FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)

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Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero

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FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)

  1. 1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ESCUELA : NOMBRES: Ciencias de la Computación Ing. Ricardo Blacio BIMESTRE: Primero PERIODO: Abril – Agosto 2011
  2. 2. CONTENIDOS (PRIMER BIMESTRE) <ul><li>Conceptos fundamentales de álgebra. </li></ul><ul><li>Ecuaciones y desigualdades. </li></ul><ul><li>Funciones y gráficas. </li></ul><ul><li>Funciones polinomiales y racionales. </li></ul>
  3. 3. 1. Conceptos fundamentales de Álgebra <ul><li>Sistema de números reales </li></ul>Números complejos Números reales Números racionales Números Enteros Negativos 0 Positivos Números irracionales R C Q Q ΄ Z Z - Z⁺
  4. 4. Recta de números reales Notación científica a= c x 10 n , donde 1<=c<10 y n es un entero 57700 en notación científica es 5.77 X 10 4 0.00032 en notación científica es 3.2 X 10 -4 Ejemplo: 0 1 ⁄2 1 -1 -2 2 3 ∏ R - R ⁺
  5. 5. Exponentes y radicales Leyes (exponentes) a 0 = 1 (a/b) n = a n /b n a -n = 1/a n a m /a n = a m-n a m a n = a m+n a m /a n = 1/a n-m (a m ) n = a mn a -m /b -n = b n /a m (ab) n = a n b n (a/b) -n = (b/a) n Leyes (radicales) n √a.b = n √a n √b n √(a/b) = n √a / n √b m √ n √a = mn √a Exponentes racionales a 1/n = n √a a m/n = ( n √a) m = n √a m
  6. 6. Monomio ax n Polinomio a n x n + a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 Operaciones: Suma, Resta, Multiplicación, División Expresiones algebraicas Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural Es una expresión algebraica que se forma de la suma o resta de dos o más monomios.
  7. 7. Expresiones fraccionarias Expresión racional del tipo p/q donde p y q son polinomios Fórmulas de Productos (x + y)(x – y) = (x 2 -y 2 ) (x ± y) 2 = (x 2 ± 2xy+y 2 ) (x ± y) 3 =(x 3 ±3x 2 y+3xy 2 ±y 3 ) Fórmulas de factorización ( x 2 - y 2 ) =(x + y)(x – y) (x 3 - y 3 ) = (x - y)(x 2 + xy+y 2 ) (x 3 + y 3 ) = (x + y)(x 2 -xy+y 2 ) Cociente El denominador es cero si: Dominio 6x 2 - 5x + 4 x 2 - 9 x = ±3 Toda x ≠ ±3 x 3 – 3x 2 y + 4y 2 y – x 3 y = x 3 Toda x y y tales que y ≠ x 3
  8. 8. Simplifique la expresión:
  9. 9. <ul><li>Ecuaciones </li></ul><ul><li>Ecuaciones Lineales: son de la forma ax + b = 0; a≠0; (a y b son R) 1 sol. </li></ul><ul><li>Ecuaciones Cuadráticas: su forma: ax 2 +bx+c = 0;a≠0 2 sol. </li></ul><ul><li>Se puede resolver mediante: Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y aplicando la fórmula cuadrática. </li></ul>2. Ecuaciones y desigualdades
  10. 10. Discriminante. <ul><ul><ul><li>Sí </li></ul></ul></ul>Fórmula cuadrática
  11. 11. Resolver la ecuación aplicando la fórmula cuadrática: 6x 2 + x - 12 = 0 a b c
  12. 12. <ul><li>Otro tipo de ecuaciones como son: </li></ul><ul><ul><li>Ecuaciones con valor absoluto. </li></ul></ul><ul><ul><li>Solución de una Ecuación por agrupación. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ecuaciones con exponentes racionales </li></ul></ul><ul><ul><li>Ecuaciones con radicales </li></ul></ul>
  13. 13. / 2 5x + 2 = 3 5x + 2 = - 3 o 5x = 1 x = 1/5 5x = - 5 x = -1 Si a y b son números reales con b > 0, entonces |a|= b si y sólo si a = b o bien a = - b por lo tanto, si |5x+2|= 3 <ul><ul><li>Ecuaciones con valor absoluto: </li></ul></ul>a b
  14. 14. Ecuación con radical: 25 x = 4x 2 -12x + 9 4x 2 - 37x + 9 = 0 x = 9 x = 1/4
  15. 15. <ul><ul><li>Desigualdades </li></ul></ul><ul><ul><li>Se solucionan utilizando las propiedades de las desigualdades. </li></ul></ul><ul><ul><li>La mayor parte de las desigualdades posee un infinito número de soluciones. </li></ul></ul><ul><ul><li>La solución de las desigualdades se dan en notación de intervalos. </li></ul></ul><ul><ul><li>Un intervalo es un conjunto infinito de puntos con una notación especial. Ejemplos: </li></ul></ul>
  16. 16. <ul><li>Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto, cuadráticas </li></ul><ul><li>Desigualdad con valor absoluto </li></ul><ul><ul><li>Propiedades </li></ul></ul><ul><ul><li>|a| < b equivale a –b < a < b </li></ul></ul><ul><ul><li>|a| > b equivale a a < –b ó a > b </li></ul></ul>
  17. 17. Resuelva la desigualdad: 1/4x + 7 ≤ 1/3x - 2 1/4x + 7 - 7 ≤ 1/3x – 2 - 7 1/4x ≤ 1/3x – 9 1/4x - 1/3x ≤ 1/3x - 1/3x – 9 -1/12x ≤ – 9 x ≥ 108 [ 108 , ∞ )
  18. 18. / 2 <ul><li>Propiedades de los valores absolutos (b > 0) </li></ul><ul><li>lal < b - b < a < b </li></ul><ul><li>lal > b a < - b o a > b </li></ul>Resuelva la desigualdad: o / -7 / -7 (- 5/7, ∞ ) U ( -∞ , -17/7 ]
  19. 19. x 2 ( 3 – x ) = 0 x 2 = 0 3 – x = 0 x 1 = 0 x 2 = 3 x + 2 = 0 x 3 = - 2 Ambos valores forman parte de la solución , por cuanto la condición dice ≤ 0. - ∞ -2 0 3 + ∞ (- ∞, - 2) (- 2, 0) (0 , 3) (3 , + ∞) Resuelva la desigualdad: ≤ 0 Solución: (- ∞ , -2) U {0} U [ 3 , ∞ ) Puntos críticos: Intervalo (- ∞ , -2 ) -3 (- 2 , 0 ) -1 (0 , 3 ) 1 (3 , + ∞ ) 4 x 2 ( 3 – x ) + + + - x + 2 - + + + Resultado - + + -
  20. 20. 3. Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares P(a,b) a b O Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P 1 ,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 y x II I III IV El punto medio M de un segmento entre P 1 y P 2 M= x 2 +x 1 , y 2 +y 1 2 2
  21. 21. Gráfica de ecuaciones <ul><ul><ul><li>Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Intersecciones con los ejes. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Simetrías. </li></ul></ul></ul>
  22. 22. <ul><li>Intersecciones: </li></ul><ul><li>Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0 </li></ul><ul><li>Simetrías: </li></ul><ul><li>Para saber si la gráfica es simétrica con respecto </li></ul><ul><li>Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación. </li></ul><ul><li>Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación. </li></ul><ul><li>Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación. </li></ul>
  23. 23. Trace la gráfica de la ecuación: x = -y 2 +3 <ul><li>Intersección con x hacer y = 0 </li></ul>x = - (0) 2 +3 x = 3 <ul><li>Intersección con y hacer x = 0 </li></ul>0 = - y 2 +3 y 2 = 3 y =±√3 <ul><li>Simetrías </li></ul><ul><li>Al eje x , sustituimos y por -y </li></ul>x= - (-y) 2 +3 x= - y 2 +3 <ul><li>Al eje y , sustituimos x por -x </li></ul>- x= - y 2 +3 <ul><li>Al origen, sustituimos x por –x y y por -y </li></ul>- x= - (-y) 2 +3 - x= - y 2 +3 Lleva a la misma ecuación, por lo tanto es simétrica con respecto al eje x .
  24. 24. Intersección con x Intersección con y
  25. 25. Circunferencias: La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: x 2 + y 2 = r 2
  26. 26. Encuentre el centro y radio de la circunferencia x 2 + y 2 -10x +18 = 0 (x 2 – 10 x + _ _ )+ y 2 = -18 (x 2 – 10 x + 25 )+ y 2 = -18 +25 (x – 5) 2 + y 2 = 7 (x – h) 2 + (y - k) 2 = r 2 h=5 y k = 0 Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) y radio √7
  27. 27. Rectas Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos. <ul><ul><ul><li>Formas de la ecuación de la recta: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>General ax + by = c </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Punto-pendiente y – y1 = m (x – x1) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Punto y pendiente con intersección con el eje y y = mx + b </li></ul></ul></ul>
  28. 28. La pendiente de la recta es: M = (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 ) <ul><ul><ul><li>Rectas paralelas y perpendiculares </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Dos rectas son paralelas si : m1 = m2; es decir si sus dos pendientes son iguales. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Dos rectas son perpendiculares si: m1m2 = -1; es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1. </li></ul></ul></ul>
  29. 29. Definición de función <ul><li>Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. </li></ul>Dominio Rango x y
  30. 30. <ul><li>Variables: </li></ul><ul><li>x se denomina variable independiente. </li></ul><ul><li>y se denomina variable dependiente. </li></ul><ul><li>Dominio </li></ul><ul><ul><ul><li>El dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real. </li></ul></ul></ul><ul><li>Rango </li></ul><ul><li>El rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los resultados de la función al aplicar los valores del dominio. </li></ul>
  31. 31. Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica
  32. 32. Sea I un intervalo del dominio de una función f: f es creciente en I si f (x1) < f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es decreciente en I si f (x1) > f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es constante en I si f (x1) = f (x2) para toda x1 y x2. Función creciente, decreciente o constante
  33. 33. Al reemplazar la variable x por –x: Si f (-x) = f (x) la función es par Si f (-x) = - f (x) la función es impar Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y. Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen. Paridad de una función
  34. 34. Encuentre el dominio y la imagen de f si: Dominio: todos los reales excepto cuando x = -3 Imagen: El intervalo abierto (0,+∞) Creciente : (- ∞, -3 ) Decreciente: (-3 , +∞) Dominio Imagen x y 0 1/9 1 1/16 2 1/25 -1 1/4 -2 1 -3 No existe --- ---
  35. 35. Tipos de Funciones Funciones Lineales Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0 Se llaman así porque su gráfica es una línea recta Funciones Cuadráticas Del tipo f(x) = ax 2 + bx + c a ≠0 Su gráfica es una parábola
  36. 36. Operaciones con funciones Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división
  37. 37. La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x)) Composición de funciones Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones
  38. 38. <ul><ul><li>4. Funciones polinomiales y racionales </li></ul></ul><ul><ul><li>Una función polinomial tiene la forma: </li></ul></ul><ul><ul><li>Si el coeficiente se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número se denomina coeficiente principal del polinomio. </li></ul></ul><ul><ul><li>Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada. </li></ul></ul>
  39. 39. <ul><ul><li>Se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación: </li></ul></ul><ul><ul><li>Calcule  (  x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría. </li></ul></ul><ul><ul><li>Calcule el intersecto  (0) en y. </li></ul></ul><ul><ul><li>Factorice el polinomio. </li></ul></ul><ul><ul><li>Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación  (x)  0. </li></ul></ul><ul><ul><li>Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde  (x)  0 y donde  (x)  0. </li></ul></ul><ul><ul><li>Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario. </li></ul></ul>
  40. 40. <ul><ul><li>En los casos en los que  (x) son positivos (  (x)  0), la gráfica de la función está por encima del eje x. </li></ul></ul><ul><ul><li>La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores de  (x) son negativos (  (x)  0). </li></ul></ul>
  41. 41. <ul><ul><ul><li>Funciones racionales </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>g(x), h(x) son polinomios; el dominio de F es el conjunto de todos los números reales tales que h(x)  0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de x, con excepción de aquellos para los que el denominador h(x) es cero. </li></ul></ul></ul>
  42. 42. <ul><ul><ul><li>Asíntotas </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Asíntotas verticales </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Se dice que una recta x  a es una asíntota vertical para la gráfica de una función  sí. </li></ul></ul></ul>
  43. 43. <ul><ul><ul><li>Asíntotas horizontales </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma: </li></ul></ul></ul><ul><li>Teoremas: </li></ul><ul><li>1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal. </li></ul><ul><li>2.- Sí m =n, la recta y=a m /b n es una asíntota horizontal. </li></ul><ul><li>3.- Sí m > n, no hay asíntotas. </li></ul>
  44. 44. Gráfica de funciones racionales <ul><li>Si F(x)= g(x)/h(x) donde g(x) y h(x) son polinomios se debe seguir las siguientes pautas: </li></ul><ul><li>Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 0. </li></ul><ul><li>Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x)=0. </li></ul><ul><li>Encontrar las intersecciones con y, obteniendo F(0), trazamos la intersección (0,F(0)). </li></ul><ul><li>Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c. </li></ul><ul><li>Si existen asíntotas horizontales determinar si corta la gráfica con f(x) = c. </li></ul><ul><li>Trazar la gráfica en cada región. </li></ul>
  45. 45. 1. Intersección con x hacer y = 0 Ejercicios. Trace la gráfica de f a.- 0 = - 2 No hay intersección con x 2. Asíntota vertical x + 1 = 0 x = - 1 3. Intersección con y hacer x = 0 = - 2
  46. 46. 4. Asíntota horizontal 1 1 < 2 Entonces el eje x es la asíntota horizontal Teorema 1 5. No aplica Este paso se da cuando se tiene el teorema 2 en el paso anterior. 6. Trazar la gráfica x y 1 -1/2 2 -2/9 3 -1/8 -2 -2 -3 -1/2
  47. 47. Asíntota vertical Asíntota horizontal Intersección con y
  48. 48. 1. Intersección con x hacer y = 0 b.- 0 = 3x 2 2. Asíntota vertical 16 – x 2 = 0 3. Intersección con y hacer x = 0 = 0 x = 0 – x 2 = - 16 x 2 = 16 x 2 = ± 4
  49. 49. 4. Asíntota horizontal 2 = 2 La recta y=a m /b n es la asíntota horizontal Teorema 2 5. Determinar si la asíntota horizontal corta la gráfica y=3 /-1 y= -3 f(x) = c 3x 2 = - 48 + 3x 2 0 = - 48 La gráfica no cruza la asíntota horizontal y = -3 porque f(x) = - 3 no tiene solución real.
  50. 50. 6. Trazar la gráfica Asíntota vertical Asíntota horizontal Intersección con x, y x y 1 1/5 2 1 3 27/7 --- --- --- ---
  51. 51. x 2 - 2x – 8 = 0 x 2 - 2x – 8 = 0 (x - 4) (x + 2) = 0 x = 4 x = - 2 - x + 2= 0 - x = - 2 x = 2 = - 4 c.- 1. Intersección con x hacer y = 0 2. Asíntota vertical 3. Intersección con y hacer x = 0
  52. 52. 1 2 > 1 4. Asíntota horizontal No hay asíntota horizontal Teorema 3 5. No aplica 6. Asíntota oblicua Una función racional tiene una asíntota oblicua cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. 1
  53. 53. x 2 - 2x – 8 - x + 2 - x 2 + 2x - 8 - x Uno de los métodos más usados es la división sintética para hallar la ecuación de la asíntota oblicua. Este cociente es la ecuación de la asíntota. y = - x x y 0 0 1 -1 2 -2 -1 1 -2 2 --- ---
  54. 54. Asíntota vertical Intersección con y Asíntota oblicua Intersección con x 6. Trazar la gráfica

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