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  • 1. An´lisis de Funciones de Variable Compleja a Ing. Juan Sacerdoti Facultad de Ingenier´ ıa Departamento de Matem´tica a Universidad de Buenos Aires 2005 V 1.011 1 Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripci´n de este documento. o
  • 2. 2
  • 3. ´ Indice general 1. N´ meros Complejos u 9 1.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 9 1.2. Igualdad de n´ meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 10 1.3. Estructuraci´n de C como cuerpo abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 10 1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Estructuraci´n de C como estructura vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 13 1.6. Estructuraci´n de C como estructura de espacio m´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 14 1.6.1. Propiedades generales de la funci´n distancia en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 14 1.6.2. Notaci´n para la funci´n distancia sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 15 1.6.3. M´dulo de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 16 1.7. Estructuraci´n de C como espacio normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17 1.8. Forma bin´mica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 18 1.8.1. Isomorfismos entre estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8.3. Forma bin´mica de los n´ meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o u 20 1.9. Representaci´n geom´trica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 22 1.10. Forma Polar de un N´ mero Complejo. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 23 1.10.1. Forma Polar de un N´ mero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 23 1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.10.3. Producto en forma polar. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.10.4. Potencia en forma polar. Radicaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 27 1.10.5. Interpretaci´n geom´trica de las operaciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . o e 28 1.11. Forma exponencial de un n´ mero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 29 1.11.1. Expresi´n de la forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 30 1.11.2. Definici´n de la funci´n ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 30 1.11.3. El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma exponencial. . . . . . 32 1.12. Conjugado de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2. Elementos de Topolog´ en el Campo Complejo ıa 35 2.1. Definici´n de bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Entorno de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Vecinal de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4. Clasificaci´n de puntos: Interiores, exteriores y frontera o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6. Clasificaci´n de puntos de adherencia . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.8. Conjunto acotado y conjunto compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.9. Infinito en el Campo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3
  • 4. 4 ´ INDICE GENERAL 2.9.1. Concepto de punto infinito en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.9.2. Conjunto Complejo Extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.9.3. Esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.9.4. Diversas acepciones de “infinito” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3. Funciones de Variable Compleja. Continuidad y L´ ımite 51 3.1. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2. Interpretaci´n geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Funciones de variable compleja. Caracter´ ısticas y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1. Caracter´ ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.2. Continuidad sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5. L´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5.1. Definici´n de l´ o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5.2. Operaciones con l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6. Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6.1. Continuidad por partes de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6.2. Camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6.3. Lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6.4. Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6.5. Caminos opuestos y yuxtapuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6.6. Ejemplos de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.6.7. Camino simple. Lazo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.6.8. Caminos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.7. Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8. Homotop´ de caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8.1. Homotop´ de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8.2. Homotop´ de lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.8.3. Homotop´ a un punto . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9. Clasificaci´n de conjuntos conexos en C . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9.1. Conjuntos simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9.2. Conjuntos m´ ltiplemente conexos . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9.3. Cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.9.4. Grado de multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4. Derivaci´n en el Campo Complejo o 75 4.1. Derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 75 4.2. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3. Relaci´n entre derivada y diferencial. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 78 4.4. Derivaci´n y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 80 4.5. Funciones mon´genas y holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 80 4.6. Reglas de derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 82 4.7. Holomorf´ y ecuaci´n de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa o . . . . . . 82 4.7.1. Las componentes de una funci´n holomorfa como funciones arm´nicas . o o . . . . . . 82 4.7.2. Propiedades de funciones conjugadas arm´nicas . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 84 4.7.3. Obtenci´n de la conjugada arm´nica de una funci´n en el entorno de un o o o punto . . 87 4.8. Holomorf´ en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . 94 4.9. Representaci´n conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 95 ´ 4.9.1. Angulo entre caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
  • 5. ´ INDICE GENERAL 5 4.9.2. Transformaci´n de caminos . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.9.3. Transformaci´n de vectores tangentes . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.9.4. Aplicaci´n conforme . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.9.5. Transformaci´n de ´reas e integrales dobles . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.9.6. Los problemas de la representaci´n conforme o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.9.7. La inversi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.9.8. La funci´n homogr´fica . . . . . . . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
  • 6. 6 ´ INDICE GENERAL
  • 7. ´ Indice de figuras 1.1. Representaci´n del complejo (x y) en el plano cartesiano. . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2. Representaci´n del complejo z en coordenadas polares. . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3. Representaci´n geom´trica de la suma de dos complejos. . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4. Representaci´n geom´trica de la diferencia de dos complejos. o e . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5. Representaci´n geom´trica del producto de dos complejos. . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6. Ra´ quintas de un n´ mero complejo z. . . . . . . . . . . . ıces u . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7. Conjugado de un n´ mero complejo. . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1. Bola de centro c y radio r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Entorno de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Vecinal de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4. Clasificaci´n de puntos en un espacio m´trico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 38 2.5. Puntos aislados y puntos de acumulaci´n del conjunto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 41 2.6. Clasificaci´n de conjuntos seg´ n contengan o no a sus fronteras. . . . . . . . . . . . . . . . o u 42 2.7. |z| > r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.8. Diversos conjuntos transformados mediante la funci´n inversi´n. . . . . . . . . . . . . . . o o 46 2.9. Esfera de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.10. Proyecci´n estereogr´fica de una circunferencia que no pasa por el origen de coordenadas. o a 48 2.11. Proyecci´n estereogr´fica de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas. . . o a 48 3.1. Transformaci´n de regiones en R2 mediante una funci´n de variable compleja. o o . . . . . . . 52 3.2. Transformaci´n de caminos mediante la funci´n f (z) = z 2 . . . . . . . . . . . . o o . . . . . . . 53 3.3. Funci´n de una variable real discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 57 3.4. Funci´n de una variable compleja discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 57 3.5. Composici´n de funciones de una variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 61 3.6. Camino en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7. Lazo en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.8. Caminos yuxtapuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.9. Camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.10. Ejemplos de caminos y lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.11. Ejemplo de conjuntos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.12. Ejemplo de conjuntos no conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.13. Homotop´ de los caminos γ1 y γ2 en D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . 71 3.14. Homotop´ de los lazos γ1 y γ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . 72 3.15. Conjunto simplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.16. Conjunto m´ ltiplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . 73 3.17. Ejemplos de cortadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.18. Conjunto con grado de multiplicidad=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7
  • 8. 8 ´ INDICE DE FIGURAS 4.1. Incremento de z a trav´s de un camino γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 75 4.2. Dominio restringido de una funci´n de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 77 4.3. Incremento de una funci´n a trav´s de caminos rectos paralelos a los ejes. . . . . . . . . . o e 79 4.4. Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas arm´nicas . . . . . . . . . . . o 87 4.5. Integraci´n a trav´s de un camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 89 4.6. Reemplazo de un camino γ por otro poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7. Dominio e imagen de Inv’ y f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.8. Vector tangente a γ en el punto γ(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 ´ 4.9. Angulo entre los caminos γ1 y γ2 en el punto zc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.10. Transformaci´n de caminos por una funci´n de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . o o 97 4.11. Conservaci´n del ´ngulo entre dos caminos mediante una aplicaci´n conforme f . . . . . . o a o 100 4.12. Transformaci´n de ´ngulos para aplicaciones con distintos valores de K. . . . . . . . . . . o a 102 4.13. L´ıneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representaci´n conforme. o 105 4.14. Transformaci´n de vectores mediante una inversi´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 106 4.15. Construcci´n geom´trica para obtener la rec´ o e ıproca de un complejo. . . . . . . . . . . . . . 106 4.16. Construcci´n geom´trica alternativa para hallar la rec´ o e ıproca de un n´ mero complejo. . . . u 107
  • 9. Cap´ ıtulo 1 N´meros Complejos u 1.1. Definici´n o Se llama n´mero complejo a todo par ordenado (x y) de n´ meros reales. u u z := (x y) : x ∈ R , y ∈ R z := N´ mero complejo u Al n´ mero real x (primera componente del par ordenado) se lo llama parte real o primera componente u del n´ mero complejo. u Asimismo, al n´ mero real y (segunda componente del par ordenado) se lo llama parte imaginaria o u segunda componente del n´ mero complejo. u Re(z) := x Im(z) := y Re(z) := parte real de z Im(z) := parte imaginaria de z Observaci´n: Conviene remarcar que tanto la parte real, como la parte imaginaria de un n´ mero complejo o u (a pesar de su denominaci´n), son ambos n´ meros reales. o u Al conjunto de todos los n´ meros complejos, se lo simboliza con C. u C := {(x y) : x ∈ R , y ∈ R } C := Conjunto de todos los n´ meros complejos u Observaci´n: A partir de la definici´n de C es inmediato que: o o C=R×R o sea que C = R2 Sin embargo, la introducci´n del nuevo s´ o ımbolo C para representar al conjunto de los complejos, en vez de usar directamente R2 , es conveniente para destacar y recordar la diferencia existente entre R2 y los dem´s Rn . a Todo Rn conforma estructura de espacio vectorial y tambi´n estructura de espacio eucl´ e ıdeo. En el caso particular de R2 , adem´s de las estructuras mencionadas, se agrega la estructuraci´n en a o ıstica no se extiende a ning´ n Rn con n ≥ 3. cuerpo abeliano. (ver punto 1.3). Esta caracter´ u La raz´n de esta diferencia es porque en C, adem´s de definirse la suma como en todo Rn , se establece o a tambi´n la multiplicaci´n, condici´n que le permite alcanzar la estructura de cuerpo abeliano. e o o 9
  • 10. 10 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS 1.2. Igualdad de n´ meros complejos u La igualdad de los n´ meros complejos es una consecuencia de la igualdad definida entre conjuntos, y u su aplicaci´n sobre los pares ordenados. Resulta entonces: o x = x′ (x y) = (x′ y ′ ) ⇔ y = y′ Es decir, dos n´ meros complejos son iguales, si y s´lo si simult´neamente, las respectivas partes reales u o a e imaginarias son iguales entre s´ Una igualdad en C representa entonces dos igualdades en R. ı. 1.3. Estructuraci´n de C como cuerpo abeliano o Sobre el conjunto de los complejos C se definen dos leyes de composici´n interna: o T : C × C −→ C ((x y), (x′ y ′ )) −→ (x + x′ , y + y ′ ) P : C × C −→ C ((x y), (x′ y ′ )) −→ (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ ) T := Ley suma de n´ meros complejos u P := Ley producto de n´ meros complejos u Los signos ”+” y ”·” representan las leyes de composici´n interna, suma y producto de n´ meros reales. o u El conjunto de los n´ meros complejos C se estructura en cuerpo abeliano con respecto a las leyes de u composici´n interna suma de n´ meros complejos ”T ” y producto de n´ meros complejos ”P ”. o u u T : C × C −→ C   ((x y), (x′ y ′ )) −→ (x + x′ , y + y ′ )     =⇒ (C T P ) ∈ Cuerpo abeliano P : C × C −→ C     ((xy) , (x′ y ′ )) −→ (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ )  La demostraci´n de esta aseveraci´n es inmediata. o o Algunos elementos destacables en el cuerpo C son: (0 , 0) ∈ neutro de C respecto de T (−x , −y) ∈ sim´trico de (x y) respecto de T e (1 , 0) ∈ neutro de C respecto de P x −y , ∈ sim´trico de (x y) respecto de P , ∀(x y) = (0 0) e x2 + y 2 x2 + y 2 Los s´ ımbolos con los cuales se identificar´n estos elementos son: a s := (0 , 0) ∗ z := (−x , −y) u := (1 , 0) x −y z• := , x2 + y 2 x2 + y 2
  • 11. 1.4. IMPOSIBILIDAD DE ESTRUCTURAR C COMO CUERPO ORDENADO 11 1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado El conjunto C no puede ser estructurado como cuerpo ordenado. Ello significa que no existe ninguna relaci´n sobre C × C que cumpla simult´neamente: o a (a) Relaci´n de orden amplio sobre C. o (b) Relaci´n de orden total. o (c) Relaci´n de compatibilidad con las leyes de suma y producto complejo. o Estas condiciones presentadas para el caso de un cuerpo gen´rico (E T P ), llamando RO a la relaci´n de e o orden sobre E, pueden expresarse de la siguiente manera:  ∀x ∈ E (x x) ∈ RO Reflexividad     (x y) ∈ RO  ⇒ x=y Antisimetr´ıa  RO ∈ Relaci´n de orden amplio := o (y x) ∈ RO    (x y) ∈ RO    ⇒ (x z) ∈ RO Transitividad (y z) ∈ RO RO ∈ Relaci´n de orden total := ∀x ∈ E, ∀y ∈ E o {x y} =⇒ (x y) ∈ RO o (y x) ∈ RO  (x y) ∈ RO =⇒ (xT z , yT z) ∈ RO  ∀z ∈ E     RO ∈ Rel. de comp. con suma y producto :=   (x y) ∈ RO  (s z) ∈ RO     =⇒ (xP z , yP z) ∈ RO s :=Neutro de (E , T )  A partir de estas definiciones se establece entonces:  (E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano       (E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano ordenado := RO ∈ Relaci´n de orden amplio o  RO ∈ Relaci´n de orden total   o   RO ∈ Relaci´n compatible con la suma y el producto o Observaci´n 1: Al cumplirse simult´neamente las condiciones de orden amplio y total sobre E, resulta o a superflua la condici´n de reflexividad, como se muestra a continuaci´n: o o A partir de la condici´n de orden total, tomando x = y se obtiene: o ∀x ∈ E {x x} =⇒ (x x) ∈ RO o (x x) ∈ RO resultando entonces: ∀x ∈ E =⇒ (x x) ∈ RO Observaci´n 2: Las notaciones usuales para las relaciones de orden son x ≥ y o (x y) ∈ RO. En el texto o se ha preferido el uso de ´sta ultima para evitar confusiones. e ´ A continuaci´n se pasa a demostrar la tesis propuesta, que el cuerpo de los complejos no puede ser o ordenado.
  • 12. 12 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS El esquema de prueba se basa en que para dos n´ meros complejos, (0 0) (neutro de T ) y el (0 1) (m´s u a adelante llamado unidad imaginaria), no puede establecerse ninguna relaci´n de orden que satisfaga las o condiciones anteriores. (C, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano =⇒ ∄ RO sobre C : (C, T, P ) ∈ Cuerpo ordenado 1. Orden total {(0 0) , (s 1))} ⇒ ((0 0) , (0 1)) ∈ RO o ((0 1) , (0 0)) ∈ RO Suponiendo la primera de las dos posibilidades: 2. ((0 0) (0 1)) ∈ RO ((0 0) (0 1)) ∈ RO 3. Compat. P ⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO ((0 0) (0 1)) ∈ RO ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO 4. Compat. P ⇒ ((0 0) (1 , 0)) ∈ RO ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO 5. Compat. T ⇒ ((1 0) (0 0)) ∈ RO (1 , 0) ∈ C ((0 0) (1 0)) ∈ RO 6. (4.), (5.) y antisim. ⇒ (0 0) = (0 1) (prop. falsa) ((1 0) (0 0)) ∈ RO Como la primera posibilidad ha conducido a una proposici´no falsa, se prueba con la segunda: 7. ((0 1) (0 0)) ∈ RO ((0 1)(0 0)) ∈ RO 8. Compat. T ⇒ ((0 0)(0 , −1)) ∈ RO (0 , −1) ∈ C ((0 0)(0 , −1)) ∈ RO 9. Compat. P ⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO ((0 0)(0 , −1)) ∈ RO Este resultado es el mismo obte- nido en (3.). Si se sigue un pro- cedimiento igual al ya realizado, se obtiene tambi´n: e 10. =⇒ (0 0) = (1 0) prop. falsa Se deben descartar entonces las dos posibilidades. De donde:
  • 13. ´ 1.5. ESTRUCTURACION DE C COMO ESTRUCTURA VECTORIAL 13  RO ∈ Relaci´n de orden amplio  o  RO ∈ Relaci´n de orden total o 11. (1.), (6.) y (10.) ∄ RO sobre C : RO ∈ Relaci´n de compatibilidad  o  con la suma y producto complejo  Observaci´n 1: El hecho de que C no sea un cuerpo ordenado, deja como unico Rn que cumple tal o ´ condici´n al conjunto de los reales R. Este es el cuerpo ordenado por excelencia. o Observaci´n 2: Conviene remarcar que en C carece totalmente de sentido la proposici´n: o o z > z′ Por lo tanto, en el caso de presentarse esta notaci´n, es sencillamente un grave error. o 1.5. Estructuraci´n de C como estructura vectorial o El conjunto de los n´ meros complejos C conforma una estructura vectorial, sobre un cuerpo K, u respecto de las leyes de composici´n interna T (suma de n´ meros complejos) y composici´n externa P o u o oportunamente definida: P : C × C −→ C (λ, (x y)) −→ (λx, λy) P := Ley de composici´n externa de C sobre K. o K := Cuerpo de apoyo de la estructura vectorial o conjunto de los escalares. La proposici´n mencionada es consecuencia inmediata de que C = R2 , es decir un caso particular de o n R . Tiene particular inter´s tomar a la terna (R + ·) como cuerpo K sobre el cual conforma C la estructura e vectorial. C = { (xy) : x ∈ R , y ∈ R}      (R + ·) ∈ Cuerpo de los Reales        C×C → C  T : =⇒ (C R + · T P ) ∈ Estructura vectorial ((x y) , (x′ y ′ )) → (x + x′ , y + y ′ )       P : C×C → C      ′ ′ ′ ′ ′ ′  ((x y) , (x y )) → (xx − yy , xy + yx ) Observaci´n 1: Para no incurrir en confusiones de conceptos se debe tener presente siempre las diferencias o que existen entre las leyes: - Producto de n´ meros reales: · u - Producto de n´ meros complejos: p u
  • 14. 14 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS - Producto de C sobre K: P Observaci´n 2: Para evitar interpretaciones err´neas se hace notar que la convenci´n adoptada para la o o o denominaci´n de la s´xtupla (E K + · T P ) y el conjunto E es: o e (E K + · T P ) := Estructura de espacio vectorial o estructura vectorial E := Espacio vectorial 1.6. Estructuraci´n de C como estructura de espacio m´trico o e El conjunto C conforma una estructura de espacio m´trico, y en particular una estructura de espacio e eucl´ ıdeo, al definirse la funci´n distancia por la expresi´n pitag´rica: o o o d: C × C −→ R (z , z ′ ) −→ (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = d(z z ′ ) d(z z ′ ) := distancia de z a z ′ Esta caracter´ ıstica es una consecuencia inmediata de que C = R2 , es decir un caso particular de Rn . C = { (x y) : x ∈ R , y ∈ R }     d : C × C −→ R =⇒ (C , d) ∈ Estructura de espacio eucl´ ıdeo   (z , z ′ ) −→ (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = d(z z ′ )  Observaci´n 1: Para evitar confusiones se se˜ ala que las denominaciones adoptadas para el par (E , d) y o n para el conjunto E son: (E , d) := Estructura de espacio m´trico o estructura m´trica e e E := Espacio m´trico e El hecho de poder estructurar E como espacio m´trico tiene enorme importancia. e En efecto, se logra con ello la base (funci´n distancia) para construir una estructura topol´gica. o o De esta manera el conjunto de los complejos C conforma simult´neamente una estructura algebraica a de cuerpo, y una estructura topol´gica, siendo ambas las dos condiciones esenciales para poder definir los o conceptos que son fundamento del an´lisis matem´tico: la continuidad (la convergencia) y la diferencial. a a 1.6.1. Propiedades generales de la funci´n distancia en C o Las propiedades m´s importantes para destacar de la funci´n distancia sobre el conjunto de los a o complejos, se desprenden directamente del caso m´s general, funci´n distancia sobre los espacios eucl´ a o ıdeos. Para facilitar su presentaci´n es conveniente usar los s´ o ımbolos e := (0 0) z ∗ := (−x , −y) respectivamente par el neutro de C respecto de la suma T , y el opuesto de z respecto de T . Tambi´n se e agregar´ el nuevo s´ a ımbolo: z − z ′ := z T z ′∗ z − z ′ := Diferencia entre los n´ meros complejos z y z ′ u
  • 15. ´ ´ 1.6. ESTRUCTURACION DE C COMO ESTRUCTURA DE ESPACIO METRICO 15 El detalle de las propiedades mencionadas es: I. d(z e) = 0 ⇔ z = e II. z − z ′ = w − w′ =⇒ d(z z ′ ) = d(w w′ ) III. d(z + z ′ , z) = d(z ′ e) IV. d(z − z ′ , e) = d(z z ′ ) V. d(z − z ′ , e) = d(z ′ − z , e) λ∈R VI. d(λz , λz ′ ) = |λ|d(z z ′ ) VII. d(z e) − d(z ′ e) |d(z e) − d(z ′ e)| d(z + z ′ , e) d(z e) + d(z ′ e) VIII. d(z e) − d(z ′ e) |d(z e) − d(z ′ e)| d(z − z ′ , e) d(z e) + d(z ′ e) IX. |Re(z)| d(z, e) |Im(z)| d(z, e) Es buen ejercicio demostrar estas f´rmulas en forma directa a partir de la definici´n de distancia sobre o o C. 1.6.2. Notaci´n para la funci´n distancia sobre C o o La notaci´n de la funci´n distancia sobre C, que por otra parte se emplea normalmente para cualquier o o Rn es: |z − z ′ | := d(z z ′ ) |z − z ′ | := Distancia de z a z ′ De acuerdo a esta ultima convenci´n resulta: ´ o d(z e) = |z| En efecto: d(z e) = |z − e| = |z T e∗ | = |z T e| = |z| La distancia d(z e) tiene una gran aplicaci´n e importancia, tanto como para adjudicarle una deno- o minaci´n particular. Esto se tratar´ en el apartado 1.6.3. o a La introducci´n del nuevo s´ o ımbolo |z − z ′ | para representar la funci´n distancia, es justificada por el o hecho de que ayuda a recordar todas las propiedades del p´rrafo anterior asimil´ndolas a las an´logas de a a a la funci´n valor absoluto en el campo real. o En efecto, si formalmente se opera d(z z ′ ) con las propiedades del valor absoluto real, se verifican sin dificultad las propiedades vistas en 1.6.1: I. |z − e| = 0 ⇔ z = e |z| = 0 ⇔ z = e
  • 16. 16 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS II. z − z ′ = w − w′ =⇒ |z − z ′ | = |w − w′ | III. |(z + z ′ ) − z| = |z ′ | IV. |(z − z ′ ) − e| = |z − z ′ | V. |z − z ′ | = |z ′ − z| VI. |λz − λz ′ | = |λ||z − z ′ | VII. |z| − |z ′ | ||z| − |z ′ || |z + z ′ | |z| + |z ′ | VIII. |z| − |z ′ | ||z| − |z ′ || |z − z ′ | |z| + |z ′ | IX. |Re(z)| |z| |Im(z)| |z| Observaci´n: El valor absoluto en el campo real por su parte estructura al conjunto R como espacio o eucl´ ıdeo, pues: d(x y) = (x − y)2 = |x − y| ıdeo Rn puede entenderse como una generalizaci´n del valor Entonces, la distancia del espacio eucl´ o absoluto definido para R. 1.6.3. M´dulo de z o Se define como m´dulo de z, tambi´n llamado valor absoluto de z, a la distancia d(z e). o e |z| := d(z e) |z| := M´dulo de z o Esta definici´n es complementaria de la notaci´n de distancia introducida en 1.6.2, ya que ambas no o o son independientes, como se demuestra acto seguido: Teorema 1.6.1. d(z z ′ ) = |z − z ′ | ⇐⇒ d(z e) = |z| Demostraci´n. La demostraci´n de la condici´n necesaria es: o o o d(z e) = |z − e| = |z| La condici´n suficiente: o d(z z ′ ) = d(z − z ′ , e) = |z − z ′ | La asignaci´n de una denominaci´n espec´ o o ıfica dada a la distancia d(z e) se justifica no solamente por la frecuencia con que aparece en las f´rmulas anteriores, sino tambi´n para resaltar el papel muy importante o e que desempe˜ a en todo el ´lgebra y an´lisis complejo. n a a Basta para ello mencionar que su empleo permite:
  • 17. ´ 1.7. ESTRUCTURACION DE C COMO ESPACIO NORMADO 17 a. La definici´n de la forma polar del n´ mero complejo. o u b. El hallazgo de m´todos operativos m´s sencillos, derivados de la forma polar, para la multiplicaci´n, e a o divisi´n, potencia, radicaci´n y logaritmaci´n. o o o c. Establecer una norma sobre C Todos estos conceptos ser´n desarrollados m´s adelante. a a El m´dulo de z, de acuerdo con la definici´n es una aplicaci´n del conjunto de los complejos sobre los o o o reales. ||: C −→ R (x y) −→ x2 + y 2 Las propiedades m´s importantes del m´dulo de z son las detalladas en el p´rrafo anterior. a o a A ellas conviene agregar: |z| = |z ′ | ⇔ |z|2 = |z ′ |2 cuya demostraci´n es inmediata, y adem´s: o a Teorema 1.6.2. El m´dulo del producto es igual al producto de los m´dulos. o o (zz ′ ) ∈ C =⇒ |z P z ′ | = |z||z ′ | Demostraci´n. o |z P z ′ |2 = (xx′ − yy ′ )2 + (xy ′ + yx′ )2 = x2 x′2 + y 2 y ′2 + x2 y ′2 + y 2 x′2 = (x2 + y 2 )(x′2 + y ′2 ) = |z|2 |z ′ |2 1.7. Estructuraci´n de C como espacio normado o Se llama espacio normado a todo espacio vectorial provisto de una aplicaci´n sobre los reales no o negativa, llamada norma, que cumple las condiciones que se mencionan a continuaci´n: o  (E K + · T P ) ∈ Estr. espacio vectorial)     N : E −→ R    (E K + · T P N ) :=   N (x) = 0 ⇔ x = e       x −→ N (x) : N (λx) = |λ|N (x)   N (xT y) N (x) + N (y)   N (x) := Norma del vector x A partir de las propiedades I, V I y V II del p´rrafo 1.6.2 se concluye de inmediato que la funci´n m´dulo a o o de z es efectivamente una norma. ||: C −→ R =⇒ (E K + · T P ) ∈ Estr. de espacio normado (x y) −→ x2 + y 2
  • 18. 18 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS En todo espacio normado, la funci´n distancia d(zz ′ ) = N (z − z ′ ) lo estructura como espacio m´trico. o e d: C × C −→ R =⇒ (C d) ∈ Estructura de espacio m´trico e (z z ′ ) −→ N (z − z ′ ) La norma establece una elaci´n directa entre los espacios vectoriales y los espacios m´tricos. o e La importancia de este hecho reside en que con ello se asegura la continuidad de las operaciones vectoriales suma y producto externo. 1.8. Forma bin´mica de los complejos o 1.8.1. Isomorfismos entre estructuras Se dice que una aplicaci´n f del conjunto E sobre el conjunto E ′ establece un isomorfismo entre las o estructuras (E T ) y (E ′ T ′ ), donde T y T ′ son leyes de composici´n interna definidas respectivamente o sobre E y E ′ , cuando: a. f es biyectiva b. La composici´n interna T ′ de la aplicaci´n de dos elementos de E sobre E ′ es igual a la aplicaci´n o o o sobre E ′ de la composici´n interna T de dichos elementos de E, es decir: o f (a T b) = f (a) T ′ f (b) En resumen:  E = {abc . . . }    T : E × E −→ E       ′ E = {a′ b′ c′ . . . }    ′ ′ ((E T ) (E T ) f ) ∈ Estructuras isomorfas := T ′ : E ′ × E ′ −→ E ′   f : E −→ E ′        f ∈ biyectiva   a −→ a′ :   a T b −→ a′ T ′ b′   Ejemplo: La funci´n logaritmo natural o L: R+ −→ R x −→ L(x) establece un isomorfismo entre las estructuras (R+ ·) y (R +).
  • 19. ´ 1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS 19 Generalizando, una funci´n f puede establecer un isomorfismo entre las estructuras (E T P ) y (E ′ T ′ P ′ ) o dotadas cada una de ellas con dos leyes de composici´n interna, cuando: o  E = {abc . . . }    T : E × E −→ E      P : E × E −→ E       ′ E = {a′ b′ c′ . . . }      ′ ′ ′ T : E ′ × E ′ −→ E ′ ((E T ) (E T ) f ) ∈ Estructuras isomorfas :=  ′ P : E ′ × E ′ −→ E ′     f : E −→ E ′             f ∈ biyectiva  a −→ a′ : a T b −→ a′ T ′ b′      a P b −→ a′ P ′ b′    1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente nula Definimos como C1 al conjunto de los complejos con segunda componente nula. C1 := {(x, 0)} C1 := Conjunto de los complejos con segunda componente nula o conjunto de las primeras componentes La funci´n pr1 que se llamar´ primera proyecci´n, o a o pr1 : C1 −→ R (x, 0) −→ x establece un isomorfismo entre las estructuras (C1 T P ) y (R + ·). Teorema 1.8.1. C1 = {(x, 0)} =⇒ ((R + ·) (C1 T P ) pr1 ) ∈ Estructuras isomorfas (x (x, 0)) ∈ pr1 Demostraci´n. Se demuestra en primer lugar que la relaci´n pr1 es una aplicaci´n biyectiva. o o o ∀x ∃ (x, 0) x = x′ x = x′ ⇔ 0=0 ⇔ (x, 0) = (x′ , 0) Enseguida se ver´ como la aplicaci´n pr1 establece el isomorfismo. a o x −→ (x, 0) y −→ (y, 0) x + y −→ (x, 0) T (y, 0) = (x + y, 0) x · y −→ (x, 0) P (y, 0) = (x · y, 0)
  • 20. 20 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS Observaci´n 1: El par (x, 0) no es un n´ mero real a pesar de que es frecuente denominarlo as´ en un o u ı, evidente abuso de notaci´n. o El complejo (x, 0) es el correspondiente al real x a trav´s del isomorfismo definido. e Observaci´n 2: Es inmediato demostrar a partir del isomorfismo estudiado entre C1 y R que tambi´n o e puede establecerse otro isomorfismo entre los complejos con segunda componente nula y los reales a trav´s de la funci´n: e o pr2 : {(0, y)} −→ R (0, y) −→ y como se verifica considerando las leyes respectivas se suma pero no las leyes de multiplicaci´n. o 1.8.3. Forma bin´mica de los n´meros complejos o u Todo n´ mero complejo puede descomponerse en la suma de otros dos, con segunda y primera com- u ponente nula, respectivamente: (x y) = (x 0) T (0 y) Por el otro lado tambi´n se verifica e (0 y) = (y 0) T (0 1) y entonces se concluye que un n´ mero complejo puede ser representado como: u (x y) = (x 0) T ((y 0) P (0 1)) que es la llamada forma cartesiana o bin´mica de los n´ meros complejos. o u Es conveniente tomar: i := (0 1) i := Unidad imaginaria Queda entonces: (x y) = (x 0) T ((y 0) P i) Este resultado, conjuntamente con el isomorfismo estudiado en 1.8.2 induce a pensar la posibilidad de la existencia de un isomorfismo entre el conjunto de los complejos C y el conjunto de los binomios x + iy operados formalmente con las reglas del ´lgebra de los n´ meros reales. a u En efecto, definiendo al conjunto de los nuevos entes x + iy, B := {x + iy : x ∈ R , y ∈ R} la funci´n o f : C −→ B (x y) −→ x + iy establece un isomorfismo entre (B + ·) y (C + ·) donde + y · son las leyes de composici´n interna sobre o el conjunto B, definidas en forma conveniente de acuerdo al ´lgebra de los n´ meros reales. a u
  • 21. ´ 1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS 21 Las definiciones de estas leyes se hallan en el enunciado del teorema siguiente, y merece se˜ alarse unica- n ´ mente que es necesario convenir que: i2 := −1 Observaci´n 1: Debe tenerse sumo cuidado de no entrar en confusiones con las dos definiciones hechas de o i porque sin distintas. Se ha usado la misma letra solamente por razones tradicionales. En el primer caso se ha definido sobre el conjunto de los complejos i = (0 1) lo cual lleva a i2 = i P i = (−1, 0) y por lo tanto de acuerdo a la Observaci´n 1 del p´rrafo 1.8.2 o a i2 = −1 siendo i2 simplemente el correspondiente de −1 en el isomorfismo analizado entre C1 y R: pr1 : i2 −→ −1 En el segundo caso, que no es una definici´n operacional de elementos de C sino de entes de B, el o ımbolo i2 representa a: s´ i2 = i · i es decir, un producto con respecto a la ley · en B. Y se establece a “contrario sensu”: i2 = −1 El planteo del isomorfismo de las estructuras es: (C T P ) ∈ Cuerpo complejo      B × B −→ B  +:     ((x + iy), (x + iy ′ )) −→ (x + x′ ) + i(y + y ′ ) ′        B × B −→ B  ·:    xx′ + ixy ′ + iyx′ + yy ′ i2 = =⇒ ((B + ·) (C T P ) f ) ∈ Estr. isomorfas ((x + iy), (x′ + iy ′ )) −→  (xx′ − yy ′ ) + i(xy ′ + yx′ )       i · i −→ −1        C −→ B  f:      (x y) −→ x + iy La demostraci´n de este isomorfismo surge directamente de la definici´n de las leyes de composici´n o o o interna definidas sobre B. La denominaci´n de forma bin´mica del n´ mero complejo es justificada con claridad por el isomorfismo o o u demostrado.
  • 22. 22 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS Se remarca que la importancia de este resultado reside en que la forma bin´mica permite operar con o los n´ meros complejos como simples n´ meros reales, con la condici´n de sustituir en la multiplicaci´n a u u o o i2 por −1. Observaci´n 2: No debe olvidarse que del mismo modo que el complejo (x 0) y el real x son nociones o diferentes, tambi´n lo son el complejo (x y) y el binomio x + iy. e Sin embargo es usual confundirlos en evidente abuso de notaci´n. Esto no produce dificultades al operar o con complejos si se toman las precauciones del caso. Llegado a este punto del texto en el cual se han estudiado las diferencias y relaciones existentes entre las leyes de composici´n interna complejas y reales, se usar´n, por razones tradicionales, a partir de ahora o a los signos + y · tambi´n para las primeras siempre que ello no induzca a confusiones. e 1.9. Representaci´n geom´trica de los complejos o e De la misma manera que no puede establecerse diferencia entre el n´ mero real x y el punto x de una u recta, tampoco existe ninguna diferencia entre el n´ mero complejo (x y) y el punto (x y) del plano R × R. u Se comprende que a partir de este razonamiento, no puede hacerse ninguna distinci´n entre el “´lge- o a bra”y la “geometr´ ıa”. La representaci´n geom´trica de un n´ mero complejo es sencillamente otra forma de simbolizarlos, es o e u decir, otra forma de escribirlos o representarlos. Sin embargo, hist´ricamente ha sido, y todav´ es, un modelo muy conveniente para estudiar e inter- o ıa pretar las relaciones entre los complejos. Por lo tanto, es importante el manejo fluido de los complejos teniendo siempre presente su significado geom´trico. e La representaci´n m´s frecuente de R2 es en coordenadas cartesianas ortogonales, mediante un plano o a que se denominar´ plano complejo. a Un n´ mero complejo z = (x y) es representado por un punto del plano de coordenadas: u x = Re(z) como abscisa y = Im(z) como ordenada Observaci´n 1: Debe observarse que de acuerdo a las apreciaciones hechas m´s arriba, las palabras n´ mero o a u complejo y punto del plano son sin´nimos. o Tambi´n son equivalentes los t´rminos R×R y plano, primera componente y abscisa, segunda componente e e y ordenada, etc.; que se usar´n indistintamente a lo largo del texto. a En el plano complejo a los ejes x e y se los denomina real e imaginario respectivamente. De acuerdo a las convenciones establecidas para la representaci´n en coordenadas cartesianas , el o complejo (x 0) es representado por puntos del eje imaginario.
  • 23. ´ 1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES 23 y z (0 y) (x y) y (0 0) (x 0) x x Figura 1.1: Representaci´n del complejo (x y) en el plano cartesiano. o Observaci´n 2: La denominaci´n de forma cartesiana como equivalente de la bin´mica surge evidentemente o o o de la representaci´n gr´fica de los complejos. o a El origen de coordenadas representa al par (0 0) Otra interpretaci´n del complejo z puede ser la de segmento orientado con origen en (0 0) y v´rtice o e en el punto (x y). La representaci´n polar permitir´ estudiar en detalle este nuevo enfoque. o a Esta simple observaci´n destaca como la representaci´n geom´trica ayuda a estudiar las propiedades del o o e n´ mero complejo. En este caso, la relaci´n entre el conjunto C y los espacios vectoriales como segmentos u o orientados. 1.10. Forma Polar de un N´ mero Complejo. Propiedades u Los n´ meros complejos (x y) pueden ser representados de otras maneras, adem´s de las ya vistas. u a Dada una funci´n biyectiva o f: C −→ C (x y) −→ (u v) : f ∈ biyectiva Al establecer una correspondencia uno a uno entre los pares (x y) y (u v), permite interpretar al segundo par como una nueva forma o representaci´n del primer par. o En particular adquieren importancia por su facilidad de operaci´n la forma polar, y su derivada, la o forma exponencial. 1.10.1. Forma Polar de un N´mero Complejo u En el plano complejo puede observarse con ayuda de la representaci´n geom´trica, que cualquier par o e (x y) = (0 0) puede ser definido por otro par (r θ) cuyos elementos son: r := Distancia al origen de coordenadas ´ w := Angulo formado entre el segmento o z y el eje x El par (r θ) define las llamadas coordenadas polares del n´ mero complejo. u Al par (0 0), origen de coordenadas, se asignan convencionalmente los valores: r=0 θ = θ1
  • 24. 24 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS donde θ1 es un n´ mero real arbitrario. u La primera coordenada polar, r, representa entonces la distancia d(z e), es decir el m´dulo de z o estudiado en 1.6.3. y z z r y θ x x Figura 1.2: Representaci´n del complejo z en coordenadas polares. o r := |z| = d(z e) r := m´dulo de z o El m´dulo de z est´ definido para cualquier n´ mero complejo, a´ n el (0 0), por la aplicaci´n: o a u u o || : C −→ R (x y) −→ |z| = x2 + y 2 ya estudiada anteriormente. La segunda coordenada polar θ, que como se dijo, representa el ´ngulo entre el segmento o z y el eje a x. Debe elegirse entonces anal´ ıticamente, de manera que satisfaga el sistema: r cos(θ) = x r sen(θ) = y A todos los valores de θ, ra´ del sistema, se los llama argumento de z. ıces y arg(z) := θ : θ ∈ arctan x arg(z) := argumento del complejo z La soluci´n de este sistema, no est´ un´ o a ıvocamente determinada en θ, pues si θ1 es soluci´n, tambi´n lo o e es θ1 + 2kπ : k ∈ Z (´ngulos congruentes entre s´ a ı). Por lo tanto, para establecer una relaci´n uno a uno entre las coordenadas cartesianas y las polares, debe o
  • 25. ´ 1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES 25 asignarse un s´lo valor de argumento a cada punto, por ejemplo de la siguiente manera: o Arg : C − {(0 0)} −→ R  y  − π + Arctan x < 0, y < 0   x −π   x = 0, y < 0      2  y (x y) −→ Arg(z) = Arctan x > 0, ∀ y  x π  x = 0, y > 0    2   π + Arctan y    x < 0, y 0 x Arg(z) := Determinaci´n principal del argumento de z o valor principal. o Esta determinaci´n llamada principal del argumento de z se identifica por el s´ o ımbolo Arg(z), encabe- zado con A (may´ scula). u Observaci´n 1: La funci´n o o Arctan : R −→ (−π/2 , π/2) x −→ Arctan(x) escrita con A may´ scula, es por convenci´n la determinaci´n principal de la funci´n multiforme (que por u o o o lo tanto no es una aplicaci´n) {x , arctan(x)}, relaci´n inversa de la tangente: o o tan : R − {(n + 1/2)π : n ∈ Z} −→ R x −→ tan(x) En resumen, la transformaci´n biyectiva o f: C −→ C   x2 + y 2 , Arg(z) z = (0 0) (x y) −→ (r θ) =  (0 , θ ) 1 z = (0 0) , θ1 ∈ R es una de las posibilidades que define al nuevo par (r θ), cuyos elementos son las coordenadas polares de un punto del plano complejo. A su vez, la funci´n inversa de F es: o F −1 : C −→ C (r θ) −→ (x y) = (r cos θ , r sen θ) a partir de la cual puede deducirse la forma bin´mica a: o x + iy = r (cos θ + i sen θ) llamada forma polar o forma trigonom´trica del n´ mero complejo. e u Observaci´n 2: Para definir las coordenadas polares, podr´ elegirse cualquier otra determinaci´n del o ıa o argumento de z, en vez de la principal, obteni´ndose resultados equivalentes. e Las diferentes determinaciones tienen tambi´n su utilidad, como por ejemplo para el c´lculo de logaritmos e a y potencias complejas.
  • 26. 26 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS 1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia A partir de la igualdad entre pares ordenados se obtiene: r = r′ (r θ) = (r′ θ′ ) ⇔ θ = θ′ Es decir, la igualdad de dos n´ meros complejos es condici´n necesaria y suficiente de la igualdad de sus u o respectivos m´dulos y argumentos. o Un concepto que no debe confundirse con el de igualdad es el de congruencia. Se dice que dos complejos expresados en forma polar, son congruentes; con distinta o igual determinaci´n o del argumento, cuando son correspondientes de un mismo punto del plano complejo. Esto significa: (r θ) (r′ θ′ ) := r(cos θ + i sen θ) = r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) (r θ) (r′ θ′ ) := (r θ) es congruente con (r′ θ′ ) La congruencia para z = (0 0) se reduce a la igualdad s´lo en el caso de la igualdad de los argumentos. o Es decir que dos complejos expresados en forma polar con m´dulo no nulo (z = (0 0)) son congruentes, o cuando tienen los m´dulos iguales y sus argumentos difieren en una cantidad entera de 2π. o En el caso de que el m´dulo sea nulo, ´sta es condici´n suficiente para la igualdad de dos complejos; o e o con independencia del valor de los respectivos argumentos. r=0 r = r′ (r θ) (r′ θ′ ) ⇔ θ = θ′ r=0 (r θ) (r′ θ′ ) ⇔ r = r′ = 0 Observaci´n 3: No debe perderse de vista la diferencia existente entre la igualdad y la congruencia. En o algunos casos, donde debe destacarse esta diferencia, se han creado artificios especiales. Por ejemplo, puede suponerse que al plano polar de los complejos (r θ) se le hace corresponder uno o m´s planos a cartesianos (uno para cada determinaci´n) que geom´tricamente se tienen por superpuestos. Estos planos o e se llaman de Riemann, y son una forma de establecer una correspondencia biun´ ıvoca aplicable para trabajar con funciones multiformes. 1.10.3. Producto en forma polar. Cociente Una primera aplicaci´n donde la forma polar es particularmente eficaz es en el producto complejo: o r(cos θ + i sen θ) · r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) = r r′ ((cos θ cos θ′ − sen θ sen θ′ ) + i(cos θ sen θ′ + cos θ′ sen θ)) = r r′ (cos(θ + θ′ ) + i sen(θ + θ′ )) donde se comprueba que: I. El m´dulo del producto es igual al producto de los m´dulos, teorema ya demostrado en o o 1.6.3 II. Una de las determinaciones del argumento del producto es igual a la suma de los argu- mentos de los factores
  • 27. ´ 1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES 27 Aqu´ la suma de los argumentos puede cambiar la determinaci´n elegida, pero no afecta los resultados ı, o en cartesianas. esto es un ejemplo de la ventaja de la creaci´n de artificios como los mencionados en la o Observaci´n 3 de este apartado. o En rigor, si se deseara mantener la determinaci´n principal para el argumento del producto, se debe o convenir:  θ + θ′ − π θ + θ′ > π   Arg(z · z ′ ) = θ + θ′ π θ + θ′ > −π θ + θ′ + π θ + θ′  −π  La forma polar tambi´n es de sencilla aplicaci´n para la obtenci´n del cociente de dos complejos, con e o o divisor no nulo, donde se generaliza la expresi´n del producto o r′ = 0 r(cos θ + i sen θ) r = ′ (cos(θ − θ′ ) + i sen(θ − θ′ )) r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) r 1.10.4. Potencia en forma polar. Radicaci´n o En el caso de potencia natural, aplicando la f´rmula del producto y el principio de inducci´n completa, o o se obtiene: (r(cos θ + i sen θ))n = rn (cos nθ + i sen nθ) expresi´n que puede generalizarse para todo n entero si se conviene: o 1 z −1 := z La f´rmula de la potencia se puede emplear tambi´n para la extracci´n de la ra´ en´sima de un o e o ız e complejo no nulo. En efecto, si un complejo r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) es ra´ en´sima de otro complejo r(cos θ + i sen θ), estos ız e satisfacen: (r′ (cos θ′ + i sen θ′ ))n = r(cos θ + i sen θ) equivalente a un sistema en coordenadas polares, cuya soluci´n no es unica para n > 1 pues existen o ´ diversas determinaciones que lo satisfacen y que originan ra´ diferentes: ıces r′n = r nθ′ = θ + 2kπ k∈Z se sigue r′ = r1/n θ+2kπ θ′ = n a partir de la cual se obtiene la expresi´n de la ra´ o ız, θ + 2kπ θ + 2kπ (r(cos θ + i sen θ))1/n = r1/n (cos + i sen ) n n la cual produce n´ meros complejos diferentes para todo k ∈ < 0, n − 1 >. u Existen, por lo tanto, n ra´ ıces diferentes para un complejo no nulo; y son solamente n como se puede comprobar analizando su congruencia. La ultima de las f´rmulas halladas, permite generalizar la expresi´n de la potencia, ahora tambi´n para ´ o o e exponentes fraccionarios.
  • 28. 28 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS 1.10.5. Interpretaci´n geom´trica de las operaciones complejas o e Suma y diferencia Dados dos complejos z y z ′ , representados como segmentos orientados, su suma z + z ′ est´ represen- a tada por la diagonal del paralelogramo de acuerdo con el diagrama anexo. La suma geom´trica de dos n´ meros complejos se reduce entonces a la ley del paralelogramo. e u La representaci´n de los complejos por medio de segmentos orientados permite observar claramente o su caracter´ ıstica de estructura vectorial. El significado geom´trico de la diferencia de dos complejos es f´cil de interpretar a partir de la suma. e a En el segundo gr´fico se ha representado esta operaci´n. a o Un buen ejercicio es analizar los significados geom´tricos del neutro de la suma y del opuesto de un e complejo. y z y z ′ z+z z′ y′ z′ z′ − z z x ′ y z x x x Figura 1.3: Representaci´n o Figura 1.4: Representaci´n o geom´trica de la suma de dos e geom´trica de la diferencia de dos e complejos. complejos. Producto y cociente El producto dedos complejos se puede representar recordando que: a. El m´dulo del producto es el producto del m´dulo de los factores. o o b. El argumento del producto es la suma del argumento de los factores. A partir de esta construcci´n se obtiene tambi´n por analog´ la representaci´n del cociente. o e ıa o Un caso particular de inter´s es la construcci´n de la rec´ e o ıproca de un complejo no nulo, que se deja a cargo del lector.
  • 29. ´ 1.11. FORMA EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO 29 y z z′ α ′ rr z′ θ z θ′ r θ α 1 x Figura 1.5: Representaci´n geom´trica del producto de dos complejos. o e Potencia y radicaci´n entera o La representaci´n gr´fica de la potencia es simplemente una aplicaci´n reiterada de la realizada para o a o el producto. Es de mayor inter´s el an´lisis de la radicaci´n. e a o Las n ra´ en´simas no congruentes de un complejo (r θ) tienen: ıces e a. M´dulo: r1/n , igual para todas las ra´ o ıces; lo que significa que se hallan sobre una circunfe- rencia de radio r1/n . θ+2kπ b. Argumento: n k ∈< 0, n − 1 >. Una ra´ tiene argumento θ/n, el resto se ubica sobre la ız circunferencia en forma sucesiva con intervalos 2π/n. En la figura 1.6 se han representado a t´ ıtulo de ejemplo las ra´ quintas de un complejo (r θ) ıces z1 (r θ) z0 2π/5 2π/5 r θ z2 θ/5 x r 1/n z4 z3 ıces quintas de un n´mero complejo z. Figura 1.6: Ra´ u 1.11. Forma exponencial de un n´ mero complejo u Una nueva expresi´n de la forma polar, llamada forma exponencial, tiene gran importancia debido a o la simplicidad operativa que entra˜ a su empleo. n Ejemplo de ello es que toda la trigonometr´ puede deducirse en forma inmediata de las propiedades de ıa la forma exponencial. Otra aplicaci´n para destacar es la definici´n del logaritmo y de la potencia en el o o campo complejo, que se hace por medio de dicha forma exponencial.
  • 30. 30 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS 1.11.1. Expresi´n de la forma exponencial o La base de la forma es la f´rmula de Euler: o eiθ = cos θ + i sen θ la cual permite introducir a la forma exponencial de un n´ mero complejo como: u r eiθ := r(cos θ + i sen θ) r eiθ := forma exponencial de un n´ mero complejo u La validez de esta expresi´n se reduce a la discusi´n de la f´rmula de Euler, que se hace a continuaci´n. o o o o 1.11.2. Definici´n de la funci´n ez o o Los caminos para llegar a la f´rmula de Euler son dos, basados ambos en la definici´n de la funci´n o o o compleja ez Primer m´todo de definici´n de ez : e o El primer m´todo consiste en la definici´n de la funci´n ez por medio de una serie: e o o +∞ zk z z2 zn ez := =1+ + + ··· + + ... k! 1! 2! n! k=0 que se estudiar´ en el cap´ a ıtulo espec´ ıfico. Esta serie es entera, es decir convergente para cualquier com- plejo z. A partir de la definici´n se pueden verificar las propiedades: o z = x =⇒ ez = ex que muestra como la exponencial compleja se reduce a la real cuando z tambi´n lo es. Adem´s e a ′ ′ ∀ (z z ′ ) =⇒ ez+z = ez · ez que es la propiedad fundamental de la funci´n ez , llamada ley de los exponentes, que tambi´n es cumplida o e en el campo real por la funci´n ex . o Ambas propiedades muestran como con esta definici´n de ez se obtiene un extensi´n de la funci´n o o o real ex al campo complejo, manteni´ndose sus principales propiedades. e Una tercera propiedad que se obtiene de la serie, tomando z = x + iy y recordando los desarrollos de las funciones reales cos y y sen y es la f´rmula de Euler o ∀ y =⇒ eiy = cos y + i sen y Observaci´n 1: La introducci´n de la f´rmula de Euler para obtener la forma exponencial, se justifica por o o o la gran simplicidad que implica su empleo en el producto complejo; donde se reduce dicha operaci´n al o a ´lgebra de los exponentes: ′ r(cos θ + i sen θ) · r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) = r eiθ ·r′ eiθ ′ = r r′ ei(θ+θ ) = r r′ (cos(θ + θ′ ) + i sen(θ + θ′ ))
  • 31. ´ 1.11. FORMA EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO 31 Esta es la raz´n del porqu´ adelantar la definici´n de ez como una serie. o e o No debe pensarse por ello, sin embargo, que se ha ca´ en un c´ ıdo ırculo vicioso, porque los desarrollos posteriores para llegar a dicha serie no son afectados por el uso que se har´ de la forma exponencial. a Esta forma puede ser considerada sencillamente como una expresi´n formal (una forma de escribir) de la o forma polar, para ser usada como regla mnemot´cnica en el producto de dos complejos. e El segundo m´todo se basa en un enfoque de esta ´ e ındole para definir la f´rmula de Euler. o Segundo m´todo de definici´n de ez : e o Las dificultades de la introducci´n anticipada de una serie para definir ez se obvian con una definici´n o o de tipo formal como la que sigue: ez := ex (cos y + i sen y) Las propiedades principales de ez deducidas anteriormente tambi´n se obtienen como corolario de esta e definici´n: o z=x =⇒ ez = ex ′ ′ ∀ (z z ′ ) =⇒ ez+z = ez · ez ∀y =⇒ eiy = cos y + i sen y y adem´s es en el cap´ a ıtulo de series se podr´ demostrar que: a z z2 zn ez = 1 + + + ···+ + ... 1! 2! n! Observaci´n 2: Hay otro razonamiento, de tipo heur´ o ıstico, para indicar la razonabilidad de este segundo m´todo de definici´n de ez . Si se desea hacer una extensi´n de la funci´n real ez al campo complejo de e o o o modo tal que se mantengan las siguientes propiedades: a. Para z real la funci´n ez se reduce a ex . o b. Se mantiene la validez de la ley de los exponentes. c. Se mantienen las propiedades formales de la derivaci´n del campo real en el campo complejo. o el problema se reduce a la definici´n de la exponencial eiy (f´rmula de Euler) por ser: o o ex+iy = ex · eiy de acuerdo con la ley de los exponentes y sabiendo que ex es la funci´n de variable real conocida. o Por ser eiy un n´ mero complejo se tiene: u eiy = u(y) + iv(y) derivando como en el campo real, i eiy = u′ (y) + iv ′ (y) − eiy = u′′ (y) + iv ′′ (y) obteni´ndose entonces el sistema e u′′ + u = 0 v ′′ + v = 0
  • 32. 32 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS Como para y = 0 ez se reduce a ex , y aplicando la ley de los exponentes ex+i0 = ex ei 0 = 1 de donde se deducen las siguientes condiciones iniciales, u(0) = 1 u′ (0) = 0 v(0) = 0 v ′ (0) = 1 que aseguran al sistema de ecuaciones anterior a una soluci´n unica: o ´ u(y) = cos y v(y) = sen y Este razonamiento por supuesto no es una demostraci´n, sino es una orientaci´n a la definici´n de la o o o exponencial eiy . 1.11.3. El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma expo- nencial. Empleando la forma exponencial; el producto, el cociente y la potencia entera en el conjunto de los complejos, adquieren su expresi´n m´s reducida. o a ′ ′ r eiθ ·r′ eiθ = r r′ ei(θ+θ ) r eiθ r ′ ′ eiθ ′ = ′ · ei(θ−θ ) (r′ = 0) r r (r eiθ )n = rn ei nθ (r eiθ ) n = r n ei( ) 1 1 θ+2kπ n f´rmulas que se verifican f´cilmente por su reducci´n a la forma polar y que son ejemplo de la facilidad o a o de operaci´n que entra˜ a la forma exponencial. o n 1.12. Conjugado de un complejo Se define como conjugado de un n´ mero complejo z a otro n´ mero complejo, simbolizado por z, de u u igual parte real y parte imaginaria opuesta. z := (x, −y) z := Conjugado de z La funci´n conjugado de z, definida por: o − : C −→ C z −→ z = (x, −y) = x − iy es biyectiva y adem´s cumple a I. z1 + z2 = z1 + z2
  • 33. 1.12. CONJUGADO DE UN COMPLEJO 33 II. z1 · z2 = z1 · z2 con lo cual establece un isomorfismo entre el cuerpo (C + ·) y s´ mismo. ı Otras propiedades para destacar del conjugado de un complejo son: III. z = z IV. z + z = 2x V. z − z = i 2x VI. z z = |z|2 z′ z ′ ·z VII. z = |z|2 n VIII. Pn (x) = k=0 ak z k : ak ∈ R =⇒ Pn (z) = Pn (z) Gr´ficamente, el conjugado de un complejo z es el sim´trico respecto del eje x. a e Y z r y x X r −y z ¯ Figura 1.7: Conjugado de un n´mero complejo. u En coordenadas polares, el conjugado es el complejo de igual m´dulo y argumento opuesto. Por lo o tanto para la forma exponencial resulta: z = r eiθ ⇔ z = r e−iθ La noci´n de complejo conjugado aparece en la resoluci´n de ecuaciones algebraicas con coeficientes o o reales, donde las ra´ o son reales, o son complejas conjugadas. ıces Adem´s de esta aplicaci´n, el conjugado se introduce por la comodidad que implica su empleo en las a o operaciones de producto y cociente de acuerdo a las propiedades VI y VII.
  • 34. 34 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
  • 35. Cap´ ıtulo 2 Elementos de Topolog´ en el Campo ıa Complejo Como ha sido desarrollado en el p´rrafo 1.6, el conjunto de los complejos C conforma estructura de a espacio m´trico. e M´s en particular, es un espacio eucl´ a ıdeo; al definirse sobre ´l una distancia de acuerdo con la expresi´n e o pitag´rica que caracteriza dichos espacios. o De este hecho se arrastra entonces que en C puede construirse una estructura topol´gica, que acoplada o a la caracter´ ıstica de cuerpo, permite llegar al desarrollo de los conceptos de continuidad y diferencial. Es conveniente, por lo tanto, analizar la aplicaci´n de los elementos b´sicos de topolog´ al campo o a ıa complejo. 2.1. Definici´n de bola o En un espacio m´trico general se define como bola de centro c y radio r, cuyo s´ e ımbolo es B(c r), a: r B(c r) := {x : d(x c) < r , r > 0} c B(c r) B(c r) := Bola de centro c y radio r d(x c) := Distancia del elemento x al elemento c Figura 2.1: Bola de centro c y ra- dio r. En particular, en el campo complejo B(c r) = {z : |z − c| < r , r > 0} se llama tambi´n disco, y desde el punto de vista geom´trico representa un c´ e e ırculo de centro en el complejo c y radio r, sin la circunferencia |z − c| = r. Observaci´n: Conviene se˜ alar que en la definici´n de bola (tambi´n llamada bola abierta) es indispensable o n o e que las desigualdades sean estrictas (r > 0 y d(x c) < r), porque en caso contrario carecer´ de sentido ıan las definiciones posteriores de puntos interiores, exteriores y fronteras, como as´ tambi´n las definiciones ı e de puntos de acumulaci´n y aislados, con todas las consecuencias resultantes. o 35
  • 36. 36 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´ EN EL CAMPO COMPLEJO IA De la definici´n de bola se implica inmediatamente que su centro siempre le pertenece y por lo tanto o ella es un conjunto no vac´ ıo. ∃ B(c r) =⇒ c ∈ B(c r) =⇒ B(c r) = ∅ 2.2. Entorno de un punto c Se llama entorno de un punto c a todo conjunto del espacio m´trico (y en particular C) que contenga e una bola de centro c. r c U (c) ∈ Entorno de c := ∃ B(c r) : B(c r) ⊂ U (c) U (c) Figura 2.2: Entorno de un punto c. De esta definici´n se extraen dos consecuencias inmediatas: o a. Toda bola B(c r) es un entorno de c. ∃ B(c r) =⇒ B(c r) ∈ Entorno de c b. La existencia de un entorno de c es condici´n necesaria y suficiente de la existencia de una o bola de centro c. ∃ U (c) ⇔ ∃ B(c r) 2.3. Vecinal de un punto c Se llama vecinal (o tambi´n entorno reducido) de un punto c, en un espacio m´trico (en particular e e C), a todo entorno de c al cual se le excluye el mismo punto c.
  • 37. ´ 2.4. CLASIFICACION DE PUNTOS: INTERIORES, EXTERIORES Y FRONTERA 37 r V (c) := U (c) C ◦ {c} c V (c) := Vecinal de c C ◦ {c} := Conjunto complementario de {c} V (c) Figura 2.3: Vecinal de un punto c. Observaci´n 1: Es usual representar a A o C ◦ {c}, por la notaci´n de conjuntos o A − B := A C ◦ {c} con ella la notaci´n de vecinal se expresar´ o ıa: V (c) = U (c) − {c} Observaci´n 2: Se ha preferido el empleo del t´rmino vecinal (del franc´s “voisinage”), en vez del m´s o e e a com´ n entorno reducido, porque este ultimo puede inducir a error. u ´ En efecto, cuando a un sustantivo se agrega un adjetivo, se establece una subclase particular de la clase general definida por dicho sustantivo. Ejemplo: Conjunto definido por el sustantivo: hombre. Subconjunto definido por el sustantivo y el adjetivo: hombres altos. Sin embargo, este no es el caso de los entornos reducidos, pues no son entornos. Observaci´n 3: A diferencia de los entornos que nunca pueden ser vac´ los vecinales si pueden serlo o ıos, 2.4. Clasificaci´n de puntos: Interiores, exteriores y frontera o Los puntos de un espacio m´trico E pueden ser clasificados como: puntos interiores, puntos exteriores e o puntos frontera de un conjunto A (incluido en E) seg´ n la relaci´n de inclusi´n que puede establecerse u o o entre los entornos del punto y el conjunto A. Las definiciones son las siguientes: Un punto se dice que es interior a un conjunto, cuando existe un entorno suyo que es parte del con- junto. Es decir, existe un entorno del punto en el cual todos sus puntos pertenecen al conjunto. Un punto se dice que es exterior a un conjunto cuando existe un entorno suyo, que es parte del com- plemento de dicho conjunto en el espacio m´trico considerado. Es decir, existe un entorno del punto que e no contiene ning´ n punto del conjunto. u Un punto se dice que es frontera de un conjunto (al cual puede o no pertenecer) cuando no existe ning´ n entorno del punto incluido totalmente en el conjunto o en su complemento. Esto quiere decir que u
  • 38. 38 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´ EN EL CAMPO COMPLEJO IA en todo entorno de un punto frontera, hay puntos del conjunto y puntos del complemento del conjunto. (E d) ∈ Estr. Espacio M´trico e A⊂E a ∈ Punto interior de A := ∃ U (a) : U (a) ⊂ A a ∈ Punto exterior de A := ∃ U (a) : U (a) ⊂ C ◦ A U (a) ⊂ A a ∈ Punto frontera de A := ∄ U (a) : U (a) ⊂ C ◦ A En el esquema adjunto se han representado ejemplos A de los distintos tipos de puntos en el plano complejo. Debe observarse que el conjunto A (representado en color) consta de tres “partes”, una de ellas reducida a un punto. Pt. frontera Los centros de los entornos en los puntos considera- dos se han representado con punto negro en el caso de que pertenezcan a A, y con punto rojo en caso contrario. Pt. interior Pt. exterior Figura 2.4: Clasificaci´n de puntos en un espacio m´tri- o e co. Observaci´n 1: La noci´n de interior establecida a trav´s de la definici´n de punto interior, es relativa al o o e o espacio dentro del cual se define. Por ejemplo, el centro de un c´ ırculo plano (conjunto A) es un punto interior del mismo si se toma como espacio m´trico de referencia al plano mencionado, pero no es un e punto interior del conjunto A si se toma como espacio de referencia a R3 . Observaci´n 2: Conviene remarcar que un punto frontera puede o no pertenecer al conjunto del cual es o frontera. La clasificaci´n de puntos introducida permite ahora definir: o A los conjuntos formados por los puntos interiores, exteriores y frontera, se los llama respectivamente,
  • 39. 2.5. ADHERENCIA 39 Interior, Exterior y Frontera del conjunto A. IN T (A) := {a : a ∈ Pt. interior a A} EXT (A) := {a : a ∈ Pt. exterior a A} F R(A) := {a : a ∈ Pt. frontera a A} IN T (A) := Conjunto de puntos interiores a A EXT (A) := Conjunto de puntos exteriores a A F R(A) := Conjunto de puntos frontera a A Estos tres conjuntos son una partici´n del conjunto E porque: o  IN T (A) ∩ EXT (A) = ∅    EXT (A) ∩  F R(A) = ∅  F R(A)   ∩ IN T (A) = ∅ IN T (A) ∪ EXT (A) ∪ F R(a) = E  De esta manera se comprueba que la clasificaci´n de puntos de un espacio m´trico en interiores, exteriores o e y frontera, es exhaustiva. Las propiedades resultantes de las anteriores definiciones son: I. IN T (A) ⊂ A (a ∈ Pt. int. A =⇒ a ∈ A) II. EXT (A) = IN T (C ◦ A) III. EXT (A) ⊂ C ◦ A IV. A C ◦ (IN T (A)) = F R(A) a∈A =⇒ a ∈ Pt. fr. A a ∈ Pt. int. A / V. F R(A) = F R(C ◦ A) VI. F R(E) = ∅ F R(∅) = ∅ 2.5. Adherencia Un elemento de un espacio m´trico E se dice que es punto de adherencia de un conjunto A ⊂ E e cuando cualquier entorno suyo contiene puntos del conjunto A. (E d) ∈ Estr. Espacio M´trico e A⊂E a ∈ Punto de adherencia de A := ∀ U (a) =⇒ U (a) A=∅ Al conjunto de los puntos de adherencia de un conjunto A se lo llama Adherencia de A. ADH(A) := {a : a ∈ Pt. de adherencia de A} ADH(A) := Conjunto de los puntos de adherencia de A
  • 40. 40 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´ EN EL CAMPO COMPLEJO IA Algunas propiedades que se pueden extraer de las definiciones son: I. A ⊂ ADH(a) II. IN T (A) ⊂ ADH(A) III. F R(A) ⊂ ADH(A) IV. EXT (A) ADH(A) = ∅ V. EXT (A) ADH(A) = E VI. ADH(A) = IN T (A) F R(A) VII. F R(A) = F R(ADH(A)) VIII. F R(A) = ADH(A) ADH(C ◦ A) IX. ADH(A) = ADH(ADH(A)) X. ADH(E) = E ADH(∅) = ∅ XI. A ⊂ B =⇒ ADH(A) ⊂ ADH(B) XII. ADH(A B) = ADH(A) ADH(B) XIII. ADH(A B) = ADH(A) ADH(B) 2.6. Clasificaci´n de puntos de adherencia o Los puntos de adherencia de un conjunto A ⊂ E se clasifican en dos tipos: puntos de acumulaci´n y o puntos aislados. Estos conceptos tienen particular importancia por su aplicaci´n en la definici´n de l´ o o ımite y conver- gencia, como as´ en otros temas que se tratar´n en el texto. ı a Esta segunda clasificaci´n para los puntos de un espacio m´trico (reducida a los puntos de adherencia) o e se caracteriza porque se realiza de acuerdo a la relaci´n de inclusi´n que puede establecerse entre los o o vecinales de un punto y el conjunto A. La clasificaci´n realizada en 2.4 ten´ en cuenta los entornos de un punto en vez de los vecinales. o ıa Un punto se dice que es de acumulaci´n de un conjunto A, cuando la intersecci´n de cualquier vecinal o o suyo con el conjunto A no es vac´ Es decir, en todo vecinal del punto de acumulaci´n hay puntos ıa. o pertenecientes al conjunto A. Es claro que todo punto de acumulaci´n es de adherencia. o Un punto perteneciente al conjunto A se dice que es aislado cuando existe un vecinal suyo cuya intersecci´n con A es vac´ Esto significa que existe un vecinal del punto que no contiene ning´ n punto o ıa. u del conjunto A. (E d) ∈ Estr. Espacio M´trico e A⊂E a ∈ Pt. de acumulaci´n de A := o ∀ V (a) =⇒ V (a) ∩ A = ∅ a∈A a ∈ Pt. aislado de A := ∃ V (a) : V (a) ∩ A = ∅
  • 41. ´ 2.6. CLASIFICACION DE PUNTOS DE ADHERENCIA 41 Observaci´n 1: La noci´n de punto de acumulaci´n o o o nos es relativa al espacio dentro del cual se define (comparar con Observaci´n 1 del punto 2.4) o A Pt. aislado Un punto que tiene esa cualidad, la mantiene si se extiende el espacio a un superconjunto del primero. Las definiciones que se han introducido de punto de acumulaci´n y punto aislado permiten ahora crear o Pt. acumulaci´n o dos nuevos conjuntos: Figura 2.5: Puntos aislados y puntos de acu- mulaci´n del conjunto A. o ACU M (A) := {a : a ∈ Pt. acumulaci´n de A} o AISL(A) := {a : a ∈ Pt. aislado de A} ACU M (A) := Conjunto de puntos de acumulaci´n de A o AISL(A) := Conjunto de puntos aislados de A Observaci´n 2: El conjunto de puntos de acumulaci´n de A suele llamarse tambi´n derivado de A, o o o e tambi´n clausura de A. e Las propiedades que se desprenden de las definiciones son: I. IN T (A) ⊂ ACU M (A) II. EXT (A) ⊂ ACU M (C ◦ A) III. EXT (A) ACU M (A) = ∅ IV. ACU M (A) ⊂ ADH(A) V. AISL(A) ⊂ F R(A) VI. AISL(A) ⊂ ADH(A) VII. ACU M (A) AISL(A) = ∅ VIII. ACU M (A) AISL(A) = ADH(A) IX. ACU M (E) = E X. ACU M (∅) = ∅ XI. AISL(E) = ∅ XII. AISL(∅) = ∅ Las propiedades VII a VIII aseguran que los conjuntos ACU M (A) y AISL(A) son una partici´n del o conjunto ADH(A). Esto permite escribir el siguiente teorema: a ∈ Pt. adherencia de A a ∈ Pt. acumulaci´n de A ⇔ a ∈ Pt. aislado de A o / De esta manera se verifica que la clasificaci´n de puntos de la adherencia en acumulaci´n y aislados es o o exhaustiva. Adem´s de esto, no debe olvidarse que los puntos de adherencia se pueden dividir en interiores a y frontera.
  • 42. 42 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´ EN EL CAMPO COMPLEJO IA 2.7. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados La condici´n de abierto y/o cerrado de un conjunto definido en un espacio m´trico, se introduce para o e establecer una caracter´ ıstica de su frontera. En el primer caso, ning´ n punto de la frontera pertenece al u conjunto, en el segundo caso le pertenecen todos. Se define entonces: Un conjunto se llama abierto si ning´ n punto de su frontera le pertenece. u Un conjunto se llama cerrado si todos los puntos de su frontera le pertenecen. A ∈ Ab := F R(A) ∩ A = ∅ A ∈ Cr := F R(A) ∩ A = F R(A) A ∈ Ab := A es un conjunto abierto A ∈ Cr := A es un conjunto cerrado Observaci´n 1: Esta clasificaci´n no es exhaustiva, ni o o debe pensarse que ambas caracter´ ısticas no pueden cumplirse simult´neamente. a Abierto Cerrado En efecto, si un conjunto no es abierto, no significa que sea cerrado, y viceversa, A ∈ Ab / A ∈ Cr No abierto y no cerrado A ∈ Cr / A ∈ Ab Figura 2.6: Clasificaci´n de conjuntos seg´n contengan o u o no a sus fronteras. Basta analizar para ello que si la frontera est´ compuesta por puntos del conjunto y por puntos del a complemento, no es ni abierto ni cerrado el conjunto en cuesti´n. o En la figura 2.6 se muestra un ejemplo de conjunto abierto, otro cerrado y un tercero que no es ni lo uno ni lo otro. Por otro lado, existen conjuntos que son abiertos y cerrados simult´neamente. Son los que no tienen a frontera: el universo E y el conjunto vac´ ∅. ıo Observaci´n 2: Los conceptos de conjunto abierto y cerrado dependen del espacio m´trico E, pues de o e acuerdo con la Observaci´n 1 realizada en 2.4 la noci´n de interior es relativa al espacio de referencia E. o o Por ejemplo, en una extensi´n del espacio E, un punto interior se puede transformar en frontera, seg´ n o u el caso mencionado en 2.4. Observaci´n 3: La terminolog´ usada por los textos en toda esta tem´tica es todav´ muy diversificada. o ıa a ıa En cada caso se aconseja precisarla para evitar confusiones. Un sin´nimo de conjunto cerrado es conjunto o completo.
  • 43. 2.8. CONJUNTO ACOTADO Y CONJUNTO COMPACTO 43 Algunos teoremas que el lector puede demostrar como ejercicio son: A ∈ Ab ⇔ A = IN T (A) ⇔ F R(A) ⊂ C ◦ A A ∈ Cr ⇔ A = ADH(A) ⇔ A = ACU M (A) ⇔ F R(A) ⊂ A A ∈ Ab =⇒ A ∪ B ∈ Ab B ∈ Ab =⇒ A ∩ B ∈ Ab A ∈ Cr =⇒ A ∪ B ∈ Cr B ∈ Cr =⇒ A ∩ B ∈ Cr A ∈ Ab ⇔ C ◦ A ∈ Cr Es interesante ver tambi´n como se caracterizan, de acuerdo con las definiciones de conjunto abierto e y cerrado, algunos de los conjuntos creados en los p´rrafos precedentes a B(c r) ∈ Ab IN T (A) ∈ Ab EXT (A) ∈ Ab F R(A) ∈ Cr ADH(A) ∈ Cr ACU M (A) ∈ Cr AISL(A ∈ Cr Observaci´n 4: Como se ha visto, toda bola de un espacio m´trico es un conjunto abierto. Esta es la raz´n o e o por la cual tambi´n suele designarse como bola abierta. e 2.8. Conjunto acotado y conjunto compacto Un conjunto de un espacio m´trico se llama acotado si existe una bola B(c r), de radio finito, que lo e contenga. Visto de otra manera, un conjunto es acotado cuando el supremo de la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos est´ acotado. a r<k A ∈ Acotado := ∃ B(c r) : A ⊂ B(c r) A ∈ Acotado ⇔ sup[ d(z z ′ ) ] < r : (z z ′ ) ∈ A2
  • 44. 44 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´ EN EL CAMPO COMPLEJO IA Los conjuntos cerrados y acotados juegan un papel muy importante por sus propiedades particulares. Por esta raz´n se los designa con el nombre de compactos. o A ∈ Cr A ∈ Compacto := A ∈ Acot Si un conjunto es compacto y est´ incluido en un abierto, entonces para todo punto del compacto a puede construirse una bola con centro en ese punto y que est´ contenida en el abierto e  A ∈ Compacto  D ∈ Ab =⇒ ∀ x ∈ A ∃ B(x r) ⊂ D  A⊂D  Este teorema no es cierto para los conjuntos no acotados y tampoco para los conjuntos que no son cerrados. En los conjuntos compactos se pueden generalizar los teoremas de funciones continuas de una variable real definidas sobre un intervalo determinado, a funciones reales de varas variables y continuas, definidas sobre un compacto. Por ejemplo, una funci´n f real y continua definida sobre un compacto A cumple: o f est´ acotada a f alcanza su m´ximo y su m´ a ınimo absoluto en el compacto A. f es uniformemente continua en A. 2.9. Infinito en el Campo Complejo 2.9.1. Concepto de punto infinito en C Para analizar el comportamiento de funciones de variable compleja en el l´ ımite, para valores no aco- tados de la variable, resulta conveniente introducir dos nuevas definiciones: el infinito complejo y el entorno de infinito. r Con ellas se pueden generalizar, en primer lugar, |z| > r las definiciones conjuntistas de l´ ımite y continui- dad, y posteriormente se aprovechan tambi´n para e la extensi´n de otros conceptos de variable compleja. o Figura 2.7: |z| > r. La base del razonamiento para crear los nuevos conceptos, es que el conjunto {z : |z| > r} puede ser asimilado y tratado como una bola del conjunto C por medio del artificio de crear un nuevo ente llamado infinito complejo o punto infinito, que no es un elemento de C.
  • 45. 2.9. INFINITO EN EL CAMPO COMPLEJO 45 Uno de los medios para definir el punto infinito es a trav´s de la funci´n inversi´n: e o o inv : C −{0} −→ C −{0} z −→ 1/z definida sobre todo el campo complejo excepto el origen de coordenadas. Esta funci´n es una biyecci´n de C −{0} a C −{0}, y tiene la propiedad de transformar a: o o C´ ırculos del plano z en c´ ırculos del plano w cuando el origen de coordenadas es exterior al primero. C´ ırculos del plano z en conjuntos exteriores a un c´ ırculo en el plano w, cuando el origen de coorde- nadas es interior al primero. En la figura 2.8 se han representado dos ejemplos de la transformaci´n que produce la inversi´n. o o ırculo |z| < a se convierte en el conjunto |z| > 1/a, En particular, el segundo caso muestra como el c´ por supuesto que hacemos excepci´n del origen. o A −→ A′ F R(A) −→ F R(A′ ) B −→ B ′
  • 46. 46 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´ EN EL CAMPO COMPLEJO IA y z v w A B x u B′ A′ y z v w |z| > 1/a |z| < a A B′ x u B A′ Figura 2.8: Diversos conjuntos transformados mediante la funci´n inversi´n. o o El an´lisis geom´trico indica que un medio de interpretar a |z| > r como un c´ a e ırculo (bola del plano complejo) es introduciendo dos definiciones: a. Se introduce un nuevo ente ideal, no representable, llamado punto infinito que es el correspondiente del origen de coordenadas a trav´s de la funci´n inversi´n. e o o b. Se considera que la parte “exterior”de un c´ ırculo es tambi´n un c´ e ırculo. De esta manera, la funci´n inversi´n se generaliza, pudiendo enunciarse entonces: “Todo c´ o o ırculo que no tiene por frontera el origen se transforma en otro c´ ırculo”. Adem´s, la inversi´n da el medio de reducir el estudio de las funciones para valores no acotados de la a o variable al entorno de 0. Desde el punto de los espacios m´tricos, la idea anterior significa una extensi´n de los conceptos de e o bola y de entorno para el campo complejo. El planteo anal´ ıtico es:
  • 47. 2.9. INFINITO EN EL CAMPO COMPLEJO 47 1o Se define un nuevo ente (que no es un elemento de C) simbolizado por ∞, y llamado punto infinito, de manera tal que generalice la inversi´n de la siguiente forma: o ∃∞ : Inv : C ∪ {∞} −→ C ∪ {∞}   1/z z = 0, z = ∞ z −→ ∞ z=0 0 z=∞  ∞ := Punto infinito o punto impropio Esta funci´n tambi´n es biyectiva o e 2o Se define bola de centro en ∞: B(∞ r) := {z : |z| > r} Con esta definici´n se extienden autom´ticamente los conceptos de entorno y de vecinal al punto o a infinito, siempre en el conjunto C ∪ {∞}. Cabe se˜ alar, sin embargo, que V (∞) est´ compuesto totalmente por puntos de C y por ende es n a una noci´n aplicable en ese conjunto. o 2.9.2. Conjunto Complejo Extendido Se llama conjunto complejo extendido a: ˆ C := C ∪ {∞} ˆ C := Conjunto complejo extendido ˆ Algebraicamente, se puede intentar extender las definiciones de suma y producto a C, postulando: ∀a∈C ∞+a= a+∞= ∞ z/∞ = 0 b=0 ∞·b= b·∞ =∞ z/0 = ∞ Quedan sin definir ∞ + ∞ y 0 · ∞, porque se vulnerar´ las leyes de la aritm´tica. De todos modos, ıan e ˆ estas definiciones son de relativa eficacia porque el conjunto C no alcanza ni la estructura de espacio vectorial ni la estructura de cuerpo. 2.9.3. Esfera de Riemann Los conceptos de punto infinito, conjunto complejo extendido, entorno y vecinal de infinito pueden ser concebidos a trav´s de una equivalencia que puede establecerse entre el plano complejo y una esfera e tangente a ´l, llamada esfera de Riemann. e La equivalencia se establece en lo siguientes t´rminos: e
  • 48. 48 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´ EN EL CAMPO COMPLEJO IA N Si se proyectan, con centro en N , los puntos de la es- Z y fera sobre el plano, se define una aplicaci´n biyectiva o entre los puntos de la esfera (exceptuando el punto N ) y los puntos del plano. x f : Esf −{N } −→ C Z −→ z z Figura 2.9: Esfera de Riemann. Esta aplicaci´n puede extenderse tambi´n a N si se define un nuevo elemento arbitrario que le corres- o e ponde, es decir, el punto infinito. ˆ f : Esf −→ C z Z=N Z −→ ∞ Z=N ısticas m´s destacadas de esta correspondencia son: Las caracter´ a I. La esfera tambi´n es un espacio m´trico, provisto de una distancia definida por la geod´sica entre e e e dos puntos (m´ ınima distancia). II. A circunferencias en el plano C le corresponden circunferencias sobre la esfera que no pasan por N . ˆ III. A un entorno del punto z del plano C, le corresponde un entorno del punto Z (aplicaci´n de z) de o la esfera de Riemann. N N y y x x Figura 2.10: Proyecci´n estereogr´fica de o a una circunferencia que no pasa por el origen Figura 2.11: Proyecci´n estereogr´fica de una circunfe- o a de coordenadas. rencia que pasa por el origen de coordenadas. Esta ultima es la propiedad m´s importante y se hace una de ella cuando se desea interpretar a un ´ a entorno del punto infinito a trav´s de la equivalencia plano complejo - esfera de Riemann. e En la figura 2.11 se muestra como un casquete esf´rico con centro en el punto N (bola del espacio e m´trico constituido por la esfera) se transforma en una bola del plano complejo con centro en el punto e infinito.
  • 49. 2.9. INFINITO EN EL CAMPO COMPLEJO 49 Si el casquete esf´rico no contiene a N se transforma en un c´ e ırculo plano. Observaci´n 1: La proyecci´n usada se llama estereogr´fica, y por esta raz´n a la esfera de Riemann se la o o a o suele llamar tambi´n esfera estereogr´fica. e a 2.9.4. Diversas acepciones de “infinito” La palabra “infinito”tiene una gran variedad de acepciones en el lenguaje matem´tico y en el lenguaje a corriente. El infinito complejo no debe ser confundido po lo tanto con otros significados dados de “infinito”. Algunos de los diferentes sentidos que se le atribuyen son: 1o Dado un conjunto D incluido en R, se dice que tiene cota superior k si: D⊂R k ∈ cota sup. D := ∃ k ∈ R : ∀ x ∈ D =⇒ x k Se dice que el conjunto D tiene extremo superior infinito cuando no est´ acotado. a Esta primera acepci´n de infinito se refiere a una propiedad de un conjunto real, la de no estar o acotado. Este concepto puede ser generalizado a cualquier conjunto ordenado y por lo tanto no puede serlo en el campo complejo. An´logamente, puede decirse que un conjunto D real tiene por extremo a inferior a menos infinito cuando no existe cota inferior. 2o Una segunda definici´n de infinito se emplea al agregar al conjunto de los reales des elementos o nuevos llamados m´s infinito (+∞ )y menos infinito (−∞), para conformar el conjunto de los a ˆ reales extendidos, simbolizado por R. ˆ Se establece convencionalmente la extensi´n de la suma y el producto a R. o ∀x∈R −∞ < x < +∞ ∀x∈R x + (+∞) = (+∞) + x = +∞ x + (−∞) = (−∞) + x = −∞ x − (+∞) = −(+∞) + x = −∞ x − (−∞) = −(−∞) + x = +∞ x x = =0 +∞ −∞ x>0 x · (+∞) = (+∞) · x = +∞ x · (−∞) = (−∞) · x = −∞ x<0 x · (+∞) = (+∞) · x = −∞ x · (−∞) = (−∞) · x = +∞ Quedan sin definir entre otros +∞ + (−∞) y 0 · (+∞). Esta interpretaci´n de “infinito”tiene un paralelo con la vista en 2.9.2 pero son concepciones dis- o ˆ tintas. Basta ver para ello que para pasar del C al C se crea un solo elemento, el infinito complejo, ˆ mientras que en el caso de extender R a R se crean dos: m´s infinito y menos infinito. a Tampoco en el caso de R ˆ se alcanza la estructura de cuerpo.
  • 50. 50 CAP´ ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´ EN EL CAMPO COMPLEJO IA 3o Un tercer empleo de la palabra infinito se hace en la frase “x tiende a +∞”, la cual no tiene de por s´ ning´ n significado particular. En el contexto de “f (x) tiende al l´ ı u ımite L cuando x tiende a +∞”quiere decir que los valores para los cuales se analiza la variable independiente, pertenecen a conjuntos del tipo x > k. Como corolario de ´ste p´rrafo se aconseja no usar desprejuiciadamente el t´rmino “infinito”, y es e a e conveniente precisar en cada caso su significado.
  • 51. Cap´ ıtulo 3 Funciones de Variable Compleja. Continuidad y L´ ımite 3.1. Funciones de variable compleja Se llama funci´n de variable compleja a una aplicaci´n cuyo dominio D y rango R son subconjuntos o o de C. La notaci´n habitual para este tipo de funciones es z = (x y) para representar a un elemento de D y o w = (u v) para un elemento de R.  D ⊂ C   R ⊂ C  f ∈ func. var. compleja := f :   D −→ R  z = (x y) −→ w = (u v) = f (z)  Se desprende de la definici´n que u y v, partes real e imaginaria de w, son sendas funciones reales de o dos variables. f: z −→ f (z) = u(x y) + i v(x y) Observaci´n 1: Para designar a las funciones de variable compleja es usual tambi´n emplear el t´rmino o e e “funci´n compleja”. o 3.2. Interpretaci´n geom´trica o e El an´lisis geom´trico de las funciones de variable compleja requiere de cuatro dimensiones: dos para a e la variable z y dos para la variable w. Una soluci´n para ello es representar los elementos del dominio de la funci´n sobre un plano (llamado o o |z ) y los elementos del rango sobre otro plano (llamado |w ). 51
  • 52. 52 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE y v z w Γ f (z) A z A′ γ w x u Figura 3.1: Transformaci´n de regiones en R2 mediante una funci´n de variable compleja. o o De esta manera puede decirse que una funci´n de variable compleja establece una relaci´n entre un o o punto z del plano |z y un punto w del plano |w . Una forma de caracterizar geom´tricamente a las funciones de variable compleja es a trav´s de la e e representaci´n de las transformaciones que produce a curvas y conjuntos en general, de un plano a otro. o Esta representaci´n es util para resolver diversos problemas f´ o ´ ısicos de campos y potenciales. Ejemplo: Para analizar un caso determinado, se elige la funci´n: o f: C −→ C z −→ z 2 = x2 −y 2 + i 2xy que define el sistema: u = x2 −y 2 v = 2xy Para caracterizar la transformaci´n se eligen dos familias de rectas, la primera de las paralelas al eje o y (familia γ1 ), y la segunda de las paralelas al eje x (familia γ2 ). La funci´n z 2 transforma las familias γ1 y γ2 del plano |z en las familias Γ1 y Γ2 , respectivamente, o del plano |w , que representan familias de par´bolas como se demuestra a continuaci´n. a o 2  u = k2 − v    x = k u = k 2 −y 2  k=0 4k 2  2    z γ1 y = y −→ Γ1 v = 2ky =⇒ u 0 k=0    y∈R y∈R     v=0  2  u = v − k2    x = x u = x2 −k 2  k=0 4k 2  z2    γ2 y = k −→ Γ2 v = 2kx =⇒ u 0 k=0    x∈R x∈R     v=0  La funci´n z 2 transforma rect´ngulos del plano |z en rect´ngulos de lados parab´licos en el plano |w. o a a o Se mantienen los ´ngulos salvo en el caso cuando z = 0. a
  • 53. 3.3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CARACTER´ ISTICAS Y EJEMPLOS 53 Este hecho no es casual, es una propiedad general de ciertas funciones complejas que se estudiar´n en a los pr´ximos cap´ o ıtulos. El lector puede verificar que las familias Γ1 y Γ2 son ortogonales entre s´ ı. y v z w Γ2 A′ γ2 A x u γ1 Γ1 Figura 3.2: Transformaci´n de caminos mediante la funci´n f (z) = z 2 . o o 3.3. Funciones de variable compleja. Caracter´ ısticas y ejemplos 3.3.1. Caracter´ ısticas Se definen algunas propiedades de las funciones complejas. Sea una de estas, f: D −→ R z −→ f (z) entonces se define como funci´n acotada a aquella cuyo m´dulo tiene cota superior. o o f ∈ Acotada := ∃ k ∈ R : ∀ z ∈ D =⇒ |f (z)| < k k := Cota del m´dulo de la funci´n o o Se llama funci´n peri´dica de per´ o o ıodo T a aquella que cumple: f ∈ Peri´dica := ∃ T ∈ C : f (z + T ) = f (z) o
  • 54. 54 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE 3.3.2. Ejemplos En el transcurso del texto ya se han visto diversas funciones complejas como: Parte real Parte imaginaria M´dulo de z o Argumento de z Conjugado de z Inversi´n o las que se completar´n con algunas otras de empleo frecuente: a Constante Cte : C −→ C z −→ k = w Polinomio complejo de grado n Pn : C −→ C n z −→ ak z k = Pn (z) n ∈ N0 , an = 0 k=0 Esta definici´n es una extensi´n de los polinomios reales. Como en ese caso n se llama grado del o o polinomio. Funci´n racional o Rac : C−{r : Qm (r) = 0} −→ C Pn (z) z −→ Qn z La funci´n racional est´ definida entonces por el cociente de dos polinomios con dominio v´lida s´lo o a a o para aquellos complejos que no anulan el denominador. Exponencial La definici´n de la funci´n exponencial ha sido discutida detalladamente en el apartado 1.11.2. o o Si se sigue la segunda orientaci´n all´ presentada, se tiene: o ı exp : C −→ C z −→ ez = ex cos y + i sen y
  • 55. 3.3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CARACTER´ ISTICAS Y EJEMPLOS 55 definici´n v´lida sobre todo el campo complejo, como extensi´n de la funci´n exponencial real. o a o o Algunas de las propiedades para destacar son: Re(ez ) = ex cos y Im(ez ) = ex sen y | ez | = ex arg(ez ) = y ez = ez 1 = e−z ez ∄ z : ez = 0 ez = 1 =⇒ z = i 2kπ k∈Z La exponencial compleja es peri´dica con per´ o ıodo T = 2πi Funciones trigonom´tricas e A partir de la funci´n exponencial pueden extenderse al campo complejo las funciones trigonom´tricas o e reales: sen : C −→ C eiz − e−iz z −→ 2i cos : C −→ C eiz + e−iz z −→ 2 Las dem´s funciones trigonom´tricas, tangente, cotangente, secante y cosecante se definen a partir de a e las anteriores, formalmente igual a sus hom´nimas reales. o El desarrollo de la funci´n sen en forma bin´mica es: o o e−y ey sen z = (cos x + i sen x) − (cos x − i sen x) 2i 2i = sen(x) cosh(y) + i cos(x) senh(y) de donde se implica que es una funci´n no acotada. o Para estas funciones se prueba: sen2 z + cos2 z = 1 sen(z + z ′ ) = sen(z) cos(z ′ ) + cos(z) sen(z ′ ) cos(z + z ′ ) = cos(z) cos(z ′ ) − sen(z) sen(z ′ ) adem´s, tanto sen z como cos z tienen per´ a ıodo real 2π.
  • 56. 56 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE Funciones hiperb´licas o Como extensi´n de las funciones hom´nimas reales se define en el plano complejo a las funciones seno o o hiperb´lico y coseno hiperb´lico: o o senh : C −→ C (ez − e−z ) z −→ 2 cosh : C −→ C (ez + e−z ) z −→ 2 Las restantes funciones hiperb´licas se definen tambi´n de la manera habitual. o e Estas funciones se relacionan con las trigonom´tricas a trav´s de: e e sen z = −i senh(iz) cos z = cosh(iz) y son evidentemente peri´dicas con per´ o ıodo 2πi. Queda a cargo del lector el an´lisis de las propiedades semejante a las de las funciones trigonom´tricas a e y exponencial. 3.4. Continuidad 3.4.1. Definici´n o Para dotar de rigor al tratamiento del c´lculo integral, diferencial, sucesiones, series, etc. es necesario a precisar la noci´n de continuidad. o Esta, es una de las ideas m´s importantes y fascinantes del an´lisis matem´tico, que ha abierto la a a a necesidad y el camino para nuevos cursos de estudio y creaci´n, entre ellos por ejemplo los espacios o m´tricos y los espacios topol´gicos en general. e o Para introducirse en la concepci´n de la noci´n de continuidad es m´s sencillo pasar por el significado o o a de su opuesto l´gico: la falta de continuidad. o Un primer acercamiento a la idea podr´ ser : “Los puntos x pr´ximos al punto a no tienen una ıa o aplicaci´n f (x) pr´xima a f (a)”. o o
  • 57. 3.4. CONTINUIDAD 57 D R U(f (a)) U(a) f (a) a U(f (a)) f (a) a x Imagen de U (a) U(a) Figura 3.3: Funci´n de una va- o Figura 3.4: Funci´n de una variable compleja disconti- o riable real discontinua en a. nua en a. Sin embargo, esta expresi´n carece de sentido porque la palabra “proximidad”es indefinida, y tiene o en el lenguaje corriente un significado relativo al contexto de referencia. Lo que puede ser pr´ximo en un o caso, puede no serlo en otro. La noci´n de distancia con la consiguiente definici´n de entorno es la que permite dotar de rigor a las o o definiciones buscadas. Se puede decir con precisi´n entonces para una funci´n o o f: D −→ R X −→ Y = f (X) donde D y R son subconjuntos de los espacios m´tricos E y E ′ , si dado un entorno de f (a), U (f (a)), no e puede encontrarse ning´ n entorno de a, U (a), de modo tal que todos los elementos de U (a) ∩ D, tengan u aplicaci´n en U (f (a)), entonces la funci´n f es discontinua en a. o o Simb´licamente: o f ∈ C/a / := ∃ U (f (a)), ∄ U (a) : ∀ x ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a)) f ∈ C/a / := La funci´n f no es continua en a o En el gr´fico anterior se han representado dos ejemplos de discontinuidad, uno para una funci´n de a o variable real, y otro para una funci´n de variable compleja. Sobre el rango de cada una de las aplicaciones o se ha coloreado la imagen de U (a), que como se observa no est´ incluida en U (f (a)). a El opuesto l´gico de esta definici´n nos asegura que no hay “salto”, es decir que la funci´n es continua. o o o La definici´n es v´lida para cualquier funci´n f entre dos espacios m´tricos o subconjuntos de dichos o a o e espacios m´tricos. Se incluye como caso particular, por supuesto, a los casos de funciones reales de una e o varias variables y a las funciones complejas. D⊂E f: D −→ R : R ⊂ E′ X −→ f (X) f ∈ C/a := ∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))
  • 58. 58 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE Observaci´n 1: Debe observarse que en la definici´n no se exige ninguna condici´n especial al punto a, o o o salvo que pertenezca al dominio de la funci´n para que exista f (a). o Observaci´n 2: En la definici´n se interseca a U (a) con D, dominio de la funci´n, para asegurar que para o o o los puntos X considerados exista imagen f (X). En particular, el conjunto U (a) ∩ D nunca es vac´ porque por lo menos contiene al punto a. ıo A partir de la definici´n de continuidad se extrae el siguiente teorema: o Teorema 3.4.1. Toda funci´n es continua en los puntos aislados de su dominio. o a ∈ Pt. aislado D =⇒ f ∈ C/a Demostraci´n. o Por definici´n de Pt. aisl: o ∀ U (f (a)) ∃ U (a) : U (a) ∩ D = {a} Luego ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ ∀ X ∈ {a} =⇒ f (a) ∈ U (f (a)) Observaci´n 3: Se ha introducido la noci´n de continuidad precediendo al concepto de l´ o o ımite por dos razones: 1o Porque desde un punto de vista heur´ıstico el l´ ımite es una extensi´n de la noci´n de continuidad, o o y tambi´n por ello desde el punto de vista pedag´gico se puede explicar y entender mejor dicho e o concepto. 2o Hay funciones continuas que no tienen l´ ımite, las definidas sobre un punto aislado. Para el caso particular de funciones de variable compleja, la definici´n de continuidad se puede reducir o a una forma operativa, tomando como entornos a bolas con centro a y f (a) respectivamente en los planos |z y |w. U (a) = {z : |z − a| < δ} U (f (a)) = {w : |w − f (a)| < ǫ} resultando: f ∈ C/a := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {z : |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f (z) − f (a)| < ǫ 3.4.2. Continuidad sobre un conjunto La definici´n de continuidad se refer´ a un punto espec´ o ıa ıfico a del dominio de la funci´n. o Si esta propiedad se puede extender a un conjunto de puntos, se dice que la funci´n es continua sobre o ´l, y se escribe: e f ∈ C/A := ∀ a ∈ A =⇒ f ∈ C/a f ∈ C/A := La funci´n f es continua sobre el conjunto A. o
  • 59. 3.5. L´ IMITE 59 3.5. L´ ımite 3.5.1. Definici´n de l´ o ımite Puede hacerse una extensi´n del concepto de continuidad a los puntos de acumulaci´n del dominio de o o una funci´n f (pertenezcan o no a ´l), cuando existe un elemento L del espacio E ′ (donde se aplica f ), o e que pueda hacer las veces de f (a) en la definici´n de continuidad. o No se toma en cuenta lo que sucede en a, punto para el cual puede existir o no la funci´n. o Es decir, el l´ ımite L es el valor hipot´tico que habr´ que asignarle al punto a para que la funci´n e ıa o fuera en ´l continua. Por supuesto esto no siempre es posible y en ese caso se dice que no existe el l´ e ımite. La terminolog´ usada para expresar la existencia de tal n´mero L es: “f (X) tiende a L cuando X ıa u tiende a a”. La frase “X tiende a a”no tiene significado propio sino como parte de la expresi´n anterior. o Simb´licamente se define entonces: o D⊂E f: D −→ R : R ⊂ E′ X −→ f (X) a ∈ Pt. acumulaci´n de D o f (X) − − → L := ∀ U (L) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (L) −− X−→a f (X) − − → L := f tiende a L cuando X tiende a a. −− X−→a Otra notaci´n usual para representar a la definici´n de l´ o o ımite es: l´ f (X) = L ım X→ a Observaci´n 1: La diferencia formal de esta definici´n con respecto a la de continuidad es que se ha o o empleado el s´ ımbolo V (a) en lugar de U (a). Es decir, el uso de vecinales de a es obligado porque no debe tenerse en cuenta si existe o no la funci´n en a y tampoco, en caso afirmativo, cual es ese valor f (a). o o o ımite, es necesario que V (a) ∩ D = ∅. Esta es Observaci´n 2: Para asegurar el sentido de la definici´n de l´ la raz´n para postular que el punto a debe ser de acumulaci´n de D. o o De acuerdo a la Observaci´n 2 del p´rrafo 3.4.1 esto no era necesario en la definici´n de continuidad. o a o Observaci´n 3: La definici´n del l´ o o ımite de una funci´n no permite su obtenci´n, sino simplemente su o o verificaci´n. El llamado “c´lculo de l´ o a ımites”se reduce a la aplicaci´n de teoremas que ligan l´ o ımites de funciones conocidas y tabuladas. La definici´n de vecinal de infinito en el plano complejo permite la extensi´n de la definici´n de l´ o o o ımite a ese caso sin necesidad de modificaciones. En particular, si la definici´n de l´ o ımite se expresa para funciones de variable compleja tomando como
  • 60. 60 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE entorno a bolas del plano, resulta: f (z) − − L := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {0 < |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f (z) − L| < ǫ −→ z→a f (z) − − L := ∀ ǫ > 0 , ∃ r : ∀ z ∈ {|z| > r} ∩ D =⇒ |f (z) − L| < ǫ −→ z→∞ f (z) − − ∞ := ∀ M , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {0 < |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f (z)| > M −→ z→a La ultima expresi´n significa que en el vecinal del punto a la funci´n no est´ acotada. ´ o o a ımite est´ dado por el siguiente teorema: La relaci´n entre las definiciones de continuidad y l´ o a Teorema 3.5.1. Para que una funci´n f : D −→ R sea continua en un punto a de acumulaci´n de D, o o es condici´n necesaria y suficiente que exista l´mite de la funci´n para X tendiendo a a, que exista f (a) o ı o y tambi´n que el l´mite sea igual al valor de la funci´n f (a). e ı o  H1 f (X) − − L  −→  X→a  a ∈ Pt. acum D H2 f : a −→ f (a) ⇐⇒  f ∈ C/a H3 L = f (a)  Demostraci´n. En primer lugar se encara la condici´n necesaria o o a −→ f (a) f ∈ C/a =⇒ ∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a)) Eligiendo V (a) V (a) = U (a) − {a} a ∈ ACU M (D) =⇒ V (a) ∩ D = ∅ Resulta entonces: ∀ U (f (a)) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U ((f (a))) Aplicando la definici´n de l´ o ımite, se observa que existe y es f(a) L = f (a) Se pasa a la condici´n suficiente o H1 =⇒ ∀ U (L) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (L) H3 =⇒ ∀ U (f (a)) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a)) H2 =⇒ {a} = {a} ∩ D =⇒ f (a) ∈ U (f (a)) Eligiendo entonces U (a) = V (a) ∪ {a}
  • 61. 3.5. L´ IMITE 61 Resulta ∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a)) Con lo cual queda probado que la funci´n es continua. Que a es un punto de acumulaci´n est´ impl´ o o a ıcito en la definici´n de l´ o ımite. H1 =⇒ a ∈ Pt. acumulaci´n de D o 3.5.2. Operaciones con l´ ımites El enfoque hecho en los conceptos de l´ ımite y continuidad por medio de las estructuras de los espacios m´tricos permite demostrar una sola vez propiedades que son comunes a determinados conjuntos. e Esto tambi´n significa que si dos conjuntos tienen leyes de composici´n formalmente iguales, las pro- e o piedades y teoremas demostrados para uno son v´lidos para el otro. a Muchas de las propiedades estudiadas en las funciones reales pueden ser extendidas. En el caso de las funciones compuestas en cualquier espacio m´trico, el l´ e ımite de una funci´n compuesta o es igual a la composici´n de los l´ o ımites. En cuanto a la continuidad, la composici´n de dos funciones o continuas es continua, como lo expresa el siguiente teorema: Teorema 3.5.2. f: D −→R g: D′ −→R′ : R ⊂ D′ f ∈ C/a =⇒ g ◦ f ∈ C/a g ∈ C/f (a) R′ R f D′ g D Y = f (X) g(Y ) X f (a) g(f (a)) a U(f (a)) U(g(f (a))) U(a) Figura 3.5: Composici´n de funciones de una variable compleja. o Demostraci´n. La existencia de la funci´n compuesta est´ asegurada porque R ⊂ D′ . o o a H2 =⇒ ∀ U (g(f (a)) , ∃U (f (a)) : ∀ Y ∈ U (f (a)) ∩ D′ =⇒ g(Y ) ∈ U (g(f (a))) H1 =⇒ ∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))
  • 62. 62 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE Eligiendo en la segunda expresi´n un U (f (a)) conveniente o ∀ U (g(f (a))) , ∃U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ g ◦ f (X) ∈ U (g(f (a))) La continuidad y el c´lculo de l´ a ımites para las operaciones vectoriales se extiende a todos los espacios normados. Esta es la relaci´n esencial entre las dos estructuras del espacio normado, la m´trica y la vectorial. o e f (X) −→ F =⇒ f + g −→ F + G g(X) −→ G f (X) −→ F =⇒ λf −→ λF λ −→ Λ =⇒ λf −→ Λf La prueba de estas propiedades de la suma y producto vectorial, es inmediata aplicando la definici´n de o l´ ımite y teniendo en cuenta que N ((f + g) − (F + G)) N (f − F ) + N (g − G) N (λf − λF ) = |λ| N (f − F ) N (λf − Λf ) = |λ − Λ| N (f ) Todas las propiedades vistas hasta el momento pueden ser aplicadas a funciones complejas. Pero, adem´s, como las definiciones de continuidad y de l´ a ımite hechas para dichas funciones, coinciden formalmente con las correspondientes a las funciones reales de una variable. La consecuencia de este an´lisis es que la continuidad y el c´lculo de l´ a a ımite de las operaciones del cuerpo de los reales se extienden al cuerpo de los complejos. En concreto, suponiendo que los l´ ımites existan, la suma, diferencia, producto y cociente (exceptuando el caso de denominador cero) de l´ımites es igual al l´ ımite de la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones complejas, siempre suponiendo que los l´ ımites son finitos. Para el caso de continuidad, el resultado de la extensi´n de las funciones reales de una variable es o an´logo. a Un teorema relativo al l´ ımite de la parte real e imaginaria de una funci´n de variable compleja es: o Teorema 3.5.3. Una funci´n de variable compleja tiende a un l´mite si y s´lo si su parte real tiende a o ı o la parte real del l´mite, como as´ tambi´n la parte imaginaria tiende a la parte imaginaria del l´mite. ı ı e ı  u(x y) − − U  −→ z→a ⇐⇒ u(x y) + i v(x y) − − U + i V −→ v(x y) − − V  −→ z→a z→a Demostraci´n. La condici´n suficiente se puede demostrar directamente a partir del teorema del l´ o o ımite de la suma, pero adem´s se puede demostrar directamente a partir de a |(u + i v) − (U + i V )| |u − U | + |v − V | Como puede acotarse el segundo miembro por la suma de dos n´ meros arbitrarios, reales no negativos, u el primer miembro tambi´n est´ acotado arbitrariamente, y por lo tanto hay l´ e a ımite.
  • 63. 3.6. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. CAMINOS Y LAZOS 63 Del mimo modo la condici´n necesaria: o |Re(z)| |z| ∧ |Im(z)| |z| de acuerdo con las propiedades de 1.6.2 |u − U | |(u + i v) − (U + i V )| |v − V | |(u + i v) − (U + i V )| entonces por razonamiento an´logo al anterior existen los l´ a ımites de la parte real e imaginaria de la funci´n compleja y son U y V , respectivamente. o Una consecuencia inmediata de este teorema es la siguiente: Corolario 3.5.3.1. Una funci´n compleja es continua si y s´lo si son continuas sus partes real e ima- o o ginaria. u ∈ C/a ⇐⇒ u + i v ∈ C/a v ∈ C/a 3.6. Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos Para el desarrollo de la derivaci´n e integraci´n en el campo complejo, se trabaja con conjuntos tales o o como curvas, caminos, lazos,etc. conceptos que conviene precisar y analizar con detenimiento. 3.6.1. Continuidad por partes de funciones reales Una funci´n de variable real, se dice que es continua por partes sobre un intervalo cerrado y aco- o tado (compacto) [a b] cuando salvo para un n´ mero finito de puntos es continua sobre dicho intervalo, u y adem´s en los puntos de discontinuidad existen los l´ a ımites de la funci´n por la derecha y por la izquierda. o No es necesario para esta definici´n que la funci´n tome valores en los puntos de discontinuidad. o o Simb´licamente: o    k ∈ < 0, n >   a = a0 < a1 < a2 < · · · < an = b      f ∈C I   f ∈ CP [a b] := f : I = [a, b] − {ak } −→ Rn : +  ∀ k , ∃ f (ak ) = l´ f (x) ım   x→ak x>ak    − ∃ f (ak ) = l´ f (x) ım      x→ak x<ak f ∈ CP [a b] := La funci´n f es continua por partes sobre el intervalo [a b] o Observaci´n: De acuerdo con la definici´n, el intervalo I se puede descomponer en un n´ mero finito de o o u intervalos [a0 , a1 ], [a1 , a2 ], . . . , [an−1 , an ]
  • 64. 64 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE donde para cada uno de ellos se puede definir fk [ak , ak+1 ] −→ Rn  f (a+ )  k x = ak x −→ f (x) x ∈ (ak , ak+1 ) f (a− ) x = ak+1  k y a partir de all´ la integral definida seg´ n Cauchy se extiende como suma de un n´ mero finito de integrales ı u u definidas (las funciones fk son continuas sobre un compacto): b n−1 ak+1 f (x) dx = fk (t) dt a k=0 ak 3.6.2. Camino Se llama camino a toda aplicaci´n continua de un intervalo real cerrado y acotado (compacto) [a b] o sobre el conjunto de los complejos C, con la condici´n adicional de que la aplicaci´n tenga derivada o o continua por partes. γ ∈ Camino := γ : I = [a b] −→ C  a = b  t −→ x(t) + i y(t) : γ ∈ C [a b]  ′ γ ∈ CP [a b]  Observaci´n: Por ser γ ′ ∈ CP entonces o b γ(t) = C + γ ′ (s) ds a La terminolog´ usada con relaci´n a los caminos es la siguiente: ıa o γ(a) := Origen del camino o extremo inicial. γ(b) := Extremo final del camino. t := Par´metro a Tambi´n se suele expresar que γ es un camino que une los puntos origen γ(a) y el extremo γ(b). e Desde el punto de vista geom´trico γ(t) describe una trayectoria γ(I) (imagen de I) con las carac- e ter´ ısticas: I. γ ′ ∈ C c ∧ γ′ = 0 γ ′ ∈ C d  /  II. ∃ γ ′ (d+ ) =⇒ ∃ puntos angulosos con dos tangentes  ′ − ∃ γ (d )  III. La trayectoria puede tener puntos m´ ltiples, es decir, para diferentes valores de t puede correspon- u derle el mismo par (x y). Ejemplo el punto m.
  • 65. 3.6. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. CAMINOS Y LAZOS 65 γ(a) c = γ(t0 ) m γ(b) | | | d a t0 b Figura 3.6: Camino en el campo complejo. Otra definici´n util para los desarrollos posteriores es: o ´ γ ∈ Camino contenido en D := γ ∈ Camino : γ(I) ⊂ D 3.6.3. Lazo Se dice que un camino es un lazo cuando los extremos son iguales: γ ∈ Lazo := γ ∈ Camino : γ(a) = γ(b) Es usual decir tambi´n que el lazo γ tiene origen en γ(a). e γ(a) = γ(b) γ(t0 ) | | | a t0 b Figura 3.7: Lazo en el campo complejo. 3.6.4. Curva Se llama curva a la imagen de γ, γ(I). No deben confundirse los conceptos de camino y curva, pues entre ambos existe la misma diferencia que entre funci´n e imagen de la funci´n. o o Puede haber varios caminos con la misma curva. Si un camino pasa varias veces por un mismo punto (para diferentes valores del par´metro t), corres- a ponden un s´lo elemento de la curva (un s´lo elemento de γ(I)). o o
  • 66. 66 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE Ejemplo: Los tres caminos cf1 : [0 2π] −→ C t −→ cos t + i sen t = eit cf2 : [0 2π] −→ C t −→ e2it cf2 : [0 2π] −→ C t −→ i eit tienen por imagen a una misma curva, la circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1, |z| = 1. Sin embargo son caminos diferentes, basta para ellos comparar: cf1 cf2 cf3 origen (1; 0) (1; 0) 0; 1 extremo (1; 0) (1; 0) 0; 1 no de vueltas 1 2 1 sentido giro + + - longitud 2π 2π 2π Nota: Se ha designado con signo positivo al sentido de giro contrario al de las agujas del reloj y negativo al opuesto. Observaci´n: La diferencia de las nociones de camino y curva es importante y debe ser tenida en cuenta en o el c´lculo de integrales complejas. Caminos diferentes con igual imagen pueden dar resultados diferentes. a 3.6.5. Caminos opuestos y yuxtapuestos Camino opuesto Un camino se llama opuesto de otro γ definido sobre I, y simbolizado por γ ∗ , a:   γ:  I = [a b] −→ C ∗ γ ∈ Camino opuesto de γ := γ∗ : I = [a b] −→ C  t −→ γ(a + b − t)  El origen y el extremo de γ ∗ son respectivamente γ(b) y γ(a). Desde el punto de vista geom´trico, la e curva que representa al camino γ y a su opuesto es la misma, pero “recorrida en sentido inverso”.
  • 67. 3.6. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. CAMINOS Y LAZOS 67 Caminos yuxtapuestos Un camino es la yuxtaposici´n de otros dos γ1 y γ2 cuando al extremo del primero es el origen del o segundo y se define de acuerdo a las condiciones siguientes. γ1 : I1 = [a b] −→ C γ2 : I1 = [c d] −→ C γ1 (b) = γ2 (c) γ1 ∨ γ2 : [a, b + d − c] −→ C γ1 (t) t ∈ [a b] t −→ γ(t) = γ2 (t + c − b) t ∈ [b, b + d − c] γ1 ∨ γ2 := Camino yuxtaposici´n de γ1 y γ2 o γ2 (d) γ1 (I1 ) γ1 (a) γ2 (I2 ) γ1 (b) = γ2 (c) I1 I2 | | | | | a b b+d−c c d Figura 3.8: Caminos yuxtapuestos. Se deduce inmediatamente de la definici´n que si o γ := γ1 ∨ γ2 entonces se cumple γ(a) = γ1 (a) γ(b) = γ1 (b) = γ2 (c) γ(b + d − c) = γ2 (d) Un camino puede ser considerado como la yuxtaposici´n de otros dos, obtenidos dividiendo el intervalo o de la siguiente manera: γ : [a b] −→ C    ∀ c : a < c < b  =⇒ γ = γ1 ∨ γ2 γ1 : [a c] −→ C  γ2 : [c b] −→ C  Eligiendo un punto c de este modo, se puede considerar un lazo tambi´n como yuxtaposici´n de dos e o caminos, γ1 ∨ γ2 . El camino γ2 ∨ γ1 tambi´n es un lazo, pero de origen en el punto γ(c). e
  • 68. 68 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE 3.6.6. Ejemplos de caminos Algunos casos de inter´s particular son: e Camino constante Se dice que un camino es constante si su imagen se reduce a un solo punto. γ ∈ Camino constante := γ(I) = {a} Arco de circunferencia unidad Esta funci´n es: o cf (α) : [0 1] −→ C t −→ e2πiαt : α ∈ R y es un camino cuya imagen es parte (o todo) de la circunferencia de radio unitario |z| = 1. Si α es entero no nulo, la imagen γ(I) es la circunferencia unidad recorrida α veces (ver ejemplo del p´rrafo 3.6.4). Si α = 0 la funci´n se reduce a un camino constante. a o Segmento El cl´sico segmento de recta se representa anal´ a ıticamente por: Sgm : I = [a b] −→ C t −→ ct + d : c ∈ C, d ∈ C Poligonal o l´ ınea quebrada Toda yuxtaposici´n de segmentos se llama poligonal. o   a = a0 < a1 < · · · < an = b    P = S ∨S ∨ ···∨ S   1 2 n P : I = [a b] −→ C : Sk : [ak−1 , ak ] −→ C k ∈ < 1, n >  t −→ ck t + dk     ck ak + dk = ck+1 ak+1 + dk+1  P (a) a I1 I2 b P (b) | | | | a0 a1 a2 an Figura 3.9: Camino poligonal. La ultima condici´n es la de yuxtaposici´n, pues Sk (ak ) = Sk+1 (ak ). ´ o o
  • 69. 3.6. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. CAMINOS Y LAZOS 69 3.6.7. Camino simple. Lazo simple Un tipo de camino particularmente importante es el que se llamar´ camino simple o arco de Jordan. a As´ se designa a todo camino γ determinado por una funci´n inyectiva, esto significa geom´tricamente ı o e que no hay puntos m´ ltiples, hecha excepci´n de los extremos del camino. u o Si γ es un lazo y camino simple, se dice que es un lazo simple. Camino simple Caminos no simples Lazo simple Lazos no simples Figura 3.10: Ejemplos de caminos y lazos. Anal´ ıticamente: γ : I = [a b] −→ C γ ∈ Camino simple := ∀ (t s) ∈ I × I − {(a b)} =⇒ (γ(t) = γ(a) ⇔ t = a) 3.6.8. Caminos equivalentes Des caminos se dicen equivalentes cuando puede establecerse una biyecci´n creciente entre los respec- o tivos intervalos de definici´n, de acuerdo con las condiciones o   γ1 : I1 = [a b] −→ C    γ2 : I2 = [c d] −→ C         ϕ ∈ biyectiva     (γ1 γ2 ) ∈ Caminos equiv. :=   ϕ ∈ creciente       ∃ ϕ : I2 −→ I1 : ϕ ∈ C/I2      ′     ϕ ∈ CP/I2       γ2 (t) = γ1 (ϕ(t))  
  • 70. 70 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE Los caminos equivalentes, tienen igual imagen, origen y extremo.   γ1 (I) = γ2 (I)  (γ1 γ2 ) ∈ Caminos equiv. =⇒ γ1 (a) = γ2 (c)  γ1 (b) = γ2 (d)  Un camino γ2 : t −→ γ1 (λt + µ) : λ > 0 es siempre equivalente al camino γ1 . Este resultado permite reducir todo camino a un equivalente con intervalo de definici´n I = [0 1]. o 3.7. Conjuntos conexos Un conjunto D de un espacio Rn se dice conexo, cuando todo par de puntos de D puede ser unido por un camino contenido en D.  D ⊂ Rn      γ(a) = x D ∈ Conexo :=   ∀ (x y) ∈ D × D =⇒ ∃ γ : I = [a b] −→ Rn : γ(b) = y    γ(I) ⊂ D   En particular, el camino γ puede ser una poligonal. ırculo en el plano complejo |z − a| < r (bola en el campo complejo) es conexo. Un c´ Geom´tricamente algunos ejemplos son: e A E B C D F Figura 3.11: Ejemplo de conjuntos conexos. Figura 3.12: Ejemplo de conjuntos no conexos. 3.8. Homotop´ de caminos y lazos ıa 3.8.1. Homotop´ de caminos ıa La idea de homotop´a entre dos caminos significa intuitivamente que puede pasarse de uno a otro a ı trav´s de una deformaci´n continua. e o
  • 71. 3.8. HOMOTOP´ DE CAMINOS Y LAZOS IA 71 Matem´ticamente puede definirse: a    D ∈ abierto  D⊂C     γ1 : I = [a b] −→ C : γ1 (I) ⊂ D     γ2 : I = [a b] −→ C : γ2 (I) ⊂ D     (γ1 γ2 ) ∈ h(D ϕ) :=       J = [c d]   ϕ ∈ C/I × J    ∃ ϕ : I × J −→ D :    ϕ(t c) = γ1 (t)         ϕ(t d) = γ2 (t)   (γ1 γ2 ) ∈ h(D ϕ) := γ1 y γ2 son caminos hom´topos en D por la homotop´ ϕ o ıa ϕ := Homotop´ de γ1 y γ2 en D ıa γ1 (I) γ2 (I) Figura 3.13: Homotop´ de los caminos γ1 y γ2 en D ıa Observaci´n: Se destacan algunas particularidades de la definici´n de caminos hom´topos: o o o γ1 y γ2 est´n definidos sobre el mismo intervalo I. a ϕ es continua respecto de dos variables, (t s) ∈ I × J. No se exigen condiciones de derivaci´n para ϕ salvo las impuestas a γ1 y γ2 . o 3.8.2. Homotop´ de lazos ıa Se llama homotop´a de lazos a aquella que para todo elemento de J da un lazo. Esto significa que ı todos los caminos de la homotop´ son lazos. ıa (γ1 γ2 ) ∈ h⊙ (D ϕ) := (γ1 γ2 ) ∈ h(D ϕ) : ∀ s ∈ J =⇒ ϕ(a s) = ϕ(b s) (γ1 γ2 ) ∈ h⊙ (D ϕ) := γ1 y γ2 son hom´topos por la homotop´ de lazos ϕ en el conjunto D. o ıa
  • 72. 72 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE Observaci´n: Si D ⊂ D′ puede no existir homotop´ o ıa en D, pero si en D′ . Tanto la homotop´ de caminos como la de lazos son ıa relaciones de equivalencia. γ1 (I) γ2 (I) Su verificaci´n es inmediata o Figura 3.14: Homotop´ de los lazos γ1 y γ2 . ıa 3.8.3. Homotop´ a un punto ıa Se dice que un lazo es hom´topo a un punto en D si existe una homotop´ de lazos ϕ de dicho lazo al o ıa lazo constante (cuya imagen es un punto). (γ1 γ2 ) ∈ h• (D ϕ) := (γ1 γ2 ) ∈ h⊙ (D ϕ) : γ2 (I) = {P } 3.9. Clasificaci´n de conjuntos conexos en C o 3.9.1. Conjuntos simplemente conexos Un conjunto D del plano complejo, abierto y conexo se dice que es simplemente conexo cuando todo lazo contenido en ´l es hom´topo a un punto. e o Es decir, sobre D existe una sola clase de equivalen- cia de homotop´ de lazos, que adem´s es homotop´ ıa a ıa a un punto. En forma intuitiva, el conjunto simplemente conexo es aquel que no tiene “agujeros”. Una propiedad de estos conjuntos que puede ser em- pleada para definirlos es: D ∈ Abierto y conexo ˆ D ∈ Simplemente conexo =⇒ C ⊙ (D/C) ∈ Conexo Figura 3.15: Conjunto simplemente conexo. 3.9.2. Conjuntos m´ltiplemente conexos u Un conjunto se llama m´ltiplemente conexo cuando no es simplemente conexo. u
  • 73. ´ 3.9. CLASIFICACION DE CONJUNTOS CONEXOS EN C 73 Desde el punto de vista intuitivo significa que tiene uno o m´s “agujeros”. a Ejemplos: Un anillo en el campo complejo. Una bola en el campo complejo sin su centro. Figura 3.16: Conjunto m´ltiplemente conexo. u La definici´n de conjuntos m´ ltiplemente conexos es el contrario l´gico de la definici´n de simplemente o u o o conexo. Esto quiere decir que tiene que haber m´s de una clase de equivalencia de lazos hom´topos. a o Tal observaci´n permitir´ una clasificaci´n de los conjuntos m´ ltiplemente conexos. o a o u Otro m´todo para ello es por medio de cortaduras, que se ver´ a continuaci´n. e a o 3.9.3. Cortadura Se llama cortadura en un conjunto abierto y conexo, a la exclusi´n del mismo de un camino simple (arco o de Jordan) cuyos puntos deben ser todos interiores con excepci´n de los extremos, que pueden no serlo. o En otras palabras, como D es abierto, los puntos no extremos del camino deben ser de D. Figura 3.17: Ejemplos de cortadura. γ ∈ Camino simple γ ∈ Cortadura de D := γ : [a b] −→ C : ∀ t ∈ (a b) =⇒ γ(t) ∈ IN T (D) 3.9.4. Grado de multiplicidad Se llama grado de multiplicidad de un conjunto m´ ltiplemente conexo a la m´ u ınima cantidad de cortaduras que deben hacerse para transformarlo en simplemente conexo. El grado de multiplicidad tambi´n es llamado orden e de conexi´n. o La cantidad de clases de lazos hom´topos est´ rela- o a cionada con el grado de multiplicidad. Figura 3.18: Conjunto con grado de multi- plicidad=3
  • 74. 74 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´ IMITE En efecto, q = 2n q := Cantidad de clases de lazos hom´topos o n := Grado de multiplicidad de conexi´n o Esta relaci´n puede usarse para definir el grado de multiplicidad sin introducir el concepto de corta- o dura. Observaci´n: Algunos textos definen como orden de conexi´n a n − 1. o o Intuitivamente, el grado de multiplicidad representa la cantidad de “agujeros”que tiene un conjunto m´ ltiplemente conexo. u
  • 75. Cap´ ıtulo 4 Derivaci´n en el Campo Complejo o 4.1. Derivaci´n o Dada una funci´n de variable compleja, o D⊂C f : D −→ R : R⊂C se define como derivada de la funci´n f en un punto a del dominio D, simbolizada por f ′ (a), a: o f (a + ∆z) − f (a) f ′ (a) := l´ ım ∆z→0 ∆z f ′ (a) := Derivada de f en el punto a Cuando existe la derivada, es decir el l´ ımite del cociente incremental, se suele decir que la funci´n f o es derivable en el punto: f ∈ DER/a := ∃ f ′ (a) f ∈ DER/a := La funci´n f es derivable en el punto a o Observaci´n: La definici´n anterior de derivada es o o γ D formalmente igual a la de funci´n de una variable o real. ∆z Sin embargo, a pesar de que se aprovechar´ la seme- a a janza formal para extraer conclusiones sobre algunas propiedades de la derivada de las funciones de varia- V (a) ble compleja, no debe caerse en un an´lisis superfi- a V (a) ∩ D cial. Figura 4.1: Incremento de z a trav´s de un e camino γ. La definici´n de derivada para variable compleja lleva impl´ o ıcito que el l´ ımite es doble, es decir, el incremento ∆z debe tomarse sobre todo un vecinal V (a) en su intersecci´n con el dominio. o 75
  • 76. 76 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO Por lo tanto si se incrementa z sobre un camino cualquiera γ, el l´ımite del cociente incremental es constante. En particular, el l´ ımite del cociente incremental es el mismo (e igual a la derivada en el punto) a lo largo de cualquier recta que pase por a. Esta es una condici´n necesaria pero no suficiente, como se o verifica en la funci´n, o 3 2 2  x y +i x y  4 + y2 4 + y2 z=0 f : z −→ f (z) = x x  0 z=0 que tiene derivada nula en el origen seg´ n cualquier direcci´n, pero no por un camino parab´lico y = kx2 , u o o y entonces se asegura que no es derivable en modo complejo. 4.2. Diferencial Se dice que una funci´n de variable compleja f es diferenciable cuando su incremento ∆f puede o escribirse: A∈C f ∈ DIF/a := ∆f = A ∆z + δ(∆z)∆z : δ(∆z) − − → 0 −− ∆z→0 f ∈ DIF/a := La funci´n f es diferenciable en el punto a o La definici´n de diferenciabilidad significa que el incremento de una funci´n puede escribirse como la o o suma de: Producto de una constante A por el incremento de la variable z. Producto de un infinit´simo δ(∆z) por el incremento de la variable z. e y por lo tanto la diferenciabilidad asegura la aproximaci´n lineal de la funci´n f . o o Esta es la importancia del diferencial, que se define como df := A ∆z df := Diferencial de f Observaci´n: La definici´n de diferenciabilidad de THOMAE para funciones de varias variables reales, o o particularizando el ejemplo a dos dimensiones, es: u: D −→ R (x y) −→ u(x y) : D ⊂ C A∈R    B∈R    u ∈ DIF/(a b) := ∆u = A ∆x + B ∆y + δ1 ∆x + δ2 ∆y : δ1 − − → 0 −− ∆z→0    δ2 − − → 0 −−   ∆z→0 u ∈ DIF/(a b) := La funci´n u es diferenciable en el punto (a b) o
  • 77. 4.2. DIFERENCIAL 77 Este enunciado pone en evidencia que la diferenciabilidad asegura la aproximaci´n lineal de la funci´n o o u. Desde el punto de vista geom´trico, dicha aproximaci´n lineal se materializa en la existencia de plano e o tangente para varias variables y recta tangente para una. La derivabilidad en variable real significa geom´tricamente que existe la tangente en una sola direcci´n, e o mientras que el diferencial asegura la existencia de todas las tangentes (en las direcciones donde puede incrementarse) y adem´s ligadas todas entre s´ por pertenecer a un mismo plano. a ı, Por esta raz´n, el segundo concepto tiene mucha m´s importancia que el primero. o a Las propiedades que se enuncian a continuaci´n marcan algunas de las diferencias existentes entre o ambos conceptos. Teorema 4.2.1. f ∈ DIF/P =⇒ f ∈ C/P Demostraci´n. La demostraci´n es inmediata aplicando la definici´n de diferencial. o o o La derivabilidad no arrastra la continuidad. Pueden existir funciones diferenciables no derivables (sin derivadas parciales) y tambi´n funciones e derivables, a´ n en todas las direcciones sin ser diferenciables. u y z El primer caso se presenta cuando el dominio de la funci´n est´ restringido, y no puede incrementarse o a en la direcci´n de los ejes, sin embargo en todas o las dem´s direcciones las tangentes definen un plano. a ∆y D Este caso s´lo puede presentarse en puntos de fron- o tera. P ∆x x Figura 4.2: Dominio restringido de una fun- ci´n de variable compleja. o El segundo caso es aquel en el cual las tangentes no est´n en un plano, por ejemplo en el v´rtice de a e un cono. Si se obvian los problemas de frontera, la diferenciabilidad implica la derivabilidad. Esta es la raz´n o por la cual se postula que el punto P es interior y se trabaja con conjuntos abiertos m´s adelante. a (a b) ∈ Pt. interior de D ′ A = fx f ∈ DIF/(a b) =⇒ ′ B = fy No es cierto que una funci´n de varias variables reales, continua y derivable sea diferenciable. Basta o analizar el caso del v´rtice del cono. e Pero si es v´lido, a ′ fx ∈ C ′ =⇒ f ∈ DIF fy ∈ C
  • 78. 78 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO es decir, si una funci´n admite derivadas continuas es diferenciable (en rigor es suficiente la continuidad o de una sola derivada y la existencia de ambas). En funciones de una variable real, el concepto de derivada y diferencial se confunden, porque hay una sola tangente. Lo mismo se produce en funciones de variable compleja como se ver´ a continuaci´n, pero a o debe tenerse en cuenta que son conceptos diferentes. En resumen, para un punto interior del dominio: func. 1 var. real recta tg ⇔ f ∈ DIF ⇔ f ∈ DER func. n var. reales (n = 2) plano tg ⇔ f ∈ DIF ⇒ f ∈ DER func. var. compleja f ∈ DIF ⇔ f ∈ DER 4.3. Relaci´n entre derivada y diferencial. Existencia o Teorema 4.3.1. Dada una funci´n de variable compleja f , condici´n necesaria y suficiente de derivabi- o o lidad es la diferenciabilidad. f ∈ DER/a ⇐⇒ f ∈ DIF/a Demostraci´n. Se demuestra la condici´n suficiente: o o ∆f − f ′ (a) = δ(∆z) ∆z |δ(∆z)| < ǫ =⇒ ∆f = f ′ (a)∆z + δ(∆z)∆z f ′ (a) ∈ C con lo cual se cumple la definici´n de diferencial. o La condici´n necesaria: o A∈C ∆f = A∆z + δ(∆z)∆z : δ −−→ 0 −− ∆z→0 ∆f −A −−→ 0 −− ∆z ∆z→0 Por lo tanto existe derivada, que adem´s es igual a la constante A a f ′ (a) = A Observaci´n 1: En la demostraci´n anterior no es necesario que el punto a sea interior al dominio D. o o Condici´n necesaria y suficiente de diferenciabilidad es que las funciones u y v (parte real e imaginaria o de f ) sean diferenciables y que se verifiquen las igualdades siguientes: ux = vy uy = −vx
  • 79. ´ 4.3. RELACION ENTRE DERIVADA Y DIFERENCIAL. EXISTENCIA 79 llamadas com´ nmente de Cauchy-Riemann. u En este caso es necesario que se asegure la posibilidad de incrementar la funci´n en direcciones paralelas o al eje x y al eje y. Seg´ n la observaci´n realizada en 4.2 es condici´n suficiente que el punto sea interior u o o a D. Esto da paso al siguiente teorema: Teorema 4.3.2.    u ∈ DIF/c   v ∈ DIF/c f ∈ DIF/c ⇐⇒    ux = vy uy = −vx  Demostraci´n. Por ser f ∈ DIF y tomando A = a + ib: o ∆f = A ∆z + δ∆z ⇐⇒ ⇐⇒ ∆u + i∆v = (a + ib)(∆x + i∆y) + (δ1 + iδ2 )(∆x + i∆y) ∆u = a∆x − b∆y + δ1 ∆x − δ2 ∆y ⇐⇒ ∆v = b∆x + a∆y + δ2 ∆x + δ1 ∆y    u ∈ DIF/c   v ∈ DIF/c ⇐⇒    a = ux = vy b = vx = −uy  Esta condici´n es necesaria y suficiente como resulta de observar la doble implicaci´n entre todas las o o proposiciones. Este teorema demuestra entonces que la diferenciabilidad (o derivabilidad) de f no s´lo implica la o diferenciabilidad de u y de v sino adem´s una estrecha relaci´n entre ellas dada por las ecuaciones de a o Cauchy-Riemann. Observaci´n 2: Las condiciones que ligan las derivadas de la parte real e imaginaria de una funci´n com- o o pleja, son llamadas tradicionalmente de Cauchy-Riemann pero son originalmente de D’Alembert-Euler. Es interesante interpretar el significado de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Ellas representan la igualdad de los l´ ımites de los cocientes incrementales seg´ n caminos rectos para- u lelos a los ejes coordenados. γ2 En efecto, seg´ n la observaci´n hecha en el p´rrafo u o a 4.1, una funci´n compleja que es derivable (diferen- o ∆y ciable) implica que el l´ ımite del cociente incremental sobre las infinitas rectas que pasan por el punto, es invariable. a ∆x γ1 Figura 4.3: Incremento de una funci´n a o trav´s de caminos rectos paralelos a los ejes. e
  • 80. 80 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO En particular, seg´ n los dos caminos γ1 , γ2 paralelos a los ejes: u ∆f ∆u + i∆v = ∆z ∆x + i∆y ∆f ∆u + i∆v γ1 { ∆y = 0 = − − → ux + ivx = fx = f ′ (a) −− ′ ∆z γ1 ∆x ∆x→0 ∆f ∆u + i∆v 1 γ2 { ∆x = 0 = − − → (uy + ivy ) = fy = f ′ (a) −− ′ ∆z γ2 i ∆y ∆y→0 i De la igualdad de estas dos derivadas direccionales, resulta: ux = vy vx = −uy Las condiciones de Cauchy-Riemann son entonces necesarias pero no suficientes. Sin embargo, si se agrega la hip´tesis de continuidad de las derivadas parciales de u y de v de acuerdo o a la observaci´n del p´rrafo 4.2, entonces u y v son diferenciables, y por lo tanto: o a  ux = vy  vx = −uy =⇒ f ∈ DIF  ux ∈ C  Observaci´n 3: De acuerdo a lo mencionado en 4.2 es suficiente la continuidad de una sola derivada o parcial. 4.4. Derivaci´n y continuidad o Teorema 4.4.1. Toda funci´n de variable compleja f derivable, es continua. o f ∈ DER/a =⇒ f ∈ C/a Demostraci´n. La demostraci´n es consecuencia inmediata de la diferenciabilidad. o o f ∈ DER =⇒ |∆f | < |A ∆z| + |δ ∆z| Este teorema es semejante al de una variable real. Para funciones de varias variables reales no es cierto. La diferenciabilidad en todos los casos, funciones de uno o varias variables reales y complejas, implica la continuidad. 4.5. Funciones mon´genas y holomorfas o Todas las propiedades y conceptos desarrollados hasta el momento son de car´cter local o puntual. a Para entender el an´lisis diferencial a conjunto conviene precisar nuevas definiciones. a
  • 81. ´ 4.5. FUNCIONES MONOGENAS Y HOLOMORFAS 81 Las funciones derivables en un punto y en un entorno del mismo tienen especial inter´s en la teor´ e ıa de las funciones potenciales y en la teor´ de integrales complejas de Cauchy. ıa Se dice que una funci´n es mon´gena en un punto a si tiene derivada en ese punto. La monogeneidad o o es sin´nimo de derivabilidad. o f ∈ mon´gena/a := f ∈ DER/a o Se dice que una funci´n de variable compleja es holomorfa si tiene derivada en todos los puntos de o un entorno de a. f ∈ H/a := ∃ U (a) : ∀ z ∈ U (a) =⇒ f ∈ DER/z f ∈ H/a := f es holomorfa en el punto a A partir de las definiciones es evidente que: f ∈ H/a =⇒ f ∈ mon´gena/a o Hay funciones que son mon´genas pero no holomorfas o Ejemplo I f: C −→ C z −→ |z|2 = x2 + y 2 u = x2 + y 2 son diferenciables pero las condiciones de Cauchy-Riemann s´lo valen para o v=0 z = (0 0) pues: ux = 2x uy = 2y vx = 0 vy = 0 Ejemplo II f: C −→ C z −→ x2 + iy 2 u = x2 son diferenciables y las condiciones de Cauchy-Riemann s´lo valen para o v = y2 la recta y = x porque: ux = 2x uy = 0 vx = 0 vy = 2y Una funci´n f es mon´gena sobre un conjunto D cuando es mon´gena en todos sus puntos. o o o f ∈ M ON/D := ∀ z ∈ D =⇒ f ∈ mon´gena/z o f ∈ M ON/D := f es mon´gena sobre el conjunto D o Una funci´n f es holomorfa sobre un conjunto D cuando es holomorfa en todos sus puntos. o f ∈ H/D := ∀ z ∈ D =⇒ f ∈ H/z Observaci´n 1: La monogeneidad sobre un conjunto D exige la derivabilidad sobre cada uno de sus pun- o tos, incluso los frontera que pertenecen a ´l. e
  • 82. 82 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO Para los abiertos ambos conceptos coinciden. Observaci´n 2: Muchos autores no diferencian los conceptos de monogeneidad y holomorf´ En otros o ıa. textos se confunde holomorf´ con analiticidad. ıa Se llama funci´n anal´tica a la desarrollable en serie de Taylor. Es claro que en principio las funciones o ı anal´ ıticas son conceptos diferentes de las funciones holomorfas. Sin embargo, uno de los grandes resultados de Cauchy fue probar la equivalencia de los conceptos de holomorf´ y analiticidad sobre conjuntos abiertos y conexos en el campo complejo. ıa Observaci´n 3: El origen de la palabra mon´gena hace referencia a la propiedad que todas las derivadas o o direccionales son iguales (mono=uno, gena=generada). La palabra holomorfa significa “de forma entera”, en contraposici´n de las funciones meromorfas, que se o estudiar´n m´s adelante. a a Sin´nimo de holomorfa es regular. o Se dice tambi´n que una funci´n de variable compleja tiene un punto singular, cuando en ´l no es e o e holomorfa. 4.6. Reglas de derivaci´n o Como la definici´n de derivada para las funciones complejas es formalmente igual a la de funciones de o una variable real, se implica que las reglas de la suma, multiplicaci´n, divisi´n (denominador no nulo), o o funci´n de funci´n, funci´n inversa, etc. se extienden en forma an´loga al campo complejo. o o o a Por lo tanto, la suma, diferencia, producto o cociente (excepto el caso de denominador nulo) de fun- ciones holomorfas sobre un abierto es tambi´n holomorfo. e En particular, los polinomios son holomorfos sobre todo el plano. Las funciones racionales, sobre todo su dominio, es decir el conjunto complementario de los ceros del denominador. 4.7. Holomorf´ y ecuaci´n de Laplace ıa o 4.7.1. Las componentes de una funci´n holomorfa como funciones arm´nicas o o Sea f una funci´n holomorfa en un punto a, si se hace la hip´tesis suplementaria de la existencia y o o continuidad de las derivadas segundas de la parte real e imaginaria de f en el entorno de a (las funciones reales u y v respectivamente), entonces se verifica: uxx + uyy =0 vxx + vyy =0 es decir, tanto u como v satisfacen la ecuaci´n de Laplace. o La ecuaci´n de Laplace es la que aparece en el estudio de los potenciales gravitatorios, el´ctricos, o e magn´ticos, de velocidades en fluidos, de la transmisi´n del calor (r´gimen estacionario), etc. e o e Esta relaci´n permite vislumbrar, la importancia de las funciones holomorfas en el an´lisis de proble- o a mas bidimensionales de potencial.
  • 83. 4.7. HOLOMORF´ Y ECUACION DE LAPLACE IA ´ 83 Observaci´n 1: Los an´lisis realizados hasta el momento son de car´cter puntual, pues han requerido o a a solamente de la hip´tesis de la monogeneidad de la funci´n en un punto. o o Sin embargo, para el estudio de las relaciones existentes entre las componentes de una funci´n comple- o ja y las funciones que satisfacen la ecuaci´n de Laplace, es necesario imponer condiciones de derivabilidad o en el punto y tambi´n en su entorno. e Esto es, porque en primer lugar, para la existencia de las derivadas segundas en el punto es necesario que ux y uy puedan ser incrementadas en el entorno del punto. En segundo lugar, porque como se ver´ es fundamental en la teor´ de Cauchy, a trav´s de la intro- a ıa e ducci´n de la integral curvil´ o ınea en el campo complejo, el uso de conjuntos abiertos y conexos. Entre otras propiedades de las funciones derivables sobre tales conjuntos (abiertos y conexos) se destaca su desarrollabilidad en series de Taylor (analiticidad). De aqu´ la importancia del concepto de holomorf´ ı ıa. Observaci´n 2: La hip´tesis de continuidad de las derivadas segundas de u y v (o de alguna de ellas) hecha o o al comienzo del p´rrafo es superflua, porque como se demostrar´ en el pr´ximo cap´ a a o ıtulo, toda funci´n o holomorfa tiene derivadas de todos los ´rdenes. o Para llegar a este resultado, que una funci´n holomorfa tiene derivadas de cualquier orden, y por ende o continuas, no se usa en absoluto los desarrollos que siguen en este p´rrafo. a Por lo tanto, no se entra en un c´ırculo vicioso, si se obvia la continuidad de las derivadas segundas en el siguiente teorema: Teorema 4.7.1. ∇2 u = 0 f ∈ H/a ⇐⇒ ∇2 v = 0 Demostraci´n. Derivando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, la primera respecto de x y la segunda o respecto de y, se obtiene: uxx = vyx uyy = −vxy sumando, teniendo en cuenta el teorema de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas cruzadas, ∇2 u = 0 y an´logamente a ∇2 v = 0 Una funci´n real de dos variables, con derivadas parciales de segundo orden continuas, que satisface o la ecuaci´n de Laplace, se llama arm´nica. o o C −→ R  u :   uxx ∈ C/a  u ∈ Arm´nica/a := o (x y) −→ u(x y) : u ∈ C/a   yy  2 ∇ u=0 
  • 84. 84 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO Si una funci´n es arm´nica sobre todos los puntos de un conjunto D, se dice que es arm´nica en D. o o o u ∈ Arm´nica/D := ∀ z ∈ D =⇒ u ∈ Arm´nica/z o o Si dos funciones reales u y v son arm´nicas y satisfacen en D las ecuaciones de Cauchy-Riemann, o entonces se dice que v es conjugada arm´nica de u. o  u ∈ Arm´nica/D  o v ∈ Arm´nica/D  o (u v) ∈ Conjugadas arm´nicas/D := o  ux = vy   uy = −vx  Teorema 4.7.2. Condici´n necesaria y suficiente para que una funci´n sea holomorfa sobre un conjunto o o D es que su parte real e imaginaria sean conjugadas arm´nicas en D. o f ∈ H/D ⇐⇒ (u v) ∈ Conjugadas Arm´nicas/D o Demostraci´n. Que una funci´n holomorfa tiene partes real e imaginaria (u v) conjugadas arm´nicas ya o o o ha sido demostrado. Adem´s, si u y v son arm´nicas tienen derivadas primeras continuas ux , uy , vx , vy , que aseguran a o la diferenciabilidad de dichas funciones. Por lo tanto, de acuerdo al teorema 4.3.1, se implica que f es holomorfa. Es cierto entonces que las partes real e imaginaria de una funci´n holomorfa no pueden ser arbitrarias, o llevan una estrecha relaci´n entre s´ establecido por el concepto de conjugadas arm´nicas. o ı, o 4.7.2. Propiedades de funciones conjugadas arm´nicas o 1o Conviene remarcar en primer t´rmino que si un par de funciones reales (u v) son conjugadas arm´nicas, e o el par (v u) no lo es. (u v) ∈ Conjugadas arm´nicas/a =⇒ (v u) ∈ Conjugadas arm´nicas/a o / o es decir que no existe la simetr´ en la relaci´n de conjugadas arm´nicas y en la expresi´n “v es conjugada ıa o o o arm´nica de u”no debe trastocarse el orden de las funciones. o Pero por otra parte s´ se cumple el siguiente teorema: ı Teorema 4.7.3. (u v) ∈ Conjugadas arm´nicas/a ⇐⇒ (−v u) ∈ Conjugadas arm´nicas/a o o Demostraci´n. La demostraci´n es inmediata, teniendo en cuenta que, o o f ∈ H/a ⇐⇒ if ∈ H/a (u + iv) ∈ H/a ⇐⇒ (−v + iu) ∈ H/a Otra demostraci´n es por verificaci´n directa de las condiciones de Cauchy-Riemann. o o
  • 85. 4.7. HOLOMORF´ Y ECUACION DE LAPLACE IA ´ 85 2o Teorema 4.7.4. una funci´n de variable compleja es constante si y s´lo si su derivada compleja es nula, o o en un entorno de un punto. U (a) ⊂ D =⇒ ∀ z ∈ U (a) , f (z) = k ⇐⇒ f ′ (z) = 0 k∈C Demostraci´n. La condici´n suficiente es inmediata, la condici´n necesaria se demuestra, o o o ∀ z ∈ U (a) =⇒ f ′ (z) = 0 ux = 0 =⇒ uy = 0 Aplicando el teorema del valor medio ∆u = ux (a + ξ ∆z)∆x + uy (a + ξ ∆z)∆y ξ ∈ [0 1] El complejo a + ξ ∆z pertenece al entorno de a, y como en todo punto de dicho entorno las derivadas parciales se anulan, resulta: ∆u = 0 =⇒ u = k1 k1 ∈ R an´logamente, a v = k2 k2 ∈ R luego, f (z) = k = k1 + ik2 Es claro entonces que la conjugada arm´nica de una constante es otra constante, arbitraria. o 3o Teorema 4.7.5. La funci´n v, conjugada arm´nica de u, es unica salvo constante. o o ´ ∃v : (u v) ∈ Conj. arm./D =⇒ v − V = k k∈C ∃V : (u V ) ∈ Conj. arm./D Demostraci´n. Por definici´n de conjugadas arm´nicas: o o o ux = vy = Vy −uy = vx = Vx De acuerdo con el teorema 4.7.4, v−V =k k∈C
  • 86. 86 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO 4o Teorema 4.7.6. Una funci´n holomorfa f , cuyas partes real e imaginara son respectivamente u y v, con o derivada no nula, asegura que las familias u(x y) = k1 v(x y) = k2 son trayectorias ortogonales entre s´. ı f (z) = u + iv ∈ H/a =⇒ (u(x y) = k1 , v(x y) = k2 ) ∈ Trayectorias ortogonales f ′ (z) = 0 Demostraci´n. Basta verificar que a partir de las ecuaciones de Cauchy-Riemann: o ∇u • ∇v = ux vx + uy vy = 0 Expresi´n que demuestra la ortogonalidad salvo en el caso de derivada nula1 . o Por lo tanto, si una funci´n arm´nica v es conjugada arm´nica de otra u, en los campos vectoriales o o o ∇u, ∇v, las l´ ıneas equipotenciales de uno son l´ ıneas de campo del otro y viceversa. Ejemplo f: C −→ C z −→ z 2 = x2 − y 2 + i2xy Entonces, son trayectorias ortogonales: u = x2 − y 2 = k1 v = 2xy = k2 1 El s´ ımbolo • se utiliza para representar el producto interno entre vectores
  • 87. 4.7. HOLOMORF´ Y ECUACION DE LAPLACE IA ´ 87 y v z w x u Figura 4.4: Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas arm´nicas o En el gr´fico se han representado las dos familias que son ortogonales entre s´ salvo en z = 0. a ı, Este an´lisis est´ relacionado con las propiedades de las funciones complejas mencionado en 3.2 (ver a a ejemplo) y se explicar´ en detalle en el estudio de la representaci´n conforme en 4.9. a o 4.7.3. Obtenci´n de la conjugada arm´nica de una funci´n en el entorno de o o o un punto Un problema que se plantea es, dado un u (funci´n real de dos variables y arm´nica sobre un deter- o o minado conjunto), hallar otra funci´n v que sea conjugada arm´nica de u. o o Este problema, como veremos, siempre tiene soluci´n sobre conjuntos abiertos conexos. o Adem´s, la soluci´n es unica (salvo constante) para el entorno de un punto, como se desprende del a o ´ teorema 4.7.5. Este resultado se puede generalizar tambi´n para conjuntos simplemente conexos. e Con esta conclusi´n se puede aseverar que cualquiera sea el m´todo empleado para obtener la conju- o e gada arm´nica, ´sta solo puede diferir en una constante. o e El problema planteado, de hallar la conjugada arm´nica de una funci´n u, es equivalente a cualquiera o o de estos planteos: a. Hallar una funci´n potencial v, conocido su gradiente, ∇v = (vx , vy ) = (−uy , ux ) o b. Hallar la familia de funciones ortogonales de la familia u(x y) = k Estos problemas significan, en todos los casos, resolver la ecuaci´n diferencial exacta o dv = vx dx + vy dy que de acuerdo a las condiciones de Cauchy-Riemann, se transforma en: dv = −uy dx + ux dy
  • 88. 88 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO Para la resoluci´n de esta ecuaci´n diferencial, pueden encararse diferentes m´todos que se desarrollan o o e a continuaci´n. o Primer m´todo e Con este m´todo se resuelve la ecuaci´n diferencial en forma general, expresando v como integral e o curvil´ ınea a lo largo de un camino contenido en un conjunto D, para el cual u es arm´nica. o Este an´lisis, se reduce en primer lugar al caso de que D sea una bola en el campo complejo, pudiendo a extenderse sin dificultad a conjuntos simplemente conexos y abiertos. El caso de conjuntos m´ ltiplemente conexos se estudiar´ una vez analizada la integral en el campo u a complejo, sobre las cuales v puede no ser unica. ´ Sea una bola B(c r) del plano complejo, sobre la cual u es arm´nica, entonces, existe una funci´n de o o variable real que es conjugada arm´nica de u. o En primer t´rmino conviene investigar, por medio de una discusi´n heur´ e o ıstica, las caracter´ ısticas que puede tener v; suponiendo que exista. Partiendo de las condiciones de Cauchy-Riemann ux = vy uy = −vx Partiendo de la primera de ellas e integrando respecto de y: y v(x y) = vy (x t) dt + ϕ(x) b y = ux (x t) dt + ϕ(x) b donde b es un n´ mero real, de manera tal que (x b) ∈ B y ϕ es una funci´n de x que hace las veces de u o constante de integraci´n. o Derivando bajo el signo integral, posible porque las derivadas primera y segunda de u son continuas al ser arm´nica, a efectos de aplicar la segunda condici´n de Cauchy-Riemann: o o y vx (x y) = uxx (x t) dt + ϕ′ (x) b recordando adem´s que uyy = −uxx a y −uy (x y) = − uyy (x t) dt + ϕ′ (x) b = −uy (x y) + uy (x b) + ϕ′ (x) Por lo tanto ϕ′ (x) = −ux (x b) x ϕ(x) = −uy (t b) dt + C a
  • 89. 4.7. HOLOMORF´ Y ECUACION DE LAPLACE IA ´ 89 donde a es un real tal que (a b) ∈ B y C es una constante de integraci´n. Se llega entonces a: o x y v(x y) = −uy (t b) dt + ux (x t) dt + C a b Esta es la soluci´n del problema de hallar la funci´n v, conjugada arm´nica de u, sobre B(c r). o o o La integral obtenida, puede ser considerada como una integral curvil´ ınea a lo largo del camino γ (poli- gonal) contenido en B: r (x y) v(x y) = −uy dx + ux dy γ γ c que es tambi´n la circulaci´n del vector e o ∇v = (vx , vy ) (a b) = (−uy , ux ) B(c r) a lo largo de dicha poligonal Figura 4.5: Integraci´n a trav´s de un ca- o e mino poligonal. v(x y) = (−uy , ux ) • dγ dγ = (dx, dy) γ Este estudio de orientaci´n permite justificar la definici´n de una funci´n v(x y) como la integral o o o curvil´ ınea anterior, y a partir de all´ probar que sobre una bola del campo complejo, v es conjugada ı arm´nica de u(x y) y por lo tanto existe y es unica, de acuerdo a 4.7.5 (salvo constante). Esta proposici´n o ´ o se demuestra a continuaci´n. o Teorema 4.7.7.  u ∈ Arm´nica/B(c r) o    γ ∈ Poligonal contenida en B  x y =⇒ (u v) ∈ Conjugadas arm´nicas/B o  v(x y) := −uy (t b) dt + ux (x t) dt   a b Demostraci´n. Derivando v respecto de y: o vy (x y) = ux (x y) y tambi´n respecto de x e y vx (x y) = −uy (x b) + uxx (x t) dt b y = −uy (x b) + −uyy (x t) dt b = −uy (x b) − uy (x y) + uy (x b) = −uy (x y) por lo tanto, se cumplen las dos condiciones de Cauchy-Riemann y siendo las derivadas de v continuas, el par (u v) son conjugadas arm´nicas. o Este resultado puede generalizarse extendiendo la validez de v como integral curvil´ ınea a lo largo de un camino gen´rico γ contenido en conjuntos abiertos y simplemente conexos. e
  • 90. 90 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO Para ello basta recordar que una integral curvil´ ınea no depende del camino sino solamente de los extremos cuando: D ∈ Abierto y simplemente conexo     γ(a) = A   γ ∈ Camino contenido en D :   γ(b) = B =⇒ ∃ V (x y) : P dx + Q dy = V (B) − V (A)   γ Px , Py , Qx , Qy ∈ C      Py = Qx B D γ Esto significa que existe una funci´n potencial o V (x y). Es esencial que D sea simplemente conexo, pues en caso contrario no puede asegurarse la inde- A pendencia del camino. Figura 4.6: Reemplazo de un camino γ por otro poligonal. Aplicando este teorema a nuestro caso, se obtiene: Teorema 4.7.8. D ∈ Abierto y simplemente conexo   γ ∈ Camino contenido en D     u ∈ Arm´nica/D o =⇒ (u v) ∈ Conjugadas arm´nicas/D o    v(x y) := −uy dx + ux dy    γ Demostraci´n. En primer t´rmino se cumplen las hip´tesis del teorema anterior, pues: o e o uxx , uxy , uyx , uyy ∈ C/D u ∈ Arm´nica/D =⇒ o −uyy = uxx y entonces, como la integral curvil´ ınea es independiente del camino γ, puede elegirse una poligonal P tal como lo muestra la figura 4.6. La poligonal formada por un n´ mero finito de segmentos paralelos a los ejes existe siempre porque, u por hip´tesis, D es abierto y conexo, y γ es cerrado y acotado (compacto). o D ∈ Ab. Conexo =⇒ ∃P : = γ P A partir de aqu´ puede aplicarse el resultado anterior del estudio sobre una bola ı (u v) ∈ Conjugadas arm´nicas/D o Este an´lisis se retomar´ una vez estudiada la integral en el campo complejo. En particular se estu- a a diar´ el caso de los conjuntos m´ ltiplemente conexos. a u
  • 91. 4.7. HOLOMORF´ Y ECUACION DE LAPLACE IA ´ 91 Segundo m´todo e Conociendo el resultado del m´todo anterior, que asegura la existencia de v, conjugada arm´nica de e o u, sobre un conjunto abierto y simplemente conexo, puede aplicarse el procedimiento visto al comienzo del p´rrafo anterior. a Este m´todo, que suele convenir en la resoluci´n de ejercicios, consiste en resolver el sistema de e o ecuaciones diferenciales: ux = vy uy = −vx por c´lculo de primitivas (integraci´n indefinida), por ejemplo: a o v(x y) = ux dy + ϕ(x) derivando ∂ vx = −uy = ux dy + ϕ′ (x) ∂x de donde puede despejarse ϕ′ (x), y por lo tanto calcular ϕ(x) y v(x y) ∂ ϕ′ (x) = −uy − ux dy ∂x o tambi´n, de acuerdo a lo visto en el primer m´todo: e e ϕ′ (x) = −uy (x b) Llegando al resultado final: v(x y) = ux (x y) dy + ϕ(x) v(x y) = ux (x y) dy + −uy (x b) dx Tercer m´todo. Milne-Thomson. e El m´todo de Milne-Thomson permite resolver en forma elegante y directa casos que con los m´todos e e anteriores son dificultosos. La demostraci´n es una modificaci´n de la original, y no es simple, pero la aplicaci´n del m´todo, o o o e como se ver´, es muy sencilla. a Como hip´tesis se toma un conjunto abierto y simplemente conexo, que contenga el origen (0 0), para o simplificar. Si no lo contuviera, el problema se reduce al primero con una traslaci´n. o Teorema 4.7.9 (Milne-Thomson). D ∈ Abierto y simplemente conexo   (0 0) ∈ D      U (x y) ∈ Arm´nica/D o   U (z) + iV (z) ∈ H/D =⇒ U (x) = l´ U (x y) ım  (U, V ) ∈ Conjugadas arm´nicas/D o y→0       V (x) = l´ Uy (x y) dx ım   y→0
  • 92. 92 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO Demostraci´n. En base al estudio realizado para el primer m´todo se asegura que sobre D existe conju- o e gada arm´nica de u, que se llamar´ v. De acuerdo entonces al teorema 4.7.1, u + iv es holomorfa sobre o a D. ∃ f (z) = u + iv : f ∈ H/D un primer paso de la demostraci´n es el siguiente lema: Una funci´n f de imagen f (z) tiende a f (x) para o o y → 0. Esto significa que el l´ ımite para y → 0 se obtiene reemplazando formalmente x por z. Si f es holomorfa en el entorno de (0 0) se asegura la existencia de dicho l´ ımite. f (z) = f (x + iy) − − f (x) −→ y→0 Viceversa, este resultado dice que si se conoce f (x) puede obtenerse f (z) reemplazando formalmente x por z. sen x −→ sen z Ejemplos: ex −→ ez ımite para y → 0 adquiere entonces, para el caso de una funci´n holomorfa, la siguiente forma: El l´ o f (x + iy) = u(x y) + i v(x y) y→0 y→0 f (x) = U (x) + i V (x) Donde U (x) y V (x) representan respectivamente los l´ ımites de u(x y) y de v(x y) que existen por la continuidad de f en (0 0), debida a la holomorf´ ıa. En nuestro caso, la U (x) se obtiene f´cilmente y entonces el problema se reduce a la b´ squeda de a u V (x). Para ello se demuestra que: ∂ ∂ l´ ım v= l´ v ım y→0 ∂x ∂x y→0 es decir: ∂ ∂x v(x y) / vx (x y) y→0 y→0 ∂ ∂x V (x) / V ′ (x) = V1 (x) En efecto, como v es arm´nica tiene derivadas continuas, y por el teorema de Heine-Cantor de la o continuidad uniforme 2 se asegura que V ′ (x) = V1 (x). Aplicando, por lo tanto, las condiciones de Cauchy-Riemann: V (x) = l´ vx (x y) dx ım y→0 = l´ uy (x y) dx ım y→0 2 El teorema de Heine-Cantor, aplicado a una funci´n f : Rn −→ R, afirma que si f est´ definida sobre un compacto D: o a ∀ǫ0, ∃δ 0 : ∀ x′ , x′′ ∈ D : ||x′ − x′′ || δ =⇒ |f (x′ ) − f (x′′ )| ǫ Esto quiere decir que se puede elegir un ǫ tal que toda la imagen de f en D este contenida en una banda uniforme [f (x − ǫ), f (x + ǫ)].
  • 93. 4.7. HOLOMORF´ Y ECUACION DE LAPLACE IA ´ 93 Puede formarse entonces f (x) = U (x) + iV (x) y de acuerdo al resultado del lema analizado al comienzo f (z) = U (z) + iV (z) Esta funci´n, de acuerdo con lo visto, es holomorfa y sus partes real e imaginaria son: o u(x y) = Re(U + iV ) v(x y) = Im(U + iV ) Que son arm´nicas conjugadas. o La practicidad del m´todo lo prueba el ejemplo siguiente: e x+1 u= (x + 1)2 + y 2 u verifica la ecuaci´n de Laplace para todo z = (−1, 0) y adem´s tiene las derivadas segundas continuas, o a siendo por lo tanto arm´nica. Eligiendo entonces, un conjunto D abierto y simplemente conexo que no o contenga a (-1,0): 1 u − − U (x) = −→ y→0 x+1 Por otra parte −2y(x + 1) uy = − − 0 = V ′ (x) −→ ((x + 1)2 + y 2 )2 y→0 V (x) = k k∈R resultando entonces f (z) = U (z) + iV (z) 1 = + ik z+1 cuyas partes real e imaginaria son conjugadas arm´nicas: o x+1 u= (x + 1)2 + y 2 −y v= +k (x + 1)2 + y 2 Observaci´n: Si se deseara plantear el problema de obtener u, conocida la funci´n v de manera tal que o o (u v) sean conjugadas arm´nicas, basta recordar que (−v u) son conjugadas arm´nicas, y por lo tanto son o o de aplicaci´n los m´todos anteriores. o e
  • 94. 94 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO 4.8. Holomorf´ en el infinito ıa ˆ Cuando se trabaja con funciones definidas en el complejo extendido C, aunque no se conserva la es- tructura de espacio vectorial, es posible dar un sentido al concepto de funci´n holomorfa en ∞. o Esta definici´n es de especial utilidad para el c´lculo de integrales en el campo complejo. o a Sea una funci´n f definida en el complejo extendido: o f : D −→ C ˆ : ˆ D⊂C, ∞∈D z −→ f (z) de acuerdo a lo visto en 2.9.1, el 0 es imagen del punto ∞ por la inversi´n: o ˆ Inv : C −→ C ˆ   1/z z = 0, z = ∞ z −→ ∞ z=0 0 z=∞  o tambi´n por una restricci´n de la inversi´n al entorno de ∞: e o o Inv’ : U (∞) −→ Cˆ 1/z ∀ z ∈ U (∞) − {∞} z −→ 0 z=∞ y entonces el problema del estudio de la funci´n f en ∞ se reduce a un problema en el entorno de 0 de o la funci´n compuesta o ˆ f ◦ Inv’ : U (∞) −→ C f (1/z) z=∞ z −→ f (0) z=∞ Observaci´n: La necesidad de restringir la inversi´n surge de asegurar la existencia de la funci´n com- o o o puesta f ◦ Inv’, pues debe cumplirse que el rango de la Inv’ debe estar incluido en el dominio D de la funci´n f . Esto se muestra en la figura 4.7. o Inv’ f ˆ C D ∞ R U(∞) Figura 4.7: Dominio e imagen de Inv’ y f El an´lisis anterior permite definir: a D ∈ abierto y conexo ˆ f : D −→ C : ∞ ∈ D f ∈ H/∞ := f ◦ Inv’ ∈ H/D Ejemplo: sen(1/z) ∈ H/∞ ⇐= sen(z) ∈ H/D
  • 95. ´ 4.9. REPRESENTACION CONFORME 95 4.9. Representaci´n conforme o La transformaci´n de caminos por medio de funciones holomorfas tiene caracter´ o ısticas tales como para merecer un estudio particular. La aplicaci´n de estas propiedades permite resolver, en dos dimensiones, problemas de potencial en o campos gravitatorios, el´ctricos, magn´ticos, de temperatura, etc. y en general para cualquier campo con- e e servativo, adem´s de problemas se ingenier´ el´ctrica: diagramas de impedancia-admitancia y problemas a ıa e de cartograf´ıa. 4.9.1. ´ Angulo entre caminos Vector tangente a un camino Para definir el ´ngulo orientado entre dos caminos, conviene establecer previamente el concepto de a vector tangente a un camino. Se llama vector tangente al camino γ, en el punto γ(c), a: x′ (c) T (γ, γ(c)) := : (x′ (c), y ′ (c)) = (0 0) y ′ (c) T (γ, γ(c)) := Vector tangente al camino γ en el punto γ(c) El vector tangente T (γ, γ(c),) no es m´s que γ ′ (c) expresado en notaci´n matricial. a o T (γ, γ(c)) γ(c) | | | a c b Figura 4.8: Vector tangente a γ en el punto γ(c). La condici´n impuesta, que γ ′ (c) = (0 0), equivalente a que el vector tangente es no nulo, es indispen- o sable para definir la recta tangente en el punto γ(c): Tg : R −→ C t −→ γ(c) + t γ ′ (c) Tg := Recta tangente al camino γ en el punto γ(c) Es usual tambi´n introducir la siguiente terminolog´ e ıa: Se dice que un camino es regular en el punto γ(c) si γ ′ (c) = 0, es decir, si existe vector tangente en ese punto. Asimismo, un camino se dice que es regular a secas, si lo es en todos sus puntos. γ ∈ Camino regular/γ(c) := γ ′ (c) = 0 γ ∈ Camino regular := ∀ c ∈ [a b] =⇒ γ ′ (c) = 0
  • 96. 96 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO ´ Angulo entre dos caminos Dados dos caminos γ2 γ1 : [a1 b1 ] −→ C T (γ2 , zc ) γ2 : [a2 b2 ] −→ C γ1 zc α que se cortan en el punto zc , es decir: T (γ1 , zc ) ∃ c1 ∈ [a1 b1 ] : γ1 (c1 ) = γ2 (c2 ) ´ Figura 4.9: Angulo entre los caminos γ1 y ∃ c2 ∈ [a2 b2 ] γ2 en el punto zc . zc := γ1 (c1 ) entonces se llama angulo orientado de γ1 a γ2 , de- ´ signado en la figura 4.9 por α, al angulo orientado ´ entre los respectivos vectores tangentes en el punto de corte zc . Anal´ ıticamente, el ´ngulo orientado de γ1 a γ2 es el n´ mero real definido por: a u ′ ′ Ang(γ1 , γ2 ) := Arg(γ2 (c2 )) − Arg(γ1 (c1 )) ´ Ang(γ1 , γ2 ) := Angulo orientado entre los caminos γ1 y γ2 Observaci´n 1: Conviene remarcar que en la definici´n anterior se ha empleado la funci´n valor principal o o o del argumento, que establece una unica determinaci´n del mismo. ´ o Una propiedad del ´ngulo entre dos caminos, que destaca el concepto de orientaci´n intr´ a o ınseco a la definici´n, es: o Ang(γ1 , γ2 ) = −Ang(γ2 , γ1 ) Una cota superior para el ´ngulo orientado α est´ dada por: a a ′ ′ |Ang(γ1 , γ2 )| |Arg(γ2 (c2 ))| + |Arg(γ1 (c1 ))| π+π 2π Observaci´n 2: El m´dulo del ´ngulo entre los caminos γ1 y γ2 puede ser expresado bajo forma vectorial o o a a partir de: T1 • T2 cos(α) = ||T1 || ||T2 || 4.9.2. Transformaci´n de caminos o Teorema 4.9.1. Una funci´n f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen o derivadas primeras continuas, transforma un camino γ : [a b] −→ C, contenido en D, en otro camino f ◦ γ contenido en R.
  • 97. ´ 4.9. REPRESENTACION CONFORME 97 R D γ f f ◦γ Figura 4.10: Transformaci´n de caminos por una funci´n de variable compleja. o o γ : [a b] −→ D    t −→ x(t) + iy(t)        γ ∈ Camino contenido en D  =⇒ f ◦ γ ∈ Camino contenido en R  f : D −→ R    ux , uy ∈ C/D   z −→ (u v) :    vx , vy ∈ C/D  Demostraci´n. Sea la composici´n o o f ◦ γ : [a b] −→ R t −→ u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t)) γ es un camino, y por lo tanto es continua. γ ′ es continua por partes: γ ∈ C/[a b] =⇒ f ◦ γ ∈ C/[a b] f ∈ C/D (f ◦ γ)′ = (ux xt + uy yt ) + i(vx xt + vy yt ) que es continua por partes porque las derivadas primeras de u y de v son continuas (f ◦ γ)′ ∈ CP/[a b] Con las mismas hip´tesis del teorema anterior, si f es adem´s inyectiva, transforma un camino simple o a (arco de Jordan) en otro camino simple: Teorema 4.9.2.  γ ∈ Camino simple contenido en D      f : D −→ R    ux , uy ∈ C/D =⇒ f ◦ γ ∈ Camino simple contenido en R z −→ (u v) : vx , vy ∈ C/D        f ∈ Inyectiva 
  • 98. 98 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO Demostraci´n. De acuerdo al teorema 4.9.1, f ◦ γ es un camino, pero adem´s: o a γ ∈ Camino simple =⇒ γ ∈ Inyectiva por lo tanto: γ ∈ Inyectiva =⇒ f ◦ γ ∈ inyectiva f ∈ Inyectiva entonces f ◦ γ es un camino simple. Las transformaciones de lazos se rigen por los mismos teoremas anteriores. Si f es una funci´n de las o caracter´ ısticas indicadas, todo lazo se transforma en lazo y adem´s, se f es inyectiva, todo lazo simple se a transforma en un lazo simple. Corolario 4.9.2.1.  γ ∈ Lazo contenido en D      f : D −→ R =⇒ f ◦ γ ∈ Lazo contenido en R ux , uy ∈ C/D z −→ (u v) :   vx , vy ∈ C/D    Corolario 4.9.2.2.  γ ∈ Lazo simple contenido en D      f : D −→ R    ux , uy ∈ C/D =⇒ f ◦ γ ∈ Lazo simple contenido en R z −→ (u v) : vx , vy ∈ C/D        f ∈ Inyectiva  4.9.3. Transformaci´n de vectores tangentes o Dada la funci´n f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen derivadas o primeras continuas, como se ha visto transforma un camino γ en otro f ◦γ por medio de una transformaci´n o que se puede caracterizar por: ut = ux xt + uy yt vt = vx xt + vy yt sistema que escrito en notaci´n matricial toma la forma: o ut ux uy xt = vt vx vy yt que representa la aplicaci´n lineal que transforma los vectores tangentes al camino γ en el punto γ(c) o en los vectores tangentes a f ◦ γ, en el punto (f ◦ γ)(c); siempre y cuando se cumplan las condiciones detalladas al final de este p´rrafo. a La aplicaci´n anterior es llamada aplicaci´n lineal tangente a f en el punto γ(c) y se caracteriza como o o sigue: J(f, γ(c)) : T (γ, γ(c)) −→ J(f, γ(c)) · T (γ, γ(c)) J(f, γ(c)) := Aplicaci´n lineal tangente a f en el punto γ(c) o
  • 99. ´ 4.9. REPRESENTACION CONFORME 99 donde la matriz ux uy J(f, γ(c)) = vx vy no es otra que la matriz jacobiana del sistema u = u(x y) v = v(x y) y por lo tanto, si el determinante de J no es nulo (|J| = 0), se asegura la existencia y unicidad de la funci´n inversa f −1 continua y con derivadas primeras continuas para sus partes real e imaginaria, es o decir: x = x(u v) y = y(u v) Se deduce directamente de la definici´n de la aplicaci´n J(f, γ(c)) que: o o Condici´n necesaria y suficiente para que una aplicaci´n lineal tangente J(f, γ(c)) transforme el vector o o tangente al camino γ en el punto γ(c) en el vector tangente al camino f ◦ γ en el punto f ◦ γ(c), es que la matriz J sea regular (|J| = 0) y que γ tenga vector tangente γ ′ (c) = 0. f : D −→ R z −→ (u v) : ux , uy , vx , vy ∈ C/D γ ∈ Camino contenido en D γ ′ (c) = 0 =⇒ (f ◦ γ)′ = 0 |J(f, γ(c))| = 0 4.9.4. Aplicaci´n conforme o Se dice que una funci´n f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen o derivadas primeras continuas, es una aplicaci´n conforme en el punto zc ; si la matriz J(f, γ(c)) conserva o los ´ngulos orientados de los vectores tangentes a dos caminos. a Esto significa que el ´ngulo orientado entre dos caminos γ1 y γ2 es igual al ´ngulo orientado entre los a a caminos transformados f ◦ γ1 y f ◦ γ2 .  f : D −→ R   f ∈ Aplicaci´n conforme/zc := o z −→ (u v) : ux , uy , vx , vy ∈ C/D  ∀ (γ1 γ2 ) : zc = γ1 (c1 ) = γ2 (c2 ) =⇒ Ang(γ1 , γ2 ) = Ang(f ◦ γ1 , f ◦ γ2 ) 
  • 100. 100 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO γ2 f ◦ γ1 γ1 f ◦ γ2 zc α α f (zc ) Figura 4.11: Conservaci´n del ´ngulo entre dos caminos mediante una aplicaci´n conforme f . o a o En particular, una aplicaci´n conforme transforma caminos ortogonales α = ± π en caminos orto- o 2 gonales, caso de inter´s para el estudio de las l´ e ıneas equipotenciales de un campo y sus trayectorias ortogonales: las l´ ıneas de campo. Observaci´n 1: Una aplicaci´n f se dice que es isogonal cuando en su transformaci´n conserva los angulos o o o ´ de dos caminos en m´dulo, es decir sin especificar la orientaci´n. o o Es decir, la aplicaci´n isogonal asegura la conservaci´n del valor absoluto del ´ngulo en la transformaci´n, o o a o pero no asegura la conservaci´n del signo. o Es condici´n necesaria entonces, para que una aplicaci´n sea conforme, que sea isogonal. o o Condici´n necesaria y suficiente, desde el punto de vista vectorial, para que una transformaci´n sea o o isogonal es que para todo par de vectores (x1 x2 ) se cumpla: X1 • X2 x1 • x2 ∀ (x1 x2 ) = |X1 ||X2 | |x1 ||x2 | donde con X may´ sculas se has simbolizado los transformados de x min´ sculas, es decir: u u A : x −→ A x = X Antes de estudiar las condiciones generales que debe cumplir una funci´n f de variable compleja para o ser una aplicaci´n conforme es inmediato observar que: o Condici´n necesaria para que f sea una aplicaci´n conforme en zc es que el jacobiano sea distinto de o o cero: f ∈ Aplicaci´n conforme/zc =⇒ |J(f, zc )| = 0 o Es obvio que para que existan los ´ngulos orientados entre caminos, tanto γ como f ◦ γ deben ser a regulares. Por lo tanto, (f ◦ γ)′ = 0 implica que el jacobiano no es nulo de acuerdo con el resultado obtenido en la secci´n anterior “in fine”. o
  • 101. ´ 4.9. REPRESENTACION CONFORME 101 Observaci´n 2: A los efectos posteriores de estudiar las caracter´ o ısticas generales de la aplicaci´n lineal o J(f, zc ) : T −→ J · T : |J| = 0 cuyo determinante no es nulo, conviene recordar las propiedades que debe tener una aplicaci´n lineal de o dos dimensiones: A : x −→ A x = X para que conserve los ´ngulos entre dos vectores de la transformaci´n. a o Para ello es condici´n necesaria (no suficiente) que se conserve el producto interno, salvo constante o positiva, para cualquier par de vectores (x1 x2 )3 : ∀ (x1 x2 ) X1 • X2 = k x1 • x2 : k0 xT AT 1 · A x2 = k T x1 · x2 Como esta igualdad debe cumplirse para cualquier par (x1 x2 ) debe ser: AT · A = k I Es decir, A es ortogonal salvo constante AT = k A−1 La forma general de A se deduce de esta ultima igualdad haciendo: ´ a b A= |A| = 0 c d a c k d −b = b d ad − bc −c a k Llamando K = ad−bc resulta Kd −Kb = −Kc Ka De la igualdad de matrices se obtiene como unica posibilidad: ´ K = ±1 Por lo tanto, las dos matrices que mantienen el producto interno, salvo constante son: a −b cos(α) − sen(α) K = 1 =⇒ A = =R b a sen(α) cos(α) a b cos(α) sen(α) K = −1 =⇒ A = =R b −a sen(α) − cos(α) 3 En el desarrollo siguiente se expresa el producto interno de dos vectores cualesquiera x, y ∈ R2 como x • y = xT · y, donde xT representa el vector transpuesto de x, y · representa el producto usual de matrices.
  • 102. 102 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO donde √ R = a2 + b 2 α = Arg(a, b) sin embargo, una sola de ellas conserva los ´ngulos orientados, pues: a cos(α) − sen(α) r cos(θ) cos(α) cos(θ) − sen(α) sen(θ) =r sen(α) cos(α) r sen(θ) sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ) = r ei(α+θ) representando entonces la primera de las dos matrices una rotaci´n para R = 1 o una rotaci´n con o o dilataci´n para R = 1 (homotecia), y por lo tanto conservando los ´ngulos orientados, mientras que: o a cos(α) sen(α) r cos(θ) cos(α) cos(θ) + sen(α) sen(θ) = sen(α) − cos(α) r sen(θ) sen(α) cos(θ) − cos(α) sen(θ) = r ei(α−θ) la aplicaci´n de la segunda matriz es una simetr´ respecto de la recta que pasa por el origen, de pendiente o ıa α 2 . Si R = 1 es una simetr´ y una dilataci´n si R = 1, no conserv´ndose por lo tanto los ´ngulos orientados. ıa o a a y X2 z y X2 z X1 X1 x2 x1 x1 α 2 x2 x x K=1 K = −1 Figura 4.12: Transformaci´n de ´ngulos para aplicaciones con distintos valores de K. Para K = 1 es conforme, o a mientras que para K = −1 es s´lo isogonal. o En resumen: Teorema 4.9.3. Para que una aplicaci´n lineal en dos dimensiones A : x −→ A x conserve los angulos o ´ orientados, es condici´n necesaria y suficiente que la matriz A sea regular y del tipo: o a −b A= b a Es decir: A : R2 −→ R2 x −→ A x   a −b  A= ∀ (x1 x2 ) Ang(x1 , x2 ) = Ang(A x1 , A x2 ) ⇐⇒ b a  |A| = 0 
  • 103. ´ 4.9. REPRESENTACION CONFORME 103 Analizando las caracter´ ısticas que debe cumplir una funci´n de variable compleja, para que sea una o aplicaci´n conforme se llega a: o Teorema 4.9.4. Condici´n necesaria y suficiente para que una funci´n f : D −→ R de partes real e o o imaginaria con derivadas primeras continuas, sea aplicaci´n conforme en zc , es que f sea holomorfa y o de derivada primera no nula en ese punto. f ∈ H/zc ⇐⇒ f ∈ Aplicaci´n conforme/zc o f ′ (zc ) = 0 Demostraci´n. De acuerdo al an´lisis hecho en la Observaci´n 2 anterior, para que la aplicaci´n lineal o a o o tangente conserve los ´ngulos orientados debe ser del tipo a a −b J(f, zc ) = b a |J(f, zc )| = 0 Como por definici´n, J tiene como elementos las derivadas parciales de u y de v, que son continuas, o resulta: ux uy J(f, zc ) = vx vy  ux = vy   uy = −vx ⇐⇒ f ∈ H/zc  ux , uy , vx , vy ∈ C/zc  |J| = ux vy − uy vx ⇐⇒ f ′ (zc ) = 0 = u2 x + 2 vx =0 La doble implicaci´n del teorema surge inmediatamente de la reversibilidad de la demostraci´n. o o De acuerdo con el resultado obtenido, se desprende: Corolario 4.9.4.1. Condici´n necesaria y suficiente para que un camino transformado por una funci´n o o holomorfa sea regular, es que el camino original sea regular y que la derivada primera sea no nula. γ ∈ Camino contenido en D f ∈ H/zc f ′ (zc ) = 0 ⇐⇒ (f ◦ γ)′ = 0 γ ′ (c) = 0 Bajo las hip´tesis anteriores, f es holomorfa en zc y con derivada no nula, resulta: o (f ◦ γ)′ = f ′ · γ ′ por lo tanto, la aplicaci´n lineal tangente J(f, γ(c)) puede ser expresada por: o z −→ f ′ (zc ) · z que representa una homotecia compleja (rotaci´n y dilataci´n) de γ sobre s´ mismo. El coeficiente de o o ı dilataci´n es |f ′ (zc )| y el ´ngulo de rotaci´n es Arg(f ′ (zc )). o a o
  • 104. 104 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO En el caso de que f ′ (zc ) = 0, siendo f una funci´n no constante, no se mantiene el ´ngulo orientado. o a Se puede demostrar que el ´ngulo entre dos caminos, en este caso, se transforma de un valor α a un valor a nα, donde n es el orden de la menor derivada no nula en zc . Si la funci´n f : D −→ R es una aplicaci´n conforme sobre todos los puntos del domino D, se dice o o que f es una representaci´n conforme de D sobre f (D). o f ∈ Representaci´n conforme/D, f (D) := ∀ z ∈ D, o f ∈ Aplicaci´n conforme/z o f ∈ Representaci´n conforme/D, f (D) := La funci´n f es una representaci´n conforme de D sobre f (D) o o o La existencia de f ′ (z) = 0 asegura la no nulidad del jacobiano |J(f, z)|; lo cual, de acuerdo a lo ya mencionado en 4.9.3, implica la existencia de la funci´n inversa de f o f −1 : f (D) −→ D w −→ z : w = f (z) Existe tambi´n la derivada de la funci´n inversa, seg´ n las reglas normales e o u 1 (f −1 )′ = f ′ (z) En este caso, entonces, la funci´n f es biyectiva. o La funci´n inversa tambi´n es una representaci´n conforme de f (D) sobre D. o e o Quedan explicadas, a la luz de la representaci´n conforme, las propiedades de las transformaciones o complejas dadas como ejemplo en 3.2 y 4.7.2. 4.9.5. Transformaci´n de ´reas e integrales dobles o a Sea f una representaci´n conforme de D sobre f (D). Para estas funciones se puede llegar a una o f´rmula particular de c´lculo de ´reas. o a a Si f (D) es un conjunto sobre el cual puede calcularse la integral que define el ´rea, entonces se acuerdo a a las reglas de cambio de variables: A= du dv = |J| dx dy f (D) D pero como |J| = u2 + vx x 2 = |f ′ (z)|2 Resulta entonces: du dv = |f ′ (z)|2 dx dy f (D) D f´rmula que establece la relaci´n de ´reas en una transformaci´n conforme. o o a o
  • 105. ´ 4.9. REPRESENTACION CONFORME 105 4.9.6. Los problemas de la representaci´n conforme o Sea una funci´n de variable compleja f que transforma un conjunto D en otro f (D). o Se pueden plantear entonces dos problemas llamados directo e inverso de representaci´n conforme. o I. Problema directo de la representaci´n conforme. o Dado el conjunto D y la funci´n f , hallar la imagen f (D). La funci´n f tiene que ser holomorfa y o o no constante. II. Problema Inverso de la representaci´n conforme. o Dados dos conjuntos D y D′ , hallar la funci´n f holomorfa que sea una representaci´n conforme o o de D sobre D′ . El problema inverso no siempre tiene soluci´n y existen teoremas generales que se ocupan del tema, o pero tampoco dan soluci´n en todos los casos. o En la pr´ctica se suelen emplear soluciones aproximadas que dan origen a dif´ a ıciles problemas de c´lculo a num´rico. e Otro m´todo importante para resolver el problema inverso es la tabulaci´n de representaciones con- e o formes seg´ n el problema directo. u El problema inverso tiene especial´ ısimo inter´s en las cuestiones relacionadas con los campos poten- e ciales, es decir, los conjuntos abiertos sobre los cuales se cumple la ecuaci´n de Laplace: o ∇2 u = uxx + uyy = 0 que rige en campos el´ctricos, magn´ticos, gravitatorios, hidrodin´micos y teor´ del calor. e e a ıa Un problema tipo es el siguiente: Conocido el potencial sobre la frontera de un conjunto abierto D (representada por el lazo γ) que en particular puede ser una l´ ınea equipotencial, hallar la distribuci´n de potencial en el interior de D. o Este puede encararse (no siempre tiene soluci´n) hallando una funci´n f que sea una representaci´n o o o conforme de D sobre un conjunto D′ de geometr´ sencilla (por ejemplo un c´ ıa ırculo) sobre el cual se conozca el potencial en todos sus puntos. Invirtiendo la funci´n f , el problema planteado queda resuelto. En particular pueden hallarse las o l´ ıneas equipotenciales y las l´ ıneas de campo en el conjunto D. γ γ′ f D′ D Figura 4.13: L´ ıneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representaci´n conforme. o
  • 106. 106 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO 4.9.7. La inversi´n o El estudio de la funci´n inversi´n tiene particular importancia en las aplicaciones de representaci´n o o o conforme. ˆ ˆ inv : C −→ C   1/z  z = 0, z = ∞ z −→ 0 z=∞  ∞ z=0  o o ˆ Es f´cil verificar que la inversi´n es una biyecci´n de C sobre s´ mismo. a ı En coordenadas cartesianas las inversi´n, para z = 0 y z = ∞ puede presentarse como la transforma- o ci´n que sigue, y su inversa: o x −y (x y) −→ (u v) = ( , ) x2 + y 2 x2 + y 2 u −v (u v) −→ (x y) = ( 2 , ) u + v 2 u2 + v 2 o tambi´n en coordenadas polares e (r θ) −→ (R Θ) = ( 1 , −θ) r 1 (R Θ) −→ (r θ) = ( R , −Θ) Las expresiones en coordenadas polares permiten una interpretaci´n sencilla de la inversi´n de un o o 1 complejo z = (r θ). El complejo z tiene por m´dulo al rec´ o ıproco del m´dulo de z, y por argumento el o 1 1 opuesto del argumento de z, es decir z = ( r , −θ). Geom´tricamente: e z r θ x −θ u 1 r 1 z Figura 4.14: Transformaci´n de vectores mediante una inversi´n. o o Las construcciones geom´tricas m´s sencillas para obtener la rec´ e a ıproca de un complejo son: z β Construyendo dos tri´ngulos semejantes, como mues- a r tra la figura 4.15, se obtiene que R = 1 , pues: r r 1   =  sen(α) sen(θ)  1 θ α =⇒ R = R 1  r θ β 1 x =   R α sen(θ) sen(α) 1 Figura 4.15: Construcci´n geom´trica para z o e obtener la rec´ ıproca de un complejo.
  • 107. ´ 4.9. REPRESENTACION CONFORME 107 z r Un segundo m´todo, mostrado en la figura 4.16, se e θ 1 basa en un m´todo semejante al anterior con apoyo e θ x en la circunferencia de radio unitario. 1 r 1 z Figura 4.16: Construcci´n geom´trica alter- o e nativa para hallar la rec´ ıproca de un n´mero u complejo. Una aplicaci´n de utilidad es la inversi´n de la familia γ o o γ a(x2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 que representa a todas las circunferencias del plano para a = 0 y a todas las rectas del plano para a = 0. Si se aplica la inversi´n a la familia anterior, resulta: o f ◦γ a + bu − cv + d(u2 + v 2 ) = 0 que es una ecuaci´n de las mismas caracter´ o ısticas de la anterior, representando todas las circunferencias del plano para d = 0 y a todas las rectas del plano para d = 0. En el cuadro 4.1, preparado al efecto, se muestran todos los casos posibles de transformaci´n de cir- o cunferencias y rectas por medio de la inversi´n. o En los respectivos gr´ficos se presentan las construcciones geom´tricas convenientes para obtener la a e inversi´n propuesta. Para ello debe recordarse que el punto z, perteneciente a γ de m´ximo m´dulo, se o a o transforma en el punto w, perteneciente a f ◦ γ de m´ınimo m´dulo; y que tambi´n la transformaci´n es o e o conforme, es decir, mantiene los ´ngulos orientados. a 4.9.8. La funci´n homogr´fica o a Se llama funci´n homogr´fica no degenerada u homograf´a a la funci´n racional: o a ı o ˆ ˆ Hom : C −→ C   az + b d a, b, c, d ∈ C    cz + d z=− z=∞ : c ad − bc = 0   z −→ a z=∞ c  d   ∞  z=− c
  • 108. 108 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION EN EL CAMPO COMPLEJO γ |z f ◦γ |w y z v w (0 0) ∈ γ (0 0) ∈ f ◦ γ γ α x α u f ◦γ a=0 d=0 Recta que pasa por (0 0) Recta que pasa por (0 0) y z v w (0 0) ∈ f ◦ γ (0 0) ∈ γ / A α γ x α u f ◦γ a=0 A′ d=0 Recta que no pasa por (0 0) Circunf. que pasa por (0 0) y z v w (0 0) ∈ γ (0 0) ∈ f ◦ γ / A f ◦γ α γ x α u ′ A a=0 d=0 Circunf. que pasa por (0 0) Recta que no pasa por (0 0) y z v w (0 0) ∈ γ / A (0 0) ∈ f ◦ γ / γ B α x α u A′ f ◦γ a=0 B′ d=0 Circunf. que no pasa por (0 0) Circunf. que no pasa por (0 0) Cuadro 4.1: Diversas transformaciones mediante la funci´n inversi´n. o o
  • 109. ´ 4.9. REPRESENTACION CONFORME 109 Si se supusiera que ad − bc = 0, la funci´n homogr´fica se reducir´ a una constante. o a ıa Si c = 0, la homograf´ se reduce a la funci´n lineal ıa o a b z −→ z+ d d Si c = 0, la homograf´ puede llevarse a la forma ıa β w−α= z−δ que representa sucesivamente: I. Desplazamiento z1 = z − δ 1 II. Inversi´n o z 2 = z1 III. Homotecia z3 = β z2 IV. Desplazamiento w = α + z3 y que permite interpretar f´cilmente la transformaci´n de circunferencias y rectas por medio de la a o tabla hecha para la inversi´n. o Recta que pasa por δ ←→ Recta que pasa por α Recta que no pasa por δ ←→ Circunf. que pasa por α Circunf. que pasa por δ ←→ Recta que no pasa por α Circunf. que no pasa por δ ←→ Circunf. que no pasa por α La homotecia est´ caracterizada por un giro definido por el Arg(β) y una dilataci´n definida por el |β|. a o La homograf´ permite tambi´n estudiar la representaci´n conforme de c´ ıa e o ırculos en semiplanos, o c´ ırculos en c´ ırculos, u otras combinaciones de conjuntos del plano limitados por circunferencias y rectas.

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