai dac˘ a , a di ≤ i ⇒ dn−1 ≥ n − i, R. Dumbr˘veanu (USARB) a ∀i < Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton n . 2 B˘lti, 2013 a, 24 / 32
  • 65. Secvente de grade semi-hamiltoniene , Definitie , O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale se numeste ,a semi-hamiltonian˘ dac˘ orice graf pe n vˆ a a ırfuri cu secventa de grade mai , mare sau egal˘ punctual decˆ (d1 , d2 , ..., dn ) este semi-hamiltonian. a ıt Corolar O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale, n ≥ 2 si ,a , 0 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn < n este semi-hamiltonian˘ dac˘ si numai dac˘ a a , a di < i ⇒ dn+1−i ≥ n − i, R. Dumbr˘veanu (USARB) a ∀i ≤ Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton n . 2 B˘lti, 2013 a, 25 / 32
  • 66. Secvente de grade semi-hamiltoniene , Definitie , O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale se numeste ,a semi-hamiltonian˘ dac˘ orice graf pe n vˆ a a ırfuri cu secventa de grade mai , mare sau egal˘ punctual decˆ (d1 , d2 , ..., dn ) este semi-hamiltonian. a ıt Corolar O secvent˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale, n ≥ 2 si ,a , 0 ≤ d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn < n este semi-hamiltonian˘ dac˘ si numai dac˘ a a , a di < i ⇒ dn+1−i ≥ n − i, R. Dumbr˘veanu (USARB) a ∀i ≤ Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton n . 2 B˘lti, 2013 a, 25 / 32
  • 67. ˆ Inchiderea [unui graf] Definitie , Fiind dat un graf G, numim ˆ ınchiderea lui G, notat˘ prin cl(G), graful a obtinut prin aplicarea recursiv˘ a urm˘torului algoritm: a a , 1. orice dou˘ vˆ a ırfuri neadiacente u si v cu d(u) + d(v) ≥ n se unesc , printr-o muchie; 2. pasul anterior se aplic˘ atˆ timp cˆ exist˘ astfel de vˆ a ıta ıt a ırfuri. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 26 / 32
  • 68. ˆ Inchiderea v1 u0 u1 v2 v1 v0 u0 u1 v2 v3 v3 G; |G| = 6 d(v1 ) + d(v3 ) ≥ 6 v1 u0 u1 v0 v2 v1 v0 u0 u1 v2 v0 v3 v3 d(u1 ) + d(v1 ) ≥ 6 d(u1 ) + d(v3 ) ≥ 6 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 27 / 32
  • 69. ˆ Inchiderea v1 u0 u1 v2 v1 v0 u0 u1 v2 v0 v3 v3 d(u0 ) + d(v2 ) ≥ 6 d(u1 ) + d(v0 ) ≥ 6 v1 u0 u1 v2 v0 cl(G) v3 d(v2 ) + d(v0 ) ≥ 6 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 28 / 32
  • 70. ˆ Inchiderea u u v x v x z y z y G; |G| = 5 R. Dumbr˘veanu (USARB) a cl(G) Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 29 / 32
  • 71. Conditii suficiente si necesare , , Teorem˘ (Bondy-Chv´tal) a a Un graf G este hamiltonian dac˘ si numai dac˘ cl(G) este hamiltonian. a , a Corolar Dac˘ ˆ a ınchiderea unui graf G este graf complet atunci G este hamiltonian. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 30 / 32
  • 72. Conditii suficiente si necesare , , Teorem˘ (Bondy-Chv´tal) a a Un graf G este hamiltonian dac˘ si numai dac˘ cl(G) este hamiltonian. a , a Corolar Dac˘ ˆ a ınchiderea unui graf G este graf complet atunci G este hamiltonian. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 30 / 32
  • 73. Graful liniilor Graful liniilor al unui grafului G este graful L(G) pe E(G) ˆ care dou˘ ın a vˆ ırfuri sˆ vecine dac˘ si numai dac˘ muchiile corespunz˘toare ˆ G sˆ ınt a , a a ın ınt vecine. f e e g f g G R. Dumbr˘veanu (USARB) a L(G) Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 31 / 32
  • 74. Graful liniilor Graful liniilor al unui grafului G este graful L(G) pe E(G) ˆ care dou˘ ın a vˆ ırfuri sˆ vecine dac˘ si numai dac˘ muchiile corespunz˘toare ˆ G sˆ ınt a , a a ın ınt vecine. f e e g f g G R. Dumbr˘veanu (USARB) a L(G) Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 31 / 32
  • 75. Graful liniilor Orice ciclu eulerian din G se transform˘ ˆ a ıntr-un ciclu hamiltonian ˆ L(G). ın Teorem˘ a Dac˘ un graf G este eulerian atunci graful liniilor L(G) este hamiltonian. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 32 / 32
  • 76. Graful liniilor Orice ciclu eulerian din G se transform˘ ˆ a ıntr-un ciclu hamiltonian ˆ L(G). ın Teorem˘ a Dac˘ un graf G este eulerian atunci graful liniilor L(G) este hamiltonian. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 2: Grafuri Euler; Grafuri Hamilton B˘lti, 2013 a, 32 / 32