Upcoming SlideShare
×

# Prijemni ispit matematika_fpb

3,195

Published on

Published in: Education
0 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

• Be the first to like this

Views
Total Views
3,195
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
25
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### Transcript of "Prijemni ispit matematika_fpb"

1. 1. Univerzitet UnionFakultet za preduzetnički biznis, Beograd ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Dr Marina Lj. Milovanović, docent MSc Zorica D.Milovanović,asistent
2. 2. SADRŽAJ:I ALGEBARSKI IZRAZI...........................................................................................3II LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE.........................................................5III STEPENOVANJE I KORENOVANJE.................................................................7IV KVADRATNA JEDNAČINA I KVADRATNA FUNKCIJA..................................10V EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA.....................................12VI TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE..................................................................16 2
3. 3. I ALGEBARSKI IZRAZIIzrazi u kojima se pojavljuju konstante i promenljive, ali i njihovi zbirovi, razlike,proizvodi i količnici nazivaju se algebarski izrazi.Za izraze A, B, C , D važe sledeći zakoni:(1) Distributivni zakonA ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ CA ⋅ (B − C ) = A ⋅ B − A ⋅ C( A + B) ⋅ (C + D) = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D(2) Razlika kvadrataA2 − B 2 = ( A − B ) ⋅ ( A + B )(3) Kvadrat binoma( A + B) 2 = A2 + 2 AB + B 2( A − B) 2 = A2 − 2 AB + B 21. Dati su polinomi P ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 1 i Q( x) = x 2 + x + 1. Odreditipolinome: a) P ( x) + Q( x) b) P ( x) − Q( x) c) P( x) ⋅ Q( x)2. Odrediti parametre a , b, c tako da su polinomi P ( x ) i Q ( x) identičnojednaki: a) P ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 13 x − 6 i Q( x) = ( x − 2)( ax 2 + bx + c) b) P ( x ) = 2 x 3 − x 2 + x + 4 i Q( x) = ( x + 2)(ax 2 + bx + c)3. Odrediti kvadrat izraza: a) (3 xy − 4) 3
4. 4. b) a 2 +b 34. Skratiti razlomke: a ( x + 2)2 a) 2a 2 ( x + 2) a2 − 9 b) ab + 3b − a − 35. Uprostiti racionalne izraze: x−3 x+3 a) − x −5 x −5 16 x − x 2 3 + 2 x 2 − 3 x b) + − x2 − 4 2− x x+26. Uprostiti izraze: a 2 − ab a 2b + ab 2 a) ⋅ a + ab 2 ab 4 x 2 y 2 8 x3 y 3 b) 3 : 2 2 15b c 5c b7. Uprostiti racionalni izraz: a2 − a − 6 a − 1 − −2 a2 − 4 2−a 4
5. 5. II LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINELinearna jednačina po x je svaka jednačina sa nepoznatom x koja seekvivalentnim transformacijama svodi na jednačinu oblika a ⋅ x = b , gde su a, bdati realni brojevi.(1) Ako je a≠0 dobijamo ekvivalentnu jednačinu koja ima jedinstveno rešenje bx= a(2) Ako je a = 0 ∧ b ≠0 jednačina nema rešenje. Za takvu jednačinu kažemoda je nemoguća(3) Ako je a = 0 ∧ b = 0 svaki realan broj je rešenje jednačine. Za takvujednačinu kažemo da je neodređena. AJednačina =0 ekvivalentana je sledećem: A=0 ∧ B ≠ 0 BLinearna nejednačina po x je nejednačina koja se ekvivalentnimtransformacijama svodi na neki od oblika: a ⋅ x < b, a ⋅ x ≤ b, a ⋅ x > b, a ⋅ x ≥ b gde su a, b dati realni brojevi. ANejednačina oblika < 0 je ekvivalentna sledećem: B( A > 0 ∧ B < 0) ∨ ( A < 0 ∧ B > 0) ANejednačina oblika > 0 je ekvivalentna sledećem: B( A > 0 ∧ B > 0) ∨ ( A < 0 ∧ B < 0)Posebno treba obratiti pažnju na zapisivanje skupa rešenja nejednačina. A8. Koristeći ekvivalenciju = 0 ⇔ A=0 ∧ B ≠ 0 rešiti jednačinu: B x −3 a) =0 x +1 5
6. 6. 6x −1 b) =3 2+ x9. Rešiti jednačinu: 9x + 1 1− x 2x + 5 −3= + 4x − 3 20 x − 15 4 x − 310. Rešiti jednačinu: 1 + 3x 1 − 3x 12 + = 3x − 1 1 + 3x 1 − 9 x 211. Rešiti nejednačinu: x −1 3 < x−2 212. Rešiti datu konjukciju (sistem): 2x + 3 ≥ x + 1 ∧ x + 3 ≥ 2x - 613. Rešiti dvojnu nejednačinu po n: n −1 −3 < <5 n +1 6
7. 7. III STEPENOVANJE I KORENOVANJEStepenovanje je matematička operacija u zapisu a b , ( a, b ∈ R ). U ovom zapisua se naziva osnova, a b eksponent. Ako je n ∈ N , onda stepen predstavljaosnovu pomnoženu samom sobom n puta.a n = a4 ⋅L a ⋅ 24 1a 3 n-ti stepen broja a. n cinilacaStepenovanje ima viši prioritet od množenja. Za razliku od sabiranja i množenjanije komutativno niti asocijativno. Najvažnija svojstva stepenovanja:1. a m ⋅ a n = a m+ n2. a m : a n = a m− n ( a ≠ 0 )3. (a m ) n = a m⋅n4. a n ⋅ b n = ( a ⋅ b) n5. a n : b n = ( a : b) n , b ≠ 0Posledice osobine 3. sua 0 = a n−n = a n : a n = 1 1a − n = a 0− n = n aNeka je a realan i n prirodan broj. Svako rešenje jednačine x n = a po x (akopostoji) naziva se n-ti koren broja a u oznaci: x = n a .Najvažnija svojstva korenovanja: a, n-neparan1. n an =   a , n-paran m2. a n = n am3. n ab = n a ⋅ n b4. n a :b = n a : n b 7
8. 8. 5. ( n a )m = n a m6. n m a = n⋅m a n⋅ p7. a m⋅ p = n a m14. Uprostiti izraz: 27 x −2 y −3 32 x −4 y 215. Uprostiti izraz: 2 2  2 x + 2− x   2 x − 2− x    −   2   2  a −2 − b −216. Ako je A = −1 −1 i a −b  a −1 b −1  −1 −1 −2 B =  −1 −1 − −1 −1  ( a − b ) ( a + b −2 ) −1  a −b a +b  dokazati da je A = B −117. Izračunati: 5 2 + 3 8 − 50 − 9818. Obaviti naznačene operacije: ( x x )3 ⋅ 3 x 3 x : x 4 6 x 519. Racionalisati imenioce razlomka: 8
9. 9. 2 2− 3a) b) 5 −2 2+ 3 9
10. 10. IV KVADRATNA JEDNAČINA I KVADRATNA FUNKCIJAKvadratna jednačina je polinomijalna jednačina drugog stepena. Njen opšti oblikje ax 2 + bx + c = 0 gde je x nepoznata, a koeficijenti a, b, c su realni brojevi ia ≠ 0. Kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0 sa realnim koeficijentima imadva rešenja, koja se nazivaju korenima. Rešenja mogu biti realna ili kompleksna,a data su formulom: −b ± b 2 − 4ac x1,2 = 2aPriroda rešenja kvadratne jednačine:Diskriminanta kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 je izraz ∆ = b 2 − 4ac .Za kvadratnu jednačinu sa realnim koeficijentima važi: ∆>01) jednačina ima dva realna i različita rešenja ako i samo ako je2) jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje ako i samo ako je ∆ = 03) jednačina ima dva kompleksno konjugovana rešenja ako i samo ako je ∆<0Pod iracionalnom jednačinom podrazumevamo jednačinu kod koje se nepoznatanalazi pod korenom.Jednačina a ( x ) = b( x ) je ekvivalentna sistemu: a ( x) = b 2 ( x ) ∧ b( x ) ≥ 0 .20. Odretiti skup rešenja jednačine: 34 2x + 1 2x −1 + = 4x2 − 1 1 − 2x 2x + 121. Rešiti jednačinu: (2 x − 3) 2 + (2 x − 5) 2 = 4( x − 3) 2 + 30 x − x2 + 2x − 522. Za koje je realne vrednosti razlomak manji od -1? 2x2 − x − 1 10
11. 11. 23. Odretiti skup rešenja sistema: x 2 + y 2 = 29 x + y =724. Odrediti realna rešenja sledeće jednačine: 25 − x 2 = 7 − x25. Rešiti jednačinu: 2x x 2 + 25 5 5 − 2 = − x − 9 x − 81 x + 9 x − 9 11
12. 12. V EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJAFunkciju oblika f ( x) = a x gde a ∈ R, a > 0, a ≠ 1 nazivamo jeeksponencijalnom. Definisana je za svako realno x i obostrano jednoznačnopreslikava skup realnih brojeva ( −∞, +∞) na skup pozitivnih (0, +∞ ) .Ako je a > 1 funkcija je rastuća na celom domenu.(∀x1 , x2 ∈ R ) ( x1 < x2 ⇒ a x1 < a x2 )Ako je 0 < a < 1 funkcija je monotono opadajuća.(∀x1 , x2 ∈ R ) ( x1 < x2 ⇒ a x1 > a x2 ) y y = ax 0 < a <1 a >1 xVaže sledeći eksponencijalni zakoni:1. a0 = 12. a1 = a3. a x+ y = a x ⋅ a y4. (a x ) y = a xy x 1 15. x =   = a− x a a 12
13. 13. 6. a x b x = (ab) xJednačine kod kojih se nepoznata nalazi u izložiocu (eksponentu) nazivamoeksponencijalne jednačine. Eksponencijalne jednačine rešavamo najčešće, akoje moguće, svođenjem leve i desne strane jednačine na istu osnovu ilisvođenjem leve i desne strane na isti izložilac.U prvom slučaju imamo: a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) gde je a ∈ R, a > 0, a ≠ 1 a f ( x), g ( x) sufunkcije argumenta x .U drugom slučaju imamo:a f ( x ) = b f ( x ) ⇔ f ( x) = 0, a,b>0, a,b ≠ 1Eksponencijalna nejednačina oblika a f ( x ) < a g ( x ) (isto važi i za >, ≥, ≤ ),ukoliko je a > 1 , je ekvivalentna sledećem: a f ( x ) < a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) .Eksponencijalna nejednačina oblika a f ( x ) < a g ( x ) ( isto važi i za >, ≥, ≤ ),ukoliko je 0 < a < 1 , je ekvivalentna sledećem:a f ( x ) < a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x)Funkcija f ( x) = a x je bijekcija, pa postoji f −1 : R + → R , koju zovemologaritamska funkcija i pišemo f −1 ( x) = log a x( f o f −1 )( x) = x ⇔ a loga x = x, x > 0( f −1 o f )( x) = x ⇔ log a a x = x, x ∈ R y y = log a x a >1 x 0 < a <1Važno je znati sledeće: 13
14. 14. log a x = y ⇔ a y = xa x = y ⇔ x = log a yLogaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji, pa su njihovi graficisimetrični u odnosu na pravu y = x .Svojstva logaritamske funkcije:1. D = R + je domen logaritamske funkcije, a kodomen je skup realnih brojeva R2. log a ( x1 ⋅ x2 ) = log a x1 + log a x2 , x1 , x2 > 0 x13. log a ( ) = log a x1 − log a x2 , x1 , x2 > 0 x24. log a x r = r log a x , x > 0, r ∈ R log c b 15. log a b = , specijalno: log a b = log c a log b a 16. log ar x = log a x r7. log a 1 = 08. log a a = 19. Ako je a > 1 funkcija je rastuća na celom domenu.(∀x1 , x2 ∈ R ) ( x1 < x2 ⇒ log a x1 < log a x2 )Ako je 0 < a < 1 funkcija je monotono opadajuća.(∀x1 , x2 ∈ R ) ( x1 < x2 ⇒ log a x1 > log a x2 )10. Ako je log a x1 = log a x2 onda je x1 = x2 ,Logaritam za osnovu 10 označavamo sa log i zovemo dekadni logaritam, alogaritam za osnovu e označavamo sa ln i zovemo prirodni logaritam.x r = eln x = e r ln x x > 0, r ∈ R r26. Rešiti eksponencijalnu jednačinu: 14
15. 15. a) 2 x−3 = 16 x +3 −3 x  1  b) 9 =   27 27. Rešiti jednačinu: x +1 2 x−2 100 ⋅ 10 = 1000 928. Rešiti sistem: 2 x ⋅ 3 y = 12 2 y ⋅ 3x = 18 15
16. 16. VI TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJETrigonometrija (lat.trigonon-trougao, metron-mera) je deo matematike kojiizučava zavisnost između strana i uglova trougla u ravni ili na površini sfere.Pomoću trigonometrijskih funkcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugaonagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.Trigonometrijske funkcije su: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans ikosekans. B c(hipotenuza) a(naspramna) α A b(nalegla) COdnos naspramne stranice i hipotenuze nazivamo sinusnom funkcijom ili sinus izapisujemo kao sin. Odnos nalegle stranice i hipotenuze nazivamo kosinusnomfunkcijom ili kosinus i zapisujemo cos. Odnos naspramne i nalegle stranicenaziva se tangens ili skraćeno tg, a odnos nalegle I naspramne stranice nazivase kotangens ili skraćeno ctg. Kosekans je recipročna vrednost sinusne funkcijeili skraćeno cosec (ili csc), a sekans je recipročna vrednost kosinusne funkcije iliskraćeno sec. a bsin α = , cosα = c c a b c ctgα = , ctgα = , cosecα = , secα = b a a bIz navedenih definicija izvodimo: sin α cos α cosecαtgα = , ctgα = = , tgα ⋅ ctgα =1 cos α sin α sec α 16
17. 17. Sledeće osnovne relacije nazivaju se osnovni trigonometrijski identiteti iliPitagorini identiteti zasnovani na Pitagorinoj teoremi:sin 2 α + cos 2 α = 1, 1+tg 2α =sec2α , 1+ctg 2α = cos ec2αVrednosti trigonometrijskih funkcija:Stepen Radijan Sin Cos Tg Ctg Cosec Sec 0º 0 0 1 0 ∞ 1 ∞ 30º π 1 3 3 3 2 3 2 6 2 2 3 3 45º π 2 2 1 1 2 2 4 2 2 60º π 3 1 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 90º π 1 0 ∞ 0 ∞ 1 2Osnovne trigonometrijske formule:sin 2 α + cos 2 α = 1, sin α ⋅ cos ecα = 1, cos α ⋅ secα = 1 tgα 1sin α = 1 − cos 2 α = , cos α = 1 − sin 2 α = ± 1 + tg 2α ± 1 + tg 2α sin α 1 1 − sin 2 α 1tgα = = , ctgα = = 1 − sin 2 α ctgα sin α tgα 17
18. 18. Funkcije zbira i razlike:sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin βcos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β tgα ± tg βtg (α ± β ) = 1 m tgα tg β ctgα ctg β m 1ctg (α ± β ) = ctg β ± ctgαFunkcije višestrukih uglova:sin 2α = 2sin α cos α , sin3α =3sinα -sin 3αcos 2α = cos 2 α − sin 2 α , cos3α =4cos3α − 3cos α 2tgα 3tgα − tg 3αtg 2α = , tg 3α = , 1 − tg 2α 1 − 3tg 2α ctg 2α − 1 ctg 3α − 3ctgαctg 2α = , ctg3α = 2ctgα 3ctg 2α − 1Zbir i razlika funkcija: α +β α −βsin α + sin β = 2sin cos 2 2 α +β α −βsin α − sin β = 2cos sin 2 2 α +β α −βcos α + cos β = 2cos cos 2 2 α +β α −βcos α − cos β = −2sin sin 2 2 18
19. 19. sin(α ± β ) sin(α ± β )tgα ± tg β = , ctgα ± ctg β = ± cos α cos β sin α sin β cos(α − β ) cos(α + β )tgα + ctg β = , ctgα − tg β = cos α sin β sin α cos βProizvod funkcija: 1sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1cos α cos β = [ cos(α − β ) + cos(α + β )] 2 1sin α cos β = [ sin(α − β ) + sin(α + β ) ] 2Funkcije polovine ugla: α 1 − cos α α 1 + cos αsin 2 = , cos 2 = 2 2 2 2 α 1 − cos α α 1 + cos αtg 2 = , ctg 2 = 2 1 + cos α 2 1 − cos αFunkcije suprotnog ugla:sin(−α ) = − sin α , cos(−α ) = cos αtg (−α ) = −tgα , ctg (−α ) = −ctgα 19
20. 20. Trigonometrijske jednačine: Osnovna rešenja Sva rešenja α =β α = β + 2 kπ , k ∈ Z sin α = sin β α =π −β α = π − β + 2 kπ , k ∈ Z α =β α = β + 2 kπ , k ∈ Z cos α = cos β α = −β α = − β + 2 kπ , k ∈ Z tgα = tg β α =β α = β + kπ , k ∈ Z ctgα = ctg β α =β α = β + kπ , k ∈ Z29. Dokazati sledeći identitet: sin α 1 + cos α = 1 − cos α sin α30. Dokazati sledeći identitet: 1 1 + ctg 2α = sin 2 α − cos 2 α 1 − ctg 2α 20
21. 21. PRIMER TESTA1. Uprostiti izraz: 2 2  2 x + 2− x   2 x − 2− x    −   2   2 2. Rešiti jednačinu: (2 x − 3) 2 + (2 x − 5) 2 = 4( x − 3) 2 + 303. Izračunati vrednost izraza: 3log 5 25 + 2log 3 27 − 4log 2 84. Dokazati sledeći identitet: 1 1 + ctg 2α = sin 2 α − cos 2 α 1 − ctg 2α5. Koliko je kvadratnih metara metalnog lima potrebno za izradu cilindričnog dimnjaka visine 18m i prečnika 65cm. 21