LÍMITES Y SUS PROPIEDADES<br />ESCUELA:<br />Ciencias de la Computación<br />NOMBRES<br />Ing. Diana A. Torres G.<br />BIM...
CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS MÉTODOS GRÁFICO Y NÚMERICO<br />
3<br />INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES<br />Dibujar la Gráfica de la función f dada por:<br /><ul><li>Con  x <> 1    dibujar la...
Con x = 1 no lo podemos hacer.
Para conseguir una idea del comportamiento de la gráfica se usará valores de x que se aproximen a 1 por la izquierda y por...
5<br /><ul><li>Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L, cuando x se aproxima a c por la izquierda y por la derecha...
8<br />x se aproxima a 0 por la<br />derecha<br />x se aproxima a  0 por la<br />izquierda<br />f(x) se aproxima a 2<br />...
9<br />El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 0<br />f no es definida en x = 0<br />
10<br />LÍMITES QUE NO EXISTEN<br />Ejemplo: Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda. Demostrar que el ...
11<br /><ul><li>Independientemente de cuanto se aproxime x a 0, existirán valores tanto positivos como negativos que darán...
12<br />LÍMITES QUE NO EXISTEN<br />Ejemplo: Comportamiento no acotado.<br />Analizar la existencia del límite:<br />Soluc...
13<br />f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a 0, por tanto se concluye que el límite no existe.<...
14<br />LÍMITES QUE NO EXISTEN<br />Ejemplo: Comportamiento oscilante.<br />Analizar la existencia del límite:<br />Por ta...
15<br />Conclusiones:<br />f(x) se aproxima a números diferente por la derecha de c que por la izquierda.<br />f(x) aument...
16<br />DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE<br />	Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un núme...
CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES<br />
18<br />PROPIEDADES DE UN LÍMITE<br />Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.<b...
19<br />Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:<br />
20<br />Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con l...
21<br />Cociente:<br />Potencias:  <br />
22<br />Ejemplo: Límite de un Polinomio<br />
23<br />Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:<...
24<br />Ejemplo: Límite de una Función racional<br />	Como el denominador no es 0 cuando x=1<br />
25<br />Teorema 1.4:Límite de una Función radical<br />Si n es un entero positivo:<br /><ul><li>Para toda c si n es impar
c > si n es par</li></li></ul><li>26<br />Teorema 1.5 Límite de una Función Compuesta<br />Si f y g son funciones tales qu...
27<br />Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas<br />Sea c un número real:<br />
28<br />Ejemplos<br />
CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES<br />
30<br />Definición de Continuidad<br />	Continuidad en un Punto: una función f es continua en c  si se satisfacen:<br />
31<br />	Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo.<br />Una función continua en la ...
32<br />	Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.<br />Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se conc...
33<br />	Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.<br />Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se conc...
34<br />	Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.<br />Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se conc...
35<br />Ejemplo límite Lateral<br />Encontrar el límite de                        cuando x se aproxima  a -2 por la derech...
36<br />Teorema 1.10 Existencia de un límite <br />Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuand...
37<br />Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado <br />Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si...
38<br />Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado <br />Analizar la continuidad de<br />Se concluye que f es continua en...
39<br />Teorema 1.11 Propiedades de la Continuidad <br />Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces l...
LÍMITES INFINITOS<br />
41<br />Definición de Límites Infinitos<br />Sea f una función definida en todo número real de un intervalo  abierto que c...
Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica<br />42<br />
Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica<br />43<br />
Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica<br />44<br />
45<br />Teorema 1.15 Propiedades de los Límites Infinitos<br />Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que:<br ...
46<br />Cociente: <br />
47<br />Ejemplo: Cálculo de Límites <br />Calcular  los siguientes límites<br />
BIBLIOGRAFÍA<br />CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON HOSTLER EDWARDS.<br />	CAPÍTULO 1 LÍMITES Y SUS PROPIEDADES <br />48<br />
49<br />
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Calculo I Limites y sus propiedades

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Ponente: Ing. Diana Torres Guarnizo

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Calculo I Limites y sus propiedades

  1. 1. LÍMITES Y SUS PROPIEDADES<br />ESCUELA:<br />Ciencias de la Computación<br />NOMBRES<br />Ing. Diana A. Torres G.<br />BIMESTRE<br />v<br />I Bimestre<br />OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010<br />FECHA:<br />1<br />
  2. 2. CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS MÉTODOS GRÁFICO Y NÚMERICO<br />
  3. 3. 3<br />INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES<br />Dibujar la Gráfica de la función f dada por:<br /><ul><li>Con x <> 1 dibujar la gráfica con la tabla de valores.
  4. 4. Con x = 1 no lo podemos hacer.
  5. 5. Para conseguir una idea del comportamiento de la gráfica se usará valores de x que se aproximen a 1 por la izquierda y por la derecha.</li></li></ul><li>4<br />x se aproxima a 1 por la<br />derecha<br />x se aproxima a 1 por la<br />izquierda<br />f(x) se aproxima a 3<br />f(x) se aproxima a 3<br />
  6. 6.
  7. 7. 5<br /><ul><li>Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L, cuando x se aproxima a c por la izquierda y por la derecha entonces:</li></li></ul><li>7<br /><ul><li>Ejemplo: Estimación numérica de un límite. Evaluar la función </li></ul>en varios puntos cercanos a x = 0 y usar el resultado para estimar el límite.<br />
  8. 8. 8<br />x se aproxima a 0 por la<br />derecha<br />x se aproxima a 0 por la<br />izquierda<br />f(x) se aproxima a 2<br />f(x) se aproxima a 2<br />
  9. 9. 9<br />El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 0<br />f no es definida en x = 0<br />
  10. 10. 10<br />LÍMITES QUE NO EXISTEN<br />Ejemplo: Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda. Demostrar que el límite no existe:<br />Solución<br />
  11. 11. 11<br /><ul><li>Independientemente de cuanto se aproxime x a 0, existirán valores tanto positivos como negativos que darán</li></ul>f(x) = 1 y f(x)=-1<br />Los valores negativos de x dan como resultado |x|/x = -1.<br />Los valores positivos de x dan como resultado |x|/x = 1.<br />Límite no existe<br />
  12. 12. 12<br />LÍMITES QUE NO EXISTEN<br />Ejemplo: Comportamiento no acotado.<br />Analizar la existencia del límite:<br />Solución: Si jugamos con valores nos podemos dar cuenta que si x se aproxima a 0, f(x) crece notablemente:<br />
  13. 13. 13<br />f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a 0, por tanto se concluye que el límite no existe.<br />
  14. 14. 14<br />LÍMITES QUE NO EXISTEN<br />Ejemplo: Comportamiento oscilante.<br />Analizar la existencia del límite:<br />Por tanto el límite no existe<br />
  15. 15. 15<br />Conclusiones:<br />f(x) se aproxima a números diferente por la derecha de c que por la izquierda.<br />f(x) aumenta o disminuye sin límite a medida que x se aproxima a c.<br />f(x) oscila entre dos valores fijos a medida que x se aproxima a c.<br />
  16. 16. 16<br />DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE<br /> Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real: <br /> Significa que para todo ε&gt;0 existe uno δ&gt;0 tal que si:<br />
  17. 17. CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES<br />
  18. 18. 18<br />PROPIEDADES DE UN LÍMITE<br />Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.<br />
  19. 19. 19<br />Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:<br />
  20. 20. 20<br />Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes:<br />Múltiplo Escalar:<br />Suma o Diferencia<br />Producto: <br />
  21. 21. 21<br />Cociente:<br />Potencias: <br />
  22. 22. 22<br />Ejemplo: Límite de un Polinomio<br />
  23. 23. 23<br />Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:<br /> Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos<br />
  24. 24. 24<br />Ejemplo: Límite de una Función racional<br /> Como el denominador no es 0 cuando x=1<br />
  25. 25. 25<br />Teorema 1.4:Límite de una Función radical<br />Si n es un entero positivo:<br /><ul><li>Para toda c si n es impar
  26. 26. c > si n es par</li></li></ul><li>26<br />Teorema 1.5 Límite de una Función Compuesta<br />Si f y g son funciones tales que:<br />y<br />Entonces:<br />
  27. 27. 27<br />Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas<br />Sea c un número real:<br />
  28. 28. 28<br />Ejemplos<br />
  29. 29. CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES<br />
  30. 30. 30<br />Definición de Continuidad<br /> Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:<br />
  31. 31. 31<br /> Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo.<br />Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.<br />
  32. 32. 32<br /> Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.<br />Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido <br />
  33. 33. 33<br /> Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.<br />Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido <br />
  34. 34. 34<br /> Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.<br />Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞) <br />
  35. 35. 35<br />Ejemplo límite Lateral<br />Encontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha<br />
  36. 36. 36<br />Teorema 1.10 Existencia de un límite <br />Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:<br />
  37. 37. 37<br />Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado <br />Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n<br />La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b<br />
  38. 38. 38<br />Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado <br />Analizar la continuidad de<br />Se concluye que f es continua en [-1,1]<br />Continua por la derecha<br />Continua por la izquierda<br />
  39. 39. 39<br />Teorema 1.11 Propiedades de la Continuidad <br />Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes también son continuas en c:<br />Múltiplo escalar: bf<br />Suma o Diferencia: f ± g<br />Producto: fg<br />Cociente: f , si g(c) ≠ 0<br /> g <br />
  40. 40. LÍMITES INFINITOS<br />
  41. 41. 41<br />Definición de Límites Infinitos<br />Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión<br />
  42. 42. Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica<br />42<br />
  43. 43. Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica<br />43<br />
  44. 44. Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica<br />44<br />
  45. 45. 45<br />Teorema 1.15 Propiedades de los Límites Infinitos<br />Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que:<br />Suma o Diferencia: <br />Producto: <br />
  46. 46. 46<br />Cociente: <br />
  47. 47. 47<br />Ejemplo: Cálculo de Límites <br />Calcular los siguientes límites<br />
  48. 48. BIBLIOGRAFÍA<br />CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON HOSTLER EDWARDS.<br /> CAPÍTULO 1 LÍMITES Y SUS PROPIEDADES <br />48<br />
  49. 49. 49<br />
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