Giải tích 12 - Tính đơn điệu của hàm số

August 14 ,2009
GIẢI TÍCH 12
Phần I : Tínhđơnđiệucủahàmsố
Soạntheosáchmớigồmcơbảnvànângcao
Nhấn space bar hay click chuộtđểxemdòng hay trangkếtiếp
Biêntậppps : vinhbinhpro

Phần I Tínhđơnđiệucủahàmsố
http://my.opera.com/vinhbinhpro

TÓM TẮT GIÁO KHOA
I . Địnhnghĩa:
Gọi I làmộtkhoảng ,mộtđoạnhoặcnửakhoảng (a ; b) ; [ a ; b] ; ( - ∞ ; a]
; [b ; +∞) vàf làhàmsốxácđịnhtrên I.
* f(x)đồngbiếntrênI
* f(x)nghịchbiếntrênI
y
y
x
x
Đồthịhàmsốđồngbiến
Đồthịhàmsốnghịchbiến

II .Địnhlý
Cho hàmsốfcóđạohàmtrênkhoảng I
a) Hàmsốfđồngbiếntrênkhoảng I
b) Hàmsốfnghịchbiếntrênkhoảng I
x
a
b
f’(x)
f(x)
a
b
x
đồngbiến
f’(x)
f (x)
nghịchbiến
Chú ý : Đẳngthứcf’(x) = 0 chỉxảyratạimộtsốhữuhạnđiểmrờirạctrênkhoảng(a,b)
+
-

III . Địnhlý (điềukiệnđủ)
Cho hàmsốfcóđạohàmtrênkhoảng I
a) Nếu
thìhàmsốfđồngbiếntrênkhoảng I
b) Nếu
thìhàmsốfnghịchbiếntrênkhoảng I
c) Nếu
thìhàmsốf khôngđổitrênkhoảng I
Chú ý :
1. Xéttínhđơnđiệucủahàmsố f trênmộtđoạnhoặcnửakhoảngphảibổ sung thêmgiảthiết“ Hàmsốliêntụctrênđoạn hay nửakhoảngđó “

Chú ý :
2. Vớicáchàmsốđathức , hữutỉ , lượnggiác , mũ , logaritta
cóthểmởrộngđịnhlýnhưsau :
a) Nếu :
Hàmsốfđồngbiếntrên I
b) Nếu:
Hàmsốf nghịchbiếntrên I
( f’(x)= 0 chỉtạimộtsốhữuhạnđiểmcủa I )
a
b
a
b
x
x
+ 0 +
- 0 -
f’(x)
f’(x)
f(x)
f(x)

Phươngphápgiảibàitoánvềtínhđơnđiệucủahàmsố
Phươngpháp 1:
1.Bước 1 : TìmmiềnxácđịnhDcủahàmsố
2.Bước 2: Tínhf’(x) vàtìmnghiệmcủaphươngtrìnhf’(x) = 0
3. Lậpbảngxétdấuf’(x)
Tổngkếtcáckếtquảvàomộtbảnggọilàbảngbiếnthiên

Bàitậpápdụng
Bàitập 1: Tìmkhoảngđơnđiệucủahàmsố :
Hướngdẫn:
1. Tậpxácđịnh : D = R
Xétdấuy’
Biêntậppps: vinhbinhpro

Bàitậpápdụng
Bàitập 1: Tìmkhoảngđơnđiệucủahàmsố :
Hướngdẫn :
1. Tậpxácđịnh : D = R
Xétdấuy’
x
̶ ∞
+∞
0
Xemlaịxétdấuđathức - Lớp 10 vàtrìnhbàygọnlại
_
_
- 6x
+
0
+
0
+
+
_
_
y’
+
0
0
y
Kếtluận : Khoảngđồngbiến : (- ∞ ; 0 ) vànghịchbiến : (0 ; +∞ )
Biêntậppps: vinhbinhpro

Bàitậpápdụng
Bàitập 2 : Tìmkhoảngđơnđiệucủahàmsố:
Hướngdẫn :
* Tìmtậpxácđịnh : Hàmsốxácđịnhkhi :
Xétdấuy’ - Dấuy’phụthuộcvào- x
*
-1
1
0
x
y’
0
̶
+
y
* Hàmsốliêntụctrên [-1 , 1] nênhàmsốnghịchbiếntrên [0,1] vàđồngbiếntrên [-1,0]

Bàitậpápdụng
Bàitập 3 : Tìmkhoảngđồngbiếnvànghịchbiếncủahàmsố :
Hướngdẫn:
*Hàmsốxácđịnhkhi
Xétdấu y’ .Do khôngcó qui tắcxétdấumộtbiểuthứccóchứacănnênhọcsinhcóthểdùngcáchgiảibấtphươngtrình
Họcsinhgiải 2 bpt , tìmnghiệmrồisuyrakhoảng ĐB và NB
Cáchgiảitrênthườngtốnnhiềuthờigianvàđòihỏiđộchínhxáccao

Bổ sung kiếnthức
1.Điểm tớihạn : Điểm
.
gọilàđiểmtớihạncủahàmsốnếu
tạiđóf’(x) bằng 0 hay khôngxácđịnh
2. Trongtậpxácđịnh D củahàmsốf(x)
Giữahaiđiểmtớikềnhau
f’(x) giữnguyênmộtdấu
ÁP DỤNG
Hàmsốchỉcómộtđiểmtớihạnx =1
x
-∞
2
0
Xétkhoảng(-∞,1)lấy 1 giátrịtúy ý - chẳnghạnx=0vàtínhy’(0)
y’(0)
1
_
y’
0
y
y’(0) > 0 suyray’ > 0 trên(-∞,1)
+
Tìmdấuy’trênkhoảng(1 , 2) - tươngtựnhưtrên

TÓM TẮT : Giảibàitoánvềtínhđơnđiệu
1. Bước 1 : Tìmtập (miền)xácđịnhcủahàmsố.
2. Bước 2: Tínhy’(x) , Giảiphươngtrìnhy’(x) = 0
Nếuy’(x) làcáchàmsốđathức, phânthức … thôngthườngthìlậpBẢNG XÉT DẤU y’(x)
Nếuy’(x) làcáchàmsốkhôngthôngthường (vôtỉ , lượnggiác, mũ , logarit ,…) thì :
a) Tìmđiểmtớihạncủahàmsố.
b) Xácđịnhdấuy’(x) trêntừngkhoảnghaiđiểmtớihạnkềnhau I (hay khoảng (-∞ , xₒ) hay (xₒ,+∞)) bằngcáchtínhy’(α) (αlàmộtgiátrịtựtachọnthuộckhoảngtrên ).Nếu

y’(α)> 0 => y’(x) >0 , vớimọixthuộc I
y’(α)< 0 => y’(x) <0 , vớimọixthuộc I
biêntậppps : vinhbinhpro

Bàitậpápdụng
Bàitập 4 : Xéttínhđơnđiệucủahàmsố :
Hướngdẫn
* Tậpxácđịnh : D = (0 , π)
Tìmđiểmtớihạncủahàmsốtrên (0, π )
(haiđiểmtớihạn)
π
x
0
+
y’
0
0
y
Xét (0, 7π/12).Tính y’(π/2) =

Bàitậpápdụng
π
0
x
-
+
+
y’
0
0
y
* Xét :
* Xét
Kếtluận :
1. Hàmsốđồngbiếntrên
2. Hàmsốnghịchbiếntrên

Bàitậpápdụng
Bàitập 5 : Chứng minh bấtđẳngthức :
Hướngdẫn :
Ta đichứng minh
(họcsinhthửgiảithích !)
0
π/2
x
+
y’
0
y
0
=> f(x)liêntụctrên
vàcóf’(x) > 0 trên
=> f(x)đồngbiếntrên

Bàitoánvềtínhđơnđiệucủahàmsốcóchứathamsố
Loại 1: Tìmgiátrịmsaochohàmsốđồngbiến (hay nghịchbiến) trên R
Thôngthườngf’(x) làmột tam thứcbậc 2
f(x)đồngbiếntrên R
f(x)nghịchbiếntrên R
Bàitập 6: Định m đểhàmsố
đồngbiếntrên R
Hướngdẫn

Bàitoánvềtínhđơnđiệucủahàmsốcóchứathamsố
Bàitập 7: Vớigiátrịnàocủam , hàmsố
đồngbiếntrênmỗikhoảngxácđịnhcủanó?
Hướngdẫn:
Vậyhàmsốđồngbiếntrênmỗi
*Nếu
khoảng
* Nếum > 0
- ∞
+∞
x
1
_
_
y’
+
+
0
0
y
Theo bảngbiếnthiênvớim < 0 hàmsốcó 2 khoảngnghịchbiếnnênkhôngthỏađiềukiệnbàitoán
Đápsố :

Bàitập
Tínhđơnđiệucủahàmsố

Bàitập 1
a) Chứng minh rằnghàmsố
đồngbiếntrên
nửakhoảng
b) Chứng minh rằng :
vớimọi
Hướngdẫn
a) Hàmsố f liêntụctrênnửakhoảng
Vậyhàmsốđồngbiếntrênnửakhoảng
b) Từ a)
Xéthàmsố :
Hàmsốg(x) liêntụctrên

Bàitập 1
(vì
Do đóhàmsốg(x)đồng
biếntrên
Dùngđịnhnghĩa
g(x) đồngbiếntrên I
Chú ý :
Vậy :

Bàitập 2
Chứng minh bấtđẳngthứcsau:
Hướngdẫn
Ta thấycó : acosa - sina , bcosb - sinbvàcầnsuyrađâylàgiá
trịcủahàmsố :
tạix = a vàx = b
Vậyphải cm f(x) nghịchbiếntrên (0,π)
Ta có :
Vậyf(x)nghịchbiếntrên (0 ; π)

http://my.opera.com/vinhbinhpro
Biêntâptập PPS nàyvớihyvọngcácbạnhọcsinhrènluyệnđượckhảnăngtựhọcvàtựmởrộngvấnđề . Chúccácbạnthànhcông.
Phầngóp ý vàchỉnhsửaxincácbạn comment bêndướichiếuhìnhtrựctuyến
vinhbinhpro
Đónxemphần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ