Calculo I Aplicaciones De La Derivada

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Aplicaciones De La Derivada
Ponente:Diana Torres Guarnizo

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  • Calculo I Aplicaciones De La Derivada

    1. 1. ESCUELA : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN PONENTE: APLICACIONES DE LA DERIVADA CICLO: Ing. Diana A. Torres G. OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010 BIMESTRE: II Bimestre
    2. 2. EXTREMOS DE UN INTERVALO <ul><li>Definición de Extremos.- Sea f definida sobre un intervalo f que contiene a c: </li></ul><ul><ul><li>f(c) es el máximo de f en I si f(c) ≤ f(x) para toda x en I </li></ul></ul><ul><ul><li>f(c) es el mínimo de f en I si f(c) ≥ f(x) para toda x en I </li></ul></ul><ul><ul><li>Los mínimos y máximos se conocen como valores extremos o extremos o mínimo absoluto o máximo absoluto. </li></ul></ul>
    3. 3. EXTREMOS DE UN INTERVALO <ul><li>Teorema del Valor Extremo: si f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces tiene un mínimo y un máximo en ese intervalo </li></ul>
    4. 4. EXTREMOS DE UN INTERVALO <ul><li>Definición de extremos relativos: si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f(c) es: </li></ul><ul><li>Un máximo, entonces f(c) recibe el nombre de máximo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un máximo relativo en (c, f(c)) . </li></ul><ul><li>Un mínimo, entonces f(c) recibe el nombre de mínimo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)) . </li></ul>
    5. 5. EJEMPLO Encontrar el valor de La Derivada en los Extremos Relativos:
    6. 6. <ul><li>Definición de un número o punto crítico </li></ul><ul><li>Sea f definida en c. si f’(c)=0 o si f no es derivable en c, entonces c es un punto crítico de f </li></ul>Teorema: Los extremos relativos ocurren solo en números o puntos críticos: Si f tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en x = c, entonces c es un punto crítico de f.
    7. 7. Determinación de extremos en un intervalo cerrado <ul><li>Se encuentran los punto críticos de f en (a,b) </li></ul><ul><li>Se evalúa f en cada punto crítico en (a,b) </li></ul><ul><li>Se evalúa en f en cada punto extremo de [a,b] </li></ul><ul><li>El más pequeño de estos valores es el mínimo y el más grande es el máximo </li></ul>
    8. 8. EJEMPLO Determinación de los extremos en un intervalo cerrado: Determinar los Extremos de f(x) = 3x 4 – 4x 3 en el Intervalo [-1,2]
    9. 9.
    10. 10. El Teorema de Rolle <ul><li>Proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado. </li></ul><ul><li>Sea f continua en el Intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b).Si </li></ul><ul><li>f(a) = f(b) </li></ul><ul><li>entonces existe al menos un número c en (a,b) tal que f’(c)=0 </li></ul>
    11. 11. EJEMPLO Ilustración del Teorema de Rolle Encontrar las dos Intersecciones en x de f(x) = x 2 – 3x + 2 y demostrar que f’(x) = 0 en algún punto entre las dos intersecciones en x
    12. 12. f’(3/2)=0 Tangente Horizontal
    13. 13. El Teorema del valor Medio <ul><li>Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el Intervalo Abierto (a,b) entonces existe un número c en (a,b) tal que </li></ul>
    14. 14. EJEMPLO Determinación de una Recta Tangente Dada f(x) = 5 – (4/x), determinar todos los valores de c en el intervalo abierto (1,4) tales que:
    15. 15. Funciones Crecientes y Decrecientes <ul><li>Definición de Funciones Crecientes y Decrecientes </li></ul><ul><li>Una función es creciente sobre un intervalo si para cualquiera de dos números x 1 y x 2 en el intervalo, x 1 < x 2 implica f(x 1 ) < f(x 2 ) </li></ul><ul><li>Una función es decreciente sobre un intervalo si para cualquiera de dos números x 1 y x 2 en el intervalo, x 1 > x 2 implica f(x 1 ) > f(x 2 ) </li></ul>
    16. 16. Funciones Crecientes y Decrecientes <ul><li>Criterio para las Funciones Crecientes y Decrecientes </li></ul><ul><li>Sea f una función que es continua ene l intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) </li></ul><ul><ul><ul><li>Si f’(x) > 0 para todo x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b] </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Si f’(x) < 0 para todo x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b] </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Si f’(x) = 0 para todo x en (a,b), entonces f es constante en [a,b] </li></ul></ul></ul>
    17. 17. EJEMPLO Intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente Determinar los Intervalos abiertos sobre los cuales f(x) es creciente o decreciente:
    18. 18. Creciente Creciente Decreciente
    19. 19. Criterio de la Primera Derivada <ul><ul><ul><li>Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)). </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>2. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)). </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>3. Si f’(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni mínimo o máximo. </li></ul></ul></ul>
    20. 20. EJEMPLO Aplicación del criterio de la primera derivada. Encontrar los extremos relativos de
    21. 21. Mínimo Relativo Mínimo Relativo Máximo Relativo
    22. 22. Concavidad y Criterio de la Segunda Derivada <ul><li>Al localizar los Intervalos en los que f’ es creciente o decreciente puede utilizarse para determinar donde la gráfica de f se curva hacia arriba o hacia abajo. </li></ul><ul><li>Definición de la Concavidad </li></ul><ul><li>Sea f derivable en un Intervalo I. la gráfica es cóncava hacia arriba sobre I si f’ es creciente en el Intervalo y cóncava hacia abajo en I si f’ decreciente en el Intervalo </li></ul>
    23. 23. Teorema: Criterio de la Concavidad <ul><li>Sea f una función cuya segunda derivada existe en un Intervalo abierto I: </li></ul><ul><ul><ul><li>Si f’’(x) > 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Si f’’(x) < 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I. </li></ul></ul></ul>
    24. 24. EJEMPLO Determinar la Concavidad Determinar los Intervalos Abiertos en los cuales la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo
    25. 25. f’’(x)> 0 Cóncava hacia arriba f’’(x)> 0 Cóncava hacia arriba f’’(x)> 0 Cóncava hacia abajo
    26. 26. Puntos de Inflexión <ul><li>Sea f una función que es continua en un intervalo abierto y sea c un punto en ese intervalo. </li></ul><ul><li>Si la gráfica de f tiene una recta tangente en este punto (c,f(c)), entonces este punto es un punto de inflexión de la gráfica de f si la concavidad de f cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa en ese punto. </li></ul>
    27. 27. Teorema: Punto de Inflexión <ul><li>Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de entonces: </li></ul><ul><li>f’’(c)=0 </li></ul><ul><li>ó </li></ul><ul><li>f’’(c) no existe en x = c </li></ul>
    28. 28. EJEMPLO Determinación de los Puntos de Inflexión Determinar los Puntos de Inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de f(x).
    29. 29. Puntos de Inflexión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
    30. 30. Asíntotas Verticales <ul><li>La recta Y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f si: </li></ul>
    31. 31. Teorema: Límites al Infinito <ul><li>Si r es un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces: </li></ul><ul><li>Además, si x r se define cuando x < 0, entonces </li></ul>
    32. 32. EJEMPLO Determinación del límite al Infinito Encontrar el límite:
    33. 33. EJEMPLO Determinación del límite al Infinito Encontrar el límite:
    34. 34. y = 2 es una asíntota horizontal
    35. 35. Estrategia para determinar límites en ± ∞ de funciones racionales <ul><ul><ul><li>Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces el límite de la función racional es 0. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador, entonces el límite de la función racional es el cociente de los coeficientes dominantes. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>3. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces el límite de la función racional no existe. </li></ul></ul></ul>
    36. 36. Ejemplos: Determinar cada límite
    37. 37. Análisis de la Gráfica de una Función
    38. 38. Estrategia para Analizar la gráfica de una Función <ul><ul><ul><li>Determinar el Dominio y rango de una función </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Determinar las intersecciones, asíntotas y simetría de la Gráfica </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Localizar los valores de x para los cuales f’(x) y f’’(x) son cero o no existen. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Usar los resultados para determinar extremos relativos y puntos de inflexión </li></ul></ul></ul>
    39. 39. EJEMPLO Dibujo de la Gráfica de una Función racional Analizar y Dibujar la Gráfica de f(x)
    40. 40. Mínimo Relativo Asíntota Horizontal y = 2 Asíntota Vertical x = -2 Asíntota Vertical x = 2
    41. 41. Problemas de Aplicación de Máximos y Mínimos <ul><li>Una aplicación del cálculo implica la Determinación de los Valores Máximo y Mínimo. </li></ul>
    42. 42. Estrategia para resolver problemas aplicados de mínimos y Máximos <ul><li>Identificar todas las cantidades dadas y las que se van a determinar. Elaborar dibujo. </li></ul><ul><li>Escribir una ecuación primaria </li></ul><ul><li>Reducir la Ecuación Primaria a una que tenga una sola variable independiente. </li></ul><ul><li>Determinar el dominio admisible de la ecuación primaria </li></ul><ul><li>Determinar el valor máximo o mínimo deseado mediante las técnicas de cálculo. </li></ul>
    43. 43. EJEMPLO Determinación de la Distancia Mínima ¿Qué puntos sobre la gráfica de y = 4 – x 2 son más cercanos al punto (0,2)? (x,y) d
    44. 44. Método de Newton <ul><li>Sea f(c) = 0, donde f es derivable en un intervalo abierto que contiene a c. Entonces para aproximar a c, se sigue: </li></ul><ul><li>Se efectúa una estimación inicial x 1 que es cercana a c (Una gráfica es útil). </li></ul><ul><li>Se Determina una nueva aproximación </li></ul><ul><li>Si |x n – x n+1 |esta dentro de la precisión deseada, dejar x n+1 sirva como la aproximación final. Sino volver al paso 2 y calcular una nueva aproximación (iteración) </li></ul>
    45. 45. EJEMPLO Aplicación del Método de Newton Calcular tres iteraciones del Método de Newton para aproximar un 0 de f(x) = x 2 – 2 Utilizar x 1 = 1 como la estimación inicial
    46. 46. n x n f(x n ) f’(x n ) f( x n ) f’(x n ) x n - f( x n ) f’(x n ) 1 1.000000 -1.00000 2.00000 -0.50000 1.50000 2 1.500000 0.250000 3.00000 0.083333 1.416667 3 1.426667 0.006945 2.833334 0.002452 1.414216 4 1.424216
    47. 47. Diferenciales <ul><li>Definición de Diferenciales </li></ul><ul><ul><li>Considerar que y = f(x) representa una función que es derivable en un intervalo abierto que contiene a x </li></ul></ul><ul><ul><li>La diferencial de x ( dx ) es cualquier número real distinto de 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>La diferencial de y ( dy ) es </li></ul></ul>
    48. 48. Fórmulas Diferenciales <ul><li>Sean u y v funciones diferenciables de x: </li></ul>
    49. 49. EJEMPLO Determinación de Diferenciales y = x 2 y = 2 sen x y = sen 2x y = 1/x
    50. 50. BIBLIOGRAFÍA <ul><li>CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON HOSTLER EDWARDS. </li></ul><ul><li>CAPÍTULO 3 APLICACIONES DE LA DERIVADA </li></ul>

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