Cálculo II (II Bimestre)

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Universidad Técnica Particular de Loja
Ciencias de la Computación
Cálculo II
II Bimestre
Abril-Agosto 2007
Ponente: Ing. Pablo Ramón

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  • 1. ESCUELA : PONENTE : BIMESTRE : CÁLCULO II CICLO : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN II BIMESTRE Ing. Pablo Ramón ABRIL – AGOSTO 2007
  • 2. OBJETIVO GENERAL Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el CI, las EDO y las Series. En resumen: Desarrollar la habilidad del razonamiento matemático, para aplicar correctamente las herramientas del Cálculo a la resolución de problemas y construcción de modelos.
  • 3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
    • Utilizar otras técnicas de integración: PP, ST, FP
    • Conocer y evaluar integrales impropias
    • Caracterizar y tabular sucesiones
    • Analizar Series (CV o DV)
    • Utilizar la serie de Taylor para aproximar funciones reales
    • Analizar las series de Fourier
  • 4. CONTENIDOS
    • TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
      • 5.1 Integración por partes
      • 5.2 Integración mediante fracciones parciales
      • 5.3 Sustituciones trigonométricas
    • FORMAS INDETERMINADAS
      • 6.1 Límites infinitos
      • 6.2 Integrales Impropias
  • 5.
    • SERIES
      • 7.1 Sucesiones
      • 7.2 Series Infinitas (CV, DV)
      • 7.3 Convergencia (Criterios)
      • 7.4 Serie de Taylor
      • 7.5 Series de Fourier
  • 6. Capítulo 5 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
  • 7. 5.1 INTEGRACIÓN POR PARTES Método que surge de la formula de la derivada de un producto:
  • 8. Ejemplo 1:                  
  • 9. Nota: Para elegir la función u(x), se sugiere el orden: L OGARÍTMICA, I NVERSA TRIGONOMÉTRICA, A LGEBRAICA, E XPONENCIAL
    • Ejemplo 2:
    • u = x, du = dx
    • dv = dx, v =
  • 10. Ejemplo 3:                  
  • 11. Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:
  • 12. Caso Especial: Doble integración por partes Ejemplo 4: (1)
  • 13. (2)
  • 14. Reemplazando (2) en (1), se tiene:
  • 15. 5.2 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES (PARCIALES)
    • Integrar funciones Racionales (cociente de polinomios)
    • Descomponer una fracción compleja en la suma de dos o más fracciones simples
    • CASO 1: Funciones de la forma
    • Grado P(x) > Grado Q(x)
  • 16. Ejemplo: Donde:
  • 17. Caso 2: , Grado P(x) < Grado Q(x) Se hace la descomposición: Donde constantes reales.
  • 18. Ejemplo 1: Igualando numeradores:
  • 19. Se forma un sistema de ecuaciones lineales: Resolviendo se obtiene:
  • 20. Caso 2’: Q(x) tiene raíces repetidas Entonces: Ejemplo: Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.
  • 21. Caso 2’’: Q(x) tiene raíces complejas distintas. Q(x) posee factores cuadráticos de la forma: Entonces: Ejemplo: Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.
  • 22. Luego: Se obtiene:
  • 23. 5.3 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉRICAS
    • Integrar funciones Irracionales (Radicales)
    • Utilizar identidades trigonométricas
    • Algunos Ejemplos:
  • 24. Tres casos fundamentales: a: constante real. Ejemplo 1: Resolver la integral (1) (2) (3)
  • 25.  
  • 26. Ejemplo 2: Resolver la integral Utilizando la identidad:
  • 27. Puesto que: =
  • 28. Capítulo 6 INTEGRALES IMPROPIAS
  • 29. 6.1 LÍMITES INFINITOS ¿Qué significan las siguientes expresiones? X: toma valores próximos a 2 (der. o izq.) f(x): toma valores positivos muy grandes X: toma grandes f(x): se aproxima a 5
  • 30. Gráfica de Límites Infinitos
  • 31. Algunos Ejemplos Ejemplo 1:
  • 32. Ejemplo 2:
  • 33. Ejemplo 3:
  • 34. Ejemplo 4:
  • 35. 6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: CASO 2: f(x) no es acotada en algún punto de [a,b] (tiene asíntotas verticales)
  • 36. 6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: INTERVALO NO ACOTADO
  • 37. CASO 2: FUNCIÓN NO ACOTADA
  • 38.
    • INTEGRALES CONVERGENTES
    • Si existe el límite
    • INTEGRALES DIVERGENTES
    • Si limite es infinito (+/-)
    • INTEGRALES OSCILANTES
    • Si no existe limite
  • 39. NÚMERO FINITO DE SINGULARIDADES Asíntota = Singularidad
  • 40. Algunos Ejemplos Ejemplo 1: Esquematizar la región.
  • 41. Ejemplo 2:
  • 42. Ejemplo 3:
  • 43. Ejemplo 4:
  • 44. Ejemplo 5:
  • 45. Capítulo 7 SERIES INFINITAS
  • 46. 7.1 SUCESIONES Aplicaciones de los naturales en los reales: a: N  R n  a n Ejemplo: número e ¡¡¡ Una sucesión converge si tiene límite !!!
  • 47. Sucesiones Monótonas Ejemplo: Analizar la monotonía de la sucesión Paso 1 Paso 2  La sucesión es monótona
  • 48. 7.2 SERIES INFINITAS Sumas parciales N-ésima suma parcial ¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límite la serie converge !!!
  • 49. 7.3 CONVERGENCIA EJEMPLOS Serie armónica divergente Serie geométrica
  • 50. PROPIEDADES CRITERIOS DE CV Adición: Producto por escalar:
  • 51. Criterio del cociente
  • 52. Criterio de la raíz
  • 53. Criterio de la INTEGRAL
  • 54. 7.4 SERIE DE TAYLOR Polinomio de Taylor: Residuo de Taylor: La serie de Taylor se rebautizará &quot;serie de Maclaurin&quot; para x = 0 Brook Taylor
  • 55. ALGUNAS SERIES BÁSICAS de Maclaurin
  • 56. 7.5 SERIE DE FOURIER
  • 57.