TRIGONOMETRIA DIVERTIDA
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TRIGONOMETRIA DIVERTIDA

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Versa sobre como tornar as aulas de trigonometria menos cansativas e mais divertidas.

Versa sobre como tornar as aulas de trigonometria menos cansativas e mais divertidas.
Construção de um teodolito artesanal

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TRIGONOMETRIA DIVERTIDA TRIGONOMETRIA DIVERTIDA Presentation Transcript

  • TRIGONOMETRIA MAIS DIVERTIDA
    • Tamanha é a importância do Teorema de Pitágoras, que corremos o risco de pensar que ele é a única propriedade importante do triângulo retângulo. Na verdade, a presença do ângulo reto no triângulo, combinada com outros resultados da Geometria, como semelhança, resulta em várias propriedades interessantes, como medições indiretas, média geométrica, secção áurea, razões trigonométricas, lei dos cossenos, lei dos senos etc.
    • TALES DE MILETO (aproximadamente 611-545 a.C.), um dos sábios da Grécia antiga, foi um próspero mercador e seus negócios o levaram a muitos lugares, mas, provavelmente, foi o contato com a Matemática e a Filosofia de outros povos que o fizeram, ainda jovem, abandonar o comércio e dedicar-se à Geometria, Filosofia e Astronomia. De suas descobertas, podemos destacar a resolução de dois problemas práticos: calculou a altura da pirâmide de Quéops, no Egito, e determinou a distância de uma embarcação até um ponto na costa.
  • Para calcular a altura da pirâmide, Tales usou a semelhança de triângulos retângulos imaginários, formados pela projeção das sombras da pirâmide e da sombra de uma estaca de altura conhecida, fincada na perpendicular, perto da base do monumento.
  • Calculando a altura de uma árvore.
    • No campo, quando as pessoas precisam derrubar uma árvore, costumam usar um recurso interessante. Para determinar a área onde a árvore vai cair, eles se afastam dela, dando-lhe as costas, e tentam avistar o seu topo por baixo das próprias pernas, ainda de costas para ela. Quando avistam o topo, estão a uma distância segura para derrubar a árvore e não serem atingidos por ela. O que eles talvez não saibam é que, da incômoda posição, avistam o topo da árvore sob um ângulo de aproximadamente 45°, isto é, a altura da árvore é igual à distância que estão dela.
  • TEODOLITO
    • TEODOLITO
    • É um equipamento óptico muito utilizado na agrimensura e na construção civil para trabalhar com medidas indiretas. Sua utilização permite:
    • Medir ângulos verticais e horizontais.
    • Medir a altura de objetos perpendiculares ao chão.
    • Verificar congruência e semelhança de triângulos .
  • VEJA COMO É FÁCIL CONSTRUIR UM TEODOLITO VOCÊ IRÁ SE SURPREENDER COM A PRECISÃO DESTE INSRUMENTO
    • Materiais necessários:
    • Copo plástico com tampa de encaixe.
    • Cópia de um transferidor circular (pode fazer uma montagem com dois semicirculares).
    • Quadrado de papelão, ligeiramente maior que o transferidor.
    • Pedaço de arame fino de aproximadamente 15cm de comprimento.
    • Pedaço de tubo de antena de TV ou assemelhado, com cerca de 30cm.
    • Como construir:
    • Cubra o quadrado de papelão, colando a cópia do transferidor, no centro do quadrado; posicione o ângulo zero na direção do ponto médio de um lado.
    • Cole a tampa do copo no interior da figura do transferidor, centralizada.
    • Perpasse o arame pela boca do copo numa posição diametral, deixando que suas pontas atinjam as extremidades do transferidor.
    • Cole o pedaço do tubo de antena no fundo do copo, também em posição diametral, na mesma direção do arame.
    • Encaixe o copo na tampa.
  • MEDINDO A ALTURA DE UM POSTE
    • Utilizando o seu teodolito, calcule a altura de um poste
    • Imagine um triângulo formado entre o poste e o teodolito (Figura ao lado). Posicione o aparelho numa mesa plana e aponte o 0° do transferidor para o poste. Em seguida, coloque o ponteiro do teodolito em 0° e, olhando na mira, peça para alguém marcar um ponto no poste. Essa linha de mira forma 90° com o poste. Levante a mira até avistar a ponta do poste e anote o ângulo indicado no transferidor. Depois, meça o cateto que representa a sua distância até o poste. Para maior precisão, peça aos alunos que façam de três a cinco medições e tirem a média. Agora basta multiplicar esse valor pela tangente do ângulo determinado pelo teodolito. Observe que, na prática, você pode se afastar ou aproximar do poste para ver o seu topo sob um ângulo notável, como 30°, 45° ou 60°
  • Usando o seu teodolito, calcule a altura de uma montanha
    • Mesmo com o teodolito, não é fácil calcular a altura de uma montanha, dadas as dificuldades de medir os catetos. Uma solução pode ser a seguinte:
    • a) Com o seu teodolito, encontre uma posição em que o cume da montanha seja visto sob um ângulo de 45°. Observe que, nesse ponto, a altura “h” da montanha é igual à distância entre ela e o ponto de projeção do seu cume, dentro da montanha.
    • b) A partir desse ponto, afaste-se a uma distância “x”, conhecida, por exemplo, 10m.
    • c) Verifique, com seu teodolito, o ângulo “α” de visão do cume.
    • d) Teremos: tg α = h/ h + x
    • α . Como você conhece tgα e x, pode determinar h, que é a altura da montanha.
  • O CICLO TRIGONOMÉTRICO
    • O ciclo trigonométrico é, na verdade, um recurso didático. Como você verá, ele foi construído cuidadosamente para que você possa visualizar todos os resultados importantes da Trigonometria. Para começar, escolhemos um círculo de raio unitário e traçamos eixos cartesianos com origem no centro do círculo. Os ângulos positivos são medidos, a partir do eixo x, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (sentido trigonométrico). Se tomarmos o outro sentido, o ângulo será dito negativo.
  • RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
    • A origem da palavra SENO é curiosa. Os indianos, no século V, usavam as palavras ardhã-jyã (semi-corda) e jyã-ardhã (corda metade). Para simplificar, escreviam e falavam apenas jyã (corda). Os árabes, por sua vez, entenderam jîba e abreviavam jb. Porém, jîba, não tem significado na língua árabe. Outros escritores associaram a abreviatura jb à palavra jaib, que existe na língua árabe e significa enseada ou baía. Mais tarde, no século XII, jaib foi traduzida para o latim como sinus, de mesmo significado. As palavras TANGENTE e secante têm origem na própria Geometria, por serem segmentos das retas tangente e secante ao círculo. COSSENO, cotangente e cossecante se referem ao seno, tangente e secante dos arcos complementares.
    • O Teorema de Tales está na origem da visão moderna das linhas trigonométricas. Observando a Figura você nota que, dado um ângulo α, podemos construir uma família de triângulos retângulos. Pelo Teorema de Tales, todos os triângulos são semelhantes, o que significa dizer, por exemplo, que a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de qualquer um desses triângulos é sempre a mesma, isto é, essa razão que chamamos seno do ângulo α é um número que está associado a esse ângulo. Se, na Figura, mudarmos o ângulo α, a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa mudará, atribuindo outro valor para o seno de α.
  • UM PEQUENO EXERCÍCIO
    • Talvez você nunca tenha calculado diretamente o seno de um ângulo. Experimente! Você verá que o resultado é muito parecido com os fornecidos por máquinas ou tabelas. Com o auxílio de um transferidor, desenhe o ângulo de 23°; escolha um valor inteiro para a hipotenusa (para facilitar, 10cm); desenhe o triângulo retângulo com bastante capricho; meça com uma boa régua (ou escalímetro) o cateto oposto; agora divida. Compare o seu resultado com o valor dado por uma calculadora ou por uma tabela. Verifique com seus colegas os valores que eles encontraram. Esta atividade faz com acreditemos que, apesar de dar algum trabalho, é perfeitamente possível calcular senos, cossenos e tangentes. Depois compare os resultados para vários ângulos; isso lhes ajudará a desmistificar a Trigonometria.
    • Considerando que os valores de seno, cosseno e tangente estão disponíveis em tabelas ou calculadoras, basta conhecermos um dos lados do triângulo e um de seus ângulos agudos para determinarmos os outros lados.
  • TÓPICOS EM GEOMETRIA
    • TAREFA SEMANA 6
    • Aluno: Adilson Alves de Alcântara e Célia Fátima da Silva dos Santos Bastos
    • Tutora: Aline de Lima Guedes
    • Bibliografia:
    • Bairral, M. A.; Silva, M. A., Instrumentação do Ensino da Geometria , módulo 2, RJ, 2004, Fundação CECIERJ/ consórcio CEDERJ .
    • Sites
    • http://www.novaescola.com.br/ , acessado pela última vez em 15/06/2009