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  • 1. CÁLCULO 1APLICACIONES DE LA DERIVADA - COSTOS MARGINALES Erick Vásquez Llanos viterick@gmail.com
  • 2. CASO 01 Un comerciante de calzado tiene una producción mensual de x(docenas de calzado) y el costo total se describe por medio de lafunciónEl costo cuando se produce 100 docenas de calzados es deS/. 252 000. Determine si es conveniente producir 1 docena más pormes.
  • 3. CASO 02El costo de un lote de espárragos en un mes depende de la cantidadx (toneladas) producida de acuerdo con la funciónAsí tenemos que el costo por producir 300 toneladas de espárragoses de S/. 90 602 nuevos soles.Determinar si es conveniente producir una tonelada más.
  • 4. LOGROS DE LA SESIÓNAl terminar la sesión de aprendizaje deberás ser capaz de:1. Explica el costo marginal de modelos matemáticos relacionados a los negocios internacionales.2. Resolver problemas relacionados con costos marginales aplicando la teoría de derivación de funciones reales de un variable real.
  • 5. Recordar • Derivación de funciones reales. • Propiedades de derivación • Regla de la cadena
  • 6. Temario1. Introducción2. Definición de Costo marginal.3. Ejemplos de costos marginales
  • 7. ¡INTERROGANTE! 2El costo de producto x unidades de cierto artículo es C = C(x) = x 1 ,luego el costo de producir 50 unidades será: S/. 2 499 y el costopromedio es:CP(x) = 2499/50 = S/. 49, 98, ahora nos preguntamos¿Cuesta lo mismo producir 50 unidades que 52 unidades?, o de manerageneral:¿Cuánto cuesta producir cada unidad de x mas allá de 50 unidades?
  • 8. Veamos la tabla siguiente:Observamos que el costo promedio en un intervalo del tipo 50,50 + x para los incrementos 0,5; 0,4: … 0;1 son mayores quecosto promedio respecto a 50. luego no es conveniente; pero ¿serápráctico siempre proceder de esta manera?. Veamos la definiciónsiguiente:
  • 9. Costo marginal Dada una función de costo general C(x) que represente el costo de producir una cantidad x de cierto articulo, el costo marginal se define del modo siguiente: La función costo total es Q(x) = x 2 2 x 2 Ejemplo 1: Halle el costo marginal, después de producir 300 unidadesSolución:Tenemos Q’(x) = 2x+2, luego Como 602 < Q’(603)Q’(300) = 602 Por lo tanto, no es convenienteAdemás Q(301) – Q(300) = 603 producir la siguiente unidad.
  • 10. Ejemplos 2:En cierta fábrica, el costo total de fabricación de xartículos diariamente es de C ( x ) 0, 2 x 2 x 200Según la experiencia, se ha determinado que durante lasprimeras t horas del trabajo de producción diario sefabrican aproximadamente t 2 t artículos.Halle el costo marginal después de una hora. 10
  • 11. SoluciónLa tasa de cambio del costo con respecto al tiempo es dt/dC , aplicando la reglade la cadena tenemosComo x representa el número de artículos producidos y la producción durantelas primeras t horas, sustituimos t por x Así que después de una hora el costo total estará creciendo a una tasa de 4222.8 unidades monetarias por hora
  • 12. ¿Podrías ahora resolver el caso 01?
  • 13. EVALUACIÓN1. La función costo total por producir un artículo es 2 , 05 x Q ( x) 5e Determinar el costo marginal por producir la siguiente unidad2. El costo total de la producción de q unidades de cierto producto sedescribe por medio de la función c =100.000 + 1.500q + 0.2q2donde C es el costo total expresado en dólares. Determine cuántasunidades q deberían fabricarse a fin de minimizar el costo promediopor unidad.
  • 14. Erick Vásquez Llanos