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  1. 1. ANNO ACCADEMICO 2000/2001 Esercitazioni diMECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE di Paolo Milanesi
  2. 2. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Indice delle esercitazioni INDICE DELLE ESERCITAZIONIINTRODUZIONE ALLE ESERCITAZIONI 5 1. SISTEMI DI RIFERIMENTO MECCANICI PIANI 5 1.1. GRADI DI LIBERTA’ DI UN PUNTO MATERIALE 5 1.2. GRADI DI LIBERTA’ DI UN CORPO RIGIDO 5 2. TIPI DI VINCOLO 6 3. CALCOLO DEI GRADI DI LIBERTA’ DI UN SISTEMA MECCANICO 6 3.1. PRIMO ESEMPIO 6 3.2. SECONDO ESEMPIO 7 3.3. TERZO ESEMPIO 7 3.4. QUARTO ESEMPIO 7 4. SOMMA DI VETTORI 8 5. SISTEMI DI RIFERIMENTO RELATIVI 9 5.1. TEOREMA DEI MOTI RELATIVI 9 5.2. TEOREMA DI RIVALS 10 6. BARICENTRO E MOMENTI D’INERZIA 11Prima esercitazione: GRU A BRACCIO 12 1. STUDIO DEL COMPORTAMENTO CINEMATICO 13 1.1. CALCOLO DEI GRADI DI LIBERTÀ DEL SISTEMA 13 1.2. SCELTA DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO RELATIVO 13 1.3. CALCOLO DELLE VELOCITÀ 14 1.4. CALCOLO DELLE ACCELERAZIONI 15 2. STUDIO DEL COMPORTAMENTO DINAMICO 16Seconda esercitazione: CROCE DI MALTA 17 1. STUDIO DEL COMPORTAMENTO CINEMATICO 18 1.1. CALCOLO DEI GRADI DI LIBERTÀ DEL SISTEMA 18 1.2. SCELTA DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO RELATIVO 18 1.3. CALCOLO DELLE VELOCITÀ 18 1.4. CALCOLO DELLE ACCELERAZIONI 19 2. STUDIO DEL COMPORTAMENTO DINAMICO 20 2.1. CALCOLO DELL’AZIONE IN P 20 2.2. CALCOLO DELLA COPPIA MOTRICE Mm 20 2.3. CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI NEL PUNTO B 20 2.4. CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI NEL PUNTO A 20Terza esercitazione: MANOVELLISMO ORDINARIO CENTRATO 21 1. STUDIO DEL COMPORTAMENTO CINEMATICO 23 1.1. CALCOLO DEI GRADI DI LIBERTÀ DEL SISTEMA 23 1.2. SCELTA DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO RELATIVO 23 1.3. CALCOLO DELLE VELOCITÀ 24 1.4. CALCOLO DELLE ACCELERAZIONI 25 2. STUDIO DEL COMPORTAMENTO DINAMICO 26 1
  3. 3. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Indice delle esercitazioniQuarta esercitazione: DINAMICA DI UN’AUTOVETTURA 29 1. CALCOLO DELL’ACCELERAZIONE DELL’AUTOVETTURA 30 1.1. CALCOLO DELL’ENERGIA CINETICA EC E DELLA SUA DERIVATA RISPETTO AL TEMPO 30 1.2. CALCOLO DELLA POTENZA MOTRICE 30 1.3. CALCOLO DELLA POTENZA RESISTENTE E DELLA FORZA DI RESISTENZA AERODINAMICA 30 1.4. CALCOLO DELLA POTENZA PERSA 30 1.5. CALCOLO DELL’ACCELERAZIONE DELL’AUTOVETTURA MEDIANTE IL BILANCIO DI POTENZE 32 2. CALCOLO DELLE REAZIONI DEL TERRENO 33 3. VERIFICA DELL’ADERENZA DELLE RUOTE AL TERRENO 34 3.1. VERIFICA DELL’ADERENZA DELLE RUOTE ANTERIORI 34 3.2. VERIFICA DELL’ADERENZA DELLE RUOTE POSTERIORI 34Quinta esercitazione: ASCENSORE 35PARTE INTRODUTTIVA: Descrizione della curva caratteristica del motore asincrono 37PRIMA PARTE:MOTO A REGIME IN SALITA: determinazione della potenza del motore 37 1. CALCOLO DELLA VELOCITÀ DI ROTAZIONE DEL MOTORE, DELLA VELOCITÀ DI ROTAZIONE DELLA PULEGGIA E DELLA VELOCITÀ DI SOLLEVAMENTO 37 1.1. CALCOLO DELLA VELOCITÀ DI ROTAZIONE DEL MOTORE 37 1.2. CALCOLO DELLA VELOCITÀ DI ROTAZIONE DELLA PULEGGIA 38 1.3. CALCOLO DELLA VELOCITÀ DI SOLLEVAMENTO 38 2. CALCOLO DELLA POTENZA RESISTENTE, DELLA POTENZA MOTRICE, DEL MOMENTO MOTORE E DELLA POTENZA DI TARGA O NOMINALE DEL MOTORE ASINCRONO A SERVIZIO INTERMITTENTE 38 2.1. CALCOLO DEL MOMENTO MOTORE 38 2.2. CALCOLO DELLA POTENZA MOTRICE 39 2.3. CALCOLO DELLA POTENZA RESISTENTE 39 2.4. CALCOLO DELLA POTENZA DI TARGA O NOMINALE 39SECONDA PARTE:AVVIAMENTO IN DISCESA (transitorio): scelta del volano 40 1. CALCOLO DELLA COPPIA MASSIMA E DEL MOMENTO DI INERZIA DEL MOTORE 40 2. CALCOLO DEL MOMENTO D’INERZIA DEL VOLANO 40 2.1. CALCOLO DELLA POTENZA MOTRICE 40 2.2. CALCOLO DELLA POTENZA RESISTENTE 40 2.3. CALCOLO DELLA POTENZA PERSA 40 2.4. CALCOLO DELLA DERIVATA DELL’ENERGIA CINETICA RISPETTO AL TEMPO 40 2.5. CALCOLO DEL MOMENTO DI INERZIA DEL VOLANO 41 2
  4. 4. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Indice delle esercitazioniSesta esercitazione: MACCHINA A REGIME PERIODICO 42 1. CONVERSIONE DEI DATI DEL PROBLEMA NELLE UNITÀ DI MISURA DEL SISTEMA INTERNAZIONALE 43 2. CALCOLO DEI LAVORI RESISTENTE E MOTORE IN UN PERIODO 44 3. CALCOLO DEL MOMENTO MOTORE SUPPOSTO COSTANTE NEL PERIODO 45 4. CALCOLO DEL MOMENTO RESISTENTE RIDOTTO ALL’ALBERO DI MANOVELLA 45 5. CALCOLO DEL MOMENTO D’INERZIA DEL VOLANO 46Settima esercitazione: RULLO ROTANTE 48 RISOLUZIONE DELLA SETTIMA ESERCITAZIONE: RULLO ROTANTE 49Ottava esercitazione: VIBRAZIONI TORSIONALI 51PARTE PRELIMINARE: Conversione dei dati nelle unità di misura del S.I. 52PARTE PRIMA: Vibrazioni libere 52 1. CALCOLO DEI MOMENTI DI REAZIONE ELASTICA 52 2. CALCOLO DELLE COSTANTI DI RICHIAMO ELASTICO 53 3. CALCOLO DELLE PULSAZIONI PROPRIE CON L’EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE PER CIASCUNO DEI TRE DISCHI 53PARTE SECONDA: Velocità critiche torsionali 56 1. CALCOLO DEI MODI DI VIBRARE 56 1.1. CALCOLO DEL 1° MODO DI VIBRARE 56 1.2. CALCOLO DEL 2° MODO DI VIBRARE 57 2. CALCOLO DELLE VELOCITÀ CRITICHE TORSIONALI 57 2.1. CALCOLO DELLE VELOCITÀ CRITICHE TORSIONALI NEL PRIMO MODO DI VIBRARE 57 2.2. CALCOLO DELLE VELOCITÀ CRITICHE TORSIONALI NEL SECONDO MODO DI VIBRARE 57Nona esercitazione: CICLO OTTO 58 1. DESCRIZIONE E RAPPRESENTAZIONE DEL CICLO OTTO NEI PIANI p-V E T-S 59 1.1. CONVERSIONE DEI DATI NELLE UNITÀ DI MISURA DEL SISTEMA INTERNAZIONALE 59 1.2. CALCOLO DEI DATI MANCANTI DELLE VARIE FASI DEL CICLO 59 1.2.1. TRATTO 0 → 1 : CALCOLO DELLA MASSA DEI GAS 59 1.2.2. TRATTO 1 → 2 : COMPRESSIONE ADIABATICA 60 1.2.3. TRATTO 2 → 3 : COMBUSTIONE ISOCORA 60 1.2.4. TRATTO 3 → 4 : ESPANSIONE ADIABATICA 61 1.3. CALCOLO DELLA VARIAZIONE DI ENTROPIA NEL CICLO 62 1.4. RAPPRESENTAZIONE DEL CICLO NEI PIANI p-V E T-S 62 3
  5. 5. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Indice delle esercitazioni 2. CALCOLO DEL LAVORO TEORICO DEL CICLO 63 3. CALCOLO DELLA POTENZA TEORICA SVILUPPATA DAL MOTORE 63Decima esercitazione: CICLO RANKINE 64 1. DEFINIZIONE DEL CICLO NEI PIANI p-V, T-S, H-S 66 2. CALCOLO DEL RENDIMENTO COMPLESSIVO DELLA CENTRALE 69 2.1. CALCOLO DEL LAVORO UTILE 69 2.2. CALCOLO DEL LAVORO SPESO 69 2.3. CALCOLO DEL CALORE ENTRANTE 69 2.4. CALCOLO DEL RENDIMENTO TEORICO E REALE DEL CICLO 69Undicesima esercitazione: GASOMETRO 70 1. CALCOLO DELLA PRESSIONE DEL GAS ALL’INTERNO DELLA CAMPANA 71 2. CALCOLO DELLA MASSA DI GAS RACCHIUSO NELLA CAMPANA 71 3. CALCOLO DELLA PRESSIONE FINALE DEL GAS ALL’INTERNO DELLA CAMPANA 72 3.1. CALCOLO DELLA SPINTA DI ARCHIMEDE NELLA CONDIZIONE INIZIALE 1 72 3.2. CALCOLO DEL PESO APPARENTE NELLA CONDIZIONE INIZIALE 1 73 3.3. CALCOLO DEL PESO DELLA CAMPANA 73 3.4. CALCOLO DELLA MASSA DELLA CAMPANA 73 3.5. CALCOLO DELLA SPINTA DI ARCHIMEDE NELLA CONDIZIONE FINALE 2 73 3.6. CALCOLO DEL PESO APPARENTE NELLA CONDIZIONE FINALE 2 73 3.7. CALCOLO DELLA PRESSIONE DEL GAS ALL’INTERNO DELLA CAMPANA NELLA CONDIZIONE FINALE 2 73 3.8. CALCOLO DEL VOLUME OCCUPATO DAL GAS E DELLA TEMPERATURA NELLA CONDIZIONE FINALE 2 74 3.9. CALCOLO DELLA TEMPERATURA FINALE DEL GAS IPOTIZZANDO LA TRASFORMAZIONE ISOBARA 74 4. CALCOLO DELL’ENERGIA SCAMBIATA TRA IL SOLE E LA CAMPANA 74 4.1. CALCOLO DELLA VARIAZIONE DI ENTALPIA DEL GAS 75 4.2. CALCOLO DELLA VARIAZIONE DI ENERGIA POTENZIALE DELLA CAMPANA 75 4.3. CALCOLO DELLA VARIAZIONE DI ENERGIA POTENZIALE DEL GAS 75 4.4. CALCOLO DEL LAVORO COMPIUTO PER SPOSTARE L’ARIA 75 4.5. CALCOLO DELL’ENERGIA CEDUTA DAL SOLE 75 4
  6. 6. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Introduzione alle esercitazioni INTRODUZIONE ALLE ESERCITAZIONI1. SISTEMI DI RIFERIMENTO MECCANICI PIANI 1.1. GRADI DI LIBERTA’ DI UN PUNTO MATERIALE Il punto materiale è un elemento materiale del quale non interessano le parti componenti, i moti relativi interni, incluse le rotazioni, e le dimensioni. In un sistema di riferimento piano il punto materiale ha 2 gradi di libertà (Fig.1). Y Figura 1 Coordinate del punto materiale P in un sistema di YP P(X ,Y ) P P riferimento piano: P = (xP , y P ) O XP X 1.2. GRADI DI LIBERTA’ DI UN CORPO RIGIDO Si definisce corpo rigido un corpo tale che la distanza di due suo qualsiasi punti si mantiene costante durante il moto, ha dimensioni finite e ha un suo orientamento. Il moto rigido piano è per definizione il moto di un corpo rigido i cui punti si muovono con traiettorie parallele ad uno stesso piano. Ogni moto rigido piano di un corpo è riconducibile alla somma di un moto traslatorio e di un moto rotatorio. In un sistema di riferimento meccanico piano un corpo rigido ha 3 gradi di libertà(Fig.2). Y YQ Q Figura 2 Coordinate dell’asta PQ (corpo rigido) in un sistema di riferimento piano: P α ( x P , y P ,α ) YP 2 ( yQ − yP )2 + (xQ − xP )2 = PQ O XP XQ X 5
  7. 7. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Introduzione alle esercitazioni2. TIPI DI VINCOLO M’ M’ FV ’ FO’ M’’ Fv’’ F V’ F V’ FV’ Fv’’ FO’ Fv’’ F V’ Fv’’ Fv’’ M’’ FO’’ FO’’Figura 3 – Cinque tipi di vincolo (carrello, pattino, manicotto, cerniera, puro rotolamento).3. CALCOLO DEI GRADI DI LIBERTA’ DI UN SISTEMA MECCANICO Si determinino i gradi di libertà (g.d.l.) e di vincolo (g.d.v.) dei sistemi rappresentati nelle figure 4,5,6,7 ed il moto dei vari membri dei sistemi: 3.1. PRIMO ESEMPIO A ω Figura 4 Nel sistema rappresentato in figura l’asta OA ruota, l’asta AB rototrasla, il corsoio B trasla. B O Il sistema è costituito da 3 corpi rigidi (l’asta OA, l’asta AB e il corsoio B) e da 4 vincoli (3 cerniere, 1 manicotto). n° g.d.l. totali = 3 x 3 = 9 n° g.d.v. totali = 3 x 2 + 1 x 2 = 6 + 2 = 8 n° g.d.l. residui = 9 – 8 = 1 6
  8. 8. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Introduzione alle esercitazioni 3.2. SECONDO ESEMPIO A ω Figura 5 Nel sistema rappresentato in figura l’asta OA ruota, l’asta AB rototrasla, il carrello B trasla. B O Il sistema è costituito da 2 corpi rigidi (l’asta OA e l’asta AB) e da 3 vincoli (2 cerniere e 1 carrello). n° g.d.l. totali = 2 x 3 = 6 n° g.d.v. totali = 2 x 2 + 1 x 1 = 4 + 1 = 5 n° g.d.l. residui = 6 – 5 = 1 3.3. TERZO ESEMPIO A ω Figura 6 B Nel sistema rappresentato in figura l’asta OA ruota, l’asta AB rototrasla, il corsoio B ruota. O Il sistema è costituito da 3 corpi rigidi (l’asta OA, l’asta AB e il corsoio B) e da 4 vincoli (3 cerniere e 1 accoppiamento prismatico). n° g.d.l. totali = 3 x 3 = 9 n° g.d.v. totali = 3 x 2 + 1 x 2 = 6 + 2 = 8 n° g.d.l. residui = 9 – 8 = 1 3.4. QUARTO ESEMPIO A ω Figura 7 B Nel sistema rappresentato in figura l’asta OA ruota, l’asta AB rototrasla, il carrello B ruota. O Il sistema è costituito da 2 corpi rigidi (l’asta OA e l’asta AB) e da 3 vincoli (2 cerniere e 1 carrello). n° g.d.l. totali = 2 x 3 = 6 n° g.d.v. totali = 2 x 2 + 1 x 1 = 4 + 1 = 5 n° g.d.l. residui = 6 – 5 = 1 7
  9. 9. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Introduzione alle esercitazioni4. SOMMA DI VETTORI a a c=a+b c b b Figura 8 – Somma di due vettori (metodo del parallelogramma ) a b a c=a+b c b Figura 9 – Somma di due vettori (metodo dei vettori consecutivi)Attraverso la seguente tabella (Tab.1) è possibile trovare il modulo e la direzione delvettore c, noti il modulo e la direzione dei vettori a e b: Tabella 1 c = a + b Modulo ? a b Direzione ? dira dirbEsempio di applicazione: data la sottostante tabella (Tab.2), disegnare i vettori v1, v2, v3. Tabella 2 v1 = v2 + v3 Modulo ? v2 ? Direzione dirv1 dirv2 dirv3 v dirv3 3 Figura 10 v Rappresentazione dei vettori v1, v2 e v3, noti v2 e le 2 v 1 direzioni di v1 e v3. dirv1 8
  10. 10. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Introduzione alle esercitazioni5. SISTEMI DI RIFERIMENTO RELATIVI A Y ω Figura 11 Data la velocità angolare ω della B manovella OA, trovare la velocità vB del O carrello. X 5.1. TEOREMA DEI MOTI RELATIVI Si pone il sistema di riferimento relativo x’y’ rotante attorno ad O e solidale con l’asta OA: A Figura 12 Y ω x’ ΓB ) (r Traiettoria assoluta di B (ΓB(a)): Γ y’ retta parallela al piano π. Traiettoria di trascinamento di B B O ΓB ) (a (ΓB(t)): circonferenza con centro Γ π in O e raggio OB. Traiettoria relativa di B (ΓB(r)): Γ X circonferenza con centro in A e raggio AB. ΓB ) (t ⊥ OB Tabella 3 vB = vB(t) + vB(r) vB ) (r Modulo ? ω OB ? vB ) (t Direzione Dπ ⊥ OB ⊥ AB vB ) (a Dπ ⊥ AB TEOREMA DEI MOTI RELATIVI PER LE VELOCITA’ vASSOLUTA = vRELATIVA + vTRASCINAMENTO 9
  11. 11. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Introduzione alle esercitazioni 5.2. TEOREMA DI RIVALS Si pone il sistema di riferimento x’y’ traslante su traiettoria circolare con origine in A: y’ ΓA Figura 13 Y Γ Traiettoria assoluta di B (ΓB): retta ω x’ ΓBA parallela al piano π. A Traiettoria relativa di B rispetto ad Γ A (ΓBA): circonferenza con centro B in A e raggio AB. O ΓB π Traiettoria assoluta di A (ΓA): Γ circonferenza con centro in O e raggio OA. X Tabella 4 vB = vA + vBA ⊥ OA vBA vA Modulo ? ω OA ?( ω BA AB ) Dπ Direzione Dπ ⊥ OA ⊥ AB ⊥ AB vB TEOREMA DI RIVALS PER LE VELOCITA’ (Si applica solo a punti che appartengono allo stesso corpo rigido) vB = vA + vBA I teoremi dei moti relativi e di Rivals possono essere utilizzati anche per le accelerazioni, ma nel caso in cui il sistema di riferimento relativo sia rotante è necessario aggiungere l’accelerazione complementare o di Coriolis definita come: a ( c ) = 2ω ∧ v ( r ) che risulta ruotata, rispetto alla direzione di v(r), di 90° nel verso della velocità angolare ω del riferimento mobile. 10
  12. 12. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Introduzione alle esercitazioni6. BARICENTRO E MOMENTI D’INERZIAY Figure 14-15 Ω Baricentro di un sistema continuo: Massa: M = ∫ dm = ∫ ρdV yG G Ω Ω dm  xG = xρdV   ∫ Ω Coordinate del baricentro:   yG = ∫ yρdV   ΩO xG XY Momenti d’inerzia di un sistema continuo: yn pn,mn J xx = ∫ y 2 dm = ∫ y 2 ρdV J xy = ∫ yxdm = ∫ yxρdV Ω Ω J yx = ∫ xydm = ∫ xyρdV J yy = ∫ x dm = ∫ x 2 ρdV 2 Ω Ω y1 p1,m1 Momenti d’inerzia di un sistema di punti: n n J xx = ∑ mi y i2 J xy = ∑ mi yi xi i =1 i =1 n n J yx = ∑ mi xi y i J yy = ∑ mi xi2O x1 xn X i =1 i =1Y dFi Figura 16 Forze e coppie di inerzia. Fi Forza d’inerzia: dm Fi = ∑ dFi = ∫ − a dm = − ∫ a ρdV = − MaG yG G i Ci Ω Ω Coppia d’inerzia: Ω Ci = − J Gω = −(J xx + J yy )ω = −ω ∫ x 2 + y 2 ρdV( ) Ω O xG XI momenti di ordine 1 del sistema continuo distribuito coincidono con i momenti di ordine 1dell’elemento infinitesimo dm. Equilibrio alla traslazione: ∑ k Fk = MaG ⇒ ∑ Fk + Fi = 0 ⇒ k ∑ Fh = 0 h Equilibrio alla rotazione: ∑ M k G = J Gω ⇒ k ∑ M k G + Ci = 0 ⇒ k ∑ M hG = 0 h 11
  13. 13. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Prima esercitazione: Gru a braccio Prima esercitazione: GRU A BRACCIOLa gru per cantiere edilizio (riportata in fig. 17 in scala 1:100 (cioè σl = 1m/cm)) è del tipo abraccio girevole con il carrello porta-gancio mobile lungo il braccio.1. Si richiede di studiare il comportamento cinematico del carrello, schematizzato con un punto, determinandone velocità ed accelerazione quando il braccio ruota con velocità angolare ω = 0,1 rad/s ed accelerazione angolare ω = 0,01 rad/s2 (antiorarie) ed il carrello C sta ritornando con velocità relativa vr = 0,7 m/s ed accelerazione relativa ar = 0,1 m/s2 verso l’interno. Si considerino 2 casi: • 1° caso: punto C a distanza 4 m dall’asse di rotazione (punto 0) • 2° caso: punto C a distanza 6 m dal punto O.2. Si richiede inoltre di determinare la tensione della fune T e la coppia motrice agente Mm, sapendo che il carrello ha massa mc = 300 kg e il braccio ha massa mb = 3000 kg e momento d’inerzia baricentrico JG = 1200 kg m2 e che il baricentro G del braccio dista 1 m dall’asse di rotazione (punto O). Figura 17 – Gru a braccio per cantiere edilizio. 12
  14. 14. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Prima esercitazione: Gru a braccio Risoluzione della prima esercitazione: GRU A BRACCIO1. STUDIO DEL COMPORTAMENTO CINEMATICO ar Figura 18 Schematizzazione sottosistema braccio + carrello G vr O ω C 1.1. Calcolo dei gradi di libertà del sistema Il sistema è costituito da 2 corpi rigidi (l’asta di baricentro G e il carrello C) e da 2 vincoli (cerniera in O e manicotto in C): n° gradi di libertà totali = 3 x 2 = 6 n° gradi di vincolo totali= 1 x 2 + 1 x 2 = 4 n° gradi di libertà residui = 6 – 4 = 2 1.2. Scelta del sistema di riferimento relativo ΓC ) (t y’ Y x’ G ΓC ) (r O C X Figura 19 – Sistema di riferimento relativo. Si sceglie un sistema di riferimento relativo x’y’ con origine in O rotante solidamente con il braccio mobile della gru. La traiettoria di trascinamento del carrello C è un circonferenza con centro in O e raggio OC ed è rappresentata da ΓC(t) in figura 19. La traiettoria relativa del carrello C è una retta parallela al segmento OC ed è rappresentata da ΓC(r) in figura 19. 13
  15. 15. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Prima esercitazione: Gru a braccio 1.3. Calcolo delle velocità Tabella 5 (t (r ⊥ OC vC = vC ) + vC ) Modulo ? ω OC vr vC vC ) (t Direzione ? ⊥ OC D OC OC Verso ? ← ↑ vC ) (r 1° CASO: OC = 4 m Figura 20 Scala: 1 cm = 0,1 m/s (t ) vC vCr ) = 0,7 [m / s] ( vC vCt ) = ωOC = 0,1 [rad / s] ⋅ 4 [m] = 0,4 [m / s] ( vC = (vCr ) ) 2 + (vCt ) ) 2 = 0,7 2 + 0,42 ≅ 0,8 [m / s] α ( ( α = arctan(vCt ) / vCr ) ) = arctan(0,4 / 0,7) ≅ 30° ( ( vC ) (r 2° CASO: OC = 6 m Figura 21 Scala: 1 cm = 0,1 m/s vC vCr ) = 0,7 [m / s] ( vC ) (t vCt ) = ωOC = 0,1 [rad / s] ⋅ 6 [m] = 0,6 [m / s] ( vC = (vCr ) ) 2 + (vCt ) ) 2 = 0,7 2 + 0,6 2 ≅ 0,9 [m / s] ( ( α = arctan(vCt ) / vCr ) ) = arctan(0,6 / 0,7) ≅ 40° ( ( α vC ) (r 14
  16. 16. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Prima esercitazione: Gru a braccio 1.4. Calcolo delle accelerazioni Tabella 6 aC = a Cn) (r + aCt ) (r + aCn) (t + aCt) (t + aC ) (c MODULO ? X ar ω 2 OC ω OC 2ωvCr ) ( DIREZIONE ? X DOC DOC ⊥ OC ⊥ OC VERSO ? X ← ← ↑ ↓ 1° CASO: OC = 4 m Figura 22 Scala: 1 cm = 0,04 m/s2 aCt ) (r aCn) (t DOC (t ) a (r [ aCt) = 0,1 m / s 2 ] (c ) Ct aCn) = ω 2 OC = 0,12 ⋅ 4 = 0,04 m / s 2 (t [ ] a C α aCt) = ωOC = 0,01⋅ 4 = 0,04 m / s 2 (t [ ] aC ⊥ OC aCc) = 2ωvCr ) = 2 ⋅ 0,1⋅ 0,7 = 0,14 m / s 2 ( ( [ ] aC = (a (r) Ct ) + (a − a = 0,14 + 0,1 ≅ 0,17 [m / s ] (t ) + aCn 2 (c ) C Ct ) (t ) 2 2 2 2 ⊥ OC α = arctan[(a + a ) /(a − a )] = arctan(0,14 / 0,1) ≅ 55° (r) Ct (t ) Cn (c ) C (t ) Ct 2° CASO: OC = 6 m Figura 23 Scala: 1 cm = 0,04 m/s2 (r ) (r aCt ) = 0,1 m / s 2 [ ] [ ] (t ) a a DOC Ct Cn aCn) = ω 2 OC = 0,12 ⋅ 6 = 0,06 m / s 2 (t aCt) (t aCt) = ω OC = 0,01 ⋅ 6 = 0,06 m / s 2 (t [ ] aC ) (c ( [ ] aCc ) = 2ωvCr ) = 2 ⋅ 0,1 ⋅ 0,7 = 0,14 m / s 2 ( α a = (a + a ) + (a − a ) = C (r ) Ct (t ) 2 Cn (c) C (t ) 2 Ct aC ⊥ OC = 0,16 + 0,08 ≅ 0,18 [m / s ] 2 2 2 α = arctan [(a + a )/ (a − a )] = (r ) Ct (t ) Cn (c) C (t ) Ct ⊥ OC = arctan (0,16 / 0,08) ≅ 63° 15
  17. 17. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Prima esercitazione: Gru a braccio2. STUDIO DEL COMPORTAMENTO DINAMICOY Figura 24 Forze e momenti d’inerzia del + M (?) m sistema. X FitG FitC Dati: O T(?) mc = 300 [kg ] G C mb = 3000 [kg ] G C Fic Fic [ J G = 1200 kg m 2 ] Jω G OG = 1 [m]1° CASO: OC = 4 mCalcolo della tensione della fune T, mediante l’equilibrio alla traslazione del sottosistemacostituito dal solo carrello:∑F x * C C (r ( (t ) ) = Fic − T = 0 ⇒ T = Fic = mc aCt) + aCn = 300⋅ (0,1 + 0,04) kg ⋅ m / s 2 = 42 [N ][ ]Calcolo della coppia motrice agente Mm, mediante l’equilibrio alla rotazione del sistema: ∑M * (O) = M m − J Gω − FitG OG + FitC OC = 0 ⇒ M m = J Gω + FitG OG − FitC OC 2 ⇒ M m = J Gω + FitG OG − FitC OC = J Gω + mbω OG − mc aCc) − aCt) OC ( (t ( ) [ ⇒ M m = 1200⋅ 0,01+ 3000⋅ 0,01⋅12 − 300⋅ (0,14 − 0,04) ⋅ 4 kg ⋅ m2 / s 2 = −78 [N ⋅ m] ]2° CASO: OC = 6 mCalcolo della tensione della fune T, mediante l’equilibrio alla traslazione del sottosistemacostituito dal solo carrello:∑F x * C C (r ( (t ) ) = Fic − T = 0 ⇒ T = Fic = mc aCt) + aCn = 300⋅ (0,1 + 0,06) kg ⋅ m / s 2 = 48 [N ][ ]Calcolo della coppia motrice agente Mm, mediante l’equilibrio alla rotazione del sistema: ∑M * ( O) = M m − J Gω − FitG OG + FitC OC = 0 ⇒ M m = J Gω + FitG OG − FitC OC 2 ⇒ M m = J Gω + FitG OG − FitC OC = J Gω + mbω OG − mc aCc) − aCt) OC ( (t ( ) [⇒ M m = 1200⋅ 0,01+ 3000⋅ 0,01⋅12 − 300⋅ (0,14 − 0,06) ⋅ 6 kg ⋅ m2 / s 2 = −102 [N ⋅ m] ] 16
  18. 18. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Seconda esercitazione: Croce di Malta Seconda esercitazione: CROCE DI MALTAIn figura 25 è rappresentato un meccanismo che permette di trasformare un moto rotatorioa velocità angolare costante in un moto rotatorio intermittente. La scala del disegno è:σl = 1 cm/cm. Esso è costituito da due membri:1) la ruota 1, di centro A, che porta il piolo P;2) la ruota 2, di centro B, che presenta delle scanalature entro cui si impegna il piolo P, detta “croce di Malta”.1. Si richiede di determinare, nella posizione indicata in figura 25, la velocità angolare ω B e l’accelerazione angolare ω B della croce, quando la ruota 1 gira a velocità costante ω = 100 rad/s.2. Sapendo inoltre che il momento d’inerzia della croce intorno al proprio asse è JB = 1,96 x 10-4 kg m2, calcolare il valore della coppia motrice Mm agente sulla ruota 1, trascurando gli attriti dei diversi accoppiamenti.Dati:AB = 0,039 [m] AP = 0,028 [m] PB = 0,019 [m] ˆ ϑ = BAP = 27°ω = 100 [rad / s ] ω =0 [J B = 1,96 ∗ 10 − 4 kg ⋅ m 2 ] attrito nullo in PIncognite:• ωB• ωB• Mm, OA, OB, azione in P Figura 25 – Croce di malta. 17
  19. 19. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Seconda esercitazione: Croce di Malta Risoluzione della seconda esercitazione: CROCE DI MALTA1. STUDIO DEL COMPORTAMENTO CINEMATICO 1.1. Calcolo dei gradi di libertà del sistema Il sistema è costituito da 2 corpi rigidi (la ruota e la croce di Malta) e da 3 vincoli (2 cerniere e 1 accoppiamento prismatico): n° gradi di libertà totali = 3 x 2 = 6 n° gradi di vincolo totali = 2 x 2 + 1 x 1 = 5 n° gradi di libertà residui = 6 – 5 = 1 1.2. Scelta del sistema di riferimento relativo Mm ΓP ) (a ΓP ) (t y’ ΓP ) (r x’ Figura 26 θ Y Scelta del sistema di riferimento relativo. X Si sceglie un sistema di riferimento relativo x’y’ con origine in B rotante solidale alla guida mobile (croce di Malta). La traiettoria assoluta del piolo P è un circonferenza con centro in A e raggio AP ed è rappresentata da ΓP(a) in figura 26. La traiettoria relativa del piolo P è una retta passante per BP ed è rappresentata da ΓP(r) in figura 26. La traiettoria di trascinamento del piolo P è una circonferenza con centro in B e raggio BP ed è rappresentata da ΓP(t) in figura 26. 1.3. Calcolo delle velocità Tabella 7 (r (t vP = vP ) + vP ) ⊥ BP vP ) (t Modulo ω AP ? ?( ω B BP ) vP DBP Direzione ⊥ AP D BP ⊥ BP vP ) (r Verso ? ? ⊥ AP Figura 27 – Diagramma delle velocità (scala: 1 cm = 1 m/s) v P = ω AP = 100 [rad / s ] ⋅ 0,028 [m] = 2,8 [m / s ] v Pr ) = 2,6 [m / s ] ( v Pt ) = 1,1 [m / s ] ⇒ ω B = v Pt ) / BP = 1,1 / 0,019 [rad / s ] ≅ 58 [rad / s ] oraria ( ( 18
  20. 20. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Seconda esercitazione: Croce di Malta 1.4. Calcolo delle accelerazioni Tabella 8 a Pn + a Pt = a Pn) (r + a Pt ) (r + a Pn) (t + a Pt) (t + aP ) (c MODULO ω 2 AP x x ? ω B BP 2 ?( ω B BP ) 2ω B v Pr ) ( DIREZIONE DAP x x DBP DBP ⊥ BP ⊥ BP VERSO x x ? ? ⊥ BP a Pt ) (r DBP aPt) (t aP ) (c DBP a Pn) (t a Pn ⊥ BP DAP Figura 28 – Diagramma delle accelerazioni (scala: 1 cm = 40 m/s2) [ ] a Pn = ω 2 AP = 100 2 rad 2 / s 2 ⋅ 0,028 [m] = 280 m / s 2 [ ] [ ] a Pn) = ω B BP = 58 2 rad 2 / s 2 ⋅ 0,019 [m] = 64 m / s 2 (t 2 [ ] a Pc ) = 2ω B v Pr ) = 2 ⋅ 58 [rad / s ] ⋅ 2,6 [m / s ] ≅ 300 m / s 2 ( ( [ ] [ ] a Pt ) ≅ 170 m / s 2 (r a Pt) (t ≅ 556 [m / s ] 2 ω B = a Pt) / BP = 552 / 0,019 [rad / s 2 ] ≅ 29000 [rad / s 2 ] oraria (t 19
  21. 21. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Seconda esercitazione: Croce di Malta2. STUDIO DEL COMPORTAMENTO DINAMICO M m + N α = 49° P P O AY O BY Jω B B A O AX b = 1cm N B O BX CROCE RUOTA 1 Figura 29 – Sottosistemi croce e ruota 1 2.1. Calcolo dell’azione in P Il verso dell’azione normale dipende dalle forze di attrito (per azioni di vincoli perfetti prima si ipotizza e poi si verifica). Calcolo dell’azione in P mediante l’equilibrio alla rotazione del sottosistema croce: ∑M * (B) =0 ⇒ J B ω B − N BP = 0 ⇒ N = J B ω B / BP = 1,96 ∗ 10 −4 ⋅ 29000 / 0,019 [N ] ≅ 300 [N ] 2.2. Calcolo della coppia motrice Mm Calcolo della coppia motrice Mm mediante l’equilibrio alla rotazione del sottosistema ruota 1: ∑M * ( A) = 0 ⇒ M m − Nb = 0 ⇒ M m = Nb = 300 ⋅ 0,01 [N ⋅ m] = 3 [N ⋅ m] 2.3. Calcolo delle reazioni vincolari nel punto B Calcolo delle reazioni vincolare nel punto B mediante l’equilibrio alla traslazione del sottosistema croce: ∑F * X = 0 ⇒ OBx + N x = 0 ⇒ OBx = − N x = − N cos α = −300 ⋅ cos 49° [N ] ≅ −197 [N ] ∑F Y * = 0 ⇒ OBy − N y = 0 ⇒ OBy = N y = N sin α = 300 ⋅ sin 49° [N ] ≅ 226 [N ] 2.4. Calcolo delle reazioni vincolari nel punto A Calcolo delle reazioni vincolare nel punto A mediante l’equilibrio alla traslazione del sottosistema ruota 1: ∑F * X = 0 ⇒ O Ax − N x = 0 ⇒ O Ax = N x ≅ 197 [N ] ∑F Y * = 0 ⇒ O Ay + N y = 0 ⇒ O Ay = − N y ≅ −226 [N ] 20
  22. 22. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Terza esercitazione: Manovellismo ordinario centratoTerza esercitazione: MANOVELLISMO ORDINARIO CENTRATODel manovellismo schematicamente indicato in figura 30 si hanno i seguenti dati:corsa c = 2OA = 0,065 [m] ⇒ OA = c / 2 = 0,0325 [m]lunghezza della biella l = AB = 0,107 [m]velocità angolare della manovella ω = 410 [rad / s ]massa dello stantuffo m s = 0,2 [kg ]massa della biella mb = 0,5 [kg ]massa della manovella mm = 1 [kg ]distanza del baricentro della manovella a = G1O = 0,008 [m]dall’asse di rotazione Odistanza del baricentro della biella dal b = G2 A = 0,035 [m]bottone di manovella Araggio giratorio della biella ρ = 0,025 [m]diametro del pistone D = 0,06 [m]distanza fra i supporti d = EF = 0,18 [m]Si consideri il manovellismo nell’istante in cui la manovella, movendosi con velocitàangolare ω costante, è ruotata di α = 55° a partire dalla posizione di punto morto esterno.La pressione dei gas contenuti nel cilindro vale p = 750 000 [Pa].Si richiede di determinare:• il sistema equivalente delle forze di inerzia (forza di inerzia e coppia di inerzia) agenti sullo stantuffo, sulla biella e sulla manovella;• la coppia agente sulla manovella Mr; • la forza laterale che lo stantuffo esercita sul cilindro S ; • le forze trasmesse dalla biella alla manovella R x , R y ; • le forze agenti sul perno di banco Tx , T y ; • le reazioni vincolari dei supporti V1 ,V2 ,V3 .Nota: per risolvere il problema di dinamica, occorre prima risolvere la cinematica, ossiadeterminare: • velocità v B del pistone;• velocità angolare ω B della biella; • velocità vG 2 del baricentro della biella; • accelerazione a B del pistone;• accelerazione angolare ω B della biella; • accelerazione aG 2 del baricentro della biella; • accelerazione aG1 del baricentro della manovella. 21
  23. 23. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Terza esercitazione: Manovellismo ordinario centrato Figura 30 – Manovellismo ordinario centrato 22
  24. 24. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Terza esercitazione: Manovellismo ordinario centrato Risoluzione della terza esercitazione: MANOVELLISMO ORDINARIO CENTRATO1. STUDIO DEL COMPORTAMENTO CINEMATICO 1.1. Calcolo dei gradi di libertà del sistema B Figura 31 (Scala: 1 : 2 cm) Il sistema è costituito da 2 corpi rigidi (manovella OA, biella AB) e da 3 vincoli (2 cerniere e 1 carrello). Il moto della manovella OA è traslatorio, mentre il moto della biella AB è rototraslatorio. G2 n° gradi di libertà totali = 3 x 2 = 6 n° gradi di vincolo totali = 2 x 2 + 1 x 1 = 5 A n° gradi di libertà residui = 6 – 5 = 1 α O ω G1 1.2. Scelta del sistema di riferimento relativo ΓB π ΓBA Figura 32 B Si sceglie un sistema di riferimento relativo x’y’ con origine in A traslante su traiettoria circolare per applicare il teorema di Rivals. ΓG2 A Γ La traiettoria di A (ΓA) è una circonferenza G2 di centro O e raggio OA. Γ La traiettoria di B (ΓB) è una retta per OB y’ parallela al piano π. Γ La traiettoria di G1 (ΓG1) è una circonferenza di centro O e raggio OG1. A x’ Γ La traiettoria di B rispetto ad A (ΓΒΑ) è una ΓG1 circonferenza di centro A e raggio AB. Y O Γ La traiettoria di G2 rispetto ad A (ΓG2A) è ΓA una circonferenza di centro A e raggio G2A. G1 X 23
  25. 25. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Terza esercitazione: Manovellismo ordinario centrato 1.3. Calcolo delle velocità Tabella 9 vB = vA + vBA DOB Modulo ? ω OA ?( ω B AB ) vA Direzione D OB ⊥ OA ⊥ AB vB ⊥ AB Verso ? ? vBA ⊥ OA DOB Figura 33 Scala: 1 cm = 2 m/s Teorema di Rivals: vB = v A + vBA vA v A = ω OA = 410 [rad / s ] ⋅ 0,0325 [m] = 13,325 [m / s ] vB v B ≅ 12,88 [m / s ] v BA ≅ 7,9 [m / s ] ⊥ AB ω B = v BA / AB = 7,9 [m / s ] / 0,107 [m] ≅ 73,83 [rad / s ] La velocità angolare ωB è antioraria. ⊥ OA vBA Tabella 10 vG2 = vA + vG2 A Modulo ? ω OA ω B AG2 vA vG2 Direzione ? ⊥ OA ⊥ AG2 ⊥ AG2 Verso ? vG2 A ⊥ OA Figura 34 Scala: 1 cm = 2 m/s Teorema di Rivals: vG2 = v A + vG2 A vG2 vA v A = ω OA = 410 [rad / s ] ⋅ 0,0325 [m] = 13,325 [m / s ] vG2 A = ω B AG2 = 73,83 [rad / s ] ⋅ 0,035 [m] ≅ 2,58 [m / s ] ⊥ AG2 vG2 ≅ 12,625 [m / s ] vG2 A ⊥ OA 24
  26. 26. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Terza esercitazione: Manovellismo ordinario centrato 1.4. Calcolo delle accelerazioni Tabella 11 a Bn + a Bt = a An + a At + a BAn + a BAt MODULO x ? ω 2 OA x ω B AB 2 ?( ω B AB ) DIREZIONE x DOB DOA x DAB ⊥ AB VERSO x ? x ? a BAn aBAt DOB DAB ⊥ AB Figura 35 Scala: 1 cm = 500 m/s a Bt a An Teorema di Rivals: a B = a A + a BA a An = ω 2 OA = 410 2 ⋅ 0,0325 m / s 2 = 5463,25 m / s 2 [ ] [ ] a BAn = ω AB = 73,83 ⋅ 0,107 m / s 2 B 2 [ 2 ] = 583,24 [m / s ] 2 a Bt ≅ 2575 m / s 2 [ ] a BAt ≅ 4450 m / s [ 2 ] DOA ω B = a BAt / AB = 4450 [m / s 2 ] / 0,107 [m] ≅ 41590 [rad / s 2 ] L’accelerazione angolare ω B è oraria. Tabella 12 a G2 = a An + a At + a G2 An + a G2 At MODULO ? ω 2 OA x ω B G2 A 2 ω B G2 A DIREZIONE ? DOA x DG2A ⊥ G2 A VERSO ? x aG2 At aG2 An ⊥ G2 A DG2A Figura 36 aG2 Scala: 1 cm = 500 m/s Teorema di Rivals: a G2 = a A + a G2 A a An a An = ω 2 OA = 410 2 ⋅ 0,0325 m / s 2 = 5463,25 m / s 2 [ ] [ ] B [ ] = 190,78 [m / s ] a G2 An = ω G2 A = 73,83 ⋅ 0,035 m / s 2 2 2 2 a G2 At = ω G A = 41590 ⋅ 0,035 [m / s ] = 1455,65 [m / s ] 2 2 aG1 B 2 DOA a G2 ≅ 4187,5 [m / s ] 2 DOA a G1 = a = ω OG = 410 ⋅ 0,008 [m / s ] = 1344,8 [m / s ] G1n 2 1 2 2 2 25
  27. 27. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Terza esercitazione: Manovellismo ordinario centrato2. STUDIO DEL COMPORTAMENTO DINAMICO STANTUFFO B BIELLA AB MANOVELLA OA { { { Fis = − m s a B Fib = − mb aG2 Fim = − mm aG1 M is =0 M ib = − J bω B = − mb ρ 2ω B M im = 0 (ω = 0 ){ Fis = ms aB =0, 2⋅2575 [ N ]=515 [ N ] M is =0 {Fib = mb aG2 =0,5⋅4187,5 [ N ]= 2093, 75 [ N ] M ib =mb ρ ω B =0,5⋅0, 025 ⋅41590 [ Nm]=13 [ Nm] 2 2 {Fim =mmaG1 =1⋅1344,8 [ N ]=1344,8 [ N ] Mim =01° sottosistema: STANTUFFO + BIELLA Fis Fg b3 S (?) B Figura 37 + (Scala 1:1 cm) Ps Nota la geometria del sistema e gli angoli α = 75° e β = 45° si possono calcolare le incognite S , R x , R y mediante le tre equazioni di equilibrio dinamico del sottosistema stantuffo + biella: M ib 1) ∑F x * =0 ⇒ Rx + Fibx + S = 0 b2 Fib ∑F * y =0 β 2) G2 ⇒ R y + Fiby + Fis − Fg − Ps − Pb = 0 b1 Pb b5 ∑M * ( A) =0 3) ⇒ (Fg + P − F )b3 − Sb − F b1 + Pb4 + Mib = s is 2 ib b γ = (Fg + P − Fis)b3 − Sb − Fibxb5 − Fibyb4 + Pb4 + Mib = 0 s 2 b Rx (?) A b4 Ry (?) 26
  28. 28. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Terza esercitazione: Manovellismo ordinario centrato Calcolo delle incognite S , R x , R y mediante la risoluzione del sistema:R x = − S − F ibx = − S − F ib cos β = 57 , 089 − 2093 , 75 ⋅ cos 45 ° [N ] = − 1423 , 416 [N ] D2R y = Ps + Pb + F g − Fiby − Fis = m s g + m b g + p π − Fib sin β − Fis = 4 = 0,2 ⋅ 9,81 + 0,5 ⋅ 9,81 + 750000 ⋅ ( 0,06 / 2 ) 2 ⋅ π − 2093 ,75 ⋅ sin 45 ° − 515 [N ] = 131,937 [N ]S = (( Fg + Ps − Fis )b3 + ( Pb − Fiby )b4 + M ib − Fibx b5 ) ) / b2 =  D2   = ( p π + ms g − Fis ) AB cos γ + (mb g − Fib sin β )G2 A cos γ + M ib − Fib cos β G2 A sin γ  / AB sin γ =   4  = ((750000⋅ (0,06 / 2) ⋅ π + 0,2 ⋅ 9,81 − 515) ⋅ 0,107 ⋅ cos 75° + (0,5 ⋅ 9,81 − 2093,75 ⋅ sin 45°) ⋅ 0,035 ⋅ cos 75° + 2 + 13 − 2093,75 ⋅ cos 45° ⋅ 0,035 ⋅ sin 75°) /(0,107 ⋅ sin 75°) [N ] = −57,089 [N ]2° sottosistema: MANOVELLA Ry Figura 38 + (Scala: 1:1 cm) A Rx b8 α b6 Nota la geometria e l’angolo α=55° si possono calcolare M R (?) le incognite M R , Tx , T y mediante le tre equazioni di Tx (?) O G1 equilibrio dinamico del sottosistema manovella:Fim Ty (?) Pm b7 1) ∑F x * = 0 ⇒ Tx − R x − Fimx = 0 2) ∑F * y = 0 ⇒ T y − R y − Fimy − Pm = 0 3) ∑M * (O ) = 0 ⇒ M R + R x b6 − R y b7 + Pm b8 = 0 Calcolo delle incognite M R , Tx , T y mediante la risoluzione del sistema:Tx = R x + Fimx = R x + Fim sin α = −1423,416 + 1344,8 ⋅ sin 55° [N ] = −321,82 [N ]T y = R y + Fimy + Pm = R y + Fim cos α + m m g = 131,937 + 1344,8 ⋅ cos 55° + 1 ⋅ 9,81 [N ] = 913,093 [N ]M R = R y b7 − R x b6 − Pm b8 = R y OA sin α − R x OA cos α − mm g G1O sin α = = 131,937 ⋅ 0,0325 ⋅ sin 55° + 1423,416 ⋅ 0,0325 ⋅ cos 55° − 1 ⋅ 9,81 ⋅ 0,008 ⋅ sin 55° [Nm] = 29,98 [Nm] 27
  29. 29. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Terza esercitazione: Manovellismo ordinario centrato3° sottosistema: CILINDRO Fg S B + b11 G2 A Ty V1 E O F Tx G1 V2 V3 b9 b10 Figura 39 – Sottosistema cilindro in scala 1:2 cm Calcolo delle incognite V1 ,V2 ,V3 mediante le equazioni di equilibrio dinamico:1) ∑F x * = 0 ⇒ V1 − Tx − S = 02) ∑F * y = 0 ⇒ V2 + V3 + Fg − T y = 03) ∑M * (E ) = 0 ⇒ ( Fg − T y )b9 + Sb11 + V3b10 = ( Fg − T y )(b10 / 2) + S (b2 + b6 ) + V3b10 = 0V1 = Tx + S = −321,82 − 57,089 [N ] = −378,909 [N ] D2V2 = T y − Fg − V3 = T y − p π − V3 = 913,093 − 750000 ⋅ (0,06 / 2) 2 π + 565,049 [N ] = −642,433 [N ] 4 D2V3 = ((T y − Fg )(b10 / 2) − S (b2 + b6 ) = (T y − p π )( EF / 2) − S ( AB sin γ + OA cos α )) / b10 = 4 = ((913,093 − 750000⋅ (0,06 / 2) 2 π ) ⋅ (0,18 / 2) + 57,089 ⋅ (0,107 ⋅ sin 75° + 0,0325⋅ cos 55°)) / 0,18 [N ] = −565,049 [N ] 28
  30. 30. Esercitazioni di meccanica applicata alle macchine Quarta esercitazione: Dinamica di un’autovettura Quarta esercitazione: DINAMICA DI UN’AUTOVETTURADell’autovettura schematizzata in figura 42 sono noti i seguenti dati:massa autoveicolo + carico trasportato M = 1240 [kg ]passo p = 2,4 [m]distanza baricentro dall’asse anteriore l = 1,35 [m]altezza baricentro da terra h = 0,6 [m]raggio ruote r = 0,28 [m]superficie frontale (area sezione maestra) S = 1,7 m 2 [ ]coefficiente di resistenza aerodinamica c R = 0,41rapporto al ponte τ p = 9 / 41rapporto di trasmissione in terza marcia τ III = 1 / 1,6rendimento al ponte η p = 0,95rendimento in terza marcia η III = 0,94coppia motrice C m = 120 [Nm ]velocità rotazione del motore ω m = 3000 [giri / min ] ≅ 314 [rad / s ]velocità del vento vvento = 5 [m / s ]densità dell’aria ρ aria = 1,2 [kg / m 3 ]coefficiente di attrito volvente f v = 0,013momento di inerzia di ciascuna ruota [ J r = 1 kg m 2 ]momento di inerzia del motore [ J m = 0,1 kg m 2 ]Si richiede:1. nel caso in cui l’autovettura viaggi in piano determinare la sua accelerazione quando il motore fornisce la coppia massima Cm con cambio di velocità in terza marcia;2. determinare le reazioni del terreno NA, TA, NP, TP;3. verificare l’aderenza delle ruote, utilizzando i valori di riferimento del coefficiente di attrito statico fa forniti in tabella:Tabella 13 asciutto oleoso molto bagnato fangoso non polveroso ghiacciatofondo stradale 0,60 ÷ 0,70 0,50 ÷ 0,55 0,30 ÷ 0,35 0,15 ÷ 0,20lisciofondo stradale 0,75 ÷ 0,85 0,60 ÷ 0,65 0,35 ÷ 0,40 0,20 ÷ 0,25rugoso 29

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