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Relación de orden
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  • 1. TEORÍA DE CONJUNTOS RELACIÓN DE ORDEN Ing. Wilson Villa
  • 2. PRODUCTO CARTESIANOEl producto cartesiano de dos conjuntos A x B esel conjunto de todos los pares ordenados que sepueden formar con un elemento perteneciente alconjunto A y un elemento del conjunto B.Los elementos de A x B son pares ordenados.Cada par que se forma con un elemento delconjunto A y uno del conjunto B, en ese orden yrecibe el nombre de par ordenado. Sus elementosse colocan entre paréntesis, separados por coma.
  • 3. Ejemplo:
  • 4. TIPOS DE RELACIÓN:RELACIÓN REFLEJA ( O REFLEXIVA ): R es unarelación refleja en un conjunto A no vacío, si y sólosi cada elemento de él está relacionado consigomismo: a R A Λ a R a Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 }R ={ ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }RELACIÓN SIMETRICA: R es una relación simétricaen un conjunto A no vacío, si y sólo si cada par deelementos de él satisface lo siguiente:aRbΛbRaEjemplo: A = { 1 , 2 , 3 } R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) ,( 3, 2 ) , ( 3 , 3 ) }
  • 5. RELACIÓN ANTISIMÉTRICA: R es una relaciónantisimétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo sicada par de elementos de él satisface lo siguiente:a R b Λ b R a → a = b Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 }R = {(1,3),(2,1),(2,2),(3,2)}RELACIÓN TRANSITIVA: R es una relación transitiva enun conjunto A no vacío, si y sólo si cada trío deelementos de él satisface lo siguiente: a R b Ù b R c Þ aRcEjemplo: A = {1, 2, 3 } R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) ,(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)}
  • 6. CLASIFICACIÓN DE RELACIONES: RELACIÓN DEEQUIVALENCIA R es una relación de equivalencia en unconjunto A no vacío , si y sólo si es refleja, simétrica ytransitiva en ese conjunto A .Ejemplo: La relación "igual que" ( = ) en el conjunto delos números enteros. Sean a, b y c números enteroscualesquiera, entonces:a = a (Reflexividad)a = b → b = a (Simetría)a = b Λ b = c →a = c (Transitividad)
  • 7. RELACIÓN DE ORDEN R es una relación de orden en un conjunto A no vacío , si y sólo si es refleja, antisimétrica y transitiva en ese conjunto A .Ejemplo: La relación "menor o igual que" ( ≤ ) en el conjunto de los números enteros. Sean a , b y c números enteros cualesquiera, entonces:a≤a ( Reflexividad )a≤bΛ b≤ a → a = b ( Antisimetría )a≤bΛ b≤ c → a ≤ c ( Transitividad )