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    Aula 14 Aula 14 Document Transcript

    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co ´ MODULO 2 - AULA 14 Aula 14 – Produto interno, vetorial e misto Aplica¸˜es IV co Objetivos • Estudar a rela¸˜o entre as posi¸˜es relativas de planos e as solu¸˜es ca co co de sistemas de equa¸˜es de primeiro grau a trˆs vari´veis. co e a Sistemas de equa¸˜es a trˆs vari´veis co e a Uma equa¸˜o do primeiro grau nas vari´veis x, y, z ´ da forma ca a e (I) ax + by + cz = d , em que a, b, c e d s˜o constantes e, pelo menos, um dos valores a, b ou c a ´ diferente de zero. As constantes a, b, c s˜o denominadas coeficientes da e a equa¸˜o e a constante d ´ chamada termo independente da equa¸˜o. ca e ca Um sistema de equa¸˜es do primeiro grau a trˆs vari´veis ´ um conjunto co e a e de equa¸˜es do tipo (I). co Vamos estudar os seguintes dois tipos de sistemas: a1 x + b1 y + c1 z = d1 a1 x + b1 y + c1 z = d1 (II) : e (III) : a2 x + b2 y + c2 z = d2 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 . Dizemos que um terno de valores (x0 , y0 , z0 ) ´ uma solu¸˜o de um e ca sistema de equa¸˜es nas vari´veis x, y e z, quando a substitui¸˜o x = x0 , co a ca y = y0 e z = z0 torna cada uma das equa¸˜es do sistema uma identidade. co Como os pontos do espa¸o s˜o representados por ternos de n´meros c a u (em rela¸˜o a um sistema de coordenadas cartesianas), dizemos tamb´m que ca e um ponto P ´ uma solu¸˜o de um sistema de equa¸˜es nas vari´veis x, y e e ca co a z, quando o terno (x0 , y0 , z0 ) das coordenadas de P ´ solu¸˜o do sistema. e ca O conjunto de todos os pontos do espa¸o que s˜o solu¸˜es de um sisc a co tema de equa¸˜es ´ denominado conjunto solu¸˜o do sistema (ou conjunto co e ca de solu¸˜es do sistema). co Assim, sabemos que o conjunto solu¸˜o de uma equa¸˜o do tipo (I) ´ ca ca e um plano. Logo, o conjunto solu¸˜o de um sistema do tipo (II) ´ o conjunto ca e dos pontos que pertencem simultaneamente aos dois planos Π1 : a1 x + b1 y + c1 z = d1 e Π2 : a2 x + b2 y + c2 z = d2 , CEDERJ 167
    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co e o conjunto solu¸˜o de (III) ´ o conjunto de pontos que pertencem simulca e taneamente aos trˆs planos e Π1 : a1 x + b1 y + c1 z = d1 ; Π2 : a2 x + b2 y + c2 z = d2 ; Π3 : a3 x + b3 y + c3 z = d3 . Analisemos os sistemas de cada um desses tipos. Sistemas do tipo (II) Na Aula 7, do M´dulo 1, estudamos as posi¸˜es relativas entre dois o co planos no espa¸o e vimos que dois planos Π1 e Π2 podem ser: coincidentes, c paralelos ou transversos. Se os planos s˜o coincidentes, ent˜o o conjunto solu¸˜o ´ formado por a a ca e todos os pontos que satisfazem a equa¸˜o do plano dado; se s˜o paralelos, ca a ent˜o n˜o h´ ponto comum, portanto o conjunto solu¸˜o ´ o conjunto vazio; a a a ca e se os planos s˜o transversos, ent˜o Π1 ∩ Π2 ´ uma reta r, que ´ o conjunto a a e e − e − s˜o dire¸˜es normais → η a → solu¸˜o. Al´m disso, vimos na Aula 9 que, se η1 ca e co 2 − × − ´ dire¸˜o de r. → η e → aos planos Π1 e Π2 , respectivamente, ent˜o η1 a ca 2 Sistemas do tipo (III) Como cada equa¸˜o do sistema determina um plano, h´ v´rias posca a a sibilidades de posi¸˜es entre esses planos. Iniciamos a nossa an´lise com co a um resultado importante para o caso em que os trˆs planos tˆm apenas um e e ponto em comum, ou seja, a solu¸˜o do sistema ´ um unico ponto. Para ca e ´ tanto, precisamos apresentar alguns elementos novos. Consideremos quatro determinantes importantes, que denotamos ∆, ∆x , ∆y e ∆z , assim definidos: Note que ... Os determinantes ∆x , ∆y e ∆z s˜o obtidos a partir a do determinante ∆ substituindo os coeficientes da vari´vel a correspondente (x, y, ou z) pelos termos independentes de cada uma das equa¸oes. Por c˜ exemplo, o determinante ∆y ´ obtido a partir do e determinante ∆, substituindo os coeficientes da vari´vel y, a isto ´, b1 , b2 e b3 pelos e termos independentes d1 , d2 e d3 , respectivamente. a1 b1 c1 ∆ = a2 b2 c2 , a3 b3 c3 d1 b1 c1 ∆x = d2 b2 c2 , d3 b3 c3 a1 d1 c1 ∆y = a2 d2 c2 a3 d3 c3 Tendo apresentado esses conceitos, vejamos um crit´rio para determinar e sob quais condi¸˜es um sistema do tipo (III) possui uma unica solu¸˜o. co ´ ca Proposi¸˜o 14.19 (Regra de Cramer) ca O sistema (III) tem uma unica solu¸˜o se, e somente se, ∆ = 0. Al´m disso, ´ ca e se ∆ = 0, ent˜o a solu¸˜o do sistema ´ (x0 , y0, z0 ), com a ca e x0 = ∆ ∆x ∆ , y0 = y e z0 = z . ∆ ∆ ∆ Demonstra¸˜o: ca (⇐=) Admitamos que ∆ = 0 e demonstremos que o sistema (III) possui uma unica solu¸˜o. ´ ca Consideremos os determinantes CEDERJ 168 e a1 b1 d1 ∆z = a2 b2 d2 . a3 b3 d3
    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co ´ MODULO 2 - AULA 14 b2 c2 b c b c , A2 = 1 1 e A3 = 1 1 . b3 c3 b3 c3 b2 c2 Multiplicando a primeira equa¸˜o do sistema (III) por A1 , a segunda, ca por −A2 e a terceira por A3 , obtemos as equa¸˜es co   a1 A1 x + b1 A1 y + c1 A1 z = d1 A1 ,  −a2 A2 x − b2 A2 y − c2 A2 z = −d2 A2 ,   a3 A3 x + b3 A3 y + c3 A3 z = d3 A3 . A1 = Somando as trˆs equa¸˜es e juntando os termos comuns, obtemos e co (a1 A1 − a2 A2 + a3 A3 )x + (b1 A1 − b2 A2 + b3 A3 )y + (c1 A1 − c2 A2 + c3 A3 )z = d1 A1 − d2 A2 + d3 A3 . (14.18) Observemos que os coeficientes das vari´veis e o termo independente s˜o os a a seguintes determinantes: coeficiente de x : a1 A1 − a2 A2 + a3 A3 coeficiente de y coeficiente de z : : b1 A1 − b2 A2 + b3 A3 c1 A1 − c2 A2 + c3 A3 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 = ∆ ; a3 b3 c3 = b1 b1 c1 b2 b2 c2 = 0 ; b3 b3 c3 = c1 b1 c1 c2 b2 c2 = 0 ; c3 b3 c3 d1 b1 c1 d2 b2 c2 = ∆x . d3 b3 c3 Para verificar isso, basta desenvolver cada determinante e comparar com os coeficientes de x, y e z na equa¸˜o (14.18). ca termo independente : d1 A1 − d2 A2 + d3 A3 Importante Se vocˆ est´ inseguro com e a os determinantes, releia a Aula 10, do M´dulo 1, o onde eles s˜o apresentados a junto com suas principais propriedades. Observe que os determinantes que s˜o os a coeficientes de y e z, nas express˜es ao lado, s˜o o a iguais a zero, pois tˆm e duas colunas iguais. = Logo, a equa¸˜o (14.18) reduz-se ` equa¸˜o ca a ca ∆ · x = ∆x . Como ∆ = 0, o valor de x fica determinado de forma unica como sendo ´ ∆x x= . ∆ Para determinarmos o valor de y, procedemos de maneira similar, considerando os determinantes a c a c a c B1 = 2 2 , B2 = 1 1 e B3 = 1 1 . a3 c3 a3 c3 a2 c2 Multiplicando a primeira equa¸˜o do sistema (III) por B1 , a segunda ca por −B2 e a terceira por B3 , obtemos   a1 B1 x + b1 B1 y + c1 B1 z = d1 B1 ,  −a2 B2 x − b2 B2 y − c2 B2 z = −d2 B2 ,   a3 B3 x + b3 B3 y + c3 B3 z = d3 B3 . CEDERJ 169
    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co Fazendo a soma das trˆs equa¸˜es e juntando os termos comuns, obtemos: e co (a1 B1 − a2 B2 + a3 B3 )x + (b1 B1 − b2 B2 + b3 B3 )y + (c1 B1 − c2 B2 + c3 B3 )z = d1 B1 − d2 B2 + d3 B3 . (14.19) Observemos que os coeficientes das vari´veis e o termo independente a s˜o os seguintes determinantes: a Gabriel Cramer 1704 - 1752 Genebra, Su´ca ı¸ Recebeu o grau de Doutor em Genebra, aos 18 anos, defendendo uma tese sobre Teoria do Som. Dois anos depois concorreu a uma cadeira de Filosofia na Academia de Clavin, em Genebra. Em suas viagens trabalhou com Johann Bernoulli, Euler e Clairaut. A obra mais importante de Cramer foi a Introduction ` l’analyse a des lignes courbes alg´braique (1750), na e qual, abordando o problema de determinar uma curva polinomial de grau dado, passando por uma cole¸ao de pontos no c˜ plano, chega a um sistema de equa¸oes lineares. No c˜ apˆndice, ele explica o e m´todo utilizado para e resolver esse tipo de sistemas, m´todo hoje e conhecido como Regra de Cramer. Sabe-se que n˜o a foi dele a id´ia de resolver e sistemas usando esse m´todo, por´m, ap´s o e e o aparecimento dessa obra, o m´todo foi referenciado e como Regra de Cramer. Para saber mais sobre Cramer, veja http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/~ history/ Mathematicians/Cramer. html CEDERJ 170 coeficiente de x : a1 B1 − a2 B2 + a3 B3 = coeficiente de y : b1 B1 − b2 B2 + b3 B3 = coeficiente de z : c1 B1 − c2 B2 + c3 B3 = termo independente : d1 B1 − d2 B2 + d3 B3 = a1 a1 c1 a2 a2 c2 = 0 ; a3 a3 c3 a1 b1 c1 − a2 b2 c2 = −∆ ; a3 b3 c3 c1 a1 c1 c2 a2 c2 = 0 ; c3 a3 c3 a1 d1 c1 − a2 d2 c2 = −∆y . a3 d3 c3 Logo, a equa¸˜o (14.19) reduz-se ` equa¸˜o ca a ca −∆ · y = −∆y , da qual determinamos o valor de y (pois ∆ = 0): y = ∆y . ∆ Finalmente, para determinar o valor de z, considere os determinantes a b a b a b C1 = 2 2 , C2 = 1 1 e C3 = 1 1 . a3 b3 a3 b3 a2 b2 Multiplicando a primeira equa¸˜o do sistema (III) por C1 , a segunda ca por −C2 e a terceira por C3 , obtemos as equa¸˜es co  d 1 C1 ,  a1 C1 x + b1 C1 y + c1 C1 z = −a2 C2 x − b2 C2 y − c2 C2 z = −d2 C2 ,  a C x+b C y+c C z = d 3 C3 . 3 3 3 3 3 3 Fazendo a soma das trˆs equa¸˜es e juntando os termos comuns, obtemos: e co (a1 C1 − a2 C2 + a3 C3 )x + (b1 C1 − b2 C2 + b3 C3 )y + (c1 C1 − c2 C2 + c3 C3 )z = d 1 C1 − d 2 C2 + d 3 C3 . (14.20) De forma an´loga aos casos anteriores, os coeficientes das vari´veis e o termo a a independente s˜o os seguintes determinantes: a
    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co ´ MODULO 2 - AULA 14 coeficiente de x : a1 C1 − a2 C2 + a3 C3 = a1 a1 b1 a2 a2 b2 = 0 ; a3 a3 b3 coeficiente de y : b1 C1 − b2 C2 + b3 C3 = b1 a1 b1 b2 a2 b2 = 0 ; b3 a3 b3 coeficiente de z : c1 C 1 − c2 C 2 + c3 C 3 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 = ∆ ; a3 b3 c3 = a1 b1 d1 a2 b2 d2 = ∆z . a3 b3 d3 termo independente : d 1 C1 − d 2 C2 + d 3 C3 Logo, a equa¸˜o (14.20) reduz-se ` equa¸˜o ca a ca ∆ · z = ∆z =⇒ z = ∆z , pois ∆ = 0 . ∆ Desta maneira, mostramos que, se ∆ = 0, ent˜o a solu¸˜o do sistema a ca (III) ´ determinada de forma unica e ´ dada por e ´ e x0 = ∆x , ∆ y0 = ∆y ∆ e z0 = ∆z . ∆ (=⇒) Agora vejamos que, se o sistema (III) tem uma unica solu¸˜o, ´ ca ent˜o ∆ = 0 . a Na Figura 14.30 Mostramos os planos Π1 , Π2 e Π3 com suas respectivas dire¸oes c˜ normais − , − , − . η→ η→ η→ 1 2 3 Se o sistema (III) possui uma unica solu¸˜o, ent˜o Π1 ∩ Π2 ´ uma ´ ca a e − × − , a qual → η → reta r, de dire¸˜o η1 ca 2 intersecta Π3 em um unico ponto. ´ − × − ,− = 0. → η η → → Portanto, η1 2 3 Consideremos os dois primeiros Figura 14.30: Planos Π1 , Π2 e Π3 . planos Π1 : a1 x + b1 y + c1 z = d1 e Π2 : a2 x + b2 y + c2 z = d2 . Como o sistema admite solu¸˜o, devemos ter ca Π1 ∩ Π2 = ∅. Esses planos n˜o podem ser coincidentes, pois isso implia caria que a sua interse¸˜o com Π3 seria uma reta, e o conjunto solu¸˜o seria ca ca formado por todos os pontos dessa reta. Como estamos assumindo que o sistema possui uma unica solu¸˜o, essa possibilidade para Π1 e Π2 n˜o pode ´ ca a acontecer. Logo, Π1 e Π2 s˜o planos transversos. a → η a → Desse modo, se − e − s˜o dire¸˜es normais a Π1 e Π2 , respectivaη1 co 2 → η a → mente, ent˜o essas dire¸˜es n˜o s˜o paralelas, ou seja , − e − s˜o lineara co a a η1 2 − → − ×− = 0 . → η → mente independentes. Isto ´, η1 e 2 → η → Conclu´ ımos que Π ∩ Π ´ uma reta r cuja dire¸˜o ´ − × − . e ca e η 1 2 1 2 CEDERJ 171
    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co Como estamos admitindo que o sistema tem uma unica solu¸˜o, r in´ ca tercepta Π3 em um unico ponto. Isto ´, r n˜o pode ser paralela a Π3 . Dessa ´ e a − ´ dire¸˜o normal a Π , devemos ter (veja a Figura 14.30) →e forma, se η3 ca 3 − × − , − = 0. → η η → → η 1 2 3 → η η → → → → → Mas, − × − , − = [− , − , − ] = ∆ e, portanto, ∆ = 0. Como η1 η1 η2 η3 2 3 quer´ ıamos demonstrar. Observa¸˜o ca O que significa a condi¸˜o ∆ = 0 ? ca → → → → → → Como ∆ = [− , − , − ], a condi¸˜o significa que os vetores − , − , − η1 η2 η3 ca η1 η2 η3 s˜o linearmente dependentes, ou seja, s˜o paralelos a um mesmo plano. a a Desta situa¸˜o temos duas possibilidades: ca − , − e − s˜o paralelos → η → η a → − , − e − n˜o s˜o paralelos. → → η → a a η1 ou η1 η2 2 3 3 Analisemos cada caso. → → η a → Caso 1: − , − e − s˜o paralelos. η1 η2 3 Como as dire¸˜es normais s˜o paralelas, podemos ter as seguintes situa¸˜es co a co (veja Figuras 14.31 a 14.33): Figura 14.31: Planos paralelos. Figura 14.32: Π1 e Π2 coincidentes. • Π1 , Π2 e Π3 s˜o paralelos. Nesse caso, n˜o h´ ponto comum aos planos, a a a logo, o conjunto solu¸˜o ´ vazio. ca e • Dois dos planos s˜o coincidentes e a o terceiro ´ paralelo a ambos. Nesse e caso, tamb´m, n˜o h´ ponto comum e a a aos trˆs planos e o conjunto solu¸˜o e ca ´ vazio. e • Os trˆs planos coincidem. O cone junto solu¸˜o ´ formado por todos os Figura 14.33: Trˆs planos coincidentes. ca e e pontos que satisfazem a equa¸˜o do ca plano dado. Observe que o conjunto solu¸˜o tem um n´ mero infinito de ca u solu¸˜es. co CEDERJ 172
    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co ´ MODULO 2 - AULA 14 → → → Caso 2. − , − , − n˜o s˜o paralelos. η1 η2 η3 a a Como as dire¸˜es normais n˜o s˜o paralelas, devemos considerar os co a a seguintes casos: a. existem duas dire¸˜es paralelas co b. n˜o h´ par de dire¸˜es paralelas. a a co Analisemos cada caso. a. Quando duas dire¸˜es s˜o paralelas e a terceira n˜o ´ paralela a ambas, co a a e temos as seguintes possibilidades para as posi¸˜es entre os planos: co (i) dois dos planos s˜o paralelos e o outro transverso a eles. J´ o fato de a a dois dos planos serem paralelos implica que eles n˜o possuem pontos comuns, a logo n˜o h´ pontos comuns aos trˆs. Portanto, o conjunto solu¸˜o do sistema, a a e ca neste caso, ´ o conjunto vazio (Figura 14.34). e (ii) dois dos planos s˜o coincidentes e o outro transverso a eles. Nessa a situa¸˜o, h´ uma infinidade de solu¸˜es. Essas solu¸oes formam uma reta ca a co c˜ contida simultaneamente nos trˆs planos (Figura 14.35). e Figura 14.34: Π1 e Π2 paralelos e Π3 Figura 14.35: Π1 e Π2 coincidentes e transverso a eles. Π3 transverso a eles. b. N˜o havendo dire¸˜es paralelas temos duas possibilidades: a co (i) os planos s˜o transversos com reta de interse¸˜o comum aos trˆs a ca e planos. O conjunto solu¸˜o ´ o conjunto de pontos da reta comum, portanto ca e tem um n´ mero infinito de pontos. u (ii) os planos s˜o dois a dois transversos e as retas obtidas das ina terse¸˜es s˜o paralelas. Nesta situa¸˜o o conjunto solu¸˜o ´ o conjunto vazio. co a ca ca e Com tanta possibilidade, parece dif´ determinar o conjunto solu¸˜o ıcil ca do sistema quando ∆ = 0. Mostramos, aqui, um crit´rio bem simples para e determinar o conjunto solu¸˜o. ca Passo 1. Tome os dois primeiros planos do sistema (ou quaisquer dois planos do sistema). Esses planos podem ser: (a) paralelos, (b) coincidentes ou (c) transversos. CEDERJ 173
    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co Figura 14.36: Planos transversos com Figura 14.37: Planos transversos com interse¸˜o vazia. ca uma reta em comum. Vejamos: (a) Se esses dois planos s˜o paralelos ent˜o o conjunto solu¸˜o do sisa a ca tema ´ o conjunto vazio, independentemente da posi¸˜o do terceiro plano. e ca (b) Se os dois planos s˜o coincidentes, ent˜o resolver o sistema reduza a se a determinar a interse¸˜o entre dois planos, o primeiro (que ´ o mesmo ca e que o segundo) e o terceiro: se s˜o paralelos ent˜o o conjunto solu¸˜o do a a ca sistema ´ vazio; se s˜o coincidentes o conjunto solu¸˜o ´ todo o plano e se e a ca e s˜o transversos, o conjunto solu¸˜o ´ a reta de interse¸˜o. a ca e ca (c) Se os dois planos s˜o transversos, determine as equa¸˜es param´tricas a co e da reta interse¸˜o. Tendo as equa¸˜es dessa reta, verifique se seus pontos ca co satisfazem a equa¸˜o do terceiro plano. Caso afirmativo, ent˜o essa reta ´ ca a e comum aos trˆs planos e ela ´ o conjunto solu¸˜o. Caso contr´rio, os planos e e ca a n˜o se intersectam e o conjunto solu¸˜o ´ vazio. a ca e Lembre que estamos supondo ∆ = 0, ou seja, n˜o pode haver uma unica a ´ solu¸˜o. Portanto, se vocˆ achar que a reta obtida intersecta o terceiro plano ca e em um unico ponto, ent˜o vocˆ se equivocou em algum dos procedimentos, ´ a e devendo verificar, novamente, seus c´lculos. a Exemplo 14.67 Analise o sistema dado, exibindo o conjunto solu¸˜o, caso exista: ca 2x − 7y − 3z + 1 = 0 x − 2y + 3z = 0 5x − y + z − 2 = 0 . Solu¸˜o: Calculemos o determinante ∆ dos coeficientes: ca 2 −7 −3 ∆ = 1 −2 3 = −123 . 5 −1 1 Como ∆ = 0, o sistema tem uma unica solu¸˜o dada por: ´ ca CEDERJ 174
    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co 1 −1 −7 −3 0 −2 3 , ∆x = ∆ 2 −1 1 1 2 −1 −3 1 0 3 ∆y = ∆ 5 2 1 e ´ MODULO 2 - AULA 14 1 2 −7 −1 1 −2 0 . ∆z = ∆ 5 −1 2 Calculando os determinantes, obtemos a unica solu¸˜o: ´ ca −55 55 −32 32 −3 3 = , y= = e z= = . x= −123 123 −123 123 −123 123 Exemplo 14.68 Analise o sistema dado, exibindo o conjunto solu¸˜o, caso exista: ca x−y+z = 5 3x − 2y + z = 8 2x − y = 3 . Solu¸˜o: Calculemos o determinante ∆ dos coeficientes: ca 1 −1 1 ∆ = 3 −2 1 = 0 . 2 −1 0 Portanto, pode ou n˜o haver solu¸˜o. Se houver, n˜o ´ um unico ponto, ´ a ca a e ´ e uma reta ou um plano. Consideremos a primeira e a terceira equa¸˜es (as mais simples do sistema): co x−y+z =5 2x − y = 3 . → → Dessas equa¸˜es cartesianas, vemos que − = (1, −1, 1) e − = (2, −1, 0) s˜o co η1 η2 a dire¸˜es normais do primeiro e terceiro planos, respectivamente. co → η → η → Logo, − = − × − = (1, −1, 1) × (2, −1, 0) = (1, 2, 1) ´ dire¸˜o da reta r v e ca 1 2 que resulta da interse¸˜o desses planos. ca Para determinar as equa¸˜es param´tricas de r, basta tomarmos um ponto co e que satisfa¸a as duas equa¸˜es, pois temos j´ o vetor dire¸˜o − . c co a ca → v Tomando z = 0, obtemos x = −2 e y = −7, ou seja, P = (−2, −7, 0) ∈ r. Portanto, as equa¸˜es param´tricas da reta r interse¸˜o dos dois planos s˜o co e ca a   x = −2 + t  r: y = −7 + 2t ; t ∈ R .   z=t Verifiquemos se r est´ contida no outro plano do sistema. a Para isso, substitu´ ımos as express˜es param´tricas das coordenadas dos pono e tos de r no primeiro membro da equa¸˜o do plano 3x − 2y + z = 8 ca 3(−2 + t) − 2(−7 + 2t) + t = 8 . CEDERJ 175
    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co Como essa igualdade ´ satisfeita independentemente do valor de t, conclu´ e ımos que a reta r ´ o conjunto solu¸˜o do sistema proposto. e ca Resumo Nesta aula, vocˆ aprendeu a determinar o conjunto solu¸˜o de um sise ca tema de trˆs equa¸˜es do primeiro grau a trˆs vari´veis, usando a Regra e co e a de Cramer. Aprendeu tamb´m a representa¸˜o geom´trica desses conjuntos e ca e solu¸˜o. Em nossos argumentos, aplicamos os conceitos de produto vetorial, ca produto interno e produto misto para analisar as poss´ ıveis posi¸˜es relativas co entre planos. Exerc´ ıcios 1. Para cada sistema dado, determine o conjunto solu¸˜o. ca   x + 2y + 3z − 1 = 0 a. x + 2y + z + 2 = 0  −2x − 4y + 2z = 0 .   2x + y + z = 2 b. 4x + 2y + 2z + 2 = 0  x +y +2 = 0.   3x + y + 5z − 1 = 0 c. 2x + y + 2z + 2 = 0  2x − 3y + z = 0 . 2. Sejam os planos   Π1 : x + y − z − 1 = 0 Π : x − y + 2z + 2 = 0  2 Π3 : ax + y + bz = 0 . Em cada item, dˆ os poss´ e ıveis valores de a e b, de modo a verificar as condi¸˜es desejadas. co a. Π1 ∩ Π2 ∩ Π3 ´ um unico ponto; e ´ b. Π1 ∩ Π2 ∩ Π3 ´ uma reta; e c. Π1 ∩ Π2 ∩ Π3 = ∅ . CEDERJ 176
    • Produto interno, vetorial e misto - Aplica¸˜es IV co ´ MODULO 2 - AULA 14 Auto-avalia¸˜o ca Se vocˆ fez todos os exerc´ e ıcios, ent˜o vocˆ aprendeu a determinar o a e conjunto solu¸˜o de um sistema de equa¸˜es do primeiro grau a trˆs vari´veis ca co e a e sabe analisar a posi¸˜o relativa entre dois e trˆs planos. Caso vocˆ sinta ca e e dificuldade em entender os desenvolvimentos apresentados, reveja as Aulas 7 e 8 do M´dulo 1. o CEDERJ 177