Modelos matemáticos

CÁLCULO DIFERENCIAL
BLOQUE I

MODELO MATEMÁTICO
Es una descripción matemática (con frecuencia mediante una función o una ecuación), de un fenómeno del mundo real.

Ejemplos de modelos matemáticos
El tamaño de una población.
La demanda por un producto.
La rapidez de la caída de un objeto.
La concentración de un producto en una reacción química.
La expectativa de vida de una persona cuando nace.
La variación del área de un terreno de acuerdo a sus dimensiones.

Propósito de un modelo
Entender el fenómeno y quizá hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro.

Proceso de un modelo matemático
Problema en el mundo real
formular
Modelo matemático
resolver
test
Conclusiones matemáticas
Interpretar
Predicciones en el mundo real

Un modelo matemático nunca es una representación totalmente precisa de una situación física, es una idealización.
Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente como para permitir cálculos matemáticos pero es lo suficientemente preciso para proveer conclusiones valiosas.

Las funciones en un modelo
Existen diferentes tipos de funciones que pueden usarse para modelar correspondencias que se observan en el mundo real.

Modelos lineales
Modelos Cuadráticos
Modelos polinomiales
Modelos cúbicos
TIPOS DE MODELOS
Modelos trigonométricos
Modelos exponenciales

Modelos lineales
Llamamos modelos lineales a aquellas situaciones que después de haber sido analizadas matemáticamente, se representan por medio de una función lineal. En algunos casos nuestro modelo coincide precisamente con una recta; en otros casos, a pesar de que las variables que nos interesan no pertenecen todas a la misma línea, es posible encontrar una función lineal que mejor se aproxime a nuestro problema, ayudándonos a obtener información valiosa.

Nuestro modelo lineal se puede determinar de manera gráfica o bien, por medio de una ecuación.
Existen ocasiones en que a una de nuestras variables le pedimos que cumpla varias condiciones a la vez, entonces surge un conjunto de ecuaciones donde el punto de intersección de dichas ecuaciones representa la solución de nuestro problema.

Ejemplo de modelo lineal
Supone que observamos como un hombre y una mujer se despiden y empiezan a alejarse uno del otro. A continuación mostramos una lista de las distancias que han recorrido cada uno de ellos en el mismo tiempo.

La forma geométrica que mejor aproxima los datos es una recta. Para determinar la ecuación de dicha recta, haremos el siguiente análisis.
* Representaremos por medio de y la distancia recorrida por el hombre y por medio de la x la distancia recorrida por la mujer.
*Escogeremos dos parejas de datos de la lista, por ejemplo (1,2) y (2,4)
* sustituiremos cada una de estas parejas en la ecuación y=mx+b y resolveremos el sistema de ecuaciones, encontrando los valores constantes m y b.

Solución:
Nuestro modelo está representado, analíticamente, por medio de la recta
y=2x
Su solución gráfica es la que a continuación muestra el dibujo

Observaciones:
Notemos que, a pesar de que existen puntos que no satisfacen la ecuación (por ejemplo (9,18.5) ), hay una mayoría de puntos que si satisfacen la ecuación.
Podemos predecir que, si ambas personas siguen avanzando de manera similar, la mujer no va a poder haber caminado 56 metros, mientras que el hombre hubiera caminado únicamente 50.

Función lineal
Decimos que una función es lineal si se puede expresar de la forma:
f(x)= mx+b
Donde m y b son constantes.
La gráfica de una función lineal es una recta que tiene pendiente m e intersecta al eje y en el punto (0, b).
A continuación se muestran tres funciones lineales con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones lineales.

Para determinar la ecuación de una recta es necesario encontrar los valores de m y b. Para ello podemos plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando dos parejas ordenadas distintas que pertenecen a la recta que estamos buscando.

Modelo cuadrático
Decimos que el modelo es cuadrático si lo podemos expresar por medio de una función cuadrática.
Un modelo cuadrático se puede determinar a través de una ecuación o bien, por medio de una gráfica que mejor aproxime los datos.

En algunos casos puede ocurrir que nuestro modelo coincida precisamente con una parábola, mientras que habrá otras ocasiones en las que no todos los datos pertenecen a la misma curva. En dicha situación trataremos de encontrar aquella parábola que mejor represente el modelo que estamos analizando.

Ejemplo de Modelo Cuadrático:
Un arquitecto debe construir un puente colgante y, para ello requiere que todo el peso del puente esté bien distribuido a lo largo de los cables de los cuales debe colgar el puente. Las observaciones que ha hecho son las siguientes:

La forma geométrica que mejor aproxima los datos es una parábola. Para determinar la ecuación de dicha curva, haremos el siguiente análisis.
Representaremos por medio de Y la altura a la cual se debe colocar el cable en la distancia X del puente.
Escogeremos tres datos de la lista, por ejemplo (1,100), (2,82.9) y (4.85,10)
Sustituiremos cada una de estas parejas en la ecuación y=ax²+bx+c y resolveremos el sistema de ecuaciones, encontrando los valores constantes a, b y c.

Solución.
Nuestro modelo está representado, analíticamente, por medio de la parábola
y=- 0.00144x²- 0.72x+100
La solución gráfica es la que a continuación muestra el dibujo.

Función cuadrática
Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma
f(x)= ax2+bx+c
donde a,b y c son constantes y a # 0
La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales.
Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.

A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadráticas.
f(x)= x²- 5x + 4
f(x)= - x²- 5x + 4
f(x)= - 2x²- 5x + 4

Modelos cuadráticos

Un modelo cuadrático
El número y en millones de aparatos de video en uso en EUA,
de 1984 a 1993 se muestran en la tabla, donde t= 4 representa el
año 1984.
La gráfica de estos datos se ve así:

Si ajustamos un modelo lineal obtenemos lo siguiente:
Que no es aceptable pues el comportamiento de los datos parece
diferente.

Ajustando un modelo cuadrático se obtiene lo siguiente:
Este modelo se ajusta mucho mejor a los datos. Podemos afirmar
que estos datos tienen un comportamiento cuadrático.

La gráfica de este modelo “cuadrático” es la siguiente:
Esta curva se llama parábola y se ajusta muy bien a nuestros datos en el intervalo 4 t 13.

Modelos Exponenciales
Llamamos modelos exponenciales a aquellas situaciones que después de haber sido examinadas matemáticamente, se representan por medio de una función exponencial.
Un modelo exponencial se puede determinar a través de una ecuación o bien, por medio de una gráfica que mejor aproxime los datos de nuestro problema, aunque es preferible el primer método, ya que el tipo de información que obtenemos es más preciso

Los modelos exponenciales son muy frecuentes en el estudio de crecimientos poblacionales, en el cálculo de intereses bancarios, así como también diversos fenómenos físicos.

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Modelos matemáticos

by villalobossantiago on Aug 24, 2011

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