Your SlideShare is downloading. ×
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

# Prijemni ispit matematika_fpb

3,095

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
Your message goes here
• Be the first to comment

• Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
3,095
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
24
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### Transcript

• 1. Univerzitet UnionFakultet za preduzetnički biznis, Beograd ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Dr Marina Lj. Milovanović, docent MSc Zorica D.Milovanović,asistent
• 2. SADRŽAJ:I ALGEBARSKI IZRAZI...........................................................................................3II LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE.........................................................5III STEPENOVANJE I KORENOVANJE.................................................................7IV KVADRATNA JEDNAČINA I KVADRATNA FUNKCIJA..................................10V EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA.....................................12VI TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE..................................................................16 2
• 3. I ALGEBARSKI IZRAZIIzrazi u kojima se pojavljuju konstante i promenljive, ali i njihovi zbirovi, razlike,proizvodi i količnici nazivaju se algebarski izrazi.Za izraze A, B, C , D važe sledeći zakoni:(1) Distributivni zakonA ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ CA ⋅ (B − C ) = A ⋅ B − A ⋅ C( A + B) ⋅ (C + D) = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D(2) Razlika kvadrataA2 − B 2 = ( A − B ) ⋅ ( A + B )(3) Kvadrat binoma( A + B) 2 = A2 + 2 AB + B 2( A − B) 2 = A2 − 2 AB + B 21. Dati su polinomi P ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 1 i Q( x) = x 2 + x + 1. Odreditipolinome: a) P ( x) + Q( x) b) P ( x) − Q( x) c) P( x) ⋅ Q( x)2. Odrediti parametre a , b, c tako da su polinomi P ( x ) i Q ( x) identičnojednaki: a) P ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 13 x − 6 i Q( x) = ( x − 2)( ax 2 + bx + c) b) P ( x ) = 2 x 3 − x 2 + x + 4 i Q( x) = ( x + 2)(ax 2 + bx + c)3. Odrediti kvadrat izraza: a) (3 xy − 4) 3
• 4. b) a 2 +b 34. Skratiti razlomke: a ( x + 2)2 a) 2a 2 ( x + 2) a2 − 9 b) ab + 3b − a − 35. Uprostiti racionalne izraze: x−3 x+3 a) − x −5 x −5 16 x − x 2 3 + 2 x 2 − 3 x b) + − x2 − 4 2− x x+26. Uprostiti izraze: a 2 − ab a 2b + ab 2 a) ⋅ a + ab 2 ab 4 x 2 y 2 8 x3 y 3 b) 3 : 2 2 15b c 5c b7. Uprostiti racionalni izraz: a2 − a − 6 a − 1 − −2 a2 − 4 2−a 4
• 5. II LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINELinearna jednačina po x je svaka jednačina sa nepoznatom x koja seekvivalentnim transformacijama svodi na jednačinu oblika a ⋅ x = b , gde su a, bdati realni brojevi.(1) Ako je a≠0 dobijamo ekvivalentnu jednačinu koja ima jedinstveno rešenje bx= a(2) Ako je a = 0 ∧ b ≠0 jednačina nema rešenje. Za takvu jednačinu kažemoda je nemoguća(3) Ako je a = 0 ∧ b = 0 svaki realan broj je rešenje jednačine. Za takvujednačinu kažemo da je neodređena. AJednačina =0 ekvivalentana je sledećem: A=0 ∧ B ≠ 0 BLinearna nejednačina po x je nejednačina koja se ekvivalentnimtransformacijama svodi na neki od oblika: a ⋅ x < b, a ⋅ x ≤ b, a ⋅ x > b, a ⋅ x ≥ b gde su a, b dati realni brojevi. ANejednačina oblika < 0 je ekvivalentna sledećem: B( A > 0 ∧ B < 0) ∨ ( A < 0 ∧ B > 0) ANejednačina oblika > 0 je ekvivalentna sledećem: B( A > 0 ∧ B > 0) ∨ ( A < 0 ∧ B < 0)Posebno treba obratiti pažnju na zapisivanje skupa rešenja nejednačina. A8. Koristeći ekvivalenciju = 0 ⇔ A=0 ∧ B ≠ 0 rešiti jednačinu: B x −3 a) =0 x +1 5
• 6. 6x −1 b) =3 2+ x9. Rešiti jednačinu: 9x + 1 1− x 2x + 5 −3= + 4x − 3 20 x − 15 4 x − 310. Rešiti jednačinu: 1 + 3x 1 − 3x 12 + = 3x − 1 1 + 3x 1 − 9 x 211. Rešiti nejednačinu: x −1 3 < x−2 212. Rešiti datu konjukciju (sistem): 2x + 3 ≥ x + 1 ∧ x + 3 ≥ 2x - 613. Rešiti dvojnu nejednačinu po n: n −1 −3 < <5 n +1 6
• 7. III STEPENOVANJE I KORENOVANJEStepenovanje je matematička operacija u zapisu a b , ( a, b ∈ R ). U ovom zapisua se naziva osnova, a b eksponent. Ako je n ∈ N , onda stepen predstavljaosnovu pomnoženu samom sobom n puta.a n = a4 ⋅L a ⋅ 24 1a 3 n-ti stepen broja a. n cinilacaStepenovanje ima viši prioritet od množenja. Za razliku od sabiranja i množenjanije komutativno niti asocijativno. Najvažnija svojstva stepenovanja:1. a m ⋅ a n = a m+ n2. a m : a n = a m− n ( a ≠ 0 )3. (a m ) n = a m⋅n4. a n ⋅ b n = ( a ⋅ b) n5. a n : b n = ( a : b) n , b ≠ 0Posledice osobine 3. sua 0 = a n−n = a n : a n = 1 1a − n = a 0− n = n aNeka je a realan i n prirodan broj. Svako rešenje jednačine x n = a po x (akopostoji) naziva se n-ti koren broja a u oznaci: x = n a .Najvažnija svojstva korenovanja: a, n-neparan1. n an =   a , n-paran m2. a n = n am3. n ab = n a ⋅ n b4. n a :b = n a : n b 7
• 8. 5. ( n a )m = n a m6. n m a = n⋅m a n⋅ p7. a m⋅ p = n a m14. Uprostiti izraz: 27 x −2 y −3 32 x −4 y 215. Uprostiti izraz: 2 2  2 x + 2− x   2 x − 2− x    −   2   2  a −2 − b −216. Ako je A = −1 −1 i a −b  a −1 b −1  −1 −1 −2 B =  −1 −1 − −1 −1  ( a − b ) ( a + b −2 ) −1  a −b a +b  dokazati da je A = B −117. Izračunati: 5 2 + 3 8 − 50 − 9818. Obaviti naznačene operacije: ( x x )3 ⋅ 3 x 3 x : x 4 6 x 519. Racionalisati imenioce razlomka: 8
• 9. 2 2− 3a) b) 5 −2 2+ 3 9
• 10. IV KVADRATNA JEDNAČINA I KVADRATNA FUNKCIJAKvadratna jednačina je polinomijalna jednačina drugog stepena. Njen opšti oblikje ax 2 + bx + c = 0 gde je x nepoznata, a koeficijenti a, b, c su realni brojevi ia ≠ 0. Kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0 sa realnim koeficijentima imadva rešenja, koja se nazivaju korenima. Rešenja mogu biti realna ili kompleksna,a data su formulom: −b ± b 2 − 4ac x1,2 = 2aPriroda rešenja kvadratne jednačine:Diskriminanta kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 je izraz ∆ = b 2 − 4ac .Za kvadratnu jednačinu sa realnim koeficijentima važi: ∆>01) jednačina ima dva realna i različita rešenja ako i samo ako je2) jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje ako i samo ako je ∆ = 03) jednačina ima dva kompleksno konjugovana rešenja ako i samo ako je ∆<0Pod iracionalnom jednačinom podrazumevamo jednačinu kod koje se nepoznatanalazi pod korenom.Jednačina a ( x ) = b( x ) je ekvivalentna sistemu: a ( x) = b 2 ( x ) ∧ b( x ) ≥ 0 .20. Odretiti skup rešenja jednačine: 34 2x + 1 2x −1 + = 4x2 − 1 1 − 2x 2x + 121. Rešiti jednačinu: (2 x − 3) 2 + (2 x − 5) 2 = 4( x − 3) 2 + 30 x − x2 + 2x − 522. Za koje je realne vrednosti razlomak manji od -1? 2x2 − x − 1 10
• 11. 23. Odretiti skup rešenja sistema: x 2 + y 2 = 29 x + y =724. Odrediti realna rešenja sledeće jednačine: 25 − x 2 = 7 − x25. Rešiti jednačinu: 2x x 2 + 25 5 5 − 2 = − x − 9 x − 81 x + 9 x − 9 11
• 12. V EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJAFunkciju oblika f ( x) = a x gde a ∈ R, a > 0, a ≠ 1 nazivamo jeeksponencijalnom. Definisana je za svako realno x i obostrano jednoznačnopreslikava skup realnih brojeva ( −∞, +∞) na skup pozitivnih (0, +∞ ) .Ako je a > 1 funkcija je rastuća na celom domenu.(∀x1 , x2 ∈ R ) ( x1 < x2 ⇒ a x1 < a x2 )Ako je 0 < a < 1 funkcija je monotono opadajuća.(∀x1 , x2 ∈ R ) ( x1 < x2 ⇒ a x1 > a x2 ) y y = ax 0 < a <1 a >1 xVaže sledeći eksponencijalni zakoni:1. a0 = 12. a1 = a3. a x+ y = a x ⋅ a y4. (a x ) y = a xy x 1 15. x =   = a− x a a 12
• 13. 6. a x b x = (ab) xJednačine kod kojih se nepoznata nalazi u izložiocu (eksponentu) nazivamoeksponencijalne jednačine. Eksponencijalne jednačine rešavamo najčešće, akoje moguće, svođenjem leve i desne strane jednačine na istu osnovu ilisvođenjem leve i desne strane na isti izložilac.U prvom slučaju imamo: a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) gde je a ∈ R, a > 0, a ≠ 1 a f ( x), g ( x) sufunkcije argumenta x .U drugom slučaju imamo:a f ( x ) = b f ( x ) ⇔ f ( x) = 0, a,b>0, a,b ≠ 1Eksponencijalna nejednačina oblika a f ( x ) < a g ( x ) (isto važi i za >, ≥, ≤ ),ukoliko je a > 1 , je ekvivalentna sledećem: a f ( x ) < a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) .Eksponencijalna nejednačina oblika a f ( x ) < a g ( x ) ( isto važi i za >, ≥, ≤ ),ukoliko je 0 < a < 1 , je ekvivalentna sledećem:a f ( x ) < a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x)Funkcija f ( x) = a x je bijekcija, pa postoji f −1 : R + → R , koju zovemologaritamska funkcija i pišemo f −1 ( x) = log a x( f o f −1 )( x) = x ⇔ a loga x = x, x > 0( f −1 o f )( x) = x ⇔ log a a x = x, x ∈ R y y = log a x a >1 x 0 < a <1Važno je znati sledeće: 13
• 14. log a x = y ⇔ a y = xa x = y ⇔ x = log a yLogaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji, pa su njihovi graficisimetrični u odnosu na pravu y = x .Svojstva logaritamske funkcije:1. D = R + je domen logaritamske funkcije, a kodomen je skup realnih brojeva R2. log a ( x1 ⋅ x2 ) = log a x1 + log a x2 , x1 , x2 > 0 x13. log a ( ) = log a x1 − log a x2 , x1 , x2 > 0 x24. log a x r = r log a x , x > 0, r ∈ R log c b 15. log a b = , specijalno: log a b = log c a log b a 16. log ar x = log a x r7. log a 1 = 08. log a a = 19. Ako je a > 1 funkcija je rastuća na celom domenu.(∀x1 , x2 ∈ R ) ( x1 < x2 ⇒ log a x1 < log a x2 )Ako je 0 < a < 1 funkcija je monotono opadajuća.(∀x1 , x2 ∈ R ) ( x1 < x2 ⇒ log a x1 > log a x2 )10. Ako je log a x1 = log a x2 onda je x1 = x2 ,Logaritam za osnovu 10 označavamo sa log i zovemo dekadni logaritam, alogaritam za osnovu e označavamo sa ln i zovemo prirodni logaritam.x r = eln x = e r ln x x > 0, r ∈ R r26. Rešiti eksponencijalnu jednačinu: 14
• 15. a) 2 x−3 = 16 x +3 −3 x  1  b) 9 =   27 27. Rešiti jednačinu: x +1 2 x−2 100 ⋅ 10 = 1000 928. Rešiti sistem: 2 x ⋅ 3 y = 12 2 y ⋅ 3x = 18 15
• 16. VI TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJETrigonometrija (lat.trigonon-trougao, metron-mera) je deo matematike kojiizučava zavisnost između strana i uglova trougla u ravni ili na površini sfere.Pomoću trigonometrijskih funkcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugaonagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.Trigonometrijske funkcije su: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans ikosekans. B c(hipotenuza) a(naspramna) α A b(nalegla) COdnos naspramne stranice i hipotenuze nazivamo sinusnom funkcijom ili sinus izapisujemo kao sin. Odnos nalegle stranice i hipotenuze nazivamo kosinusnomfunkcijom ili kosinus i zapisujemo cos. Odnos naspramne i nalegle stranicenaziva se tangens ili skraćeno tg, a odnos nalegle I naspramne stranice nazivase kotangens ili skraćeno ctg. Kosekans je recipročna vrednost sinusne funkcijeili skraćeno cosec (ili csc), a sekans je recipročna vrednost kosinusne funkcije iliskraćeno sec. a bsin α = , cosα = c c a b c ctgα = , ctgα = , cosecα = , secα = b a a bIz navedenih definicija izvodimo: sin α cos α cosecαtgα = , ctgα = = , tgα ⋅ ctgα =1 cos α sin α sec α 16
• 17. Sledeće osnovne relacije nazivaju se osnovni trigonometrijski identiteti iliPitagorini identiteti zasnovani na Pitagorinoj teoremi:sin 2 α + cos 2 α = 1, 1+tg 2α =sec2α , 1+ctg 2α = cos ec2αVrednosti trigonometrijskih funkcija:Stepen Radijan Sin Cos Tg Ctg Cosec Sec 0º 0 0 1 0 ∞ 1 ∞ 30º π 1 3 3 3 2 3 2 6 2 2 3 3 45º π 2 2 1 1 2 2 4 2 2 60º π 3 1 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 90º π 1 0 ∞ 0 ∞ 1 2Osnovne trigonometrijske formule:sin 2 α + cos 2 α = 1, sin α ⋅ cos ecα = 1, cos α ⋅ secα = 1 tgα 1sin α = 1 − cos 2 α = , cos α = 1 − sin 2 α = ± 1 + tg 2α ± 1 + tg 2α sin α 1 1 − sin 2 α 1tgα = = , ctgα = = 1 − sin 2 α ctgα sin α tgα 17
• 18. Funkcije zbira i razlike:sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin βcos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β tgα ± tg βtg (α ± β ) = 1 m tgα tg β ctgα ctg β m 1ctg (α ± β ) = ctg β ± ctgαFunkcije višestrukih uglova:sin 2α = 2sin α cos α , sin3α =3sinα -sin 3αcos 2α = cos 2 α − sin 2 α , cos3α =4cos3α − 3cos α 2tgα 3tgα − tg 3αtg 2α = , tg 3α = , 1 − tg 2α 1 − 3tg 2α ctg 2α − 1 ctg 3α − 3ctgαctg 2α = , ctg3α = 2ctgα 3ctg 2α − 1Zbir i razlika funkcija: α +β α −βsin α + sin β = 2sin cos 2 2 α +β α −βsin α − sin β = 2cos sin 2 2 α +β α −βcos α + cos β = 2cos cos 2 2 α +β α −βcos α − cos β = −2sin sin 2 2 18
• 19. sin(α ± β ) sin(α ± β )tgα ± tg β = , ctgα ± ctg β = ± cos α cos β sin α sin β cos(α − β ) cos(α + β )tgα + ctg β = , ctgα − tg β = cos α sin β sin α cos βProizvod funkcija: 1sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1cos α cos β = [ cos(α − β ) + cos(α + β )] 2 1sin α cos β = [ sin(α − β ) + sin(α + β ) ] 2Funkcije polovine ugla: α 1 − cos α α 1 + cos αsin 2 = , cos 2 = 2 2 2 2 α 1 − cos α α 1 + cos αtg 2 = , ctg 2 = 2 1 + cos α 2 1 − cos αFunkcije suprotnog ugla:sin(−α ) = − sin α , cos(−α ) = cos αtg (−α ) = −tgα , ctg (−α ) = −ctgα 19
• 20. Trigonometrijske jednačine: Osnovna rešenja Sva rešenja α =β α = β + 2 kπ , k ∈ Z sin α = sin β α =π −β α = π − β + 2 kπ , k ∈ Z α =β α = β + 2 kπ , k ∈ Z cos α = cos β α = −β α = − β + 2 kπ , k ∈ Z tgα = tg β α =β α = β + kπ , k ∈ Z ctgα = ctg β α =β α = β + kπ , k ∈ Z29. Dokazati sledeći identitet: sin α 1 + cos α = 1 − cos α sin α30. Dokazati sledeći identitet: 1 1 + ctg 2α = sin 2 α − cos 2 α 1 − ctg 2α 20
• 21. PRIMER TESTA1. Uprostiti izraz: 2 2  2 x + 2− x   2 x − 2− x    −   2   2 2. Rešiti jednačinu: (2 x − 3) 2 + (2 x − 5) 2 = 4( x − 3) 2 + 303. Izračunati vrednost izraza: 3log 5 25 + 2log 3 27 − 4log 2 84. Dokazati sledeći identitet: 1 1 + ctg 2α = sin 2 α − cos 2 α 1 − ctg 2α5. Koliko je kvadratnih metara metalnog lima potrebno za izradu cilindričnog dimnjaka visine 18m i prečnika 65cm. 21
• 22. LITERATURA:Vene Bogoslav, Zbirka rešenih zadataka iz matematike 1, Zavod za udžbenike inastavna sredstva, Beograd, 1996.Vene Bogoslav, Zbirka rešenih zadataka iz matematike 2, Zavod za udžbenike inastavna sredstva, Beograd, 1996.Vene Bogoslav, Zbirka rešenih zadataka iz matematike 3, Zavod za udžbenike inastavna sredstva, Beograd, 1998.Jovan Kečkić, Matematika sa zbirkom zadataka za III razred srednje škole,Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1999.Živorad Ivanović, Srđan Ognjanović, Matematika 2, zbirka zadataka i testova zaII razred gimnazija i tehničkih škola, Krug, Beograd, 1999.Živorad Ivanović, Srđan Ognjanović, Matematika 3, zbirka zadataka i testova zaIII razred gimnazija i tehničkih škola, Krug, Beograd, 1999.http://www.mycity.rs/Matematika/Matematika-Geometrija.html 22