August 16 ,2009 http://my.opera.com/vinhbinhpro
Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro

Phần VII
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm hữu tỉ
http://my.opera.com/vinhbinhpro
http:my.opera.com/vinhbinhpro

Tóm tắt giáo khoa
vinhbinhpro
ax b
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y (c 0 ; ad bc 0)
cx d
d
* Tập xác định : D R
c
ad bc
* Chiều biến thiên của hàm số y' 2
cx d
1. ad - bc > 0 => y’ > 0 , x D => Hàm số luôn đồng biến trên txđ D
2. ad - bc < 0 => y’ < 0 , x D => Hàm số luôn nghịch biến trên txđ D
( cả hai trường hợp hàm số không có cực trị )
* Giới hạn và đƣờng tiệm cận :
d
lim y ; lim y x là tiệm cận đứng
d d
x x c
c c
a a a
lim y ; lim y y là tiệm cận ngang
x c x c c

vinhbinhpro
Tóm tắt giáo khoa
d
lim y ; lim y x là tiệm cận đứng
d d
x x c
c c
a a a
lim y ; lim y y là tiệm cận ngang
x c x c c
* Bảng biến thiên :

vinhbinhpro
Tóm tắt giáo khoa
d
lim y ; lim y x là tiệm cận đứng
d d
x x c
c c
a a a
lim y ; lim y y là tiệm cận ngang
x c x c c
* Bảng biến thiên :
ad - bc > 0 ad - bc < 0
d d
x -∞ c +∞ x -∞ c +∞
y’ + + y’ - -
+∞ a a +∞
y y
c c
a a
c -∞ -∞ c
* Giao điểm của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

Tóm tắt giáo khoa
tiệm cận đứng x=-d/c
y y
tiệm cận ngang y = a/c
tiệm cận ngang y= a/c
0 x 0 x
tiệm cận đứng x=-d/c
tâm đối xứng tâm đối xứng
ad - bc >0 ad - bc < 0
biên tập pps: vinhbinhpro

Tóm tắt giáo khoa
2
ax bx c ( tử không chia
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y (a 0;a' 0) hết mẫu )
a'x b'
b'
* Tập xác định : D R
a'
* Chiều biến thiên của hàm số : có thể tính y’ theo các cách sau
2 2
ax bx c aa'x 2b ' a x bb' a 'c
1. y y' 2
a'x b' a'x b'
Q a 'Q
2. Lấy tử chia mẫu : y kx l y' k 2
a'x b' a'x b'
( kx +l là THƢƠNG và Q là số DƢ trong phép chia tử cho mẫu)
2
Ax Bx C
Tổng quát :
2
y' y' 0 Ax Bx C 0 (* )
2
a'x b'
Dấu của y’ phụ thuộc vào số nghiệm của phƣơng trình (*) và A = a.a’
vinhbinhpro

Tóm tắt giáo khoa
* Giới hạn và đƣờng tiệm cận :
b'
 lim y lim y x là tiệm cận đứng
b' b' a'
x x
a' a'
Q Q
y kx l ; lim y kx l lim 0
a'x b' x x a'x b'
=> y = kx + l là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
* Chiều biến thiên :
vinhbinhpro

Tóm tắt giáo khoa
* Chiều biến thiên :
x
1. Trường hợp 1 : y ' 0 Ax
2
Bx C 0 Click vào để xem tiếp
x
2. Trường hợp 2 : ×y ' = 0 VÔ NGHIỆM
Click vào để xem tiếp
Lúc này dấu y’ luôn cùng dấu với A = a a’
vinhbinhpro

vinhbinhpro
Tóm tắt giáo khoa
* Giới hạn và đƣờng tiệm cận :
b'
 lim y lim y x là tiệm cận đứng
b' b' a'
x x
a' a'
Q Q
y kx l ; lim y kx l lim 0
a'x b' x x a'x b'
=> y = kx + l là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
* Bảng biến thiên :
x
1. Trường hợp 1 : y' 0 Ax
2
Bx C 0
x
A = a a’ > 0 A = a a’ < 0
b' b'
x -∞ a' +∞ x -∞ a' +∞
y’ + 0 - - 0 + y’ - 0 + + 0 -
+∞ +∞ +∞ +∞
y CĐ CĐ
ct y ct
-∞ -∞ -∞ -∞

Tóm tắt giáo khoa
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Chú ý : Cách tính giá trị cực trị Gọi x i là điểm cực trị
u ( xi )
Ngoài cách tính : y ( xi ) ta còn có cách tính sau :
v ( xi )
u '( x i )
y ( xi ) (với u’ là đạo hàm của tử u(x) và v’ là đạo hàm của mẫu v(x)
v '( x i ) )
* Đồ thị :
a) Đồ thị hàm số là một hyperbol không vuông góc
b) Giao điểm của 2 đƣờng tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
Cách dựng : 1. Dựng 2 đƣờng tiệm cận
2. Dựng điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
3.Dựng 2 nhánh của đồ thị ( đi qua các điểm đặc biệt)

Tóm tắt giáo khoa
 vinhbinhpro
A= a a’ > 0 hay k > 0 A= a a’ < 0 hay k < 0
y y
điểm cực tiểu
tâm đối xứng
tâm đối xứng
x
x 0
0
tiệm cận đứng x = - b’/a’
điểm cực đại
trở về

Tóm tắt giáo khoa *
2. Trường hợp 2 : ×y ' = 0 VÔ NGHIỆM
Lúc này dấu y’ luôn cùng dấu với A = a a’
A = a a’ > 0 A = a a’ < 0
b' b'
x -∞ a' +∞ x -∞ a' +∞
y’ + + y’ - -
+∞ +∞ +∞ +∞
y y
-∞ -∞ -∞
-∞
2 2
a x a x
lim y lim lim y lim
x x a'x x x a'x
2
a x a x
2
lim y lim lim y lim
x x a'x x x a'x
http://my.opera.com/vinhbinhpro

Tóm tắt giáo khoa *
A = a a’ > 0 hay k > 0 A = a a’ < 0 hay k < 0
y
y x= - b’/a’
tâm đối xứng
0 x 0 x
trở về
vinhbinhpro

vinhbinhpro
Bài tập 1
m 2 x m 2
Cho hàm số : y (m 1; m 2)
x m
a) Định m để 2 đƣờng tiệm cận của đồ thị cắt nhau trên đƣờng thẳng y = 2x - 5
b)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
Hướng dẫn : a) lim m 2 x m 2 m
2
m 2 0 m 1 ;m 2
x m
 lim y x m là tiệm cận đứng
x m
m 2
x m 2
x
 lim y lim m 2 => y = m - 2 là tc ngang
x x m
x 1
x
Giao điểm của 2 đƣờng tiệm cận là điểm I (m ; m - 2 )
I d : y 2x 5 m 2 2m 5 m 3

Bài tập 1*
x 1
b) m 3 ; y
x 3
* Tập xác định : D R 3
4
y' 2
0 x D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
x 3
lim y ; lim y => x = 3 là tiệm cận đứng
x 3 x 3
x
lim y lim 1 ; lim y 1 => y = 1 là tiệm cận ngang
x x x x
* Bảng biến thiên
http://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập 1*
x 1
b) m 3 ; y
x 3
* Tập xác định : D R 3
4
y' 2
0 x D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
x 3
lim y ; lim y => x = 3 là tiệm cận đứng
x 3 x 3
x
lim y lim 1 ; lim y 1 => y = 1 là tiệm cận ngang
x x x x
* Bảng biến thiên * Đồ thị :
-∞ 3 +∞
x Điểm đặc biệt :
y’ - - x 0 1 2
1 +∞ y - 1/3 -2 -3
y
1
-∞ http://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập 1**
f(x) f(x)=(x+1)/(x-3)
f(x)=1
x(t)=3 , y(t)=t
4
Series 1
2
x
-4 -2 2 4 6
Tâm đối xứng
-2
-4
http://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập 2
2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : x 3x 6
y
x 1
Hƣớng dẫn :
* Tập xác định : D R 1
* Chiều biến thiên 2
x
* Giới hạn và tiệm cận :  lim y lim ; lim y
x x x x
2
x 3x 6
lim y lim ; lim y => x = 1 là tiệm cận đứng
x 1 x 1 x 1 x 1
4 4
y x 2 ; lim y x 2 lim 0 => y = x - 2 là tiệm cận ngang
x 1 x x x 1
* Bảng biến thiên :
2
x 2x 3 2
x 1
y' 2
; y' 0 x 2x 3 0
x 1 x 3
vinhbinhpro

Bài tập 2*
x -∞ -1 1 3 +∞
y’ + 0 - - 0 +
+∞ +∞
y CĐ
ct
-∞ -∞
2 xCD 3
 yCD y ( 1) 5 Điểm cực đại ( - 1 ; - 5 )
1
2 x ct 3
 y ct y (3) 3 Điểm cực tiểu ( 3 ; 3 )
1
* Đồ thị :
+ Giao điểm 2 đƣờng tiệm cận I ( 1 ; - 1 ) là tâm đối xứng của đồ thị
+ Tính thêm tọa độ các điểm đặc biệt

f(x) f(x)=(x^2-3*x+6)/(X-1)
x(t)=1 , y(t)=t
6 f(x)=x-2
Series 1
4
3
2
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-4 tâm đối xứng
I (1 ; -1 )
-5
-6
http://my.opera.com/vinhbinhpro

Bài tập 3
2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : x 2x 1
y
x 1
Hƣớng dẫn :
* Tập xác định : D R 1
* Chiều biến thiên 2
x
* Giới hạn và tiệm cận :  lim y lim ; lim y
x x x x
2
x 2x 1
lim y lim ; lim y => x = 1 là tiệm cận đứng
x 1 x 1 x 1 x 1
2 2
y x 1 ; lim y x 1 lim 0 => y = - x +1 là tiệm cận ngang
x 1 x x x 1
2
x 2x 3
* Bảng biến thiên :  y ' 2
; Pt : y ' 0 VN y' 0; x 1
x 1
Hàm số nghịch biến trên các khoảng của D và không có cực trị
vinhbinhpro

Bài tập 2*
x -∞ 1 +∞
y’ - -
+ ∞ +∞
y
-∞ -∞
* Đồ thị :
+ Giao điểm 2 đƣờng tiệm cận I ( 1 ; 0 ) là tâm đối xứng của đồ thị
+ Tính thêm tọa độ các điểm đặc biệt
- Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0 ; - 1 )
- Đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm : 1 2 ;0 ; 1 2 ;0

f(x) f(x)=(-x^2+2*x+1)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+1
4
2
x
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-2
-4

* Đồ thị của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối
Bài toán thường gặp : Biết đồ thị ( C ) của hàm số y = f( x ) , suy ra đồ thị của :
C 1 : y1 f x C2 : y2 f x
a) Vẽ đồ thị : C 1 : y1 f x
y1 f x là hàm số chẵn nên đồ thị C 1 nhận trục Oy làm trục đối xứng
x 0 x x y1 f ( x) y (C1 ) (C )
x 0 : Đồ thị C1 là phần đối xứng của ( C ) với x 0 qua trục Oy
b) Vẽ đồ thị : C 2 : y 2 f x
f (x) y ; f (x) 0
y2 f (x)
f (x) y ; f ( x) 0
Đồ thị hàm số C2 : y2 f x gồm 2 phần :
1. Nếu f ( x ) 0 y2 y (C 2 ) (C )
http://my.opera.com/vinhbinhpro

* Đồ thị của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối *
2. Nếu f ( x) 0 y2 y
Lúc này đồ thị C 2 đối xứng với đồ thị (C) qua trục Ox
( chỉ lấy phần của (C) ứng với x D1 D với f ( x ) 0)
Bài tập áp dụng :
2
x 3x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y
x 1
b) Từ đồ thị ( C ) suy ra đồ thị ( H ) của hàm số :
x x 3
y
x 1
Hướng dẫn : (tóm tắt )
a)* Tập xác định : D R 1
2
x 2x 3 x 1 y 1
y' 2
y' 0
x 1 x 3 y 9

* Đồ thị của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối **
x -∞ -1 1 3 +∞
y’ + 0 - - 0 +
+∞ +∞
y 1
9
-∞ -∞
f(x) f(x)=(x^2+3*x)/(x-1)
(C) x(t)=1 , y(t)=t
10 f(x)=x+4
8
6
tiệm cận xiên y = x+4 4
2 tiệm cận đứng x=1
x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
(C) -2
http://my.opera.com/vinhbinhpro

* Đồ thị của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối ³*
b) Vẽ đồ thị ( H )
2
x x 3 x 3x
x 0 x x : y1 y (C ) (H )
x 1 x 1
2
x x 3 x 3x
x 0 x x : y1 y
x 1 x 1
Vậy ( H ) đối xứng với ( C ) qua trục Ox

* Đồ thị của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối ²**
f(x) (C) f(x)=(x^2+3*x)/(x-1)
(H) trùng (C) với x 0
x(t)=1 , y(t)=t
10 f(x)=x+4
8
6
4
(H)
2
(C)
0
x
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
(H)
-2
(H) trùng (C) với x 0
(C)
 vinhbinhpro