Calculo I

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U.T.P.L.
Carrera: Economía
Materia: Calculo I
Periodo: Abril - Agosto 2010
Ponente: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca.

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    1. 1. CALCULO I Loja, marzo del 2010 ING. ANA LUCÍA ABAD AYAVACA ABRIL – AGOSTO 2010 ECONOMÍA
    2. 2. <ul><ul><li>La variable dependiente => f(x) = y </li></ul></ul><ul><ul><li>La variable independiente => x </li></ul></ul><ul><ul><li>El símbolo f(x) se lee “f de x”. </li></ul></ul>EJERCICIOS 1. Halle la función compuesta f(g(x)) de 2. CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad suburbana será a)¿Cuál será la población de la comunidad dentro de 9 años? b) ¿Cuánto aumentará la población durante el noveno año? Una función se puede entender como una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida se le hace corresponder un elemento del conjunto de llegada. 1 2 3 -1 -2 -3 x f(x)=-x
    3. 3. FUNCIONES LINEALES <ul><li>La función lineal es una función polinomial de grado 1, es una función que cambia a una razón constante con respecto a su variable independiente, por ejemplo f(x) = 2x + 1 . La grafica de la ecuación lineal y = mx + b , es una recta que tiene pendiente m y una intersección en y en el punto (0,b) . </li></ul><ul><li>LA PENDIENTE de una recta no vertical que pasa por los puntos (x1,y1)y (x2,y2) está dada por la fórmula </li></ul><ul><li>El signo y la magnitud de la pendiente de una recta indican la dirección y la inclinación de recta. </li></ul><ul><li>m+ si la altura  a medida que x  </li></ul><ul><li>m- si la altura  a medida que x  </li></ul>
    4. 4. ECUACIONES DE LA RECTA <ul><li>Forma general: Ax + By + C = 0 </li></ul><ul><li>Recta Vertical: x = a </li></ul><ul><li>Recta horizontal: y = b </li></ul><ul><li>Forma punto- pendiente: y – y 1 = m ( x - x 1 ) </li></ul><ul><li>Forma intercepto- pendiente: y = mx +b </li></ul><ul><li>L 1 y L 2 son paralelas si y solo si m 1 = m 2 </li></ul><ul><li>L 1 y L 2 son perpendiculares si solo si m 2 = -1/ m 1 </li></ul><ul><li>EJERCICIOS </li></ul><ul><li>Encuentre la pendiente y la intersección con el eje y de la recta 3y+2x=6 </li></ul><ul><li>Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto(5,1) y cuya pendiente es igual a ½. </li></ul><ul><li>Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos(-3,-2)y (1,6). </li></ul>
    5. 5. Modelos Funcionales <ul><li>EJERCICIOS </li></ul><ul><li>Desde el comienzo del año, el precio del pan integral de trigo en un supermercado ha ido aumentando a una razón constante de 2 centavos por mes. Para el 1 de noviembre el precio llegó a $1.56 por unidad Exprese el precio del pan como una función del tiempo y determine el precio al comienzo del año. </li></ul><ul><li>Un fabricante puede vender cierto producto en $110 por unidad. El costo total consiste de un costo fijo indirecto de $7500 más los costos de producción de $60 por unidad. </li></ul><ul><ul><li>¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para llegar al equilibrio? </li></ul></ul><ul><ul><li>¿Cuál es la utilidad del fabricante o la pérdida si se venden 100 unidades? </li></ul></ul><ul><ul><li>¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para tener una utilidad de $1250? </li></ul></ul><ul><li>Los productores ofertarán x unidades de un artículo en el mercado cuando el precio es p=S(x) dólares por unidad; mientras que los consumidores demandarán (comprarán)x unidades cuando el precio es p=D(x) por unidad, donde </li></ul><ul><ul><li>Encuentre el nivel de producción de equilibrio xe y el precio de equilibrio pe. </li></ul></ul><ul><ul><li>Dibuje las curvas de oferta y demanda en la misma gráfica. </li></ul></ul><ul><ul><li>¿Dónde cruza el eje y la curva de oferta? </li></ul></ul>
    6. 6. LIMITES <ul><li>Consiste en examinar el comportamiento de una función f(x) cuando x se aproxima a un número c, que puede o no estar en el dominio de f. </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Decir el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 5 se escribe así: </li></ul><ul><li>Geométricamente, el límite de f(x) cuando x tiende a c es L , significa que la altura de la gráfica y = f(x) tiende a L a medida que x tiende a c . </li></ul>Para Recordar: La notaci ó n de l í mites se describe.
    7. 7. Propiedades de los limites Si existen, entonces Limite de una Suma Limite de una Resta Limite de una Constante Para cualquier constante, k Limite de una Multiplicación Limite de un cociente si Limite de una Potencia si existe Limite de un Radical
    8. 8. Límites al infinito <ul><li>Reglas del recíproco de la potencia </li></ul>Límites infinitos Si aumenta o disminuye ilimitadamente Si f(x) crece sin limite Si f(x) decrece sin limite
    9. 9. Límites laterales Si f(x) se aproxima a M cuando x tiende a c por la derecha Si f(x) se aproxima a L cuando x tiende a c por la izquierda E l l í mite de una funci ó n existe si y solo si el limite por la izquierda sea igual al l í mite por la derecha Los límites unilaterales o laterales como también se los conoce son útiles al tomar límites de función de funciones que contienen raíces y funciones que estén definidas por partes.
    10. 10. Continuidad Una funci ó n f es continua en c si se satisface las tres condiciones siguientes f(c) está definida existe y Si f(x)no es continua en c, se dice que tiene ahí una discontinuidad <ul><li>: </li></ul><ul><li>f(c) est á finida </li></ul>existe <ul><li>Las tres condiciones que deben satisfacer para que una funci ó n sea continua pueden ser infringidas en varias formas, obteni é ndose diferentes tipos de discontinuidades. </li></ul><ul><li>Vamos a estudiar dos tipos de discontinuidades: </li></ul><ul><li>La discontinuidad ESENCIAL quiere decir que la funci ó n f(x) no tiene l í mite, por lo tanto, no se la puede eliminar y redefinir la funci ó n, (Redefinir una funci ó n quiere decir definirla nuevamente poni é ndole condiciones adicionales para hacerla que sea continua en ese punto). </li></ul><ul><li>La discontinuidad ELIMINABLE o EVITABLE, como sus nombres mismo lo indican la podemos eliminar o evitar redefiniendo la funci ó n en el punto donde hay la discontinuidad, el ú nico requerimiento es que la funci ó n tenga l í mite, es decir, que la funci ó n tenga limite, </li></ul>
    11. 11. Je
    12. 12. Límites laterales Si f(x) se aproxima a M cuando x tiende a c por la derecha Si f(x) se aproxima a L cuando x tiende a c por la izquierda E l l í mite de una funci ó n existe si y solo si el limite por la izquierda sea igual al l í mite por la derecha

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