Your SlideShare is downloading. ×
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Buku prolin
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Buku prolin

993

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
993
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
48
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. PROGRAM LINEAR 1 BAB I PENDAHULUAN PROGRAM LINIER A. Sejarah Program Linier Ide Linear Programming pertama kali dicetuskan oleh seorang ahli matematika asal Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam bukunya yang berjudul ”MATHEMATICAL METHODS IN THE ORGANIZATION AND PLANNING OF PRODUCTION”. Dengan buku ini, ia telah merumuskan pertama kalinya persoalan “Linear Programming”. Namun, cara-cara pemecahan persoalan in di Rusia tidak berkembang dengan baik dan ternyata para ahli di negara Barat dan AS yang menggunakan cara ini dimanfaatkan dengan baik. Pada tahun 1947, seorang ahli matematika dari AS yang bernama George B. Dantzig menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan-persoalan linear programming. Cara pemecahan ini
  • 2. PROGRAM LINEAR 2 dinamakan ” Simplex Method”, yang diuraikan dalam bukunya ”LINEAR PROGRAMMING AND EXTENTION”. Selanjutnya teori ini berkembang pesat sekali terutama dibidang kemiliteran yang menyangkut optimisasi dalam strategi perang dan di bidang-bidang lainnya. B. Pengertian Program Linier Linear Programming (LP) / Pemrograman linier merupakan suatu model yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal dengan menggunakan model matematika. Sumber- sumber yang dimaksud dapat berupa bahan baku, peralatan & mesin, ruang, waktu, dana dan orang. istilah linier menunjukan bahwa seluruh fungsi matematika yang ada di dalam model harus merupakan suatu fungsi linier, sedangkan programming pada hakekatnya adalah sinonim dengan perencanaan.
  • 3. PROGRAM LINEAR 3 Jadi pemrograman linier mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasatan tertentu yang paling baik diantara alternatif-alternatif yang mungkin dengan mengunakan fungsi linier. Atau dengan kata lain LP adalah metode atau teknik matematis yang digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan. Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan LP ialah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia, kemudian menerjemahkan masalah ini kedalam bentuk model matematika guna menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi. Pada saat kita akan menentukan alat program linier dalam mencoba memecahkan suatu persoalan, maka ada beberapa hal yang harus dicermati atau kondisi yang diperlukan. Hal-hal tersebut adalah:
  • 4. PROGRAM LINEAR 4 1. Tujuan dari pemecahan kasus merupakan optimalisasi. Optimalisasi artinya mencari suatu titik pada besaran angka yang akan menunjuk pada tujuan utama dari kasus yang akan dipecahkan. Tujuan utama dari kasus adalah maksimasi atau minimasi. Contoh suatu perusahaan apakah ingin memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya dalam target operasionalnya. Optimalisasi dari perusahaan itu adalah mencari tingkat output dan kombinasi input yang akan mencapai tujuan dari perusahaan, yaitu maksimasi laba atau minimasi biaya. 2. Terdapat berbagai alternatif dari kombinasi berbagai variabel input yang tersedia yang salah satunya akan memberikan tingkat output yang sesuai dengan tujuan dari optimalisasi. Misalnya apakah membuat nasi goreng yang akan memaksimumkan keuntungan dibuat dengan proporsi satu piring nasi dan dua takar bumbu atau dengan proporsi satu piring nasi dengan tiga takar bumbu?
  • 5. PROGRAM LINEAR 5 3. Variabel-variabel input merupakan variabel yang terbatas. Keterbatasan di sini dalam arti jumlah yang tersedia terbatas disertai dengan biaya dari tiap variabel juga tertentu. Kombinasi variabel input dalam menghasilkan output mempunyai sifat substitusi, artinya semakin banyak satu variabel input digunakan untuk membuat suatu output, maka alokasi variabel input tersebut untuk output lain akan berkurang. 4. Semua output yang akan dihasilkan merupakan suatu pertidaksamaan linier dari input. Pertidaksamaan ini akan menggambarkan keterbatasan atau kemungkinan yang timbul dari kondisi input dan output. Misalnya, jika X adalah nasi goreng biasa dan Y adalah nasi goreng spesial, serta ada ketentuan bahwa biaya untuk membuat 3 piring nasi goreng biasa dan 2 piring nasi goreng spesial tidak boleh melebihi 30.000 rupiah. Oleh karena itu, bisa kita tulis: 3X + 2Y 30.000.
  • 6. PROGRAM LINEAR 6 Pemprogramanlinieradalahmetodematem atika dalammengalokasikansumberdayayangterb atasuntukmencapaisuatutujuanseperti memaksimalkankeuntunganataumeminimu mkan biaya. Program linier berkaitan dengan pejelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier (Taha,1993). Program linier banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi didalam industri,perbankan,pendidikan,dan masalah-masalah lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk linier. C. Karakteristik Pemprograman Linier Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas. Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang
  • 7. PROGRAM LINEAR 7 membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing- masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua
  • 8. PROGRAM LINEAR 8 produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi. Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan. Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu. Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.
  • 9. PROGRAM LINEAR 9 1. Sifat linieritas 2. Sifat proposional dipenuhi jika kontribusi setiap varabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proposional terhadap level nilai variable. 3. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas,sehingga tidak dapat ditemukan bentuk perkalian silang pada model. 4. Sifat diviiabel berarti unit aktivitas dapat dibagi dalam sembarang level fraksional,sehingga nilai variable keputusan non integer dimungkinkan. 5. Sifat kepastian menunjukan bahwa semua parameter model berupa konstanta. D. Formulasi Permasalahan Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah alokasi optimum sumber daya. Sumber daya dapat berupa uang,tenaga kerja,bahanmentah,kapasitas mesin,waktu,ruangan,atau teknologi. Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik dengan keterbatasan sumber daya itu. Setelah masalah diidentifikasikan,tujuan ditetapkan,langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik. Formulasi model matematik ada 3 tahap: 1. Tentukan variable yang tidak diketahui dan dinyatakan dalam symbol.
  • 10. PROGRAM LINEAR 10 2. Membentuk fungsi tujuan yang ditujukkan sebagai suatu hubungan linier dari variable keputusan. 3. Menentukansemuakendalamasalah tersebut dan mengekspresikanya dalampersamaanatau pertidaksamaan. E. Bentuk Umum Program Linear 1. Fungsi Tujuan Maksimumkan atau Minimumkan 2. Sumber daya yang membatasi (kendala/syarat)
  • 11. PROGRAM LINEAR 11 BAB II METODE GRAFIK A. Menentukan nilai optimum dengan metode uji titik Langkah-langkah: 1. Membuat model matematika 2. Menentukan fungsi sasaran 3. Menyelesaikan fungsi pertidaksamaan 4. Menentukan titik-titik terluar dari himpunan penyelesaian 5. Menentukan nilai fungsi sasaran di setiap titik terluar 6. Menentukan nilai optimum Catatan : Metode Grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier yang ber “dimensi” : 2 x n atau m x 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam “menyampaikan” sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat tidak praktis). B. Contoh soal 1. Perhatikan pertidaksamaan berikut dengan kendala :
  • 12. PROGRAM LINEAR 12 Gambarlah daerah penyelesaian dan tentukanlah nilai terbesar dari ! 2. Tentukan nilai ekstrim jika adalah penyelesaian pertidaksamaan dari kendala berikut : Pembahasan : 1. Formulasi: Fungsi Tujuan : Max Kendala : Titik potong kendala 1 0 4 6 0 Titik potong kendala 2 0 6 0 Membuat grafik dari titik potong diatas
  • 13. PROGRAM LINEAR 13 Menetukan nilai titik yang berpotongan - Menentukan nilai maksimum dari titik- titik yang termasuk HP: a. b. c. 2. Formulasi: Fungsi Tujuan : Max Kendala : Titik potong kendala 1 0 4 6 0 Titik potong kendala 2 0 6 0
  • 14. PROGRAM LINEAR 14 Membuat grafik dari titik potong diatas Menetukan nilai titik yang berpotongan - Menentukan nilai maksimum dari titik- titik yang termasuk HP: a. b. c. Nilai ekstrim dilihat dari gambar = max/min
  • 15. PROGRAM LINEAR 15 BAB III METODE SIMPLEK A. Pengantar Persoalan program linier tidak selalu sederhana karena melibatkan banyak constraint (pembatas) dan banyak variabel sehingga tidak mungkin diselesaikan dengan metode grafik. Oleh karena itu serangkaian prosedur matematik (aljabar linier) diperlukan untuk mencari solusi dari persoalan yang rumit tersebut. Prosedur yang paling luas digunakan adalah Metode Simplex. Penemuan metode ini merupakan lompatan besar dalam Riset Operasi dan ia digunakan sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program komputer. Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks.Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan metode simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi.Iterasi ke-i hanya tergantung dari itersi sebelumnya (i-1).
  • 16. PROGRAM LINEAR 16 Dapat disimpulkan juga bahwa metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fleksibel ke pemecahan dasar yang fisibel lainnya dan ini dilakukan berulang-ulang (dengan jumlah ulangan yang tebatas) sehingga tercapai sesuatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari step-step sebelumnya. Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks,diantaranya : 1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai table sebelumnya. 2. Variable non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum,jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan. 3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal,variabel basis merupakan variabel slack ( jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan ( jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau = ). Secara umum,jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas ( tanpa fungsi non negatif ).
  • 17. PROGRAM LINEAR 17 4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal,nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. 5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan ( = ). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis. 6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan ( = ). Penambahan ini tejadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis. 7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal karena kenyataanya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada diatas kertas. 8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai
  • 18. PROGRAM LINEAR 18 kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja). 9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar. 10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Eleme pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk table simpleks berikutnya. 11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif. 12. Variabelkeluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantika oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi .variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol. Bentuk Aljabar Metode Simplex Dengan menggunakan contoh pada kasus perusahaan TAS terdahulu maka model linier persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
  • 19. PROGRAM LINEAR 19 Dengan menyertakan variabel Slack atau surplus maka model tersebut dibuat menjadi bentuk standar berikut: Subject to constraint: Properti Aljabar Metode Simplex Keempat fungsi pembatas tersebut merupakan suatu persamaan sistem dengan enam variabel. Jika suatu sistem persamaan memiliki veriabel yang lebih banyak dibanding dengan jumlah persamaannya maka solusi dari persamaan
  • 20. PROGRAM LINEAR 20 sistem tersebut adalah infinity. Metode simplex dengan demikian merupakan prosedur aljabar untuk mendapatkan solusi terbaik bagi suatu sistem persamaan. Dalam proses mencari solusi terbaik (best solution), solusi yang tidak memenuhi persyaratan non negatif akan dieliminasi. Mendapatkan Solusi dasar Oleh karena jumlah variabel dalam persamaan sistem lebih besar dibanding jumlah persamaaannya –-dalam hal ini ada enam variabel untuk empat persamaan-- maka metode simplex memberikan nilai nol untuk dua variabel, dan mencari solusi terbaik bagi empat variabel lainnya dalam sistem persamaan tersebut. Misalkan X2 = 0 dan S1 = 0 sehingga persamaan sistem tersebut menjadi: 2X1 = 800 ... (5) 2X1 + 1S2 = 1000 ... (6) 1X1 + 1S3 = 300 ... (7) 2X1 + 1S4 = 650 ... (8) Dengan menetapkan nilai nol untuk variabel X2 dan S1 maka persamaan sistem tersebut direduksi menjadi empat persamaan dengan empat variabel (X1,S2,S3,S4). Dari persamaan (5) diperoleh 2
  • 21. PROGRAM LINEAR 21 2X1 = 800 sehingga X1 = 800/2 = 400. Dari persamaan (6) masukkan nilai x1 = 400 untuk mendapatkan nilai S2 yaitu 2X1 + 1S2 = 1000 sehingga S2 = 1000 – (2*400) = 200 Dari persamaan (7) diperoleh 1X1 + 1S3 = 300 sehingga S3 = 300 – 400 = -100 Dari persamaan (8) diperoleh 2X1 + 1S4 = 650 sehingga diperoleh S4 = 650 – (2*400) = -150 Dengan demikian diperoleh solusi dari persamaan sistem dengan enam variabel dan empat persamaan, yaitu: X1 = 400 X2 = 0 S1 = 0 S2 = 200 S3 = -100
  • 22. PROGRAM LINEAR 22 S4 = -150 Solusi diatas disebut Solusi dasar (Basic Solution). Prosedur umum untuk mendapatkan basic solution adalah dengan membangun bentuk persamaan standar untuk n variabel (termasuk variabel keputusan, slack dan surplus) dan m persamaan pembatas dimana n lebih besar dari m. B. Metode Pemecahan Dasar (Basis) atau simplek 1 1. Nilai maksimum dari pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaan Kendala : a. Menambahkan setiap kendala dengan sebuah variabel tambahan (slack) b. Menetukan banyaknya variabel basis dengan cara kombinasi
  • 23. PROGRAM LINEAR 23 Jawab : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. No Variabel Basis Variabel Non Basis Ket Titik 1. TL - - 2. TL - - 3. TL - -
  • 24. PROGRAM LINEAR 24  Jadi dari data diatas maka nilai maksimalnya adalah 60 pada titik (0,0) 2. Untuk (x,y) yang memenuhi ,dan ,maka nilai maksimum untuk adalah … Jawab: a. Menambahkan setiap kendala dengan variabel slack 4. TL - - 5. L (10,0) 60 6. L (10,0) 60 7. L (2,0) 12 8. L (10,0) 60 9. TL - - 10. L (0,4) 52
  • 25. PROGRAM LINEAR 25 6 b. Menentukan banyaknya variabel basis dengan cara kombinasi 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. No Variabel Basis Variabel Non Basis Ket Titik 1. TL - - 2. L (0,4) 4
  • 26. PROGRAM LINEAR 26 3. TL - - 4. TL - - 5. TL - - 6. L (0,3) 3 7. L (0,3) 3 8. L ( ) 9. L (0,4) 4 10. L (3,0) 3  Jadi dari data diatas nilai maksimumnya adalah 4 pada titik (0,4)
  • 27. PROGRAM LINEAR 27 C. SIMPLEKS DENGAN OPERASI BARIS Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku/standar, yaitu: a. fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack. b. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus. c. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu artificial variable (variabel buatan). Contoh soal : 1. Misal dan variabel slack Sistem persamaan : Tabel awal simplex
  • 28. PROGRAM LINEAR 28 100 200 1 0 9000 400 200 0 1 1200 -4000 -3000 0 0 0 Matrix simpleks 100 200 1 0 9000 400 200 0 1 1200 -4000 -3000 0 0 0 Membaca Tabel Optimal Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal dibaca dari tabel optimal : 1. Solusi optimal variabel keputusan 2. Status sumber daya 3. Harga bayangan (dual/shadow price) Menggunakan tabel optimal : Menggunakan tabel optimal : VB NK Z 0 0 4 0 0 0 1 0 1 0
  • 29. PROGRAM LINEAR 29 1 0 -2 0 Solusi optimal = , = , dan Z = , artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar $ , maka perusahaan sebaiknya menghasilkan produk 1 sebesar unit dan produk 2 sebesar unit. Status sumber daya : Sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variabel basis awal dari setiap fungsi kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di atas, untuk fungsi kendala pertama periksa keberadaan pada variabel basis tabel optimal. Periksa keberadaan pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala kedua. Periksa keberadaan pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala ketiga. = . sumber daya ini disebut berlebih. (abundant) = 0 . kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce). Harga bayangan : Harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack atau surplus pada baris fungsi tujuan. Koefisien pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 0 , dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0.
  • 30. PROGRAM LINEAR 30 Koefisien pada baris fungsi tujuan tabel optimal = , dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah . Koefisien pada baris fungsi tujuan tabel optimal = , dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah . Perhatikan juga kasus berikut: Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 Terhadap : 10x1 + 5x2 ≤ 600 6x1 + 20x2 ≤ 600 8x1 + 15x2 ≤ 600 x1, x2 ≥ 0 Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan kedalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut: Maksimumkan Terhadap : oleh karenanya merupakan variabel slack.
  • 31. PROGRAM LINEAR 31 PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS Gunakan kasus di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah : -2 -3 0 0 0 0 10 5 1 0 0 600 6 20 0 1 0 600 8 15 0 0 1 600 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut: 1. Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan. 2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan berupa maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien negatif terbesar. Jika tujuan minimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terkecil. Perhatikan, kita tidak menggunakan kata-kata nilai terkecil dan terbesar, karena kita memang tidak memilih nilai terkecil dan terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan
  • 32. PROGRAM LINEAR 32 mendapatkan variabel keluar. Jika nilai negatif terbesar (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang. 3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Perhatikan, rasio pembagian tidak mungkin bernilai negatif, karena nilai kanan tidak negatif demikian juga dengan nilai kolom pivot. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang. 4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. 5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak dalam satu kolom juga. 6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi
  • 33. PROGRAM LINEAR 33 tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no.2, jika sudah optimal baca solusi optimalnya. Kita selesaikan kasus di atas. X2 adalah variabel masuk dan s2 adalah variabel keluar. Elemen pivot adalah 20. Perhitungan kita lanjutkan ke iterasi 2. Variabel masuk adalah x1 dan variabel keluar adalah s3 VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi rasio z -2 -3 0 0 0 0 - S1 10 5 1 0 0 600 12 S2 6 20 0 1 0 600 3 S3 8 15 0 0 1 600 4 VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi Rasio z -11/10 0 0 3/20 0 90 - S1 8.5 0 1 -1/4 0 450 52.9 X2 3/10 1 0 1/20 0 30 100 S3 3.5 0 0 -¾ 1 150 42.857
  • 34. PROGRAM LINEAR 34 VD X1 X2 S1 S2 S3 Solusi z 0 0 0 9/70 1/35 94.2857 S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155 X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329 X1 1 0 0 -3/14 2/7 42.857 Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan! Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal yang bisa dibaca dari tabel optimal : 1. Solusi optimal variabel keputusan. 2. Status sumber daya. 3. Harga bayangan (dual/shadow prices). Menggunakan tabel optimal di atas: VD X1 X2 S1 S2 S3 solusi z 0 0 0 9/70 1/35 94.2857 S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155 X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329 X1 1 0 0 -3/14 2/7 42.857 Solusi optimal : x1 = 42.857; x2 = 17.1329 dan z = 94.2857, artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar $94.2857, maka perusahaan sebaiknya memproduksi produk 1 sebesar 42.857 unit dan produk sebesar 17.1329 unit. Status sumber daya : sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variabel basis awal dari setiap fungsi kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di atas, fungsi kendala pertama periksa keberadaan s1
  • 35. PROGRAM LINEAR 35 pada variabel basis tabel optimal; periksa keberadaan s2 pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala kedua; periksa keberadaan s3 pada variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala ketiga. s1 = 85.7155. Sumber daya ini disebut berlebih (abundant) s2 = s3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce). Harga bayangan : harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack atau surplus pada baris fungsi tujuan. koefisien s1 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 0, dengan demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0. Koefisien s2 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 9/70, dengan demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 9/70. Koefisien s3 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 1/35, dengan demikian harga bayangan sumber daya ketiga adalah 1/5. D. Simplex Fase 1 Solusi dasar mungkin saja fisibel atau infisibel. Sebuah solusi dasar fisibel akan memenuhi persyaratan tidak negatif. Solusi dasar yang diperoleh diatas dengan menetapkan X2 dan S1 sebagai variabel bukan basis dan bernilai sama dengan nol telah mendapatkan solusi untuk nilai
  • 36. PROGRAM LINEAR 36 X1,S2,S3,S4 bukan sebagai solusi dasar fisibel karena nilai S3 = -100 dan S4 = -150. Oleh karena itu pemilihan variabel bukan basis perlu diubah. Jadi jika variabel yang dipilih sebagai variabel bukan basis adalah X1 dan X2 dan bernilai nol maka solusi basis yang diperoleh adalah fisibel, yaitu: S1 = 800 S2 = 1000 S3 = 300 S4 = 650 dengan variabel bukan basis X1 = 0 dan X2 = 0. Prosedur penyelesaian program linear dengan Metode Simplex 1. Formulasikan persoalan menjadi model linear 2. Transformasikan model tersebut kedalam bentuk standar dengan menambahan variabel slack atau mengurangi dengan variable surplus 3. Buatlah tableau form Menyusun Tabel Simplex Awal (Initial Simplex Tableau) Setelah melakukan konversi program linier kedalam tabel simplex maka tahap
  • 37. PROGRAM LINEAR 37 pertama adalah membangun tabel simplex awal (initial simplex tableau). Pada tahap ini termasuk pemberian notasi bagi semua koefisien yaitu: cj = koefisien fungsi tujuan untuk variabel j bi = koefisien sisi kanan (RHS) untuk constraint ke i aij = koefisien yang berasosiasi dengan variabel j pada constraint i E. Simpleks Fase 2 Langkah-langkah : 1. Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya dibuat sama seperti simpleks dengan 1 fase. 2. Nilai Z diminimumkan (dikalikan dengan -). 3. Z pindah ruas menjadi bernilai + . 4. Selanjutnya sama seperti pada simpleks dengan 1 fase. Namun pembedanya adalah yang mempunyai nilai hanya variabel M dan Z. Variabel yang mengandung nilai M bernilai = -1 dan Z = 1 selebihnya bernilai 0 . 5. Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang membentuk identitas dan pada posisi 1 di sebelah kiri (pengali) di letakkan nilai x. Lalu setelah 2 variabel dikali dan di jumlahkan, dikurng nilai x di atasnya. 6. Selanjutnya sama seperti pada simpleks 2 dan 1 fase himgga berakhir pada nilai baris terakhir yang bernilai positif.
  • 38. PROGRAM LINEAR 38 7. Hilangkan kolom yang mengandung nilai M pada Z lalu letakkan nilai keseluruhan Z pada atas baris (nilai x). 8. Lalu seperti cara no.5 hingga nilai baris terakhir bernilai positif. 9. Dan itulah nilai Z (jangan lupa nilai Z adalah -Z). Contoh Soal : Minimmumkan : Kendala : Penyelesaian : Z = Transformasi baris kunci (X6) 2 4 0 0 -1 1 48 ( ) 1 0 0 12 Cj 0 0 0 -1 0 -1 HB VB CB X Y X3 X4 X5 X6 X4 -1 4 2 -1 1 0 0 60 X6 -1 2 4 1 0 1 0 48 Zi - Cj -6 -6 1 0 1 0 -108
  • 39. PROGRAM LINEAR 39 Transformasi baris X4 Transformasi baris kunci (X4) 3 0 -1 1 36 ( ) 1 0 12 Cj 0 0 0 -1 0 -1 HB VB CB X Y X3 X4 X5 X6 X4 -1 3 0 -1 1 36 Y 0 1 0 0 0 12 Zi - Cj -3 0 1 0 -36
  • 40. PROGRAM LINEAR 40 Transformasi baris Y Maka X = 12 ; Y = 6 Jadi Z = 8x + 6y = 8(12) + 6(6) Cj 0 0 0 -1 0 -1 HB VB CB X Y X3 X4 X5 X6 X 0 1 0 12 Y 0 0 1 6
  • 41. PROGRAM LINEAR 41 = 96 + 36 = 132 F. Metode M. Charness Minimumkan Z = 3x – 2y Kendala : x + y 2x + y x,y Penyelesaian : Masalah PL menjadi z = Menggunakan prosedur memaksimalkan : Pada kendala kurangi variable surplus dan tambahkan variabel slack a,b = variabel surplus c, d = variabel slack Pada fungsi tujuan kurangi dengan M dikali kan variabel slack, sehingga
  • 42. PROGRAM LINEAR 42 Cj -3 -2 0 0 -M -M HB VB CB X y a B c d c -M 1 1 - 1 0 1 0 2 r =2/1=2 d -M 2 1 0 -1 0 1 3 r =3/2 Zj-Cj 3 2 0 0 0 0 0 konstanta -3 -2 1 1 0 0 -5 Nilai M Keterangan : r = rasio Mencari nilai Zj – Cj        Note : Banyaknya VB tergantung banyak variabel slack, nilai CB mengikuti nilai variabel slack
  • 43. PROGRAM LINEAR 43 Cari unsur kunci, dengan mencari baris kunci dan kolom kunci didapat unsur kunci 2 Transformasi baris kunci 2/2 1/2 0/2 -1/2 0/2 1/2 3/2 1 1/2 0 -1/2 0 1/2 3/2 Transformasi baris lain  Baris c Cj -3 -2 0 0 -M -M HB VB CB x y A B c d c -M 0 1/2 -1 1/2 1 -1/2 1/2 x -3 1 1/2 0 -1/2 0 1/2 3/2 Zj-Cj 0 1/2 0 3/2 0 -3/2 -9/2 0 -1/2 1 -1/2 0 3/2 -1/2 Mencari nilai Zj – Cj   
  • 44. PROGRAM LINEAR 44     Cari baris kunci dan kolom kunci. Unsur kunci = 1/2 Transformasi baris kunci 0 1 -2 1 2 -1 1 Transformasi baris lain  Baris x Cj -3 -2 0 0 -M -M HB VB CB X y a B c d Y -2 0 1 -2 1 2 -1 1 Note : yang paling negatif ada 2 yaitu -1/2 dan -1/2. Lihat nilai Zj-Cj diatasnyac 1/2 < 3/2, maka ambil nilai -1/2 yang pertama
  • 45. PROGRAM LINEAR 45 X -3 1 0 1 -1 -1 1 1 Zj-Cj 0 0 1 1 -1 -1 -5 0 0 0 0 1 -1 0 Karena koefisien-kefisien variabel adasar sudah tidak ada lagi yang negatif, berarti optimalisasi sudah dicapai pada tahap penyelesaian pada tahap ini.Tabel terakhir merupakan tabel optimal. Contoh soal Syarat : 3x1 + x2≤ 3 Kendala : 4x1+ 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2≤ 3 x1,x2 ≤ 0 Z x =1 y = 1
  • 46. PROGRAM LINEAR 46 Jawab : -zmin = - maks (-z) Kendala 1 dan 3 hanya ditambahkan variabel slack, karena “≤” sedangkan kendala 2 dikurangi variabel surplus dan ditambahkan variabel slack. Sehingga : Pada fungsi tujuan kurangi M dikali kan variabel slack - Zmin = - 4x1 – x2 – Ma – Mc – Md Substitusikan ke dalam tabel Cj -4 -1 -M 0 -M -M HB VB CB x1 x2 a b C d a -M 3 1 1 0 0 0 3 r = 1 c -M 4 3 0 -1 1 0 6 r=6/4=3/2 D -M 1 2 0 0 0 1 3 r=3 Zj – Cj 4 1 0 0 0 0 0 -8 -6 0 1 0 0 -12 Mencari nilai Zj – Cj
  • 47. PROGRAM LINEAR 47  Transformasi baris kunci 3/3 1/3 1/3 0/3 0/3 0/3 3/3 1 1/3 1/3 0 0 0 1  Transformasi baris yang lain  Baris c  Baris d
  • 48. PROGRAM LINEAR 48 Cj -4 -1 -M 0 -M -M HB VB CB x1 x2 a B c d x1 -4 1 1/3 1/3 0 0 0 1 c -M 0 5/3 -4/3 1 -1 0 2 d -M 0 5/3 1/3 0 0 1 2 Zj - Cj 0 1/3 -4/3 0 0 0 -4 0 - 10/3 8/3 1 0 0 -4  Transformasi baris kunci 0 1 -1/5 0 0 3/5 6/5 Transformasi baris lain Transformasi baris x1
  • 49. PROGRAM LINEAR 49 Transformasi baris b Mencari nilai Zj-Cj Cj -4 -1 -M 0 -M -M HB
  • 50. PROGRAM LINEAR 50 VB CB x1 x2 a B C d x1 -1 1 0 6/15 0 0 -1/3 3/5 c -M 0 0 -1 -1 1 -1 0 x2 -1 0 1 -5 0 0 3/5 6/5 Zj - Cj 0 0 51/15 0 0 11/19 -18/5 0 0 0 1 0 2 0 Kesimpulan : Zmin = , = 3/5 , X2 = 6/5 G. Metode Simplex 2 Fase Langkah-langkah : 1. Sistem pertidaksamaan 1 dan seterusnya dibuat sama seperti simplek dengan fase 1. 2. Nilai z minimumkan (dikalikan sengan -). 3. Z pindah ruas menjadi nilai +. 4. Selanjutnya sama seperti pada simplek dengan 1 fase, namun perbedaannya adalah yang mempunyai nilai hanya variabel M dan Z. Variabel yang mengandung nilai M bernilai = -1 dan z = 1 selebihnya bernilai 0. 5. Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yang membentuk identitas dan pada posisi 1 disebelah kiri (pengali) di letakkan nilai x. Lalu setelah 2 variabel dikali dan dijumlahkan, dikurang nilai x diatasnya. 6. Selanjutnya sama seperti pada simplek 2 dengan 1 fase hingga berakhir pada nilai baris terakhir yang bernilai positif. 7. Hilangkan kolom yang mengandung nilai M pada Z lalu letakkan nilai keseluruhan z pada atas baris ( nilai x ).
  • 51. PROGRAM LINEAR 51 8. Lalu seperti cara pada no. 5 hingga nilai baris terakhir bernilai positif. 9. Dan itulah nilai z (jangan lupa nilai z adalah – z). Contoh soal : Syarat Jawab : Misal : Fase 1 CJ 0 0 0 0 -1 -1 VB CB HB -1 1 1 -1 0 1 0 40 -1 1 2 0 -1 0 1 30 ZJ-CJ -2 -3 1 1 0 1 -100
  • 52. PROGRAM LINEAR 52 Transformasi baris sebagai baris kunci ; Transformasi baris
  • 53. PROGRAM LINEAR 53 Transformasi baris sebagai kolom kunci Transformasi baris CJ 0 0 0 0 -1 -1 VB CB HB -1 0 -1 1 10 / = 20 0 1 0 0 30/ = 60 ZJ-CJ 0 1 0 -10
  • 54. PROGRAM LINEAR 54 Fase 2 CJ 0 0 0 0 -1 -1 HB VB CB 0 1 0 -2 1 2 -2 20 0 0 1 1 -1 -1 1 20 0 0 0 0 1 1 0 CJ 30 -40 0 0 VB CB HB -30 1 0 -2 1 20 -40 0 1 1 -1 20
  • 55. PROGRAM LINEAR 55 Catatan : Fase 1 berakhir pada kondisi , maka simpulkan untuk meneruskan ke fase 2 dengan memperhatikan 3 kemungkinan berikut : 1. maks < 0 dimana satu atau lebih variabel slack berada dalam basis pada tingkat nilai yang positif. Masalah Program Linier yang asli tidak mempunyai penyelesaian layak (fisibel) 2. maks = 0, dengan kenyataan tidak ada variabel slack terletak dalam basis ini berarti telah diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari persoalan Program Linier yang asli. 3. maks =0, dengan kenyataan satu/lebih variabel slack terletak dalam basis pada tingkat nol (degenerasi). Kenyataan ini juga menunjukkan bahwa telat diperoleh penyelesaian layak dasar (fisibel basis) dari masalah Program Linier yang asli. Persyaratan untuk memulai fase 2 : ZJ-CJ 0 0 20 10 -1400
  • 56. PROGRAM LINEAR 56 Perhitungan fase 2 merupakan lanjutan fase 1, apabila akhir fase 1 menunjukkan kemungkinan (2 dan 3) Tabel fase 2 adalah akhir fase 1 dengan modivikasi sebagai berikut : a. Koefisien hanya fungsi tujuan adalah koefisien fungsi tujuan yang asli, atau nilai koefisien variabel pokok pada fase 1 yaitu nol harus di ganti dengan koefisien asli. b. Elemen pada baris Zj-Cj di hitung kembali. Soal latihan! 1. Dengan syarat : Jawab, Misal : Jadi,
  • 57. PROGRAM LINEAR 57 Transformasi baris sebagai baris kunci Transformasi baris CJ 0 0 0 -1 -1 HB VB CB -1 1 1 0 1 0 25: 1=25 -1 5 6 -1 0 1 140:6= ZJ-CJ -6 -7 1 0 0 -165
  • 58. PROGRAM LINEAR 58 Transformasi baris sebagai baris kunci CJ 0 0 0 -1 -1 HB VB CB -1 0 1 : = 10 0 1 0 : ZJ-CJ 0 0
  • 59. PROGRAM LINEAR 59 Transformasi baris CJ 0 0 0 -1 -1 HB VB CB 0 1 0 1 6 -1 10 0 0 1 -1 -5 1 15 ZJ-CJ 0 0 0 1 1 0
  • 60. PROGRAM LINEAR 60 Fase 2 CJ 0 0 0 HB VB CB -14 1 0 1 10 -18 0 1 -1 15 ZJ-CJ 0 0 4 -410
  • 61. PROGRAM LINEAR 61 BAB IV PRIMAL DAN DUAL Untuk memperoleh gambaran yang jelas tentang masalah “PRIMAL” dan “DUAL”, kita definisikan masalah-masalah berikut sebagai masalah primal dan dual nya masing-masing. (*) Masalah maksimum : Maksimumkan: mm xcxcxcf ...........2211 Syarat: kmkmkkk mm mm mm bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa .......... .................................................................. ................................................................. ................................................................. .......... .......... .......... 332211 33333232131 22323222121 11313212111 xi ≥ 0, i = 1, 2, .........., m (**) Masalah minimum : Minimumkan: kk ybybybg ...........2211
  • 62. PROGRAM LINEAR 62 Syarat: mkkmmmm kk kk kk cyayayaya cyayayaya cyayayaya cyayayaya .......... .................................................................. ................................................................. ................................................................. .......... .......... .......... 332211 33333223113 22332222112 11331221111 yi ≥ 0, i = 1, 2, .........., k Masalah (*) dan (**) saling berperan sebagai primal dan dualnya. Akan kita tulis kembali koefisien dari sekelompok persamaan (*) dan (**) dalam bentuk matriks, dengan koefisien dari fungsi obyektif sebagai baris paling bawah. (*) Masalah Maksimum a11 a12 a13 . . . . . . . . . a1m b1 a21 a22 a23 . . . . . . . . . a2m b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ak1 ak2 ak3 . . . . . . . . . akm bk c1 c2 c3 . . . . . . . . . . ck *
  • 63. PROGRAM LINEAR 63 (**) Masalah Minimum a11 a21 a31 . . . . . . . . . ak1 c1 a12 a22 a32 . . . . . . . . . ak2 c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a1m a2m a3m . . . . . . . . akm cm b1 b2 b3 . . . . . . . . . . bk * Dalam setiap kasus, koefisien dari matriks DUAL dapat ditentukan sebagai transpose dari koefisien matriks PRIMALnya. PRIMAL DAN DUAL Berkaitan dengan setiap masalah program linear selalu ada dualnya. Arti dari DUAL akan menjadi lebih jelas setelah Anda mempelajari masalah vitamin yang telah dibahas di muka. Untuk lengkapnya kita tuliskan kembali data masalah tersebut.
  • 64. PROGRAM LINEAR 64 Marilah kita pertimbangkan makanan F1 dan F2 yang dijual disebuah toko. Pemilik toko menyadari bahwa makanan F1 dan F2 memiliki nilai jual karena mengandung vitamin A dan B yang diperlukan untuk kesehatan. Masalah yang ia hadapi adalah menentukan harga jual, misal x sen dolar per unit vitamin A dan y sen dolar per unit vitamin B. Ia menyadari bahwa harga per unit vitaminnya harus diatur sedemikian rupa sehingga harga jual yang ditetapkannya untuk kedua jenis makanan kurang dari atau sama dengan harga pasaraan. Dengan perkataan lain terhadap x dan y harus ditentukan harga, sehingga biaya yang dihitung untuk makanan F1 dan F2 kurang dari atau sama dengan 3 sen dan 2,5 sen dolar perunit, masing- masing. Kalau pemilik toko menentukan harga di atas harga 3 dan 2,5 sen dolar, ia akan kehilangan pelanggan. Vitamin Makanan Keperluan sehari-hari F1 F2 A 2 4 40 B 3 2 50 Harga Makanan/Unit 3 2,5
  • 65. PROGRAM LINEAR 65 Pada saat yang sama, ia ingin memaksimumkan penghasilannya, yang diberikan oleh f = 40 x + 50 y, karena keperluan vitamin sehari-harinya adalah 40 unit dan 50 unit untuk masing-masing vitamin. Masalah yang dihadapi oleh pemilik toko dapat dirangkum sebagai berikut : (**) Sekelompok pertidaksamaan (**) ini merupakan DUAL dari masalah aslinya. Untuk mengenalinya, masalah aslinya disebut PRIMAL. Jika (**) kita sebut PRIMAL, maka masalah asli disebut DUAL nya, dan sebaliknya. Kesimpulan yang perlu diperhatikan ialah bahwa setiap masalah program linear memiliki DUAL yang unik (hanya satu-satunya).Masalah (**) dengan mudah dapat diselesaikan dengan Metode SimpleksI.
  • 66. PROGRAM LINEAR 66 Selama dalam barisan penilaian masih terdapat nilai yang positif, berarti program belum optimal, dan masih memerlukan perbaikan. Program 3 ini sudah optimal karena Baris penilaian tidak memiliki nilai positif lagi. Pemilik toko harus
  • 67. PROGRAM LINEAR 67 menetapkan harga 16 3 sen dolar untuk vitamin A dan 8 7 sen dolar untuk vitamin B perunitnya. Nilai dari fungsi obyektif adalah : f = 40 ( 16 3 ) + 50 ( 8 7 ) = 51,25 sen dolar yang memang persis sama dengan jawaban yang diperoleh pada masalah mencari nilai minimum dengan membeli makanan F1 dan F2. MEMBANDINGKAN TABEL PRIMAL DAN DUAL NYA Sekarang kita perhatikan tabel optimal dari masalah primal yang melibatkan pembelian makanan F1 dan F2 (tabel*), kemudian tabel optimal dari dual nya (tabel **). Tabel dari dua tabel optimal tersebut akan memberikan nilai yang sama.
  • 68. PROGRAM LINEAR 68
  • 69. PROGRAM LINEAR 69 DAFTAR PUSTAKA Hasan, Iqbal. 2004. Pokok-pokok Materi Teori Pengambilan Keputusan. Bogor: Ghalia Indonesia Sri Mulyono, Riset Operasi, Jakarta: Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi UI, 2002 Supranto, J. 2005. Teknik Pengambilan Keputusan. Edisi Revisi. Jakarta: Rineka Cipta Taha, Hamdy A., Riset Operasi – Jilid 1, Jakarta: Binarupa Aksara, 1996 http://fairuzelsaid.wordpress.com/2009/11/ 24/data-mining-konsep-pohon-keputusan/ http://duljimbonpdq.blogspot.com/2010/09/ formulasi-model-pemrograman-linier.html hendri.staff.gunadarma.ac.id

×