ESCUELA : PONENTE : BIMESTRE : CÁLCULO II CICLO : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN I BIMESTRE Ing. Pablo Ramón ABRIL – AGOSTO 2007

OBJETIVO GENERAL Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el Cálculo Integral, las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y las Series Infinitas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Caracterizar las primitivas de una fucnión Resolver EDOs básicas Conocer e Interpretar geométricamente la integral definida Aplicar la regla de sustitución para resolver integrales compuestas Aproximar integrales mediante métodos numéricos Caracterizar las principales funciones trascendentes: log., exp. y trigonométricas

Caracterizar las primitivas de una fucnión

Resolver EDOs básicas

Conocer e Interpretar geométricamente la integral definida

Aplicar la regla de sustitución para resolver integrales compuestas

Aproximar integrales mediante métodos numéricos

Caracterizar las principales funciones trascendentes: log., exp. y trigonométricas

… Realizar integración de funciones trascendentes Aplicar las integrales en el cálculo de áreas entre dos curvas Calcular volúmenes de sólidos de revolución Utilizar las integrales para el cálculo de áreas de superficies y longitudes de curvas Relacionar conocimientos entre el Cálculo y la Física

Realizar integración de funciones trascendentes

Aplicar las integrales en el cálculo de áreas entre dos curvas

Calcular volúmenes de sólidos de revolución

Utilizar las integrales para el cálculo de áreas de superficies y longitudes de curvas

Relacionar conocimientos entre el Cálculo y la Física

METODOLOGÍA Lectura de los temas desarrollados en la guía didáctica y en el texto básico. EVA (www.utpl.edu.ec/ ) Leer Anuncios Preguntar Responder Foros (2 puntos) Descargar Material Complementario Resolver trabajo a distancia (4 puntos)     

Lectura de los temas desarrollados en la guía didáctica y en el texto básico.

EVA (www.utpl.edu.ec/ )

Leer Anuncios

Preguntar

Responder Foros (2 puntos)

Descargar Material Complementario

Resolver trabajo a distancia (4 puntos)

CONTENIDOS ANTIDERIVADAS E INTEGRALES INDEFINIDAS 1.1 Primitivas 1.2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.3 Áreas mediante sumas INTEGRAL DEFINIDA 2.1 Teorema fundamental del Cálculo 2.2 Integración Numérica

ANTIDERIVADAS E INTEGRALES INDEFINIDAS

1.1 Primitivas

1.2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1.3 Áreas mediante sumas

INTEGRAL DEFINIDA

2.1 Teorema fundamental del Cálculo

2.2 Integración Numérica

FUNCIONES TRASCENDENTES 3.1 Características 3.2 Derivación e integración APLICACIONES 4.1 Área entre dos funciones 4.2 Volúmenes de sólidos de revolución 4.3 Longitud de una curva 4.4 Trabajo, momentos y centro de masa 4.5 Presión y Fuerza

FUNCIONES TRASCENDENTES

3.1 Características

3.2 Derivación e integración

APLICACIONES

4.1 Área entre dos funciones

4.2 Volúmenes de sólidos de revolución

4.3 Longitud de una curva

4.4 Trabajo, momentos y centro de masa

4.5 Presión y Fuerza

Cap. 1 ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA Resolver el problema: Determinar una función a partir de su razón de cambio conocida. F es antiderivada de f si: F’(x) = f(x) ANTIDERIVADA = PRIMITIVA

Si F es primitiva de f, entonces G también es primitiva si y sólo sí tiene la forma: G(x) = F(x) + C  FAMILIA DE PRIMITIVAS C > 0 C < 0

INTEGRAL INDEFINIDA Integración: Operación inversa a la derivación Signo de integral Integrando Variable de integración

Proceso de Integración Integral Original Reescribir Integrar Simplificar

Ecuaciones Diferenciales Infinitas soluciones (infinitas Primitivas) Ecuación diferencial ordinaria (primer orden) Separación de variables

Problema de Valor Inicial Gráficamente:

Método de solución: Variables Separables EDO admite separación de variables si tiene la forma: Dividiendo por h(y): p(y)=1/h(y)

Ejemplo 1 Ecuación de la forma:

Ejemplo 2 Solución general

Modelamiento con ED Ejemplo 1: Crecimiento poblacional Modelo de Malthus

Modelamiento con ED Ejemplo 2: Ley de Newton

Modelamiento con ED Ejemplo 3: Vaciado de un estanque

Modelamiento con ED Ejemplo 4: Caída Libre

REGLA DE SUSTITUCIÓN Permite resolver integrales de la forma: Ejemplos:

M É TODO DE SUSTITUCIÓN Solución Ejemplo 1

M É TODO DE SUSTITUCIÓN Solución Ejemplo 2

M É TODO DE SUSTITUCIÓN Solución Ejemplo 3

M É TODO DE SUSTITUCIÓN Solución Ejemplo 4

Cap. 2 INTEGRAL DEFINIDA (Limitada) NOCIÓN INTUITIVA E HISTÓRICA AREA REGIÓN R  AREA REGIÓN R’ INTEGRACIÓN    

EJEMPLO 0 AREA BAJO LA CURVA Suma del área de los rectángulos = Área total + Error

DEFINICIÓN DE INTEGRAL dx  base de cada rectángulo

OBSERVACIONES: Si f es positiva, el área es positiva Si f es negativa, el área es negativa A1 A2 A3 AREA TOTAL= A1 – A2 + A3

Si f es positiva, el área es positiva

Si f es negativa, el área es negativa

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO F es primitiva de f

Propiedades (2) y (3) Transf. Lineal F es primitiva (integral) de f, si: F’(x) = f(x) PROPIEDADES 1 2 3 4

Ejemplo 1: Hallar el área bajo la curva en el intervalo [0, 2].

Aplicando el Teo. Fundamental del cálculo:

INTEGRACIÓN NUMÉRICA Aproxima el valor de una integral definida (área limitada) Regla del Trapecio Regla de Simpson

Aproxima el valor de una integral definida (área limitada)

Regla del Trapecio

Regla de Simpson

REGLA DEL TRAPECIO Ecuación de la recta

REGLA DEL TRAPECIO MÚLTIPLE

REGLA DE SIMPSON

REGLA DE SIMPSON (1/3): # par de intervalos

REGLA DE SIMPSON 3/8: 3 intervalos, es complemento de la regla 1/3 Utiliza un polinomio de 3er grado

OBSERVACIONES: Son métodos de aproximación El error es inversamente proporcional al número de subintervalos El método de simpson da una solución más aproximada Permiten elaboración de un algoritmo y codificar un programa

Son métodos de aproximación

El error es inversamente proporcional al número de subintervalos

El método de simpson da una solución más aproximada

Permiten elaboración de un algoritmo y codificar un programa

CAP. 3: FUNCIONES TRASCENDENTES Aquellas que no pueden expresarse en forma polinomial. Son: Logarítmicas Exponenciales Trigonométricas Hiperbólicas

Aquellas que no pueden expresarse en forma polinomial.

Son:

Logarítmicas

Exponenciales

Trigonométricas

Hiperbólicas

Exponenciales Vs Logarítmicas Exponencial de base a

Trigonométricas Inversas

Trigonométricas  Integrales con (1-x 2 ) 1/2 Hiperbólicas  Integrales con (1+x 2 ) 1/2 . Trigonométricas Vs Hiperbólicas

Hiperbólicas

Integrales Trascendentes Ejemplo 1

Integrales Trascendentes Ejemplo 2

Integrales Trascendentes Ejemplo 3

CAP. 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL Cálculo de: Áreas Volúmenes de revolución Longitud de arco Superficies de revolución Aplicaciones físicas (Trabajo, presión, etc.)

Cálculo de:

Áreas

Volúmenes de revolución

Longitud de arco

Superficies de revolución

Aplicaciones físicas (Trabajo, presión, etc.)

Cálculo de Áreas Ejemplo 1 Graficar la región encerrada por las curvas y hallar el área respectiva. Puntos de corte:

Cálculo de Áreas Ejemplo 2 Graficar la región encerrada por las curvas y hallar el área respectiva. Puntos de corte:

Puntos Intersección

Volumen de Revolución Ejemplo Se obtiene al hacer girar una región limitada alrededor de un eje.

La región R en el plano xy puede ser aproximada con rectángulos Volumen de Revolución.- Eje X

Volumen de Revolución.- Eje Y