1. ※ KOORDINAT KARTESIUS &
KOORDINAT KUTUB
 KOORDINAT KARTESIUS
x A (x,y) Suatu titik A dapat dinyatakan
sebagai pasangan berurut A(x,y)
y
X : jarak titik A terhadap sumbu -Y
y : jarak titik A terhadap sumbu -X
o
Ingat (+x , +y)
(-x, +y)
!!
o
(-x , -y) (+x,+ y)

2. ※ KOORDINAT KARTESIUS &
KOORDINAT KUTUB
 KOORDINAT KUTUB
A (r, ) Suatu titik A dapat dinyatakan
sebagai pasangan berurut A(r,)
r
r : jarak titik A terhadap titik asal O
 (0,0)
 : besar sudut antara sb-X (x positif)
o terhadap garis OA
Ingat
!!
Besar sudut di (r ,  K1)
(r ,  K2)
berbagai kuadran
o
(r ,  (r , 
K3) K4)

3. ※ KOORDINAT KARTESIUS &
KOORDINAT KUTUB
Hubungan Koordinat Kartesius & Koordinat Kutub :
A 1. Jika diketahui Koordinat
Kutub ( r ,  ) :
r
y
Maka : x = r. cos 
 y = r. sin 
o x
Cos  = x 2. Jika diketahui Koordinat
r
Kartesius ( x , y ) :
y
Sin  = Maka : r = x2  y2
r
y
tan  = x
Ingat Letak kuadran…

4.  Contoh Soal :
Diketahui Koordinat Kutub :
A (r, ) Ubahlah ke Koordinat Kartesius :
8 Titik A ( 8,600 )
1 Maka : x = r. 3cos 
1
2 2
600 y = r. sin 
o
 Jawab :
Titik A ( 8,600 )  x = r. cos  y = r. sin 
= 8 . cos 600 = 8. sin 600
=8. = 8.
x=4 y = 43
Jadi A ( 8,600 )  A ( 4, 43 )

5.  Contoh Soal :
Diketahui Koordinat Kutub :
B (r, ) Titik A ( 12 , 1500 )
Maka : x = r. cos 
12
1
y = r. sin 
1500
2
o  Jawab :
Titik A ( 12, 1500 )  x = r. cos  y = r. sin 
= 12 . cos 1500 = 12. sin 1500
= 12 . – cos 300 = 12. sin 300
= 12 .  1
2
3 = 12.
x = – 63 y=6
Jadi B ( 12,1500 )  B (– 63, 6 )

6.  Contoh Soal :
Diketahui Koordinat Kartesius :
4 (x,y) Ubahlah ke Koordinat Kutub :
A
Titik A ( 4, 43 )
r 43
4 2  ( 4 3 )2
x2  y2
4 3
Maka : r= 4
y
o tan  = x
 Jawab :
y
Titik A (4, 43 )  r= tan  = x
r= 16  48
tan  =
r = 64
r=8 tan  = 3
 = 600
Jadi A( 4, 43 )  A ( 8,600)

7.  Contoh Soal :
Diketahui Koordinat Kartesius :
Titik A ( 4, – 4)
o Maka : r= 4
x2  y2
4
-44 y
A (x,y) tan  = x
 Jawab :
4 42 2
y
Titik A (4, – 4)  r= tan  = x
r= 32 tan  =
r= 4 2
tan  = – 1
 = 3150
Jadi A( 4, – 4 )  A (4 2 , 3150)

8. ※ Yang Perlu diingat :
Koordinat Koordinat
Kartesius Kutub
(r ,  K2) (r ,  K1)
A
B I. A (X+ , y+)  (r , 
r r
K1 )
o
 K1
II. B (X– ,  (r , 
r r y+) K2)
C D III. C (X – , y –  (r , 
(r ,  (r ,  ) K3)
K3) K4)
IV. D(X+ , y  (r , 
–) K4)

9. ※ Perhatikan contoh berikut :
Koordinat Koordinat
Kartesius Kutub
(r ,  K2) (r ,  K1)
A
B I. A (4 , 4)  (42 , 450)
r r
o
 K1
II. B (-4 , 4)  (42 ,1350)
r r
C D III. C (-4 , -4 )  (42 , 2250)
(r ,  (r , 
K3) K4)
IV. D(4 , -4)  (42 , 3150)
Coba, Amati
perbedaan
sudutnya……

10. ※ Soal Latihan :
Kerjakan Soal-latihan Buku BULETIN
MATEMATIKA
Aktivitas 4 hal 36 atau Aktivitas 19 hal 34
1. Nyatakan koordinat kartesius dalam koordinat kutub :
a. ( 33, 3 ) b. ( – 5, – 5 ) c. ( – 2, 23 ) d. ( 1, –3)
1. Nyatakan koordinat kartesius dalam koordinat kutub :
a. ( 8, 300 ) b. ( 2, 1200 ) c. ( 4, 2400 ) d. ( 20, 3300)
Kerjakan secara Teliti ….

11. Menentukan
proyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga

12. Proyeksi Pada Bangun Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang

13. Proyeksi titik pada garis
P
Dari titik P
ditarik garis m garis k
garis m memotong k di Q,
m
titik Q adalah
k hasil proyeksi
Q titik P pada k

14. Contoh
H G
E
Diketahui
F kubus ABCD.EFGH
Tentukan proyeksi
D
titik A pada garis
T C
A a. BC b.BD
B
c. ET
(T perpotongan
AC dan BD).

15. Pembahasan
H G
Proyeksi titik A pada
E F a. BC adalah titik B
(AB  BC)
A’
D T C b. BD adalah titik T
A B (AC  BD)
c. ET adalah titik A’
(AC  ET)

16. Proyeksi Titik pada Bidang
Dari titik P
P di luar bidang H
ditarik garis g  H.
g Garis g menembus
bidang H di titik P’.
Titik P’ adalah
P’ proyeksi titik P
di bidang H

17. Contoh
H G Diketahui kubus
E F ABCD.EFGH
a. Proyeksi titik E
D C
pada bidang ABCD
A B adalah….
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah….

18. Pembahasan
H G
a. Proyeksi titik E
E F pada bidang ABCD
adalah A
P
(EA  ABCD)
D C b. Proyeksi titik C
A B pada bidang BDG
adalah P
CE  BDG

19. Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis
A ke sebuah bidang
B
g dapat diperoleh
dengan memproyek-
sikan titik-titik yang
terletak pada garis itu
A’ g’ ke bidang.
B’
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’

20. Fakta-fakta
1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis
2. Jika garis h   maka
proyeksi garis h pada bidang 
berupa titik.
3. Jika garis g // bidang  maka
g’ yaitu proyeksi garis g pada
dan sejajar garis g

21. Contoh 1
H G Diketahui kubus
E F ABCD.EFGH
a. Proyeksi garis EF
D C
pada bidang ABCD
A B adalah….
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,
Panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah….

22. Pembahasan
H Ga. Proyeksi garis EF
E F
pada bidang ABCD
berarti menentukan
D C proyeksi titik E dan F
A B pada bidang ABCD,
yaitu titik A dan B
Jadi proyeksi EF pada ABCD
adalah garis AB

23. Pembahasan
b. Proyeksi garis CG
H G pada bidang BDG
E F berarti menentukan
P proyeksi titik C
D C
dan titik G
A 6 cm B pada bidang BDG,
yaitu titik P dan G
Jadi proyeksi CG pada BDG
adalah garis PG dan panjangnya?

24. H G •Panjang proyeksi CG
E F pada BDG adalah
panjang garis PG.
P
D
R •PG = ⅔.GR
C
A B
6 cm = ⅔.½a√6
= ⅓a√6 = ⅓.6√6
•Jadi panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah 2√6 cm

25. Contoh 2
Diketahui limas
T beraturanT.ABCD
dengan panjang AB
= 16 cm, TA = 18 cm
D C Panjang proyeksi TA
A 16 cm B pada bidang ABCD
adalah….

26. Pembahasan
Proyeksi TA
T pada bidang ABCD
adalah AT’.
Panjang AT’= ½AC
D
T’
C = ½.16√2
A 16 cm B = 8√2
Jadi panjang proyeksi TA pada
bidang ABCD adalah 8√2 cm

27. Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang

28. Sudut antara Dua Garis
Yang dimaksud dengan
m besar sudut antara
dua garis adalah
k
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut

29. Contoh
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
H G
E F
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
D C b. AH dengan AF
A B
c. BE dengan DF

30. Pembahasan
Besar sudut antara
garis-garis:
H G a. AB dengan BG
E F
= 900
b. AH dengan AF
D C = 600 (∆ AFH smss)
A B c. BE dengan DF
= 900 (BE  DF)

31. Sudut antara
Garis dan Bidang
P Sudut antara
garis a dan bidang 
dilambangkan (a,)
Q adalah sudut antara
P’ garis a dan
proyeksinya pada .
Sudut antara garis PQ dengan V
= sudut antara PQ dengan P’Q
=  PQP’

32. Contoh 1
H G Diketahui
E F
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 6 cm.
D C
A 6 cm B
Gambarlah sudut
antara garis BG
dengan ACGE,
Kemudian hitunglah besar sudutnya!

33. Pembahasan
H G Proyeksi garis BG
E F pada bidang ACGE
adalah garis KG
D (K = titik potong
K C
A 6 cm B AC dan BD)
Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)
= BGK

34. Pembahasan
H G BG = 6√2 cm
E F BK = ½BD
= ½.6√2
= 3√2 cm
D C∆BKG siku-siku di
K
A 6 cm BK
BK 3 2 1
sinBGK =  
BG 6 2 2
Jadi, besar BGK = 300

35. Contoh 2
H G Diketahui
E F
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 8 cm.
D C
A 8 cm B
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah….

36. Pembahasan
H P G tan(CG,AFH)
E F = tan (PQ,AP)
= tan APQ
1
D AQ AC
C =  2
A Q B PQ GC
8 cm
1
.8 2 4 2
= 2

8 8
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah ½√2

37. Contoh 3
T
Pada limas
a cm
segiempat beraturan
D C
T.ABCD yang semua
A a cm B
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….

38. Pembahasan
T • TA = TB = a cm
a cm • AC = a√2 (diagonal
persegi)
D C • ∆TAC = ∆ siku-siku
A a cm B samakaki
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450

39. Sudut antara
Bidang dan Bidang
Sudut antara
 h
bidang  dan bidang 
(,) adalah sudut antara
 g garis g dan h, dimana
g  (,) dan h  (,).
(,) garis potong bidang  dan 

40. Contoh 1
H G Diketahui kubus
E F ABCD.EFGH
a. Gambarlah sudut
D C
antara bidang BDG
A B dengan ABCD
b. Tentukan nilai sinus
sudut antara BDG
dan ABCD!

41. Pembahasan
a. (BDG,ABCD)
H G • garis potong BDG
E F dan ABCD  BD
• garis pada ABCD
D
yang  BD  AC
C
A P B
• garis pada BDG
yang  BD  GP
Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)
=GPC

42. Pembahasan
b. sin(BDG,ABCD)
H G = sin GPC
E F
= GC
GP a 6 6
= 1
a 6
x
6

1
.6
D C 2 2
A P B = ⅓√6
Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6

43. • Lihat ∆ TPC
PT = 6√2, PC = 3√3
T Aturan cosinus
TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosTPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC
36√6.cosTPC = 99 – 81
A C 2 1
P 36√6.cosTPC = 18
1 6
B cosTPC = x
6
2 6
6
= 12

44. • Lihat ∆ TPC
6
cosP =
12
Maka diperoleh
12
144 - 6
Sin P = 138
 138 12
P
√6
Jadi sinus (TAB,ABC)
138
= 12