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                                                                                                                                                        ,::i.'.?,;:.:_-.'.f
                                                                                                                                                     {..••.
                                                                                                                                                          ..•                  ":;',
                                                                                                                           [)i} '!"1                 '<. _.         ,              '~,':',"':'" •...
                                                                                                                                                                                             .".:l
                                                                                                                           ;T~,;~:". '~.                                               . ;:
       indicar el estimador y eOil ma)'úseula pMa el par"metro, Otra forma de s;¡hl';bli;;&: ..;,I'~>
                                                                                              I     .•'                                                                           ,¡,
       media es utilizanclo   la 1"ITa M (mayúscLlI~) colocando   corno sl¡[;índr~~,.:'Y entre 'O,,! •
                                                                                        ...                                                                                   .«.>f
       paréntesis         la letr8 que identifica           la 'a.r¡ab'~~: "/x); M(,.); M(zJ; tarnbién ::d:.;unns ,:h"J_j~.:r'i"t:.i                       "-':-:-"..:,.:"
       a (rninClscula). En poblaciones,                  corno paránletro¡                es
                                                                                         enlpleacL.l con 1l1udl<1 freci"¡e"rí"c:.i-a
       la letra griega miu.o mu (1')'

       La nledia de un conjunto            de valores'             XJ¡ .. " XiiI es lasun13 de los rni:;rnos, dividida
                                                                    Xl   I   X~l/


       por el núrnero           total de observaciúnes        que se consideran.      (.J!Js(;rvernos (lIJe esra fórnlula
      "nlZltenlática        es simplenlente            un conjunto de instrucciones.            En esle caso, se esl-án
        impartiendo         instruccio"nes.                                                  '          ,.
                                                                                                 '. ,



       ...d   MEDIA ARITMÉTICA                          SIMPLE                           ,
       Algunos la den'or:ninan como Inedia' no ponderada, y se obticnedividil:ndo                                               la surna de
       torios los valores que toma la variable, por' el ~llmero de observ,1Ciones,

                                                         su.na de todo~ los valores observados
                                   x                             -                 --------"--_._- ._-
                                                               núnlcro de observaciones
                    n       =     húrTlero total       de observaciones                 en el cOllJLinl"O.

                     x      =     nledia,     para el conjunto                  de observaciones.
                    ''
                    <-      =     indica     sunl;:l   de   105     elernentos o valores de la"variahle.

                    x',           valores de la vari,J.ble, donde i torna valores de 1 h;"Jsl:a n.

       F-I proceso        que debe seguirse en la aplic;:ación, ser~):
       a)     Sume todos los valores observados.

       b)     Divida      el resultado anterior             por el númer.o de observ'lCiones.

       El emplear         la fórmula        en vez de la descripción                  verbal, significa      economía      y pre:cisión.

       La anterior fórmula denominada por algunos corno media simple o Il() ponder~da, se
      . enlplea cuando los e1dLos están sin agrupar,  es decir, se ITabaja con los datos ()riginales
       provenientes del instrumento ele recolección       utiliz;:zdo, sin que se l1dY() inici;lc1o el
       proceso ele conceht.ra~ión,   t~~bulación o elaboración de cuadros o tabl.:--ls.
       Este procedimiento     es nluy conocido y enlpleado         por el estudiante, ya que frecuente-
       t11ente calcula el'p"romedio obtenido enun(l asignatura o en'el cu/soque adelanta. Pnr
       ejemplo, si se utiliza una escala de () a 'j O.)' las calificaciones    obtenicbs por un alumno
       son: 6, 8, 6, "O Y 5, ¡cuál es el promedio!                                 .

                                                                                                              ,   -:"
                                       6+8    .•.6+10       .•.5'
                                                                                    ~ 7
                                                 5                              5

       El procedimiento'es  mucho más r"pido                                 y seguro si.emplea'Tic)slacalculadora manual,
       por ejemplo,    la CASIO 3GOOp cuyo                                   manejo es simple, ,como k, vamos a ver a
       conli nuac:ión:

       a)     Encendida         la calculadora,        se oprime: la tecla               (MODE) y luego. el :1, Debe aparec"r                       en
              pantalla      SO, cuando         se va a tl";;lbajar              en estadrslic;J con una sob vZtri;1blc. '

       b)     Si hay información             en la memoria,                  debe borrarse utilizanclo       las teclas:        @ @
              @@




"
'.'
cl       Nos aseguramos que se haya borrado tecleando                                             [KOIIT)    3. En pantalla debe, dpi!.
                                                              recer'O.                   .,                                                             "

                                                     d)       Entramos la información                     oprimiendo            seguidamente                 las tecids:




                                                     e) "Los resultados se obtienen con: (KOIIT)1,                                la suma de cada uno de los valores de la
                                                          "variab.le el~vadós al cuadrado igual a 261, Con [KOlITjZ,                                             la suma detodos                           los valores
                                                          :::'dela variable, igual a 35. Con                    [KOui-)3,   el número de observaciones,'es decir, n. Ahora
                                                          'bien,         con la tecld             OED 1 se obtiene          el valor       de la media aritmética,                                       igual a 2,82.

                                                     Otra calculadora muy utilizada es la CASIO 4000p 'c'uyo pr'oéeclimiento de operar es
                                           ',,'      parE'cido al anterior. <::onservando el significado de los órdin,ales, se tendrá:

                                                     aY       @@ .         m'              aparece en pantalla              SO

                                                     b)       (SHiFT)      (DEL)           @D          borra la memoria

                                                     c)       r¥iA)        3               comprobamos          si borró ydebe               apare,cer en pantalla O


                                                     d)       6    lJD         8    lJD            6   lJD      10    lJD
                                                              Este es el proceso que seguir~mos en la entrad~'o                                             captura de los datos.

                                                     el       Procedemos a observar los resultados de las operaciones,que                                                    real iza la calculadora'


                                                              fA0!A)           1                @D              corresponde,           a   2: Xf        - 261

                                                              ~~               2                @D              ¿:X;        =          35
                                                                                       ,,;,:



                                                "~
                                                              ~~               3                @D               n                     5

                                                              @~J              1                @D               x          =          2,82


                                                     "EI alumno            puede ~omprobar                   con el ejercIcIo              de la 'tabla           7~i;;'correspondiente                            a la
                                                     ,infornlación de d~t?s sin agrupar de la variable discreta, si€nC!o x = 2,82: También
      ,,,,_-.a....,...
t:~/"'''''-~-''~S-
                                                      puede practicar con la infor,mación de la tabla 7,9, de datos sin agrupar de una variable
                                                                               ".                                                                                        '                         -
V"',
~.:..- "    :,~;,--',S[¡~"':'-~""" ,
                                c(~,. ~'             cO"n,
                                                         [inua, cuya media debe ser
                                                          "                                                     x = . 52,4.

;., l"~~{(.".>/".,;~                                 ~'MEDlA                   ARlTMÉTICAPOilDERADA                                               "

  ",:'_'~,:.(.r,:.,.,.r,tif)          [':¡'~Se aplica          cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias. El término
        , __                    ..,-f''';:'-'       ponderación se da,a la importancia o peso que tiene cada valor de la variable dentro
~".                            __;:/;;1             del conjunto, y corresponde a la frecuencia absoluta o relativa, siendo su mayor
      ..:e._".",';;;>"                           'importancia      cuanto más alta sea la frecuencia. La fórmula es casi'igual a la 'anterior,
                                                    sólo que en este"caso se multiplica       cada valor de la variable por su "'espectiva
                                                    frecu(~llcia:.

                                                                                                                suma de los productos'
                                                                                   x
                                                                                                             número de observaciones                                                  ir.       ,;', .

. '.~
    .
                                                                                       .                                                                            ':        1 f-; ji      ~
                                                      Para        ,,1   desarrollo             de la fórmula,    se procede de la sigUienté-man'éra,:




                                                                                                                                   . , ',-,',,"-                             .',:.
f/f~f:fj3~f!G¡Có
            a) Se multiplica cada valor de la' variable por su respectiva frecuencia.
                                                                                                                                                                     .                                               .
                                                                                                                                                                                                                                                                (,/<Y
                                                                                                                                                                                                                                                               fy .:::1
                                                                                                                                                                                                                                                                              .6'¡H;:;;:'
                                                                                                                                                                                                                                                                             (L~~t)
            b) Se suman los productos anteriores y el resultado se divide por el Ij.~nif"roe.<;j~                   --~.'
                obs(ervaciones, es decir, por el tamaño de la muestra (n) o de la poblac.ión.~.(!'J):o,.;".~,,:.,
            ,      '""         ,     •    ";        '.'                    /"    ••.•      '''''<:,.., ~:~.> ,
                                                                                               -               ;        ..            -                        •.    "                 :     -o"    o',         _.       (:"';';'.'.            ','



            Cuando s'olo' se dispone de.la frécl.Jenciarelativa, 'ánibiénpJede calcularse fa...'y1eclja
                                                                                                        ,           "
            Aritmética, aplicando la sig:-,ien.t",fórml,Jla:..   .                                     <.,;;:;.;-' .• _."j
                  á                             ,         ~.   ,,-o'"      .     ¡,     ..•~           . ~;               .';'             ¡        ".,        i:, •. ~.                                    .,¡ ..                :7,! .~'.;":'.-/"                       : ..,..-.'
                                                                                                                                                                                                                                                                                  -£:,,-
                                                                                .. .     ~".                                     -                                                                 lo.                                 .1,




                                                                 x                                                                         suma de los produc:tos'

            Ahora aplicaremos las dos fórmulas anteriores, en variables discretas y continuas; para
            ello, se considerará la información ciada por las tablas 7.6 y 7.10.
                                                                                          .•               :       o",;              '.              .',       "',1,,'.         . '.... ~:"' '.:, ,",.,-                 ,-       L..¡'      .' ; ,',




                              ~~f~¡~'~~f~
                                   .. 4
                                     5
                                                               8
                                                               5
                                                                        '3'2'
                                                                           25
                                                                                                     'O'l'ó'
                                                                                                        '.
                                                                                                      0,10.
                                                                                                                                               ' ....
                                                                                                                                                    :0'.6..
                                                                                                                                               "'0,50
                                                                                                                                                       f
                                                                                                                                                          4               .,"                           x     t.""L.,   I
                                                                                                                                                                                                            . '~-""/ . n'
                                                                                                                                                                                                                            ,1.):'"
                                                                                                                                                                                                               ;,;.:S.x'.l ... .';~.
                                                                                                                                                                                                                             "
                                                                                                                                                                                                                                                        2,82
                                                                                                                                                                                                                                                         '.'
                                     6                         2           12                              0,04                                     0,24                         los dos rc?ult.ados' anterir ¡res son iguales
                                    2:                     50           141                                1,00                                     2,82
                                                                                                                                                                                                                                       .,
             Tabla 8."'                   Variahle.discreta. Cálculo de la media aritmética (p?nde.ra.da).




. ,,'   ,




                              .'....i4$.:). ~_.~.:.~.~4.~8".:i~. 7:~.<:.~~'~:: .
                                      ...
                                       ~:,J1t
                                                -
                                                              ...~
                                                         ,.~,;.:.;           .';~g~'~);
                                                                   '1,5:S;~>;-:r"3'i'-8~-5
                               •41l,1 c. 53 '. ,9'            50;5
                :1;'.-,   '   ~1l~5J';,1 ~;';'~5'B~~-~: •.5,,5:;5:1,
                                      i            ;;¡(t5::?/
                                '58,' - '63             9    60,5
                                 63,1 - 68               2    65,5
                                   2:                                           50 .

             Tabla 8.2                    Variable continua.                                       Cálculo de la media aritmética                                                                  (ponderada]




             Si cornpararno's los anteriores resullados con los obtenidos para datos no agrupados,
             observarnos que en la variable discreta son iguales; en cambio en la v;¡riable continua,
              por lo g"neral, difieren. Ello se debe a la pérdida de informacio", primero, al "grupar
            "'Ios datos en intervalos de clase; luego, al calcular la media utilizando las marcas de
            ~clase~                            "o               ir.J '}n   .-",1-              ;':-:',;'                                  .-    i          '                                        .         ' ..           ';'>        .
                                                                               ..i :.:.

             Al igual que en datos no agrupados, se podrá utilizarla calculadora para obtener el
             promedioen 'dil'ti:is'agrllpados: Veáílloslo, p""tiendo de'la éntrada de Ills datos, pues los
             pasos anteriores son iguates:                        .
~
...•
--;,'
                                ""1



                                                   d) En l<l3600p, i<lentrada o captura de datos se realiza de la siguiente manera:.

            "        ::.,.:                   ..                                                                                                              ,
                                 •"0,

                                               "
                .'. l"',:, '.    -.)
                                                       35,.5   03                @D               50,5      0 9 @D                                  '605
                                                                                                                                                     ~ '-,                       09 @D
                                                       40,5    05                @D               55,5      015 @D                                    65,5                       02 @D
                                                       45,5    07                @D
                                      ,   '


                                                                                                                                                    '!,       ',.




        "                                              35,S     [SHIFT)          CD           3        QD                         ,55,5,       ,[SHIFr)
                                                                                                                                                          ,
                                                                                                                                                                                 {JJ                        15        iJD
                                                       40,5     ISHIFT)          CD           5        QD                         60,5          [SHIFr)'                          CD                         9        QD
                                                       45,5     (SHIFTj          CD           7        CE]                        65,5          (sHIFTI                           CD                         2        QD
                                                       50,5     [SHIFT]          CD           9        QD                  ,<                        ¡    (

                                                                                                                                                                                                                 . ,:""."




                                                   Cuando oprima paréntesis                   CO debe           aparece're'n pantalla ~~nt~ '( coma. El                                                          QD         está
                                                   10c"lizado en I~tecla [r).                               "
                                                   b) PMa la salida, o se<l la obtención de los resultados, se opera exactamente                                                                                     igual al
                                                      procedimiento que empleamos en dalas no <lgrupados,.
                                                                                          ,        .



                                                   A   DESVIACIONES
                                                   Son diferencias que se obtienen e!"tre los                            valores de la variable y un punto fijo, que
                                                   puede ser un promedio, por lo general,                                la media, aun valar arbitrario, es decir,
                                                   cualquier valor que c<lprichosamente se                               quiera tomar, ya sea positivo o negativo,
                                                   dentro o fuera del recorrido,' denominado                             media supuesta u origen de trabajo, y que
                                                   lo simbolizaremos mediante A u 01.
                                                   Se consideran tr~s ~Iases de desviaciones: respecto a la media; a una media supuesta;
                                                   ya la medi<l supuesta tornada en unidades de amplitud del intervalo.
                                                                    " , .             . l.



                                                   A   DESVIACIONES RESPECTO A LA MEDIA ARITMÉTICA
                                                   Se obtienen calculando las diferencias entre cada uno de los valores que toma la
                                                   variabley la n:'edi~;la c~al se simboliza medi<lnte di' En datos no agrupados se obtiene
                                                   de la sigu fente' forma:                                     ' •..   """'.',,,.,'"
                                                                             ,    ¡.                                ,-                                    '         ..       ,""'~        .~~:.,:'ic'','
                                                   Supong<lmos los,valores,6, 8, 6, 10,5, para los cuales se sabe' qu~.I,a,media es igual
                                                                  '.                                                   "~"                                                       ),          .'
                                                   a x = 7, Y las desviaciones, <lplicando la fórmula de d; = Xi-' x,serán: 6 - 7 = -1
                                                                                                                           ",.'                                              .


                                                                                                                                                                                          ._" ....•..f."f
                                                                                                                                                                                                   ,
                                                   ; 13 - 7 = 1;,       6 - 7 = .,-1 ; 'fO - 7 = 3;                      5 - 7 = -2             .
                                                                                                                                   ,                           :1                !';';' ;~Ú           ir....
                                                   En datos agrupados, el procedimiento                          de cálculo escomos,igu<;: .                             .            :
                                                                                                                                                                                           ';;0";;.     I


                                                                                                       di   =     Xi -    X                                       . '(lh                  f'f~'!:-'~:(~
3
                                             '4
                                                            ,c,~~¡r~;:f~t:¡~~
                                                              8                .',HJ                        9,44
                                                                                                                                          ¿ (xi   -   x)fi      o
                                             5                5                2,' 8                      , 0,90
                                             6                2                3,'5                         6,36
                 ~;~-:~:   .
                                                           50
                                                                                                              °
                               Tabla 8.3 Variable dis~ret~l:'Ocsviacjones
                                                          :                                               respe¿to       a   la media'
                                                  <                        "                              ,                      •




                                        ;~:~:i
                                           :rt::;~ff~~¡;"~,'
                                         ',:,48,] J
                                             53,1
                                           ,58,1
                                             63,1
                                                           C'::   ,53 ",
                                                                  58
                                                                   63
                                                                   68
                                                                                     9
                                                                                    15
                                                                                     9
                                                                                     2
                                                                                                                             O¡r~l~l~
                                                                                                                             , 3,7          27,4

                                                                                    ,50                                                           O


                               Tabla   8.4    Variable continua - Desvi~~iones respecto                                  a .la medía

:.:.:,--"'.:
                               Observe detenidamcnte     quc, en datos no agrupados, la, suma de las desviaciones
J{~;1'"                        respecto a la media ariimética, debe ser siempre igual a"cero;' en cambio en datos
                               agrupados o tablas de frecucncia    debe estar multiplicada    cada desviación por su
                               respectiva frecuencia, para que la surnatoria sea igual a cero,


                               ...•• DESVIACIONES                         RESPECTO JI, LA MEDIA SUPUESTA U ORIGEN DE
l, .                                TR"',BAJO                                                         , ,
;1.                            El procedimiento es exactamente igual al cálculo anterior, con la diferencia que en vez
'~C-~4:"~'                     de tornar el valor de la media elegirnos un valor cualquiera; sin embargo, es preferible
                                                                                                                                                                                   l'


    h      -PI                 teneren cuenta un valor de la tabla, ojalá un valor central. ValeJa pena aclarar que estas,
"                              desviacioni,s se calculan de preferencia en datos agrupados, Con las mismas tablas
                               anteriores, calcularemos SLlS desviéciones respecto al origen de trabajo, tanto par¡1 la
":
,:[                            variable discreta como para la continua:                   ."":'
/
-,                                                    ; .:0'::c:~t:6E~V,IÁCI ºN'ES :~/f:;":!
                                                                                      :'x'i'::,'A                                              :*~1~~~!t~~:---;
                                                                                                                                                       ~.

                                                                                                                                               1171
                                                                    O                         -4
                                                                    ,                         -3
J                                                             ,~'c2:<bc::.':::¡.-    .~:"~:':1;:+:'-?-{                                                                   O
                                                                   3                ",:.':'~ 1;',..
                                                                                          -s-~.--:                                                                        5
                                        A=4                        4                             °                                                      55, 5            '0
"                                                                  5
                                                                    6
                                                                                                 ,
                                                                                                ,2
                                                                                                                                                        60, 5
                                                                                                                                                        65, 5
                                                                                                                                                                         ,5
                                                                                                                                                                         20

                               Tabla 8.5      Variable discreta - Desviaciones                                           Tabla B.6 Variable continua - Desviaciones
                                              respecto a un origen de traba/o .                                    '..                   respecto     a un ari8en de trahajo   .
.1
La media supuesta se simb611zá pO,,'A o por Ol; considerando                                                                                         el valor 4 para la variabl~:,'"
              discrela y 45,5 para la continua,      ",'                                                                                                                                    ' '
              Una de las tantas utilizaciones que se le da a estas desviaciones, corresponde al cálculo
              de la media aritmética, medianle e.denominado primer método abreviado, Veamos
              su fórmula y su aplicación con las tablas anteriores.             .




                +;<r~.~."~,. ~t¥~t~I
                           ~~~~;i        ~~~b~f~~
                 '-,''1, ",~[;;:,i:7~ibr'I.l~~;~1f~1'
                         h        ~~",~::.2, ,,.i'" .•.;..;-2-,.~_c;-~,,-'" --.?-A:+
                                 ....  ....
                                         ~,                                  .                             ..;.~.:'
                                                                         ,",1.
                                      .so                                                      -59                                                                 50                  315


                Tabla U.7 Variable d~screla - Cá.lculo de la                                                                            Tabla 8.8 Variab1e continua - Cálculo de la
                media aritmética o método abreviado                                                                                       media aritmética, o método abreviado

                                                                -.;
                                              ~".
                                                                                                                                .,
                La fórmula que 'utilizaremos para calculaf;lamedia                                                                               aritmética en ambos caso~';:erá:
                                 .,-   ..                        _                  -.        "'~.~'-""'--"""--'------~'."';                                         .


                                                                                    +'¿(X;'-'A)ft                      ~"A                +    ¿di; '"
                                                                x               A
                                                                                                     n                                          n

                Reemplaza"do;s~[¡e;;e:       x = ~ +'(- 59 + SO) = 4:" 1,18 =2,82 en la variable discreta
                                   ,    ,"
                                         '   -;,'                            .. '."                                                                      )         (~


                             x.= 45,5 + (315 '(' 50) = 45,5 +6,3 = 51,8 en la variable continua
                                                        !','.        .    ,'"                                                    .1"                     -~.,).     ;




             : -Al! DESVIAi:lONESRESPECTO    A UN ORIGEN DE TRABAJO TOMADAS
                        EN UNIDADES DE AMPLITUD      'G                     '
                    Generalmente se aplica en datos :agrupados cuando la variable es continua y la
                    ampli lud del intervalo es constante. Se calcula dividiendo cad;¡ una de las desviaciones
                    respecto a la media supuesta por la respectiva amplitud. Como siempre, se trabaja con
                    ampl itud constante; su cálculo es más abreviado; basta colocar cero al frente del origen
                    yapa nir de ese punto, hacia arriba, se tendrá: -1-2 -3 Y así sucesivamente. Se procede
                    lo mismo hacia ab'ljo, pero tomando números positivos: 1 2 J 4 ...

                    Se simboliza' mediante d; y su fórmula de cálculo es:
           ,. ~ .            ~., _~                                                                                            ' .>"   < .,'     I




                             d, ~                   x., -A
                                                    ,




                                                                .c
                                                                                         d.
                                                                                         -'
                                                                                         c                                                                                    ,
                                                                                          .:                                                                                  J

                    También se aplica para cale,ular algunas medidas, entreei'las' la média aritmética, .
                                                                                       ,,

                    conocida CO,mosegundo método abreviado, cuya fórmul;¡ es:., e
                                                                               :.:.
                                                                                  ¡



                                                                                 ¿ d¡f
                             x                 A + c                                      I

                                                                                    n

",.:",",.': 'Su
          ,            aplicación              es la siguiente:
',;




                                                                                                                                                                                                                       ".,   '

                                                                                                                                                                                                   ,8


                                                   • 50                                                                  63
                                                                                                                                .¡
                        Tao!a 8.9      Vari~ble continua - Cálculo de la rnedj~,~rítlnétíca
                                                                                   . ;,.'                      ..       ,.-,
                                                                                                                                                   -'~;~l;~¿Jkh/¿1g5b        aldevíado
                                                                                                                                                      '~"lh~~'-'i-;-l"~'~'l1;~~,._{:


                                                                                                                                               ,   .. :,,'       .;;t<t'iJ¡;}~~i'
                        A     PROPH~:DADES DE 'LA MEDIA                                                                  ARlTMÉTlcA:Jt~~;im
'j;O
,'
                                                                                                                                .'    I   '   f ¡::' ~'.¡_::~,k:d~)t,',;:i,~!¡;)i
                                                                                                                                                                .:
                                                                                                                                                                 .
                         Es de gran importancia conocer y manejar las p,'opiédades'8e"É'ste promedio, a fin de
                       . simplificar y agilizar procedimientos dé cálculo, o para;~.nl.~n,der illgunos métodos
                         estadísticos. •                                       . . .... . .
                                           '{~'I   ;.-. "                                                                                                         'f0~.:f."~-~.
                                                                                                                                                         "';~';:;(¡
1                                                                 ~           '::,                                      '!:.;                      ':"1,..        :.:;L-}i~(l:~';_¡'.
  I                     a) La suma de las desviaciones respecto a la media siempre debe ser igual a cero.
                           En datos no agrupados será        2: (x; - xT'~ O.":'i"y"eri";datos agrupados será
:.¡
                           2: (x, - x)f, = O. Ya estas propiedades las habíamos',de'rl-1o:s.trado
                                                                                                cuando se habló
                           de las desviaciones respecto a la media.          .     ,.. '   .
t~'~                             '.                                 ,. . _...'.'
                                                                         .                              '".'
                        b) La media aritmética de tina constante. es igual a' ra'~cú-j'stante. Propiedad fácil de
                                                                                                                                     : ""-:i:}v1:dr:,~~;.n~{~<::'."
1                          entender y de explicar mediante un ejemplocomq ~..   I.~¡g,:-!i<e'nte: un curso todos
                                                                                              si en
'J
~;                         los estudiantes obtienen la misma nota, esa será el promedio .
                                                                                                                                . . , '__ .. .-~; ,l.:..
                                                                                                                                        ."'-:                                           '__
                                                                                                                                                                                          .   ,


                                         2:k :,. h = nk                                n = k
1- ,   j."
                              M[k]=                                       +
                                                                                   ,   ~,''


                       e) La media aritmética de una constante por una v'ariábléserá'igual                                                                                                         al producto de.
1


~.                        la constante por la media aritmética de la variable.
             1


1
                             . Mlkxl                    + n!=
                                                                                                                                                   •
                                                                                                                                                       ',; _ "i1.:';:
                                                                                                                                                        •    "    ',C   -.:
                                                                                                                                                                               ':>~:';~-i
                                                                                                                                                                              .,'   .'. ~••


   ,                                                              '-;                                          ,                     ';: ..~.rJ!,:~.~;t,;ei:~?:~,1:
                                                                                                                                                             - i
J
                       ef)    La media de una variable más una' constante ,es igual..,,:-'~,uin:aefe la media más la
                              constante.  M[x +' k) = M[xl + M[kJ' = x + k. Esta propied.ad es válida para la
                              diferencia':         J1lx _'   k]          =   'x -             k                                                        .           _.: ;;_._.;
                                                                                                                                                                     ....                     ¡
                                                                                                                                                        ,                 . "?,     ,'l.'"    1
                       e) La media de la suma <le dos o más muestras es igu,aU£J?.i!Y'ediade estas medias
]
,
                          ponderadas, es decir, las medias deben estar multiplic~d~s [lor su respectivo
                          número de .elementos, y la suma de estos productos ..dividida por el tolal de
                          elementos, ,   .',' ,


                                                                                               x n, +
                                                                                                    1          x2n2 + x3n3
                                                                          x
                                                                                                                    n
                                                   ,.   !,.   ,    .. '
                                                                    -         :!              -~   -"   '


                       Veamos la aplicácion de algunas de estas propiedades en)atabla                                                                                                         correspondiente   a la
                       variable continua.     "".




1
,
j~~
                                                                                                                                                                                                                                    ,/l,l~!
                                                                                                                                                                                                                                    fn~".'
                                                                                                                                                                                                                                ..Ir~"


                                                                                                                                                                                                                                  .~lt=H
                                                                  Ifig ltRi~f*J"
                                                             I¡f~_~~i~
                                                        ¡~~~'W                                                                                                                        ~.;: Í'1 1                     1.665
                                                                                                                                                                                                                                    I~
                                                                                                                                                                                                                                    ,trJ¡;,~
                                                        60;5
                                                        65,.5
                                                                        ;-,9, .
                                                                          2                              76                   2                       152.•.
                                                                                                                                                                                      (,,121
                                                                                                                                                                                      ;. 131
                                                                                                                                                                                                                     1.089
                                                                                                                                                                                                                        262         J!~
                                                                                                                                                                                                                                      ;¡j¡"
                                                                                                                             50                 3.115                                                        50      5.180          :~,ti~
                                                                         50

                                                      (1) Tabla 8. 10                                   (2) Tabla 8.1.7                                                                     (3) Tabla B. 12
                                                                                                                                                                                                                                      ~':I
                                                                                                                                                                                                                                    ~,¡:t;i.~
                                                                                                                                                         .,',.-.'
                                                      Dal~; iñi~iales'                                  Propiedad de la Suma                                                            'Propiedad            deL Producto.         lif
                                                                                                                                                                                                                                    ~jl'
                                                                                                                                                                                                                                    tlijil
                                                                                                                                                                                                                                    ~¿~r.::,


                                      ',.,
                                               (1 )     Infonnación:'correspondiente,
                                                        prc','.,l~.~V,o.esiguala:
                                                                                                                             a la tabla ini~i3"1,,d.'f:,la c,ual,'.~abemos que el J~l"
                                                                                                                                                     '.'                                                                            II
                                                        ,,"';51,8.                                                                                                                                                              .~,
                                               (2)     Se le ha sumado 10, 5 a cada uno de los valores de la variable                                                                                                (tabla 8.10)     ;111
                                                       y con ella se cal,cula la nueva media aritmética.
                                                       _" 3'1'''1''5'':''''5:''0''''''''6'''2':'3''
                                                       x = '.,.+             =.'
                                                                                              ..'.,''''',''.''':"
                                                                                               ,                  , .' .. ,~, .. :L.: 3;
                                                                                                                               " ':                                                                                     ..
                                                                                                                                                                                                                         ,.
                                                                                                                                                                                                                                    ~Ir
                                                                                                                                                                                                                                      ~N¡,'

                                                                                                                                                                                                                                    :1i!.Í"'~
                                                                                                                                                                                                                                    r.,.~..
                                                                                                                                                                                                                                        .¡
                                                                                                                                                                                                                                         .
            ; '-jo     ,.•;'




                                                                                                                                                                                                                                      I.
                                                                                                                                                                                                                                      .
                      ,<                                                                                                                                                                                                                     t
    1-'         ,_.
                                                        M[x+',;(="51;8'¡:'10;5                          = 62;3'              ¡"    '(                                             ,     1                                           '",'
                                                                                  . . ~. ó"; :.                                   1,_"      ~J~~','             ,,          .'       ',.               .'

                                               (3 )     Se ha multiplicado por dos cada' uno de los valores de la variable (tabla 8.10) Yse :.''.~:Pj
                                                                                                                                            .... ...
                                .
                               , - .' , ,~.,            ha ~.,'
                                                            calculado " nuevamente .-la me'dia aritmética.
                                                                  .     ,. ~'-','      "
                                                                                                                  . ... "'y
                                                                                                           ",;.!"!~;
                                                                                                                                                 ,
    "   (    -; " ~.
                   ,                                    ,,;':5:180              +50='           '103,6"                                                                                                                               K•.   ¡:
                                               (4)
                                                        MI~~)I=51,3 x 2 = 103,6
                                                        Dividamos la distribución (ver tabla 8.1 O)en dos su.bmuestras, la primera de ellas
                                                                                                                                                                              •        "I~l                                           .i~
                                                        con 15 elementos y la segunda con 35. Luego, calcularnos la mee/ia para cada una                                                                                              '~~
                                                        de las .submuestras,     ,                             ~ ..
                                                                                                                                                                                                                                       !i¡:~~.
                                                                                                                                                                                                                                       ~.~,.;.Il
                                                                                      ':                                                                                              l.                                               ~t,
                                                      é...-   ~lY~t~~~
                                                                 ~{{~~lJ~
                                                                     ,~~~~l~f.¡~~          ¡tij¡,     .•11
                                                                                ~r*iJ.Tt~l1 ~~t:~tj1jl~~
                                                              <~~&~(:!í~ . i~~~!:~~1
                                                                  . ~iriJ       ..
                                                                                     I~~ .~l(
                                                                                 ~'¡~f!:! ~W~~~!~q;~
                                                                                                 .;~;
                                                                                                 ~1
                                                                                               ....                   :,,-
                                                                                                                                           ,

                                                                                                                                                           •.;",6,? (5);'...        .:lh.131
                                                                                                                                                                        . f-I':'~.~~:(.~~r~f ,0                          .

                                                                   "                  15                    627,5
                                                                                                      ,.' H-"
                                                                                                                                                                      2: ... •...r: ,. , 5,  ?
                                                                                                                                                                                            .J               1 962,5                  )~!~
                                                               ¡
                                                                   ""
                                                                   - ~
                                                                       '62 7,511 = 4 1
                                                                                5
                                                                                           "

                                                                                                           <33
                                                                                                                                                           ;'



                                                                                                                                                                      x2 ~ 1.962,5
                                                                                                                                                                                                 .~-'



                                                                                                                                                                                                        35        56,07 1
                                                                                                                                                                                                                                      ~~,~_
                                                                                                                                                                                                   +
                                                                                                                                                                                                                                      t~l
                                                                   X,
                                                                           .,
                                                                                                                                                                                                                                      .~*.
                                                                                                                                                                                                                                       ""~ñ'
                                                                                                                                                                                                                                      1$¡¡i
                                                          (4) Tabla 8.13 Primera                        submuestra                                              (5) Tabla 8.14' 'Segunda 's~bmuesrra

                                                                                                              .   .   :                  . '.
                                                                                                                                                                                                                                      l:i~".r
                                                                                                                                                                                                                                    .~.f   .
                                                                                                                                                                                                                                      ~'

                               "",..'''!''Lamediá'paia'el                            total será               x
                                                                                                                             41,83(15) + 56,071(35)
                                                                                                                                                         50
                                                                                                                                                                                                    2.590;
                                                                                                                                                                                                     ..5.0",
                                                                                                                                                                                                                       51,,8

                                                                                                                                                                                                                                      J
                                                                                                                                                                                                                                      J,f .
                                                                                                                                                                                                                                      :~~t
                                                                                                                                                                                                                                        ..
                                                                                                                                                                                                                                         ,:

                                                                                                                                                                                                                                      ~im
                                                                                                                                                                                                                                       ~r
                                                                                                                                                                                                                                       :ii~
l                                                                                                                                                                                                                                                  !
r,~
       ".                                                                                                                                                                     J'
     t1. .,:
    '.;,:,.
                                                                                                                                                                               ,o::
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     J:;.
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                                                                                                                                  .... 'i_.
     ?~~~J                                                                               I - ~~~~~~'ó'¿~~~l;¡~~~~_'lt:~:f4f~~Jid'}1íl<
                                                                                                                                                               1:~,,,
                                                                                                                                                             "'1:~ .. ~
                                                                                                                                                                       .


     ':;::':.'                                                                 Esaquel valor de la variable que divide la frecuencia total en dos parles iguales, esdecir,
       [~.:,(:
             .                                                                 aquel valor de la variablequ'e supera y a la vez es superado por m~,; de la mitad de las
     ,                                                                         observacione's en un conjunto ordenado. La mediana es el valor cenlral.                   ' ,          . ¡."
     tt.:: i.~("
     J.                                         "sr'                           Se le considera como unamedicia de tendencia cen'tral, ya,que se localiza en el centro,
     :{"                                                                       superando la mitad y siendo superada por la ,otra mitad de las observaciones. Este
     ~'i";-t!,                                                                 promedio es menos importante que la media aritmética y su cálculo es un poco m~s
     ,.1,,'"                                                                   complicado, ya que en cada situación'en particular debe aplicarse una determinada
     P~~.L'."!"                                                                fórmula, tan rígida que no admite tratamiento algebraico alguno, pero presenta la
     ,',                                                                       ventaja de no ser afectada por cambios que se I,ehagan a la variable, manteniendo su
     i;~i~                                                                     ordenamiento, a:uncuá~~o e~istan valores demasiad~ ~;al"des.
     ;'1+~fn',.,                                                               Para la detefmin'ción   de Ii¡mediana no se requiere conocer el valor de todos los datos;

,    ~":,-'",.,¡".,,','.;',,;,,.•¡'.,.'.,.(",,".;t .. :,:".,',',:,'
      .•




            . "....
                                                   ,::'                   "    ~~I   ~17~t
                                                                                        ::~~s~~~~~:,sc~~~ ~t;: ~l~~ae~v~~i:o~~t~~~:            U?
                                                                                                                                    lé~t~ ~~~sb o;:~sp:~:~:n~~~'i ;t:~
                                                                                                                                              ~:r~              c:
                                                                               datosincornpletó's, por ejemplo, en aquellas distribuciones cuya variahle tiene valores
      i',.,                                                                                    '" ,
                                                                               extrenlOS no 'definidos con intervalos
                                                                                                                                     , ',"
                                                                                                                        titula"dos'"lInlenos   'de" 'o    "IIm;)s de".

     ~l:",,,,;'"                                                               Vearnos su apllc:~ció~ en cada caso en particular:', ':,'       ,,' ,,',

      j',,:.                                                                  ...d   DATOS NO AGRUPADOS
       ",C:.:-                                                                 Para el cálculo de la mediana, cuando losdatos'no están agrupados en una labia de
       :;Z-:"';,"-
                                                                               frecuencias, debe tenerse en cuenta si el número de observaciones es impar o par. En
      m:;~~,ji
           '                                                                   cada CZlSO se siguen los siguiérites pasos:'   ' ,       "
       ?~~X>~~'                                                                a) Se ordenan Iqs datos de menor a mayor o de mayor a menor.
        ¡,t.;, '.~~ _
                  __
                   .
        . ,',                            .," ~
        ;:("                                                   .-i            ,.b) Se deterrnina el ,;alor central, ya sea mediante la observación directa de los datos
        :1-                                                    -1'
                                                                                   O a través de la apl icación de la fórmula: (n + l)/2. Elresultado n(h señala el nC,rnero
       ~.                                                             ,
                                                                      ¡
                                                                                   de la observación en que se localiza la Mediana; por ejernplo:
        1
              j
                                                                              Número impar de obse~vaciones
                                                                              Si sólo se dispone ele un nCmlero impar de datos, la medi,ana estar:'; localizada en el
                                                                              centro, Consideremos nuevamente los datos 6,8,6,10        Y5. Se ha dicho que prirnero
                                                                              lús ordena/nos 'de menor a may(;>r o de mayor a"menor, deja siguiente rnanera: 566
                                                                              8 '/O. Observemos que uno de los seis ocupa el centro; por lo tanto, a ese valor le
                                                                              corresponde la ¡'nediana, Me'~ 6. Ahora disponemos dedos resultados: x = 7 YMe = 6. ¡Qué
                                                                              sucede si el últirno valor en vez de lOes lOO? La mediana sigue siendo 6 y la media se
          ~-".
                                                                              altera, pasa a ser 25 para el rnismo conjunto de datos, debido a lo ,;ensible que es la
            1                                                                 rnedia, a cualquier cambio que se haga en I",variable. ,
        J,                                                                    En el misrno, ejercicio podemos calcular la mediana aplicando                    la fórmula
        ,
        r'                                                                    (n + 1) " 2 = (5 + 1) .;. 2 = 3, lo cual indica que ,la mediana,está' localizada en el tercer
        ,
        ,                                                                     dato de la variable orden",da.                        '
          }
         "~o,



         :~
         "
                                                                              Ní.mero par ~e observaciones
         ;~
          'l'                                                                 Si disponemos de un 'conjunto par de dMOS, se toma convencionalmente la mediana,
           r
          ~.~                                                                 a la media de las dos observaciones centrales. Si estos dos valores son iguales, se tomará
          ,.c .. ,~
          ;,c,    ,                                                           uno de ellos. Cón los datos: 6; 8; 6; 10; 5; 10, los ordenamos de mayor a menor: 10
          "
          1
            r                                                                 10 8 6 6 5. La mediana será el promedio entre la tercera y la cuarta observziCión
            ¡~
            r '?'                                                           obten,ida de la siguiente manera: (6 + 1) .;. 2 ;", 3,5, es' decir, que, promedia-

            ")
                      "
                                                                              mos    (8; 6) = 7. Este será el valor de I,amediana:      Me=7,
             e
          .:..


          1'.~
•
                                                                                                                                                                                               .1,,-
                                                                                                                                                                                                                           .'
                             ';;l~'?.;t1[)ATO~,.A~.~UPADOS'                                                                                                                                      ":;L.:•..'.',         ...... ,

                                          'Cuando trabajamos con tablas de frecuencias, debe 'establecerse si la variable es
                                           disueta o continua; luego, miraremos si al dividir por dos el total de observaciones,
                                           el valor se encuentra en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas, Se nos
                                         , pres,~ntan dos, situaciones al calcularla mediana, En cad'l e:asodebe aplicarse una
                                           fórmula difel'eilte, con base en [as siguientes recorriendac'i,ones:
                                                      .'  '.    .                               .     , ." '.,', ...                    '         '--'"'


                                            a) Se obtienen..las frecuencias absolutas acumu[adas,sum'aiído las sucesivas frecuen-
                                               cias, ya sea"'de arriba hacia abajo, o en sentido contrario, sin que este procedimien-
                     .J      ¡
                           "..                 to afecte el resultado,
                                            b) Dividi;':;os pbr dos el total de observaciones:                                               n '.¡. 2,
                                                                '   ..   ,;   -   ','                    .   "                      ;                                         ' ..

                                            c) El resultado anterior lo buscamos en I,a columna de las frecuencias absolutas
                                               "cumuladas, ""[respecto'recordemos que se pre'sentan dos situaciones: [a primera,
.!    .
                                               cuando el valor puede o,?servarse; dichovalor lo simb()lizarenl<?s por Ni-, yal
                   ", 1:         "1
                                               inmediatam"nte superior en valor por Ni' por lo cual se dice queN¡_, = ;'/2, La
                                               segunda situación seda cuando el valor no se observa en dicha columna; eneste
                                               caso Ni', corresponded     al valor inmediatamente inf~rior '''' n/2 y N¡ al in-
                                               mediatamente superior en valor y se dirá que N¡ -1 <n/2, Además, la fórmula que
                                               debe aplicarse es diferente al tipo de variable, discreta o continua,


                                           "A     VARIABLE DISCRETA                                                                                                                                              "r-

                           ,~"
                                            'P,:ocedem';~ia '~~i~'~lar la' mediana,                                    de' ac,Lierd~' con las '~'os situaciones                                                  descritas
                                                                                                             ''o   .
                                             anterionllente:.
                                                         I~Ji                 , L J'.'      "




                                                    Xj_l-?
                                                    Xj->                                                                        ~~~~;       ","        .. 5'" .
                                                                                                                                                                 6
                                                                                                                                                                                     '5"
                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                                                                             - '(8
                                                                                                                                                                                             "50

                                                                                          50                                                                     2:

                                                   (1) Tabia 8.15                  Variable discreta -                             (2) Tabla 8.           t 6 Variable dis.creta -
                                                   Cálculo de la mediana                                                           Cálculo             de la l7.1ediana
                                                                                                                                                                      ,   '



"~o •. '.                               - (1)      Aparece en la c.olumna de las frecuencias el valor obtenido al cal,c,ular n/2 = 25;
     -'."   .,1,
                                                   por lo tanto, se dirá qU'e Ni-, = n/2, En este caso la fórmula q'ue'debe emplearse
                                                   es:                                       .,                                    l'       "                                  ..            - ~.:~        ~




                                                                         X _1
                                                                          j
                                                                                        + xJ'                              2 +3'
                                                    Me     =             ----                                Me        ~           ~ 2,5
                                                            ",                " 2                                           2

                                      "¡~'¡:¡t2)   COIl1~~~'¡~colu,mnade las frecuencia~ absblutas acum~lag~s '~o"aparece el valor
                                        ;,.¡",;    25, ,éo.ns.ideremos COn'O Ni-, ,a 20, ~s decir, e,l valor innii:,diatamente inferior, y
                                                   com,? ~j, a[, inmediatamente superipr ", 25, o, sea, '35" ,Sei.dirá en, este caso
                                                   Ni-, < n12, y la'fórmula a emplear será: '                              '.-.'
                                                                                                                                                                                      ;--'

                                                         M" = Xi
                                                          e                                                            Me = 3           ¡




                                                                                                                                                           .,'
•
                                                                                                                                                         f~';f0~:~          ....    . '-¡
                                                                                                                                                                      "     . ,1
                             ~      VARIABLE            COiiTINUA                                                                                                        : -";




                             'xjr,?
                                     -<-
                                                                                                           ,'1n~r,~
                                                                                                            48,1
                                                                                                            53,1'
                                                                                                                  ,11"          53
                                                                                                                               "58
                                                                                                                                               9      24 '<-Ni"
                                                                                                                                               r{:9,~39 <-,Ni
                                                                                                            58,1             -  63             9 -    48
                                                                                                            63,1                68             2      50

                                                                    50                                                                         SI)
                                                -~
                                                 ..
                             (1) Tabla 0.77     Variable      continua     -                     (2) Tabla 8.1 (J V~rjabfe           continua        -
                       ;" Cálculo de la m?diana                                                  Cálculo   efe la mediana




                             (1 )   Localizamos el valór de n/2 = 25 en la columna de las frecuencias                                                     absolutas
                                    a5=umuladas, siendo  Nj., = nl2. La fórmula que debe aplicarse será:

                                    Me     =   xi .••   =   53 .
                                     Observe      que el valor de              X¡_l    lo hemos localizado         al frente de Ni ya que 53 es el
                                     cen~:ro de la distribución,                en cuanto      al númerb     de observaciones.
                             (2)' En (.ste chso, el,v~(~;'15pó  se en~J~;~traen lacol~mna,rí'or                                              lo tlnto;sedirá    que          ':'.
                                  N¡., < nl2. Para' su C~lculo se "plicará la siguientefórmula:                                          '
              ....
                                                                      n                                    , '~   ••
                                                                    , _. _ N,                                r           

  ',","'"''                                Me           x'.,¿¡+G_2_._'_j,~_'              Me      53 + 53.""1¡4'                 ~53,U
   1,                                                       J,'~.                                  -~5                       '       ---
  .tr:.';             ., .                                               -F/                        ~o                               .
  ,                          NOTA: N¡ es el símbolo que utilizaremos para indicar la columna                                                   de las frecuencias
  1',.,L

 . ~ •••
 ~     ~."_i1I_
                                   absolutas acumuladas por ser más fácil de manejar .



, ),',               "Es       una medida de posición q~,e sacrifica ~na mayor cantidad de información que la
  ,                          mediana. 5u resultado es rnás general yen algunos casos poco L,til. Fs definida corno
  ]:;.;                      aquel valor de la var.iable que rné~s re-pite, es decir que tiene IJ. 1l1<:lxinla frecuencia
                                                                  se
  J                          de la distribución.              Se simboliza            por Md, siendo igual a           Xj'           e""


                                                                                                                                 "
                              A  DATOS SIN AGRUPAR
                             Apliquemos la moda en los datos siguientes: 6; 8; 6; 10; 5, ,Ob~er;";ltnos que el 6 es
                             el valor de la variable que rnás se repite, por lo tanto: X¡'=-. Md=',6. '
                             Consideremos otro conjunto de 6 observaciones,    cuyos valores.,son: G; 8; 6; 10; 5; 10.
                             Se presentan dos valores de la variable con igual número de repeticiones,     6)' 10. En
  ,                          este caso h"y dos modas, lugo se dice que la distribución es.l~imodal.
  .f
                             Cuando ningún valor se repite más de una vez, puede a(irnlar,se que no hay moda. 5i
                             un solo valor de la variable se repite más veces que los, dernás, será u"imodal; si hay
   i
  ,1
                             más de dos modas, seráplurimodaJ.                     " ,,,,,;,~.íj> ,.,

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  • 2. cl Nos aseguramos que se haya borrado tecleando [KOIIT) 3. En pantalla debe, dpi!. recer'O. ., " d) Entramos la información oprimiendo seguidamente las tecids: e) "Los resultados se obtienen con: (KOIIT)1, la suma de cada uno de los valores de la "variab.le el~vadós al cuadrado igual a 261, Con [KOlITjZ, la suma detodos los valores :::'dela variable, igual a 35. Con [KOui-)3, el número de observaciones,'es decir, n. Ahora 'bien, con la tecld OED 1 se obtiene el valor de la media aritmética, igual a 2,82. Otra calculadora muy utilizada es la CASIO 4000p 'c'uyo pr'oéeclimiento de operar es ',,' parE'cido al anterior. <::onservando el significado de los órdin,ales, se tendrá: aY @@ . m' aparece en pantalla SO b) (SHiFT) (DEL) @D borra la memoria c) r¥iA) 3 comprobamos si borró ydebe apare,cer en pantalla O d) 6 lJD 8 lJD 6 lJD 10 lJD Este es el proceso que seguir~mos en la entrad~'o captura de los datos. el Procedemos a observar los resultados de las operaciones,que real iza la calculadora' fA0!A) 1 @D corresponde, a 2: Xf - 261 ~~ 2 @D ¿:X; = 35 ,,;,: "~ ~~ 3 @D n 5 @~J 1 @D x = 2,82 "EI alumno puede ~omprobar con el ejercIcIo de la 'tabla 7~i;;'correspondiente a la ,infornlación de d~t?s sin agrupar de la variable discreta, si€nC!o x = 2,82: También ,,,,_-.a....,... t:~/"'''''-~-''~S- puede practicar con la infor,mación de la tabla 7,9, de datos sin agrupar de una variable ". ' - V"', ~.:..- " :,~;,--',S[¡~"':'-~""" , c(~,. ~' cO"n, [inua, cuya media debe ser " x = . 52,4. ;., l"~~{(.".>/".,;~ ~'MEDlA ARlTMÉTICAPOilDERADA " ",:'_'~,:.(.r,:.,.,.r,tif) [':¡'~Se aplica cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias. El término , __ ..,-f''';:'-' ponderación se da,a la importancia o peso que tiene cada valor de la variable dentro ~". __;:/;;1 del conjunto, y corresponde a la frecuencia absoluta o relativa, siendo su mayor ..:e._".",';;;>" 'importancia cuanto más alta sea la frecuencia. La fórmula es casi'igual a la 'anterior, sólo que en este"caso se multiplica cada valor de la variable por su "'espectiva frecu(~llcia:. suma de los productos' x número de observaciones ir. ,;', . . '.~ . . ': 1 f-; ji ~ Para ,,1 desarrollo de la fórmula, se procede de la sigUienté-man'éra,: . , ',-,',,"- .',:.
  • 3. f/f~f:fj3~f!G¡Có a) Se multiplica cada valor de la' variable por su respectiva frecuencia. . . (,/<Y fy .:::1 .6'¡H;:;;:' (L~~t) b) Se suman los productos anteriores y el resultado se divide por el Ij.~nif"roe.<;j~ --~.' obs(ervaciones, es decir, por el tamaño de la muestra (n) o de la poblac.ión.~.(!'J):o,.;".~,,:., , '"" , • "; '.' /" ••.• '''''<:,.., ~:~.> , - ; .. - •. " : -o" o', _. (:"';';'.'. ',' Cuando s'olo' se dispone de.la frécl.Jenciarelativa, 'ánibiénpJede calcularse fa...'y1eclja , " Aritmética, aplicando la sig:-,ien.t",fórml,Jla:.. . <.,;;:;.;-' .• _."j á , ~. ,,-o'" . ¡, ..•~ . ~; .';' ¡ "., i:, •. ~. .,¡ .. :7,! .~'.;":'.-/" : ..,..-.' -£:,,- .. . ~". - lo. .1, x suma de los produc:tos' Ahora aplicaremos las dos fórmulas anteriores, en variables discretas y continuas; para ello, se considerará la información ciada por las tablas 7.6 y 7.10. .• : o",; '. .', "',1,,'. . '.... ~:"' '.:, ,",.,- ,- L..¡' .' ; ,', ~~f~¡~'~~f~ .. 4 5 8 5 '3'2' 25 'O'l'ó' '. 0,10. ' .... :0'.6.. "'0,50 f 4 .," x t.""L., I . '~-""/ . n' ,1.):'" ;,;.:S.x'.l ... .';~. " 2,82 '.' 6 2 12 0,04 0,24 los dos rc?ult.ados' anterir ¡res son iguales 2: 50 141 1,00 2,82 ., Tabla 8."' Variahle.discreta. Cálculo de la media aritmética (p?nde.ra.da). . ,,' , .'....i4$.:). ~_.~.:.~.~4.~8".:i~. 7:~.<:.~~'~:: . ... ~:,J1t - ...~ ,.~,;.:.; .';~g~'~); '1,5:S;~>;-:r"3'i'-8~-5 •41l,1 c. 53 '. ,9' 50;5 :1;'.-, ' ~1l~5J';,1 ~;';'~5'B~~-~: •.5,,5:;5:1, i ;;¡(t5::?/ '58,' - '63 9 60,5 63,1 - 68 2 65,5 2: 50 . Tabla 8.2 Variable continua. Cálculo de la media aritmética (ponderada] Si cornpararno's los anteriores resullados con los obtenidos para datos no agrupados, observarnos que en la variable discreta son iguales; en cambio en la v;¡riable continua, por lo g"neral, difieren. Ello se debe a la pérdida de informacio", primero, al "grupar "'Ios datos en intervalos de clase; luego, al calcular la media utilizando las marcas de ~clase~ "o ir.J '}n .-",1- ;':-:',;' .- i ' . ' .. ';'> . ..i :.:. Al igual que en datos no agrupados, se podrá utilizarla calculadora para obtener el promedioen 'dil'ti:is'agrllpados: Veáílloslo, p""tiendo de'la éntrada de Ills datos, pues los pasos anteriores son iguates: .
  • 4. ~ ...• --;,' ""1 d) En l<l3600p, i<lentrada o captura de datos se realiza de la siguiente manera:. " ::.,.: .. , •"0, " .'. l"',:, '. -.) 35,.5 03 @D 50,5 0 9 @D '605 ~ '-, 09 @D 40,5 05 @D 55,5 015 @D 65,5 02 @D 45,5 07 @D , ' '!, ',. " 35,S [SHIFT) CD 3 QD ,55,5, ,[SHIFr) , {JJ 15 iJD 40,5 ISHIFT) CD 5 QD 60,5 [SHIFr)' CD 9 QD 45,5 (SHIFTj CD 7 CE] 65,5 (sHIFTI CD 2 QD 50,5 [SHIFT] CD 9 QD ,< ¡ ( . ,:""." Cuando oprima paréntesis CO debe aparece're'n pantalla ~~nt~ '( coma. El QD está 10c"lizado en I~tecla [r). " b) PMa la salida, o se<l la obtención de los resultados, se opera exactamente igual al procedimiento que empleamos en dalas no <lgrupados,. , . A DESVIACIONES Son diferencias que se obtienen e!"tre los valores de la variable y un punto fijo, que puede ser un promedio, por lo general, la media, aun valar arbitrario, es decir, cualquier valor que c<lprichosamente se quiera tomar, ya sea positivo o negativo, dentro o fuera del recorrido,' denominado media supuesta u origen de trabajo, y que lo simbolizaremos mediante A u 01. Se consideran tr~s ~Iases de desviaciones: respecto a la media; a una media supuesta; ya la medi<l supuesta tornada en unidades de amplitud del intervalo. " , . . l. A DESVIACIONES RESPECTO A LA MEDIA ARITMÉTICA Se obtienen calculando las diferencias entre cada uno de los valores que toma la variabley la n:'edi~;la c~al se simboliza medi<lnte di' En datos no agrupados se obtiene de la sigu fente' forma: ' •.. """'.',,,.,'" , ¡. ,- ' .. ,""'~ .~~:.,:'ic'',' Supong<lmos los,valores,6, 8, 6, 10,5, para los cuales se sabe' qu~.I,a,media es igual '. "~" ), .' a x = 7, Y las desviaciones, <lplicando la fórmula de d; = Xi-' x,serán: 6 - 7 = -1 ",.' . ._" ....•..f."f , ; 13 - 7 = 1;, 6 - 7 = .,-1 ; 'fO - 7 = 3; 5 - 7 = -2 . , :1 !';';' ;~Ú ir.... En datos agrupados, el procedimiento de cálculo escomos,igu<;: . . : ';;0";;. I di = Xi - X . '(lh f'f~'!:-'~:(~
  • 5. 3 '4 ,c,~~¡r~;:f~t:¡~~ 8 .',HJ 9,44 ¿ (xi - x)fi o 5 5 2,' 8 , 0,90 6 2 3,'5 6,36 ~;~-:~: . 50 ° Tabla 8.3 Variable dis~ret~l:'Ocsviacjones : respe¿to a la media' < " , • ;~:~:i :rt::;~ff~~¡;"~,' ',:,48,] J 53,1 ,58,1 63,1 C':: ,53 ", 58 63 68 9 15 9 2 O¡r~l~l~ , 3,7 27,4 ,50 O Tabla 8.4 Variable continua - Desvi~~iones respecto a .la medía :.:.:,--"'.: Observe detenidamcnte quc, en datos no agrupados, la, suma de las desviaciones J{~;1'" respecto a la media ariimética, debe ser siempre igual a"cero;' en cambio en datos agrupados o tablas de frecucncia debe estar multiplicada cada desviación por su respectiva frecuencia, para que la surnatoria sea igual a cero, ...•• DESVIACIONES RESPECTO JI, LA MEDIA SUPUESTA U ORIGEN DE l, . TR"',BAJO , , ;1. El procedimiento es exactamente igual al cálculo anterior, con la diferencia que en vez '~C-~4:"~' de tornar el valor de la media elegirnos un valor cualquiera; sin embargo, es preferible l' h -PI teneren cuenta un valor de la tabla, ojalá un valor central. ValeJa pena aclarar que estas, " desviacioni,s se calculan de preferencia en datos agrupados, Con las mismas tablas anteriores, calcularemos SLlS desviéciones respecto al origen de trabajo, tanto par¡1 la ": ,:[ variable discreta como para la continua: ."":' / -, ; .:0'::c:~t:6E~V,IÁCI ºN'ES :~/f:;":! :'x'i'::,'A :*~1~~~!t~~:---; ~. 1171 O -4 , -3 J ,~'c2:<bc::.':::¡.- .~:"~:':1;:+:'-?-{ O 3 ",:.':'~ 1;',.. -s-~.--: 5 A=4 4 ° 55, 5 '0 " 5 6 , ,2 60, 5 65, 5 ,5 20 Tabla 8.5 Variable discreta - Desviaciones Tabla B.6 Variable continua - Desviaciones respecto a un origen de traba/o . '.. respecto a un ari8en de trahajo . .1
  • 6. La media supuesta se simb611zá pO,,'A o por Ol; considerando el valor 4 para la variabl~:,'" discrela y 45,5 para la continua, ",' ' ' Una de las tantas utilizaciones que se le da a estas desviaciones, corresponde al cálculo de la media aritmética, medianle e.denominado primer método abreviado, Veamos su fórmula y su aplicación con las tablas anteriores. . +;<r~.~."~,. ~t¥~t~I ~~~~;i ~~~b~f~~ '-,''1, ",~[;;:,i:7~ibr'I.l~~;~1f~1' h ~~",~::.2, ,,.i'" .•.;..;-2-,.~_c;-~,,-'" --.?-A:+ .... .... ~, . ..;.~.:' ,",1. .so -59 50 315 Tabla U.7 Variable d~screla - Cá.lculo de la Tabla 8.8 Variab1e continua - Cálculo de la media aritmética o método abreviado media aritmética, o método abreviado -.; ~". ., La fórmula que 'utilizaremos para calculaf;lamedia aritmética en ambos caso~';:erá: .,- .. _ -. "'~.~'-""'--"""--'------~'."'; . +'¿(X;'-'A)ft ~"A + ¿di; '" x A n n Reemplaza"do;s~[¡e;;e: x = ~ +'(- 59 + SO) = 4:" 1,18 =2,82 en la variable discreta , ," ' -;,' .. '." ) (~ x.= 45,5 + (315 '(' 50) = 45,5 +6,3 = 51,8 en la variable continua !','. . ,'" .1" -~.,). ; : -Al! DESVIAi:lONESRESPECTO A UN ORIGEN DE TRABAJO TOMADAS EN UNIDADES DE AMPLITUD 'G ' Generalmente se aplica en datos :agrupados cuando la variable es continua y la ampli lud del intervalo es constante. Se calcula dividiendo cad;¡ una de las desviaciones respecto a la media supuesta por la respectiva amplitud. Como siempre, se trabaja con ampl itud constante; su cálculo es más abreviado; basta colocar cero al frente del origen yapa nir de ese punto, hacia arriba, se tendrá: -1-2 -3 Y así sucesivamente. Se procede lo mismo hacia ab'ljo, pero tomando números positivos: 1 2 J 4 ... Se simboliza' mediante d; y su fórmula de cálculo es: ,. ~ . ~., _~ ' .>" < .,' I d, ~ x., -A , .c d. -' c , .: J También se aplica para cale,ular algunas medidas, entreei'las' la média aritmética, . ,, conocida CO,mosegundo método abreviado, cuya fórmul;¡ es:., e :.:. ¡ ¿ d¡f x A + c I n ",.:",",.': 'Su , aplicación es la siguiente:
  • 7. ',; "., ' ,8 • 50 63 .¡ Tao!a 8.9 Vari~ble continua - Cálculo de la rnedj~,~rítlnétíca . ;,.' .. ,.-, -'~;~l;~¿Jkh/¿1g5b aldevíado '~"lh~~'-'i-;-l"~'~'l1;~~,._{: , .. :,,' .;;t<t'iJ¡;}~~i' A PROPH~:DADES DE 'LA MEDIA ARlTMÉTlcA:Jt~~;im 'j;O ,' .' I ' f ¡::' ~'.¡_::~,k:d~)t,',;:i,~!¡;)i .: . Es de gran importancia conocer y manejar las p,'opiédades'8e"É'ste promedio, a fin de . simplificar y agilizar procedimientos dé cálculo, o para;~.nl.~n,der illgunos métodos estadísticos. • . . .... . . '{~'I ;.-. " 'f0~.:f."~-~. "';~';:;(¡ 1 ~ '::, '!:.; ':"1,.. :.:;L-}i~(l:~';_¡'. I a) La suma de las desviaciones respecto a la media siempre debe ser igual a cero. En datos no agrupados será 2: (x; - xT'~ O.":'i"y"eri";datos agrupados será :.¡ 2: (x, - x)f, = O. Ya estas propiedades las habíamos',de'rl-1o:s.trado cuando se habló de las desviaciones respecto a la media. . ,.. ' . t~'~ '. ,. . _...'.' . '".' b) La media aritmética de tina constante. es igual a' ra'~cú-j'stante. Propiedad fácil de : ""-:i:}v1:dr:,~~;.n~{~<::'." 1 entender y de explicar mediante un ejemplocomq ~.. I.~¡g,:-!i<e'nte: un curso todos si en 'J ~; los estudiantes obtienen la misma nota, esa será el promedio . . . , '__ .. .-~; ,l.:.. ."'-: '__ . , 2:k :,. h = nk n = k 1- , j." M[k]= + , ~,'' e) La media aritmética de una constante por una v'ariábléserá'igual al producto de. 1 ~. la constante por la media aritmética de la variable. 1 1 . Mlkxl + n!= • ',; _ "i1.:';: • " ',C -.: ':>~:';~-i .,' .'. ~•• , '-; , ';: ..~.rJ!,:~.~;t,;ei:~?:~,1: - i J ef) La media de una variable más una' constante ,es igual..,,:-'~,uin:aefe la media más la constante. M[x +' k) = M[xl + M[kJ' = x + k. Esta propied.ad es válida para la diferencia': J1lx _' k] = 'x - k . _.: ;;_._.; .... ¡ , . "?, ,'l.'" 1 e) La media de la suma <le dos o más muestras es igu,aU£J?.i!Y'ediade estas medias ] , ponderadas, es decir, las medias deben estar multiplic~d~s [lor su respectivo número de .elementos, y la suma de estos productos ..dividida por el tolal de elementos, , .',' , x n, + 1 x2n2 + x3n3 x n ,. !,. , .. ' - :! -~ -" ' Veamos la aplicácion de algunas de estas propiedades en)atabla correspondiente a la variable continua. "". 1 ,
  • 8. j~~ ,/l,l~! fn~".' ..Ir~" .~lt=H Ifig ltRi~f*J" I¡f~_~~i~ ¡~~~'W ~.;: Í'1 1 1.665 I~ ,trJ¡;,~ 60;5 65,.5 ;-,9, . 2 76 2 152.•. (,,121 ;. 131 1.089 262 J!~ ;¡j¡" 50 3.115 50 5.180 :~,ti~ 50 (1) Tabla 8. 10 (2) Tabla 8.1.7 (3) Tabla B. 12 ~':I ~,¡:t;i.~ .,',.-.' Dal~; iñi~iales' Propiedad de la Suma 'Propiedad deL Producto. lif ~jl' tlijil ~¿~r.::, ',., (1 ) Infonnación:'correspondiente, prc','.,l~.~V,o.esiguala: a la tabla ini~i3"1,,d.'f:,la c,ual,'.~abemos que el J~l" '.' II ,,"';51,8. .~, (2) Se le ha sumado 10, 5 a cada uno de los valores de la variable (tabla 8.10) ;111 y con ella se cal,cula la nueva media aritmética. _" 3'1'''1''5'':''''5:''0''''''''6'''2':'3'' x = '.,.+ =.' ..'.,''''',''.''':" , , .' .. ,~, .. :L.: 3; " ': .. ,. ~Ir ~N¡,' :1i!.Í"'~ r.,.~.. .¡ . ; '-jo ,.•;' I. . ,< t 1-' ,_. M[x+',;(="51;8'¡:'10;5 = 62;3' ¡" '( , 1 '",' . . ~. ó"; :. 1,_" ~J~~',' ,, .' ',. .' (3 ) Se ha multiplicado por dos cada' uno de los valores de la variable (tabla 8.10) Yse :.''.~:Pj .... ... . , - .' , ,~., ha ~.,' calculado " nuevamente .-la me'dia aritmética. . ,. ~'-',' " . ... "'y ",;.!"!~; , " ( -; " ~. , ,,;':5:180 +50=' '103,6" K•. ¡: (4) MI~~)I=51,3 x 2 = 103,6 Dividamos la distribución (ver tabla 8.1 O)en dos su.bmuestras, la primera de ellas • "I~l .i~ con 15 elementos y la segunda con 35. Luego, calcularnos la mee/ia para cada una '~~ de las .submuestras, , ~ .. !i¡:~~. ~.~,.;.Il ': l. ~t, é...- ~lY~t~~~ ~{{~~lJ~ ,~~~~l~f.¡~~ ¡tij¡, .•11 ~r*iJ.Tt~l1 ~~t:~tj1jl~~ <~~&~(:!í~ . i~~~!:~~1 . ~iriJ .. I~~ .~l( ~'¡~f!:! ~W~~~!~q;~ .;~; ~1 .... :,,- , •.;",6,? (5);'... .:lh.131 . f-I':'~.~~:(.~~r~f ,0 . " 15 627,5 ,.' H-" 2: ... •...r: ,. , 5, ? .J 1 962,5 )~!~ ¡ "" - ~ '62 7,511 = 4 1 5 " <33 ;' x2 ~ 1.962,5 .~-' 35 56,07 1 ~~,~_ + t~l X, ., .~*. ""~ñ' 1$¡¡i (4) Tabla 8.13 Primera submuestra (5) Tabla 8.14' 'Segunda 's~bmuesrra . . : . '. l:i~".r .~.f . ~' "",..'''!''Lamediá'paia'el total será x 41,83(15) + 56,071(35) 50 2.590; ..5.0", 51,,8 J J,f . :~~t .. ,: ~im ~r :ii~ l !
  • 9. r,~ ". J' t1. .,: '.;,:,. ,o:: ;1;' J:;. t->~_r..~ . . :",,'''':%J::' --..1jJ?....--~~:rf.."l_' ,.-'t:'->¡~.'!'."", .... 'i_. ?~~~J I - ~~~~~~'ó'¿~~~l;¡~~~~_'lt:~:f4f~~Jid'}1íl< 1:~,,, "'1:~ .. ~ . ':;::':.' Esaquel valor de la variable que divide la frecuencia total en dos parles iguales, esdecir, [~.:,(: . aquel valor de la variablequ'e supera y a la vez es superado por m~,; de la mitad de las , observacione's en un conjunto ordenado. La mediana es el valor cenlral. ' , . ¡." tt.:: i.~(" J. "sr' Se le considera como unamedicia de tendencia cen'tral, ya,que se localiza en el centro, :{" superando la mitad y siendo superada por la ,otra mitad de las observaciones. Este ~'i";-t!, promedio es menos importante que la media aritmética y su cálculo es un poco m~s ,.1,,'" complicado, ya que en cada situación'en particular debe aplicarse una determinada P~~.L'."!" fórmula, tan rígida que no admite tratamiento algebraico alguno, pero presenta la ,', ventaja de no ser afectada por cambios que se I,ehagan a la variable, manteniendo su i;~i~ ordenamiento, a:uncuá~~o e~istan valores demasiad~ ~;al"des. ;'1+~fn',., Para la detefmin'ción de Ii¡mediana no se requiere conocer el valor de todos los datos; , ~":,-'",.,¡".,,','.;',,;,,.•¡'.,.'.,.(",,".;t .. :,:".,',',:,' .• . ".... ,::' " ~~I ~17~t ::~~s~~~~~:,sc~~~ ~t;: ~l~~ae~v~~i:o~~t~~~: U? lé~t~ ~~~sb o;:~sp:~:~:n~~~'i ;t:~ ~:r~ c: datosincornpletó's, por ejemplo, en aquellas distribuciones cuya variahle tiene valores i',., '" , extrenlOS no 'definidos con intervalos , '," titula"dos'"lInlenos 'de" 'o "IIm;)s de". ~l:",,,,;'" Vearnos su apllc:~ció~ en cada caso en particular:', ':,' ,,' ,,', j',,:. ...d DATOS NO AGRUPADOS ",C:.:- Para el cálculo de la mediana, cuando losdatos'no están agrupados en una labia de :;Z-:"';,"- frecuencias, debe tenerse en cuenta si el número de observaciones es impar o par. En m:;~~,ji ' cada CZlSO se siguen los siguiérites pasos:' ' , " ?~~X>~~' a) Se ordenan Iqs datos de menor a mayor o de mayor a menor. ¡,t.;, '.~~ _ __ . . ,', .," ~ ;:(" .-i ,.b) Se deterrnina el ,;alor central, ya sea mediante la observación directa de los datos :1- -1' O a través de la apl icación de la fórmula: (n + l)/2. Elresultado n(h señala el nC,rnero ~. , ¡ de la observación en que se localiza la Mediana; por ejernplo: 1 j Número impar de obse~vaciones Si sólo se dispone ele un nCmlero impar de datos, la medi,ana estar:'; localizada en el centro, Consideremos nuevamente los datos 6,8,6,10 Y5. Se ha dicho que prirnero lús ordena/nos 'de menor a may(;>r o de mayor a"menor, deja siguiente rnanera: 566 8 '/O. Observemos que uno de los seis ocupa el centro; por lo tanto, a ese valor le corresponde la ¡'nediana, Me'~ 6. Ahora disponemos dedos resultados: x = 7 YMe = 6. ¡Qué sucede si el últirno valor en vez de lOes lOO? La mediana sigue siendo 6 y la media se ~-". altera, pasa a ser 25 para el rnismo conjunto de datos, debido a lo ,;ensible que es la 1 rnedia, a cualquier cambio que se haga en I",variable. , J, En el misrno, ejercicio podemos calcular la mediana aplicando la fórmula , r' (n + 1) " 2 = (5 + 1) .;. 2 = 3, lo cual indica que ,la mediana,está' localizada en el tercer , , dato de la variable orden",da. ' } "~o, :~ " Ní.mero par ~e observaciones ;~ 'l' Si disponemos de un 'conjunto par de dMOS, se toma convencionalmente la mediana, r ~.~ a la media de las dos observaciones centrales. Si estos dos valores son iguales, se tomará ,.c .. ,~ ;,c, , uno de ellos. Cón los datos: 6; 8; 6; 10; 5; 10, los ordenamos de mayor a menor: 10 " 1 r 10 8 6 6 5. La mediana será el promedio entre la tercera y la cuarta observziCión ¡~ r '?' obten,ida de la siguiente manera: (6 + 1) .;. 2 ;", 3,5, es' decir, que, promedia- ") " mos (8; 6) = 7. Este será el valor de I,amediana: Me=7, e .:.. 1'.~
  • 10. .1,,- .' ';;l~'?.;t1[)ATO~,.A~.~UPADOS' ":;L.:•..'.', ...... , 'Cuando trabajamos con tablas de frecuencias, debe 'establecerse si la variable es disueta o continua; luego, miraremos si al dividir por dos el total de observaciones, el valor se encuentra en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas, Se nos , pres,~ntan dos, situaciones al calcularla mediana, En cad'l e:asodebe aplicarse una fórmula difel'eilte, con base en [as siguientes recorriendac'i,ones: .' '. . . , ." '.,', ... ' '--'"' a) Se obtienen..las frecuencias absolutas acumu[adas,sum'aiído las sucesivas frecuen- cias, ya sea"'de arriba hacia abajo, o en sentido contrario, sin que este procedimien- .J ¡ ".. to afecte el resultado, b) Dividi;':;os pbr dos el total de observaciones: n '.¡. 2, ' .. ,; - ',' . " ; ' .. c) El resultado anterior lo buscamos en I,a columna de las frecuencias absolutas "cumuladas, ""[respecto'recordemos que se pre'sentan dos situaciones: [a primera, .! . cuando el valor puede o,?servarse; dichovalor lo simb()lizarenl<?s por Ni-, yal ", 1: "1 inmediatam"nte superior en valor por Ni' por lo cual se dice queN¡_, = ;'/2, La segunda situación seda cuando el valor no se observa en dicha columna; eneste caso Ni', corresponded al valor inmediatamente inf~rior '''' n/2 y N¡ al in- mediatamente superior en valor y se dirá que N¡ -1 <n/2, Además, la fórmula que debe aplicarse es diferente al tipo de variable, discreta o continua, "A VARIABLE DISCRETA "r- ,~" 'P,:ocedem';~ia '~~i~'~lar la' mediana, de' ac,Lierd~' con las '~'os situaciones descritas ''o . anterionllente:. I~Ji , L J'.' " Xj_l-? Xj-> ~~~~; "," .. 5'" . 6 '5" 2 - '(8 "50 50 2: (1) Tabia 8.15 Variable discreta - (2) Tabla 8. t 6 Variable dis.creta - Cálculo de la mediana Cálculo de la l7.1ediana , ' "~o •. '. - (1) Aparece en la c.olumna de las frecuencias el valor obtenido al cal,c,ular n/2 = 25; -'." .,1, por lo tanto, se dirá qU'e Ni-, = n/2, En este caso la fórmula q'ue'debe emplearse es: ., l' " .. - ~.:~ ~ X _1 j + xJ' 2 +3' Me = ---- Me ~ ~ 2,5 ", " 2 2 "¡~'¡:¡t2) COIl1~~~'¡~colu,mnade las frecuencia~ absblutas acum~lag~s '~o"aparece el valor ;,.¡",; 25, ,éo.ns.ideremos COn'O Ni-, ,a 20, ~s decir, e,l valor innii:,diatamente inferior, y com,? ~j, a[, inmediatamente superipr ", 25, o, sea, '35" ,Sei.dirá en, este caso Ni-, < n12, y la'fórmula a emplear será: ' '.-.' ;--' M" = Xi e Me = 3 ¡ .,'
  • 11. f~';f0~:~ .... . '-¡ " . ,1 ~ VARIABLE COiiTINUA : -"; 'xjr,? -<- ,'1n~r,~ 48,1 53,1' ,11" 53 "58 9 24 '<-Ni" r{:9,~39 <-,Ni 58,1 - 63 9 - 48 63,1 68 2 50 50 SI) -~ .. (1) Tabla 0.77 Variable continua - (2) Tabla 8.1 (J V~rjabfe continua - ;" Cálculo de la m?diana Cálculo efe la mediana (1 ) Localizamos el valór de n/2 = 25 en la columna de las frecuencias absolutas a5=umuladas, siendo Nj., = nl2. La fórmula que debe aplicarse será: Me = xi .•• = 53 . Observe que el valor de X¡_l lo hemos localizado al frente de Ni ya que 53 es el cen~:ro de la distribución, en cuanto al númerb de observaciones. (2)' En (.ste chso, el,v~(~;'15pó se en~J~;~traen lacol~mna,rí'or lo tlnto;sedirá que ':'. N¡., < nl2. Para' su C~lculo se "plicará la siguientefórmula: ' .... n , '~ •• , _. _ N, r ',","'"'' Me x'.,¿¡+G_2_._'_j,~_' Me 53 + 53.""1¡4' ~53,U 1, J,'~. -~5 ' --- .tr:.'; ., . -F/ ~o . , NOTA: N¡ es el símbolo que utilizaremos para indicar la columna de las frecuencias 1',.,L . ~ ••• ~ ~."_i1I_ absolutas acumuladas por ser más fácil de manejar . , ),', "Es una medida de posición q~,e sacrifica ~na mayor cantidad de información que la , mediana. 5u resultado es rnás general yen algunos casos poco L,til. Fs definida corno ]:;.; aquel valor de la var.iable que rné~s re-pite, es decir que tiene IJ. 1l1<:lxinla frecuencia se J de la distribución. Se simboliza por Md, siendo igual a Xj' e"" " A DATOS SIN AGRUPAR Apliquemos la moda en los datos siguientes: 6; 8; 6; 10; 5, ,Ob~er;";ltnos que el 6 es el valor de la variable que rnás se repite, por lo tanto: X¡'=-. Md=',6. ' Consideremos otro conjunto de 6 observaciones, cuyos valores.,son: G; 8; 6; 10; 5; 10. Se presentan dos valores de la variable con igual número de repeticiones, 6)' 10. En , este caso h"y dos modas, lugo se dice que la distribución es.l~imodal. .f Cuando ningún valor se repite más de una vez, puede a(irnlar,se que no hay moda. 5i un solo valor de la variable se repite más veces que los, dernás, será u"imodal; si hay i ,1 más de dos modas, seráplurimodaJ. " ,,,,,;,~.íj> ,., L , r '