Baia da Guanabara – Abril 2010  Análise de Carregamento Hidrodinâmico em  Estruturas Flutuantes Parte I – A Excitação  Joã...
Hidrodinâmica É uma especialidade da mecânica dos fluidos que trata da iteração entre corpos rígidos e fluidos (notadament...
Características Importantes Algumas características do comportamento em ondas são importantes no  projeto de uma unidade ...
Alguma                                                                     Matemática                                     ...
Aí Vem Coisa ....  Você que provavelmente tem um background em matemática, engenharia   civil, mecânica dos fluidos ou fí...
Alfabeto Grego  LETRA NOME UTILIZAÇÃO                                                        LETRA NOME         UTILIZAÇÃO...
Produto Escalar  O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores A e B é um   número real resultado do produto ...
Produto Vetorial  O produto vetorial (ou produto externo) entre dois vetores A e B no espaço   tridimensional é um outro ...
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas  Enquanto as funções trigonométricas geram círculos, as funções hiperbóli-   cas v...
Campo Em vários processos físicos existem grandezas que variam com a posição e  o tempo e que podem ser representadas por...
O Operador Nabla                                                                                                 William R...
Gradiente É uma função vetorial que indica o sentido e direção da maior alteração do  valor uma função escalar por unidad...
Divergente Divergente de um campo vetorial F é um escalar que representa o fluxo do vetor por  unidade de volume         ...
Rotacional                                                                                              Hermann Ludwig Fer...
Laplaciano                                                                                                         Pierre ...
Escoamento Potencial   Em fluidodinâmica, um escoamento potencial é aquele que pode descrever    o campo de velocidades c...
Teorema de Green                                                                                     George Green         ...
Física                                                                      (meio)                                        ...
Milha  Milha Náutica : A definição atual da milha náutica (ou milha marítima) foi adotada   em 1929 pela First Internatio...
Nó  O nó (knot) é a unidade de velocidade normalmente utilizada nos meios marítimos.                    1 nó = 1 mn/h = 1...
Leis de Newton                                                                            Isaac Newton                    ...
Equação de Bernoulli                                                                          Daniel Bernoulli            ...
Equação de Navier-Stokes                                                                            Claude Louis Marie Hen...
Ondas de                                                                      Gravidade© Det Norske Veritas Ltda. Todos os...
Ondas de Gravidade  Ondas geradas no meio fluido ou na interface entre a água e o ar, tendo   como força de restauração p...
Origem das Ondas de Gravidade                                                            Correntes de ar : Resultante da ...
Características Gerais das Ondas Oceânicas  Irregulares e randômicas em formato, altura, comprimento e velocidade de   pr...
Como as Ondas Nascem  Em geral resultam do vento soprando sobre uma grande área do oceano   (pista - fetch) durante um bo...
Influência da Pista e Velocidade do Vento  Na figura podemos estimar a altura significativa das ondas, partindo dos   val...
Como as Ondas Morrem  Perdem energia devido ao espalhamento.  Empinamento (shoaling). É o processo no qual a altura da o...
Altura Máxima das Ondas  A altura da onda é limitada pela sua quebra.                                                    ...
Ondas Internas  Propagam-se na interface de separação entre massas de água com   densidades diferentes. Qualquer perturba...
Medindo as                          Ondas© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.   Slide 33
Teoria das Ondas  Na análise de estruturas submetidas a carregamento de ondas, elas podem  ser modeladas por métodos deter...
Características Físicas das Ondas 1                                            z                                          ...
Características Físicas das Ondas 2                                            z                                          ...
Características Físicas das Ondas 3                                                                                      H...
Grupos de Ondas  Na teoria linear de ondas pode ser demonstrado que a velocidade de fase depende   do comprimento da onda...
Escala de Estado de Mar WMO                                                                                           Henr...
Caracterização do Estado de Mar  O estado de mar é melhor caracterizado por várias estatísticas, sendo as   principais : ...
Obtenção dos Dados por Ondógrafo  Em geral é utilizado um ondógrafo para registrar ao longo do   tempo as elevações ocorr...
Análise da Série Temporal 1                                           Série Temporal   Elevação (m)                       ...
Análise da Série Temporal 2  A partir da análise de um registro das alturas de onda, vários parâmetros   podem ser estabe...
Obtenção dos Dados por Satélite  Satélites de observação com vários tipos de sensores,   radares e câmeras são utilizados...
Ondas                                                                      Regulares© Det Norske Veritas Ltda. Todos os di...
Teorias de Ondas  Airy : A elevação da onda é aproximada por uma senóide.  Stokes : A altura da crista é maior que a alt...
O Problema a Ser Resolvido  Determinar o potencial do campo de velocidades das ondas de superfície                       ...
Equações de Conservação da Massa e Momento                                     1 Dρ                                      ...
Condições de Contorno                                      ∂ϕ    No leito do oceano (em z = -d) :    =0                  ...
O Resultado Linear    Considerando uma onda senoidal onde são conhecidas a amplitude H, o     comprimento λ e seu período...
Influência da Profundidade nas Ondas A teoria linear de ondas é uma solução da equação de Laplace, o que leva            ...
Teoria de Onda de Airy (Onda Senoidal)                                                             George Biddell Airy    ...
Ondas Senoidais em Águas Profundas                                                           Para águas profundas (d > 0.5...
Ondas Senoidais em Águas Intermediárias                                                 Para águas intermediárias (0.5 λ <...
Ondas Senoidais em Águas Rasas                                                           Para águas rasas (d < 0.05 λ)    ...
Teoria de Onda de Stokes                                                   George Gabriel Stokes                          ...
Parâmetros da Onda de Stokes de 2ª Ordem                                                             tanh (kd )           ...
Teoria de Onda Cnoidal                                                                Diederik Korteweg                   ...
Onda Solitária                                                                                         John Scott Russell ...
Aplicabilidade das Teorias de Ondas                                                       Subrata Kumar Chakrabarti       ...
Quiz 1  Uma onda regular plana propaga-se em águas profundas com período de 16s. Qual   o comprimento da onda e sua veloc...
Quiz 2 Vazamento de óleo em uma FPSO no Campo de Tupi a 250km da costa, em lâmina  d’água de 2000m ! Ondas de 1.5m de alt...
Ondas Irregulares© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.      Slide 63
Ondas Irregulares 1  Na fase de projeto preliminar as ondas regulares representam um bom   modelo para a representação do...
Quão Acertada é Esta Hipótese ?  Na hipótese Gaussiana, o processo é completamente descrito por :     - Média     - Variâ...
Ondas Irregulares 3  O mar irregular é descrito pela sua energia total e não pela forma da   onda.  Para uma onda senoid...
Ondas Irregulares 4  Após o vento ter soprado de forma constante por um período de tempo, a  elevação do mar pode ser assu...
Alguma                                                                      Estatística                                   ...
Distribuições de Probabilidade 1  Distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade   de uma variáv...
Distribuições de Probabilidade 2  Uma variável randômica contínua x tem uma                                              ...
Distribuições de Probabilidade 3     Assimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuição           ...
Distribuições de Probabilidade 4  Algumas formas de distribuição de probabilidade :  Distribuição Parâmetros             ...
Distribuições de Probabilidade 5  Procurando dar um tratamento matemático aos mais diversos fenômenos   da natureza, dive...
Distribuição Normal ou Gaussiana                                                         Carl Friedrich Gauss             ...
Distribuição de Rayleigh                                                        John William Strut (Lord Rayleigh)        ...
Distribuição de Weibull 1                                                               Ernest Hajlmar Waloddi Weibull    ...
Distribuição de Weibull 2                                                                  1      - Média : µ = θ + β Γ...
Distribuição de Gumbel (log-Weibull)                                                                         Emil Julius G...
Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes - Parte I A Excitação
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  • Um processo de Markov é um processo estocástico “desmemoriado”, que a probabilidade do sistema estar no estado i no período (n+1) depende somente do estado em que o sistema está no período n. Ou seja, para os processos de Markov, só interessa o estado imediato.
  • Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes - Parte I A Excitação

    1. 1. Baia da Guanabara – Abril 2010 Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes Parte I – A Excitação João Henrique VOLPINI Mattos Engenheiro Naval Regional Sales Manager - Maritime & Offshore Solutions (South America), DNV Software Setembro 2012
    2. 2. Hidrodinâmica É uma especialidade da mecânica dos fluidos que trata da iteração entre corpos rígidos e fluidos (notadamente incompressíveis) através do estudo do escoamento ao longo do casco da unidade, bem como em outros corpos como pás do propulsor, leme, túnel do impelidor lateral, etc.  Resistência ao avanço : Avalia a resistência contra o movimento causada primariamente pelo fluxo de água ao longo do casco.  Propulsão : A força para mover o navio através da água é dado por propulsores de vários tipos, jatos de água, vela, etc. Sua iteração com o meio irá definir a eficiência propulsiva.  Carregamento hidrodinâmico : Avalia as pressões, forças e momentos induzidos no casco pelas ondas, correnteza, etc.  Movimento do navio : Avalia os movimentos (deslocamentos, velocidade e acelerações) da embarcação e sua resposta em ondas.  Manobrabilidade : Avalia o controle e manutenção da posição e direção da embarcação.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 2
    3. 3. Características Importantes Algumas características do comportamento em ondas são importantes no projeto de uma unidade flutuante, sob o ponto de vista da segurança e conforto : - Movimentos e acelerações em diversos pontos do casco - Tensões ocorrentes em pontos do casco. - Ocorrência de batida de proa (slamming). - Incidência de água no convés (green sea). - Ocorrência de emersão do propulsor. - Perda de velocidade em ondas. Para calcular tudo isto, o primeiro passo é uma compreensão adequada das ondas : seu com- portamento real, seus modelos matemáticos, sua distribuição no tempo e no espaço, ...© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 3
    4. 4. Alguma Matemática (não tão) Básica© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 4
    5. 5. Aí Vem Coisa ....  Você que provavelmente tem um background em matemática, engenharia civil, mecânica dos fluidos ou física, certamente não tem medo de derivadas parciais ou funções de transferência quadráticas … Ou tem ?  Na matemática aplicada à hidrodinâmica, temos que conhecer alguns conceitos; cálculo vetorial, equações diferenciais, operadores diferenciais, números complexos...  Não que este conhecimento seja fundamental a compreensão deste texto, mas será se quiser ler posteriormente algum livro ou artigo sobre o assunto.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 5
    6. 6. Alfabeto Grego LETRA NOME UTILIZAÇÃO LETRA NOME UTILIZAÇÃO α Alpha ν Nu Coeficiente de viscosidade cinemática Ângulo entre o aproamento e a β Beta direção da onda, parâmetro de ξ Xi Fator de amortecimento escala de Weibull ο Omicron Fator de intensificação de pico, γ Gamma assimetria π Pi 3.1415926535897932384626... δ Delta Amplitude da onda ρ Rho Densidade ε Epsilon Largura de banda σ Sigma Desvio padrão ζ Zeta Elevação da onda τ Tau Período de retorno η Eta υ Upsilon Parâmetro de localização de θ Teta Weibull, ângulo de arfagem Função de distribuição φ Phi acumulada, ângulo de jogo, ι Iota potencial de velocidades κ Kappa χ Chi λ Lambda Comprimento da onda ψ Psi Ângulo de guinada Profundidade relativa, média ω Omega Frequência angular μ Mu estatística de valores© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 6
    7. 7. Produto Escalar  O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores A e B é um número real resultado do produto do comprimento de A pela projeção de B em A B     A • B = A . B cos(θ ) A |B|cos(θ)  Em um sistemas de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde  A = (a1 , a2 ,... , an )  B = (b1 , b2 ,... , bn ) então   n A • B = ∑ ai bi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn i −1© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 7
    8. 8. Produto Vetorial  O produto vetorial (ou produto externo) entre dois vetores A e B no espaço tridimensional é um outro vetor perpendicular a ambos os vetores (ou normal ao plano formado por ambos) Aₓ B     A × B = A . B sin (θ )n ˆ n é o vetor unitário perpendicular tanto a A quanto a B B |A ₓ B| A i, j, k são os vetores unitários nas direções x,y,z  Em notação matricial, se   A = a1ii + a2 j + a3k = [a1 a2 a3 ] e B = b1i + b2 j + b3k = [b1 b2 b3 ] então i j k   A × B = (a2b3 − a3b2 )i + (a3b1 − a1b3 ) j + (a1b2 − a2b1 )k = det a1 a2 a3    b1 b2 b3   © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 8
    9. 9. Funções Trigonométricas e Hiperbólicas  Enquanto as funções trigonométricas geram círculos, as funções hiperbóli- cas vão gerar uma hipérbole. 𝑒 𝛼 + 𝑒 −𝛼 𝑥 = cos 𝛼 𝑥 = cosh 𝛼 = 2 −𝛼 x2 + y2 = 1 𝑦 = sin 𝛼 𝑒 − 𝑒 𝛼 𝑦 = sinh 𝛼 = 2 cos sin cosh tan tanh sinh© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 9
    10. 10. Campo Em vários processos físicos existem grandezas que variam com a posição e o tempo e que podem ser representadas por uma função f(x,y,z,t) que é denominada campo. Um campo é estacionário quando independe do tempo f(x,y,z). Um campo é escalar quando a grandeza característica do campo é escalar. Exemplos : • A distribuição de temperatura em uma sala. Campo escalar f ( x, y, z ) = 3x + 5 y 2 − sin z • A intensidade do som em um cinema. • O campo magnético terrestre. Campo vetorial • A velocidade da água em uma  F ( x, y, z ) = (3x + 5 yz,5 xz,3 xy) pia aberta.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 10
    11. 11. O Operador Nabla William Rowan Hamilton Matemático irlandês 1806-1865 Foi introduzido pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton, sendo usado no cálculo vetorial para denominar o operador diferencial. Em coordenadas cartesianas ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = x + y + z ou ∇ = i + j + k ˆ ˆ ˆ ou ∇ =  , ,   ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z   i, j, k são os vetores unitários nas direções x,y,z Em coordenadas cilíndricas ∂ 1 ∂ ∂ ∇= ρ+ ˆ ϕ+ z ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z Em coordenadas esféricas ρ ∂ 1 ∂ ˆ 1 ∂ ∇= r+ ˆ θ+ ϕ ˆ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 11
    12. 12. Gradiente É uma função vetorial que indica o sentido e direção da maior alteração do valor uma função escalar por unidade de espaço. ∂f ∂f ∂f Suponha um campo escalar f(x,y,z), então ∇f = i + j + k ∂x ∂y ∂z Exemplo : se f ( x, y, z ) = 3 x + 5 y − sin z 2 então ∇f = 3i + 10 yj − cos zk O gradiente de f(x,y) em (x,y) é normal à “curva de nível” no ponto (x,y), apontando para a direção de crescimento máximo de f(x,y). Em suma, o gradiente de uma função escalar é um vetor com módulo, direção e sentido que representa a taxa máxima de crescimento desta função escalar.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 12
    13. 13. Divergente Divergente de um campo vetorial F é um escalar que representa o fluxo do vetor por unidade de volume V é o volume em uma região arbitrária  F.n ∇ • F = lim ∫∫ dS S(V) é a superfície deste volume n é o vetor normal à área V →0 S (V ) V Ele é calculado como o produto escalar entre o operador ∇ e um campo vetorial.   ∂Fx ∂Fy ∂Fz Suponha um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k , então ∇ • F = + + ∂x ∂y ∂z Ou seja, divergente é um operador que mede a magnitude da “fonte” ou “sumidouro” de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão dos vetores do campo em um determinado ponto. Exemplo : Se o ar é aquecido em uma sala, ele irá se expandir em todas as direções. O divergente será positivo pois se obser- varmos um pequeno volume desta região teremos mais ar saindo do que entrando neste volume : uma fonte.   V = (3x − 2 y + z )i + (10 − cos y ) j + (5 x + 5 y − z )k ∇ • V = 3 + sin y − 1 = 2 + sin y© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 13
    14. 14. Rotacional Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholçtz Médico e físico alemão 1821-1894 O rotacional de um campo vetorial pode ser entendido físicamente como uma medida de sua circulação por unidade de área (vorticidade).  ∫ Fds (∇ × F ) • n = lim c ˆ A A→ 0  Suponha um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k , então   ∂Fz ∂Fy   ∂Fx ∂Fz   ∂Fy ∂Fx   ∂y − ∂z i +  ∂z − ∂x  j +  ∂x − ∂y k ∇×F =           i j k  Ou em termos matriciais ∇ × F = ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z Fx Fy Fz A direção do rotacional aponta para o eixo de rotação e sua magnitude é dada pelo módulo do rotacional.   V = (3 x − 2 y + z )i + (10 − cos y ) j + (5 x + 5 y − z )k ∇ × V = 5i + 6 j − 2k© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 14
    15. 15. Laplaciano Pierre Simon Laplace Matemático francês 1749-1827 O operador Laplaciano é um escalar definido como o divergente de um gradiente. Na verdade, isto é uma simplificação, pois ele também pode ser aplicado a campos vetoriais. ∂2 f ∂2 f ∂2 f Laplaciano escalar aplicado a um campo escalar. ∇ • ∇f = ∇ f = ∆f = 2 + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z   Laplaciano vetorial aplicado a um campo ∇ × ∇F = ∇ F = ∇ 2 Fx i + ∇ 2 Fy j + ∇ 2 Fz k 2 vetorial. Pode ser encarado como a soma dos laplacianos dos componentes ortogonais. Exemplo : Fisicamente o Laplaciano pode ser visualizado como uma medida da “concavidade” ou mudança de direção de uma função - uma rampa linear teria Laplaciano nulo. Equação de Laplace ∇2 f = 0© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 15
    16. 16. Escoamento Potencial  Em fluidodinâmica, um escoamento potencial é aquele que pode descrever o campo de velocidades como o gradiente de uma função escalar : o potencial de velocidades.  v = ∇ϕ  Exemplo matemático ϕ ( x, y ) = 3 x + 2 y  v ( x, y ) = (3,2)   Se o escoamento é potencial, então ∇ × v = 0 O rotacional é nulo  Se o fluido é incompressível, então ∇ ϕ =0 2 O Laplacianol é nulo  O escoamento potencial não apresenta turbulência nem camada limite.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 16
    17. 17. Teorema de Green George Green Matemático inglês 1793-1841 Matematicamente, o Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por esta curva. Seja C uma curva simples fechada derivável e D a região do plano delimitada por C. Sejam P e Q duas funções reais de variável real com derivadas parciais contínuas na região contendo D, então :  ∂Q ∂P  ∫ C Pdx + Qdy = ∫∫  D  ∂x  − dA dy   Na fluidodinâmica este teorema é utilizado para descrever o relacionamento pelo qual um fluido incompressível se move ao longo ou através de uma fronteira em um plano e o modo pelo qual ele se move dentro desta região.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 17
    18. 18. Física (meio) Básica© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 18
    19. 19. Milha  Milha Náutica : A definição atual da milha náutica (ou milha marítima) foi adotada em 1929 pela First International Extraordinary Hydrographic Conference, realizada em Mônaco. 1 mn = 1852 m Historicamente a milha náutica foi definida como sendo o comprimento de 1 minuto de arco ao nível do mar, medida ao longo dos meridianos ou do equador. A milha terrestre é definida como 5280 pés (1609.344 m), e historicamente foi definida na Roma antiga como a distância percorrida em 1000 passos por uma coluna de soldados.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 19
    20. 20. Nó  O nó (knot) é a unidade de velocidade normalmente utilizada nos meios marítimos. 1 nó = 1 mn/h = 1852 m/h = 0.5144 m/s = 1,852 km/h O nome veio historicamente do processo utilizado para medir velocidades, onde uma corda com nós espaçados de 50 pés, amarrada a uma tábua de madeira triangular com pesos (para se manter afundada) era jogada pela popa. Uma ampulheta de 30 segundos era utilizada, contando-se quantos nós passavam pela amurada neste intervalo. Demonstração 50 ft x 0.3048 m = 0.51 m/s 30 s 1 ft© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 20
    21. 21. Leis de Newton Isaac Newton Físico inglês 1642-1727  1ª Lei (Lei da Inércia) Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta a menos que seja obrigado a mudar por forças impressas a ele.   dv ∑ F = 0 ⇒ dt = 0 Não é preguiça, é inércia !  2ª Lei (Princípio Fundamental da Dinâmica) A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime esta força.   dp d (mv )   dv  F= = =m = ma dt dt dt  3ª Lei (Princípio da Ação e Reação) A uma ação sempre se opõe uma reação igual em sentido contrário.   ∑ Fa,b = − ∑ Fb,a© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 21
    22. 22. Equação de Bernoulli Daniel Bernoulli Matemático holandês 1700-1782  Para um fluxo permanente sem viscosidade e incompressível, um aumento na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão ou na energia potencial do fluido. v2 p + gh + = constante 2 ρ  O princípio de Bernoulli pode ser utilizado para justificar a força de sustentação de um aerofólio. Se o ar na parte superior do mesmo se move mais rapidamente do que na parte inferior, haverá uma diferença de pressão para cima.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 22
    23. 23. Equação de Navier-Stokes Claude Louis Marie Henri Navier Engenheiro e matemático francês 1785-1832 George Gabriel Stokes Matemático e físoco irlandês 1819-1903  São equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos Newtonianos. Elas são equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão num escoamento. Estas equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o resultado das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção) atuando dentro do fluido.  Em notação vetorial, assumem a seguinte forma  DV   ρ = ρg − ∇p + µ∇ V 2 Dt Massa por unidade de Força gravitacional por Força de pressão por Força viscosa por volume vezes aceleração unidade de volume unidade de volume unidade de volume  Para escoamentos invíscitos (μ=0) chega-se à equação de Euler  DV  ρ = ρg − ∇p Dt© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 23
    24. 24. Ondas de Gravidade© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 24
    25. 25. Ondas de Gravidade  Ondas geradas no meio fluido ou na interface entre a água e o ar, tendo como força de restauração principal a gravidade.  Mesmo não transportando massa (ao menos na teoria linear), transportam energia (quem viaja é a forma da onda, não a matéria).  A medida em que a profundidade aumenta, o movimento das partículas diminue. A uma profundidade igual a metade do comprimento da onda o movimento orbital das particulas é menos que 5% o da superfície.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 25
    26. 26. Origem das Ondas de Gravidade  Correntes de ar : Resultante da ação do vento soprando em uma extensão suficiente da superfície do oceano (pista).  Correntes marítimas : Devido ao efeito dos campos de pressão atmosférica que geram os ventos e as correntes marítimas.  Marés : Associada a variação do nível médio da superfície livre da água, causada pela interferência da Lua e do Sol sobre o campo gravitacional da Terra.  Deslocamentos de terra ou gelo.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 26
    27. 27. Características Gerais das Ondas Oceânicas  Irregulares e randômicas em formato, altura, comprimento e velocidade de propagação.  Classificação : • Wind seas (vagas) : Geradas pelo vento no local, em geral não possuem uma direção coerente nem formato definido. • Swell (marulho ou ondulação) : As mais comuns. se propagam por milhares de quilometros, tendendo a se alinhar e agrupar em séries. Em um determinado local pode existir swell vindo de vários outros locais. • Tsunami : Gerada por perturbações sísmicas (terremotos, erupções vulcânicas, etc.). Não oferecem perigo em alto mar. • De capilaridade : Formadas no início das correntes de vento, morrem quando o vento termina, sendo amortecidas pela tensão superficial da água.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 27
    28. 28. Como as Ondas Nascem  Em geral resultam do vento soprando sobre uma grande área do oceano (pista - fetch) durante um bom tempo. - Inicialmente o movimento turbulento do ar começa a perturbar o equilíbrio da água pela ação de pulsos de pressão sobre a superfície, surgindo as ondas de capilaridade (ripples). - Se o vento aumentar, as ondas começam a se formar e a interferir na passagem do vento. Ele encontra maior resistência para vencer as cristas e cavados e tem início a transferência de energia para a superfície da água. - Se o vento continua por mais tempo e distância, a velocidade das ondas pode se igualar a sua velocidade (ou mesmo ultrapassá-la), formando o que é chamado de “mar totalmente desenvolvido” (a energia ganha do vento é igual à perdida para a gravidade).© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 28
    29. 29. Influência da Pista e Velocidade do Vento  Na figura podemos estimar a altura significativa das ondas, partindo dos valores de velocidade do vento (eixo vertical) e comprimento da pista (eixo horizontal), ou velocidade do vento e sua duração (linhas tracejadas), determinando a altura das ondas (linhas cheias). Duração (h) Velocidade do vento (m/s) Altura (m) Comprimento da pista (km)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 29
    30. 30. Como as Ondas Morrem  Perdem energia devido ao espalhamento.  Empinamento (shoaling). É o processo no qual a altura da onda aumenta a medida em que a profundidade diminue (a profundidade é considerada rasa quando d <= λ/20). Seu período é mantido, mas o comprimento e velocidades também diminuem.  A onda quebra quando sua altura é maior que 78% da profundidade ou menor que 1/7 do seu comprimento.  Dependendo da inclinação do fundo, da altura e do comprimento da onda (em águas profundas), a forma da arrebentação pode variar - Deslizantes : inclinação suave - Tubulares : Inclinação intermediária - Ascendentes : Inclinação acentuada. Na verdade as ondas nunca quebram.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 30
    31. 31. Altura Máxima das Ondas  A altura da onda é limitada pela sua quebra.  2πd   A altura máxima por quebra é dada por H b = 0.142λ tanh   λ   A altura máxima por quebra também pode ser mostrada como uma função do período da onda para diferentes profundidades, como no gráfico λ Em águas profundas H b = 7 Em águas rasas a altura de quebra pode ser tão baixa como 78% da profundidade local, mas em regiões extensas e muito planas pode diminuir a 55% da profundidade local.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 31
    32. 32. Ondas Internas  Propagam-se na interface de separação entre massas de água com densidades diferentes. Qualquer perturbação é suficiente para provocar estas ondas.  Com frequência bem mais baixa do que as ondas de superfície (períodos entre 10 e 20 min), mas com amplitude significativamente maior (dezenas de metros), as ondas internas fazem com que as partículas que estão na superfície (como detritos, derramamento de petróleo, etc.) convirjam e se acumulem sobre os seus cavados.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 32
    33. 33. Medindo as Ondas© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 33
    34. 34. Teoria das Ondas Na análise de estruturas submetidas a carregamento de ondas, elas podem ser modeladas por métodos determinísticos ou estocásticos.  Ondas Regulares : São periódicas e uniformes, possuindo um comprimento λ, período T e uma altura H Quanto à bem definidos. Regularidade  Ondas Irregulares : pode ser representado pela superposição linear de ondas regulares com diferentes amplitudes, frequências e fases.  Ondas Lineares : Satisfazem as condições do movimento ser irrotacional e o fluido incompressível (a Quanto à matéria não se desloca). Linearidade  Ondas Não-Lineares : As partes “altas” da onda se movem mais rápido que as “baixas”.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 34
    35. 35. Características Físicas das Ondas 1 z AC x H AT λ  Comprimento da onda λ [m] é a distância entre duas cristas sucessivas.  Período da onda T [s] é o intervalo de tempo para a onda percorrer um ciclo completo. λ  Velocidade de fase é a velocidade de propagação da forma da onda c= [m/s]. T 1  Frequência da onda f = [Hz] é número de ciclos que a onda realiza por unidade de tempo. T T, f e ω 2π estão  Frequência angular da onda ω = = 2πf [rad/s]. T interligados 2π  Número de onda k = [rad/m] é o número de ciclos da onda por unidade de com- primento. λ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 35
    36. 36. Características Físicas das Ondas 2 z AC x H AT λ  Altura ou amplitude da crista AC é a distância do nível de águas paradas até a crista.  Profundidade ou amplitude do cavado AT é a distância do nível de águas paradas até o cavado.  Altura da onda H é a distância vertical do cavado até a crista H = AC + AT  Ondas lineares são simétricas em relação ao nível médio da água.  Ondas regulares não lineares são assimétricas, (AC > AT), e a velocidade de fase c depende da altura da onda H.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 36
    37. 37. Características Físicas das Ondas 3 Horace Lamb Matemático inglês 1849-1934 z AC x H AT d λ Leito marinho H  Esbeltez é a proporção entre a altura da onda e seu comprimento S = λ  Altura relativa é a proporção entre a altura da onda e a profundidade H d  Profundidade relativa é a proporção entre a profundidade e o comprimento da onda d µ= λ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 37
    38. 38. Grupos de Ondas  Na teoria linear de ondas pode ser demonstrado que a velocidade de fase depende do comprimento da onda e profundidade local gλ  2πd  tanh  c= 2π  λ   Em um local do oceano são gerados trens de ondas com vários comprimentos de onda e períodos ligeiramente diferentes. Estas ondas vão interferir formando um único grupo de ondas resultantes.  Velocidade de grupo cg é a velocidade pela qual a modulação das amplitudes da onda (a energia) se propaga. 1 2kd  g c g = 1 +  k tanh(kd ) 2  sinh( 2kd )  2πg  2πd   Relação de dispersão para ondas lineares ω = gk tanh(kd ) = tanh  [rad/s] λ  λ © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 38
    39. 39. Escala de Estado de Mar WMO Henry Percy Dougllas Hidrógrafo inglês 1879-1939  O conceito de estado de mar (sea state) é vago, pois não indica o período das ondas. Entretanto, é largamente utilizado.  Definido pela World Meteorological Organization, é baseado na Escala de Douglas para “wind seas”. CÓDIGO ALTURA DAS ONDAS DESIGNAÇÃO WMO (m) 0 Espelhado 0 1 Chão 0-0.1 2 Encrespado 0.1-0.5 WMO 4 3 Pequena vaga 0.5-1.25 WMO 6 4 Cavado 1.25-2.5 5 Grosso 2.5-4 6 Alteroso 4-6 7 Tempestuoso 6-9 8 Encapelado 9-14 9 Excepcional 14+ WMO 7 WMO 9© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 39
    40. 40. Caracterização do Estado de Mar  O estado de mar é melhor caracterizado por várias estatísticas, sendo as principais : - Altura significativa Hs. - Período médio entre cruzamentos zero Tz ou período de pico Tp - Direção da propagação das ondas  Alguns destes parâmetros são historicamente obtidos por estimativas visuais feitas por um observador treinado. H s = 1.68 H V .75 (m) 0 T p = 2.83TV0.44 (s)  Outros podem ser obtidos a partir de análises estatísticas a partir de uma tabulação dos dados coletados H1/3, Hrms).  Finalmente, através de análises estatísticas mais complexas a partir do espectro de distribuição de energia, parâmetros mais confiáveis podem ser obtidos (Hs, Tp, σ, etc.)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 40
    41. 41. Obtenção dos Dados por Ondógrafo  Em geral é utilizado um ondógrafo para registrar ao longo do tempo as elevações ocorridas. Com o uso de acelerômetros é possível também coletar informações relacionadas às direções de incidência das ondas. Vários parâmetros podem ser obtidos da série temporal.  Após a retirada do ruído da série temporal é aplicada a FFT, convertendo os sinais de elevação em função do tempo para uma modalidade de energia associada à frequência (δ2/ω x ω).  O ajuste do espectro é feito por expres- sões matemáticas que o definem em função de alguns parâmetros como forma, altura significativa de onda e período de pico.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 41
    42. 42. Análise da Série Temporal 1 Série Temporal Elevação (m) sinal envelope Probabilidade Relativa Tempo (s) H (m) Tabulação dos Dados Probabilidade Acumulada H (m)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 42
    43. 43. Análise da Série Temporal 2  A partir da análise de um registro das alturas de onda, vários parâmetros podem ser estabelecidos. PARÂMETRO VALOR Amplitude média Ā 0.04 m Desvio padrão σ 2.40 m Amplitude média quadrática Arms 2.40 m Amplitude máxima Amax 9.97 m Amplitude mínima Amin -8.18 m Cruzamentos 0 ↑ 1112 Nº Máximos 1289 Nº Mínimos 1282 Altura Pico-Pico ↑ 17.64 m Altura Pico-Pico ↓ 17.07 m Período médio de cruzamento zero Tz 9.71 s Período médio entre cristas Tc 8.38 s H1/3 9.25 m H1/10 11.78 m© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 43
    44. 44. Obtenção dos Dados por Satélite  Satélites de observação com vários tipos de sensores, radares e câmeras são utilizados atualmente. Satélite ERS-2 (1995)  Para a medição de altura de ondas (e de terreno) é utilizado o radar SAR (Synthetic Aperture Radar). O radar gera um pulso que é refletido, contendo duas informações importantes : a amplitude do sinal de retorno e a diferença de fase em relação ao sinal irradiado, que juntos são tratados como uma imagem complexa bruta. Imagem amplitude (cores claras são ondas maiores) Funcionamento do SAR  Da imagem complexa pode-se gerar a imagem amplitude, que é o módulo da imagem complexa.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 44
    45. 45. Ondas Regulares© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 45
    46. 46. Teorias de Ondas  Airy : A elevação da onda é aproximada por uma senóide.  Stokes : A altura da crista é maior que a altura do cavado. Cristas mais agudas do que o cavado.  Cnoidal : Cristas muito mais agudas do que o cavado.  Solitária : A altura da crista é praticamente igual a altura da onda (não há cavados).© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 46
    47. 47. O Problema a Ser Resolvido  Determinar o potencial do campo de velocidades das ondas de superfície φ.  Hipóteses básicas : 1. Fluido incompressível (densidade constante) 2. Fluido invíscido (não tem viscosidade) : escoamento irrotacional 3. Movimento coplanar (despreze espalhamento - eixo y) Conservação da massaEquações : Conservação do momento Condições de contorno λ z ζ(x,t) Nível da água z = 0 x H d Leito marinho z = -d© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 47
    48. 48. Equações de Conservação da Massa e Momento 1 Dρ  A variação da massa em um  Equação geral de Navier-Stokes : +∇•v = 0 volume infinitesimal é igual ρ Dt à massa que nele entra menos a massa que sai. Dρ A densidade é constante. =0  Hipótese 1: Fluido incompressível Dt então  O divergente de velocidades é nulo. ∇•v = 0 (água que entra = água que sai)  ∇×v = 0 O rotacional de velocidades é nulo.  Hipótese 2 : Movimento irrotacional  então A velocidade pode ser expressa como o v = ∇ϕ gradiente de uma função potencial. ∂ϕ Não há escoamento transversal  Hipótese 3 : Nada se move em y =0 ∂y ∂φ p  Equação de Bernoulli não estacionária: − + + gz = 0 ∂t ρ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 48
    49. 49. Condições de Contorno ∂ϕ  No leito do oceano (em z = -d) : =0 A velocidade do fluido normal ao fundo é nula. ∂z  Na superfície livre (z = ζ) : – Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na superfície livre lá permanece (sua velocidade vertical é igual a velocidade vertical da superfície do fluido). ∂ϕ ∂ζ ∂ϕ ∂ζ Considerando que a altura da onda ∂ϕ ∂ζ − = − em z = ζ seja pequena quando comparada − = ∂z ∂t ∂x ∂x ∂z ∂t ao seu comprimento, o termo de inclinação δζ/δx=0. – Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o corpo. ∂ϕ − + g .ζ = 0 Bernoulli aplicado a z = ζ onde p = 0 ∂t© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 49
    50. 50. O Resultado Linear  Considerando uma onda senoidal onde são conhecidas a amplitude H, o comprimento λ e seu período T, a elevação de sua superfície pode ser expressa por 2π 2π ζ (x, t ) = sin (kx − ωt ) onde ω = H e k= 2 T λ  Através da separação de variáveis chegamos à solução H g cosh[k (d + z )] φ ( x, z , t ) = cos(kx − ωt ) 2 ω cosh (kd )  Aplicando esta solução a Bernoulli em z=0, chegamos à relação de dispersão 2πg  2πd  ω 2 = gk tanh(kd ) = tanh  λ  λ © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. 50
    51. 51. Influência da Profundidade nas Ondas A teoria linear de ondas é uma solução da equação de Laplace, o que leva gλ  2πd  a seguinte formulação para a velocidade de fase c = tanh  2π  λ  A partir daí podemos verificar porque a profundidade da água pode ser classificada em 3 categorias : d  2πd  gλ - Águas profundas > 0.5 ⇒ tanh  ≈ 1.0 ⇒ c = λ  λ  2π Para profundidades maiores que 50% do comprimento da onda, a velocidade de fase não é influenciada pela profundidade. Este é o caso da maior parte das ondas na superfície do oceano. d  2πd  2πd - Águas rasas λ < 0.05 ⇒ tanh λ  ≈ λ ⇒ c = gd   Quando a profundidade é menor que 5% do comprimento da onda, a velocidade de fase é dependente somente da profundidade, não sendo mais uma função do seu comprimento. - Águas intermediárias 0.05λ < d < 0.5λ Para todos os outros casos, ambos a profundidade e o comprimento tem uma influência significativa na velocidade de fase.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 51
    52. 52. Teoria de Onda de Airy (Onda Senoidal) George Biddell Airy Astrônomo inglês 1801-1892  A altura da onda é pequena em comparação com seu comprimento ou profundidade da água.  Condições de contorno na superfície livre são satisfeitas no nível médio de águas tranquilas e não no nível real de elevação das ondas.  Parâmetros que definem uma onda linear : H (ou ζa), d, T, ʎ z crista ζa x cavado λ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 52
    53. 53. Ondas Senoidais em Águas Profundas Para águas profundas (d > 0.5 λ) 2πg  Relação de dispersão Ω = gk = [m/s] λ gT 2  Comprimento da onda λ = [m] 2π gT g gλ g  Velocidade de fase c = = = [m/s] = ω 2.π k 2π 1 g g gT c  Velocidade de grupo c g = = = = [m/s] 2 k 2ω 4π 2  Elevação da superfície ζ = ζa sin(kx - ωt) [m]  Pressão subsuperficial p = ρ g exp(kz) ζa sin(kx - ωt) [Pa] onde g = aceleração da gravidade (9.81 m/s2) ρ = densidade da água (1025 kg/m3) Observe que z se torna mais negativo a medida em que vamos para o fundo.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 53
    54. 54. Ondas Senoidais em Águas Intermediárias Para águas intermediárias (0.5 λ < d < 0.05 λ) A formulação envolve funções hiperbólicas, fazendo com que vários parâmetros tenham que ser calculados por métodos numéricos ou aproximações. 2πg  2πd   Relação de dispersão Ω = gk tanh(kd ) = tanh  λ  λ   2π  2πg  2πd  2  Comprimento da onda λ é a solução de   = tanh   T  λ  λ  tanh (k .d ) g  Velocidade de fase c = k 1 2kd  g  Velocidade de grupo c g = 1 + 2  sinh( 2kd )  k tanh(kd )  cosh[k .(h + z )]  Pressão subsuperfícial p = ρ .g . . sin(ω .t − k .x) cosh(k .h)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 54
    55. 55. Ondas Senoidais em Águas Rasas Para águas rasas (d < 0.05 λ) 2π  Relação de dispersão Ω = k gd = gd λ Comprimento da onda λ = T gd  Velocidade de fase c = gd  Velocidade de grupo c g = gd = c  Pressão subsuperficial (aproximadamente a hidrostática) p = ρg(ζ + z)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 55
    56. 56. Teoria de Onda de Stokes George Gabriel Stokes Matemático irlândes 1819-1903  A medida em que a altura da onda aumenta com relação ao comprimento, (esbeltez S aumenta) ela vai se afastando da onda linear. Cavado mais achatado (e longo) do que a cris- ta. Amplitude até a crista é maior que amplitude até o cavado. O movimento das partículas não é fechado, havendo um pequeno deslocamento na dire- ção da propagação (Stokes drift). Por isto as ondas conseguem transportar sedi- mentos, derrames de petróleo, etc. O equacionamento da onda é feito através de expansão em série de Taylor. O último termo da série define a ordem da onda de Stokes.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 56
    57. 57. Parâmetros da Onda de Stokes de 2ª Ordem tanh (kd ) g Velocidade de fase c = k π H 2 cosh(kd ) Elevação da superfície ζ = [2 + cosh(2kd )]cos[2(kx − ωt )] 8 λ sinh 3 (kd ) Pressão subsuperficial 3π ρgH 2  cosh[2k ( z + d )] 1  π ρgH 2 p=  −  cos[2(kx − ωt )] − {cosh[2k ( z + d )] − 1} 4 λ sinh ( 2kd)  sinh 2 (kd ) 3 4 λ sinh ( 2kd) Stokes drift  π .H   cosh[2k ( z + d )]  Qualquer 2 U =  c sinh 2 (kd )  profundidade  λ     π .H  2 U =  c Aproximação para águas profundas  λ © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 57
    58. 58. Teoria de Onda Cnoidal Diederik Korteweg Matemático holandês 1848-1941 Gustav de Vries Matemático iholandês 1866-1934  É uma solução periódica não-linear e exata da equação não linear diferen- cial parcial proposta por Korteweg e de Vries (equação KdV).  É utilizada para descrever ondas de gravidade de comprimento extrema- mente grandes quando comparados à profundidade. d  Aplicável quando λ > 5d e T > 7 g  A solução das equações é complexa, dependendo de aproximações numéricas. Além disto é instável quando o número de onda k é elevado.  Outra solução foi proposta por Benjamin-Bona-Mahomy (equação BBM).© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 58
    59. 59. Onda Solitária John Scott Russell Engenheiro naval escocês 1808-1882  É uma onda em águas rasas (solitão) que consiste em um único desloca- mento de água acima do seu nível médio.  Foi descrita pela primeira vez em 1834 por John Scott Russel quando ele observou a onda causada pela parada brusca de uma barcaça em um canal.  É uma descrição razoável da onda causada por um tsunami, mas é utilizada também na progressão de ondas periódicas quando a profundidade é menor que 10% do comprimento da onda.  Teoricamente seu comprimento é infinito, mas para propósitos práticos : - Velocidade de fase c = g (d + H ) 3H - Número de onda k = 4d 3 2π - Comprimento da onda λ= k - Elevação ζ = H sech 2 [k ( x − ct )]© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 59
    60. 60. Aplicabilidade das Teorias de Ondas Subrata Kumar Chakrabarti Engenheiro indiano 1941-2009  Três parâmetros são utilizados para determinar qual teoria de ondas deve ser aplicado a um problema específico : - Altura da onda H - Período da onda T - Profundidade da lâmina d’água d  Adimensionais decorrentes : H H - Esbeltez (steepness) S = = 2π λ gT 2 d d - Profundidade relativa µ = = 2π λ gT 2 H .λ2 S - Número de Ursell U R = 3 = 3 d µ UR mede o impacto da profundidade sobre a não-linearidade da onda© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 60
    61. 61. Quiz 1  Uma onda regular plana propaga-se em águas profundas com período de 16s. Qual o comprimento da onda e sua velocidade de fase m/s ? gT 2 9,81.16 2 λ= = = 400 m 2π 2π gT 9,81.16 c= = = 25 m/s 2.π 2.π  Calcule a velocidade de fase e a velocidade de grupo para uma onda linear de comprimento 200m nas profundidades de 2000, 80 e 10m. gλ  2πd  c= tanh  𝜆 = 200 2π  λ  d (m) c (m/s) cg (m/s) 2𝜋 k= =0,0314 ondas/m 2000 17,67 8,84 200 c 2kd  c g = 1 + 2  sinh( 2kd )   80 17,56 9,36 10 9,74 9,43 2π k= λ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 61
    62. 62. Quiz 2 Vazamento de óleo em uma FPSO no Campo de Tupi a 250km da costa, em lâmina d’água de 2000m ! Ondas de 1.5m de altura com período de 6s e comprimento de 40m são medidas no local. Em quanto tempo as manchas de óleo começarão a aparecer nas praias ? Desconsidere a variação de profundidade até a costa e o vento. d 2000 2π2π  H 2 = = 5,66 k= = = 0,157 ondas/m U = π  c gT 2 9,81.6 2 λ 40  λ H 1,5 Stokes 2ª ordem = = 0,00424 λ 40 2  1,5  2 gT 9,81.6 2 c= = = 6,67 m/s T 6 U = π  .6,67 = 0,0925 m/s  40  250000 t= = 2,7 x106 s = 1 mês 0 ,0925 No projeto de navios aliviadores para a Bacia de Campos, a Petrobrás recomenda Hs=3.5m e Tp=9s. Qual seria a teoria de ondas a utilizar ? Investigue nas profundi- dades mínima e máxima da bacia (100m e 2500m). d=100m d=2500m Em ambos os casos a utilização d 100 d 2500 de Stokes 2ª ordem seria suficie- = = 0,126 = = 3,145 gT 2 9,81.9 2 gT 2 9,81.9 2 nte (embora a Petrobrás requeira H = 1,5 = 0,00189 H = 1,5 = 0,00189 sempre 5ª ordem). 2 gT 9,81.9 2 gT 2 9,81.9 2© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 62
    63. 63. Ondas Irregulares© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 63
    64. 64. Ondas Irregulares 1  Na fase de projeto preliminar as ondas regulares representam um bom modelo para a representação do estado do mar.  Um estado real de mar apresenta características aleatórias de amplitude, frequência e fase, havendo a impossibilidade matemática de definir uma relação sólida que determine seu comporta- mento : é um processo estocástico.  Quando se considera o modelo estocástico pode-se representar o estado de mar formado pela superposição de diferentes ondas senoidais com diferentes amplitudes, frequências e fases (hipótese Gaussiana).© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 64
    65. 65. Quão Acertada é Esta Hipótese ?  Na hipótese Gaussiana, o processo é completamente descrito por : - Média - Variância  A partir de dados obtidos no mar, pode ser afirmado que : - Para mar calmo a moderado (< 4m) ele pode ser considerado estacionário para períodos de mais de 20 minutos. Para estados de mar mais severos isto pode ser questionado mesmo para períodos de 20 minutos. - Para estados de mar acima do moderado (4 a 8m) os modelos Gaussianos ainda são precisos, mas o desvio aumenta com a severidade do estado de mar. - Se o mar é suficientemente profundo, a elevação da onda pode ser considerada Gaussiana, independentemente do estado de mar.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 65
    66. 66. Ondas Irregulares 3  O mar irregular é descrito pela sua energia total e não pela forma da onda.  Para uma onda senoidal simples a densidade de energia é descrita por ρgζ a 2 E= 2  Para um mar irregular, composto por um somatório de ondas senoidais, a densidade de energia será ρg E= (ζ a1 + ζ a 2 + ζ a 3 + ...) 2 2 2 2  As ondas irregulares são caracterizadas por um espectro de onda que descreve a distribuição de energia (altura) em relação à sua frequência ou período.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 66
    67. 67. Ondas Irregulares 4 Após o vento ter soprado de forma constante por um período de tempo, a elevação do mar pode ser assumida como estatísticamente estável. Isto é conhecido como “mar totalmente desenvolvido”.  Se a irregularidade das ondas observadas é somente na direção do vento dominante, de modo que existe várias ondas unidire- cionais com separação variável mas mantendo seu paralelismo, o mar é conhe- cido como de cristas longas (long-crested).  Se as irregularidades são aparentes ao longo das cristas das ondas em ângulos perpendiculares ao vento, o mar é conheci- do como de cristas curtas (short-crested ou confused sea).© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 67
    68. 68. Alguma Estatística (não tão) Básica© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 68
    69. 69. Distribuições de Probabilidade 1  Distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade de uma variável randômica assumir determinados valores.  Considerando que uma variável aleatória discreta x toma os valores x1, ...xn, então : 1 n x + x2 + ... + xn - Média aritmética : x = ∑ xi = 1 n i =1 n 1 n 2 x12 + x2 + ... + xn 2 2 - Valor eficaz : xrms = ∑ xi = n i =1 n - Média geométrica : x g = n Π in=1 xi = n x1 x2 ...xn - Moda : É o valor de maior frequência. - Mediana : Dependendo se o número de elementos ordenados for ímpar ou par, é o valor central ou a média dos valores próximos ao centro. 1 n - Desvio padrão : σ = ∑ (xi − x ) 2 n − 1 i =1 - Variância : σ 2© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 69
    70. 70. Distribuições de Probabilidade 2  Uma variável randômica contínua x tem uma f(x) função de distribuição de probabilidade f(x) de modo que a probabilidade P da variável estar entre dois valores a e b é moda mediana média b P[ a ≤ x ≤ b] = ∫ f ( x)dx a F(x)  A função F da distribuição acumulada de x xé +∞ F ( x) = ∫ f ( x)dx  Média : µ = ∫ x. f ( x)dx −∞ −∞  Mediana : Md é o valor de x para o qual F(x)=0.5  Moda : Mo é o valor de maior frequência f(x) +∞  Desvio padrão : σ = ∫ (x − µ ) . f ( x)dx 2 −∞© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 70
    71. 71. Distribuições de Probabilidade 3  Assimetria : Indica o grau de afastamento da simetria de uma distribuição (µ − M o ) (µ − M d ) 1º Coeficiente de Pearson : γ = 2º Coeficiente de Pearson : γ = 3 σ σ Assimetria positiva Simétrica Assimetria negativa µ = Mo = Md Mo ≤ Md ≤ µ µ ≤ Md ≤ Mo  Curtose : Indica o grau de achatamento de uma distribuição, indicando a concentração de valores nas suas caudas, em relação a uma distribuição normal +∞ ∫ (x − µ ) . f ( x)dx 4 c= −∞ −3 σ 3© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 71
    72. 72. Distribuições de Probabilidade 4  Algumas formas de distribuição de probabilidade : Distribuição Parâmetros Características Aplicabilidade Aspecto Utilizada na escolha de parâmetros Valores e probabi- das entidades. Por ex., em uma loja Assume apenas os va- Discreta lidade de ocorrên- 30% dos clientes compram merca- lores fornecidos cia destes valores dorias no balcão e 70% nas prate- leiras. Todos os valores no Quando não se tem nenhuma infor- Maior e menor va- intervalo têm a mesma Uniforme mação sobre o processo ou apenas lor probabilidade de ocor- os valores limites. rência Quando se conhece a moda, o me- Menor valor, mo- Triangular Simétrica ou não nor e o maior valor que podem ocor- da e maior valor rer. Grande variabilidade dos valores. Independência entre um valor e Variância alta e cauda Exponencial Média outro. Muitos valores baixos e pou- para a direita cos altos. Utilizada em estatística de falhas. Simétrica com forma Média e desvio de sino. Variabilidade Probabilidade de valores acima e Normal padrão controlada pelo des- abaixo da média são iguais. vio padrão.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 72
    73. 73. Distribuições de Probabilidade 5  Procurando dar um tratamento matemático aos mais diversos fenômenos da natureza, diversos tipos de funções de distribuição foram desenvolvidos: – Beta – Cauchy – Dagum – Fisher-Tippet – Gama – Gaussiana – Gumbel – Laplace – Levy – Pareto – Qui-Quadrado – Rayleigh – Rice – Von Mises – Weibull – Etc.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 73
    74. 74. Distribuição Normal ou Gaussiana Carl Friedrich Gauss Matemático alemão 1777-1855 Considerada a mais proeminente distribuição de probabilidade na estatística (simplicidade, conveniência para vários tipos de amostragens, etc.)  Formulação : - Função de distribuição : 1  ( x − µ )2  f ( x) = exp −  σ 2π  2σ 2  - Distribuição acumulada : 1 x  ( x − µ )2  σ 2π −∫ F ( x) = exp − dx ∞  2σ 2  - Média ( = moda e mediana) : μ - Variância : σ 2 Regra 68-95-99.7© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 74
    75. 75. Distribuição de Rayleigh John William Strut (Lord Rayleigh) Matemático inglês 1842-1919 É um tipo de distribuição observada quando a magnitude total de um vetor é relacionada às suas componentes direcionais não correlacionadas mas normalmente distribuídas e com a mesma variância (ex.: velocidade do vento, propagação das ondas do mar, etc.). f(x)  Formulação :  x2  x - Função de distribuição : f ( x) = 2 exp −  2σ 2   σ    x  2 - Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp −  2σ 2   π   - Média : σ ≈ 1.253σ 2 - Mediana : σ ln(4) ≈ 1.177σ F(x) - Moda : σ 4 −π 2 - Variância : σ ≈ 0.429σ 2 2© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 75
    76. 76. Distribuição de Weibull 1 Ernest Hajlmar Waloddi Weibull Engenheiro suíço 1887-1979 É utilizada extensivamente em análise de confiabilidade e de falha, gover- nando o tempo para a ocorrência do elo mais fraco de vários processos simultâneos de falha. f(x)  Formulação para 3 parâmetros : k  x −θ  k −1   x − θ k  - Função de distribuição : f ( x) =   exp −   β    β β          k  - Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp −  x − θ         β     onde k = parâmetro de forma x β = parâmetro de escala Se θ = 0 recaímos na distribuição ϴ = parâmetro de localização de Weibull de 2 parâmetros F(x) Se considerarmos x como o tempo para a falha k < 1 indica que a taxa de falha diminui com o tempo (mortalidade infantil). k = 1 indica que a taxa de falha independe do tempo. k > 1 indica que a taxa de falha aumenta com o tempo (morte por velhice). x© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 76
    77. 77. Distribuição de Weibull 2  1 - Média : µ = θ + β Γ1 +   k 1 Função Gama - Mediana : θ + β [ln(2)] k Γ(n) = (n - 1)! 1 - Moda : θ + β  k − 1  k    k    2  1  - Variância : σ 2 = β 2 Γ1 +  − Γ 2 1 +    k  k  {Γ(1 + 3 / k ) − 3Γ(1 + 2 / k )Γ(1 + 1 / k ) + 2Γ (1 + 1 / k )} 3 - Assimetria : γ = {Γ(1 + 2 / k ) − Γ (1 + 1 / k )} 3 2 2  Para a determinação dos parâmetros a partir de dados coletados são utili- zados os momentos da função de distribuição +∞ mn = ∫0 x n . f ( x)dx m1 = µ m2 = σ 2 m3 = γ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 77
    78. 78. Distribuição de Gumbel (log-Weibull) Emil Julius Gumbel Matemático alemão 1891-1966 Utilizada para modelar a distribuição dos máximos de um número de amos- tras de várias distribuições (estatística de extremos).  Formulação : 1  x−µ    x − µ  - Função de distribuição : f ( x) = exp  β   exp − exp   β   β        x − µ  - Distribuição acumulada : F ( x) = 1 − exp − exp   β      - Média : µ + γβ γ= 0,57721 (constante de Euler-Mascheroni) - Mediana : µ − β ln (ln (2 )) - Moda : μ βπ - Desvio padrão : σ = 6© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 78
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