Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes - Parte I A Excitação

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A Excitação (Ondas)

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  • Um processo de Markov é um processo estocástico “desmemoriado”, que a probabilidade do sistema estar no estado i no período (n+1) depende somente do estado em que o sistema está no período n. Ou seja, para os processos de Markov, só interessa o estado imediato.
  • Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes - Parte I A Excitação

    1. 1. Baia da Guanabara – Abril 2010 Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes Parte I – A Excitação João Henrique VOLPINI Mattos Engenheiro Naval Regional Sales Manager - Maritime & Offshore Solutions (South America), DNV Software Setembro 2012
    2. 2. Hidrodinâmica É uma especialidade da mecânica dos fluidos que trata da iteração entre corpos rígidos e fluidos (notadamente incompressíveis) através do estudo do escoamento ao longo do casco da unidade, bem como em outros corpos como pás do propulsor, leme, túnel do impelidor lateral, etc.  Resistência ao avanço : Avalia a resistência contra o movimento causada primariamente pelo fluxo de água ao longo do casco.  Propulsão : A força para mover o navio através da água é dado por propulsores de vários tipos, jatos de água, vela, etc. Sua iteração com o meio irá definir a eficiência propulsiva.  Carregamento hidrodinâmico : Avalia as pressões, forças e momentos induzidos no casco pelas ondas, correnteza, etc.  Movimento do navio : Avalia os movimentos (deslocamentos, velocidade e acelerações) da embarcação e sua resposta em ondas.  Manobrabilidade : Avalia o controle e manutenção da posição e direção da embarcação.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 2
    3. 3. Características Importantes Algumas características do comportamento em ondas são importantes no projeto de uma unidade flutuante, sob o ponto de vista da segurança e conforto : - Movimentos e acelerações em diversos pontos do casco - Tensões ocorrentes em pontos do casco. - Ocorrência de batida de proa (slamming). - Incidência de água no convés (green sea). - Ocorrência de emersão do propulsor. - Perda de velocidade em ondas. Para calcular tudo isto, o primeiro passo é uma compreensão adequada das ondas : seu com- portamento real, seus modelos matemáticos, sua distribuição no tempo e no espaço, ...© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 3
    4. 4. Alguma Matemática (não tão) Básica© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 4
    5. 5. Aí Vem Coisa ....  Você que provavelmente tem um background em matemática, engenharia civil, mecânica dos fluidos ou física, certamente não tem medo de derivadas parciais ou funções de transferência quadráticas … Ou tem ?  Na matemática aplicada à hidrodinâmica, temos que conhecer alguns conceitos; cálculo vetorial, equações diferenciais, operadores diferenciais, números complexos...  Não que este conhecimento seja fundamental a compreensão deste texto, mas será se quiser ler posteriormente algum livro ou artigo sobre o assunto.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 5
    6. 6. Alfabeto Grego LETRA NOME UTILIZAÇÃO LETRA NOME UTILIZAÇÃO α Alpha ν Nu Coeficiente de viscosidade cinemática Ângulo entre o aproamento e a β Beta direção da onda, parâmetro de ξ Xi Fator de amortecimento escala de Weibull ο Omicron Fator de intensificação de pico, γ Gamma assimetria π Pi 3.1415926535897932384626... δ Delta Amplitude da onda ρ Rho Densidade ε Epsilon Largura de banda σ Sigma Desvio padrão ζ Zeta Elevação da onda τ Tau Período de retorno η Eta υ Upsilon Parâmetro de localização de θ Teta Weibull, ângulo de arfagem Função de distribuição φ Phi acumulada, ângulo de jogo, ι Iota potencial de velocidades κ Kappa χ Chi λ Lambda Comprimento da onda ψ Psi Ângulo de guinada Profundidade relativa, média ω Omega Frequência angular μ Mu estatística de valores© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 6
    7. 7. Produto Escalar  O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores A e B é um número real resultado do produto do comprimento de A pela projeção de B em A B     A • B = A . B cos(θ ) A |B|cos(θ)  Em um sistemas de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde  A = (a1 , a2 ,... , an )  B = (b1 , b2 ,... , bn ) então   n A • B = ∑ ai bi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn i −1© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 7
    8. 8. Produto Vetorial  O produto vetorial (ou produto externo) entre dois vetores A e B no espaço tridimensional é um outro vetor perpendicular a ambos os vetores (ou normal ao plano formado por ambos) Aₓ B     A × B = A . B sin (θ )n ˆ n é o vetor unitário perpendicular tanto a A quanto a B B |A ₓ B| A i, j, k são os vetores unitários nas direções x,y,z  Em notação matricial, se   A = a1ii + a2 j + a3k = [a1 a2 a3 ] e B = b1i + b2 j + b3k = [b1 b2 b3 ] então i j k   A × B = (a2b3 − a3b2 )i + (a3b1 − a1b3 ) j + (a1b2 − a2b1 )k = det a1 a2 a3    b1 b2 b3   © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 8
    9. 9. Funções Trigonométricas e Hiperbólicas  Enquanto as funções trigonométricas geram círculos, as funções hiperbóli- cas vão gerar uma hipérbole. 𝑒 𝛼 + 𝑒 −𝛼 𝑥 = cos 𝛼 𝑥 = cosh 𝛼 = 2 −𝛼 x2 + y2 = 1 𝑦 = sin 𝛼 𝑒 − 𝑒 𝛼 𝑦 = sinh 𝛼 = 2 cos sin cosh tan tanh sinh© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 9
    10. 10. Campo Em vários processos físicos existem grandezas que variam com a posição e o tempo e que podem ser representadas por uma função f(x,y,z,t) que é denominada campo. Um campo é estacionário quando independe do tempo f(x,y,z). Um campo é escalar quando a grandeza característica do campo é escalar. Exemplos : • A distribuição de temperatura em uma sala. Campo escalar f ( x, y, z ) = 3x + 5 y 2 − sin z • A intensidade do som em um cinema. • O campo magnético terrestre. Campo vetorial • A velocidade da água em uma  F ( x, y, z ) = (3x + 5 yz,5 xz,3 xy) pia aberta.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 10
    11. 11. O Operador Nabla William Rowan Hamilton Matemático irlandês 1806-1865 Foi introduzido pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton, sendo usado no cálculo vetorial para denominar o operador diferencial. Em coordenadas cartesianas ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = x + y + z ou ∇ = i + j + k ˆ ˆ ˆ ou ∇ =  , ,   ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z   i, j, k são os vetores unitários nas direções x,y,z Em coordenadas cilíndricas ∂ 1 ∂ ∂ ∇= ρ+ ˆ ϕ+ z ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z Em coordenadas esféricas ρ ∂ 1 ∂ ˆ 1 ∂ ∇= r+ ˆ θ+ ϕ ˆ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 11
    12. 12. Gradiente É uma função vetorial que indica o sentido e direção da maior alteração do valor uma função escalar por unidade de espaço. ∂f ∂f ∂f Suponha um campo escalar f(x,y,z), então ∇f = i + j + k ∂x ∂y ∂z Exemplo : se f ( x, y, z ) = 3 x + 5 y − sin z 2 então ∇f = 3i + 10 yj − cos zk O gradiente de f(x,y) em (x,y) é normal à “curva de nível” no ponto (x,y), apontando para a direção de crescimento máximo de f(x,y). Em suma, o gradiente de uma função escalar é um vetor com módulo, direção e sentido que representa a taxa máxima de crescimento desta função escalar.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 12
    13. 13. Divergente Divergente de um campo vetorial F é um escalar que representa o fluxo do vetor por unidade de volume V é o volume em uma região arbitrária  F.n ∇ • F = lim ∫∫ dS S(V) é a superfície deste volume n é o vetor normal à área V →0 S (V ) V Ele é calculado como o produto escalar entre o operador ∇ e um campo vetorial.   ∂Fx ∂Fy ∂Fz Suponha um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k , então ∇ • F = + + ∂x ∂y ∂z Ou seja, divergente é um operador que mede a magnitude da “fonte” ou “sumidouro” de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão dos vetores do campo em um determinado ponto. Exemplo : Se o ar é aquecido em uma sala, ele irá se expandir em todas as direções. O divergente será positivo pois se obser- varmos um pequeno volume desta região teremos mais ar saindo do que entrando neste volume : uma fonte.   V = (3x − 2 y + z )i + (10 − cos y ) j + (5 x + 5 y − z )k ∇ • V = 3 + sin y − 1 = 2 + sin y© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 13
    14. 14. Rotacional Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholçtz Médico e físico alemão 1821-1894 O rotacional de um campo vetorial pode ser entendido físicamente como uma medida de sua circulação por unidade de área (vorticidade).  ∫ Fds (∇ × F ) • n = lim c ˆ A A→ 0  Suponha um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k , então   ∂Fz ∂Fy   ∂Fx ∂Fz   ∂Fy ∂Fx   ∂y − ∂z i +  ∂z − ∂x  j +  ∂x − ∂y k ∇×F =           i j k  Ou em termos matriciais ∇ × F = ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z Fx Fy Fz A direção do rotacional aponta para o eixo de rotação e sua magnitude é dada pelo módulo do rotacional.   V = (3 x − 2 y + z )i + (10 − cos y ) j + (5 x + 5 y − z )k ∇ × V = 5i + 6 j − 2k© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 14
    15. 15. Laplaciano Pierre Simon Laplace Matemático francês 1749-1827 O operador Laplaciano é um escalar definido como o divergente de um gradiente. Na verdade, isto é uma simplificação, pois ele também pode ser aplicado a campos vetoriais. ∂2 f ∂2 f ∂2 f Laplaciano escalar aplicado a um campo escalar. ∇ • ∇f = ∇ f = ∆f = 2 + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z   Laplaciano vetorial aplicado a um campo ∇ × ∇F = ∇ F = ∇ 2 Fx i + ∇ 2 Fy j + ∇ 2 Fz k 2 vetorial. Pode ser encarado como a soma dos laplacianos dos componentes ortogonais. Exemplo : Fisicamente o Laplaciano pode ser visualizado como uma medida da “concavidade” ou mudança de direção de uma função - uma rampa linear teria Laplaciano nulo. Equação de Laplace ∇2 f = 0© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 15
    16. 16. Escoamento Potencial  Em fluidodinâmica, um escoamento potencial é aquele que pode descrever o campo de velocidades como o gradiente de uma função escalar : o potencial de velocidades.  v = ∇ϕ  Exemplo matemático ϕ ( x, y ) = 3 x + 2 y  v ( x, y ) = (3,2)   Se o escoamento é potencial, então ∇ × v = 0 O rotacional é nulo  Se o fluido é incompressível, então ∇ ϕ =0 2 O Laplacianol é nulo  O escoamento potencial não apresenta turbulência nem camada limite.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 16
    17. 17. Teorema de Green George Green Matemático inglês 1793-1841 Matematicamente, o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por esta curva. Seja C uma curva simples fechada derivável e D a região do plano delimitada por C. Sejam P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas na região contendo D, então :  ∂Q ∂P  ∫ C Pdx + Qdy = ∫∫  D  ∂x  − dA dy   Na fluidodinâmica este teorema é utilizado para descrever o relacionamento pelo qual um fluido incompressível se move ao longo ou através de uma fronteira em um plano e o modo pelo qual ele se move dentro desta região.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 17
    18. 18. Física (meio) Básica© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 18
    19. 19. Milha  Milha Náutica : A definição atual da milha náutica (ou milha marítima) foi adotada em 1929 pela First International Extraordinary Hydrographic Conference, realizada em Mônaco. 1 mn = 1852 m Historicamente a milha náutica foi definida como sendo o comprimento de 1 minuto de arco ao nível do mar, medida ao longo dos meridianos ou do equador. A milha terrestre é definida como 5280 pés (1609.344 m), e historicamente foi definida na Roma antiga como a distância percorrida em 1000 passos por uma coluna de soldados.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 19
    20. 20. Nó  O nó (knot) é a unidade de velocidade normalmente utilizada nos meios marítimos. 1 nó = 1 mn/h = 1852 m/h = 0.5144 m/s = 1,852 km/h O nome veio historicamente do processo utilizado para medir velocidades, onde uma corda com nós espaçados de 50 pés, amarrada a uma tábua de madeira triangular com pesos (para se manter afundada) era jogada pela popa. Uma ampulheta de 30 segundos era utilizada, contando-se quantos nós passavam pela amurada neste intervalo. Demonstração 50 ft x 0.3048 m = 0.51 m/s 30 s 1 ft© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 20
    21. 21. Leis de Newton Isaac Newton Físico inglês 1642-1727  1ª Lei (Lei da Inércia) Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta a menos que seja obrigado a mudar por forças impressas a ele.   dv ∑ F = 0 ⇒ dt = 0 Não é preguiça, é inércia !  2ª Lei (Princípio Fundamental da Dinâmica) A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime esta força.   dp d (mv )   dv  F= = =m = ma dt dt dt  3ª Lei (Princípio da Ação e Reação) A uma ação sempre se opõe uma reação igual em sentido contrário.   ∑ Fa,b = − ∑ Fb,a© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 21
    22. 22. Equação de Bernoulli Daniel Bernoulli Matemático holandês 1700-1782  Para um fluxo permanente sem viscosidade e incompressível, um aumento na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão ou na energia potencial do fluido. v2 p + gh + = constante 2 ρ  O princípio de Bernoulli pode ser utilizado para justificar a força de sustentação de um aerofólio. Se o ar na parte superior do mesmo se move mais rapidamente do que na parte inferior, haverá uma diferença de pressão para cima.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 22
    23. 23. Equação de Navier-Stokes Claude Louis Marie Henri Navier Engenheiro e matemático francês 1785-1832 George Gabriel Stokes Matemático e físoco irlandês 1819-1903  São equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Newtonianos. Elas são equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão num escoamento. Estas equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o resultado das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção) atuando dentro do fluido.  Em notação vetorial, assumem a seguinte forma  DV   ρ = ρg − ∇p + µ∇ V 2 Dt Massa por unidade de Força gravitacional por Força de pressão por Força viscosa por volume vezes aceleração unidade de volume unidade de volume unidade de volume  Para escoamentos invíscitos (μ=0) chega-se à equação de Euler  DV  ρ = ρg − ∇p Dt© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 23
    24. 24. Ondas de Gravidade© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 24
    25. 25. Ondas de Gravidade  Ondas geradas no meio fluido ou na interface entre a água e o ar, tendo como força de restauração principal a gravidade.  Mesmo não transportando massa (ao menos na teoria linear), transportam energia (quem viaja é a forma da onda, não a matéria).  A medida em que a profundidade aumenta, o movimento das partículas diminue. A uma profundidade igual a metade do comprimento da onda o movimento orbital das particulas é menos que 5% o da superfície.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 25
    26. 26. Origem das Ondas de Gravidade  Correntes de ar : Resultante da ação do vento soprando em uma extensão suficiente da superfície do oceano (pista).  Correntes marítimas : Devido ao efeito dos campos de pressão atmosférica que geram os ventos e as correntes marítimas.  Marés : Associada a variação do nível médio da superfície livre da água, causada pela interferência da Lua e do Sol sobre o campo gravitacional da Terra.  Deslocamentos de terra ou gelo.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 26
    27. 27. Características Gerais das Ondas Oceânicas  Irregulares e randômicas em formato, altura, comprimento e velocidade de propagação.  Classificação : • Wind seas (vagas) : Geradas pelo vento no local, em geral não possuem uma direção coerente nem formato definido. • Swell (marulho ou ondulação) : As mais comuns. se propagam por milhares de quilometros, tendendo a se alinhar e agrupar em séries. Em um determinado local pode existir swell vindo de vários outros locais. • Tsunami : Gerada por perturbações sísmicas (terremotos, erupções vulcânicas, etc.). Não oferecem perigo em alto mar. • De capilaridade : Formadas no início das correntes de vento, morrem quando o vento termina, sendo amortecidas pela tensão superficial da água.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 27
    28. 28. Como as Ondas Nascem  Em geral resultam do vento soprando sobre uma grande área do oceano (pista - fetch) durante um bom tempo. - Inicialmente o movimento turbulento do ar começa a perturbar o equilíbrio da água pela ação de pulsos de pressão sobre a superfície, surgindo as ondas de capilaridade (ripples). - Se o vento aumentar, as ondas começam a se formar e a interferir na passagem do vento. Ele encontra maior resistência para vencer as cristas e cavados e tem início a transferência de energia para a superfície da água. - Se o vento continua por mais tempo e distância, a velocidade das ondas pode se igualar a sua velocidade (ou mesmo ultrapassá-la), formando o que é chamado de “mar totalmente desenvolvido” (a energia ganha do vento é igual à perdida para a gravidade).© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 28
    29. 29. Influência da Pista e Velocidade do Vento  Na figura podemos estimar a altura significativa das ondas, partindo dos valores de velocidade do vento (eixo vertical) e comprimento da pista (eixo horizontal), ou velocidade do vento e sua duração (linhas tracejadas), determinando a altura das ondas (linhas cheias). Duração (h) Velocidade do vento (m/s) Altura (m) Comprimento da pista (km)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 29
    30. 30. Como as Ondas Morrem  Perdem energia devido ao espalhamento.  Empinamento (shoaling). É o processo no qual a altura da onda aumenta a medida em que a profundidade diminue (a profundidade é considerada rasa quando d <= λ/20). Seu período é mantido, mas o comprimento e velocidades também diminuem.  A onda quebra quando sua altura é maior que 78% da profundidade ou menor que 1/7 do seu comprimento.  Dependendo da inclinação do fundo, da altura e do comprimento da onda (em águas profundas), a forma da arrebentação pode variar - Deslizantes : inclinação suave - Tubulares : Inclinação intermediária - Ascendentes : Inclinação acentuada. Na verdade as ondas nunca quebram.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 30
    31. 31. Altura Máxima das Ondas  A altura da onda é limitada pela sua quebra.  2πd   A altura máxima por quebra é dada por H b = 0.142λ tanh   λ   A altura máxima por quebra também pode ser mostrada como uma função do período da onda para diferentes profundidades, como no gráfico λ Em águas profundas H b = 7 Em águas rasas a altura de quebra pode ser tão baixa como 78% da profundidade local, mas em regiões extensas e muito planas pode diminuir a 55% da profundidade local.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 31
    32. 32. Ondas Internas  Propagam-se na interface de separação entre massas de água com densidades diferentes. Qualquer perturbação é suficiente para provocar estas ondas.  Com frequência bem mais baixa do que as ondas de superfície (períodos entre 10 e 20 min), mas com amplitude significativamente maior (dezenas de metros), as ondas internas fazem com que as partículas que estão na superfície (como detritos, derramamento de petróleo, etc.) convirjam e se acumulem sobre os seus cavados.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 32
    33. 33. Medindo as Ondas© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 33
    34. 34. Teoria das Ondas Na análise de estruturas submetidas a carregamento de ondas, elas podem ser modeladas por métodos determinísticos ou estocásticos.  Ondas Regulares : São periódicas e uniformes, possuindo um comprimento λ, período T e uma altura H Quanto à bem definidos. Regularidade  Ondas Irregulares : pode ser representado pela superposição linear de ondas regulares com diferentes amplitudes, frequências e fases.  Ondas Lineares : Satisfazem as condições do movimento ser irrotacional e o fluido incompressível (a Quanto à matéria não se desloca). Linearidade  Ondas Não-Lineares : As partes “altas” da onda se movem mais rápido que as “baixas”.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 34
    35. 35. Características Físicas das Ondas 1 z AC x H AT λ  Comprimento da onda λ [m] é a distância entre duas cristas sucessivas.  Período da onda T [s] é o intervalo de tempo para a onda percorrer um ciclo completo. λ  Velocidade de fase é a velocidade de propagação da forma da onda c= [m/s]. T 1  Frequência da onda f = [Hz] é número de ciclos que a onda realiza por unidade de tempo. T T, f e ω 2π estão  Frequência angular da onda ω = = 2πf [rad/s]. T interligados 2π  Número de onda k = [rad/m] é o número de ciclos da onda por unidade de com- primento. λ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 35
    36. 36. Características Físicas das Ondas 2 z AC x H AT λ  Altura ou amplitude da crista AC é a distância do nível de águas paradas até a crista.  Profundidade ou amplitude do cavado AT é a distância do nível de águas paradas até o cavado.  Altura da onda H é a distância vertical do cavado até a crista H = AC + AT  Ondas lineares são simétricas em relação ao nível médio da água.  Ondas regulares não lineares são assimétricas, (AC > AT), e a velocidade de fase c depende da altura da onda H.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 36
    37. 37. Características Físicas das Ondas 3 Horace Lamb Matemático inglês 1849-1934 z AC x H AT d λ Leito marinho H  Esbeltez é a proporção entre a altura da onda e seu comprimento S = λ  Altura relativa é a proporção entre a altura da onda e a profundidade H d  Profundidade relativa é a proporção entre a profundidade e o comprimento da onda d µ= λ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 37
    38. 38. Grupos de Ondas  Na teoria linear de ondas pode ser demonstrado que a velocidade de fase depende do comprimento da onda e profundidade local gλ  2πd  tanh  c= 2π  λ   Em um local do oceano são gerados trens de ondas com vários comprimentos de onda e períodos ligeiramente diferentes. Estas ondas vão interferir formando um único grupo de ondas resultantes.  Velocidade de grupo cg é a velocidade pela qual a modulação das amplitudes da onda (a energia) se propaga. 1 2kd  g c g = 1 +  k tanh(kd ) 2  sinh( 2kd )  2πg  2πd   Relação de dispersão para ondas lineares ω = gk tanh(kd ) = tanh  [rad/s] λ  λ © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 38
    39. 39. Escala de Estado de Mar WMO Henry Percy Dougllas Hidrógrafo inglês 1879-1939  O conceito de estado de mar (sea state) é vago, pois não indica o período das ondas. Entretanto, é largamente utilizado.  Definido pela World Meteorological Organization, é baseado na Escala de Douglas para “wind seas”. CÓDIGO ALTURA DAS ONDAS DESIGNAÇÃO WMO (m) 0 Espelhado 0 1 Chão 0-0.1 2 Encrespado 0.1-0.5 WMO 4 3 Pequena vaga 0.5-1.25 WMO 6 4 Cavado 1.25-2.5 5 Grosso 2.5-4 6 Alteroso 4-6 7 Tempestuoso 6-9 8 Encapelado 9-14 9 Excepcional 14+ WMO 7 WMO 9© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 39
    40. 40. Caracterização do Estado de Mar  O estado de mar é melhor caracterizado por várias estatísticas, sendo as principais : - Altura significativa Hs. - Período médio entre cruzamentos zero Tz ou período de pico Tp - Direção da propagação das ondas  Alguns destes parâmetros são historicamente obtidos por estimativas visuais feitas por um observador treinado. H s = 1.68 H V .75 (m) 0 T p = 2.83TV0.44 (s)  Outros podem ser obtidos a partir de análises estatísticas a partir de uma tabulação dos dados coletados H1/3, Hrms).  Finalmente, através de análises estatísticas mais complexas a partir do espectro de distribuição de energia, parâmetros mais confiáveis podem ser obtidos (Hs, Tp, σ, etc.)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 40
    41. 41. Obtenção dos Dados por Ondógrafo  Em geral é utilizado um ondógrafo para registrar ao longo do tempo as elevações ocorridas. Com o uso de acelerômetros é possível também coletar informações relacionadas às direções de incidência das ondas. Vários parâmetros podem ser obtidos da série temporal.  Após a retirada do ruído da série temporal é aplicada a FFT, convertendo os sinais de elevação em função do tempo para uma modalidade de energia associada à frequência (δ2/ω x ω).  O ajuste do espectro é feito por expres- sões matemáticas que o definem em função de alguns parâmetros como forma, altura significativa de onda e período de pico.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 41
    42. 42. Análise da Série Temporal 1 Série Temporal Elevação (m) sinal envelope Probabilidade Relativa Tempo (s) H (m) Tabulação dos Dados Probabilidade Acumulada H (m)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 42
    43. 43. Análise da Série Temporal 2  A partir da análise de um registro das alturas de onda, vários parâmetros podem ser estabelecidos. PARÂMETRO VALOR Amplitude média Ā 0.04 m Desvio padrão σ 2.40 m Amplitude média quadrática Arms 2.40 m Amplitude máxima Amax 9.97 m Amplitude mínima Amin -8.18 m Cruzamentos 0 ↑ 1112 Nº Máximos 1289 Nº Mínimos 1282 Altura Pico-Pico ↑ 17.64 m Altura Pico-Pico ↓ 17.07 m Período médio de cruzamento zero Tz 9.71 s Período médio entre cristas Tc 8.38 s H1/3 9.25 m H1/10 11.78 m© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 43
    44. 44. Obtenção dos Dados por Satélite  Satélites de observação com vários tipos de sensores, radares e câmeras são utilizados atualmente. Satélite ERS-2 (1995)  Para a medição de altura de ondas (e de terreno) é utilizado o radar SAR (Synthetic Aperture Radar). O radar gera um pulso que é refletido, contendo duas informações importantes : a amplitude do sinal de retorno e a diferença de fase em relação ao sinal irradiado, que juntos são tratados como uma imagem complexa bruta. Imagem amplitude (cores claras são ondas maiores) Funcionamento do SAR  Da imagem complexa pode-se gerar a imagem amplitude, que é o módulo da imagem complexa.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 44
    45. 45. Ondas Regulares© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 45
    46. 46. Teorias de Ondas  Airy : A elevação da onda é aproximada por uma senóide.  Stokes : A altura da crista é maior que a altura do cavado. Cristas mais agudas do que o cavado.  Cnoidal : Cristas muito mais agudas do que o cavado.  Solitária : A altura da crista é praticamente igual a altura da onda (não há cavados).© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 46
    47. 47. O Problema a Ser Resolvido  Determinar o potencial do campo de velocidades das ondas de superfície φ.  Hipóteses básicas : 1. Fluido incompressível (densidade constante) 2. Fluido invíscido (não tem viscosidade) : escoamento irrotacional 3. Movimento coplanar (despreze espalhamento - eixo y) Conservação da massaEquações : Conservação do momento Condições de contorno λ z ζ(x,t) Nível da água z = 0 x H d Leito marinho z = -d© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 47
    48. 48. Equações de Conservação da Massa e Momento 1 Dρ  A variação da massa em um  Equação geral de Navier-Stokes : +∇•v = 0 volume infinitesimal é igual ρ Dt à massa que nele entra menos a massa que sai. Dρ A densidade é constante. =0  Hipótese 1: Fluido incompressível Dt então  O divergente de velocidades é nulo. ∇•v = 0 (água que entra = água que sai)  ∇×v = 0 O rotacional de velocidades é nulo.  Hipótese 2 : Movimento irrotacional  então A velocidade pode ser expressa como o v = ∇ϕ gradiente de uma função potencial. ∂ϕ Não há escoamento transversal  Hipótese 3 : Nada se move em y =0 ∂y ∂φ p  Equação de Bernoulli não estacionária: − + + gz = 0 ∂t ρ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 48
    49. 49. Condições de Contorno ∂ϕ  No leito do oceano (em z = -d) : =0 A velocidade do fluido normal ao fundo é nula. ∂z  Na superfície livre (z = ζ) : – Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na superfície livre lá permanece (sua velocidade vertical é igual a velocidade vertical da superfície do fluido). ∂ϕ ∂ζ ∂ϕ ∂ζ Considerando que a altura da onda ∂ϕ ∂ζ − = − em z = ζ seja pequena quando comparada − = ∂z ∂t ∂x ∂x ∂z ∂t ao seu comprimento, o termo de inclinação δζ/δx=0. – Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o corpo. ∂ϕ − + g .ζ = 0 Bernoulli aplicado a z = ζ onde p = 0 ∂t© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 49
    50. 50. O Resultado Linear  Considerando uma onda senoidal onde são conhecidas a amplitude H, o comprimento λ e seu período T, a elevação de sua superfície pode ser expressa por 2π 2π ζ (x, t ) = sin (kx − ωt ) onde ω = H e k= 2 T λ  Através da separação de variáveis chegamos à solução H g cosh[k (d + z )] φ ( x, z , t ) = cos(kx − ωt ) 2 ω cosh (kd )  Aplicando esta solução a Bernoulli em z=0, chegamos à relação de dispersão 2πg  2πd  ω 2 = gk tanh(kd ) = tanh  λ  λ © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. 50
    51. 51. Influência da Profundidade nas Ondas A teoria linear de ondas é uma solução da equação de Laplace, o que leva gλ  2πd  a seguinte formulação para a velocidade de fase c = tanh  2π  λ  A partir daí podemos verificar porque a profundidade da água pode ser classificada em 3 categorias : d  2πd  gλ - Águas profundas > 0.5 ⇒ tanh  ≈ 1.0 ⇒ c = λ  λ  2π Para profundidades maiores que 50% do comprimento da onda, a velocidade de fase não é influenciada pela profundidade. Este é o caso da maior parte das ondas na superfície do oceano. d  2πd  2πd - Águas rasas λ < 0.05 ⇒ tanh λ  ≈ λ ⇒ c = gd   Quando a profundidade é menor que 5% do comprimento da onda, a velocidade de fase é dependente somente da profundidade, não sendo mais uma função do seu comprimento. - Águas intermediárias 0.05λ < d < 0.5λ Para todos os outros casos, ambos a profundidade e o comprimento tem uma influência significativa na velocidade de fase.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 51
    52. 52. Teoria de Onda de Airy (Onda Senoidal) George Biddell Airy Astrônomo inglês 1801-1892  A altura da onda é pequena em comparação com seu comprimento ou profundidade da água.  Condições de contorno na superfície livre são satisfeitas no nível médio de águas tranquilas e não no nível real de elevação das ondas.  Parâmetros que definem uma onda linear : H (ou ζa), d, T, ʎ z crista ζa x cavado λ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 52
    53. 53. Ondas Senoidais em Águas Profundas Para águas profundas (d > 0.5 λ) 2πg  Relação de dispersão Ω = gk = [m/s] λ gT 2  Comprimento da onda λ = [m] 2π gT g gλ g  Velocidade de fase c = = = [m/s] = ω 2.π k 2π 1 g g gT c  Velocidade de grupo c g = = = = [m/s] 2 k 2ω 4π 2  Elevação da superfície ζ = ζa sin(kx - ωt) [m]  Pressão subsuperficial p = ρ g exp(kz) ζa sin(kx - ωt) [Pa] onde g = aceleração da gravidade (9.81 m/s2) ρ = densidade da água (1025 kg/m3) Observe que z se torna mais negativo a medida em que vamos para o fundo.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 53
    54. 54. Ondas Senoidais em Águas Intermediárias Para águas intermediárias (0.5 λ < d < 0.05 λ) A formulação envolve funções hiperbólicas, fazendo com que vários parâmetros tenham que ser calculados por métodos numéricos ou aproximações. 2πg  2πd   Relação de dispersão Ω = gk tanh(kd ) = tanh  λ  λ   2π  2πg  2πd  2  Comprimento da onda λ é a solução de   = tanh   T  λ  λ  tanh (k .d ) g  Velocidade de fase c = k 1 2kd  g  Velocidade de grupo c g = 1 + 2  sinh( 2kd )  k tanh(kd )  cosh[k .(h + z )]  Pressão subsuperfícial p = ρ .g . . sin(ω .t − k .x) cosh(k .h)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 54
    55. 55. Ondas Senoidais em Águas Rasas Para águas rasas (d < 0.05 λ) 2π  Relação de dispersão Ω = k gd = gd λ Comprimento da onda λ = T gd  Velocidade de fase c = gd  Velocidade de grupo c g = gd = c  Pressão subsuperficial (aproximadamente a hidrostática) p = ρg(ζ + z)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 55
    56. 56. Teoria de Onda de Stokes George Gabriel Stokes Matemático irlândes 1819-1903  A medida em que a altura da onda aumenta com relação ao comprimento, (esbeltez S aumenta) ela vai se afastando da onda linear. Cavado mais achatado (e longo) do que a cris- ta. Amplitude até a crista é maior que amplitude até o cavado. O movimento das partículas não é fechado, havendo um pequeno deslocamento na dire- ção da propagação (Stokes drift). Por isto as ondas conseguem transportar sedi- mentos, derrames de petróleo, etc. O equacionamento da onda é feito através de expansão em série de Taylor. O último termo da série define a ordem da onda de Stokes.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 56
    57. 57. Parâmetros da Onda de Stokes de 2ª Ordem tanh (kd ) g Velocidade de fase c = k π H 2 cosh(kd ) Elevação da superfície ζ = [2 + cosh(2kd )]cos[2(kx − ωt )] 8 λ sinh 3 (kd ) Pressão subsuperficial 3π ρgH 2  cosh[2k ( z + d )] 1  π ρgH 2 p=  −  cos[2(kx − ωt )] − {cosh[2k ( z + d )] − 1} 4 λ sinh ( 2kd)  sinh 2 (kd ) 3 4 λ sinh ( 2kd) Stokes drift  π .H   cosh[2k ( z + d )]  Qualquer 2 U =  c sinh 2 (kd )  profundidade  λ     π .H  2 U =  c Aproximação para águas profundas  λ © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 57
    58. 58. Teoria de Onda Cnoidal Diederik Korteweg Matemático holandês 1848-1941 Gustav de Vries Matemático iholandês 1866-1934  É uma solução periódica não-linear e exata da equação não linear diferen- cial parcial proposta por Korteweg e de Vries (equação KdV).  É utilizada para descrever ondas de gravidade de comprimento extrema- mente grandes quando comparados à profundidade. d  Aplicável quando λ > 5d e T > 7 g  A solução das equações é complexa, dependendo de aproximações numéricas. Além disto é instável quando o número de onda k é elevado.  Outra solução foi proposta por Benjamin-Bona-Mahomy (equação BBM).© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 58
    59. 59. Onda Solitária John Scott Russell Engenheiro naval escocês 1808-1882  É uma onda em águas rasas (solitão) que consiste em um único desloca- mento de água acima do seu nível médio.  Foi descrita pela primeira vez em 1834 por John Scott Russel quando ele observou a onda causada pela parada brusca de uma barcaça em um canal.  É uma descrição razoável da onda causada por um tsunami, mas é utilizada também na progressão de ondas periódicas quando a profundidade é menor que 10% do comprimento da onda.  Teoricamente seu comprimento é infinito, mas para propósitos práticos : - Velocidade de fase c = g (d + H ) 3H - Número de onda k = 4d 3 2π - Comprimento da onda λ= k - Elevação ζ = H sech 2 [k ( x − ct )]© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 59
    60. 60. Aplicabilidade das Teorias de Ondas Subrata Kumar Chakrabarti Engenheiro indiano 1941-2009  Três parâmetros são utilizados para determinar qual teoria de ondas deve ser aplicado a um problema específico : - Altura da onda H - Período da onda T - Profundidade da lâmina d’água d  Adimensionais decorrentes : H H - Esbeltez (steepness) S = = 2π λ gT 2 d d - Profundidade relativa µ = = 2π λ gT 2 H .λ2 S - Número de Ursell U R = 3 = 3 d µ UR mede o impacto da profundidade sobre a não-linearidade da onda© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 60
    61. 61. Quiz 1  Uma onda regular plana propaga-se em águas profundas com período de 16s. Qual o comprimento da onda e sua velocidade de fase m/s ? gT 2 9,81.16 2 λ= = = 400 m 2π 2π gT 9,81.16 c= = = 25 m/s 2.π 2.π  Calcule a velocidade de fase e a velocidade de grupo para uma onda linear de comprimento 200m nas profundidades de 2000, 80 e 10m. gλ  2πd  c= tanh  𝜆 = 200 2π  λ  d (m) c (m/s) cg (m/s) 2𝜋 k= =0,0314 ondas/m 2000 17,67 8,84 200 c 2kd  c g = 1 + 2  sinh( 2kd )   80 17,56 9,36 10 9,74 9,43 2π k= λ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 61
    62. 62. Quiz 2 Vazamento de óleo em uma FPSO no Campo de Tupi a 250km da costa, em lâmina d’água de 2000m ! Ondas de 1.5m de altura com período de 6s e comprimento de 40m são medidas no local. Em quanto tempo as manchas de óleo começarão a aparecer nas praias ? Desconsidere a variação de profundidade até a costa e o vento. d 2000 2π2π  H 2 = = 5,66 k= = = 0,157 ondas/m U = π  c gT 2 9,81.6 2 λ 40  λ H 1,5 Stokes 2ª ordem = = 0,00424 λ 40 2  1,5  2 gT 9,81.6 2 c= = = 6,67 m/s T 6 U = π  .6,67 = 0,0925 m/s  40  250000 t= = 2,7 x106 s = 1 mês 0 ,0925 No projeto de navios aliviadores para a Bacia de Campos, a Petrobrás recomenda Hs=3.5m e Tp=9s. Qual seria a teoria de ondas a utilizar ? Investigue nas profundi- dades mínima e máxima da bacia (100m e 2500m). d=100m d=2500m Em ambos os casos a utilização d 100 d 2500 de Stokes 2ª ordem seria suficie- = = 0,126 = = 3,145 gT 2 9,81.9 2 gT 2 9,81.9 2 nte (embora a Petrobrás requeira H = 1,5 = 0,00189 H = 1,5 = 0,00189 sempre 5ª ordem). 2 gT 9,81.9 2 gT 2 9,81.9 2© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 62
    63. 63. Ondas Irregulares© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 63
    64. 64. Ondas Irregulares 1  Na fase de projeto preliminar as ondas regulares representam um bom modelo para a representação do estado do mar.  Um estado real de mar apresenta características aleatórias de amplitude, frequência e fase, havendo a impossibilidade matemática de definir uma relação sólida que determine seu comporta- mento : é um processo estocástico.  Quando se considera o modelo estocástico pode-se representar o estado de mar formado pela superposição de diferentes ondas senoidais com diferentes amplitudes, frequências e fases (hipótese Gaussiana).© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 64
    65. 65. Quão Acertada é Esta Hipótese ?  Na hipótese Gaussiana, o processo é completamente descrito por : - Média - Variância  A partir de dados obtidos no mar, pode ser afirmado que : - Para mar calmo a moderado (< 4m) ele pode ser considerado estacionário para períodos de mais de 20 minutos. Para estados de mar mais severos isto pode ser questionado mesmo para períodos de 20 minutos. - Para estados de mar acima do moderado (4 a 8m) os modelos Gaussianos ainda são precisos, mas o desvio aumenta com a severidade do estado de mar. - Se o mar é suficientemente profundo, a elevação da onda pode ser considerada Gaussiana, independentemente do estado de mar.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 65
    66. 66. Ondas Irregulares 3  O mar irregular é descrito pela sua energia total e não pela forma da onda.  Para uma onda senoidal simples a densidade de energia é descrita por ρgζ a 2 E= 2  Para um mar irregular, composto por um somatório de ondas senoidais, a densidade de energia será ρg E= (ζ a1 + ζ a 2 + ζ a 3 + ...) 2 2 2 2  As ondas irregulares são caracterizadas por um espectro de onda que descreve a distribuição de energia (altura) em relação à sua frequência ou período.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 66
    67. 67. Ondas Irregulares 4 Após o vento ter soprado de forma constante por um período de tempo, a elevação do mar pode ser assumida como estatísticamente estável. Isto é conhecido como “mar totalmente desenvolvido”.  Se a irregularidade das ondas observadas é somente na direção do vento dominante, de modo que existe várias ondas unidire- cionais com separação variável mas mantendo seu paralelismo, o mar é conhe- cido como de cristas longas (long-crested).  Se as irregularidades são aparentes ao longo das cristas das ondas em ângulos perpendiculares ao vento, o mar é conheci- do como de cristas curtas (short-crested ou confused sea).© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 67
    68. 68. Alguma Estatística (não tão) Básica© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 68
    69. 69. Distribuições de Probabilidade 1  Distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade de uma variável randômica assumir determinados valores.  Considerando que uma variável aleatória discreta x toma os valores x1, ...xn, então : 1 n x + x2 + ... + xn - Média aritmética : x = ∑ xi = 1 n i =1 n 1 n 2 x12 + x2 + ... + xn 2 2 - Valor eficaz : xrms = ∑ xi = n i =1 n - Média geométrica : x g = n Π in=1 xi = n x1 x2 ...xn - Moda : É o valor de maior frequência. - Mediana : Dependendo se o número de elementos ordenados for ímpar ou par, é o valor central ou a média dos valores próximos ao centro. 1 n - Desvio padrão : σ = ∑ (xi − x ) 2 n − 1 i =1 - Variância : σ 2© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 69
    70. 70. Distribuições de Probabilidade 2  Uma variável randômica contínua x tem uma f(x) função de distribuição de probabilidade f(x) de modo que a probabilidade P da variável estar entre dois valores a e b é moda mediana média b P[ a ≤ x ≤ b] = ∫ f ( x)dx a F(x)  A função F da distribuição acumulada de x xé +∞ F ( x) = ∫ f ( x)dx  Média : µ = ∫ x. f ( x)dx −∞ −∞  Mediana : Md é o valor de x para o qual F(x)=0.5  Moda : Mo é o valor de maior frequência f(x) +∞  Desvio padrão : σ = ∫ (x − µ ) . f ( x)dx 2 −∞© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 70
    71. 71. Distribuições de Probabilidade 3  Assimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuição (µ − M o ) (µ − M d ) 1º Coeficiente de Pearson : γ = 2º Coeficiente de Pearson : γ = 3 σ σ Assimetria positiva Simétrica Assimetria negativa µ = Mo = Md Mo ≤ Md ≤ µ µ ≤ Md ≤ Mo  Curtose : Indica o grau de achatamento de uma distribuição, indicando a concentração de valores nas suas caudas, em relação a uma distribuição normal +∞ ∫ (x − µ ) . f ( x)dx 4 c= −∞ −3 σ 3© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 71
    72. 72. Distribuições de Probabilidade 4  Algumas formas de distribuição de probabilidade : Distribuição Parâmetros Características Aplicabilidade Aspecto Utilizada na escolha de parâmetros Valores e probabi- das entidades. Por ex., em uma loja Assume apenas os va- Discreta lidade de ocorrên- 30% dos clientes compram merca- lores fornecidos cia destes valores dorias no balcão e 70% nas prate- leiras. Todos os valores no Quando não se tem nenhuma infor- Maior e menor va- intervalo têm a mesma Uniforme mação sobre o processo ou apenas lor probabilidade de ocor- os valores limites. rência Quando se conhece a moda, o me- Menor valor, mo- Triangular Simétrica ou não nor e o maior valor que podem ocor- da e maior valor rer. Grande variabilidade dos valores. Independência entre um valor e Variância alta e cauda Exponencial Média outro. Muitos valores baixos e pou- para a direita cos altos. Utilizada em estatística de falhas. Simétrica com forma Média e desvio de sino. Variabilidade Probabilidade de valores acima e Normal padrão controlada pelo des- abaixo da média são iguais. vio padrão.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 72
    73. 73. Distribuições de Probabilidade 5  Procurando dar um tratamento matemático aos mais diversos fenômenos da natureza, diversos tipos de funções de distribuição foram desenvolvidos: – Beta – Cauchy – Dagum – Fisher-Tippet – Gama – Gaussiana – Gumbel – Laplace – Levy – Pareto – Qui-Quadrado – Rayleigh – Rice – Von Mises – Weibull – Etc.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 73
    74. 74. Distribuição Normal ou Gaussiana Carl Friedrich Gauss Matemático alemão 1777-1855 Considerada a mais proeminente distribuição de probabilidade na estatística (simplicidade, conveniência para vários tipos de amostragens, etc.)  Formulação : - Função de distribuição : 1  ( x − µ )2  f ( x) = exp −  σ 2π  2σ 2  - Distribuição acumulada : 1 x  ( x − µ )2  σ 2π −∫ F ( x) = exp − dx ∞  2σ 2  - Média ( = moda e mediana) : μ - Variância : σ 2 Regra 68-95-99.7© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 74
    75. 75. Distribuição de Rayleigh John William Strut (Lord Rayleigh) Matemático inglês 1842-1919 É um tipo de distribuição observada quando a magnitude total de um vetor é relacionada às suas componentes direcionais não correlacionadas mas normalmente distribuídas e com a mesma variância (ex.: velocidade do vento, propagação das ondas do mar, etc.). f(x)  Formulação :  x2  x - Função de distribuição : f ( x) = 2 exp −  2σ 2   σ    x  2 - Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp −  2σ 2   π   - Média : σ ≈ 1.253σ 2 - Mediana : σ ln(4) ≈ 1.177σ F(x) - Moda : σ 4 −π 2 - Variância : σ ≈ 0.429σ 2 2© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 75
    76. 76. Distribuição de Weibull 1 Ernest Hajlmar Waloddi Weibull Engenheiro suíço 1887-1979 É utilizada extensivamente em análise de confiabilidade e de falha, gover- nando o tempo para a ocorrência do elo mais fraco de vários processos simultâneos de falha. f(x)  Formulação para 3 parâmetros : k  x −θ  k −1   x − θ k  - Função de distribuição : f ( x) =   exp −   β    β β          k  - Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp −  x − θ         β     onde k = parâmetro de forma x β = parâmetro de escala Se θ = 0 recaímos na distribuição ϴ = parâmetro de localização de Weibull de 2 parâmetros F(x) Se considerarmos x como o tempo para a falha k < 1 indica que a taxa de falha diminui com o tempo (mortalidade infantil). k = 1 indica que a taxa de falha independe do tempo. k > 1 indica que a taxa de falha aumenta com o tempo (morte por velhice). x© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 76
    77. 77. Distribuição de Weibull 2  1 - Média : µ = θ + β Γ1 +   k 1 Função Gama - Mediana : θ + β [ln(2)] k Γ(n) = (n - 1)! 1 - Moda : θ + β  k − 1  k    k    2  1  - Variância : σ 2 = β 2 Γ1 +  − Γ 2 1 +    k  k  {Γ(1 + 3 / k ) − 3Γ(1 + 2 / k )Γ(1 + 1 / k ) + 2Γ (1 + 1 / k )} 3 - Assimetria : γ = {Γ(1 + 2 / k ) − Γ (1 + 1 / k )} 3 2 2  Para a determinação dos parâmetros a partir de dados coletados são utili- zados os momentos da função de distribuição +∞ mn = ∫0 x n . f ( x)dx m1 = µ m2 = σ 2 m3 = γ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 77
    78. 78. Distribuição de Gumbel (log-Weibull) Emil Julius Gumbel Matemático alemão 1891-1966 Utilizada para modelar a distribuição dos máximos de um número de amos- tras de várias distribuições (estatística de extremos).  Formulação : 1  x−µ    x − µ  - Função de distribuição : f ( x) = exp  β   exp − exp   β   β        x − µ  - Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp − exp   β      - Média : µ + γβ γ= 0,57721 (constante de Euler-Mascheroni) - Mediana : µ − β ln (ln (2 )) - Moda : μ βπ - Desvio padrão : σ = 6© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 78

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