Estadistica II IIBimestre

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Prueba t de student para una muestra

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Estadistica II IIBimestre

  1. 1. ESTADÍSTICA II ESCUELA: Psicología NOMBRES Dr. Gonzalo Morales BIMESTRE: II Bimestre FECHA: Octubre – Febrero 2010 1
  2. 2. Prueba t de student para una muestra
  3. 3. Distribución t de Student W.S. Gosset (principios del siglo XX). N 30 y no se conoce. Además, al utilizar la distribución t, suponemos que la población es normal o aproximadamente normal.
  4. 4. Propiedades de la distribución t
  5. 5. Nivel de Significación para la prueba de una cola Nivel de Significación para la prueba de una cola 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 df df Nivel de Significación para la prueba de dos colas Nivel de Significación para la prueba de dos colas 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,599 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 ∞ 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291
  6. 6. Si de una población Normal con media y desviación estándar se extrae una muestra de tamaño n, entonces el estadístico: x t s n se distribuye como una t de Student con n-1 grados de libertad.
  7. 7. Ejemplo Los tiempos de sobrevivencia (en años) de 12 personas que se han sometido a un transplante de corazón son los siguientes: 3.1 .9 2.8 4.3 .6 1.4 5.8 9.9 6.3 10.4 0 11.5 Hallar un intervalo de confianza del 99 por ciento para el promedio de vida de todas las personas que se han sometido a un transplante de corazón.
  8. 8. Solución 3 .1 0 .9 2 .8 4 .3 0 .6 1 .4 5 .8 9 .9 6 .3 10 . 4 0 11 . 5 65 . 1 X 5 .4 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3 .1 5 .4 ) ( 0 .9 5 .4 ) ( 2 .8 5 .4 ) ( 4 .3 5 .4 ) ( 0 .6 5 .4 ) (1 . 4 5 . 4 ) (5 .8 5 .4 ) ( 9 .9 5 .4 ) ( 6 .3 5 .4 ) (10 . 4 5 . 4 ) ( 0 5 .4 ) (11 . 5 5 . 4 ) s 12 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 .3) ( 4 .5 ) ( 2 .6 ) ( 1 . 1) ( 4 .8 ) ( 4) ( 0 .4 ) ( 4 .5 ) ( 0 .9 ) (5 ) ( 5 .4 ) ( 6 . 1) s 12 1 5 . 29 20 . 25 6 . 76 1 . 21 23 . 04 16 0 . 16 20 . 25 0 . 81 25 20 . 16 37 . 21 185 . 14 s 16 . 83 4 .1 12 1 11 t0.99,11=3,106; 12 3 . 46 El intervalo de confianza será: (5.4-3.106x4.1/3.46; 5.4+3.106x4.1/3.46) (5.4-3.7;5.4+3.7)=(1.7;9.1)
  9. 9. Prueba de hipotesis (varianza desconocida) Caso I Caso II Caso III Ho : = 0 Ho : = 0 Ho : = o Ha : < 0 Ha : ≠ 0 Ha : > 0 x o Prueba Estadística t s n Si tcal < -t entonces Si |tcal |>t /2 entonces Si tcal >t entonces se rechaza Ho se rechaza Ho se rechaza Ho
  10. 10. Usando los datos del Ejemplo anterior, un cardiocirujano afirma que el tiempo de vida promedio de las personas sometidas a transplante de corazón es mayor que 4 años. ¿A qué conclusión se llegará después de hacer la prueba de hipótesis? Solución: La hipótesis nula es H0: = 4 (el tiempo de vida promedio de todas las personas que se han sometido a transplante de corazón es de 4 años) y la hipótesis alterna es Ha: > 4 (el tiempo de vida promedio es mayor que 4 años). X 5 .4 4 1 .4 t 1 . 19 s/ n 4 . 1 / 12 1 . 18 Es menor que 3.106 por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula y se concluye de que no hay evidencia de que el tiempo promedio de vida después del transplante haya aumentado de 4 años. Notar que el extremo inferior del intervalo de confianza de un solo lado al 99% es 1.575 mucho menor que 4.
  11. 11. Prueba t de Student para grupos correlacionados e independientes
  12. 12. Comparando medias de dos poblaciones usando muestras pareadas En este caso se trata de comparar dos métodos o tratamientos, pero se quiere que las unidades experimentales donde se aplican los tratamientos sean las mismas, ó lo más parecidas posibles, para evitar influencia de otros factores en la comparación Sea Xi el valor del tratamiento I y Yi el valor del tratamiento II en el i-ésimo sujeto. Consideremos di = Xi - Yi la diferencia de los tratamientos en el i-ésimo sujeto. Las inferencias que se hacen son acerca del promedio poblacional d de las di. Si d = 0, entonces significa que no hay diferencia entre los dos tratamientos.
  13. 13. Intervalo de Confianza Un intervalo de confianza del 100(1- )% para la diferencia poblacional d dada una muestra de tamaño n es de la forma ( d - t(n-1, /2) sd/ n , d + t(n-1, /2) sd/ n ) donde d , es la media de las diferencias muestrales di 2 y (di d ) es la desviación estándar. i sd n 1
  14. 14. Pruebas de Hipótesis Caso I Caso II Caso III Ho : d = 0 Ho : d = 0 Ho : d =0 Ha : d < 0 Ha : d 0 Ha : d >0 Prueba Estadística: d t= se distribuye con una t de Student con n-1 gl. sd n Decisión: Si t<-t entonces Si | t |>t /2 entonces Si Tcal >t entonces se rechaza Ho se rechaza Ho se rechaza Ho
  15. 15. Ejemplo Un médico desea investigar si una droga tiene el efecto de bajar la presión sanguínea en los usuarios. El médico eligió al azar 15 pacientes mujeres y les tomó la presión, luego les recetó la medicina por un período de 6 meses, y al final del mismo nuevamente les tomó la presión. Los resultados son como siguen: Sujetos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Antes 70 80 72 76 76 76 72 78 82 64 74 92 74 68 84 Desp. 68 72 62 70 58 66 68 52 64 72 74 60 74 72 74
  16. 16. Solución Solución: Sea d que representa la media poblacional de las diferencias. Luego: Ho: d = 0 (La droga no tiene ningún efecto) Ha: d > 0 (La droga tiene efecto, la presión antes de usar la droga era mayor que después de usarla).
  17. 17. Ejemplo (Cont.) Las diferencias son: -2, -8, -10, -6, -18, -10, -4, -26, -18, 8, 0, -32, 0, 4, -10. El promedio de las diferencias es -8.8 La desviación estándar de las diferencias es 10,98 La desviación estándar de las medias muestrales es 2.83 8 .8 0 t 3 . 109 2 . 83 El valor crítico de t con 14 grados de libertad (n-1) y α=0.05 es 2.145, el valor calculado es superior, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alterna, el medicamento es efectivo para reducir la presión arterial
  18. 18. Análisis de Varianza
  19. 19. EJERCICIO  En capítulos anteriores usted aprendió a hacer inferencias acerca de una o dos medias, ahora aprenderemos a hacer lo mismo respecto de tres o más medias, supongamos para ello a tres grupos tomados al azar de 6 bachilleres graduados en diferentes colegios que se presentan a una prueba de admisión en la Universidad X, los bachilleres del colegio A han obtenido las notas: 20, 20, 18, 13, 19 y 18; los bachilleres del colegio B tienen: 18, 15, 12, 09, 14 y 16, por último, los bachilleres del colegio C tienen como resultado: 13, 15, 20, 18, 20 y 16. Queremos, en base a esos datos saber cuál es el colegio cuyos bachilleres obtienen mejores resultados en los exámenes de ingreso a la universidad.
  20. 20. Una primera aproximación para saberlo es obtener la media de cada colegio, fácilmente podemos ver que los estudiantes del colegio A tienen una media de 18, xA = (20+20+18+13+19+18)/6=18 los del colegio B tienen una media de 14 xB = (18+15+12+09+14+16)/6=14 y los del colegio C un promedio de 17 xC = (13+15+20+18+20+16)/6=17.
  21. 21.  La varianza entre las medias es:  =[(18-16,33)2+(17-16,33)2+(14-16,33)2]/(3-1) [1]  =4.33  La varianza dentro de los grupos es:  =[(20-18)2+(20-18)2+(18-18)2+(13-18)2+(19-18)2+(18- 18)2+(18-14)2+(15-14)2+(12-14)2+(9-14)2+(14-14)2+(16- 14)2+(13-17)2+(15-17)2+(20-17)2+(18-17)2+(20- 17)2+(16-17)2]/[(6-1)+(6-1)+(6-1)] [2]  =(4+4+0+25+1+0+16+1+4+25+0+4+16+4+9+1+9+1)/15  =124/15=8.27
  22. 22.  La suma de las varianzas dentro de los grupos es 8,27 y la varianza de las medias es 4.33, para comparar estos valores dividimos el producto de 6 por la varianza entre las medias para la varianza dentro de los grupos y obtenemos F=3,15  A esta cantidad la llamaremos coeficiente F en honor de Sir Ronald Fisher quien elaboró una tabla, que nos da la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera, para utilizarla debemos observar los grados de libertad del numerador, que serían el número de colegios menos uno (2), y los grados de libertad del denominador (3 colegios por 6-1 bachilleres de cada colegio, o sea 15).
  23. 23.  En la tabla buscamos en el extremo superior grados de libertad en el numerador, bajo la columna 2 y tratamos de encontrar la intersección con la fila donde dice grados de libertad del denominador, en este caso la fila con el numero 15.  El valor que hemos encontrado en la tabla, 3.68, es superior al valor que hemos calculado, 3,15 lo que nos indica que la probabilidad de que Ho sea verdadera es superior a 0.05 (5%).
  24. 24. Pruebas no paramétricas 2
  25. 25. 2 Distribución ji-cuadrado -Nunca adopta valores menores de 0 -Es asimétrica positiva -Es en realidad una familia de curvas, en función de los llamados “grados de libertad”. Es decir, hay una distribución chi-cuadrado con 1 gl, una distribución chi- cuadrado con 2 gl, etc. (Nota: Los grados de libertad son siempre números positivos.) -A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución se hace más y más simétrica.
  26. 26. Usos de la Ji-Cuadrado a) Para hacer inferencias acerca de la varianza poblacional. Es decir, para calcular Intervalos de Confianza y Prueba de hipótesis para la varianza poblacional. b) Para hacer pruebas de Bondad de Ajuste. O sea, para probar si un conjunto de datos sigue una distribución pre-determinada. c) Para hacer análisis de tablas de contingencia.
  27. 27.  Por ejemplo, se divide un grupo de estudiantes en buenos y malos alumnos y se constató si tenían interés en problemas políticos, con nivel de significación del 1% ¿Se puede decir de los resultados que se muestran en la tabla a continuación si el interés por la política es independiente del hecho de ser o no buen estudiante? Sin interés político Con interés Político Buen estudiante 100 20 Mal estudiante 20 60
  28. 28. Sin interés Con interés político Político Buen 100 20 120 estudiante Mal 20 60 80 estudiante 120 80 200
  29. 29. Sin interés Con interés político Político Buen 100 (72) 20 (48) 120 estudiante Mal 20 (48) 60 (32) 80 estudiante 120 80 200
  30. 30.  De acuerdo al cuadro anterior  (100-72)2/72+(20-48)2/48+(20-48)2/48+(60- 32)2/32=7,84+39,2+39,2+13,07=99,31  Al consultar el valor crítico correspondiente de 2 encontramos  20,95,(2-1)(2-1)= 20,95,1=3,84  Como el valor encontrado supera al valor crítico rechazamos la hipótesis nula (independencia entre las variables) y aceptamos la alterna, el interés político y el rendimiento académico no son independientes.
  31. 31. CONSULTAS, COMENT ARIOS Y SUGERENCIAS A gfmorales@utpl.edu.ec
  32. 32. 33

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