INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE OCCIDENTE
Licenciatura en Ingeniería Sistemas Computacionales
Reconocimiento de Validez Oficial de Estudios de nivel superior según Acuerdo Secretarial 15018,
publicado en el Diario Oficial de la Federación el 29 de noviembre de 1976
APLICACIÓN DE DINÁMICA DE SISTEMAS A
ESTADOS FINANCIEROS Y AL VALOR DEL DINERO
Tesis que para obtener el título de
Ingeniero en Sistemas Computacionales
presenta
Víctor Germán Ledesma García
Asesor: Maestro Francisco Morfín Otero
Tlaquepaque, Jalisco. Junio del 2003

-i-
Reconocimientos
A mis padres, por darme la vida e inculcarme los valores humanos que conforman mi ser,
por ser ellos quienes me han brindado el soporte necesario para mi desarrollo académico.
Hermanas y familiares, por brindarme sabios consejos en todo momento y ofrecerme su
ayuda en toda ocasión.
Amigos y compañeros, por darme la oportunidad de compartir grandes momentos y
sobrepasar momentos difíciles dentro y fuera del estudio.
Profesores y asesores, por compartir enteramente sus conocimientos y experiencias,
además de preocuparse por mi desempeño académico, fueron los guías de mi aprendizaje y
el pilar fundamental para la realización de este trabajo.
A la Universidad, por mostrarme nuevos elementos que han coadyuvado a la redefinición
de mí proyecto de vida y orientación a metas más valiosas.

- ii -
Extracto
Las personas vinculadas a información contable, y ajenos a ella, podrán encontrar una
investigación que incorpora modelos de dinámica de sistemas al campo contable financiero
y valor del dinero en el tiempo. Se tiene como finalidad el ofrecer una nueva visión
sistémica para interpretar los estados financieros de balance general y del estado de
resultados, así como mostrar por medio de simulación varios modelos experimentales que
toman en cuenta el origen y el destino de los flujos de dinero. Además, se responde a
muchas dudas sobre los principios establecidos en el tradicional método de partida doble; y
redescubre las formulas de valor presente y valor futuro con variantes.
Palabras clave:
Contabilidad financiera, dinámica de sistemas, modelos, simulación, valor del dinero en el
tiempo, partida doble.

Contenido
Tabla de contenido
Reconocimientos ................................................................................................................. i
Extracto .............................................................................................................................. ii
Tabla de contenido ............................................................................................................ iii
Índice de formulas ............................................................................................................. iv
Índice de tablas .................................................................................................................. viii
Índice de listados ............................................................................................................... viii
Introducción ....................................................................................................................... 1
Hallazgos [Parte 1]: Cuestionamiento al método de la partida doble ............................. 3
Hallazgos [Parte 2]: Composición, relación y acciones entre entidades ......................... 12
Hallazgos [Parte 3]: Aplicación en estados financieros ................................................... 21
Hallazgos [Parte 4]: Aplicación a valor futuro ................................................................ 37
Conclusiones ...................................................................................................................... 61
Recomendaciones .............................................................................................................. 64
Anexo A: Introducción a la dinámica de sistemas ............................................................ A-1
Anexo B: Introducción a la contabilidad financiera ........................................................ B-1
Anexo C: Demostraciones matemáticas ........................................................................... C-1

Contenido - iv -
Índice de formulas
Formula Descripción Pág.
n
1.1r ∑R
i =1
i …………………………………………………………………… 7
n
1.1 An = A0 + ∑ (Ri − Di ) …………………………………………………….. 7
i =1
n
1.1d ∑D
i =1
i
…………………………………………………………………… 7
X = X 0 + ∫ (Fe − Fs ) dt ………………………………………………….... 7
t
1.2 0
S = S 0 + ∫ (Fe − Fs ) dt ……………………………………………………. 9
t
1.3 0
Md = Md 0 + ∫ (Fe ) dt …………………………………………………….. 9
t
1.3d 0
Ma = Ma0 + ∫ (Fs ) dt ……………………………………………………... 9
t
1.3a 0
3.1 ∑ ∆ Activos + ∑ ∆ Pasivos + ∑ ∆ Capitales = 0 ……………………………. 32
3.2 Utilidad bruta = −Ventas netas + Costo de ventas …………………………….. 33
+ Compras netas − Costo de compras
Utilidad retenida = Utilidad bruta + gastos de operación
3.3 ± Costo integral de financiamiento ± Grupo extraordinario ……………..…… 33
+ Provisiones + Impuestos
4.1 Vf 0 = Vp ………………………………………………………………… 38
4.2 Vf k = Vf ( k −1) + Vf (k −1) (i ) ……………………………………………………… 39
4.3 Rédito = Vf (k −1) (i ) …………………………………………………………. 39
4.4 Vf n = Vp(1 + iea ) ……………………………………………………… 39, C-2
n
Vf n = Vp∏ (1 + iea j ) …………………………………………………… 39, C-3
n
4.5
j =1
Vf n = Vp + ∑ (Vf j −1iea j ) ………………………………………………… 39, C-5
n
4.6
j =1
mn
 i 
4.7 Vf n = Vp1 +  ………………………………………………………… 39
 m

Contenido -v-
4.8 Vf n = Vp e in ……………………………………………………………… 39
m
 i 
4.9 iea = 1 +  − 1 …………………………………………………………. 40
 m
m
 i 
4.10 ieac = lim1 +  − 1 = e i − 1 ………………………………………………. 40
m →∞
 m
1
4.11 m= ……………………………………………………... 48
paso del tiempo
Vf n = Vp(1 + i( paso del tiempo )) paso del tiempo ……………………………………..
n
4.12 48
iea = (1 + i ( paso del tiempo )) paso del tiempo − 1 …………………………………….. 48
1
4.13
m ( paso del tiempo )
 i 
1 +  −1
4.14 ie =  m …………………………………………………. 52
paso del tiempo
e i ( paso del tiempo ) − 1
4.15 iec = ……………………………………………………... 52
paso del tiempo
n
 i 
S/N Vp = Vf n 1 −  ……………………………………………………….. C-6
 1+ i 
1  ij 
S/N Vp = Vf n ∏ 1 − 1 + i

 …………………………………………………….

C-8
j =n  j 
1  i 
S/N Vp = Vf n − ∑ Vf j 1 − j  ……………………………………………….. C-9
 1+ i 
j =n  j 
mn
 i 
S/N Vf n = Vp1 +  ………………………………………………………... C-11
 m
m
 i 
S/N iea = 1 +  − 1 …………………………………………………………. C-12
 m
S/N ei como limite ………………………………………………………….. C-12

Contenido - vi -
Índice de figuras
Figura Descripción Pág.
1.1 Modelo mental del esquema de mayor ……………………………….. 4
1.2 Modelo mental del esquema a tres columnas ………………………… 5
1.3 Modelo mental equivalente con entradas y salidas …………………… 5
1.4 Modelo mental del esquema de tipo conceptual ……………………… 5
1.5 Modelo mental “el sujeto como integrador de acciones” …………….. 6
1.6 Modelo sistémico ……………………………………………………... 6
1.7 Modelo equivalente en dinámica de sistemas ………………………… 7
1.8 Modelo sistémico no convencional …………………………………… 8
1.9 Modelo sistémico superior al esquema T ……………………………... 9
2.1 Modelo de transferencia de flujos entre entidades …………………… 14
2.2 Transferencia de flujos consumada entre entidades …………………... 15
2.3 Esquema feedback con orientación a meta para entrada o salida de
flujos ………..………………………………………………………… 16
2.4 Esquema feedforward con orientación a meta para entrada o salida
de flujos ……………………………………………………………….. 16
2.5 Esquema de planos dimensionales entre sujeto y acción …………….. 17
2.6 Transferencia de flujos en entidades vinculada por una acción ………. 17
2.7 Transferencia de flujos para efecto de contra cuenta en depreciación .. 18
2.8 Retraso y orden de un modelo serial ………………………………….. 19
3.1 Acción de recibir capital …………………………………………….... 23
3.2 Acción de pagar utilidades ……………………………………………. 24
3.3 Acción de retirar capital ………………………………………………. 24
3.4 Acción de recibir préstamo …………………………………………… 24
3.5 Acción de pagar préstamo …………………………………………….. 25
3.6 Acción de inversión ………………………………………………….... 25
3.7 Acción de retiro de inversión …………………………………………. 26
3.8 Acción de comprar mercancías ……………………………………….. 26
3.9 Acción de obtener descuento en compras …………………………….. 27

Contenido - vii -
3.10 Acción de devolución de compras ……………………………………. 27
3.11 Acción de vender mercancías al contado ……………………………... 28
3.12 Acción de otorgar descuento a ventas al contado …………………….. 28
3.13 Acción de devolución en ventas ……………………………………… 29
3.14 Relaciones externas de la entidad …………………………………….. 30
3.15 Composición estructural de balance de la entidad ……………………. 30
3.16 Valuación del inventario de mercancías ……………………………… 33
3.17 Estado de resultados ………………………………………………….. 34
4.1 Diagrama causal de Valor futuro a partir de formula 4.6 …………….. 41
4.2 Prototipo para valor futuro con paso del tiempo discreto …………….. 43
4.3 Ejecución del prototipo cuando es el periodo inicial …………………. 44
4.4 Ejecución del prototipo cuando es el primer periodo ………………… 44
4.5 Ejecución del prototipo cuando es el segundo periodo ……………….. 45
4.6 Ejecución del prototipo cuando es el último periodo …………………. 45
4.7 Ejecución del modelo en el periodo inicial con cuatro capitalizaciones
al año ………………………………………………………………….. 45
4.8 Ejecución del prototipo cuando avanza un sub periodo de
capitalización …………………………………………………………. 46
4.9 Ejecución del prototipo cuando avanza al segundo sub periodo …….... 46
4.10 Ejecución del prototipo cuando avanza al tercer sub periodo ………… 46
4.11 Ejecución del prototipo cuando avanza al cuarto sub periodo ………... 47
4.12 Ejecución del prototipo cuando avanza al octavo sub periodo
(segundo periodo) …………………………………………………….. 47
4.13 Ejecución del prototipo cuando llega al sub periodo 40
(décimo periodo) ……………………………………………………… 47
4.14 Ejecución del prototipo a diferentes pasos del tiempo ……………….. 49
4.15 Modelo para valor futuro calculando tasa de interés efectiva ………… 52
4.16 Tasas de interés efectivas para diferentes frecuencias de capitalización
y ajustes sobre el paso del tiempo …………………………………….. 54
4.17 Modelo para valor futuro con meta y tasa de interés efectiva
fraccionada ……………………………………………………………. 58

Contenido - viii -
Índice de tablas
Tabla Descripción Pág.
1.1 Equivalente a tres columnas del esquema T ………………………….. 7
4.1 Valor futuro a diferentes periodos de capitalización por ajuste en el
paso del tiempo ……………………………………………………….. 50
4.2 Valores de la curvas para tasas de interés efectivas de la Fig. 4.16 …... 54
Índice de listados
Listado Descripción Pág.
4.1 Para prototipo de figura 4.2 ………………………………………….. 43
4.2 Para modelo de la figura 4.15 con tasa de interés efectiva y efectiva
continua ……………………………………………………………….. 53
4.3 Para modelo de figura 4.17 (valor futuro con meta) ………………….. 57

Introducción
La problemática contable se origina a nivel personal en 1995, la inquietud por aplicar
dinámica de sistemas reafirma en 1999, y se consolida la empresa del proyecto en el 2002.
La gran importancia de escoger este nicho de la contabilidad financiera radica en que es el
área donde existe el grueso de la administración e interpretación del flujo de dinero, y esto
es básico en personas de negocios. La aparición de procesos recursivos, cambios de valor
en el tiempo, y flujos de dinero, hicieron definitivamente necesario apoyarme con el
conocimiento de dinámica de sistemas.
Las asignaturas sujetas a la investigación fueron:
El problema con el método de la partida doble; especialmente el uso de las normas:
debe y haber, en el esquema T.
El aspecto de incrementos y disminuciones en la entidad contable y en la ecuación
de balance general.
La aplicación de modelos dinámicos estados financieros como el balance general y
el estado de resultados.
Las formulas matemáticas de valor del dinero en el tiempo para valor presente,
apoyándose en modelos dinámicos retroalimentados, incluyendo la orientación a
metas.
El objetivo que consideré más importante era el de ofrecer una visión sistémica que
favorezca el crecimiento del intelecto contable.
En esta investigación se emplearon las siguientes metodologías:
El método de la espiral. Como un camino evolutivo que generó mejoras frecuentes
en el desarrollo de nuevo conocimiento y en los documentos presentes.
El método de dinámica de sistemas. Sirvió para tratar el aspecto del valor del dinero
en el tiempo.

Introducción -2-
El constructivismo. Fue apoyado por una profunda reflexión basado en el sentido
común (convalidación lógica), que se empleó en el proceso de validez para
abstracciones en modelos mentales de la partida doble y en los estados financieros.
Esta investigación tiene connotaciones de información filosófica, de dinámica de sistemas,
ecuaciones diferenciales, contabilidad básica y financiera, y de matemáticas financieras. Es
recomendable dar lectura a los anexos A, B y C.
El contenido esquemático esta basado en la nomenclatura establecida por el pionero del
campo de dinámica de sistemas Jay Forrester . Se adoptó independencia al uso de algún
software de simulación, por un lado para abaratar el costo de la investigación y por otro
para ejercer a conveniencia la presentación de los modelos experimentales y sus resultados.
La investigación esta compuesta de las siguientes secciones: cuestionamiento a la partida
doble; composición, relación y acciones entre entidades; aplicación en estados financieros;
aplicación a valor futuro; introducción a la dinámica de sistemas; introducción a la
contabilidad financiera; y demostraciones matemáticas.
Durante el periodo de investigación aparecieron una gran cantidad de hallazgos por lo que
se optó por organizar dividiendo en cuatro partes este aspecto. Complementariamente, el
marco teórico de dinámica de sistemas y de contabilidad financiera se trasladó a los anexos
A y B; de similar manera el desarrollo matemático se procuró transcribir en el anexo C. El
análisis de fundamentos y resultados, por motivos de conveniencia en cohesión, esta
diseminado en las diferentes partes de hallazgos.
Forrester, Jay W., (1994), “Principles of systems”, Productivity press, USA, ISBN 0-915299-87-9

Hallazgos
La contabilidad actual parece como dos fotografías del período contable, una del inicio del
período y otra del fin del período. Por lo regular tiene que ser una situación demasiado
importante la que obligue a un negocio a tomar una radiografía de su balance y
rendimiento, por ejemplo, cuando sobreviene el pago de impuestos.
Es deseado que el proceso contable de la empresa sea visto como una película (serie de
fotografías continua), en la que se pueda examinar cualquier momento del período contable
de la empresa.
Por lo tanto es obligatorio conocer si el método contable empleado se ajusta a la anterior
opinión. Para ello se cuestiona entonces la información disponible del método veneciano
publicado por Fray Luca Bartolomes Pacioli y que es la base de conocimiento que se
emplea actualmente (AICPA, 2002)1.
Se inicia la investigación con la búsqueda de respuesta para las siguientes preguntas: ¿Es un
convencionalismo que se haya asignado la columna de crédito a la columna derecha y el
debito a la izquierda del esquema de mayor?, ¿Cuál es la razón de fondo por la que se
emplean dos columnas?, ¿Por qué se llaman crédito y debito?
El procedimiento para conocer el resultado de una cuenta mediante la partida doble es así:
se tienen que representar las partidas en cargos “deve dare” y abonos “deve avere”,
después, obtener el monto deudor y el monto acreedor, obtener el saldo, y finalmente,
cerrar la cuenta.
Español Traducción al Italiano
Haber (de tener) Avere, credito
Débito (de deuda) Debito
Recibir Ricevere
Dar Dare

Hallazgos – Parte 1 Cuestionamiento al método de partida doble -4-
Opino que el esquema de mayor o cuenta T se presta a confusión. Pues de las palabras
usadas en italiano por Pacioli “deve avere” (crédito) se traduce como “debe tener”, el
“deve dare” (debito) se entiende claramente como “debe dar”.
Para poner a prueba la consistencia de significados, se emplea el siguiente ejemplo. Cuando
una caja de un negocio físicamente tiene dinero en su interior, contablemente se entiende
que el registro de la cuenta de caja esta con saldo acreedor (crédito), esto significa “en la
caja debe haber”. En el imaginario caso que la caja debiera dinero se entiende que tendría
un saldo deudor (debito), “la caja debe dar”. La pregunta indispensable es: ¿no faltaría
registrar que la caja reciba y entregue dinero?. Considero que la simplificación del método
veneciano suprime las acciones de recibir y entregar, y da en su lugar gran importancia a la
dualidad del valor de la cuenta, lo cual crea un hueco para varias dudas sobre todo cuando
sabemos que al registrar un asiento contable existen relaciones entre varias cuentas.
Pienso que el actual esquema T evocaría una representación mental presumiblemente de
la siguiente forma
Entidad X
deve deve
dare avere
Figura 1.1 Modelo mental del esquema de mayor
Si se agrega el “recibir” y reordena el modelo mental como de manera convencional lo
hacemos en la vida diaria; o sea, lo que se pide es “lo que se recibe” {“deve ricevere”}) lo
ubicamos en el lado izquierdo, lo que se entrega (o “lo que se da” {“deve dare”}) le
posicionamos del lado derecho, y el valor (“lo que se tiene” {“deve avere”} o “lo que se
adeuda” {“deve pagare”}) al centro; se tendría pues
En relación a la terminología “deve avere” y “deve dare” recomiendo leer (AICPA 2002)2, (Kam, 1986),
(Elizondo, 1994), (Elizondo, 1997), (Hatzacorsian, 1999)
Dos artículos de lectura útiles respecto a modelos mentales son: (Doyle, 1998) y (Jonassen, 1999)

Hallazgos – Parte 1 Cuestionamiento al método de partida doble -5-
Entidad X
deve deve avere, deve
ricevere deve pagare dare
FIGURA 1.2 Modelo mental del esquema a tres columnas
Transformamos el modelo mental Fig.1.2 a uno equivalente Fig. 1.3, es decir, se
intercambia por uno que tome en cuenta a entradas, salidas, y que incluya un lugar que
registre acumulaciones o deudas.
Entidad X
deve avere,
deve pagare
deve deve
ricevere dare
FIGURA 1.3 Modelo mental equivalente con entradas y salidas
Lo que se recibe, implica una entrada hacia el lugar de acumulaciones; lo que se entrega,
implica una salida de ese lugar; y lo que tiene o debe, es una adición o sustracción a la
condición inicial del valor inicial con respecto a la entrada o salida.
Entidad X
deve avere {Lo que hay
(tener) “credito”}
o
deve deve pagare {lo que se debe deve
ricevere (deuda) “debito”} dare
FIGURA 1.4 Modelo mental del esquema de tipo conceptual
Hasta la Fig. 1.4 se ha armonizado con la teoría de cuentas personalista (“Quien recibe debe
y quien entrega acredita”). Aunque en la traducción del italiano nos remitiría más bien a

Hallazgos – Parte 1 Cuestionamiento al método de partida doble -6-
que, si el valor de la entidad es favorable, constituye “credito”; o si se trata de una deuda
contraída, forma “debito”.
Respecto con la teoría de cuentas materialista (“Anotar en el debe el importe de lo que entra
y en el haber lo que sale”) yo percibo una incongruencia de significados, esta consiste en
que el “debe” no debiera ser lo que entra, sino lo que se adeuda; y que el “haber” no debiera
ser lo que sale, sino lo que se tiene. El mayor inconveniente de esta teoría es que se
confunde el proceso de posesión - endeudamiento con acciones de: recepción y entrega.
Una propuesta que consideramos sensata es este cambio: “Registrar en el recibir, lo que
entra para acumulación; medir en el valor del saldo de la entidad, lo que hay o se adeuda; y
registrar en el dar, lo que sale para distribución”, como se ilustra en la Fig. 1.5.
Acción de Sujeto integrador de acciones Acción de
agregar sustraer
deve deve avere, deve
ricevere deve pagare dare
FIGURA 1.5 Modelo mental “el sujeto como integrador de acciones”
Con el fin de acercar el anterior modelo mental perecido a los modelos de dinámica de
sistemas (ver Fig. 1.6); el valor de la entidad se considera como el sujeto que integra a las
acciones y podría contener un valor inicial diferente a cero; el recibir y la entrega son las
acciones de los flujos de entrada y salida, respectivamente.
Entidad X
Valor inicial
+
(Entradas - Salidas)
Entrada Salida
FIGURA 1.6 Modelo sistémico

Hallazgos – Parte 1 Cuestionamiento al método de partida doble -7-
Entradas (ricevere) Saldo (credito, debito) Salidas (dare)
A0
R1 A1=A0+(R1-D1) D1
M M M
Rk = Rk −1 + ∆R Ak=Ak-1+(Rk-Dk) Dk = Dk −1 + ∆D
M M M
Rn An=An-1+(Rn-Dn) Dn
n n n
∑R
i =1
i
An = A0 + ∑ (R
i =1
i
− Di ) ∑D
i =1
i
FORMULA 1.1r FORMULA 1.1 FORMULA 1.1d
TABLA 1.1 Equivalente a tres columnas del esquema T
La tabla 1.1 muestra como va cambiando el saldo (valor de la entidad) de forma
acumulativa si eventualmente se presentan los flujos de entrada, o de forma distributiva en
caso de flujos de salida eventuales; en caso de nulidad de flujo el saldo permanece estático.
El saldo es el resultado del valor inicial y la inclusión de las formulas 1.1r, 1.1d.
Del modelo de la Fig. 1.6 se puede obtener su equivalente de dinámica de sistemas Fig. 1.7.
∫ (Fe − Fs) dt
t
X = X0 +
X0 0
Flujo entrante Nivel X Flujo saliente FORMULA 1.2
FIGURA 1.7 Modelo equivalente en dinámica de sistemas
Donde:
X Valor del nivel en cualquier tiempo t X0 El valor inicial del nivel cuando t=0
t
∫ o
Es el operador que indica integración o acumulación desde el tiempo igual a cero hasta el tiempo igual a t de la
diferencia de flujos entrante y saliente.
Fe Tasa de flujo que se adiciona Fs Tasa de flujo que se sustrae
dt Operador que representa la pequeña diferencia infinitesimal en el tiempo que multiplica a las tasas de flujo.

Hallazgos – Parte 1 Cuestionamiento al método de partida doble -8-
En este modelo básico se ven cinco componentes fundamentales de todo sistema elemental
dinámico: fuente de entrada, variable de flujo de entrada, variable de nivel, variable de flujo
de salida, y sumidero de salida.
La gran ventaja de esta representación es que, el valor de la acumulación puede ser medida
en cualquier instante, sin importar si los incrementos de tiempo son chicos o grandes. Este
modelo muestra a la cuenta X como una variable de nivel. El signo del nivel indica la
calidad del sujeto o entidad, el signo positivo indica la calidad de acreedor y el signo
negativo indica la calidad de deudor.
El saldo obtenido dinámicamente de la formula 1.2 permite examinar al sujeto en cualquier
instante, ello facilita a que el proceso contable pueda ser visto de manera continua (como
una película).
Cabe hacer mención que las formulas 1.1 y 1.2 son aproximadas por definición de la
integral definida. La formula 1.1 se emplea solamente para eventos discretos, y la formula
1.2 para eventos continuos.
Al tomar de referencia la figura 1.6 se tiene información suficiente para intuir y probar de
forma trivial que, es un convencionalismo el que se haya designado en las cuentas de
partida doble debito a la columna izquierda y crédito a la derecha. Tan comparable es como
en un modelo sistémico lo es establecer la posición de la entrada por la derecha y la salida
por la izquierda, el orden podría invertirse pero discordaríamos en un no convencionalismo,
creo que la figura 1.8 lo ilustra mejor. Así propongo la respuesta al cuestionamiento
primitivo sobre la partida doble del por qué se carga en la columna izquierda y se abona en
la derecha.
Entidad X
Valor inicial
+
(Entradas - Salidas)
Salida Entrada
FIGURA 1.8 Modelo sistémico no convencional

Hallazgos – Parte 1 Cuestionamiento al método de partida doble -9-
Si tuviese importancia relevante conocer el valor de los montos deudores y acreedores,
estos se pueden obtener mediante el modelo representado en la figura 1.9, en mi
apreciación así se satisface un esquema superior en información que el esquema T.
Cuenta X
Saldo
Flujo entrante Flujo saliente
Monto Monto
deudor acreedor
FIGURA 1.9 Modelo sistémico superior al esquema T
S = S 0 + ∫ (Fe − Fs ) dt Md = Md 0 + ∫ (Fe) dt Ma = Ma 0 + ∫ (Fs ) dt
t t t
0 0 0
FORMULA 1.3 FORMULA 1.3d FORMULA 1.3a
S Valor del nivel de saldo en Md Valor del nivel de monto Ma Valor del nivel de monto
cualquier tiempo t deudor en cualquier tiempo t acreedor en cualquier tiempo t
S0 El valor inicial del nivel Md0 El valor inicial del nivel Ma0 El valor inicial del nivel
cuando t=0 cuando t=0 cuando t=0
t
∫ o
Es el operador que indica integración o acumulación desde el tiempo igual a cero hasta el tiempo
igual a t de la diferencia de flujos entrante y saliente.
Fe Tasa de flujo que se adiciona Fs Tasa de flujo que se sustrae
dt Es el operador diferencial que representa la pequeña diferencia infinitesimal en el tiempo que
multiplica las tasas de flujos.
Hasta este momento se puede apreciar que las formulas 1.2 (valor de un nivel) y 1.3 (valor
del saldo) son similares. Se puede considerar de manera discrecional que el saldo esta
compuesto del valor inicial aunado a los acumulamientos y “desacumulamientos”
provenientes de las formulas 1.1r y 1.1d. Existe el caso particular de la formula 1.3d que
considera en un nivel el monto deudor; es decir, cuando discrimina a los flujos salientes y

Hallazgos – Parte 1 Cuestionamiento al método de partida doble - 10 -
se incluye la condición inicial y a los flujos entrantes, dando paso al acumulamiento. Otro
caso corresponde cuando se considera el monto acreedor que incluye los flujos salientes y
la condición inicial pero discrimina las entradas, relacionándosele al registro del efecto de
“desacumulamiento” (formula 1.3a) para el valor del saldo.
Anticipadamente considero que la visión sistémica complementa al método de la partida
doble respecto a la importancia de cómo las acciones de entrada y salida se integran a los
atributos del sujeto. Creo además que la visión sistémica expresa mejor la inconveniencia
de partir solamente en dos al sujeto; ya que si así se hiciera solamente expresaría naturaleza
deudora o acreedora, y esto es más confuso ya que la columna de incrementos o
decrementos varía según se trate de cuentas de activo, pasivo o capital.
La visión sistémica agrega la importancia del valor integrado llamado popularmente en las
cuentas contables como saldo, este saldo tiene la propiedad de signo, esta propiedad nos
auxiliaría en el momento que se presente una equivocación de registro, pues creo que se
entiende más rápido si algo salió más de lo que entró o viceversa, situación que bajo el
esquema a dos columnas respaldado en incrementos y decrementos considero resulta más
complejo de percibir.
Hasta este momento me he enfocado a mostrar la existencia de sujetos que tienen atributos
e integran acciones elementales, y que pueden formar parte de un sistema mayor. Lo
referente a acciones complejas o relaciones que pueden realizarse entre las entidades, así
como las propiedades emergentes, se cubre en los apartados subsecuentes.

Hallazgos – Parte 1 Cuestionamiento al método de partida doble - 11 -
Referencias:
AICPA, (2002), American Institute of Certified Public Accountants, New York, USA
http://www.acaus.org/history/index.html
1
“Italian Renaissance: Birth of Double Entry”
2
“Pacioli’s System: Memorandum, Journal and Ledger”
Doyle, James K., Ford, David N., (1998), “Mental models concepts for system dynamics
research”, Systems dynamic Review, Spring 1998, Vol. 14, No. 1
Elizondo Cantú, C.P. José Luis, (1994), “Debe y haber, Fray Luca da Borgo Pacioli ¡No se
equivoco!”, Revista Contaduría Pública, Mayo 1994, Año 22, No. 261, Páginas: 28, 29
Elizondo Cantú, C.P. José Luis (1997), “El legado blanco de Fray Luca da Borgo Pacioli”,
Revista Contaduría Pública, Septiembre 1997, Año 26, No. 301, Páginas: 16, 17 y 18
Hatzacorsian Hovsepian, C.P. Vartkes, (1999), “”Fundamentos de contabilidad”, UIA-
ECAFSA, México, ISBN 968-7681-54-3, Página 142
Jonassen, David H., Henning, Philip, (1999), “Mental models: Knowledge in the Head and
Knowledge in the World”, Educational Technology, May-June 1999
Kam, Vernon, (1986), “Accounting theory”, John Wiley & sons, USA, ISBN 0-471-62790-
9, Página 20

Hallazgos
En nuestros días me parece que el perseguirle el rastro al dinero y la dimensión del tiempo
son dos aspectos de trascendencia económica. Muchas personas que conozco dicen una
frase común “El dinero va y viene”, en otras latitudes acostumbran decir “tiempo es dinero
<time is money>”; existen más frases en este sentido y en ellas encontramos siempre la
relación al flujo, al tiempo, o ambos.
En el primer aspecto creo que la clave esta en examinar el camino del dinero y las acciones
que motivan el transito de ese dinero entre diversas entidades. En el segundo aspecto creo
que existe una relación dimensional permanente entre el plano del dinero y el del tiempo
sujeto a razones de cambio variables.
Examinar bien el camino del dinero implica que a nuestra vista no tiene porque extraviarse
alguna cantidad dentro del universo del sistema contable, lo que sale de algún lugar debe
entrar a otro. Las transferencias pueden estar condicionadas a retrasos, estos pueden generar
desequilibrio en el sistema, que de alguna manera puede tratarse por realimentación; como
ejemplos populares para su comprensión o intención me refiero al juego de la cerveza
<beer distribution game> (ver fin docto.) o al diseño de circuitos osciladores electrónicos.
En el ámbito contable reconozco primeramente a las entidades como los principales
elementos actores del sistema, para ello me remito al boletín A-1 de los principios
contables generalmente aceptados (IMCP, 1995) en el dice: “La actividad económica es
realizada por entidades identificables, las que constituyen combinaciones de recursos
humanos, recursos naturales y capital, coordinados por una autoridad que toma decisiones
encaminadas a la consecución de los fines de la entidad”.37 “…la personalidad de un
negocio es independiente de la de sus accionistas o propietarios y en sus estados financieros
sólo deben incluirse los bienes, valores, derechos y obligaciones de este ente económico
independiente. La entidad puede ser una persona física, una persona moral o una
combinación de varias de ellas.”38

Hallazgos – Parte 2 Composición, relación y acciones entre entidades. - 13 -
De esta manera yo entiendo que las entidades independientes del sistema contable pueden
ser clientes, accionistas, empresas de servicios outsourcing, proveedores, acreedores,
dueños o socios, bancos, gobierno, etc. Sin embargo estos pueden fungir varios papeles al
mismo tiempo, por ejemplo un proveedor puede ser prestamista, o los clientes pueden ser
deudores.
La entidad económica puede estar compuesta de atributos en diferentes especies: dinero,
casas, terrenos, inventario de mercancías, equipo, documentos, marcas, patentes, etc.; que
pueden ser objeto de flujo a través del tiempo.
En la actividad económica sospecho que las acciones juegan el rol decisivo del éxito o
fracaso del negocio, pues las acciones son las que ocasionan las razones de cambio entre las
entidades y en consecuencia modifican sus niveles.
La entidad económica puede operar con acciones simples como dar o recibir, para así
modificar su cualidad de tener <credito> o de obligarse a pagar <debito>.
En el ambiente comercial y sobre todo en el contable, el lenguaje es el medio del que nos
valemos para pactar transacciones, este debe evitar ser ambiguo y debe reunir la
información suficiente para evitar errores.
El lenguaje de negocios debe incluir información esencial del sistema contable, en esta
temática resaltan preguntas elementales como: ¿Qué entidades están participando en la
transacción?, ¿qué o cuales actividades se producen en el periodo contable?, ¿cuándo se
producen o se esperan producir las actividades?, ¿cuál es la forma que tiene ese tipo de
transacción (es simple o compuesta)?, ¿cuándo se empezó la transacción?, ¿cuándo
terminará la transacción?, ¿dónde se produce?, ¿por qué se producen las actividades?. En
este sentido yo sugiero adoptar el uso de una sintaxis para la elaboración de asientos
contables que incluya: fecha de inicio, fecha de terminación o retardo, entidad de origen,
valor de la transacción, entidad de destino, tipo de transacción.

Hallazgos – Parte 2 Composición, relación y acciones entre entidades. - 14 -
Existen varios tipos de transacciones, algunos pueden ser un poco más complejos que otros
de acuerdo al tipo y cantidad de acciones involucradas, podrían en un momento
descomponerse en uno o varios enunciados simples.
Las transacciones comunes son: prestar, vender, comprar, rebajar, aumentar, devolver,
pagar, gastar, amortizar, depreciar, devengar, cobrar, invertir, retirar, repartir, adeudar;
además de que pueden sufrir detención, pausa, o condicionamiento.
Para empezar a relacionar las acciones con las entidades establezco usar una unidad
económica “origen” que es de donde un valor se sustrae (o desprende) y una “destino” que
es donde se adiciona (o agrega). En (García, 2001)1 se encuentra un sustento conceptual
similar: “En expresiones genuinamente contables, a ese origen se le denomina <<fuente>>,
más propiamente <<fuente de financiación>> o <<recursos>>, y al destino se le denomina
<<concreción>> o <<materialización>> de dichos recursos”.
De modo que en un sistema simple de dos unidades económicas A y B, con una magnitud
dimensional especifica adicional al tiempo, tendríamos que la entidad A tiene un valor
inicial A0 del cual se va a transferir un flujo con una razón de cambio C hacia la entidad
representada en el nivel B con un valor inicial B0, esto esta representado en la figura 2.1.
A = A0 + ∫ (− C ) dt y B = B 0 + ∫ (C ) dt
t t
0 0
Nivel A Nivel B
A0 B0
Debe dar | Debe dare Debe recibir | Debe ricevere
Flujo de A hacia B motivado por una acción, a razón de cambio C
FIGURA 2.1 Modelo de transferencia de flujos entre entidades
En la figura 2.2 queda consumado el flujo entre las entidades A y B, en donde se observa el
impacto en la disminución del nivel en A y el aumento en el nivel B.
(García, 2001)2 Unidad económica. Cualquier sujeto o entidad, sea una persona física individual o una
personalidad colectiva integrada por varios sujetos, que actúa en la vida económica.

Hallazgos – Parte 2 Composición, relación y acciones entre entidades. - 15 -
Nivel A Nivel B
A0 - C B0 + C
Debe dar | Deve dare Debe recibir | Deve ricevere
FIGURA 2.2 Transferencia de flujos consumada entre entidades
Es importante recordar que de la razón de cambio en la entidad origen tiene signo negativo
mientras que en la entidad destino la razón de cambio tiene signo positivo. Esta
transferencia gráficamente representa una reflexión del valor de la razón de cambio en el
eje del tiempo con respecto a la variable dependiente.
La acción involucra a las entidades origen y destino de algún modo. Pueden existir lazos
que alimenten de información a la acción por parte de alguno de los dos sujetos, o bien que
las acciones estén referenciadas a la solicitud de metas creando propicio el campo para
aspectos de realimentación y recursividad.
La realimentación de los niveles o sujetos puede estar orientado a controlar la entrada de
flujo (en color azul), o bien a controlar la salida (en rojo), hasta obtener la meta deseada,
tanto en el caso de retroalimentación <feedback> (figura 2.3) como por su parte la
alimentación de avance <feedforward> (figura 2.4).
Las unidades de la razón de cambio en una cierta dimensión mantendrán dependencia a las
unidades del plano del tiempo. El plano económico debe convenientemente tener
uniformidad en sus unidades de valor pudiendo quedar expresadas en: moneda, objetos de
valor, oro, plata, etc.
Una unidad económica puede representarse en más de una dimensión, la dimensión nos da
un conjunto de unidades para el patrón de medida del nivel, por ejemplo en un inventario
podemos tener una dimensión que se encargue de registrar a las partes físicas y otra
dimensión que lo registre en términos de unidades monetarias. El inventario se puede
enumerar de acuerdo al tipo de especie (naturaleza), por ejemplo puede medirse en litros,

Hallazgos – Parte 2 Composición, relación y acciones entre entidades. - 16 -
Kg., piezas, etc.; de manera similar las unidades monetarias pueden clasificarse en dólares,
yenes, euros, pesos, etc.
Nivel
Acción Condición Condición Acción
Debe dar Debe recibir
Debe recibir
Debe dar
Meta Discrepancia Discrepancia Meta
FIGURA 2.3 Esquema feedback con orientación a meta para entrada o salida de flujos
Nivel
Debe dar Acción Condición Condición Acción Debe recibir
Debe recibir
Debe dar
Meta Discrepancia Discrepancia Meta
FIGURA 2.4 Esquema feedforward con orientación a meta para entrada o salida de flujos
Pueden existir muchas dimensiones entrelazadas creando en este sentido redes, (Forrester,
1972) cita: “Tasas y niveles existen en las seis redes que se pueden construir en el sistema:
materiales, pedidos, dinero, personal, equipo de capital, e información”. En la dimensión
del dinero también pueden existir atributos para aspectos legales y fiscales.
La figura 2.5 ejemplifica como pueden estar entrelazados dos diferentes planos
dimensionales por medio de un factor de equivalencia y estos dos planos están sujetos a la
dimensión del tiempo por medio de la acción. Por ejemplo, las acciones de ingreso o egreso
del valor de un inventario valuado en piezas físicas y en dinero puede llevarse de manera
paralela por medio de un factor de equivalencia expresado en precio por pieza.
Respecto a transferencia de flujos y planos dimensionales en un sistema, que transfiere
directamente una razón de cambio de una unidad económica origen a otra destino (como en

Hallazgos – Parte 2 Composición, relación y acciones entre entidades. - 17 -
las figuras 2.1 y 2.2) en la totalidad de sus niveles, encontré que, la sumatoria del valor de
niveles de una dimensión da como resultado la sumatoria que se tenía en las condiciones
iniciales del sistema, esto ocurre para todas las dimensiones, exceptuando el caso de cuando
se incluyen fuentes y sumideros como el de la figura 2.6.
Factor de equivalencia
FIGURA 2.5 Esquema de planos dimensionales entre sujeto y acción
Nivel A
A0
Debe dar Debe recibir
C Nivel B
B0
FIGURA 2.6 Transferencia de flujos en entidades vinculada por una acción
La relación entre dos o más niveles del sistema puede formar uno o varios conceptos de
análisis financieros, dentro de este tipo destacan las razones (ratios). Por ejemplo: se tiene
“endeudamiento”, si un pasivo exigible es mayor que los recursos propios con que cuenta la
entidad, así que cuando esto ocurre es porque la relación de pasivo exigible entre recursos
propios genera un cociente mayor que uno. La relación de niveles es muy importante a

Hallazgos – Parte 2 Composición, relación y acciones entre entidades. - 18 -
considerar en cuando se pretende interpretar la situación financiera de un negocio o
empresa por medio de conceptos de este tipo que involucran niveles de manera individual o
grupal.
Los niveles pueden ser empleados ventajosamente para representar cuentas de corrección o
complementarias (contra cuenta, dotación, contrapartida), esto puede ser utilizado en
acciones de ajustes como: amortizar, depreciar, o devengar; por ejemplo, en el caso de
depreciación de un activo fijo, podemos tener una cuenta de gastos de activo fijo y otra
cuenta complementaria para la depreciación acumulada, como lo muestra la figura 2.7.
Nivel A Nivel B
Depreciar
Gastos de Depreciación
activo fijo acumulada
Factor de Periodo de
depreciación depreciación
Debe dar Debe recibir
FIGURA 2.7 Transferencia de flujos para efecto de contra cuenta en depreciación
Es así como una operación de transferencia puede afectar a dos o más sujetos, cuentas o
entidades; muy similar a como se afectan dos o más cuentas y contra cuentas en el método
de la partida doble, en el que en una cuenta se le indica la cantidad que se toma en debito
para terminar transferida en otra cuenta en forma de crédito. La gran ventaja que le veo a
este método es que queda mejor explicado que los aumentos y disminuciones en los
esquemas T, debido a la representación visual de transferencias entre salidas y entradas de
niveles sin importar su naturaleza jurídica; pues en mi opinión resulta más confuso un
aumento para activo en forma de cargo, mientras que en capital y pasivo se hace como
abono.
Un último aspecto digno de tomar en consideración es el orden del modelo, esto del orden
se vincula con el retraso de tiempo en el que un agente causal tiene influencia en generar un
efecto en un nivel. En términos prácticos lo ideal es que se modelara en primer orden para
que así todo retraso quedara en función del diferencial de tiempo, pues encontré que en

Hallazgos – Parte 2 Composición, relación y acciones entre entidades. - 19 -
sistemas de segundo orden además de producirse retrasos adicionales pueden presentarse
situaciones de oscilación especialmente en modelos realimentados.
La figura 2.8 representa un modelo muy simple conectado en serie, en el que el retraso
entre agente causal y efecto final esta considerado como la sumatoria de retardos de los
diferenciales del tiempo a lo largo del número de niveles recorridos; sin embargo este
pudiera modificarse si se agregaran retardos de tiempo que afecten el diferencial de tiempo
o si se instalara al menos un laso de alimentación de avance feedforward.
Agente Efecto Agente Efecto Agente Efecto
causal 1 primario causal 2 secundario causal N final
Nivel Nivel Nivel
1 2 N
Primer Segundo Último
Primer Segundo N-ésimo
retardo orden retardo orden retardo orden
Retardo
adicional
FIGURA 2.8 Retraso y orden de un modelo serial

Hallazgos – Parte 2 Composición, relación y acciones entre entidades. - 20 -
Referencias:
Forrester, Jay W., (1972), “Dinámica industrial”, El Atenea Editorial, Argentina, Pág. 69
García Pérez, María Carmen, (2001), “Introducción a la contabilidad financiera”, Ediciones
Pirámide, España, ISBN 84-368-1349-9, 1Pág. 62, 2Pág. 59
Instituto Mexicano de Contadores Públicos A.C., (1995), “Principios de contabilidad
generalmente aceptados”, décima edición, México, ISBN 968-6964-12-6, Párrafos 37 y 38
del boletín A-1.
Senge, Peter M., (1994), “La quinta disciplina, cómo impulsar el aprendizaje en la
organización inteligente”, Ediciones Granica Vergara S.A., Argentina, ISBN 950-641-099-
2, Paginas 39-73
Sterman, J.D., (1989), “Modeling Managerial Behavior: misperceptions of feedback in a
dynamic decision making experiment”, Management Science, Vol. 35, USA, Paginas 321-
329.
http://web.mit.edu/jsterman
El “juego de distribución de la cerveza” <beer distribution game> fue difundido por J. Sterman en la
década de los 60’s del siglo pasado en la Sloan School of Management, para mayor información consulte
(Sterman, 1989) y (Senge 1994).

Hallazgos
Introducción
La aplicación de dinámica de sistemas a los estados financieros tiene el mismo propósito
que enuncia el boletín b-1 en su noveno párrafo “Los estados financieros básicos deben
cumplir el objetivo de informar sobre la situación financiera de la empresa en cierta fecha y
los resultados de sus operaciones y los cambios en su situación financiera por el periodo
contable terminado en dicha fecha”. Otra expectativa que espero incorporar es la visión
sistémica correspondiente a la conformación de la entidad y al comportamiento resultante
de la interacción con otras entidades.
Son dos los estados financieros que se van a analizar en esta sección, estos son: el balance
general y el estado de resultados. Existen otros reportes de estados financieros dignos de
investigarse con posterioridad como lo son: el estado de variaciones en el capital contable y
el estado de cambios en la situación financiera.
Según (IMCP, 1995) en el párrafo 19 del boletín b-1, expone que el contenido esencial de
estos reportes consiste en que:
“El balance general, que muestra los activos, pasivos y el capital contable a una fecha
determinada”.
“El estado de resultados, que muestra los ingresos, costos y gastos y la utilidad o pérdida
resultante en el periodo”.
Al iniciar la investigación me topé con una afirmación (Forrester, 1994) que nos aproxima
al problema, ya que dice:
“The distinction between level and rate variables is recognized in several intellectual disciplines. In financial
accounting for example, a clear separation is made between the balance sheet and profit & loss statement.
The balance – sheet variables are levels, giving the financial condition of the business system at one point in

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 22 -
time. The balance – sheet levels show the effect of accumulating the rates of flow over all past time. The profit
& loss statement, by contrast, gives the rates of flow that have existed since the previous balance sheet. The
profit & loss rates cause the changes from the previous balance sheet to the present.”
“La distinción entre variables de nivel y de flujo esta reconocida en diversas disciplinas
intelectuales. En contabilidad financiera por ejemplo, una separación clara esta hecha en la
hoja de balance y el estado de pérdidas y ganancias. Las variables de la hoja de balance son
niveles, dando la condición financiera del sistema en el negocio en un punto del tiempo.
Los niveles de la hoja de balance muestran el efecto de acumulamiento de las tasas de flujo
sobre todo tiempo pasado. El estado de pérdidas y ganancias, por contraste, da las tasas de
flujo que han existido desde la hoja de balance previa. Las tasas de pérdidas y ganancias
causan los cambios desde la hoja de balance previa hasta el presente”.
De lo anterior se puede entender que un nivel puede ser equivalente a una cuenta. Aparte de
estas aseveraciones tenemos que intuir que los flujos se ligan al tránsito que hay entre
orígenes y aplicaciones de recursos.
Existen niveles que pueden estar divididos por conveniencia de aspecto jurídico o práctico,
por ejemplo, el IVA: acreditable o trasladado, documentos: por cobrar y por pagar,
inventario: inicial y final. En ellos podríamos aplicar el conocimiento de transferencia de
flujo de manera directa o de forma vinculada a la acción empleando fuentes y sumideros.
Análisis del problema
Para conformar cualquiera de los reportes y variar niveles es necesario estudiar los asientos
contables o transacciones, pues estas representan una o más acciones que conforman la
tarea de registro.
Dado que los procesos de transacción en una entidad son complicados; es necesario
pormenorizar los eventos que dan lugar, para así producir los estados financieros en forma
Ver figuras 2.6 y 2.7 de la parte: composición, relación y acciones entre entidades.

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 23 -
de niveles y tasas de flujos como lo cita Forrester. A manera comparativa acompaño
previamente a cada una de las transacciones con esquemas T.
La primera transacción que conviene analizar es cuando inicia el negocio, la cual queda
representada en la figura 3.1. Esta operación implica la llegada de capital por $X+$Y donde
$X se destinan a efectivo de disposición inmediata que llamaré cuenta de activo circulante
y los $Y restantes corresponden al activo fijo necesario que esta repartido en diversas
índoles. De manera que al representar esto, se tiene que registrar los flujos de ingreso que
recibe la entidad para cuenta de activo circulante y activo fijo, y además hay que registrar el
egreso en la parte patrimonial del inversionista Z en una cuenta de capital.
Activo circulante Activo fijo Capital
X Y X+Y
IInverssiioniiistta Z
In versio n ssta Z
nver on a Z
Activo circulante
Recibir $X en inversión Capital
Activo fijo
Recibir $Y en inversión
Recibir capital de trabajo del inversionista Z, por $X para activo circulante, y por $Y para activos fijos.
FIGURA 3.1 Acción de recibir capital
En la figura 3.2 tenemos representadas las operaciones que son necesarias para el pago de
utilidades. Así también en la figura 3.3 represento las acciones que dan lugar cuando
sobreviene el retiro del inversionista.
Activo circulante Utilidades pagadas
Y Y

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 24 -
IInverssiioniiistta Z
In versio n ssta Z
nver on a Z
Activo circulante Utilidades pagadas
Dar $Y en utilidades
Dar $Y por pago de utilidades acumuladas al inversionista Z.
FIGURA 3.2 Acción de pagar utilidades
Activo circulante Activo fijo Capital
X Y X+Y
IInverssiioniiistta Z
In versio n ssta Z
nver on a Z
Activo circulante
Dar $X en inversión Capital
Activo fijo
Dar $Y en inversión
Retiro del inversionista Z en misma condición como entró.
FIGURA 3.3 Acción de retirar capital
Ahora tomando el rol que puede jugar el acreedor estudié dos transacciones básicas, el
préstamo (figura 3.4) y el pago de préstamo (figura 3.5).
Activo circulante Intereses por pagar Doc. por pagar W
X i X+i
Acreedor Z
Acreedor Z
Acreedor Z
Activo circulante
Recibir $X en préstamo Doc. por pagar W
Acreedor Z
Acreedor Z
Acreedor Z
Intereses por pagar
Recibir $i en deuda de intereses
Recibir $X de préstamo del acreedor Z firmando un documento W con $i de intereses
FIGURA 3.4 Acción de recibir préstamo

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 25 -
Gastos
Activo circulante Intereses por pagar Doc. por pagar W
financieros
X+i i X+i i
Acreedor Z
Acreedor Z
Acreedor Z
Activo circulante
Doc. por pagar W
Dar $X+i por pago de préstamo
Acreedor Z
Acreedor Z
Acreedor Z
Intereses por pagar Gastos financieros
Gastar $i por pago de intereses
Dar $ X de pago de préstamo al acreedor Z del documento W y $i de pago de intereses
FIGURA 3.5 Acción de pagar préstamo
En el caso de la entidad bancaria analicé las transacciones de inversión (figura 3.6) y retiro
de inversión (figura 3.7).
Activo circulante Inversión cuenta W
X X
Banco Y
Banco Y
Banco Y
Activo circulante Inversión cuenta W
Dar $X a inversión
Dar $X a inversión al banco Y en una cuenta W
FIGURA 3.6 Acción de inversión
En las figuras subsecuentes 3.8, 3.9 y 3.10 se representa la compra de mercancías, rebajas
en compras y devoluciones sobre compras, en donde la entidad coparticipe de las acciones
es el proveedor de mercancías. En un caso muy particular de la figura 3.8 comparto acuerdo
con (Hatzacorsian, 1999) en cuanto a que los gastos sobre compras deben de ser realizados
como gastos de administración.
Activo circulante Inversión cuenta W Productos financieros
X+Z X Z

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 26 -
Banco Y
Banco Y
Banco Y
Inversión cuenta W
Activo circulante Recibir $X por pago de inversión
Productos financieros
Recibir $Z por pago de intereses
Recibir $X de lo invertido en el banco Y de la cuenta W, con $Z en réditos
FIGURA 3.7 Acción de retiro de inversión
Gastos de administración Inventario de mercancías Compras de mercancías
J Z Z
IVA acreditable Mercancías compradas Activo circulante
K+L Z Z+K+J+L
Proveedor de
Proveedor de
Proveedor de
mercancíííass
mercanc a s
mercanc a
Inventario de
mercancías Mercancías
Proveedor o compradas
Gobierno Recibir $Z en mercancías tipo Y
Gastos de Compras de
administración mercancías
Dar $J por gastos sobre Activo Dar $Z del monto de
compra circulante compra
IVA IVA
acreditable acreditable
Dar $L de IVA en Dar $K de IVA del
gastos sobre compra monto de compra
Comprar de contado al proveedor de mercancías X piezas tipo Y, por un monto $Z, con $J gastos de
compra, y pagos de IVA por $K y $L respectivamente
FIGURA 3.8 Acción de comprar mercancías
En caso de realizar compras a crédito la cuenta de activo circulante debe ser reemplazada
por una cuenta de proveedores ubicada en la entidad de proveedor de mercancías, y la parte
de gastos sobre compra dependería si se concede la posibilidad crediticia.

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 27 -
Activo circulante Descuentos sobre compras IVA acreditable
Q+R Q R
Proveedor de mercancíííass
Proveedor de mercanc a s
Proveedor de mercanc a
Descuentos sobre compras
Activo circulante Recibir $Q en descuento al pago de la compra
IVA acreditable
Recibir $R en devolución del pago de IVA
Descontar $Q a la compra anterior y $R de IVA del proveedor de mercancías
FIGURA 3.9 Acción de obtener descuento en compras
Inventario de mercancías Activo circulante Mercancías devueltas al proveedor
K L+M K
Devoluciones sobre compras IVA acreditable
L M
Proveedor de mercancíííass
Proveedor de mercanc a s
Proveedor de mercanc a
Inventario de Mercancías devueltas al proveedor
mercancías
Dar $K en mercancías tipo Y
Devoluciones sobre compras
Activo
Recibir $L por devolución de compra
circulante
IVA acreditable
Recibir $M por devolución de IVA
Devolver compras al proveedor de mercancías
FIGURA 3.10 Acción de devolución de compras
Las tres siguientes figuras 3.11, 3.12, y 3.13 involucran a la entidad cliente, con ella se
relacionan principalmente las transacciones de ventas, rebajas sobre mercancías y
devoluciones sobre ventas.

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 28 -
Inventario de mercancías Activo circulante Mercancías vendidas
K E+F K
Ventas de mercancías IVA trasladado
E F
Cllliientte V
C ie nte V
C en e V
Inventario de
Mercancías vendidas
mercancías
Dar $K en X mercancías tipo Y
Ventas de
mercancías
Activo circulante Recibir $E por el monto de la venta
IVA trasladado
Recibir $F por cobro del monto de IVA
Vender de contado al cliente V, X piezas tipo Y de precio de venta $E, con valor a precio de costo por $K,
y $F de IVA
FIGURA 3.11 Acción de vender mercancías al contado
En caso de venta a crédito la cuenta de activo circulante debe ser cambiada por una que se
llame clientes y que estará ubicada en la entidad de cliente V, la cual sería parte del activo.
Activo circulante Rebajas sobre ventas IVA trasladado
W+X W X
Cllliientte V
C ie nte V
C en e V
Rebajas sobre ventas
Activo
Dar $W de descuento al pago del monto de venta
circulante
IVA trasladado
Dar $X en devolución del pago de IVA
Descontar $W a la venta anterior y $X de IVA del
FIGURA 3.12 Acción de otorgar descuento a ventas al contado

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 29 -
Inventario de mercancías Activo circulante Mercancías devueltas del cliente
K L+M K
Devoluciones sobre ventas IVA trasladado
L M
Cllliientte V
C ie nte V
C en e V
Inventario Mercancías devueltas del cliente
Recibir $K en mercancías tipo Y
Devoluciones sobre ventas
Activo
Dar $L en devolución del monto de la venta
circulante
IVA trasladado
Dar $M en devolución del monto de IVA
Recibir del cliente V la devolución de venta de mercancía
FIGURA 3.13 Acción de devolución en ventas
Abstracciones sistémicas y discusión
De acuerdo a (Forrester,1994)2 cita en cuanto a la ubicuidad de un sistema “Un sistema es
un grupo de partes que operan juntas para un propósito común”; con esto puedo relacionar
que, un sistema contable es un grupo de cuentas con el propósito de generar estados
financieros, la agrupación que adopto es la teoría jurídica de cuentas, que divide a la
entidad en tres grupos: activos, pasivos y capital.
Hasta la figura 3.13 se han podido ver las múltiples relaciones por transacción que
mantiene la entidad con respecto a otras entidades. La figura 3.14 sintetiza las entidades del
universo contable que aparecen en las operaciones de transacción anteriores, con ello se
examina que las cuentas de activos son correspondientes a la entidad y sobre algunas
entidades en las que se tienen derechos; y las cuentas de pasivos, resultados y capital están
localizadas en las entidades restantes, quedando en la entidad solamente una presencia de
obligación y responsabilidad de pago.

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 30 -
Clientes
Acreedores Bancos
Entidad
Gobierno Inversionistas
Proveedores
Figura 3.14 Relaciones externas de la entidad
Ahora conviene dar una mirada a como podría constituirse la entidad internamente
mediante la figura 3.15 (forma preeliminar del balance general.).
Crédito
Debe haber
Deve avere
Activo
Pasivo Capital
Debe recibir Debe dar
Deve ricevere Deve dare
Deve pagare
Debe pagar
Débito
FIGURA 3.15 Composición estructural de balance de la entidad

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 31 -
Mi percepción en dinámica de sistemas respecto a la definición del boletín b-1 (IMCP,
1995) para las agrupaciones citadas y la condición del estado de balance es:
En el caso del capital, diré que los bienes dispuestos como capital contribuido pueden
formar parte inicial integrada a la empresa ya sea que se registren en la misma especie o
convertidos a otra (el capital contable son bienes transformados a activos) manteniendo
<debito>; en cualquier momento la entidad es actora de la acción de recibir <deve
ricevere> cuando llega la inversión; es otorgante cuando ocurra la obligación del pago de
capital ganado <deve pagare>, o por la salida del inversionista <deve dare>.
Para pasivos, como son derechos de los prestamistas primero entra el préstamo a la entidad
<deve ricevere> para que sirva a la entidad a que tenga o posea más atributos en activo
<credito>, por ello mantiene una deuda <debito> que debe pagar en algún momento
<debe pagare> utilizando algún activo <deve dare>.
Los activos son los recursos que posee y puede hacer realizables el negocio <deve avere>,
estos se vinculan al <credito> de la entidad, es importante señalar que estos bienes pueden
aumentar en la entidad por beneficios recibidos en el proceso de compra - venta; e
igualmente pueden tener una disminución ya sea por depreciación, amortización,
devengado, o cualquier otro proceso.
Existe en cuanto al balance general la postura matemática de teoría de cuentas que asevera
que existe una ecuación de balance general (A=P+C), en la cual el activo es la suma del
pasivo más el capital. Esta representación en mi opinión origina una dificultad de
Activo: “Activo es el conjunto o segmento, cuantificable, de los beneficios económicos futuros fundadamente
esperados y controlados por una entidad, representados por efectivo, derechos, bienes o servicios, como consecuencia de
transacciones pasadas o de otros eventos ocurridos.”
Pasivo: “Pasivo es el conjunto o segmento, cuantificables, de las obligaciones presentes de una entidad particular,
virtualmente ineludibles, de transferir efectivo, bienes o servicios en el futuro a otras entidades, como consecuencia de
transacciones o eventos pasados.”
Capital: “El capital contable es el derecho de los propietarios sobre los activos netos que surge por aportaciones de los
dueños, por transacciones y otros eventos o circunstancias que afectan una entidad y el cual se ejerce mediante reembolso
o distribución”.

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 32 -
entendimiento en cuanto a los valores de magnitud, este asunto puede ponerse a discusión
con bases filosóficas como el “ensayo de las magnitudes negativas” (Kant, 2000).
Bajo mi punto de vista es suficiente con establecer una ecuación que totalice a las fuerzas
de carácter jurídico dando en resultado una situación de equilibrio o neutralización.
Dado que en las cuentas de pasivos y capital la magnitud de los niveles es negativa y en
activos es positiva, se tiene que al igualar estos grupos produce la ecuación A=-P-C; esto
puede constatarse debido a la reflexión de valores por transferencia de flujos. Al expresarlo
en forma total, equilibrada y considerando las variaciones instantáneas, propongo que:
FORMULA 3.1
∑ ∆ Activos + ∑ ∆ Pasivos + ∑ ∆ Capitales = 0
Esta visto que el balance general esta conformado por la totalidad de cuentas del sistema,
ellas nos dice en que se tiene invertido y comprometido cada bien de la entidad. Mientras
que el estado de resultados por su parte debe entonces estar conformado por niveles de
ingresos y egresos que resulten en pérdidas o ganancias de las operaciones.
Como preámbulo al estado de resultados y como paso necesario para determinar la utilidad
bruta abstraemos al comportamiento del inventario de mercancías como una reflexión del
flujo con respecto a las cuentas de resultados (figura 3.16), en este se toma en cuenta a los
valores del costo de compra y de venta como base para determinar los incrementos o
decrementos del activo.
El inventario de mercancías esta integrado del valor inicial representado como costo inicial,
el nivel se ve incrementado por la diferencia entre el costo de compras y el costo de ventas.
Con esta referencia puede suponerse que, en la utilidad bruta van a unirse también las
compras netas y las ventas netas, estas cuentas tienen impacto de reflexión con las cuentas

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 33 -
de activos en forma de efectivo circulante, de créditos con proveedores, o clientes si estas
existiesen en el catalogo de cuentas.
De modo que al unir los diferentes grupos de gastos se van produciendo niveles de utilidad
que encaminan a la determinación del nivel de las utilidades finales en el estado de
resultados. No se descarta la posibilidad que produzcan pérdidas.
Inventario de mercancías
Mercancías Mercancías
compradas devueltas al
Costo de compras proveedor
Recibir mercancía precio adquisición Dar mercancías en devolución
Mercancías Costo de ventas Mercancías
devueltas del vendidas
cliente
Recibir mercancías devueltas Dar mercancía precio de inventario
Inventario inicial
(Costo inicial)
FIGURA 3.16 Valuación del inventario de mercancías
La unión de cuentas de compras, ventas, costos, gastos, cobros y pagos, forman una gran
cuenta que genera el nivel del estado de resultados y que evita retrasos en cálculos
ocasionados por diferenciales del tiempo; la figura 3.17 sintetiza esta explicación. La parte
central donde especifico los diferentes márgenes de utilidad (colores naranja → amarillo) es
la reflexión de los resultados en activos; es fácil determinar que la naturaleza de la
magnitud es negativa en caso que se hayan producido utilidades y positiva en caso de
pérdida. En tanto se puede citar estos dos importantes subniveles de margenes de utilidades:
FORMULA 3.2
Utilidad bruta = −Ventas netas + Costo de ventas + Compras netas − Costo de compras
FORMULA 3.3
Utilidad retenida = Utilidad bruta + gastos de operación ± Costo integral de financiamiento
± Grupo extraordinario + Provisiones + Impuestos

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 34 -
Gastos de Utilidad del ejercicio Ventas de
Ventas totales
Gasto de operación
UTIILIIDAD DE
ventas mercancías
UTIL ID AD DE
UT L DAD DE
OPERACIIÓN
OPERACIÓ N
OPERAC ÓN
Gastar por departamento de ventas Vender mercancías
Gastos de Rebajas sobre
administración ventas
Ventas netas
Gastar por depto. de administración Otorgar rebajas a lo vendido
Gastos Devoluciones
FIINANCIIERA
FIN ANCIE RA
F NANC ERA
Costo integral de
financieros sobre ventas
UTIILIIDAD
financiamiento
UTIL ID AD
UT L DAD
Gastar por financiamiento Dar devoluciones en ventas
Productos Mercancías
financieros vendidas
Costo de ventas
Cobrar productos financieros Dar mercancía precio de inventario
EXTRAORDIINARIIA
EXTRAORDIN ARIA
EXTRAORD NAR A
Otros gastos Mercancías
Grupo extraordinario
devueltas del
UTIILIIDAD
UTIL ID AD
UT L DAD
cliente
UT L DAD BRUTA
UTILIDAD BRUTA
U T IIL IID A D B R U T A
Gastar por otros conceptos Recibir mercancías devueltas
Otros Compras de
productos Compras totales mercancías
Cobrar por otros productos Comprar mercancías
UTIILIIDAD ANTES
UTIL ID AD ANTES
UT L DAD ANTES
DE IIMPUESTOS
DE IM PUESTOS
DE MPUESTOS
Gastos sobre
compras
Provisiones
(gastos admón)
P.T.U.
Gastar por compras
Devoluciones
Pagar P.T.U. sobre compras
Compras netas
Devolver mercancías compradas
UTIILIIDAD DEL
UTIL ID AD DEL
UT L DAD DEL
EJERCIICIIO
EJERCIC IO
EJERC C O
Descuentos
Impuestos
Impuestos sobre compras
Obtener rebajas de lo comprado
Pagar impuestos
Mercancías
Costo de compras
compradas
RETENIIDA
RETENID A
UTIILIIDAD
RETEN DA
UTIL ID AD
UT L DAD
Ganancias
Recibir mercancía precio adquisición
Utilidades
pagadas Mercancías
devueltas al
proveedor
Pagar utilidades a inversionistas
Dar mercancías en devolución
FIGURA 3.17 Estado de resultados

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 35 -
Con los antecedentes anteriores se puede comprender que, el balance y su interpretación
como situación financiera es una propiedad emergente del sistema contable, así como
también lo es la agrupación de cuentas que forman el estado de resultados.
La estructura del sistema contable en una unidad económica o entidad debe su forma y
tamaño al catalogo de cuentas o sub cuentas que tomen lugar a su interior. Todas las
relaciones quedan representadas, inclusive los conflictos incidentales (partidas adicionales
del grupo extraordinario).
Con la visión de pensamiento sistémico se ha observado que se puede estudiar de manera
simultánea el flujo entre diversas cuentas de activos, pasivos o capital; y con ello que se
pueda examinar el comportamiento de cada una de las entidades que integren el sistema.
Un gran avance por este método es que el costo de lo vendido (mercancías vendidas) se
obtiene de manera directa como la salida del inventario de mercancías a precio de
adquisición, y no depende de cálculos indirectos como el de (Hatzacorsian, 1999)2 donde
“costo de ventas = inventario inicial + compras netas del ejercicio – inventario final” el cual
requiere realizar tarea de inventario final y carece de carácter dinámico.
En el estado de resultados existen casos de recursión principalmente para determinar los
flujos de pago por participación sobre utilidades a los trabajadores, y los pagos de
impuestos; sin embargo he decidido no abordarlos debido a las diversas regulaciones
gubernamentales que pueden modificar estas subestructuras.
Finalmente, respecto a la definición de Forrester no pude comprobar si lo que él afirmaba
concerniente a que las pérdidas y ganancias eran tasas de flujos que se acumulaban a la
balanza previa para obtener la hoja de balance actual, pues en el análisis que propuse las
pérdidas y ganancias son niveles de ingresos y egresos, y es el caso de las acciones de dar y
recibir en los flujos de las transacciones (figura 3.15) a los que él posiblemente refiere
como las tasas de flujo.

Hallazgos – Parte 3 Aplicación en estados financieros - 36 -
Referencias:
Forrester, Jay W., (1994), “Principles of systems”, Productivity press, USA, ISBN 0-
915299-87-9, Pág. 4-11, 1-1.
Hatzacorsian Hovsepian, C.P. Vartkes, (1999), “Fundamentos de contabilidad”, UIA-
ECAFSA, México, ISBN 968-7681-54-3, Pág 255, 246
Instituto Mexicano de Contadores Públicos A.C., (1995), “Principios de contabilidad
generalmente aceptados”, décima edición, México, ISBN 968-6964-12-6.
Kant, Emmanuel, (2000), “Critica de la razón pura”, Porrúa, México.

Hallazgos
La aplicación consiste en la construcción del modelo para simulación en computadora que
dejará en claro como se realiza el proceso retroalimentado del que se hace referencia para
interés compuesto. Para conseguir esto se aplica la metodología de dinámica de sistemas
citada al final del anexo A.
PASO 1 Formulación del problema
En la actualidad existen definiciones y formulas sobre valor futuro con efecto de
capitalización (o monto de interés compuesto) que a mi sentir explican de manera
insatisfactoria el proceso de transformación que sufre el dinero en el tiempo. Existe una
relación entre la utilidad acumulada y los réditos (intereses) que son originados por las tasas
de interés, esta relación parece no estar siendo presentada enteramente y sin el empleo de
modelos para su validez por muchos autores del área contable financiera. Por ejemplo cito a
(Barnett, 1984): “Si al término de un periodo de pago el interés que se ha obtenido se
reinvierte a la misma tasa, entonces el interés, así como el capital original, ganarán interés
durante el siguiente periodo de pago. El interés que se paga sobre el interés que se
reinvierte se llama interés compuesto”.
Es común encontrar definiciones de valor futuro en la capitalización del interés donde son
concebidas como el hecho de “ganar intereses sobre los intereses”, sin duda el concepto es
breve y sencillo. La explicación que fundamenta este tipo de definiciones esta orientada a la
obtención de la utilidad en cuestión de un factor de capitalización que progresa de valor
geométricamente en el tiempo, la expresión matemática que responde explícitamente a este
factor de capitalización es (1+i)n, que esta especificado en la formula 4.4.
Al parecer muchos autores olvidan o ignoran que valor futuro tiene en cuestión a un
proceso retroalimentado (recursivo) que contiene un flujo de réditos que se acumula
paulatinamente a la inversión inicial y que la tasa de interés puede fluctuar. En

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 38 -
contraposición, creo que la formula de valor futuro que mejor toma en cuenta el
acumulamiento de los réditos en el tiempo es la formula 4.6, pues indica como la inversión
va ascendiendo de valor conforme progresa el tiempo debido a la sumatoria de sus réditos y
además soporta fluctuaciones en la tasa de interés.
En este sentir comparto mejor opinión con (Santiago,1994) que cita: “Interés compuesto. Es
el rendimiento de un capital tomado a préstamo, cuando al principal inicial van
acumulándose los intereses generados sucesivamente, en un proceso de retroalimentación
que ensancha, momento a momento, la base del capital.”
Adicionalmente, en la problemática existe un detalle de formulación del valor del dinero en
el tiempo . En este capitulo se propone solamente la aplicación de formulas y modelos en
los que a partir del valor presente se obtenga el valor futuro.
El valor futuro a lo largo de los periodos de capitalización puede ser calculado de tres
maneras diferentes: anualizado, no anualizado, y continuo. El adjetivo “anualizado” es el
empleado comúnmente para el análisis en tiempos de mediano y largo plazo; sin embargo
el periodo puede también ser considerado de forma diaria, mensual, trimestral, semestral.
Las nomenclaturas empleadas en las notaciones matemáticas subsiguientes para valor
futuro y tasas de interés son: “Vp” Valor presente, “Vf” Valor futuro, “i” tasa de
interés nominal, “iea” tasa de interés efectiva anual, “ieac” tasa de interés efectiva con
capitalización continua “n” periodo anualizado, “m” veces que ocurre la integración
de intereses en el periodo.
FORMULA 4.1 {Primer premisa}
Vf 0 = Vp El valor futuro inicial es igual al valor presente.
“El problema de formulación del valor del dinero en el tiempo” se encuentra explicado en el Anexo C

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 39 -
FORMULA 4.2 {Segunda premisa}
El valor futuro al finalizar un lapso de tiempo es igual
Vf k = Vf ( k −1) + Vf ( k −1) (i )
al valor futuro anterior más el monto de los intereses.
FORMULA 4.3 {Tercer premisa}
El rédito (interés) a ser aplicado es el valor futuro
anterior por la tasa de interés. Se le conoce también
Rédito = Vf ( k −1) (i )
como la razón de cambio de tipo ascendente.
FORMULA 4.4 Adecuada cuando la tasa de interés efectiva anual
permanece constante. Cuando se capitaliza una vez al
Vf n = Vp(1 + iea )
n
año esta tasa corresponde a la nominal anual.
FORMULA 4.5
Útil cuando la tasa de interés efectiva es variable en
Vf n = Vp∏ (1 + iea j )
n
periodos anualizados. Es una representación en forma
j =1
de progresión geométrica ascendente.
FORMULA 4.6
Utilizada cuando la tasa de interés efectiva es variable
Vf n = Vp + ∑ (Vf j −1iea j )
n
en periodos anualizados. Es una representación en
j =1
forma de progresión aritmética ascendente.
FORMULA 4.7
 i 
mn
Utilizada cuando la tasa de interés nominal es
Vf n = Vp1 + 
 m constante en periodos no anualizados (fraccionados).
FORMULA 4.8 A manera infinitesimal es la máxima capitalización de
periodos no anualizados, y se utiliza cuando la tasa de
Vf n = Vp e in
interés nominal es constante.

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 40 -
FORMULA 4.9
La tasa de interés efectiva anual capitalizada en sub
m
 i 
i ea = 1 +  − 1
periodos relacionada a una tasa de interés nominal
 m
anual se obtiene de las formulas 4.4 y 4.7.
El efecto de las capitalizaciones no anualizadas (formula 4.9) puede dar origen a las
siguientes deducciones hasta llegar a una capitalización continua (formula 4.10):
La tasa de interés efectiva anual es igual a la tasa promedio  i
1
iea = 1 +  − 1 = i
anual cuando ocurre solamente una capitalización anual.  1
La tasa de interés efectiva anual en función a una tasa 2
 i
promedio semestral, tasa por periodo de composición i ea = 1 +  − 1
 2
semestral = tasa de interés nominal anual /2
La tasa de interés efectiva anual en función a una tasa 360
 i 
promedio diaria. i ea = 1 +  −1
 360 
Es la tasa de interés efectiva anual cuando su composición FORMULA 4.10
de periodos es infinitesimal, dando como resultado una m
 i 
i eac = lim1 +  − 1 = e i − 1
tasa de interés efectiva continua. m→∞
 m
Comúnmente se usa una sola capitalización en el periodo, por ello se pondrá mayor
atención a esta forma y se buscará posteriormente la verificación del modelo para formas de
capitalización no anualizadas y continuas.
PASO 2 Modelado por pensamiento causal
En este proceso de modelado partimos del conocimiento matemático del problema, es decir,
de las formulas 4.1 a la 4.8 identificamos a las principales variables y constantes

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 41 -
involucradas que son: monto inicial, tasa de interés, réditos, valor liquido , y monto final; y
las relacionamos esquemáticamente de forma causal (Figura 4.1):
Monto inicial
+ (Vp) +
+
+
Rédito
(Vp)(i) ó (valor liquido)(i)
+
+ Valor liquido
(Vp+Réditos)
+ Monto final
(Vf)
+
+
Tasa de interés fija
o variable (i)
FIGURA 4.1 Diagrama causal de Valor futuro a partir de formula 4.6
Existen enlaces causales de reforzamiento entre: monto inicial y monto final, monto inicial
y rédito, tasa de interés y monto final, monto inicial y rédito, tasa de interés y rédito, rédito
y monto final, monto inicial y valor líquido, tasa de interés y valor liquido, valor liquido y
monto final, rédito y valor liquido, valor liquido y rédito.
También existe un ciclo positivo (circulo reforzante) que se forma entre el rédito y el valor
líquido, esta parte importante es la que establece la retroalimentación en el tiempo.
PASO 3 Prototipo de simulación para computadora
Para la construcción del prototipo debemos primeramente diferenciar cuales elementos son
constantes, auxiliares, fuentes de origen, sujetos integradores de acción (niveles), y cuales
son las acciones (flujos) que incurren en el proceso de capitalización.
Valor futuro es un nivel (sujeto integrador de la acción recibir réditos). Integra como valor
inicial al valor presente (ver formula 4.1). Se transforma durante el proceso en valor liquido
“valor líquido” es conocido como al monto compuesto una vez que deja de ser “valor presente”

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 42 -
(de la formula 4.2) y paulatinamente realiza la acción integradora de los réditos, resultando
en valor futuro (como se logra apreciar por la formula 4.6). Tiene unidades monetarias.
Valor presente es el valor inicial de valor futuro. Esta definida implícitamente como
parámetro de inicio en el valor futuro por formula 4.1, por lo que no se considera como una
constante independiente que se tuviera que adicionar inicialmente a valor futuro. Tiene
unidades monetarias.
Rédito es un flujo de entrada para valor futuro y es un flujo de salida para otorgador de
réditos (es la acción de dar y recibir réditos). Es la acción de ganar dinero en el transcurrir
del tiempo para valor futuro y se obtiene de la formula 4.3, de donde se entiende que, para
una producción de intereses futura toma de referencia la medición del valor liquido y lo
multiplica a la tasa de interés. Sus unidades son monetarias sobre el tiempo.
Otorgador de réditos es una fuente de abastecimiento (es el sujeto copartícipe de la acción
dar réditos). Es el sujeto al que se le esta sustrayendo réditos, su existencia obedece al
hecho que se desea un equilibrio de valores en el modelo, no mostrarlo así dejaría que el
nivel de valor futuro creciera de manera positiva sin representar una contraparte de origen.
Convenientemente puede fijarse inicialmente a cero, para que todo valor registrado tenga
naturaleza negativa para equilibrio. Sus unidades son en términos monetarios.
Tasa de interés es constante o es variable. Esta variable o constante establece directamente
la proporción del rédito que se desea lograr, esto mediante el producto con la medición que
tiene el valor líquido. Sus unidades son porcentajes sobre el tiempo.
Periodo del tiempo y paso del tiempo. Se establece un periodo inicial igual a cero, ya que el
cómputo mediante simulación se realiza de manera iterativa desde la primer premisa, no
hacerlo así produce pérdida de información y por consecuencia un cálculo erróneo. Se
establece un periodo final que contiene el valor “n -ésimo”. El paso del tiempo <time step>
es el incremento discreto del tiempo, para periodos anualizados se ajusta a uno.

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 43 -
Se propone para modelar los siguientes parámetros: Vp = $10, n = 10 años, i = 10%. El
sistema se transforma en el listado de lenguaje y diagrama esquemático subsecuentes:
(1) Tiempo inicial = 0
Unidades: Año
(2) Tiempo final = 10
Unidades: Año
(3) Paso del tiempo = 1
Unidades: Año
(4) Otorgador de réditos = Integración numérica Euleriana fija (0, -Réditos)
Unidades: Pesos, Pesos / Año
(5) Réditos = Valor futuro * Tasa de interés
Unidades: Pesos / Año
(6) Tasa de interés = 0.1
Unidades: 1 / Año
(7) Valor futuro = Integración numérica Euleriana fija (10, Réditos)
Unidades: Pesos, Pesos / Años
(8) Valor presente = VALOR INICIAL (Valor futuro)
Unidades: Pesos
LISTADO 4.1 Para prototipo de figura 4.2
Otorgador de réditos Valor futuro
Réditos
Tasa de interés
Valor presente
FIGURA 4.2 Prototipo para valor futuro con paso del tiempo discreto
PASO 4 Ejecución del modelo, verificación y validación.
Al correr el modelo en el tiempo inicial se tiene la representación de la figura 4.3, esto es
que el valor futuro integra como condición inicial al valor presente. Se calcula el rédito que
el otorgador de réditos debe dar condicionado al monto inicial, para que cuando se
produzca el avance del tiempo el nivel de valor futuro deba recibir (integrarlo).

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 44 -
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 1 / Año
$0 $ 10
Réditos
Tasa de interés Valor presente
10 % / Año Periodo $ 10
Año 0
FIGURA 4.3 Ejecución del prototipo cuando es el periodo inicial
La figura 4.4 muestra como se ha integrado a valor futuro el primer rédito al cabo de un
año, se refleja el impacto ocasionado en otorgador de réditos con una cantidad pagada
similar a la que debió recibir su contraparte (valor futuro), se calcula el rédito que se
aplicará al siguiente paso de tiempo. Es importante señalar que el símbolo del valor
presente lo hemos suprimido porque idealmente dio existencia al valor líquido.
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 1.1 / Año
$ -1 $ 11
Réditos
Tasa de interés
10 % / Año Periodo
Año 1
FIGURA 4.4 Ejecución del prototipo cuando es el primer periodo
El proceso se realiza de manera iterativa integrando a valor futuro el flujo de réditos, de
manera que en los periodos subsecuentes al segundo el procedimiento es similar. Cuando el
tiempo de terminación ha llegado, se puede observar que el valor final que tiene el
otorgador de réditos es el valor presente (valor futuro inicial) menos el valor futuro final.
Mientras que el valor futuro resultante es similar al que se calcularía usando la formula 4.4.

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 45 -
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 1.21 / Año
$ -2.1 $ 12.1
Réditos
Tasa de interés
10 % / Año Periodo
Año 2
FIGURA 4.5 Ejecución del prototipo cuando es el segundo periodo
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 2.59374 / Año
$ -15.9374 $ 25.9374
Réditos
Tasa de interés
10 % / Año Periodo
Año 10
FIGURA 4.6 Ejecución del prototipo cuando es el último periodo
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 1 / Año
$0 $ 10
Réditos
Tasa de interés
10 % / Año Periodo
Año 0
FIGURA 4.7 Ejecución del modelo en el periodo inicial con cuatro capitalizaciones al año

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 46 -
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 1.025 / Año
$ -0.25 $ 10.25
Réditos
Tasa de interés
10 % / Año Periodo
Año 0.25
FIGURA 4.8 Ejecución del prototipo cuando avanza un subperiodo de capitalización
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 1.05063 / Año
$ -0.50625 $ 10.5063
Réditos
Tasa de interés
10 % / Año Periodo
Año 0.5
FIGURA 4.9 Ejecución del prototipo cuando avanza al segundo sub periodo
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 1.07689 / Año
$ -0.768906 $ 10.7689
Réditos
Tasa de interés
10 % / Año Periodo
Año 0.75
FIGURA 4.10 Ejecución del prototipo cuando avanza al tercer sub periodo

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 47 -
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 1.10381 / Año
$ -1.03813 $ 11.0381
Réditos
Tasa de interés
10 % / Año Periodo
Año 1
FIGURA 4.11 Ejecución del prototipo cuando avanza al cuarto sub periodo
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 1.218403 / Año
$ -2.18403 $ 12.18403
Réditos
Tasa de interés
10 % / Año Periodo
Año 2
FIGURA 4.12 Ejecución del prototipo cuando avanza al octavo sub periodo (segundo periodo)
Otorgador de réditos Valor futuro
$ 2.68506 / Año
$ -16.8506 $ 26.8506
Réditos
Tasa de interés
10 % / Año Periodo
Año 10
FIGURA 4.13 Ejecución del prototipo cuando llega al sub periodo 40 (décimo periodo)

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 48 -
Al modelar si ocurren cuatro capitalizaciones al año, se tendría que modificar del listado
4.1 la línea (4) Paso del tiempo = 1 por Paso del tiempo = 0.25.
De manera que si se corre el modelo para capitalización a diez, cinco, dos y un año, o para
capitalización semestral, trimestral; y al compararse con respecto a la capitalización de
tendencia infinitesimal, se tienen los resultados de la tabla 4.1 ilustrados en la figura 4.14.
Se observa que para la obtención de resultados en la tabla 4.1 existe una relación
inversamente proporcional entre paso del tiempo y la frecuencia de capitalización.
FORMULA 4.11
1
número de subperiodos de composición del periodo base de capitalización m =
paso del tiempo
De modo que podrían obtenerse resultados para cada sub periodo al sustituir la formula
4.11 en 4.7:
FORMULA 4.12
Vf n = Vp(1 + i( paso del tiempo )) paso del tiempo
n
Sabemos que para cada frecuencia de capitalización existiría una tasa de interés efectiva
anual que aún desconocemos, para conocerla tendremos que encontrarla de la relación de
las formulas 4.4 y 4.12 de valor futuro.
Vf n = Vp(1 + iea ) = Vp(1 + i ( paso del tiempo )) paso del tiempo
n
n
, de donde obtenemos
FORMULA 4.13
iea = (1 + i ( paso del tiempo )) paso del tiempo − 1
1
Al observar el error que produce el modelo con relación a los valores que podrían obtenerse
de la formula 4.12 se estima despreciable, por lo que se podría aprobar la funcionalidad de
este modelo, sin embargo aún no pone a la vista la tasa de interés efectiva.
En caso de una capitalización de réditos de modo continua se tendría que modificar el valor
del paso del tiempo (pt) haciéndelo aproximado a cero (dt 0), o dicho de otra manera, que

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 49 -
la cantidad de sub periodos de capitalización en una anualidad tendiera a infinito (m ∞),
con el fin que la tasa nominal se comporte como tasa efectiva anual que se describe en la
formula 4.10.
Capitalización del 10% a diferentes pasos del tiempo
28
26
24
V
a 22
l
o
r
20
F
u
t
18
u
r
o
16
(
$
)
14
12
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (Años)
pt = 10 pt = 5 pt = 2 pt = 1 pt = 1/2 pt = 1/4 pt → 0
FIGURA 4.14 Ejecución del prototipo a diferentes pasos del tiempo
Tiempo pt = 10 pt = 5 pt = 2 pt = 1 pt = 1/2 pt = 1/4 pt → 0
0 10 10 10 10 10 10 10
0.25 10.25 10.2531
0.5 10.5 10.5062 10.5127
0.75 10.7689 10.7788
1 11 11.025 11.0381 11.0517
1.25 11.314 11.3314
1.5 11.5763 11.5969 11.6183
1.75 11.8868 11.9124
2 12 12.1 12.1551 12.184 12.214
2.25 12.4886 12.5232

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 50 -
2.5 12.7628 12.8008 12.8402
2.75 13.1208 13.1653
3 13.31 13.401 13.4489 13.4985
3.25 13.7851 13.8403
3.5 14.071 14.1297 14.1906
3.75 14.4829 14.5499
4 14.4 14.641 14.7746 14.845 14.9182
4.25 15.2161 15.2959
4.5 15.5133 15.5965 15.6831
4.75 15.9865 16.0801
5 15 16.1051 16.2889 16.3861 16.4872
5.25 16.7958 16.9045
5.5 17.1034 17.2157 17.3325
5.75 17.6461 17.7713
6 17.28 17.7156 17.9586 18.0873 18.2211
6.25 18.5394 18.6824
6.5 18.8565 19.0029 19.1554
6.75 19.478 19.6403
7 19.4872 19.7993 19.9649 20.1375
7.25 20.464 20.6473
7.5 20.7893 20.9756 21.17
7.75 21.5 21.7059
8 20.736 21.4359 21.8287 22.0375 22.2554
8.25 22.5885 22.8188
8.5 22.9202 23.1532 23.3964
8.75 23.732 23.9887
9 23.5795 24.0662 24.3253 24.596
9.25 24.9334 25.2186
9.5 25.2695 25.5568 25.857
9.75 26.1957 26.5116
10 20 22.5 24.8832 25.9374 26.533 26.8506 27.1828
TABLA 4.1 Valor Futuro a diferentes periodos de capitalización por ajuste en el paso del tiempo
Para modelar con capitalización continua en paso del tiempo discreto, el esquema
corresponde al de la figura 4.2 pero debe hacerse el siguiente cambio en el listado 4.1
(6) Réditos = Valor futuro * ( Exponencial (Tasa de interés) -1)

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 51 -
PASO 5 Formulación de un modelo más completo.
Existe en la formulación del problema un proceso en común que es la capitalización de
intereses en el paso del tiempo, sin embargo los prototipos anteriores solo trabajan para
capitalización fraccionada (o anualizada) y para capitalización continua, por lo que
podemos decir que tenemos dos fragmentos del modelo ideal, es conveniente unirlos.
Por otro lado los modelos anteriores nos condicionan a que la frecuencia de capitalización
tenga que ser el inverso al paso del tiempo, no es posible independizar la frecuencia de
capitalización del paso del tiempo. Por ejemplo no podemos obtener el resultado de valor
futuro a partir de una tasa de interés semestral con resultados cada trimestre, bimestre, o
cada mes; ya que la estructura de la formula 4.12 tiene relación solamente al paso del
tiempo para los resultados.
También sería ventajoso poner a la vista el valor de la tasa de interés efectiva que se
produce a partir de una frecuencia de capitalización y un paso del tiempo específico.
Son estas razones las que considero primordiales para la elaboración de un modelo más
completo.
Lo primero que se requiere es proponer el nuevo esquema de representación; y lo segundo
es encontrar una formulación matemática para obtener valor futuro que incluya de manera
independiente al número de periodos de capitalización y al paso del tiempo, superior a lo
que la formula 4.12 nos puede ofrecer.
En la figura 4.15 muestro las modificaciones agregadas a la tasa de interés efectiva, en
donde finalmente aparecen paso del tiempo y frecuencia de manera independientes, y se
agregan dos variables lógicas (continua y discreta) que nos determinan cuál formula será la
que aplicará en tasa de interés efectiva. Para capitalización continua se hubiera pensado que
para su obtención sólo era cuestión de modificar la frecuencia a un valor muy alto, pero
existen limitantes en la mantisa y redondeo del equipo de cómputo de modo que los

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 52 -
cálculos acarrearían un error acumulable. Así que cuando se desee conocer la capitalización
continua se empleará la formula que suprime a la frecuencia en su cálculo y emplea la
función exponencial.
Otorgador de réditos Valor futuro
Paso del tiempo
Réditos
Tasa de interés efectiva
Valor presente
Frecuencia Discreta
Tasa de interés nominal Continua
FIGURA 4.15 Modelo para valor futuro calculando tasa de interés efectiva
Para calcular la tasa de interés efectiva sujeta al paso del tiempo “ie” y que incluya la
frecuencia de capitalización “m” nos apoyamos en las formulas 4.9 y 4.13
m
 i   
iea = 1 +  − 1 = (1 + ie ( paso del tiempo )) paso del tiempo  − 1 de modo que resulta
1
 
 m
FORMULA 4.14
m ( paso del tiempo )
 i  Tasa de interés efectiva en función al paso del tiempo y a la
1 +  −1
ie =  m frecuencia de capitalización.
paso del tiempo
Ahora para calcular la tasa de interés efectiva continua sujeta al paso del tiempo “iec”
m
aplicamos a la formula 4.14 el concepto de la formula 4.10 que sostiene e i = lim1 +
i 
  , de
m →∞
 m
modo que tenemos
FORMULA 4.15
e i ( paso del tiempo ) − 1
iec = Tasa de interés efectiva continua en función al paso del tiempo
paso del tiempo

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 53 -
Con la obtención de las formulas 4.14 y 4.15 el listado para el modelo de la figura 4.15
ahora se puede completar.
(1) Tiempo inicial = 0
Unidades: Año
(2) Entrar (Tiempo final,10)
Unidades: Año
(3) Paso del tiempo = 1
Unidades: Año
(4) Otorgador de réditos = Integración numérica Euleriana fija (0, -Réditos)
Unidades: Pesos, Pesos / Año
(5) Réditos = Valor futuro * Tasa de interés efectiva
Unidades: Pesos / Año
(6) Tasa de interés efectiva = ((1 + Tasa de interés / Frecuencia) ^ (Frecuencia * Paso del tiempo)
si VALOR LOGICO (Discreta) = 1, de lo contrario (Exponencial(Tasa de interés * Paso del
tiempo) -1) / Paso del tiempo si VALOR LOGICO (Continua) = 1, de lo contrario 0
Unidades: 1 / Año
(7) Tasa de interés = 0.1
Unidades: 1 / Año
(8) Continua = 0
Unidades: 1
(9) Discreta = 0
Unidades: 1
(10) Frecuencia = 1
Unidades: 1 / Años
(11) Valor futuro = Integración numérica Euleriana fija (10, Réditos)
Unidades: Pesos, Pesos / Años
(12) Entrar VALOR LOGICO (Discreta o Continua)
Unidades: 1
(13) Valor presente = VALOR INICIAL (Valor futuro)
Unidades: Pesos
LISTADO 4.2 Para modelo de la figura 4.15 con tasa de interés efectiva y efectiva continua
Una vez que se corre el modelo para diferentes valores de paso del tiempo y frecuencias de
capitalización en: modo discreto, modo continuo, o capitalización nula, se generan en
consecuencia los resultados y curvas correspondientes para las tasas de interés efectivas y
efectivas continuas como lo muestran la tabla 4.2 y la figura 4.16.

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 54 -
Tasas de interés efectivas bajo diferentes frecuencias y pasos del tiempo
17.5%
17.0%
16.5%
16.0%
15.5%
I
15.0%
n
14.5%
t m=0
e 14.0%
m=1/10
r 13.5%
m=1/5
é 13.0%
m=1/2
s 12.5%
m=1
12.0%
e m=2
f 11.5%
m=4
e 11.0%
m=360
c 10.5% m=INF
t 10.0%
i
9.5%
v
9.0%
o
8.5%
8.0%
7.5%
7.0%
6.5%
0 0.00278 0.25 0.5 1 2 5 10
Paso del tiempo <timestep> (años)
FIGURA 4.16 Tasas de interés efectivas para diferentes frecuencias de capitalización y ajustes
sobre el paso del tiempo
Paso del Tasa de interés Tasa de interés Tasa de interés
tiempo efectiva anual efectiva semestral efectiva trimestral
0 9.531018% 9.758032% 9.877045%
0.002777778 9.532280% 9.759355% 9.878400%
0.25 9.645476% 9.878031% 10.000000%
0.5 9.761770% 10.000000% 10.125000%
1 10.000000% 10.250000% 10.381289%
2 10.500000% 10.775313% 10.920145%
5 12.210200% 12.577893% 12.772329%
10 15.937425% 16.532977% 16.850638%
Paso del Tasa de interés Tasa de interés Tasa de interés
tiempo efectiva diaria efectiva continua efectiva - dos años
0 9.998619% 10.000000% 9.116077%
0.002777778 10.000000% 10.001389% 9.117232%
0.25 10.124624% 10.126048% 9.220750%
0.5 10.252759% 10.254219% 9.327028%

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 55 -
1 10.515557% 10.517091% 9.544512%
2 11.068442% 11.070137% 10.000000%
5 12.972136% 12.974425% 11.548819%
10 17.179044% 17.182818% 14.883200%
Paso del Tasa de interés Tasa de interés Tasa de interés
tiempo efectiva - cinco años efectiva - diez años efectiva m=0
0 8.109302% 6.931471% 10.000000%
0.002777778 8.110216% 6.932139% 10.000000%
0.25 8.192061% 6.991877% 10.000000%
0.5 8.275949% 7.052985% 10.000000%
1 8.447177% 7.177346% 10.000000%
2 8.803951% 7.434918% 10.000000%
5 10.000000% 8.284271% 10.000000%
10 12.500000% 10.000000% 10.000000%
TABLA 4.2 Valores de las curvas para tasas de interés efectivas de la figura 4.16
Para calcular los valores de las tasas efectivas cuando el paso del tiempo tiende a cero se
m
debe emplear la siguiente formula Ln1 +
i 
  que se obtiene de la formula 4.10.
 m
PASO 6 Planteamiento de metas y políticas, experimentación de escenarios.
Problema
Suponer que se tiene un escenario con las características siguientes: un valor presente de
$10, una política de incrementar la tasa de interés de acuerdo al monto reinvertido en
proporción a la siguiente tabulación.
Tasa de interés nominal anual capitalización trimestral Monto mínimo requerido
10 % $10
12 % $2000
15 % $40000
20 % $1000000
El cometido para experimentar consiste en que debe ocurrir un paro en la simulación
cuando se alcance el nivel de $5’000,000 en valor futuro. La meta es conocer el tiempo que

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 56 -
se requiere para llegar al valor anterior, y es un requisito interactuar con un margen de error
no mayor a un día.
Solución
Se propone usar el modelo que utiliza tasa de interés efectiva con capitalización trimestral
calculada en pasos discretos de tiempo diarios, esto significa que, por omisión frecuencia es
4 y paso del tiempo es 1/360.
Para modelar el problema anterior, la tasa de interés nominal debe estar alimentada con el
valor futuro para que se ajuste de acuerdo a las condiciones tabuladas.
Debe considerarse un rango de simulación máxima en el que pueda encontrarse la solución,
por omisión será ajustado a 120 periodos anuales como máximo.
A diferencia de los modelos obtenidos anteriormente, en este caso se agregará “meta” como
una constante cuyo valor es de $5’000,000.
Existirá además una variable llamada discrepancia que tiene como función comparar los
valores de meta y el monto de valor futuro, en caso de que se logre el cometido, la variable
discrepancia esta obligada a realizar la acción de detener la simulación; cuando ello ocurra,
es conveniente enviar un mensaje de aviso, o en caso contrario es apropiado desplegar una
advertencia de este hecho.
Se deja abierta la posibilidad de que el usuario intervenga los siguientes parámetros del
sistema a su conveniencia: frecuencia de capitalización, valor presente, meta y periodo
anual máximo de búsqueda.
También es necesario desplegar una pequeña ventana con los resultados del tiempo
calculados en años y días.

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 57 -
El listado para modelar este escenario es:
(1) Tiempo inicial = 0
Unidades: Año
(2) Entrar (Tiempo final,120)
Unidades: Año
(3) Paso del tiempo = 1/360
Unidades: Año
(4) Otorgador de réditos = Integración numérica Euleriana fija (0, -Réditos)
Unidades: Pesos, Pesos / Año
(5) Réditos = Valor futuro * Tasa de interés efectiva
Unidades: Pesos / Año
(6) Tasa de interés efectiva = ((1 + Tasa de interés / Frecuencia) ^ (Frecuencia * Paso del tiempo)
- 1) / Paso del tiempo
Unidades: 1 / Año
(7) Tasa de interés = 0 si Valor futuro < 10, de lo contrario 0.1 si Valor futuro < 2000, de lo
contrario 0.12 si Valor futuro < 40000, de lo contrario 0.15 si valor futuro < 1000000, de lo
contrario 0.2
Unidades: 1 / Año
(8) Entrar (Frecuencia, 4)
Unidades: 1 / Año
(9) Valor futuro = Integración numérica Euleriana fija (Valor presente, Réditos)
Unidades: Pesos, Pesos / Años
(10) Entrar (Valor futuro, 10)
Unidades: Pesos
(11) Entrar (Meta, 5000000)
Unidades: Pesos
(12) Discrepancia = DETENER si Valor futuro >= Meta
Unidades: 1
(13) Valor presente = VALOR INICIAL (Valor futuro)
Unidades: Años
(14) Tiempo final en años = VALOR ENTERO (Tiempo)
Unidades: Años
(15) Tiempo final en días = (Tiempo –Tiempo final en años)*360
Unidades: Años
LISTADO 4.3 Para modelo de valor futuro con meta de figura 4.17

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 58 -
Paso del tiempo Valor presente
Frecuencia Tasa de interés
Valor futuro
Tasa de interés efectiva
Réditos
Otorgador de réditos Tiempo
DETENER
Tiempo final en años Tiempo final en días Meta Discrepancia
FIGURA 4.17 Modelo para valor futuro con meta y tasa de interés efectiva fraccionada
Al simular el modelo, se alcanza la meta cuando en el tiempo han transcurrido 109 años
con 32 días y cuando valor futuro ha alcanzado un monto de $5’002,268; en ese momento
es cuando ocurre la detención.
PASO 7 Obtención de respuestas en el horizonte del tiempo (aprendizaje).
La simulación por computadora ha servido para someter a prueba la veracidad del modelo y
además para distinguir los momentos apropiados para usar ciertas formulas matemáticas.
Se ha comprobado que el interés compuesto es un proceso en el cual al valor inicial de
inversión se le van agregando de manera integral o acumulada réditos, los réditos conocidos
como un flujo de intereses guardan una conexión entre la tasa de interés efectiva y el valor
liquido hasta llegar a una meta que es el valor futuro, esta progresión ascendente se produce
de manera discreta o continua según la cantidad de sub periodos capitalización.
La existencia del parámetro “paso del tiempo” <“time step”, en inglés> (en cálculo:
“diferencial del tiempo”) que aparece en el simulador es indispensable para la realización
de operaciones paso a paso cuando se desean obtener resultados en fracciones de sub
periodos de capitalización. El modelo completo muestra que es indispensable conocer el
valor del paso del tiempo para calcular la tasa de interés efectiva.

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 59 -
La tasa de interés nominal de un sub periodo no es la que se espera al final del periodo base
cuando ocurren múltiples capitalizaciones, esto debido al proceso recursivo que se lleva a
cabo cada vez que se da un avance sobre el paso del tiempo; por ello, es necesario conocer
el valor equivalente anualizado llamado tasa de interés efectiva. Solamente en el caso que
el número de sub periodos de composición sea inverso al paso del tiempo se puede
comprender que la tasa de interés efectiva es equivalente a una tasa de interés nominal.
Las diferencias que existen entre una acumulación que ocurre del modelo de pasos
discretos y la integración en paso continuo del tiempo radican esencialmente en la
frecuencia con que ocurren las capitalizaciones. La capitalización de intereses de forma
continua tiene su equivalencia a la capitalización de intereses fraccionada cuando el número
de periodos de composición tienden a ser infinitesimal; o cuando se consigue continuidad
de valores en el paso del tiempo, o sea la separación entre un punto y otro es cero.
La integración Euleriana es una herramienta muy rápida para realizar computaciones y en
los modelos citados nos ayuda para simulación discreta. La integración usando Runge
Kutta 4 ofrece la ventaja de resultados infinitesimales aproximados al exacto, pero su
tiempo de computación resulta un poco más lento, y en circunstancias en las que deba
usarse periodos de tiempo muy estrecho resulta impractico debido al impacto del tiempo
requerido para computar, por esta razón no la empleamos.
Por otro lado, el modelar deja como experiencia personal que es indispensable conocer el
listado del esquema, pues la representación esquemática por si misma no expresa
enteramente la estructura funcional.
Podrán existir otros modelos no retroalimentados que arrojen resultados precisos, pero ellos
serán aislados a posibles cambios en el tiempo, por ejemplo, en el modelo de la figura 4.17
no hubiera sido posible evaluarle empleando las formulas 4.4 o 4.7, ya que existe un
vinculo de información del valor futuro y la tasa de interés nominal; ello sirve para
reafirmar que la consideración de la retroalimentación en cualquier modelo es
trascendental.

Hallazgos – Parte 4 Aplicación a valor futuro - 60 -
Referencias:
Barnett, Raymond A., (1984), “Matemáticas para administración y ciencias sociales”,
Nueva editorial Interamericana, México, ISBN 968-25-0876-2
Santiago Gallego, Ramón Tamames, (1994), “Diccionario de economía y finanzas”,
Alianza editorial Limusa / Noriega editores, España, ISBN 84-206-5244-8, Pág. 305

Conclusiones
Entender el método contable de partida doble ha producido una serie de pasos en los que se
ha encontrado que las acciones sean vistas como flujos que tienen reflexión de valor por
transferencia entre niveles, que el sujeto contable sea visto como integrador de acciones a
fin de obtener saldos, y que en el cálculo de los estados financieros sea necesario el
agrupamiento de valores de nivel (cuentas).
En el caso del valor del dinero, un aspecto trascendental es la aparición de procesos de
recursión matemática que impacta en el diseño de modelos dinámicos retroalimentados; y
específicamente en el cálculo de valor futuro, los diferenciales de tiempo sujetos a la
frecuencia de capitalización de intereses son básicos para producir el valor de tasas de
interés efectivas.
En un breve recuento de la investigación podemos mencionar que los resultados para
validar la investigación aparecieron de forma desorganizada, el orden se fue dando
conforme se generaba la información suficiente para seccionarla.
La dificultad de emplear un vocabulario contable sistémico vio nacer los anexos A y B. En
el desarrollo inicial del modelo para valor futuro y en la intención de llegar a modelar valor
presente fue imperante separar el aspecto matemático, pues este ocupaba mucho espacio
dentro de los hallazgos y se alojó en el anexo C.
El método veneciano se ha empleado desde hace más de cinco siglos, su adopción en el
campo profesional constituyó una respuesta casi mágica a los problemas contables
contemporáneos. La investigación presente ha encontrado una respuesta sustentada
matemáticamente y de forma dinámica, en la que el actor principal es el flujo de un origen a
un destino entre unidades contables, este flujo es la razón de cambios de nivel producido
por las transacciones y específicamente por las acciones de dar y recibir; en contraste con la
creencia de asociación en crédito y debito (origen y aplicación de fondos), que en opinión

Conclusiones - 62 -
debe posicionarse como atributos de naturaleza en la entidad. El procedimiento de debitar
por izquierda y acreditar por la derecha, es solo un convencionalismo que puede invertirse.
En vez de registrar a dos columnas se puede hacer a tres, donde la columna central informa
acerca del saldo.
En el aspecto del retraso del tiempo, es conveniente que la búsqueda de modelos debe
preferirse en primer orden evitando a toda costa conexiones de tipo serial, esto debido a la
experiencia que tuve en la generación del modelo para el estado de resultados.
Para la obtención del estado de resultados empleé esquemas T con el fin de comparar los
resultados de las transacciones comunes, quedó confirmado que lo que se sostiene
usualmente como origen y aplicación de fondos puede estar fundamentado en flujos.
Un conocimiento insospechado que encontré es el caso de que la utilidad bruta es de
magnitud negativa y esto es debido a la reflexión que guarda con relación al incremento de
activos.
Se encontró la relación que tiene el costo de compras para determinar el valor del
inventario, lo cual impacta en el estado de resultados.
La obtención de índices de los instrumentos de análisis e interpretación de situación
financiera no es otra cosa diferente a obtener las razones de cambios (derivadas) entre una o
varias variables dependientes con respecto al tiempo, mediadas por acciones. La
importancia de las acciones radica en que son instrumentos para obtener el apalancamiento
y rumbo del sistema.
En la toma de decisiones es indispensable mantener actualizados los valores del estado de
resultados, no basta con registrar solamente las transacciones realizadas, debe ser posible
examinar como esas transacciones modifican o repercuten el funcionamiento del sistema.
La gran desventaja del método de partida doble es que el corte se hace al final del periodo
contable y resulta difícil realizar el registro de los asientos de ajuste durante el periodo.

Conclusiones - 63 -
La notoriedad de la ventaja sistémica es que se contemplan las acciones de flujo entre los
sujetos que forman el sistema del negocio y en consecuencia sus cambios de nivel. Esta
investigación constituye un cambio al mundo construido en el área contable.
Personalmente la investigación me deja las siguientes experiencias:
• La elaboración de desarrollar un tema nuevo y de dos campos teóricos diferentes
profesionalmente, resulta difícil allegarse de los recursos humanos necesarios para
cubrir las áreas de estudio, y se requiere investigar casi al doble las fuentes de
información primarias y secundarias.
• Se tiene un alto costo de oportunidad el realizar la investigación de tesis, si a esta se
le añade el tiempo y gastos que representa producir una edición impresa de
excelente presentación que comunique mejor los resultados.
• Superación de al menos en proporción de tres al tiempo estimado en el calendario
de actividades, es necesario no menospreciar la importancia del tiempo y no ser tan
optimistas.
• Se debe tener disciplina y mucha paciencia de principio a fin. Es clave evitar la
discontinuidad de la investigación, hay que procurar de hacerlo fluido. El tiempo de
elaboración de anexos fue grande, especialmente en el anexo C.
• He explorado caminos en busca de la verdad sobre el incuestionable método de la
partida doble, poniendo a discusión y trastocando los fundamentos que se daban por
hechos.

Recomendaciones
La meta del dinero es un fin de la contabilidad y de las tomas de decisión, moralmente no
debe olvidarse las repercusiones sociales y humanas que provengan de la elaboración de
pronósticos usando modelos reducidos.
El uso de este conocimiento puede servir para la formación de un perfil de contadores que
posean visión científica, en el que uno de sus objetivos sea la capacidad de desarrollar
modelos que expliquen mejor los comportamientos y tendencias de una entidad económica.
Referenciado el principio de acumulamiento y distribución (base del sujeto integrador de
acciones) de niveles en el plano personal, sugiero meditar: “el ser humano como un sujeto
integrador de acciones”.
Existen aspectos que se arrastran desde el anteproyecto como posibilidad de implementarse
a futuro, estos son:
• Como se había anticipado en el proyecto no se realizaron las etapas de prueba,
adopción y confirmación en el mercado meta, he ahí una oportunidad de continuar
con la investigación. Por ejemplo: llevarlo al aula, experimentar con problemas
comunes, y medir resultados en aprendizaje.
• Los diversos instrumentos de análisis e interpretación de situación financiera
constituyen una gran veta de estudio. Es prioritario proponer si es posible otros
instrumentos que sean más eficientes.
• La aplicación de dinámica de sistemas a valor presente.
Tópicos de investigación pendientes por falta de profundidad o inconveniencia:
• No seguí o estudié el problema de retrasos. Tampoco la relación de otros planos
diferentes al dinero, como por ejemplo los documentos.
• Hablé de la necesidad de un lenguaje contable pero no experimenté con él a
profundidad ni evalué el resultado de la sintaxis que sugerí usar; pienso que es
posible establecer una estructura de lenguaje contable mejor definida.

Recomendaciones - 65 -
• En los estados de resultados faltó la validación numérica, es un aspecto que bien
podría ser detallado.
• Evaluar transacciones comerciales con otras entidades no citadas en el sistema
básico y bajo ciertas condiciones como lo son pagos fraccionados bajo la aplicación
de interés compuesto (formula de anualidad). O bien, indagar asuntos de acciones
internas en la entidad como depreciación, amortización, devengado, ventas de
activos depreciados
• Abordar el aspecto del pago de impuesto para producir un modelo específico mejor
en el estado de resultados.
• Encontrar semejanzas y diferencias entre la perspectiva de Forrester y la del autor
del presente documento, en lo relativo al balance y estado de resultados
Otras inquietudes de líneas de investigación podrían ser:
• ¿Qué resultaría de modelar la contabilidad financiera con UML?
• La recursividad y la retroalimentación están tan vinculadas que podría estudiarse
como tema de tesis en los aspectos matemáticos y de dinámica de sistemas.
• La necesidad de un compilador del vocabulario contable que descomponga en sus
partes atómicas o en acciones simples cada transacción.
• Posible autómata o base de datos lógica que permita registrar todas las acciones
contables y que su diseño este sustentado en los modelos de dinámica de sistemas.
• Hacer un simulador de dinámica de sistemas orientado a los negocios, que incluya
funciones de acercamiento y alejamiento visual de las entidades para consultar los
saldos de las entidades o cuentas específicas.
• Comparar esta investigación con la contabilidad del throughput fundamentada en la
teoría de restricciones. Así como con el análisis de sensibilidad, SIGEM y
metodología de Caselles.
• Estudiar bajo dinámica de sistemas valores de tipo intangibles, como marcas, ideas,
franquicias, modos de trabajo. Si fuese posible enfocar o enriquecer el macro y el
micro ambiente de las entidades a través de más variables que estén vinculadas al
valor económico.

Recomendaciones - 66 -
• Abordar una investigación respecto a dinámica de sistemas y el enfoque sobre la
contabilidad basado en el conocimiento <knowledge capital scoreboard>.
Algunas estrategias que creo convenientes usar en la difusión consecuente son:
• Difusión hacia abajo, con el fin que sea visto como conocimiento de moda.
• El Internet, para seguir compartiendo la investigación, considero que la portabilidad
de los documentos por este medio es barata, conviene ampliar la gama de opciones
a otros formatos diferentes del Word, como pueden ser: pdf, html, e-book.

Anexo
El hombre como parte de este basto universo esta sujeto a su supervivencia y con ello
tiene la necesidad primaria de comprender lo que sucede a su alrededor, en esta tarea
observa e interactúa con su entorno y esta expuesto a sufrir o beneficiarse de los resultados
de la experimentación de sus actos, sin embargo, el interés de la especie humana en su afán
de trascender y de conseguir dominación trata en medida de lo posible ejercer control,
influencia reguladora, o predicción de acontecimientos sobre los elementos que componen
su ambiente; siempre condicionado a las leyes de la naturaleza que el mismo hombre va
descubriendo.
Es el hombre quien dimensiona a medida de su razonamiento a las cosas; el mundo real es
lo que forma parte de la dimensión humana, y de este mundo surgen un conjunto muy
amplio de creencias y paradigmas, dicho conjunto puede estar contaminado de ignorancia y
superstición.
En la comprensión de las cosas, el hombre se vale de la utilización del ingenio y consigue
desarrollar métodos (por ejemplo, el método científico) que le ayudan a confrontar su
razonamiento contra el comportamiento de los elementos en su entorno.
Debido a la complejidad y extensión del mundo real el hombre es arraigadamente
practicante del reduccionismo, abstracción y análisis; esto por interactuar con su limitado
intelecto sobre los elementos divididos y aislados que él cree que son los más importantes,
omitiendo o ignorando variables contingentes o incidentales, e inclusive los cambios en el
tiempo.
La parte del mundo real que el hombre enfoca en su estudio debido a una visión de alcance
fronterizo lo conoce como sistema.

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A-2
“Un sistema es una entidad que mantiene su existencia y funciones como una totalidad a
través de la interacción de sus partes.”
Las propiedades de un sistema se conocen como propiedades emergentes, pueden
resplandecer sin aviso, y son el resultado del interactuar en conjunto las partes del sistema.
El hombre con la definición de sistema engloba parte del conjunto de creencias, paradigmas
o mitos, y pone a prueba la validez de ellos, abriendo asi el camino de demostración para su
aceptación o la refutación. El pensamiento sistémico es un método del que se puede valer
para explicar y entender un sistema. La manera de encontrar como trabaja un sistema es por
medio de sus propiedades emergentes.
El modelo es la representación esquemática del sistema, un modelo puede ser: físico,
mental, matemático, por computadora (usando un lenguaje de simulación), o la
combinación de cualquiera de estos.
El modelar es el proceso de elaboración y operación de un modelo determinado.
El principio de apalancamiento es una clave del pensamiento sistémico, consiste en
encontrar la combinación correcta de acciones que requieran bajo esfuerzo para producir
grandes cambios deseados, ello existe en la política de alternativas (estrategias). Si se
conoce la estructura se puede para conseguir fácilmente el apalancamiento y además se
pueden predecir efectos colaterales.
“Fragmentación del modelo es un proceso de dividir un modelo en dos o más módulos
pequeños que representan físicamente secciones separadas del proceso.”
(O’connor, 1997)
(Harrington & Tumay, 2000)

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A-3
El hombre tiene en su mente cúmulos de información suficientes para formar modelos y a
estos se les conoce como modelos mentales, el modelo mental es parte del mundo
construido del individuo.
Un modelo mental es una de las percepciones o representaciones que tiene un individuo en
su cabeza respecto de las iteraciones del sistema y del comportamiento que se puede
producir.
Los modelos genéricos, son modelos comunes que se aplican en situaciones diferentes y
los resultados de su aplicación son independientes en la escala del tiempo.
La aproximación del modelo al sistema es por sometimiento experimental mediada con un
sistema de computo, dando pie al modelo de simulación que es usado en lugar del sistema
real para determinar como el sistema responderá a los cambios en su estructura, ambiente, o
suposiciones fundamentales. Por simulación se entiende que es el proceso de solución paso
a paso; donde las instrucciones (ecuaciones del sistema) colectivamente conforman el
modelo de simulación.
En el modelo de simulación se pueden establecer parámetros iniciales, modificarlos en el
tiempo, esto con la finalidad de experimentar con escenarios posibles (“que pasa si”).
Una estrategia es un camino basado en un diseño de políticas, que aplicadas al sistema
dentro de un escenario intentan producir resultados orientados a la meta.
El simular puede favorecer a una resolución creativa del problema, predecir resultados,
registrar variaciones del sistema, promover soluciones totales, puede ser barata, ayuda a
cuantificar mediciones de actuación, y logra servir como un medio de comunicación. El
(Lasso, 1998) “Hay un mundo real exterior al individuo, compuesto por objetos (físicos, sociales y
metaobjetos) y la persona a lo largo de su vida, mediante la experiencia de esos objetos los va interiorizando
en su cerebro, los guarda en su memoria. Eso es el mundo construido, las representaciones mentales y los
significados que las personas han ido construyendo de los objetos que existen en el mundo real, ”
(Harrington & Tumay, 2000)

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A-4
proceso de simulación es por lo tanto una herramienta de negocios para hacer las mejores
decisiones.
Los diagramas de flujo y hojas de cálculo son insuficientes ante la basta cantidad de
escenarios y resultados para problemas demasiado complejos como: la cadena de
suministro, desarrollo de nuevos productos, y servicio al cliente; en la cual la interacción de
procesos, productos y servicios sobre el tiempo son difíciles de evaluar; sin la ayuda de un
modelo para computadora, De tal manera que, no se podría responder fácilmente a las
preguntas “¿cómo?”, “¿cuándo?”, “¿qué pasa si?”.
El modelo mental y el modelo por computadora se acondicionan mutuamente en el proceso
de simulación y en forma de espiral van convergiendo hacia un camino evolutivo.
Dinámica de sistemas es una metodología usada para comprender como los sistemas
cambian en el tiempo. El término dinámica se refiere a cambiar sobre el tiempo. El término
sistema es definido como una colección de elementos que continuamente interactúan en el
tiempo para formar una totalidad unificada. Un sistema estático se dice que es cuando no
se producen cambios en el sistema bajo influencia del tiempo, a lo mismo que es inmutable.
Entendimiento
Deductivo
Supone
Estructura del Comportamiento
sistema del sistema
Produce
Entendimiento
Inductivo
Estructura del sistema, se llama así a las relaciones correspondientes y a las conexiones
del sistema. “Una estructura o teoría es esencial si estamos efectivamente
interrelacionando e interpretando nuestras observaciones en cualquier campo del
conocimiento. Sin una estructura integradora, la información es un montón de fragmentos
(Forrester, 1990)

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A-5
desbalagados. Sin una estructura organizada el conocimiento es una mera colección de
observaciones practicas e incidentes conflictivos.”
Comportamiento del sistema, se refiere a la manera en que los elementos o variables que
componen a un sistema varían sobre el tiempo y depende de cómo las partes que conforman
la estructura estén conectadas. El conocimiento de comportamientos nos remite a la
representación en términos de caja negra, el conocimiento de estructura a caja blanca, y un
conocimiento ligero de ambos a caja difusa u opaca.
Con la estructura del sistema razonando deductivamente se puede predecir la producción de
ciertos comportamientos en el sistema. Para el entendimiento inductivo de un sistema sería
suficiente decir que basándose profundamente en la observación del comportamiento se
puede entender la estructura que causa dicho comportamiento. Resulta evidente que un
cambio en la estructura del sistema podría modificar el comportamiento del sistema.
Taxonomía de abstracción de sistemas
Modelado
Estructural Comportamiento
Redes de Petri, Autómata de estados finitos, Lineal, estático o dinámico, red neuronal,
Modelo en bloque algoritmos genéticos.
Datos Modelo
Valor simbólico, media, varianza, Conceptual, declarativo, funcional,
intervalo, Radio, Número difuso. constructivo, espacial.
De un sistema se pueden sacar varios modelos y cada uno de ellos puede variar en la
técnica de abstracción de acuerdo a la situación o al interés de los elementos que se tengan
sujetos en la observación.
La dinámica de sistemas es una disciplina académica creada por Dr. Jay W. Forrester del
MIT, esta combina la teoría, los métodos y la filosofía para analizar el comportamiento de
los sistemas y surgió de la búsqueda de comprender mejor el campo de la administración,

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A-6
ciencias relacionadas a la ingeniería y gradualmente se ha tornado en una herramienta de
estudio para sistemas sociales, económicos, físicos, químicos, biológicos, y ecológicos.
(Forrester, 1998) La dinámica de sistemas apunta a la formación de diseñadores de
empresas y / o corporaciones cuya virtud será la capacidad de reducir errores en estructura
y plantear políticas menos vulnerables a cambios del entorno, y que dicho sea de una vez
que este perfil profesional esta por encima de los cargos de dirección basados en la
conducción operativa solamente.
Toda institución social es en realidad un sistema complejo. En el diseño de sistemas
sociales se han empleado métodos poco consistentes en los que predomina la intuición y el
debate, este tipo de métodos no constituyen la experimentación de modelado dinámico y en
consecuencia no permite la observación de efectos a largo plazo; ejemplo de ello son
algunos sistemas por computadora, políticas corporativas, organigramas y leyes.
La dinámica de sistemas forma parte de una abstracción estructurada que soporta los
comportamientos cambiantes en el tiempo. Además muestra como una estructura con
realimentación domina en la toma de decisiones a cualquier organización.
Una estructura realimentada es equivalente a los procesos circulares en el que las
decisiones conllevan cambios que influyen en decisiones posteriores. La realimentación
esta vinculada a los procesos recursivos.
Retroalimentación
Consecuencia Acción
Tiempo i Tiempo i+∆t
Inicio Meta
Acción Consecuencia
Tiempo i Tiempo i+∆t
Alimentación de avance

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A-7
La alimentación de regreso (realimentación o retroalimentación) <feedback> es la salida
de un sistema reingresando a su entrada para ser información influyente en un tiempo
posterior. O dicho de otra forma, es el retorno de los efectos o consecuencias de una acción
que influyen al paso siguiente.
Retroalimentación positiva o de reforzamiento <reinforcing feedback vicious cycle>,
es cuando los cambios en la totalidad del sistema realimentado amplifican el estado
original, es decir, el cambio se da en la misma dirección o es directamente proporcional.
Retroalimentación negativa o de balance <counteracting feedback virtuos cycle>, es
cuando los cambios en el sistema retroalimentan opuestamente al cambio original para
atenuar el efecto del cambio opuesto a la causa. El sistema en esta modalidad se estabiliza
hacia un estado que es su meta.
La alimentación de avance <feedforward>, es la implicación de tener el control de la
entrada de un sistema para ser información influyente a la salida en un tiempo anterior. O
dicho de otra forma, son las acciones que se deben tomar para llegar a ciertos efectos o
consecuencias.
Alimentación de avance positiva o de reforzamiento <reinforcing feedforward>, es
cuando una predicción o anticipación aleja al sistema del estado pronosticado, por lo tanto,
es un profecía auto destructiva.
Alimentación de avance negativa o de balance <counteracting feedforward>, es cuando
la predicción o anticipación de un cambio orienta el sistema hacia el estado predicho, es la
profecía que se auto cumple.
Comúnmente, un modelo de dinámica de sistemas es una estructura retroalimentada de
políticas en acción. Las políticas son las normas que mandan las decisiones, son
independientes del tiempo, pueden incluso aplicarse por periodos prolongados y tienen

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A-8
como objetivo representar todas las causas de una acción. Las decisiones se toman en el
momento presente con el fin de producir comportamientos o efectos.
Realimentación con
Información dinámica
Información Políticas Comportamiento del
Decisiones sistema
inicial
La dinámica de sistemas se representa utilizando simbología de la hidráulica y aplica teoría
de control en muchos aspectos.
Símbolo Significado Símbolo gráfico
Nube <Cloud> Representa una fuente o un sumidero (se puede asumir
como inagotable).
Define parcialmente los límites del sistema. Indica la
intrascendencia del origen o destino de un flujo, en
caso de importar el origen o destino debe ser sustituida
por un nivel.
Nivel o variable de Es un símbolo para cualquier cosa que acumule o drene
estado flujos en el tiempo, puede medir en cualquier momento
<Stock, level> un valor físico o intangible (inclusive si no hay
actividad en el sistema).
L = L0 + ∫ (RA − RS ) dt
t
0
L Valor del nivel en cualquier tiempo t
L0 El valor inicial del nivel cuando t=0
t
∫ 0
Es el operador que indica integración o acumulación desde
el tiempo igual a cero hasta el tiempo igual a t de la diferencia de
flujos entrante y saliente.
RA Tasa de flujo que se adiciona
RS Tasa de flujo que se sustrae
dt Es el operador diferencial que representa la pequeña diferencia
infinitesimal en el tiempo que multiplica las tasas de flujos

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A-9
Flujo <Flow, rate> Es la tasa de cambio para un nivel (unidades por
unidad de tiempo). Los flujos son regulados por
posición de cierre de la perilla en la válvula. Los tubos
son los conductores del flujo de entradas y salidas a los
niveles.
Convertidor o Es usado para tomar una entrada de datos y
variable auxiliar manipularlos o convertir esa información en una señal
<Converter> de salida.
El nombre viene porque es usado para convertir cosas
que van a su interior. Dependiendo de la señal
generada por el convertidor una válvula puede abrirse y
permitir flujos bajo ciertas circunstancias.
Conector Un conector es una flecha que permite el paso de
<Connector> información entre convertidores, niveles a
convertidores, niveles a flujos, convertidores a flujos y
viceversa.
Constante o proceso Es usado para especificar valores o condiciones que
de decisión permanecen sin alteración
Pone una lógica asociada a un proceso de decisión ya
sea adicionando o liberando decisiones lógicas.
Variable exógena Indica alguna referencia fuera de a los límites del
sistema.
Vínculo informativo Su empleo es de laso de información a valores
iniciales.
Retraso Este tipo de conector indica que existe un retardo en el
<Delay> flujo de la información. Puede producirse en muchas
formas y lugares.
Las herramientas actuales de simulación para modelos de dinámica de sistemas que operan
con sistema operativo Windows son: witness, promodel, arena, powersim, ithink, y vensim.

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A - 10
El pensamiento causal es la clave para organizar las ideas en dinámica de sistemas puesto
que, en un sistema se aíslan los factores causales y se diagraman para simularse por
computadora.
El elemento esencial del pensamiento causal es el enlace causal; su representación en
diagramas es por medio de flechas, y tiene como finalidad explicar comportamientos
observados de influencias, causas o efectos. El causante indica quien o que esta
ocasionando un comportamiento. La influencia o causalidad es una proporción de reacción
de la consecuencia ante un agente causante. La consecuencia es el resultado o efecto
obtenido.
Influencia o causalidad (+, -, ±)
Causante Consecuencia
Anillo causal Cadena causal cerrada
+ +
Causante Consecuencia
Causante
- Consecuencia
- + -
- Consecuencias
El punto de equilibrio (estado del sistema en el cual ninguna de las variables de nivel esta
cambiando) en un diagrama causal (cadena o anillo) es nulo de establecer debido a que no
se indican parámetros cuantificables (relación de proporción), es por ello que esté tipo de
representación no se emplea en la simulación por computadora, para este fin se emplean los
diagramas de dinámica de sistemas.

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A - 11
Comportamiento Diagrama causal Equivalente en dinámica de sistemas
A mayor causa es + +
+ +
mayor el efecto Causa
Causa Efecto Efecto
+ -
A mayor causa es -
- Causa
menor el efecto Efecto
Causa Efecto
A menor causa es - -
- +
Causa
mayor el efecto Efecto
Causa Efecto
- +
+ -
A menor causa es
Causa
menor el efecto Causa Efecto Efecto
Los componentes básicos de un anillo retroalimentado con orientación a una meta
determinada puede representarse mediante el siguiente diagrama
Acción Condición
Meta Discrepancia
Una metodología de dinámica de sistemas a emplear cuando existe un problema por
resolver o comportamiento indeseable a corregir o evitar, es como sigue:
comparar con (Cavana, 2002) y (Forrester, 1994)

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A - 12
1- Formular el problema a simular, validación del modelo mental.
• Obtener información del mundo construido, es decir, lo que la gente conoce de la estructura o
comportamiento del sistema y las normas para dirigir una decisión.
• Se entrevista a las personas que toman decisiones utilizando el enfoque de estudio de casos.
2- Modelado por pensamiento causal.
3- Proponer un modelo dinámico de simulación para computadora.
• Obtener las ecuaciones del sistema y representarlas en el lenguaje de simulación
4- Ejecutar el modelo, emplear verificación y validación
5- Formular un modelo más completo, ya sea, con refinamiento continuo incremental o
por cambio radical.
6- Planteamiento de metas y políticas, experimentación de escenarios.
7- Obtención de respuestas en el horizonte del tiempo (aprendizaje).
(Validación El acto de determinación del grado en el cual el modelo corresponde al sistema o proceso
real).
(Verificación El acto de demostración que un modelo de simulación esta trabajando como se pretende)

Anexo A Introducción a la dinámica de sistemas A - 13
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Anexo
Deffiiniiciiones sobre Conttabiilliidad
De n c ones sobre Con ab dad
“The process of identifying, measuring, and communicating economic information to
American
permit informed judgments and decisions by users of the information”
Accounting
“El proceso de identificar, medir, y comunicar información económica que permita
Association
juicios y decisiones informadas por los usuarios de la información”
“Accounting is a service activity. Its function is to provide quantitative information,
primarily in nature, about economic entities that is intended to be useful in making
Accounting
economic decisions”
Principles Board
“Contabilidad es una actividad de servicio. Su función es proveer información
(AICPA)
cuantitativa, primordialmente en naturaleza, acerca de entidades económicas que
este orientado a ser útil en las decisiones económicas”
“La contabilidad puede definirse como un sistema de información que proporciona
(Warren. Reeve &
reportes a los interesados sobre las actividades y condiciones económicas de un
Fess, 2000)
negocio”
“Definimos la contabilidad financiera como una técnica mediante la cual
obtendremos, en forma sistemática y estructurada, información cuantitativa
(Romero, 1995) expresada en unidades monetarias de las transacciones que realiza una entidad
económica y de ciertos eventos económicos identificables y cuantificables que la
afectan, para que los usuarios puedan tomar decisiones relacionadas con esa entidad
económica”
“Accounting is an information system that measures, processes, and communicates
information, primarily financial in nature, about an identifiable economic entity for
the propose of making economic decisions”
(Needles,1984)
“Contabilidad es un sistema de información que mide, procesa, y comunica
información, primeramente financiera en naturaleza, acerca de una entidad
económica identificable con el propósito de hacer decisiones económicas”
Priinciipiios conttablles generallmentte acepttados
Pr nc p os con ab es genera men e acep ados
La actividad económica es realizada por entidades independientes, las cuales tienen
Entidad personalidad jurídica propia y distinta de la de sus dueños, socios o accionistas. Por
ello, la información financiera deberá ser relativa a una entidad económica

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B-2
independiente de otras entidades; sin incluir o revolver bienes, derechos o capital de
la empresa, con los socios o dueños de la misma.
Indica la razón por la cual se debe de registrar una operación o evento económico.
Son tres situaciones las que provocan que una operación o evento se registre: 1)
Realización cuando se han realizado transacciones de la entidad con otras entidades 2) cuando se
han realizado transacciones internas en la entidad 3) cuando se identifiquen y
cuantifiquen eventos externos a la entidad. Se requiere hacer un proceso de ajustes al
término del periodo contable.
Señala cuando una operación o evento debe ser registrado, siendo esto cuando una
Periodo contable
transacción se haya realizado, considerando tanto el registro de la misma como su
inclusión de los estados financieros en la fecha o el periodo en que se haya realizado.
Valor histórico
Las adquisiciones de activo deben ser registradas a precio de costo, incluyendo el
original
precio de la factura, más todos los costos y gastos incurridos en la adquisición.
Se cree que una entidad tiene una existencia permanente salvo que se especifique lo
Negocio en contrario, durante la vida de la empresa se debe poder recuperar la inversión y
marcha obtener utilidades. Los estados financieros deben estar presentes, deben incluir los
bienes y derechos de la entidad representados a precio de costo, sin incluir precios de
liquidación.
Para realizar negocios la entidades necesitan recursos, mismos que proceden de
Dualidad
ciertas fuentes y que tienen ciertos derechos sobres los recursos existentes. Las
económica
fuentes pueden ser externas o internas. Los activos son los recursos, pasivos son las
fuentes externas, capital son las fuentes internas.
La revelación debe ser suficiente, para que los usuarios puedan utilizar la información
Información
financiera, debe ser presentada de forma clara y comprensible, para juzgar los
resultados de la operación y la situación financiera de la entidad.
La información debe mostrar aspectos importantes de la entidad en cantidades
Importancia
monetarias, se debe equilibrar el detalle y la multiplicidad de los datos con los
relativa
requisitos de utilidad y finalidad de la información. Implica que un error puede
tratarse de una manera fácil.
Para poder conocer la evolución de una entidad, determinar su posición o para poder
Comparabilidad compararla con otras, es necesario que la información sea obtenida bajo los mismos
procedimientos, principios y reglas particulares, se debe señalar el efecto que los
cambios en la información producen.

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B-3
Méttodo de conttablle de lla parttiida doblle
Mé odo de con ab e de a par da dob e
Las evidencias de principios de contabilidad más antiguos se remontan a la civilización
del pueblo sumario del antiguo valle de Mesopotamia, la evolución en la forma de
registrar transacciones e impuestos cruzó pueblos como el egipcio, chino, griego, e inglés
hasta la era medieval en su época del Renacentismo en Italia.
Fue hacía 1458 que Benedetto Cotrugli escribió el libro: Delia Mercatura et del
Mercante Perfetto, en el cual describía muchas características de la partida doble1, sin
embargo, la publicación fue realizada casi un siglo después.
Lucio Paciola (Paccioli Lucas, Paciuolo, Luca de Borgo, Fray Luca Bartolomes Pacioli)
en 1494 publicó el libro Summa de arithmetica, geometría, proportioni et
proportionalita. El registro de libros fue tan sólo un capitulo de cinco tópicos cubiertos.
A lo que él publicó se le conocía como el método veneciano, pues así era como
ordinariamente actuaban los mercaderes. Él declaraba que un comerciante exitoso
necesitaba de tres cosas: suficiente efectivo o crédito, una buena teneduría de libros y un
sistema contable que permita ver las finanzas desde el comienzo.
El Memorial o memorandum, fue el equivalente de Pacioli al libro diario actual, era
usado para ordenar las transacciones en forma cronológica.
El libro auxiliar (libro de asientos) fue el libro privado contable del mercader. Los
asientos consistían de la narrativa de los debitos o créditos y la explicación en un párrafo
contiguo. Este libro solo contenía una columna. No había asientos compuestos.
El libro mayor de Pacioli era muy similar al equivalente moderno. Tanto las columnas del
dinero como las de fecha eran similar a las del libro mayor moderno, los asientos
consistían de breves párrafos, los debitos (deve dare) estaban al lado izquierdo y los
créditos (deve avere) al lado derecho.
1
http://www.acaus.org/history/index.html

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B-4
Para el mercader de aquella época obtener o conceder crédito fueron medios valiosos
para acumular riquezas.
Finalmente la contabilidad toma importancia como profesión en Escocia desde el siglo
XIX y termina consolidándose en los Estados Unidos de América en el siglo XX.
Actualmente las transacciones en negocios pueden resumirse a manera de ciclo en los
siguientes pasos (Warren, Reeve & Fess, 2000):
1- Una persona autoriza la posible realización de la transacción.
2- La transacción se realiza y se redactan documentos que registran los detalles.
3- Se registra la transacción en el libro diario.
4- Se transcriben las cuentas al libro de mayor.
El sistema de la partida doble de la contabilidad (en inglés double entry) esta basado en
el principio de la dualidad, significa que para todo evento de importancia económica
existen dos aspectos: esfuerzo y recompensa, sacrificio y beneficio, fuentes y usos. En
este sistema cada transacción debe ser registrada dos veces.
El método consiste en determinar si:
1- La transacción afecta un activo, pasivo, capital contable.

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B-5
2- La transacción constituye un incremento o decremento en la cuenta que afecta.
3- El incremento o decremento debe registrarse en el debe o en el haber.
La partida doble actualmente usando métodos manuales se registra en esquema de
mayor (debido a la semejanza con el libro mayor) o cuenta T, son históricamente
diferentes nombres los que se han empleado para significar a cada una de estas columnas,
como a continuación se puede observar.
La cuenta T esta constituida de tres partes:
1- Titulo, el cual debe describir si corresponde a activo, pasivo, o al capital.
2- Lado izquierdo “debito”.
3- Lado derecho “crédito”.
Titulo Cuenta X
Debito Crédito d1 h1
-Deve Dare- -Deve Avere- d2 h2
Dar Tener d3 h3
Debe Haber … …
Cargo Abono dn hn
Monto deudor Monto acreedor
n n
∑ di ∑ hi
i =1 i =1
Saldo deudor Saldo acreedor
(Monto deudor > (Monto acreedor >
Monto acreedor) Monto deudor)
Cuenta saldada o cerrada
El funcionamiento esencial de la cuenta T es, que la suma de los debitos debe ser igual a
la suma de los créditos. Al realizar la sumatoria de cargos y la sumatoria de abonos
(llamadas monto deudor y monto acreedor) hay que determinar cual sumatoria es
mayor, al monto mayor se le resta el monto menor para obtener el saldo. Se llama saldo
deudor si el monto deudor fue superior al monto acreedor; caso contrario es el saldo
acreedor. La cuenta saldada se produce cuando el valor del monto acreedor es igual al
valor del monto deudor.

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B-6
La misión de las cuentas consiste en la divulgación de resultados, dejando a
conveniencia la condensación y resumen de detalles de las transacciones. Dígase
enfáticamente, es un procedimiento abreviado para anotar.
“Las cuentas son registros que recogen las variaciones experimentadas en un elemento
patrimonial, y ponen de manifiesto su situación en una fecha determinada. Son
instrumentos de representación patrimonial” (Warren, Reeve & Fess, 2000).
Estos son algunos de los sentidos que se pueden tener del concepto de cuenta
Nominal Como ejemplo, el capital se forma de aportación
Formal Por ejemplo con el esquema T se tiene el objetivo de reflejar la situación inicial del elemento
patrimonial y las variaciones posteriores del elemento patrimonial.
Fondo Representación en momentos dados, ejemplo de esto es el balance que dice el patrimonio total,
un saldo deudor en caja dice el dinero disponible.
Según recapitula (Kam, 1986) las cuentas se pueden clasificar de acuerdo a la naturaleza
que las enfoca, desembocando en las siguientes teorías:
Personalista (jurídica) Formalizada por Giusseppe Cerboni en 1873. “Quien recibe debe y quien entrega acredita”.
Se divide en dos partes: propietario y gestor. En propietario sólo existen relaciones, en
gestor no existe relación entre gestores.
Materialista Propuesta por Fabio Besta. “Anotar en el debe el importe de lo que entra y en el haber lo que
(económica o sale”.
controlista)
Matemática Se sustenta en el razonamiento jurídico o económico “El álgebra es suficiente para explicar
la mecánica contable”
A=P+C; A0=P0+C0…An=Pn+Cn
Economigráfica Pierre Garnier. “origen o financiación (causa) y un fin o concreción del hecho (efecto)”
Ahora bien, la clasificación de cuentas de activo, pasivo y capital es como los siguientes
diagramas muestran
La teoría matemática tiene como aporte la ecuación contable de balance, Activo es igual a Pasivo más
Capital (A = P + C).

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B-7
Activo
Realizable
Recursos que posee un negocio Proveedores, mercancías en tránsito, clientes, documentos
por cobrar, deudores diversos, IVA acreditable, Almacén,
Rentas pagadas por anticipado, intereses pagados por
anticipado, anticipo a proveedores
Circulante
Bienes y derechos con
movimiento constante o
rotación Disponible
Caja, bancos, Inversiones temporales, Fondo de caja chica
No circulante Intangible
No existen físicamente, no se venden y son instrumentos de largo
plazo
Patentes, derechos de propiedad intelectual y marcas registradas, crédito
mercantil
Diferido
Gastos pagados por anticipado para recibir un servicio
Gastos de instalación, papelería y útiles, propaganda y publicidad, primas de
seguros, rentas pagadas por anticipado, intereses pagados por anticipado
Fijo
Bienes y derechos con el propósito de usar y no vender
Terrenos, edificios, Mobiliario y equipo de oficina, equipo de reparto,
depósitos en garantía, acciones y valores, documentos por cobrar a largo
plazo, equipo de cómputo
Capital contable Ingreso neto - Utilidades retenidas
Los derechos de los propietarios al Venta de servicios o productos a los clientes
activo neto Suscripciones, máquinas expendedoras automáticas
Capital ganado
(Déficit) Gastos – pérdidas acumuladas
Activos utilizados o servicios consumidos durante el
proceso de generación de ingresos
Teléfono, entregas, sueldos, honorarios, papelería
Inversiones – Retiros
Capital contribuido Entrada o salida de un socio o accionista, pago de utilidades,
donaciones, prima en venta de acciones

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B-8
Pasivo Circulante o flotante
Derechos de los Deudas y obligaciones menores a un año
acreedores Proveedores, documentos por pagar, acreedores diversos, ISR, rentas cobradas por anticipado, IVA
causado, anticipos de clientes
No circulante
Fijo o consolidado
Deudas y obligaciones con vencimiento mayor de un año a
partir del balance
Hipotecas por pagar, documentos por pagar, acreedores bancarios
Créditos diferidos
Cantidades cobradas anticipadamente
Rentas cobradas por anticipado, intereses cobrados por anticipado
Los aumentos o disminuciones para las cuentas en el sistema de partida doble pueden
asociarse al estado de posición financiera y al estado de resultados como se muestran en
la agrupación siguiente
Cuentas del estado de posición financiera
Cuentas de activo Cuentas de pasivo
Debe para los Haber para los Debe para los Haber para los
incrementos decrementos decrementos incrementos
Cuentas de capital contable
Debe para los Haber para los
decrementos incrementos
Cuentas del estado de resultados
Cuentas de egresos Cuentas de ingresos
Debe para los Haber para los Debe para los Haber para los
incrementos decrementos decrementos incrementos
En el libro diario se lleva a cabo el registro de transacciones (los asientos). El libro
diario consta de cuatro columnas: fecha, referencias al libro mayor, explicación, debito, y
crédito.
El grupo de cuentas de una empresa es llamado libro mayor. A la lista de las cuentas se
le conoce como catálogo de cuentas.

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B-9
Ordinariamente, el grupo de cuentas es un método sistemático para identificar y
localizar cada cuenta de mayor, es un código de cuentas definido por el personal contable
o por la aplicación computacional. Como principal característica debe ser flexible a
posibles expansiones sin que produzca mayores cambios al sistema.
El catálogo de cuentas puede clasificarse también de las siguientes formas: numeración
decimal para grupos y subgrupos, número corrido a cada una de las cuentas, nemotécnico
para cada una de las cuentas, alfabético para cada cuenta, forma combinada. Por ejemplo:
Grupo de cuentas Dos dígitos Tres dígitos
1. Activos 10-19 100-199
2. Pasivos 20-29 200-299
3. Capital 30-39 300-399
4. Ingresos 40-49 400-499
5. Egresos 50-59 500-599
Para tener la certeza de no haber cometido errores u omisiones en el ejercicio contable se
debe comparar y verificar que existe igualdad entre el debe y el haber del libro mayor. A
esto se le conoce como balanza de comprobación.
Dentro de este ciclo contable, es necesario antes de llegar a la balanza de comprobación
de cierre realizar actualizaciones conocidas como ajustes. Un asiento de ajuste aplica a
cuentas del libro mayor que requieren actualización, esto implica una cuenta de ingresos
o una de gastos; y además una de pasivo o de activo.
Tipo de ajuste Asiento de ajuste cargo Asiento de ajuste abono
Gasto diferido Gasto Activo
Ingreso diferido Pasivo Ingreso
Gasto acumulado Gasto Pasivo
Ingreso acumulado Activo Ingreso
Activos fijos Gasto Cuenta complementaria de activo

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B - 10
Ajustes
Diferimientos Gastos pagados por anticipado (gastos diferidos)
Posterga o difiere el Son partidas registradas como activo cuyo fin es la conversión a
reconocimiento de un gastos con el tiempo o a través de operaciones normales
gasto o ingreso Materiales. Seguros, publicidad, e intereses, todos pagados por anticipado
Ingresos no devengados (ingresos diferidos)
Son partidas registradas como pasivo que se esperan como ingreso
con el tiempo o a través de operaciones normales.
Colegiaturas, honorarios anuales, suscripciones, primas de aseguradoras
Acumulaciones Gastos acumulados (pasivos acumulados)
Se generan por un gasto Son gastos en que se incurrió pero no se han registrado en las
no registrado incurrido o cuentas
por un ingreso no Sueldos y salarios acumulados adeudados al final del periodo,
registrado que se ha impuestos acumulados, intereses acumulados de documentos por pagar,
gasto de depreciación (depreciación acumulada)
Ingresos acumulados (activos acumulados)
Son ingresos que se han devengado pero no se han registrado en
las cuentas
Servicios que fueron prestados y aún sin facturar al cliente, comisiones
no facturadas, rentas acumuladas
La hoja de trabajo es una herramienta auxiliar que sirve para llevar de manera más
ordenada la información condensada.
No Nombre Balanza Ajustes Saldos Perdidas y Balance general
cuenta comprobación Ajustados ganancias
Debe Haber Debe Haber Debe Haber Debe Haber Debe Haber
1 Cuenta 1 a1d a1h b1d b1h c1d= c1h= d1d= c1d d1h= e1d= e1h= c1h
a1d + a1h + c1h c1d
b1d b1h
2 Cuenta 2 a2d a2h b2d b2h c2d= c2h= d2d= c2d d2h= e2d= e2h= c2h
a2d + a2h + c2h c2d
b2d b2h
3 Cuenta 3 a3d a3h b3d b3h c3d= c3h= d3d= c3d d3h= e3d= e3h= c3h
a3d + a3h + c3h c3d
b3d b3h
… … … … … … … … … … …
n Cuenta n and anh bnd bnh cnd= cnh= dnd= cnd dnh= end= enh= cnh
and + anh + cnh cnd
Sólo se aplica para cuentas que contengan ajustes
Incluye unicamente a las cuentas de ingresos y egresos
Se incluyen las cuentas de activo, pasivos y de retiros de capital

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B - 11
bnd bnh
n n n n n n n n n n
∑ ai d ∑ ai h ∑ bi d ∑ bi h ∑ ci d ∑ ci h ∑ di d ∑ di h ∑ ei d ∑ ei h
i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1
Ganancia Ganancia
es si es si
n n
∑ di h - ∑ ei d -
i =1 i =1
n n
∑ di d >0 ∑ ei h >0
i =1 i =1
Esttados ffiinanciieros
Es ados nanc eros
Estados Financieros Nivel de rentabilidad
Indica capacidad de crecimiento, estabilidad y redituabilidad
Estado de capital contable
Resumen de cambios en el capital contable en un periodo especifico
Estado de resultados
Resumen de ingresos y gastos de un periodo especifico
Estado de flujos de efectivo
Resumen de efectivo recibido y pagado durante un periodo
Balance general
Lista de activos, pasivos y capital contable en una fecha especifica
Cambios en el capital contable
Cambios en la inversión de los propietarios
Nivel de rentabilidad
Reporta principalmente la capacidad de crecimiento, estabilidad y redituabilidad a las
fuentes de financiamiento.
Estado de resultados
Puede estar designado como: estado de pérdidas y ganancias, cuenta de ingresos, estado
de ingresos, estado de rendimiento, utilidades y pérdidas, estado de ganancias, estado de
gastos y productos, estado de productos, resumen de ingresos y cuenta de capital, cuenta
de pérdidas y ganancias, estado mercantil de utilidades y pérdidas. Informa si ocurre un

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B - 12
excedente de ingresos sobre gastos a lo que se llama como utilidad neta (ingreso neto)
caso contrario se llama pérdida neta.
Empresa de Empresa comercial Empresa maquiladora
servicios
Honorarios Ventas netas (ventas totales – devoluciones, descuentos o rebajas Ventas netas
devengados sobre ventas)
- Gastos de - Costo de los productos vendidos (inventario inicial – inventario -Costo marginal de ventas
operación final + compras netas {compras totales [compras + gastos sobre (costo directo, variable o
compra] – devoluciones, descuentos y rebajas sobre compra}) marginal de ventas)
Utilidad neta Utilidad bruta (Utilidad de ventas) Utilidad marginal en ventas
netas
- Gastos de operación (gastos de ventas + gastos administrativos ± - Costos marginales de
pérdida o utilidad en gastos y productos financieros) distribución
Utilidad de operación Utilidad Marginal
± pérdida o utilidad en otros ingresos y otros gastos - Costos fijos de producción
- Costos fijos de distribución
Utilidad antes de impuestos y provisiones Utilidad antes de impuestos y
provisiones
- Provisión para ISR - Provisión para ISR
- PTU - PTU
Utilidad neta Utilidad neta
Estado de capital contable
Informa de cambios en el capital contable durante un periodo. Se elabora después del
estado de resultados, por que ya sea pérdida o utilidad del periodo debe registrarse en el
capital contable.
Balance general
También es conocido como: estado financiero, estado de recursos y obligaciones, estado
de activo, pasivo y capital, estado de situación financiera, estado de capital neto. Se
elabora después del capital contable pues debe contener este monto.
Existen dos formas:
Forma de cuenta, los activos se colocan del lado izquierdo y los pasivos y capital en el
lado derecho, como la ecuación contable.
Forma de reporte, los pasivos y capital se muestran debajo de los activos.
Estado de flujos de efectivo
Flujos de efectivo de las actividades de operación
Informa sobre las entradas y pagos de efectivo relacionados con la operación.

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B - 13
Flujos de efectivo de las actividades de inversión
Informa sobre la adquisición y venta de activos fijos realizada en efectivo.
Flujos de efectivo de las actividades de financiamiento
Informa sobre las inversiones o retiros del propietario, y de prestamos en efectivo.
Cambios en el capital contable
Muestra los movimientos que ha experimentado la inversión de los propietarios.
Insttrumenttos de análliisiis e iintterprettaciión de lla siittuaciión ffiinanciiera
Ins rumen os de aná s s e n erpre ac ón de a s uac ón nanc era
Indica la capacidad para cumplir con las
Capital de trabajo Activos circulantes – Pasivos circulantes
obligaciones en proceso de vencimiento
Indica la capacidad para cumplir con las
Razón de circulante Activos circulantes
obligaciones en proceso de vencimiento (corto
(liquidez) Pasivos circulantes
plazo)
Indica la capacidad inmediata de pago de
Prueba del ácido Activos rápidos
deudas. Activo rápido = activo circulante –
(liquidez) Pasivos circulantes
Inventario – Pagos por anticipado
Razón de endeudamiento Pasivos totales Mide la porción de activos financiados por
(apalancamiento) Activos totales deuda
Razón de activos fijos y Activos fijos (neto) Indica el margen de seguridad para los
pasivos a largo plazo Pasivos fijos acreedores a largo plazo
Protección al pasivo Capital contable Mide la protección de propietarios a los
circulante Pasivo circulante acreedores
Total capital contable
Autonomía financiera Indica el grado de financiación propia
Activos totales
Pasivos exigibles Indica la relación entre la financiación propios y
Endeudamiento
Total de capital contable la ajena
Razón de pasivos y capital
Total de pasivos Indica el margen de seguridad para los
contable de accionistas
Total de capital contable acreedores a largo plazo
(apalancamiento)
Razón de ventas netas y Ventas netas Mide la eficiencia con la que una empresa utiliza
activos Promedio total de activos sus activos para generar ventas
Margen de utilidades sobre
Utilidad neta (después de impuestos ) Es el ingreso producido por cada dinero de
ventas
Ventas ventas
(rentabilidad)
Rendimiento sobre el
Utilidad neta (después de impuestos ) Es el ingreso que produce del dinero de los
activo total
Activos totales activos
(rentabilidad)

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B - 14
Rendimiento sobre el
Utilidad neta ( después de impuestos ) Mide el aprovechamiento de la inversión de los
capital contable
Capital contable propietarios
(rentabilidad)
Rendimiento sobre el
Utilidad neta (después de impuestos) Mide el aprovechamiento en ingresos que tiene
activo fijo
Activo fijo el activo fijo
(rentabilidad)
Rotación de activo fijo Ventas Mide la eficiencia de los activos fijos para
(actividad) Activo fijo producir ventas
Rotación del activo total Ventas Mide la eficiencia de todos los activos para
(actividad) Activo total producir ventas
Rotación del capital de
Ventas Mide la eficiencia de todos los activos para
trabajo
Capital de trabajo producir ventas
(actividad)
Apalancamiento de las Ventas netas
Indica el ingreso que produce el endeudamiento
ventas Pasivo total
Intereses
Costo de capital Indica lo que esta costando el endeudamiento
Pasivo total
Fuenttes de ffiinanciiamiientto
Fuen es de nanc am en o
Recursos Fuentes Interno Autogenerado
(Dualidad Utilidades netas, depreciaciones, Amortizaciones
económica)
Negociado
Cobranza acelerada, reservas de pasivo, reservas de superávit,
capitalización de utilidades
Externo
Pasivos (créditos y préstamos)
Crédito comercial natural, préstamos directos, préstamos
con garantía colateral, préstamos hipotecarios, préstamos
prendarios, arrendamiento financiero, descuento de
documentos comerciales
Capital social y donativos
Aumento de inversión de propietarios, dueños, accionistas o
socios; donativos diversos
Ell vallor dell diinero en ell ttiiempo
E va or de d nero en e empo
El pago de intereses es un costo asociado con el tiempo, tan sólo recordar la expresión
“el tiempo es dinero”. Por lo tanto, el interés es el costo asociado con el uso del dinero

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B - 15
para un periodo de tiempo específico. Esta perspectiva es vista para los bonos por pagar,
inversiones en bonos, pago de intereses por préstamos, depreciaciones de activo, etc.
El interés, el valor y el tiempo, dan origen a términos conocidos como valor presente y
valor futuro. El valor presente es la cantidad que debe ser invertida ahora por una tasa de
interés dada para producir un valor futuro. Mientras que, valor futuro es la cantidad que
tendrá un inversionista por valor a una fecha futura si es invertida con interés simple o
compuesto. El término de valor pasado prácticamente no es usado.
Valor
Tiempo
Interés simple
El objetivo es obtener un producto financiero, es el rédito que produce un capital prestado
Vf = Vp(1 + i )
La cantidad por costo de interés permanece igual de periodo en periodo cada vez que se
calcula. Monto = Capital + (Capital * Tasa de Interés)
Interés compuesto
El objetivo es ganar intereses sobre los intereses durante ciertos periodos de
capitalización y aplica para dos o más periodos. Monto compuesto = Capital inicial +
Intereses
Ordinaria Progresión geométrica Progresión aritmética
(tasa de interés fija) (tasa de interés variable) (tasa de interés variable)
Vf n = Vp∏ (1 + i j )
n n
Vf
Vf = Vp (1 + i ) n Vf n = Vp + ∑ Vf j −1i j
j =1 j =1
Para validar funcionamiento, ver Anexo C Demostraciones matemáticas

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B - 16
n 1  ij  1  ij 
 i 
Vp Vp = Vf 1 −  Vp = Vf n ∏ 1 −  Vp = Vf n − ∑ Vf j  
 1+ i   1+ i
j =n 
 1+ i 
j  j =n  j 
Vf valor futuro de la inversión al final de los n periodos, i tasa de interés, Vp valor presente,
cantidad inicial o invertida al principio del periodo, n número de periodos de capitalización
Variias deffiiniiciiones
Var as de n c ones
Depreciación
Se reconocen dos tipos de depreciación:
Física: ocurre a consecuencia del uso y desgaste, así como por perjuicio ambiental.
Funcional: ocurre cuando el activo fijo ya no ofrece el servicio al nivel que cuando se
adquirió (obsolescencia, desuso).
Un activo fijo tiene tres valores: costo inicial, vida útil esperada, valor de desecho (valor
residual). Costo inicial – valor residual = costo depreciable
El costo despreciable se distribuye a lo largo de la vida útil como gasto de depreciación.
Los métodos de depreciación más populares son: por línea recta, por unidades
producidas, saldos decrecientes, y tasa compuesta.
Se carga a la cuenta de gasto de depreciación y se abona a depreciación acumulada
(contra cuentas o cuentas complementarias)
La formula para depreciación por el método de tasa compuesta según (Moore, 1964) es:
i
P = S (1 − d ) y considerando d =
n
(donde d es la tasa efectiva de descuento)
1+ i
Amortización
Su contexto es muy similar a la depreciación pero aplica solamente para cuentas de
gastos. Por ejemplo: gastos de constitución, gastos de organización, gastos de instalación,
etc.

Anexo B Introducción a la contabilidad financiera B - 17
Referencias:
AICPA, (2002), American Institute of Certified Public Accountants,
http://www.acaus.org/history/index.html
Arbones Malasi, Eduardo A., (1999), “Ingeniería Económica”, Alfaomega marcombo, México, ISBN 970-
15-0474-7
Ballestero, Enrique, (1983), “Teoría y estructura de la nueva contabilidad”, Alianza Universidad textos,
España, ISBN 84-206-8016-8
Barragán Flores, Laura, (1992), “La evolución de la contabilidad desde su nacimiento hasta nuestros días”,
Tesis profesional de Lic. Contaduría Pública, Universidad ITESO, México
Blanes Prieto, Joaquín, (2000), “Diccionario de términos contables”, CECSA, México, ISBN 970-24-0061-
9
Cashin, James A., Tener, Joel J., (1976), “Contabilidad 1”, Mc Graw Hill - Series Shaum, México, ISBN 0-
07-090915-6
Elizondo Cantú, C.P. José Luis, (1994), “Debe y haber, Fray Luca da Borgo Pacioli ¡No se equivoco!”,
Revista Contaduría Pública, Mayo 1994, Año 22, No. 261
Hernández Hernández, Abraham, Hernández Villalobos, Abraham, (1998), “Formulación y evaluación de
proyectos de Inversión”, ECAFSA, México, ISBN 968-7681-68-3
IMCP, (2002), Instituto mexicano de Contadores Públicos, http://www.imcp.org.mx
Kam, Vernon, (1986), “Accounting theory”, John Wiley & sons, USA, ISBN 0-471-62790-9
Keown, Arthur J., Scott, David F., Martin, John D., Petty, J. William, (1994), “Foundations of Finance
(The Logic and Practice of Financial Management)”, Prentice Hall, USA, ISBN 0-13-211087-3
Lara Flores, Elias, (1990), “Primer curso de contabilidad”, Trillas, México, ISBN 968-24-3997-3
Moore, J.H., (1964), “Manual de matemáticas financieras”, UTEHA, México
Needles, Belverd E., Anderson, Henry R., Caldwell, James C., (1984), “Principles of accounting”,
Houghton Mifflin Company, USA, ISBN 0-395-34329-1
Rice, Anthony, (2001), “Contabilidad, usos básicos y aplicaciones prácticas en las empresas”, Prentice
Hall, México, ISBN 970-26-0029-4
Romero López, Álvaro Javier, (1995), “Principios de contabilidad”, Mc Graw Hill, México, ISBN 970-24-
0060-7
Warren, Carl S., Reeve, James M., Fess, Philip E., (2000), “Contabilidad financiera”, International
Thompson Editores, México, ISBN 968-7529-62-8

Anexo
Ell probllema de fformullaciión dell vallor dell diinero en ell ttiiempo
E prob ema de ormu ac ón de va or de d nero en e empo
Demostrar el origen de la obtención de formulas planteadas para el valor del dinero es el fin
de este anexo.
El siguiente esquema ilustra los ciclos de conversión del valor del dinero en el tiempo
Valor pasado Valor presente Valor futuro
En la práctica común solamente se emplean las transformaciones de valor presente a valor
futuro ( Vp a Vf ) y de valor futuro a valor presente ( Vf a Vp ), omitiendo importancia al
→ →
valor pasado. Cuando se considera una estructura genérica en un intervalo de tiempo
conservando sus propiedades y se desplaza su utilización en la escala del tiempo, puede
creerse que su comportamiento será similar. Bajo este criterio es que cotidianamente se
acuda como recurso cuando se desea transformar de valor pasado a valor presente; es decir,
se le encuentra equivalencia a las estructuras que conservan las formulas de valor presente a
valor futuro ( Vpasado a Vp ≅ Vp a Vf ), de similar modo se intuye que la transformación
→ →
de valor futuro a valor presente es equivalente a la transformación de valor presente a valor
pasado ( Vf a Vp ≅ Vp a Vpasado ).
→ →
Tradicionalmente las transformaciones de valor son de valor presente a valor futuro
( Vp a Vf ) y de valor futuro a valor presente ( Vf a Vp ), omitiendo cualquier
→ →

Anexo C Demostraciones matemáticas C-2
importancia al valor pasado. La razón más probable es que la forma de transformar de valor
pasado a valor presente es equivalente a la de valor presente a valor futuro
( Vpasado a Vp ≅ Vp a Vf ), de similar modo la transformación de valor futuro a valor
→ →
presente es equivalente a la transformación de valor presente a valor pasado
( Vf a Vp ≅ Vp a Vpasado ).
→ →
La conversión de valor pasado a valor futuro ( Vpasado hasta Vf ) se puede tener del
→

equivalente como conjunción de las transformaciones de valor pasado a valor presente y de
valor presente a valor futuro ( Vpasado a Vp ∧ Vp a Vf ). Y análogamente de valor futuro
→ →
hasta
a valor pasado ( Vf  → Vpasado ) se conjunta las transformaciones de valor futuro a valor

presente y de valor presente a valor pasado ( Vf a Vp ∧ Vp a Vpasado ).
→ →
Las transformaciones del valor del dinero en el tiempo están condicionadas a la tasa de
interés que puede ser constante o variable. En el caso de la tasa de interés constante la
representación es en la forma ordinaria. Cuando la tasa de interés fluctúa hay dos formas de
representar la ecuación, ya sea por progresión geométrica o por progresión aritmética. La
progresión geométrica es útil cuando se desea interactuar con el factor de capitalización,
mientras que la progresión aritmética es provechosa cuando se manipula el tránsito de
intereses.
Demosttraciiones para vallor ffutturo
Demos rac ones para va or u uro
Obtención de Vf n = Vp(1 + i )n para tasa de interés constante
Supuesto:
0. a- Vf n = Vp(1 + i ) para n ∈ ; Vp y Vf ∈ i∈
n
Premisas:
1- El valor futuro inicial es igual al valor presente, es decir, el valor futuro al cabo de cero periodos de tiempo
con la tasa de interés fija “i” es igual al valor presente.
1. a- Vf 0 = Vp

Anexo C Demostraciones matemáticas C-3
2- El valor futuro al finalizar un periodo es igual al valor futuro anterior más el monto de los intereses.
2. a- Vf k = Vf ( k −1) + Vf ( k −1) (i )
Desarrollo
3- El valor futuro al finalizar el primer periodo es igual al valor presente más el monto de los intereses
generados por dicho valor presente o valor futuro inicial.
3. a- Vf 1 = Vf 0 + Vf 0 (i ) por la aplicación de premisa 2.a
3. b- Vf 1 = Vf 0 (1 + i )
3. c- Vf 1 = Vp(1 + i ) por la aplicación de premisa 1.a
4- El valor futuro al finalizar el segundo periodo es igual al valor futuro al finalizar el primer periodo más el
monto de los intereses generados.
4. a- Vf 2 = Vf 1 + Vf 1 (i )
4. b- Vf 2 = Vf1 (1 + i )
4. c- Vf 2 = Vp(1 + i )(1 + i ) por la sustitución de 3.c en 4.b
4. d- Vf 2 = Vp (1 + i )
2
5- Antes de llegar al periodo n se tendrá
5. a- Vf ( n −1) = Vf ( n − 2 ) + Vf ( n − 2 ) (i )
5. b- Vf ( n −1) = Vf ( n − 2 ) (1 + i )
5. c- Vf ( n −1) = Vp(1 + i ) (1 + i )
n−2
puede inferirse de 4.c
5. d- Vf ( n −1) = Vp(1 + i )
n −1
6- De continuar de esta forma iterativa podemos inferir que al cabo de n periodos se tendrá
6. a- Vf n = Vf ( n −1) + Vf ( n −1) (i )
6. b- Vf n = Vf ( n −1) (1 + i )
6. c- Vf n = Vp(1 + i ) (1 + i )
n −1
por sustitución de 5.d en 6.b
6. d- Vf n = Vp(1 + i )
n
Vf n = Vp∏ (1 + i j )
n
Obtención de para tasa de interés variable
j =1
Supuesto:
0. a- Vf n = Vp∏ (1 + i j ) para n,j ∈ ; Vp y Vf ∈
n
i∈
j =1
Premisas:
∏ (1 + i ) = (1 + i )(1 + i )L (1 + i )(1 + i )
n
Este símbolo corresponde a la notación de producto, donde j 1 2 n −1 n
j =1

Anexo C Demostraciones matemáticas C-4
1- El valor futuro inicial al cabo de cero periodos de tiempo es igual al valor presente.
1. a- Vf 0 = Vp
2- El valor futuro al finalizar el periodo correspondiente al intervalo (k-1, k) es igual al valor futuro anterior
más el monto de los intereses.
2. a- Vf k = Vf ( k −1) + Vf ( k −1) (ik )
Desarrollo
3- El valor futuro al finalizar el primer periodo es igual al valor presente más el monto de los intereses
generados por dicho valor presente o valor futuro inicial.
3. a- Vf1 = Vf 0 + Vf 0 (i1 ) por la aplicación de premisa 2.a
3. b- Vf1 = Vf 0 (1 + i1 ) sacando Vf0 como factor común
3. c- Vf1 = Vp(1 + i1 ) por la aplicación de premisa 1.a
4- El valor futuro al finalizar el segundo periodo es igual al valor futuro al finalizar el primer periodo más el
monto de los intereses generados.
4. a- Vf 2 = Vf1 + Vf1 (i2 )
4. b- Vf 2 = Vf1 (1 + i2 )
4. c- Vf 2 = Vp(1 + i1 )(1 + i2 ) por la sustitución de 3.c en 4.b
4. d- Vf 2 = Vp∏ (1 + i j )
2
j =1
5- Un periodo antes de llegar al periodo n se tendrá
5. a- Vf ( n −1) = Vp(1 + i1 )(1 + i2 )L (1 + in−1 )
144424443 4 4
n −1 veces
5. b- Vf ( n−1) = Vp∏ (1 + i j )
n −1
j =1
6- De continuar de esta forma iterativa podemos inferir que al cabo de n periodos se tendrá
6. a- Vf n = Vf ( n −1) (1 + in )
6. b- Vf n = Vp∏ (1 + i j )(1 + in ) por aplicar 5.b en 6.a
n −1
j =1
144 442 3
n veces
6. c- Vf n = Vp∏ (1 + i j )
n
j =1
Un caso particular, si en todos los periodos la tasa de interés es la misma, es decir i1 = i2 = L = in −1 = in en
donde Vf n = Vp(1 + i1 ) que esta demostrado en la formula cuando la tasa de interés es constante
n

Anexo C Demostraciones matemáticas C-5
Obtención de Vf n = Vp + ∑ (Vf j −1i j ) para tasa de interés variable
n
j =1
Supuesto:
n
0. a- Vf n = Vp + ∑ Vf ( j −1) i j para n,j ∈ ; Vp y Vf ∈ i∈
j =1
Premisas:
1- El valor futuro inicial al cabo de cero periodos de tiempo es igual al valor presente.
1. a- Vf 0 = Vp
2- El valor futuro al finalizar el periodo en el intervalo (k-1,k) es igual al valor futuro anterior más el monto
de los intereses.
2. a- Vf k = Vf ( k −1) + Vf ( k −1) (ik )
Desarrollo
3- El valor futuro al finalizar el primer periodo es igual al valor presente más el monto de los intereses
generados por dicho valor presente o valor futuro inicial.
3.a- Vf1 = Vf 0 + Vf 0 (i1 ) por la aplicación de premisa 2.a
3. b- Vf1 = Vp + Vf 0 (i1 ) por la aplicación de premisa 1.a
4- El valor futuro al finalizar el segundo periodo es igual al valor futuro al finalizar el primer periodo más el
monto de los intereses generados.
4. a- Vf 2 = Vf1 + Vf1 (i2 )
4. b- Vf 2 = Vp + Vf 0 (i1 ) + Vf1 (i2 ) por la sustitución de 3.b en 4.a
2
4. c- Vf 2 = Vp + ∑ Vf ( j −1) i j
j =1
5- Antes de llegar al periodo n se tendrá
5. a- Vf ( n−1) = Vf ( n −2 ) + Vf ( n−2 ) (i( n −1) )
 
5. b- Vf ( n −1) = Vp + Vf 0 (i1 ) + Vf 1 (i 2 )L + Vf ( n − 3) (i ( n − 2 ) ) + Vf ( n − 2 ) (i ( n −1) )

 1444442444443  
 n − 2 veces 
 
5. c- Vf (n −1) = Vp + ∑ Vf ( j −1) i j  + Vf ( n−2 ) (i( n−1) )
n−2
 
 j =1 
n −1
5. d- Vf ( n −1) = Vp + ∑ Vf ( j −1) i j
j =1
6- De continuar de esta forma iterativa podemos inferir que al cabo de n periodos se tendrá
Esta es otra manera de calcular Vfn para tasa de interés variable. La notación de sumatoria representa
∑ (Vf i ) = (Vf i )(Vf i )L(Vf
n
j −1 j 0 1 1 2
i
n− 2 n−1
)(Vf i
n −1 n
)
j =1

Anexo C Demostraciones matemáticas C-6
6. a- Vf n = Vf ( n−1) + Vf ( n−1) (in )
 n −1

6. b- Vf n = Vp + ∑ Vf ( j −1) i j  + Vf ( n −1) (in )
 
 j =1 
6. c- Vf n = Vp∏ (1 + i j )
n
j =1
Demosttraciiones para vallor presentte
Demos rac ones para va or presen e
Conviene aclarar que la expresión comúnmente representada en las formulas ordinarias de valor presente
n
 1   i 
como 
 (1 + i )n  puede ser sustituida por 1 − 1 + i 

   
Esto en razón a que es más conveniente para mantener una forma lo más parecida a las obtenciones de Vf.
A continuación queda mostrada la construcción de la equivalencia
 1   (1)n   1  n  1 + (i − i )  n  (1 + i ) − i  n  1 + i i 
n
 i 
n
 = =
 (1 + i )n   (1 + i )n   1 + i  =  1 + i  =  1 + i  =  1 + i − 1 + i  = 1 − 1 + i 
        
   
n
Obtención de Vp = Vfn 1 −
i 
  para tasa de interés constante
 1+ i 
Supuesto:
n
 i 
0. a- Vp = Vf n 1 −  para n ∈ ; Vp y Vf ∈ i∈
 1+ i 
Premisas:
1- El valor presente al cabo de regresar cero periodos de tiempo es igual al valor futuro inicial.
1. a- Vp = Vf 0
2- El valor futuro al regresar un periodo (k-1) es igual al valor futuro siguiente menos el monto de los
intereses.
 i 
2. a- Vf ( k −1) = Vf k − Vf k  
1+ i 
Desarrollo
3- El valor presente regresando del primer periodo es igual al valor futuro siguiente menos el monto de los
intereses descontados de dicho valor futuro.
 i 
3. a- Vf 0 = Vf1 − Vf1   de la premisa 2.a
1+ i 

Anexo C Demostraciones matemáticas C-7
 i 
3. b- Vf 0 = Vf1 1 − 
 1+ i 
 i 
3. c- Vp = Vf1 1 −  por la premisa 1.a
 1+ i 
4- El valor presente al regresar del segundo periodo es igual al segundo valor futuro menos el monto del
descuento de intereses.
 i 
4. a- Vf1 = Vf 2 − Vf 2  
1+ i 
 i 
4. b- Vf1 = Vf 2 1 − 
 1+ i 
Vp  i 
4. c- = Vf 2 1 −  despejando Vf1 de 3.c y aplicado a 4.b
 i 
1
 1+ i 
 1− 
 1+ i 
2
 i 
4. d- Vp = Vf 2 1 − 
 1+ i 
5- Es de suponer que antes de llegar al periodo n se tendrá
 i 
5. a- Vf ( n−2 ) = Vf ( n−1) − Vf ( n−1)  
1+ i 
 i 
5. b- Vf ( n−2 ) = Vf ( n−1) 1 − 
 1+ i 
Vp  i 
5. c- ( n−2 )
= Vf ( n−1) 1 −  Se puede inferir de 4.c
 i   1+ i 
1 − 
 1+ i 
( n −1)
 i 
5. d- Vp = Vf ( n−1) 1 − 
 1+ i 
6- De continuar de esta forma iterativa podemos inferir que al cabo de n periodos se tendrá
 i 
6. a- Vf ( n−1) = Vf n − Vf n  
1+ i 
 i 
6. b- Vf ( n−1) = Vf n 1 − 
 1+ i 
Vp  i 
6. c- ( n −1)
= Vf n 1 −  despejando Vf1 de 5.d y aplicado a 6.b
 i   1+ i 
1 − 
 1+ i 
n
 i 
6. d- Vp = Vf n 1 − 
 1+ i 

Anexo C Demostraciones matemáticas C-8
1  ij 
Obtención de Vp = Vf n ∏ 1 −

 para tasa de interés variable
j =n  1+ i j 

Supuesto:
1  
ij
0. a- Vp = Vf n ∏ 1 −  para n ∈ ; Vp y Vf ∈ i∈
 1+ i
j =n 

j 
Premisas:
1- El valor presente al cabo de regresar cero periodos en el tiempo es igual al valor futuro inicial
1. a- Vp = Vf 0
2- El valor futuro al regresar de un periodo (k-1) es igual al valor futuro siguiente menos el monto de los
intereses.
 i 
2. a- Vf ( k −1) = Vf k − Vf k  k
1+ i 

 k 
Desarrollo
3- El valor presente regresando del primer periodo es igual al primer valor futuro menos el monto de los
intereses descontados.
 i 
3. a- Vf 0 = Vf1 − Vf1  1  de la premisa 2.a
1+ i 
 1 
 i 
3. b- Vf 0 = Vf1 1 − 1 
 1+ i 
 1 
1  
i
3. c- Vp = Vf1 ∏ 1 − j  por la premisa 1.a
 1+ i
j =1 

j 
4- El valor presente al regresar del segundo periodo es igual al segundo valor futuro menos el primer monto
del descuento de intereses.
 i 
4. a- Vf1 = Vf 2 − Vf 2  2
1+ i 

 2 
 i 
4. b- Vf1 = Vf 2 1 − 2
 1+ i 

 2 
Vp  i 
4. c- = Vf 2 1 − 2  despejando Vf1 de 3.c y aplicado a 4.b
 1+ i 
1  i   2 
∏ 1 − j 
 1+ i 
j =1  j 
 i  i 
4. d- Vp = Vf 2 1 − 2
 1+ i  1 − 1 
  1+ i 
 2  1 
1  
i
4. e- Vp = Vf 2 ∏ 1 − j 
 1+ i
j =2 

j 

Anexo C Demostraciones matemáticas C-9
5- Es de suponer que antes de llegar al periodo n se tendrá
 i 
5. a- Vf ( n −2 ) = Vf ( n−1) − Vf ( n−1)  ( n−1) 
1+ i 
 ( n −1) 
 i 
5. b- Vf ( n−2 ) = Vf ( n−1) 1 − ( n−1) 
 1+ i 
 ( n −1) 
Vp  i 
5. c- = Vf ( n −1) 1 − ( n −1)  Se puede inferir de 4.c
1 
i   1+ i 
 
∏2 1 − 1 +j i j 
( n −1)

j =n− 


1  
i
5. d- Vp = Vf ( n −1) ∏ 1 − j 
 1+ i
j = n −1 

j 
6- De continuar de esta forma iterativa podemos inferir que al cabo de n periodos se tendrá
 i 
6. a- Vf ( n−1) = Vf n − Vf n  n
1+ i 

 n 
 i 
6. b- Vf ( n−1) = Vf n 1 − n
 1+ i 

 n 
Vp  i 
6. c- = Vf n 1 − n
 1+ i  despejando Vf(n-1) de 5.d y aplicado a 6.b

1  i   
∏ 1 − j  n
 1+ i 
j = n −1  j 
 i  1  i 
6. d- Vp = Vf n 1 − n
 1+ i

∏
 1 − j
  1+ i
 j =n−1 


n j 
1  
i
6. e- Vp = Vf n ∏ 1 − j 
 1+ i
j =n 

j 
1  ij 
Obtención de Vp = Vf n − ∑ Vf j 1 −

 para tasa de interés variable
j =n  1+ ij 

Supuesto:
1  i 
0. a- Vp = Vf n − ∑ Vf j 1 − j  para n ∈ ; Vp,Vf ∈ i∈
 1+ i 
j =n  j 
Premisas:
1- El valor presente al cabo de regresar cero periodos de tiempo es igual al valor futuro inicial
1. a- Vp = Vf 0
2- El valor futuro al regresar de un periodo (k-1) es igual al valor futuro siguiente menos el monto de los
intereses.

Anexo C Demostraciones matemáticas C - 10
 i 
2. a- Vf ( k −1) = Vf k − Vf k  k
1+ i 

 k 
Desarrollo
3- El valor presente regresando del primer periodo es igual al valor futuro primero menos el monto de los
intereses descontados.
 i 
3. a- Vf 0 = Vf1 − Vf1  1  de la premisa 2.a
1+ i 
 1 
 i 
3. b- Vp = Vf1 − Vf1  1 
1+ i 
 1 
1
ij
3. c- Vp = Vf1 − ∑ Vf j
j =1 1+ ij
4- El valor presente al regresar del segundo periodo es igual al segundo valor futuro menos el monto de
intereses
 i 
4. a- Vf1 = Vf 2 − Vf 2  2
1+ i 

 2 
2
ij
4. b- Vf1 = Vf 2 − ∑ Vf j
j =2 1+ ij
 2  i  1 i
4. c- Vp = Vf 2 − ∑ Vf j  j   − ∑ Vf j j por aplicar 4.b en 3.c
  1 + i   j =1 1+ ij
 44j424443
1
=2  j 
Vf1
1
ij
4. d- Vp = Vf 2 − ∑ Vf j
j =2 1+ ij
5- Es de suponer que antes de regresar n periodos
i( n−1)
5. a- Vf ( n−2 ) = Vf ( n−1) − Vf ( n−1)
1 + i( n−1)
n −1
ij
5. b- Vf ( n −2 ) = Vf n−1 − ∑ Vf i
j = n −1 1+ ij
1
ij
5. c- Vp = Vf n −2 − ∑Vf
j =n−2
j
1+ ij
se puede inferir de 4.d
6- De continuar de esta forma iterativa podemos inferir que al regreso de n periodos se tendrá
in
6. a- Vf ( n−1) = Vf n − Vf n
1 + in
n
ij
6. b- Vf ( n−1) = Vf n − ∑ Vf j
j =n 1+ ij

Anexo C Demostraciones matemáticas C - 11
 n −1
i  1
ij
6. c- Vp = Vf ( n−1) − ∑ Vf j j  − ∑Vf por aplicar 5.b en 5.c
 1+ j 
j
1+ ij
 444=2444i3
1 4
j n −1
4
j =n−2
Vf ( n − 2 )
 n
i  n−1 i 1
ij
6. d- Vp = Vf n − ∑ Vf j j  − ∑ Vf j j − ∑ Vf por aplicar 6.b en 6.c
  j =n−1 1 + i
 44j =n 41 +4  1+ ij
j
ij j j =n−2
1 4 2 4 3
Vf ( n −1)
1
ij
6. e- Vp = Vf n − ∑ Vf j
j =n 1+ ij
mn
 i 
Obtención de Vf n = Vp1 +  para tasa de interés constante
 m
Supuesto:
mn
 i 
0. a- Vf n = Vp1 +  para n ∈ ; Vp,Vf ∈ i∈
 m
Premisas:
1- El valor futuro inicial es igual al valor presente, es decir, el valor futuro al cabo de cero periodos de tiempo
con la tasa de interés fija “i” es igual al valor presente.
1. a- Vf 0 = Vp
2- Un periodo anualizado de duración “p” puede estar compuesto en “m” sub periodos de duración “p/m”
 p
2.a- p = m 
m
3- El rédito que se produce con una tasa de interés efectiva anualizada es equivalente al rédito que se obtiene
con una tasa de interés nominal durante m sub periodos de capitalización.
m
 i 
3.a- (1 + i ea ) = 1 + 
 m
4- El valor futuro al finalizar un periodo anualizado es igual al valor futuro del periodo anualizado anterior
más el monto de los intereses.
m
 i 
4. a- Vf k = Vf k − m 1 + 
 m
Desarrollo
5- El valor futuro al finalizar el primer periodo anualizado es igual al valor presente más el monto de los
intereses generados por dicho valor presente o valor futuro inicial.
m
 i 
5. a- Vf 1 = Vf 0 1 +  por la aplicación de premisa 4.a
 m
m
 i 
5. b- Vf 1 = Vp1 +  de la premisa 1.a
 m

Anexo C Demostraciones matemáticas C - 12
6- El valor futuro al finalizar el segundo periodo anualizado es igual al valor futuro al finalizar el primer
periodo anualizado más el monto de los intereses generados.
m
 i 
6. a- Vf 2 = Vf 1 1 + 
 m
  i  
m
i 
m
6. b- Vf 2 = Vp1 +  1 +  de la sustitución de 5.b en 6.a
  m   m 
 
2m
 i 
6. c- Vf 2 = Vp1 + 
 m
7- De continuar con esta forma iterativa podemos inferir que al cabo de n periodos anualizados se tendrá
m
 i 
7. a- Vf n = Vf n −1 1 + 
 m
( n −1 )m
  i   i 
m
7. b- Vf n = Vp1 +  1 +  puede inferirse de 6.c
  m
  m 

nm
 i 
7. c- Vf n = Vp1 + 
 m
m
 i 
Obtención de i ea = 1 +  − 1
 m
El rédito en el avance del tiempo es el valor futuro menos el valor presente.
rédito = Vf − Vp Que expresado en forma común, es decir con tasa de interés nominal, sería
Vp(i ) = Vp(1 + i ) − Vp Pero al considerar las tasas de interés: efectiva y promedio anualizada, queda
Vf
64748
6 8
7
rédito
 i 
m
Vp(i ea ) = Vp1 +  − Vp Al dividir todo en razón de Vp queda finalmente
 m
m
 i 
i ea = 1 +  − 1
 m
El número e i expresado como un límite
Supuesto:
m
0.a- e i = lim1 +
i 
 
m →∞
 m
Premisas:
1- La derivada de una función logaritmo es como resultado la función inversa.

Anexo C Demostraciones matemáticas C - 13
1
1.a- Si f (x ) = Ln(x ) entonces f ′(x ) = .
x
1.b- Así que si f   = Ln  por lo tanto f ′  = = i
1 1 1 1
     
 i  i  i 1
i
Desarrollo:
2- De la definición de límite se aplica a la función de 1.b
1  1 1  1
f  + h − f  f  + x − f 
1 i  i  = lim i i
2.a- f ′  = lim    
 i  h→0 h x →0
x
1  1
Ln + x  − Ln 
2.b- f ′  = lim  i 
1  i  = lim 1  Ln 1 + x  − Ln 1  
 
  x →0   
 i x x →0
x i
   i 

1
1 x
  1
 + x 1
1 1  1 
2.c- f ′  = lim Ln + x  − Ln   = lim Ln i 
x x
 i  x →0   i
   i   x →0  1 
   
 i 
2.d- f ′  = lim Ln(1 + ix ) x = Ln lim(1 + ix ) x
1 1 1
  x →0
i x →0
1
3- Si se sustituye m = en el supuesto, entonces m → ∞ cuando x → 0 + en lim(1 + ix ) x
1
x x →0
 i 
m
3.a- f ′  = Ln lim1 +  
1
   
i m →∞

  m 

 i 
m
4- Como se tiene f ′  = i de la premisa 1.b y f ′  = Ln lim1 +   de 3.a, se procede a
1 1
     
i m→∞
i 
  m 

igualar ambas expresiones
 i 
4.a- i = Ln lim1 +
 
m →∞
  m 
m
1
5- Si el término lim1 +
i 
  se sustituye por e en 3.a se tiene f ′  = Ln e = i que resulta en
i i
m →∞
 m i
m
5.a- e = lim1 +  de modo que es cierto el supuesto 0.a
i
 
i
m →∞
 m

Anexo C Demostraciones matemáticas C - 14
Referencias:
Hoffman, Lawrence D., Bradley, Gerald L., (1998) “Cálculo para administración, economía
y ciencias sociales”, Mc Graw Hill Interamericana, Colombia, ISBN 958-600-707-3, Págs.
268, 313
Moore, J.H., (1964), “Manual de matemáticas financieras”, UTEHA, México
Steward James, (1994), “Cálculo”, Grupo editorial Iberoamérica, México, ISBN 970-625-
028-X, Págs. 376, 389, 523